CAP TULO 6
Funciones cuadráticas y polinomiales 6.1 FUNCIONES CUADRÁTIC CUADRÁTICAS AS Y SUS CARA CARACTER CTERÍS ÍSTICA TICASS 6.2 6. 2 FUNCIONES CUADRÁ CUADRÁTIC TICAS AS:: APLICA APLICACIONES CIONES 6.3 6. 3 FUNCIONES POLINO POLINOMIAL MIALES ES Y RA RACION CIONAL ALES ES Términos y conceptos clave Fórmulas importantes Ejercicios adicionales Evaluación del capítulo Minicaso: Guerras del comercio minorista
ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Aumento de salarios de la NBA
Los salarios promedio de los jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (NBA; National Basketball Association) han aumentado con un índice significativo. En el ejemplo 8 se presenta gráficamente la información salarial real. Dada la información salarial, lo que se desea es determinar una función que se pueda usar para estimar el salario salario promedio promedio del jugador en años futuros. futuros.
Hasta este punto, nos hemos concentrado principalmente en las matemáticas lineales (en contraposición a las no lineales). Sin embargo, aunque las matemáticas lineales son útiles y convenientes, hay varios fenómenos que no se comportan de manera lineal y no se pueden hacer aproximaciones adecuadas utilizando funciones lineales. En este capítulo introduciremos algunas de las funciones no lineales más comunes. El propósito de este capítulo es que se familiarice con los atributos de estas funciones e ilustrar algunas áreas de aplicación.
6.1
Funciones cuadráticas y sus características Una de las funciones no lineales más comunes es la función cuadrática.
Forma matemática Definición: Función cuadrática Una función cuadrática que incluye la variable independiente x y la variable dependiente y tiene la forma general y
f ( x )
ax 2
bx
(6.1)
c
donde a, b y c son constantes, a 0. ¿Puede ver la razón por la que el coeficiente de x 2 no puede ser igual a 0? Si a ϭ 0 y b y c no son cero, la ecuación (6.1) se convierte en y
bx
c
que es una función lineal. En tanto que a 0, b y c pueden tener cualquier valor valor..
Ejemplo 1
¿Cuál de las funciones siguientes es una función cuadrática? a) c) e) e) g) g)
y y y y
f ( f ( x) x) f ( f ( x) x) f ( f ( x) x) f ( f ( x) x)
5 x 2 7 x 2 x 2 10 x 10 x 3 2 x 4 x 2
b) u d) g f ) f ) y 2 x
f ( f (v) f ( f (h) f ( f ( x) x)
10v 10v 2 6 6 6 x 2 40 x 40 x 15
5
SOLUCIÓN a) y ϭ 5 x 2 es una función cuadrática. De acuerdo con la forma general de la ecuación (6.1), a ϭ 5, b ϭ 0 y c ϭ 0. b) u ϭ Ϫ10 v2 Ϫ 6 es una función cuadrática donde, de acuerdo con la ecuación (6.1), a ϭ Ϫ10, b ϭ 0 y c ϭ Ϫ6.
c) y ϭ 7 x Ϫ 2 no es una función cuadrática, ya que no hay término de x 2 o bien a ϭ 0. d ) g ϭ Ϫ6 no es una función cuadrática por la misma razón que en la parte c). e) y ϭ x 2 ϩ 10 x es una función cuadrática donde a ϭ 1, b ϭ 10 y c ϭ 0. f ) y ϭ 6 x 2 Ϫ 40 x ϩ 15 es una función cuadrática donde a ϭ 6, b ϭ Ϫ40 y c ϭ 15. g) y ϭ 2 x 3 ϩ 4 x 2 Ϫ 2 x ϩ 5 no es una función cuadrática porque contiene el término de tercer grado 2 x 3. ❑
NOTA
En el capítulo 4 indicamos la forma general de una función cuadrática como y
f ( x )
a2 x 2
a1 x
a0 ,
a2
0
(4.4)
Debe observar que las ecuaciones (4.4) y (6.1) son equivalentes. Sólo se cambiaron los nombres de los coeficientes.
Ejercicio de práctica ¿Cuál de las funciones siguientes es una función cuadrática? a) y b) y c) s
f ( f ( x) x ) f ( f ( x) x) g (t )
(50 0.001 x ) x 3 x (1 x2 ) [2 t ( t 1)/ t 1)/ t ] (10) (10)
Respuesta: a) y c).
Representación gráfica Se grafican como parábol parábolas as todas las funciones cuadráticas que tienen la forma de la ecuación (6.1). La figura 6.1 ilustra dos parábolas con orientaciones distintas. Se dice que una parábola que “se abre” hacia arriba, como en la figura 6.1 a), es cónc cóncava ava hacia hacia arriba arriba. Se dice que una parábola que “se abre” hacia abajo, como en la figura 6.1 b), es cónca cóncava va hacia abajo.* El punto en que la parábola alcanza su “pico superior” cuando es cóncava hacia arriba o su “pico inferior” cuando es cóncava hacia abajo recibe el nombre de vértice de la parábola. Los puntos A y B son los vértices respectivos de las dos parábolas en la figura 6.1. Eje de simetría B Pará bola
Pará bola
A
Figura 6.1 Parábolas.
a ) Có ncava hacia arriba
b ) Có ncava hacia abajo
* En el capítulo 16 encontrará encontrará un análisis más más detallado de la concavidad de las funciones.
Dada la función cuadrática con la forma de la ecuación (6.1), las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente son b
2a
,
b2
4 ac
(6.2)
4a
donde a, b y c son los parámetros o constantes de la ecuación (6.1). Una parábola es una curva que tiene una simetría particular. En la figura 6.1, la línea vertical punteada que pasa por el vértice se llama eje de simetría. Esta línea separa la parábola en dos mitades simétricas. Si pudiera doblar un lado de la parábola usando el eje de simetría como una bisagra, encontraría que las dos mitades coinciden (es decir, son imágenes reflejadas una de otra). Podemos trazar la gráfica de una función cuadrática utilizando los métodos de “fuerza bruta” que estudiamos en el capítulo 4. No obstante, hay ciertos atributos esenciales de las funciones cuadráticas que nos permiten dibujar la parábola correspondiente con relativa facilidad. Si es posible determinar la concavidad de la parábola, la intersección de y , la intersección (o bien las intersecciones) de x y el vértice , se puede trazar una parábola razonable.
Concavidad Una vez que se ha reconocido una función con la forma cuadrática general de la ecuación (6.1), se puede determinar la concavidad de la parábola por el signo del coeficiente del término de x 2. Si a > 0, la función se grafica como una parábola que es cóncava hacia arriba. Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo .
Ejemplo 2
En el ejemplo 1, se determinó que las funciones siguientes son cuadráticas. a) y c) y
f ( x) f ( x)
5 x 2 x2
b) u d) y
10 x
f (v) f ( x)
10v 2 6 6 x 2 40 x 15
¿Cuál es la concavidad de la parábola que representa cada función cuadrática?
SOLUCIÓN a) La gráfica de y ϭ 5 x 2 es cóncava hacia arriba, ya que a ϭ ϩ5. b) La gráfica de u ϭ Ϫ10v2 Ϫ 6 es cóncava hacia abajo, puesto que a ϭ Ϫ10. c) La gráfica de y ϭ x 2 ϩ 10 x es cóncava hacia arriba, dado que a ϭ ϩ1. d ) La gráfica de y ϭ 6 x 2 Ϫ 40 x ϩ 15 es cóncava hacia arriba porque a ϭ ϩ6.
