INTEGRAL KOMPLEKS Andaikan t adalah t adalah variable real. F(t) fungsi bernilai complex dari variabel real dan ditulis F(t) = u(t) + i v(t) dengan u, v fungsi v fungsi real dari variabel real t. Definisi: Untuk fungsi bernilai kompleks dari variabel real F(t) = u(t) + iv(t) dengan a ≤ t ≤ b didefiniskan.
b F(t)dt a
b b u(t)dt i v(t)dt a a
Sifat-sifat: b b 1. Re F (t ) dt Re( F (t ) )dt a a b
2. Im
b
F ( t )dt
Im( F ( t ) )dt
a
a
b
b
k F ( t )dt
3. a
4.
F ( t )dt , dimana
k
k sembarang k sembarang konstanta kompleks
a
b
b
F ( t )dt a
F ( t ) dt a
b
a
F ( t )dt
5. a
, dimana a ≤ b
F ( t )dt b
Lintasan g(t) dan h(t) bernilai nol dan kontinu di titik a , b x
g(t)
y
h(t)
(x, (x, y)
(g(t),h(t)) dan da n z
x
iy
Untuk Untuk satu nilai t, (x, y) = (g(t)), h(t)) menyatakan satu titik pada bidang z. Suatu kurva himpunan titik z=x+iy dengan x = g(t), y = h(t) masing-masing fungsi real dan konstanta konstanta dari variabel real a, b t
( g(a), h(a)) adalah titik awal ( g(b), h(b)) adalah titik akhir Jika t1 ≠ t2 sehingga ( g(t1), h(t1)) tidak berimpit dengan ( g(t2), h(t2)). ( g(a), h(a)) dan ( g(b), h(b)) berimpit maka akan membentuk kurva tertutup.
Tidak boleh karena kurva tidak tunggal Tertutup tidak tunggal
Tertutup tunggal
Kurva C: z g(t) i h(t) ,dimana a≤t≤b. g’(t) dan h’(t) ada dan kontinu di a , b untuk t a , b , g’ dan h’ tidak bersama-sama nol maka C disebut kurva mulus Kurva C merupakan rangkaian kurva mulus C1, C2, C3, . . ., Cn titik akhir C j berimpit dengan titik awal Cj+1 untuk j = 1, 2, . . .,n –1. Maka C disebut lintasan
C1
C3 C5
C2
C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
C4 C6
Jika titik awal C 1 berimpit dengan titik C n , maka C lintasan tertutup.
C1
Lintasan tertutup tunggal
P(x, y)dx c
Q(x, y)dy c
P(x, y)dx Q(x, y)dy c
integral lintasan tertutup Contoh: 2
x ydx
2
xy dy
?
c
C adalah garis patah yang berawal dari (0, 1) melalui (1, 1) dan berakhir (1, 0)
Jawab: (0, 1)
C1
C = C1 + C2 C1: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1 C2: x = 1 y = t dimana 1≥ t ≥ 0
(1, 1) C2
(1, 0)
x 2 y dx c
xy 2dy
x 2 y dx
xy 2dy
c1
x 2 y dx c2
1
1
t 2 dt 0
0
0 dt 0
3
t 3
1
0
0
1 3
t 3
1
0
0 1
t 2dt
0 dt
xy 2dy
Integral lintasan kompleks juga disebut integral kontur kompleks. Fungsi f(z) = u(x, y) + i v(x, y) yang didefinisikan kontinu sepotong-sepotong pada lintasan di bidang kompleks dengan C = {z=x + iy / x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b} dengan titik awal α dan titik akhir β berturut-turut berkorespondensi dengan t = α dan t = β.
f(z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy C
C
C
dapat ditulis dalam integral t yang dinyatakan dengan b
b
a
a
f(z)dz (ug'vh' )dt i (vg'uh' )dt C
Jika z pada C dengan z(t) = x(t) + i y(t) dan x(t) = g(t), y(t) = h(t), a ≤ t ≤ b sehingga dz = z’(t) = dx + i dy b C
f(z)dz
f(z(t)) z' (t)dt a
1. 2. 3. 4.
