INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Jika deketahui suatu fungsi F ( x ) =
f ( x) g ( x )
2009
dimana f(x) dan g(x) merupakan polinom (suku
banyak) maka fungsi F(x) disebut sebagai fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x) lebih kecil daripada derajat g(x), maka F(x) disebut fungsi rasional sebenarnya ( proper proper rational function), sebaliknya jika derajat dari f(x) lebih besar d aripada derajat g(x), maka
F(x) disebut fungsi rasional tak sebenarnya (improper rational function). Suatu fungsi rasional tak sebenarnya selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu polinom dan suatu fungsi yang sebenarnya dengan melakukan operasi pembagian biasa. Misalnya,
x
3
x + 1 2
=
x ( x + 1) − x 2
=
x + 1 2
x( x + 1) 2
x + 1 2
−
x x + 1 2
= x −
x x + 1 2
Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, harus diusahakan fungsi tersebut sebagai fungsi penjumlahan pecahan sederhana partial (partial fraction), dimana n
2
n
penyebutnya berbentuk (ax + b) atau (ax + bx + c) , dengan n bilangan bulat positif. Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi tersebut.
Beberapa bentuk kasus g(x) adalah sebagai berikut : 1. Faktor-faktor linier yang berbeda Bentuk g(x) adalah : g(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)…(anx + bn). dengan bentuk g(x) tersebut, maka F(x) dapat dibentuk seperti berikut : F ( x) =
A1 a1 x + b1
+
A2 a 2 x + b2
+ ... +
An a n x + bn
2. Faktor-faktor linier yang berulang Jika pada g(x) terdapat (ax + b) berulang sebanyak m kali, misalnya m
g(x) = (ax + b) , maka Writing by
[email protected] ‐ UMP
Halaman
1
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
F ( x) =
A1 ax + b
+
A2
( ax + b)
2
+ ... +
2009
Am
( ax + b)
m
3. Faktor kuadrat yang berbeda Dalam kasus ini, g(x) berbentuk 2
2
2
g(x) = (a1x + b1x + c1) (a2x + b2x + c2) ... (anx + bnx + cn) A1 x + B1
maka F ( x ) =
a1 x + b1 x + c1 2
A2 x + B2
+
a 2 x + b2 x + c 2 2
An x + Bn
+ ... +
a n x + bn x + c n 2
4. Faktor kuadrat yang berulang 2
Jika terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x), misalnya g(x) = (ax m
+ bx + c) , maka : F ( x) =
A1 x + B1
+
( ax 2 + bx + c)
A2 x + B2
(ax 2 + bx + c) 2
Am x + Bm
+ ... +
( ax 2 + bx + c) m
Contoh : 1. I =
x
3
2
+1
∫ x
dx
Pada inregral ini, integrand merupakan fungsi rasional tak sebenarnya, dan berdasarkan pada yang telah dibahas di atas, maka
⎛
x
3
2
+1
∫ x
∫ ⎝
dx = ⎜ x −
x ⎞
untuk menyelesaikan
∫ x
x 2
+1
2
=
1 2
Jadi
x
dx digunakan metode substitusi, yaitu misalnya
u = x +1, maka du = 2x dx, sehingga dx = dengan demikian,
1
x
2 dx = x − ∫ 2 dx ⎟ dx = ∫ x dx − ∫ 2 2 x + 1 ⎠ x + 1 x + 1 2
∫ x
x 2
+1
dx
x du
= ∫ .
u 2 x
du
2 x du
= ∫
2u
=
1 du 2
∫ u
1
= ln u + C 2
2 ln x + 1 + C
3
1 2 x 1 2 1 2 = − = dx x dx x − ln x + 1 + C 2 2 2 2 2 x + 1 x + 1
∫
x
Writing by
[email protected] ‐ UMP
∫
Halaman
2
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2. I =
∫ x
( x + 1)
dx
− 4 x − 12
2
2009
bentuk g(x) pada integral di atas sesuai dengan bentuk kasus 1, karena x 2 − 4 x − 12 = (x – 6)(x + 2) adalah 2 faktor linier yang berbeda.