❑
Intersección de y En el capítulo 2 se definió la intersección de y de una función. Gráficamente, se identificó la intersección de y como el punto en que la línea interseca el eje de las y. De manera algebraica, se identificó el intercepto de y como el valor de y cuando x es igual a 0, o bien f (0). Por tanto, para funciones cuadráticas que tienen la forma y
f ( x )
ax 2
bx
c
f (0) ϭ c, o bien la intersección de y de la parábola correspondiente ocurre en (0, c).
Ejemplo 3
¿Cuáles son las intersecciones de y de las funciones cuadráticas del ejemplo 2?
SOLUCIÓN (0) ϭ 0, o bien la intersección de y ocurre en (0, 0). a) Para y ϭ 5 x 2, f (0) (0) ϭ Ϫ6, o bien el cruce de u se localiza en (0, Ϫ6). b) Para u ϭ Ϫ10v2 Ϫ 6, f (0) 2 (0) ϭ 0, o bien la intersección de y tiene lugar en (0, 0). c) Para y ϭ x ϩ 10 x , f (0) 2 (0) ϭ 15, o bien el cruce de y se sitúa en (0, 15). d ) Para y ϭ 6 x Ϫ 40 x ϩ 15, f (0)
❑
Intersección (o bien intersecciones) de x En el capítulo 2 también se definió la intersec ción de x de una función como el(los) punto(s) en que la gráfica de una línea cruza el eje de las x . De igual modo, la intersección de x representa el(los) valor(es) de x cuando y es igual a 0. En el caso de las funciones cuadráticas, es posible que haya una intersección de x , dos intersecciones de x o ninguna intersección de x . Se muestran estas posibilidades en la figura 6.2. y
y
y
x
x
a ) Una intercecció int ercecció n de x
b ) Dos intercecciones de x
x
Figura 6.2 Posibilidades de intersección de x para funciones cuadráticas.
c ) Ninguna Ningun a intercecció interc ecció n
Hay varias maneras de determinar las intersecciones de x de una función cuadrática si es que existe alguna. Se encuentran las intersecciones de x al determinar las raíces de la ecuación ax 2
bx
0
c
(6.3)
Estudiamos dos métodos para determinar las raíces de la ecuación (6.3) en el capítulo 1. Se ilustran estos métodos en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4
(Determinación de raíces por factorización) Algunas funciones cuadráticas se pueden factorizar (sección A.3, apéndice A) en dos binomios o un binomio y un monomio. Si es posible factorizar la función cuadrática, es fácil determinar las raíces de la ecuación (6.3). Por ejemplo, se pueden determinar los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática
6 x 2
2 x
0
al factorizar primero 2 x de la expresión en el lado izquierdo de la ecuación, lo que da (2 x)(3 x
1)
0
Al establecer cada valor igual a 0, se identifican las raíces de la ecuación como
y
2 x
0
o
x
0
1
0
o
x
1 3
3 x
Por consiguiente, la función cuadrática y ϭ f ( x x ) ϭ 6 x 2 Ϫ 2 x se grafica como una parábola que tiene 1 intersecciones de x en (0, 0) y ( ᎏ3ᎏ, 0). De modo similar, los valores de x que satisfacen la ecuación
6 x
x 2
9
0
se encuentran al factorizar el lado izquierdo de la ecuación, lo que da
( x
3)( x
3)
0
Cuando se establecen los factores iguales a 0, se encuentra que el único valor que satisface la ecuación es x ϭ Ϫ3. La función cuadrática y ϭ f ( x x ) ϭ x 2 ϩ 6 x ϩ 9 se grafica como una parábola con una intersección de x en ( Ϫ3, 0).
Ejemplo 5
(Determinación de raíces usando la fórmula cuadrática) La fórmula cuadrática siempre identificará las raíces reales de una ecuación cuadrática si existe alguna.
Recordatorio de álgebra La fórmula cuadrática, que se usa para identificar las raíces de ecuaciones de forma de la ecuación (6.3), es b
x
b
2
4 ac
2a
Al emplear la fórmula cuadrática, 1) si b2 Ϫ 4ac > 0, tendremos dos raíces reales; 2) si b2 Ϫ 4ac ϭ 0, habrá una raíz real y 3) si b2 Ϫ 4ac < 0, no habrá raíces reales (sección 1.2). Dada la función cuadrática f ( x x ) ϭ x 2 Ϫ x Ϫ 3.75, las intersecciones de x ocurren cuando x 2 Ϫ x Ϫ 3.75 ϭ 0. Al referirnos a la ecuación (6.3), a ϭ 1, b ϭ Ϫ1, c ϭ Ϫ3.75. Al sustituir estos valores en la fórmula cuadrática, se calculan las raíces de la ecuación como ( 1)
x
√ ( 1)2
4(1)( 3.75)
2(1) 1
√1
15
1
2
√ 16 2
o bien, usando el signo más, tenemos x
5 2
2.5
1
4 2
Al utilizar el signo menos da x
3 2
1.5
Por consiguiente, hay dos valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática. La parábola que representa la función cuadrática cruzará el eje de las x en (2.5, 0) y ( Ϫ1.5, 0). ❑
Vértice Se puede determinar la posición del vértice de una parábola mediante la fórmula que usa la ecuación (6.2) o quizás por observación de las intersecciones de x (más adelante en el libro demostrare demostraremos mos un procedimiento muy fácil de localización del vértice). El prospecto de memorizar la ecuación (6.2) no lo inspirará y tal vez debería usarse como un último recurso. Si se encuentra en esa situación, la realidad es que sólo debe recordar la fórmula de la coordenada de x del vértice, Ϫb /2a. Una manera de recordarlo es que es la misma que la mitad frontal de la fórmula cuadrática como se muestra a continuación. b
coordenada de x del vértice
√b
2
4 ac
2a
Una vez que tenga la coordenada de x del vértice, puede encontrar la coordenada de y al sustituir la coordenada de x en la función cuadrática [es decir, f (Ϫb /2a)]. Como consecuencia de la simetría de las parábolas, siempre que una parábola tiene dos intersecciones de x , la coordenada de x del vértice cae a la mitad entre las dos intersecciones de x . Cuando una parábola tiene una intersección de x , el vértice ocurre en la intersección de x . La figura 6.3 ilustra estas relaciones.
f ( x )
f ( x )
coordenada de x del vértice
x 1
x2 x ( x 1 + x 2)
x
x
2
Figura 6.3 Relaciones entre el intercepto de x y el vértice.
a)
Dos intersecciones de x: la coordenada de x del vé rtice se encuentra e ncuentra a la mitad
b)
Una intersecció n de x: la intersecció interse cció n de x es el vértice
Ejemplo 6
Localicemos el vértice de la parábola que representa la función f ( x)
2 x 2
3 x
20
Primero por la fórmula, a ϭ 2, b ϭ 3 y c ϭ Ϫ20. Por tanto, la coordenada de x del vértice será x
b 2a
3 2(2)
3 4
0.75
La coordenada de y del vértice sigue como y
0.75)) f ( 0.75 2( 0.75 0.75))2 3( 0.75) 1.125 2.25 20 21.125
20
Por consiguiente, el vértice se localiza en ( Ϫ0.75, Ϫ21.125). Veamos si las intersecciones de x de esta función son útiles para localizar el vértice. Factorice el lado izquierdo de la función cuadrática: 2 x 2
resultando
(2 x
3 x
20
0
5)( x
4)
0
Establecer los dos factores en cero da como resultado las raíces de x ϭ 2.5 y x ϭ Ϫ4. La coordenada de x del vértice se encuentra a la mitad entre estos dos valores. En una recta numérica, el punto medio en el intervalo [ a1, a2] es (a1 ϩ a2)/2. Por ello, al usar las dos coordenadas de x , la coordenada de x del vértice es 2.5
( 4) 4)
1.5 2
2
Ejemplo 7
0.75
Suponga que queremos trazar la función cuadrática f ( x x ) ϭ 3 x 2 ϩ 6 x Ϫ 45. parábola que repres representa enta esta función función será cóncava cóncava haConcavidad: Puesto que a ϭ 3 > 0, la parábola cia arriba.