Cαβ
C
C
f(z)dz
kf(z)dz f(z)dz
Cβα
k
C1
C
f(z)dz
f(z)dz , k konstanta
f(z)dz
C2
f(z)dz
f (z) f (z) dz f (z)dz f (z)dz , C = C C
1
2
C
1
C
2
1
+ C2
Contoh:
Hitunglah C f(z)dz jika f(z) = y – x + 6ix2 dan lintasan C terdiri atas dua penggal garis dan z = 0 sampai z = i dan z = i sampai z =1+ i. C
f(z)dz
C1
f(z)dz
C2
f(z)dz
f(z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy C
C
C
y i
C = C1 + C2 C1: x = 0 y = t dimana 0 ≤ t ≤ 1 C2: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
C2 C1
O
x 1
C1
1
t dt i 0 dt
f(z)dz 0
0
1
1
C2
C
f(z)dz
2
2 i 6t (1 t) dt dt 0
0
f ( z )dz
1
1 2
1
2i 2
1 2
1 2i
2i
Jika C lintasan tertutup tunggal dengan arah positif dan E daerah tertutup yang terdiri atas titik di dalam dan pada C. P(x, y) dan Q(x, y) fungsi real terdefinisi pada E beserta derivatif-derivatif parsial dari tingkat pertama kontinu pada E maka:
P(x, y) dx
Q(x, y) dy
c
C : arah positif
E
Q x
P dx dy y
Bukti: C lintasan tertutup tunggal yang mempunyai bentuk garis-garis // sumbu koordinat memotong C di dua titik Akan dibuktikan P
P ( x , y )dx c
E
y
y
dxdy
Kurva ABC, y = α1(x) Kurva ADC, y = α2(x)
D
d
C
A c O
B a
b
x
P y
E
b
dxdy a
α 2 ( x ) α 1 ( x )
P y
dydx
P ( x, y ) b
a
( x ) ( x ) 1
2
dx
P(x, α1(x)) P(x, α2 (x)) dx b
a
b
a P ( x, 1 ( x)dx
b
a P ( x, 2 ( x)dx
C
P ( x , y )dx
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan
Q E y dxdy
C
Q ( x , y )dy
Dengan mengambil Kurva BCD, x = β2(y) Kurva BAD, x = β1(y)
Q P Q P c P ( x, y)dx Q( x, y)dy E x y dxdy E x y dxdy Q P Q P dxdy dxdy x y x y E E 1
3
2
4
Perluasan: E2
Catatan, Lintasan yang saling berlawanan meniadakan
E1
E4 E3
Q
P ( x, y)dx Q( x, y)dy c
E 1
x
Q E 3
x
Q P dxdy dxdy x y y E P Q P dxdy dxdy x y y E
P
2
4
2. Untuk suatu titik Z0 dan sebarang lingkaran C yang berpusat di Z 0 yang ditentukan, dan C berarah positif berlaku dz 2 i 1. C Z0 z-z 2.
C
dz
0
(z z 0 )
n
0; n 2, 3, ...
Bukti: z0 = a + bi r = jari-jari z dilingkaran z = x + iy x = a + r cos θ y = b + r sin θ z = z0 + (r cos θ + i r sin θ) z - z0 = r cos θ + i r sin θ
Z
r Sin θ
θ Z0
b
a
r Cos θ
1 z z 0
1
z z
0
1 r(cos i sin )
1
(cos i sin ) r
cos ( r sin ) ( sin .r cos ) d 0 r r
2
dz
2
sin cos i (r sin ) ( .r cos ) d r r 0 2
2
0 i d i 0
2 i
0
3. Jika C lingkaran |z| = 1 dengan arah positif dan f(z) = suatu cabang dari z-1+i = e(-1+i) ln z (| z | > 0, ) 0 < arg z <2π). Hitunglah C f(z)dz
Untuk z pada C berlaku z = e iθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π. 2π
2
f ( z )dz f ( z ( )) z ' ( )d
e(
C
1 i)
0
0
2π
i
e
θ
dθ
0
i(1 e
2π
)
ie
θ
2π 0
ie iθ dθ
Misal: z – z0 = r eiθ yang dapat dibuat dalam bentuk: z – z0 = r (cos θ + i sin θ) z = z0 + r.eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π dz = r.eiθ dθ
i.r.eiθ dθ iθ 0 r.e 2π i dθ
1 dz z z0
2π
0
iθ
2π 0
2πi
Petunjuk 2 z – z0 = r eiθ sehingga (z – z0)n = r n einθ
1
( z z
0)
dz
n
2
i
0
2
0
ire n
r e
i in
d
r n 1e i ( n 1) d
TEOREMA CAUCHY
Jika f analitik dan f ’ kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka Contoh: Jika C keliling lingkaran | z | = 2 maka sama dengan nol. Buktikan! Bukti: f ( z )
f ' ( z )
1 2
z
9
C
f ( z )dz
0
dz C
2
z
9
adalah fungsi yang analitik pada dan di dalam C.