Dari
= =
bentuk
A1 x − 6
+
tersebut,
A2
=
x + 2
F ( x) =
maka
( x + 1) x − 4 x − 12 2
A1 ( x + 2) + A2 ( x − 6)
=
( x − 6)( x + 2)
A1 x + A2 x + 2 A1 − 6 A2
=
( x − 6)( x + 2)
=
( A1 + A2 ) x + (2 A1 − 6 A2 ) ( x − 6)( x + 2)
x + 1
( x − 6)( x + 2)
A1 x + 2 A1 + A2 x − 6 A2
( x − 6)( x + 2)
=
x + 1
( x − 6)( x + 2)
Dengan demikian, ( A1 + A2 ) x + ( 2 A1 − 6 A2 ) = x + 1 sehingga : A1 + A2 = 1 dan 2A1 – 6A2 = 1
⇔ A1 =1 - A2
2A1 – 6A2 = 1 2(1 - A2) – 6A2 = 1 2 – 2A2 – 6A2 = 1 2 – 8A2 = 1 2 – 1 = 8A2 8A2 = 1 A2 =
A1 + A2 = 1 A1 + Jadi I =
= ∫
∫ x
7
8( x − 6)
1 8
=1
( x + 1) 2
− 4 x − 12
dx +
A1
=1− A1
∫ x − 6
dx = (
1 8
+
=
1 8
7 8
A2 x + 2
) dx =
A1
∫ x − 6
dx +
A2
∫ x + 2 dx
1
∫ 8( x + 2) dx , dengan menggunakan substitusi u = x – 6 dan v
= x + 2, maka du = dx dan dv = dx. Sehingga
=
7 8
7
∫ 8( x − 6)
ln x − 6 +
1 8
dx +
1
∫ 8( x + 2)
dx =
7 du 8
∫
u
+
1 dv 8
∫ v
=
7 8
ln u +
1 8
ln v + C
ln x + 2 + C
Writing by
[email protected] ‐ UMP
Halaman
3
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2009
Soal : 1. I =
∫ x
( x + 4) 3
dx bentuk g(x) sesuai dengan kasus (2) yaitu mengandung faktor
− 4 x 2 + 4 x
linier yang berulang. 3 2 2 2 x − 4 x + 4 x = ( x − 2) . x = x ( x − 2)
∫ x
( x + 4) 3
− 4 x 2 + 4 x
dx =
⎛ A1 A2 A3 ⎞ ⎜ dx = + + ⎜ x x − 2 ( x − 2) 2 ⎟⎟dx x( x − 2) 2 ⎝ ⎠
∫
x + 4
∫
A1 ( x − 2) + A2 ( x − 2) x + A3 x 2
= ∫
x( x − 2)
2
dx =
A1 x − 4 A1 x + 4 A1 + A2 x − 2 A2 x + A3 x
∫
( A1 + A2 ) x 2 − ( 4 A1 + 2 A2 − A3 ) x + 4 A1
= ∫
x( x − 2)
2
2
2
x ( x − 2)
2
dx
dx
Untuk menyelesaikan integrasi di atas perlu dicari faktor A1, A2, dan A3 seperti berikut :
( A1 + A2 ) x 2 − (4 A1 + 2 A2 − A3 ) x + 4 A1 x( x − 2)
2
(A1+ A2) = 0
-(4 A1 + 2A2 - A3) = 1
4 A1 = 4
↔
=
x + 4 x ( x − 2)
2
-4 A1 - 2A2 + A3 = 1
Dengan demikian diperoleh A1 = 1, A2 = -1, dan A3 = 3 Sehingga
⎛ A1 A2 A3 ⎞ ⎜ = + + dx 3 2 ⎜ x x − 2 ( x − 2) 2 ⎟⎟dx x − 4 x + 4 x ⎝ ⎠ ( x + 4)
∫
∫
⎛ 1 dx dx dx 1 3 ⎞ ⎟ 3 = ∫ ⎜⎜ − + = − + dx 2 ⎟ ∫ x ∫ x − 2 ∫ ( x − 2) 2 ⎝ x x − 2 ( x − 2) ⎠ = ln x − ln x − 2 + 3∫
dx
( x − 2) 2
dengan menggunakan substitusi u = x-2, maka
du = dx sehingga dx
∫ ( x − 2) Jadi
∫ x
du
2
= ∫
u
2
= ∫ u −2 du =
( x + 4) 3
− 4 x 2 + 4 x
1
−1
u
−1
dx = ln x − ln x − 2 + 3
Writing by
[email protected] ‐ UMP
1
1
u
x − 2
+ C = −u −1 + C = − + C = − dx
∫ ( x − 2)
2
+ C
= ln x − ln x − 2 −
3 x − 2
+ C
Halaman
4