(0) ϭ Ϫ45, la intersección de y ocurre en (0, Ϫ45). Intersección de y: Dado que f (0) factorizar la función cuadrática cuadrática da Intersección (o intersecciones) de x: Al factorizar
3 x 2
6 x
45
0
3( x 2
2 x
15)
0
3( x
3)( x
5)
0
Establecer cada factor igual a cero da como resultado las raíces de x ϭ Ϫ5 y x ϭ 3. Por tanto, las intersecciones de x ocurren en (Ϫ5, 0) y (3, 0). Vértice: Ya que hay dos intersecciones de x, la coordenada de x del vértice estará a la mitad entre los dos. Dado que (Ϫ5 ϩ 3)/2 ϭ Ϫ2/2 ϭ Ϫ1, la coordenada del vértice es x ϭ Ϫ1.
La coordenada de y del vértice es f (
1)
3( 1) 1 )2 6( 1) 1) 3 6 45 48
45
Al combinar la información de estos atributos esenciales genera el dibujo de la función que se presenta en la figura 6.4. y
30
f ( x) = 3 x 2 + 6 x – 45
20 10 (–5, 0)
(3, 0) x
–10 – 5
5
10 10
–10 – 20
Figura 6.4 Trazo de f ( x x )
ϭ
(0, –45)
(–1, –48) – 50
3 x 2 ϩ 6 x Ϫ 45.
Ejercicio de práctica Dada f ( x x ) ϭ 2 x 2 Ϫ x Ϫ 15, determine: a) la concavidad, b) la intersección de y, c) la(las) intersección(intersecciones) de x y d ) la posición del vértice. Respuesta: a) hacia arriba, b) (0, Ϫ15), c) (Ϫ2.5, 0) y (3, 0), d ) (0.25, Ϫ15.125).
Ejemplo 8
(Aumento de salarios de la NBA; Escenario de motivación) Como estudiamos al principio de este capítulo, los salarios de los jugadores de la NBA se benefician con la prosperidad de la Asociación Nacional de Baloncesto. La figura 6.5 ilustra el aumento en el salario promedio de los jugadores. Al parecer, es posible hacer una aproximación razonablemente buena de los datos salariales usando una función cuadrática. Para los años de 1981, 1985 y 1988, los salarios promedio de los jugadores eran $190 000, $310 000 y $600 000, respectivamente. respectivamente. Empleando estos puntos de datos, queremos determinar la función cuadrática que se puede utilizar para estimar los salarios promedio de los jugadores con el paso del tiempo. Expresado desde una perspectiva diferente, queremos determinar si hay una parábola que pase a través de estos puntos. Tratamos de determinar la función cuadrática s
f (t)
at 2
bt
c
donde s ϭ salario promedio del jugador, en miles de dólares y t ϭ tiempo medido en años desde 1981
(6.4)
1 200
900
s e r a l ó d e 600 d s e l i m n 300 E
(1988, 600)
(1985, 310)
(1981, 190)
Figura 6.5 Salario promedio
0
por jugador de la NBA. (Datos: Asociación de Jugadores de la NBA)
81
85
89
92 Est.
Temporada que termina
Nótese que redefinimos la medida del tiempo de los años de calendario reales como años desde t ϭ 0, 1982 t ϭ 1, etc.). Para especificar esta función necesitamos valo1981 (es decir, 1981 res para los tres parámetros a, b y c. Con el fin de determinar estos parámetros, necesitamos por lo menos tres puntos de datos. Se traducen los datos del salario para los años de interés en tres puntos de datos (0, 190), (4, 310) y (7, 600). Para determinar los parámetros, sustituimos cada uno de los puntos de datos en la ecuación (6.4). →
→
190
a (0)2
b(0)
c
310
a (4)2
b(4)
c
600
a (7)2
b(7)
c
La simplificación de estas ecuaciones da c
190
16a
4b
c
310
49a
7b
c
600
Ya que el valor de c se determina de inmediato (uno de nuestros puntos de datos era la intersección de s), podemos sustituir c ϭ 190 en las dos otras ecuaciones y despejar a y b. Verifique que los valores resultantes sean a ϭ 9.524 y b ϭ Ϫ8.096. Concluimos que hay una función cuadrática que se satisface por los tres puntos de datos, o de modo similar, hay una parábola que pasa a través de los tres puntos de datos. La función cuadrática de estimación es
s
f (t)
9.524t 2
8.096t
190
❑
1 240 000
713 000 475 000
Figura 6.6 Número de personas que trabajan en casa 35 horas o más por semana. (Fuentes: National Work-At-Home Survey by Link Resources Inc.)
36.
1986
87
88
89 Est.
90 Est.
Trabajo en casa En años recientes, el número de personas que trabajan en casa ha aumentado con rapidez. La figura 6.6 ilustra los datos recopilados en un estudio relacionado con el número de personas que trabajan en casa 35 horas o más por semana. Los datos tienen una apariencia casi cuadrática. Usando los datos para 1986 y 1988 y el valor proyectado para 1990, determine la función cuadrática de estimación n ϭ f (t ), ), donde n es igual al número de personas que trabajan en su hogar
125 estudi estudiant antes es por computadora
120
a r o d a t u p m o c 80 r o p s e t n a i d u t s e e d n 40 ó z a R
37.5 37.5 estudi estudiant antes es por computadora 22 estu estudi dian ante tess por por computadora
Figura 6.7 Razón de estudiantes por computadora (Fuente: Quality Education Data)
0 1983
85
87
89
37.
38.
35 o más horas por semana (expresado (expresado en miles) y t es el tiempo medido en años desde 1986. De acuerdo con esta función, ¿cuál es el número de personas que se espera trabajen en su hogar en 1995? ¿En 2000? Computadoras en escuelas públicas Una encuesta realizada durante 1990 indicó la mayor disponibilidad de computadoras en las aulas de escuelas públicas de Estados Unidos. La figura 6.7 muestra los resultados de esta encuesta. Durante el año académico 1983-1984, el número de estudiantes por computadora era 125. Para el año académico 1986-1987, el número había bajado a 37.5. Para el año académico 1989-1990, el número era 22 estudiantes por computadora. Utilizando estos tres puntos de datos, determine la función cuadrática de estimación n ϭ f (t ), ), donde n representa el número de estudiantes por computadora y t es el tiempo medido en años desde el año académico 1983-1984 (es decir, t ϭ 0 corresponde a 1983-1984). Empleando esta función, estime el número de estudiantes por computadora durante el año académico 1990-1991. ¿A qué conclusión puede llegar con base en este resultado? Industria de los teléfonos celulares en Estados Unidos La industria de la telefonía celular ha crecido con rapidez desde finales de la década de 1980. La figura 6.8 presenta datos relacionados con el número de suscriptores entre 1985 y 1990. Al parecer, es posible hacer una aproximación razonablemente buena del patrón de crecimiento en el número de suscriptores usando una función cuadrática. Utilizando los puntos de datos para 1985, 1985, 1987 y 1989 (200 000, 950 000 y 2 600 000 suscriptores, en forma respectiva), respectiva), determine la función cuadrática cuadrática de estimación n ϭ f ( t ), ), donde n es igual al número de suscriptores ( indicado en millones) y t equivale al tiempo medido en años desde 1985. De acuerdo con esta función de estimación, ¿cuántos suscriptores se esperan para el año 1995?