2 z juga kontinu pada dan di dalam C ( z 2 9) 2
menurut teorema Cauchy maka
C
f ( z )dz
0
TEOREMA CAUCHY-GOURSAT
Jika f(z) analitik pada D, himpunan titik-titik di lintasan tertutup tunggal C dan titik interiornya f ( z )dz 0 maka C
Contoh pada hal. 76
Bentuk lain dari Teorema CAUCHY-GOURSAT Jika f fungsi analitik suatu domain terhubung tunggal D maka untuk setiap lintasan tertutup C yang seluruhnya di dalam D berlaku C f ( z )dz 0
Teorema Jika C lintasan tertutup tunggal yang berarah positif dan C j lintasan tertutup tunggal berarah positif di dalam interior C, sedemikian sehingga Int(C j) ∩ Int(Ck) = Ø untuk j ≠ k (j, k = 1, 2, ..., n) dan jika f analitik pada daerah D dan didalam C kecuali di dalam daerah Int(C j), j = 1, 2, ..., n Maka C
f ( z )dz j 1
C
C j f ( z )dz
Teorema ini dikenal sebagai perluasan teorema C-G (CAUCHY-GOURSAT).
Akibat perluasan teorema CAUCHY-GOURSAT, diberikan lintasan tertutup tungal C 1 dan C2 terletak pada Int C1. Jika f analitik pada C1 , C2 dan pada daerah diantara mereka maka sebarang lintasan tertutup tunggal C pada Int C1 mengelilingi C2 berlaku:
C 1
f ( z )dz
C 2
f ( z )dz C
f ( z )dz C
C1 C2
Contoh: Buktikan bahwa jika C suatu lintasan tertutup sepanjang bujur sangkar dengan titik sudut 1 1 1 1 i, i , 1 1 i, dan 2 2 2 2 2 2
dengan arah positif maka
Penyelesaian:
dz C
z
1 2
1
2π i
2
i.
y
1 2
1
1
2
2
i
1
i 2
γ
O
1 2
x
1
1
2
2
i
Fungsi f(z) =
1 z
1
Dibuat lingkaran γ dengan pusat O jari-jari lebih kecil ½ dengan arah positif Dengan mengambil z0 = 0 dan R=
i 2
1 4
dz
2π i
z adalah fungsi analitik kecuali di O, f(z) γ
analitik di C dan γ daerah diantara kedua lintasan menurut perluasan Teorema CAUCHY-GOURSAT
C
dz z
dz
γ
z
2π i
Integral Cauchy Teorema Jika fungsi f analitik di suatu titik, maka f mempunyai derivatif dari semua tingkat yang juga analitik dititik itu. Teorema
Jika f di definisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif dan z 0 titik sebarang dalam C sehingga berlaku. f ( z 0 )
1
f ( z )
2π i
z z 0
dz
Teorema Jika f didefinisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif, maka untuk semua z di dalam fungsi f mempunyai derivatif dari segala tingkat yang juga analitik di dalam C. Untuk setiap n positif bulat nilai turunan f (n)(z) dengan C arah positif berlaku
f ( z 0 ) n
n! 2 i
f ( z )
( z z )
n
C
0
1
dz
Contoh: Tentukan
z C
( z
1)( z
3)
2
dz
C adalah: (a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2 (b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2
Penyelesaian: (a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2 C: lingkaran | z | = 2, dengan fungsi f(z) diambil y C
f ( z )
r=2 O
x
f ( z 0 )
1
z
( z 3)
2
analitik pada C dan di dalam
1 f(zo) = 4 untuk zo= 1
f ( z )
dz 2 i ( z z ) C
0
z
( z 1)( z 3) C
2
dz 2 i. f (1)
2 i 4
1 2
i
(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2 z f ( z ) C: lingkaran | z – 4 | = 2 dengan f(z) diambil
z 1
1 maka f ' ( z ) 2 ( z 1)
y C
O
x
4
z0 = 3 dan f’(3 ) 1! f ' ( z 0 ) 2 i
C
1 4
f ( z )
( z z ) C
2
dz
0
z
( z 1)( z 3)
terdefinisi dan analitik di C
2
dz 2 i. f ' (3)
2 i 4
1 2
i
MASIH KURANG JELAS ?
Lihat latihan soal 5 hal 55
kerjakan tugas berikut, Minggu Depan (Individu) 1. Hitung, z .dz untuk C adalah
C
a. Busur seperempat lingkaran dengan pusat O dari titik (0, -1) sampai (1,0) b. Garis patah dari (0, -1) ke (0,0) dan dari (0,0) ke (1,0). 2. Jika C adalah lintasan dari (-1,0) ke (1,0) kemudian mengelilingi lingkaran z 1 i = 1 dengan arah positif dz kembali ke (1,0). Tentukan
z 1 i
C
3. Tentukan
3
z i {
C
2 z 2
}dz
dengan C adalah lingkaran z =3
4. Tentukan
dz
( z 4)2 z
C
dengan C adalah z 3 =2
5. Tentukan deret Laurent dari
cos . iz
z
4
3. Tentukan
3
z i {
C
2 z 2
}dz
dengan C adalah lingkaran z =3
4. Tentukan
dz
( z 4)2 z
C
dengan C adalah z 3 =2
5. Tentukan deret Laurent dari
cos . iz
z
4