5
4 s e n o l l i m n 3 e , s e r o t p i r c 2 s u S
1
Figura 6.8 Uso de teléfonos celulares en Estados Unidos. (Fuente: Cellular Tele Telecommunicacommunications Industry Association)
0 1985
86
87
88
89
90
6.2
Funciones cuadráticas: aplicaciones En esta sección presentaremos ejemplos que ilustran algunas áreas de aplicación de las funciones cuadráticas.
Ejemplo 9
(Función cuadrática del ingreso)
Suponga que la función de la demanda de un producto es
o bien
q
f ( p)
q
1 500
50 p
donde q repr representa esenta la cantidad demandada en miles de unidadesy p es el precio en dólares. Se expresa el ingreso total R de la venta de q unidades como el producto de p y q, o R
pq
Puesto que la función de la demanda expresa q como una función de p, es posible expresar el ingreso total como una función del precio, o R
h ( p) p f ( p) p(1 500 1 500 p
50 p) 50 p 2
Debe reconocer esto como una función cuadrática. En la figura 6.9 se traza la función del ingre❑ so total. Observe que el dominio restringido de la función es 0 Յ p Յ 30. ¿Esto tiene sentido? R
12 000
s e r a l 10 000 ó d e d 8 000 s e l i m 6 000 n e o s 4 000 e r g n I 2 000
R
ϭ
1 500 p – 50 p2
p
Figura 6.9 Función cuadrática del ingreso.
$5
10
15 20 25 30 Precio por unidad
35
Ejercicio de práctica Dadas las intersecciones de p en la figura 6.9, ¿qué valor de p maximiza R? ¿Cuántas unidades se demandarían con este precio? ¿Cuál es el valor máximo de R? Respuesta: $15; 750 (miles) unidades; $11.25 millones.
Ejemplo 10 (Funciones cuadráticas de la oferta)
Encuestas de mercado de proveedores de un producto particular han dado lugar a la conclusión de que la función de la oferta tiene una forma aproximadamente cuadrática. Se preguntó a los proveedores qué cantidades estarían dispuestos a surtir con diferentes precios de mercado. Los resultados de la encuesta indicaron que con precios de mercado de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer al mercado eran 112.5, 250.0 y 600.0 (miles) unidades, respectivamente. Podemos determinar la ecuación de la función cuadrática de la oferta al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general
o
q
s
f ( p)
q
s
ap 2
bp
c
El sistema de ecuaciones resultante es
625a
25b
c
112.5
900a
30b
c
250
1 600 a
40b
c
600
que, cuando se resuelve, da valores de a ϭ 0.5, b ϭ 0 y c ϭ Ϫ200. Por tanto, se representa la función cuadrática de la demanda que se muestra en la figura 6.10 por medio de q
f ( p)
s
0.5 p 2
200
q s
q s = 0.5 p 2 – 200
700
s e l i m n e , a d i t r u s d a d i t n a C
(40, 600)
600 500 400 300
(30, 250) 200 (25, 112.5)
100
p
$10 –100
Figura 6.10 Función cuadrática de la oferta.
–200
20
30 Precio
40
50
Se puede estimar la cantidad surtida con cualquier precio de mercado al sustituir el precio en la función de la oferta. Por ejemplo, se estima que la cantidad surtida con un precio de $50 es f (50) (50)
0.5( 0.5(50 50))2 200 0.5( 0.5(2 2 500 500) 200 200
PU NTOS PUNT OS PARA PENSAR Y ANALIZAR Ejemplo 11
1 250 250
200 200
1 050(mile 050(miles) s) unid unidad ades es
❑
¿Cuál es el dominio restringido de la función de la oferta? ¿Es el mismismo que se indica en la figura 6.10? Interprete el significado del intercepto de p. ¿Esta interpretación parece razonable? Interprete el significado de la intersección de qs . ¿Tiene sentido esta interpretación?
(Funciones cuadráticas de la demanda) En relación con el ejercicio anterior, se efectuó una encuesta entre los consumidores para determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto con varios precios y a partir de sus respuestas hicieron estimaciones de la demanda en el mercado con diversos precios de mercado. Después de trazar puntos datos muestra, se concluyó que se estima mejor la relación de la demanda por medio de una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios entre $5 y $45. Tres puntos de datos que se escogieron para “ajustarse” a la curva curva fueron (5, 2 025) (10, 1 600) y (20, 900). Al sustituir estos puntos de datos en la ecuación general de una función cuadrática y resolver el sistema resultante de manera simultánea da la función de la demanda
o
qd
g ( p)
qd
p2
100 p
2 500
donde p equivale al precio de venta en dólares y qd es la demanda expresada en miles de unidades. La figura 6.11 ilustra la función de la demanda. ❑
Ejercicio de práctica ¿Cuántas unidades se espera que se demanden con un precio de $30? Respuesta: 400 (miles) unidades.
Ejemplo 12
(Equilibrio entre la oferta y la demanda) Se puede estimar el equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda mediante las funciones de oferta y demanda en los dos ejemplos pasados al determinar el precio de mercado que iguala la cantidad surtida con la cantidad demandada. Se expresa esta condición de equilibrio por medio de la ecuación q s
qd
(6.5)
Si sustituimos las funciones de la oferta y la demanda de los ejemplos 10 y 11 en la ecuación (6.5), obtenemos 0.5 p 2
p2
200
100 p
2500
qd
2 200 (5, 2 025) 025)
2 000 s e l i m n e , a d a d n a m e d d a d i t n a C
1 800 (10, 1600)
1 600 1 400 1 200 1 000
(20, 900)
800 600
qd = p 2 – 100 p + 2 500 500
400 200 p
Figura 6.11 Función
$5
10
15
cuadrática de la demanda.
20 25 Precio
30
35
40
Se puede reordenar la ecuación de modo que
0.5 p2
100 p
2700
0
(6.6)
Es posible utilizar la fórmula cuadrática para determinar las raíces de la ecuación (6.6) como sigue:
p
(
100)
√( 100)2
4(0.5)(2 700)
2(0.5) 100
√4 600 1
100
67.82 .82
Los dos valores resultantes son p ϭ $32.18 y p ϭ $167.82. La segunda raíz está fuera del dominio relevante de la función de la demanda (5 Յ p Յ 45) y por consiguiente no tiene sentido. Sin embargo, qs ϭ qd cuando el precio de venta es $32.18. La sustitución de p ϭ 32.18 en las funciones de la oferta y la demanda da como resultado valores de qs ϭ 317.77 y qd ϭ 317.55. (El redondeo es la razón de la diferencia entre estos dos valores.) De ahí que el equilibrio de mercado ocurre cuando el precio de mercado es igual a $32.18 y la cantidad de la oferta y la demanda es ❑ de 317 770 unidades. La figura 6.12 ilustra estas dos funciones.
PU NTOS PUNT OS PARA PENSAR Y ANALIZAR
¿Qué sucede con el comportamiento gráfico de f ( p p) y g( p p) que da como resultado dos raíces en la ecuación (6.6)?
q
2 200 2 000 qd = p 2 – 100 p + 2 500 500
1 800 1 600 s e l i 1 400 m n 1 200 e , d a 1 000 d i t n 800 a C
q s = 0.5 p2 – 200
600 400
(32.18, 317.77)
200
Condiciones del equilibrio
p
Figura 6.12 Equilibrio entre
$5
10
15
la oferta y la demanda.
Ejemplo 13
20 25 Precio
30
35
40
(Respuesta a las emergencias: modelo de ubicación) La figura 6.13 ilustra las ubicaciones relativas de tres ciudades a lo largo de una carretera costera. Las tres ciudades son centros turísticos populares y su población aumenta durante los meses de verano. Las tres ciudades creen que sus capacidades de rescate de emergencia y atención médica son inadecuadas durante la temporada vacacional. Han decidido respaldar en forma conjunta una instalación de respuesta a las emergencias que despache camionetas de rescate y paramédicos capacitados. Una pregunta clave se refiere a la ubicación de la instalación.
Ciudad 1 Ciudad 2
Ciudad 3
Figura 6.13 Ubicación relativa de las ciudades.
millas 0
12
20
30
Para seleccionar la ubicación, se ha acordado que la distancia desde la instalación a cada ciudad debe ser tan corta como sea posible con el fin de garantizar tiempos de respuesta rápida. Otra consideración es el tamaño de la población de verano de cada ciudad ya que ésta es una medida de la necesidad potencial de servicio de respuesta a las emergencias. Cuanto más grande es la población de una ciudad, mayor es el deseo de localizar la instalación cerca de la ciudad. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es minimizar la suma de los productos de las poblaciones de verano de cada poblado y el cuadrado de la distancia entre el pueblo y la instalación. Podemos expresar esto en forma más sucinta como 3
p j d j2
Minimice S j
p1d 21
p2d 22
p3d 23
1
donde p j equivale a la población de verano para la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia entre la ciudad j y la instalación de rescate. Si las respectivas respectivas poblaciones de verano verano son 150 000, 100 000 y 20 000 para las tres ciudades, calcule la expresión general para S. (Sugerencia: Suponga que x equivale a la ubicación de la instalación respecto del punto cero de la escala en la figura 6.13 y que x j es igual a la ubicación de la ciudad j. Se calcula la distancia entre la instalación y la ciudad j por medio de la ecuación d j ϭ x Ϫ x j. ).
SOLUCIÓN Con x definida como la ubicación incógnita de la instalación propuesta, se puede expresar S como una función de x . Se define la función como S
f ( x) 3
p j ( x j
x j)2
p1( x
x 1)2
p2( x
x 2)2
p3( x
x 3)2
1
150( x 12)2 100( x 20)2 200( x 30)2 150 x 2 3 600 x 21 600 100 x 2 4 000 x 40 000 200 x 2 12 000 x 180 000 o bien
S
450 x 2
19 600 x
241 600
Nótese que esta función es cuadrática y se graficará como una parábola cóncava hacia arriba. Se minimizará S en el vértice de la parábola, o donde
x
b 2a 19 600 900
(
19 600) 600) 2(450) 21.77
La figura 6.14 presenta un bosquejo de f . De acuerdo con la figura 6.15, la instalación de respuesta a las emergencias se localizará 21.77 millas a la derecha del punto cero o 1.77 millas a la derecha de la ciudad 2.
S
300 000 S = 450 x 2 – 19 600 x + 241 600
200 000
100 000
Figura 6.14 Función del criterio: modelo de ubicación de respuesta a las emergencias emergencias..
(21.77, 28 177.8) x
– 40
20
Ubicación propuesta 21.77 Ciudad: 1 2
Figura 6.15 Ubicación óptima de la instalación de respuesta a las emergencias.
–20
40
3 millas
0
12
20
30
Reconsideraremos esto en el capítulo 17 y lo resolveremos con otro método.
❑
Secci Sec ción ón 6. 6.2 2 Ej Ejer erci cici cios os de seg segui uimi mien ento to 1.
La función de la demanda para un producto particular es f ( p)
q
2.
2 500 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde R es una función de p o R ϭ g( p p). ¿Cuál es la concavidad de la función? ¿Cuál es la intersección de q? ¿A cuánto asciende el ingreso total con un precio de $50? ¿Cuántas unidades se demandarán con este precio? ¿Con qué precio se incrementará al máximo el ingreso total? (Sugerencia: ¿El vértice vértice correspond correspondee a R máximo?) La función de la demanda semanal para un producto particular es q
3.
600 000
f ( p)
2 400
15 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total,donde R es una función de p o R ϭ g( p p). ¿Cuál es la concavidad de la función? ¿Cuál es la intersección de q? ¿A cuánto asciende el ingreso total con un precio de $50? ¿Cuántas unidades se demandarán con este precio? ¿Con qué precio se aumentará al máximo el ingreso total? ( Suvértice corresponde corresponde al al R máximo?) gerencia: ¿El vértice La función de la demanda mensual para un producto particular es q
f ( p)
30 000
25 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde R es una función de p o R ϭ g( p p). ¿Cuál es la concavidad de la función? ¿Cuál es la intersección de q? ¿A cuánto asciende el ingreso total con un precio de $60? ¿Cuántas unidades se demandarán con este precio? ¿Con qué precio se maximizará el ingreso total? 4. En el ejercicio 1 se puede expresar el ingreso total en términos ya sea del precio p o de la demanda q. Vuelva a expresar el ingreso total como una función de q en vez de p. Es decir, determine la función R ϭ h(q). ( Sugerencia: De Desp spej ejee p en la función de la demanda y multiplique esta expresión por q.) 5. En el ejercicio 2, reformule la función del ingreso total como una función q. (Véase el ejercicio 4 para encontrar una pista.) 6. En el ejercicio 3, reformule la función del ingreso total como una función de q. p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la fun7. La función de la oferta qs ϭ f ( p ción son (30, (30, 1 500), (40, (40, 3 600) y (50, (50, 6 300). Determine ine la ecuación ecuación para para la función función de la oferta. oferta. a) Determ observación que pueda acerca del dominio restringido de la función. b) Haga cualquier observación Calculee e interpr interprete ete el el intercepto intercepto de p. c) Calcul cantidad se se surtirá surtirá con un precio precio de de $60? d ) ¿Qué cantidad p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la fun8. La función de la oferta qs ϭ f ( p ción de la oferta oferta son (60, (60, 2 750), (70, (70, 6 000) y (80, 9 750). Determine ine la ecuaci ecuación ón para para la función. función. a) Determ observación que pueda sobre el dominio restringido de la función. b) Haga cualquier observación Calculee e interpret interpretee la intersec intersección ción de de p. c) Calcul cantidad se se surtirá surtirá con un precio precio de de $75? d ) ¿Qué cantidad p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la fun9. La función de la oferta qs ϭ f ( p ción de la oferta son (40, 600), (50, 3 300) y (80, 15 000). Determine ine la ecuaci ecuación ón para para la función. función. a) Determ observación que pueda en cuanto al dominio restringido restringido de la función. b) Haga cualquier observación Calculee e interpret interpretee la intersec intersección ción de de p. c) Calcul cantidad se surtir surtiráá con un precio precio de $100? $100? d ) ¿Qué cantidad p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la 10. La función de la demanda qd ϭ f ( p función son (5, 1 600), (10, 900) y (20, 100). Determine la ecuación para la función de la demanda. ¿Qué cantidad se demandará con un precio de mercado de $25? 11. La función de la demanda qd ϭ f ( p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la función son (10, 2700), 2 700), (20, 1 200) y (30, 300). Determine Determine la ecuación ecuación para la función de la demanda. ¿Qué cantidad se demandará con un precio de mercado de $5? 12. La función de la demanda qd ϭ f ( p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la función son son (10, 3 800), (30, 1 000) y (15, (15, 2 800). Determine Determine la ecuación ecuación para para la función función de la demanda. ¿Qué cantidad se demandará con un precio de mercado de $20? 13. Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son qs ϭ p2 Ϫ 400 y qd ϭ p2 Ϫ 40 p ϩ 2 600. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. 14. Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son qs ϭ 4 p2 Ϫ 500 y qd ϭ 3 p2 Ϫ 20 p mercado. ϩ 1 000. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. 15. En el ejemplo 13, suponga que el criterio es minimizar la suma de los cuadrados de las distancias que separan la instalación de respuesta a las emergencias y las tres ciudades; es decir, 3
d j2
S j
1
Determine ine la la func función ión de de la distan distancia cia S ϭ f ( x ). a) Determ x ). Determine ine la ubicació ubicación n que que minimiza minimiza S. b) Determ
Figura 6.16 Modelo de ubicación para una organización para el cuidado de la salud. 16.
Punto de referencia Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad Ciudad 3 millas
0
10
20
40
50
60
70
Organización para el cuidado de la salud La figura 6.16 ilustra las posiciones relativas de tres ciudades. Una gran organización para el cuidado de la salud (HMO) desea construir una clínica satélite para dar servicio a tres ciudades. La ubicación de la clínica x debe ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad. Podemos expresar el criterio como 3
Minimice S
( x j j
17.
x)2
1
donde x j es la ubicación de la ciudad j y x es la ubicación de la clínica. Determine ine la funció función n de la distan distancia cia S ϭ f ( x ). a) Determ x ). Determine mine la ubicac ubicación ión que que minimiza minimiza S. b) Deter En el ejercicio 16, suponga que se debe seleccionar la ubicación para minimizar la suma de los productos del número de miembros de la HMO en cada ciudad y el cuadrado de la distancia que separa la ciudad y la organización para el cuidado de la salud, o bien 3
p j d j2
Minimice S j
18.
1
donde p j equivale al número de miembros de la HMO en la ciudad j y d j es igual a la distancia que separa la ciudad j de la instalación de la HMO. Si el número de miembros de cada ciudad es 10 000, 6 000 y 18000, 18 000, respectiv respectivamente: amente: Determine ine la funció función n de la distan distancia cia S ϭ f ( x ). a) Determ x ). Determine ine la ubicac ubicación ión que que minimiza minimiza S. b) Determ Asociación Nacional de Baloncesto En el ejemplo 8 de este capítulo se analizaron los salarios con rápido incremento de los jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (NBA). La razón de estos incrementos es atribuible en gran medida a las mayores ganancias de los $1 000
800
s e r a l ó d 600 e d s e n o 400 l l i m n E 200
Figura 6.17 Ingresos anuales de la NBA. (Datos: Asociación Nacional de Baloncesto)
0 1981 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 Est. Temporada que termina
equipos de la NBA. La figura 6.17 indica las ganancias brutas de la NBA entre 1981 y 1990. A partir de la gráfica, parece que se podría hacer una aproximación de la función del ingreso por medio de una función cuadrática. Para la temporada que termina en 1981, los ingresos de la liga fueron de $110 millones. Para los años que terminan de 1986 y 1989, los ingresos fueron $210 millones y $400 millones, respectivamente. Usando estos puntos de datos, determine la función de estimación R ϭ f (t ), ), donde R es igual a los ingresos de la liga (en millones de dólares) y t equivale al número de años medido desde la temporada que termina en 1981 ( t ϭ 0 corresponde a la temporada 1980-1981). Empleando esta función, proyecte las ganancias de la liga en 1995.
20 000
15 000 s o d a e l p m 10 000 e e d o r e m ú N
5 000
Figura 6.18 Número de personas empleadas en la industria de la telefonía celular.
19.
1985
86
87
88
89
90
Empleo en la industria de la telefonía La figura 6.18 muestra el incremento en el empleo en la industria de la telefonía celular. Para los años de 1985, 1987 y 1989, el número de personas empleadas era de 2000, 2 000, 5 000 y 13 500, respectivamente. respectivamente. Utilizando estos puntos de datos, determine la función cuadrática de estimación n ϭ f (t ), ), donde n es el número de personas empleadas y t representa el tiempo medido en años desde 1985. De acuerdo con esta función de estimación, pronostique el número de personas que se espera estén empleadas en 1996.
6.3
Funciones polinomiales y racionales Funciones polinomiales Las funciones lineales y cuadráticas son ejemplos del conjunto general de funciones llamadas funciones polinomiales.
Definición: Función polinomial Una función polinomial de grado n que implica la variable independiente x y la variable dependiente y tiene la forma general y
f ( x )
donde f ( x )
a n x n
an
x n
1
a 1 x
1
(6.7)
a0
a j equivale a una constante para cada j, n es un entero positivo y an 0.
El grado de un polinomio es el exponente del término elevado a la potencia más alta en la expresión. Una función lineal es una función polinomial de primer grado, en tanto que una función cuadrática es una función polinomial de segundo grado. Una función polinomial de tercer grado tal que y
x3
2 x 2
5 x
10
se conoce como una función cúbica. Las funciones cúbicas de la forma y ϭ f ( x x ) tienden a presentar un comportamiento similar al de las que se muestran en la figura 6.19. A pesar de que aprenderemos más acerca de las características gráficas de las funciones en capítulos posteriores, estudiemos un atributo de las funciones polinomiales. f ( x)
f ( x)
x
a)
f ( x)
x
b)
f ( x)
x
c )
x
d)
Figura 6.19 Características gráficas de las funciones cúbicas.
Atributo de la dirección extrema La dirección extrema de una función f se refiere al comportamiento de f ( x x ) conforme x adquiere valores positivos cada vez más grandes y conforme x adquiere valores negativos cada vez más grandes. Para las funciones polinomiales, el comportamiento extremo de f ( x x ) se determina por el comportamiento del término elevado a la más alta
potencia en la función. Esto se basa en la observación de que conforme x es más positivo (o negativo), con el tiempo el término a la más alta potencia contribuirá más al valor de f ( x x ) que todos los otros términos de la función. Para funciones polinomiales de la forma an x n
f ( x )
an
x n
1
a1 x
1
a0
el comportamiento extremo depende del término an x n. La figura 6.20 ilustra las diferentes posibilidades. El signo de an así como si n es non o par son los factores significativos ficativ os al determinar la dirección extrema. Cuando n es pa par r , x n > 0 para x positiva o negativa; negativ a; para este caso el signo de an determina el signo en an x n. Cuando n es im impa par r , n n x > 0 si x > 0 y x < 0 si x < 0. Junto con el signo de an , la dirección extrema de la gráfica de f ( x x ) (n impar) será diferente para x > 0 y x < 0. En la figura 6.19, los casos a) y c) representan funciones cúbicas en que a3 > 0 y los casos b) y d ) representan las funciones donde a3 < 0. f ( x)
f ( x)
f ( x)
x
f ( x)
x
a)
b)
n par an > 0
n par an < 0
x
x
c)
d)
n impar an < 0
n impar an > 0
Figura 6.20 Atributos de la dirección extrema para funciones polinomiales de la forma f ( x x ) ϭ an x n
Ejemplo 14
ϩ
anϪ1 x nϪ1 ϩ · · ·
ϩ
a1 x ϩ a0.
Para las siguientes funciones polinomiales, determine la dirección extrema de f ( x x ) y trace f . a) f ( x)
x5 5
x 4 8
2.5 x 3
b) g ( x)
x4 4
8 x 2
10
SOLUCIÓN a) La dirección extrema para f ( x x ) se determina por el término x 5 /5. Conforme x adquiere valores (positivos y negativos) cada vez más grandes, este término con el paso del tiempo se hace dominante al determinar el valor de f ( x ). Dado que el exponente de este término es impar y que el coeficiente ( –15 ) x ). es positivo, la dirección extrema corresponderá a la situación de la figura 6.20 d ). Los valores positivos de x dan como resultado valores positivos para f ( x ); los valores negativos de x dan como resulta x ); do valores negativos para f ( x ). x ). Si se sustituyen suficientes números de valores de x en f y se trazan los pares ordenados resultantes, el bosquejo de f debe ser similar al de la figura 6.21.
f ( x x)
40 (–3, 29.025)
5 4 f ( x ) = x + x – 2.5 x 3
5
8
30 20 10 x
–10
–5
5
10
–10 –20 – 20
(2.5, –14.65)
–30 – 30 –40 – 40
Figura 6.21
b) La dirección extrema de g( x x ) se determina por el término x 4 /4. Puesto que el grado de este térmi1 no es par y que el coeficiente ( ᎏᎏ) es positivo, la dirección extrema corresponderá a la situación de la 4 figura 6.20a). Tanto los valores positivos como negativos de x dan como resultado valores positivos para f ( x ). Si se identifican y trazan suficientes pares ordenados de valores que satisfacen g, la gráfica x ). de g debe ser parecida a la que se presenta en la figura 6.22.
f x ( x )
40 30 20 10
(0, 10) x
–20 –15 –10 –5 –10
5
–20
4
4
–40 –50 (–4, –54) –54)
15
20
f ( x) = x – 8 x 2 + 10
–30
Figura 6.22
10
(4, 54)
NOTA
Ejemplo 15
El comportamiento de las funciones polinomiales entre las “colas” de la dirección extrema se puede determinar con mayor facilidad que por medio del método de “fuerza bruta” para trazar muchos pares ordenados. Estudiaremos esto con mayor detalle en el capítulo 16.
(Diseño de contenedor) Se construye una caja rectangular abierta cortando esquinas cuadradas de una pieza de cartón de 60 ϫ 60 pulgadas y doblando las pestañas como se muestra en la figura 6.23. El objetivo es seleccionar las dimensiones que maximicen el volumen de la caja. Se encuentra el volumen de la caja al multiplicar el área de la base por la altura de la caja, o bien
60 ” x
x
x
x
60 ”
x
60 – 2 x
60 – 2 x x
x x
Figura 6.23
x
V
75 000
V = 4 x 3 – 240 x 2 + 3 600 x
50 000
25 000
(10, 16 000)
x
– 40
– 20 – 25 000
– 50 000
Figura 6.24 Función de volumen del contenedor.
– 75 000
20
40
x – 2 6 0
V
(60 2 x)(60 2 x)( x) f ( x) 2 (3 600 600 240 240 x 4 x )( x) 3 600 x 240 x 2 4 x 3
En la figura 6.24 se traza esta función cúbica. Se puede apreciar que es posible maximizar el volumen con 16 000 pulgadas cúbicas cuando x ϭ 10. En el capítulo 17 mostraremos cómo se puede re❑ solver este tipo de problema usando el cálculo diferencial.
Ejercicio de práctica ¿Cuáles son las dimensiones que tienen el mayor volumen? ¿Cuál es el dominio restringido para la función del volumen? ¿Cuál es el rango restringido? Respuesta: 40 ϫ 40 ϫ
10 pulgadas; 0
Յ x Յ
30; 0
Յ
V Յ 16 000.
Funciones racionales Como se mencionó en el capítulo 4, las func expresadass como funciones iones racio racionale naless son funciones expresada la razón o el cociente de dos polinomios.
Definición: Función racional Una función racional tiene la forma general f ( x )
g ( x )
a n x n
an
h ( x )
b m x m
bm
x n
1
a 1 x
1
x m
1
b 1 x
1
a0 b0
(6.8)
donde g es la función polinomial de n-ési ésimo mo gra grado do y h es una función polinomial de m-ésimo grado no cero.
Estos son dos ejemplos de funciones racionales f ( x )
g ( x )
Ejemplo 16
x x 2
4
x3
5 x x
10
x
2,
x
0
2
(Rehabilitaciónn de discapacidades (Rehabilitació discapacidades)) Los terapeutas físicos a menudo encuentran que el proceso de rehabilitación se caracteriza por un efecto de ganancias decrecientes. Esto es, la funcionalidad recobrada por lo general aumenta con la extensión de un programa de terapia pero con el paso del tiempo en menores cantidades respecto de los esfuerzos de un programa adicional. Para una discapacidad particular, los terapeutas han desarrollado una función matemática que describe el costo C de un programa de terapia como una función del porcentaje de funcionalidad recuperada, x . La función es una función racional que tiene la forma
f ( x )
C
o bien
5 x
C
120
x
0
x
100
donde C se mide en miles de dólares. Por ejemplo, se estima que el costo de la terapia para lograr una recuperación del 10 por ciento equivale a 5(60)
f (60)
120
60
300
0.454 (miles de dólares)
60
Se estima que el costo de lograr una recuperación del 60 por ciento es igual a
5(60)
f (60)
120
60
300
5.0 (miles (miles de de dólar dólares) es)
60
En la figura 6.25 se presenta un bosquejo de esta función.
❑
C
25
20
C ( x) =
s e r a l ó d e d s e 15 l i m n e , a i p a r e 10 t e d o t s o C
5 x 120 – x
5
x
Figura 6.25 Costo de la rehabilitación.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Porcentaje de funcionalidad recuperada
100
Sección Secc ión 6.3 Eje Ejerci rcicio cioss de segu seguimi imient ento o En los ejercicios 1 a 16, a) determine el grado de la función y b) determine la dirección extrema para la función.
7.
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
9.
f ( x)
1. 3. 5.
11. 13. 15. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
x 3 /4 x x7 x9
❑
7 x x 7 ( x 5
8 x 5 x x 2 1 000
3 x 2
2
5 x
f ( x)
6.
4)/7
x 4 /2 x4 x 6 2 x 5 x 3 10 x x 10 5 x 4 100 5 6 x 12 x 1 2 3 x 10 12 x 9 1 ( x 3 2)4 ( x 2 x 4)3
f ( x) 5 x 8 2 x 3 12. f ( x) 5 ( x 1) f ( x) 14. f ( x) 3 2 f ( x) 16. f ( x) (2 x 4 x) Trace la función f ( x) x 3. Trace la función f ( x) x 5. 6 Trace la función f ( x) x . Trace la función f ( x) x 4. Trace la función f ( x) 5 x 5 10. Trace la función f ( x) x4 8. Trace la función f ( x) 4 x 3 5. Trace la función f ( x) 6. x6 Trace la función racional f ( x) 3 x /(100 x ). Trace la función racional ( x) 1/( x 1). Brote de influenza El Centro para el Control de las Enfermedades informa que un brote de gripe atacará la parte oriental del país. El Centro cree que se puede estimar el número de personas contagiadas por la gripe durante este brote por medio de la función ϭ f (t ) ϭ
0.04t 3 ϩ 2.5
donde n es igual al número de personas que contrajeron la gripe y t equivale al tiempo medido en días a partir de la detección inicial. Se espera que la gripe dure 30 días. Dibuje la función y determine el número de personas que se espera se contagien en el periodo de 30 días. Refiriéndose al ejemplo 15, suponga que la pieza de cartón mide 30 ϫ 60 pulgadas. a) Cree la función del volumen V ϭ f ( x ). b) Trace la función. c) Estime el valor de x que da como resulta x ). do el volumen máximo. d ) Estime el volumen máximo y las dimensiones asociadas de la caja.
TÉRMINOS TÉRMI NOS Y CONCEPTOS C ONCEPTOS CLAVE CLAVE atributo de la dirección dirección extrema 250 cóncava hacia arriba arriba (hacia abajo) 229 eje de simetría 230 función polinomial 250 fórmula cuadrática 232
❑
10.
4. 3
n
28.
8.
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
2.
8
función cuadrática 228 función racional 254 grado del polinomio 250 parábola 229
FÓRMULAS IMPORTANTES y ϭ f ( x x) ϭ ax2 ϩ bx ϩ c
⎛ Ϫb , ⎜ ⎝ 2a
4ac Ϫ b2 ⎞ ⎟ 4a ⎠
a
ϭ0
Función cuadrática
Vértice de la parábola
(6.1) (6.2)
x ϭ
b2 Ϫ 4ac
Ϫb Ϯ
Fórmula cuadrática
2a
f ( x x) ϭ an xn ϩ anϪ1 xnϪ1 ϩ . . . ϩ a1 x ϩ a0 f ( x x) ϭ
❑
g( x x)
ϭ
h( x x)
an xn ϩ anϪ1 xnϪ1 ϩ . . . ϩ a1 x ϩ a0 bm x
m
ϩ
bmϪ1 x
mϪ1
(6.7)
Función polinomial
ϩ . . . ϩ b x ϩ b 1
(6.8)
Función racional
0
EJERCICIOS ADICIONALES SECCIÓN 6.1 En los ejercicios 1 a 12, determine la concavidad de la parábola correspondiente, su intersección de y e intersecciones de x y las coordenadas del vértice... 5 x 2 5 x 2 3 x 100 75 1. f ( x) 2. f ( x) 100 3.
f ( x)
5.
f ( x)
6 x 2 3 x 2
4 x
5
4.
f ( x)
2 x 2
6.
f ( x)
x2
8.
f ( x)
10
4 x
7
16
2
x 2
7.
f ( x)
9.
f ( x) x 2 5 x 10. f ( x) 25 x 2 8 x 12 2 f ( x) ex fx g, e, f , g 0 x 2 / d, d 0 12. f ( x) Determine la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos (0, Ϫ120) y ( Ϫ3, Ϫ56).
1. 13.
10 x
*14. Verifique que las coordenadas del vértice de la parábola son ϭ ax 2 ϩ
5 x
16 x 2
b 4 ac b 2 , 2a 4a
Ϫ20),
(5,
, donde f ( x x )
bx ϩ c. *15. Dada la ecuación cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, muestre (compruebe) que se pueden determinar las raíces (si existe alguna) por medio de la fórmula cuadrática
x
b
√b 2
4 ac
2a
SECCIÓN 6.2 16.
17.
18.
Se arroja una bola hacia arriba al aire. Se puede describir la altura de la bola como una función del tiempo de acuerdo con la función h(t ) ϭ Ϫ16t 2 ϩ 128t , donde h(t ) es la altura medida en pies y t es el tiempo medido en segundos. altura 2 segundos segundos después de haber haber arrojado arrojado la bola? a) ¿Cuál es la altura ¿Cuándo o alcanzará alcanzará la bola bola su altura altura máxima? máxima? b) ¿Cuánd ¿Cuánd ándo o tocará tocará el suel suelo o la bola bola ( h ϭ 0)? c) ¿Cu Se deja caer un objeto desde un puente de 400 pies de altura. Se puede determinar la altura del objeto como una función del tiempo (desde que se soltó) de acuerdo con la función h(t ) ϭ 400 Ϫ 16t 2, donde h(t ) es la altura medida en pies y t es el tiempo medido en segundos. altura del objeto objeto después después de 4 segundos segundos?? a) ¿Cuál es la altura ¿Cuánto o le lleva lleva al objeto objeto tocar tocar el agua? agua? b) ¿Cuánt La función de la demanda para un producto particular es q
f ( p)
480 000
3 000 p
19.
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total R ϭ g( p p). ¿Cuál es el ingreso total cuando p ϭ $100? La función de la demanda para un producto particular es q
20.
21.
1 800
7.5 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total R ϭ h(q). (Nótese que q es la variable independiente.) La función de la oferta qs ϭ f ( p p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que caen en la gráfica de la función de la oferta son (20, 150), (30, 400) y (40, 750). Determine la ecuación de la función de la oferta. La función de la demanda para un producto es qd
22.
f ( p)
p2
70 p
1 225
¿Cuántas tas unidades unidades se demandará demandarán n si se cobra un precio precio de $20? $20? a) ¿Cuán Determine mine la inters intersección ección de qd e interprete su significado. b) Deter Determine mine la(las) la(las) intersección intersección(inter (interseccio secciones) nes) de p e interprétela(s). c) Deter Estimee el domin dominio io restring restringido. ido. d ) Estim La función de la demanda para un producto es qd
p2
90 p
2 025
¿Cuántas tas unidades unidades se demandará demandarán n si se cobra un precio precio de $30? $30? a) ¿Cuán Determine mine la inters intersección ección de qd e interprete su significado. b) Deter Determine mine la(las) la(las) intersección intersección(inter (interseccio secciones) nes) de p e interprétela(s). c) Deter Estimee el domin dominio io restring restringido. ido. d ) Estim 23. Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son qs ϭ p2 Ϫ 100 y qd ϭ p2 Ϫ 40 p ϩ 400. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. 24. Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son qs ϭ p2 Ϫ 525 y qd ϭ p2 Ϫ 70 p ϩ 1 225. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. 25. Una agencia de viajes local organiza un vuelo charter a un centro vacacional bien conocido. El agente cotizó un precio de $300 por persona si 100 personas o menos contratan el vuelo. Por cada persona por encima de las 100, el precio para todos bajará $2.50. Por ejemplo, si 101 personas contratan, cada una pagará $297.50. Suponga que x equivale al número de personas por encima de las 100. Determine ne la función función que indica indica el precio por por persona p como una función de x o p ϭ a) Determi ). f ( x x ). part rtee a), ¿hay alguna restricción sobre el dominio? b) En la pa Formu rmule le la fun funció ción n R ϭ h( x ), que expresa el ingreso total de los boletos R como una c) Fo x ), función de x . ¿Qué ué va valo lorr de de x da como resultado el valor máximo de R? d ) ¿Q e) ¿Cu ¿Cuál ál es el el valor valor máxi máximo mo de R? boleto da como como resulta resultado do el R máximo? f ) ¿Qué precio de boleto 26. Plan de incentivos salariales Un productor de productos perecederos ofrece un incentivo salarial a los conductores de sus camiones. Una ruta de entrega estándar toma un promedio de 20 horas. Se paga a los conductores con una tasa de $10 por hora hasta un máximo de 20 horas (si el viaje requiere 30 horas, sólo se pagan 20 horas a los conductores). Hay un incentivo para los conductores que hagan el viaje en menos de 20 horas. Por cada hora por debajo de las 20, el salario por hora aumenta $1. Suponga que x es igual al número de horas requeridas para completar el viaje.
27.
Determine ine la func función ión w ϭ f ( x ), donde w es el salario por hora en dólares. a) Determ x ), función que indica indica el salario del del conductor por por el viaje como una funb) Determine la función ción de x . ¿Quéé tiem tiempo po de via viaje je x maximizará el salario del conductor por el viaje? c) ¿Qu salario por hora hora se asocia con con este tiempo tiempo de viaje? viaje? d ) ¿Qué salario ¿Cuál ál es el el salari salario o máximo máximo?? e) ¿Cu Análisis del punto de equilibrio no lineal La función del costo total de fabricar un producto es C
28.
f ( x)
100 x 2
1 300 x
1 000
donde x equivale al número de unidades producidas (en miles) y C representa el costo total (en miles de dólares). Cada unidad de producto se vende en $2000. Usando x como se definió antes, formule la función del ingreso total (expresado en miles de dólares) y determine nivel(es) de producción requerido(s) para lograr el punto de equilibrio. a) El(los) nivel(es) nivel de producción producción que da como resultado resultado la utilidad utilidad máxima. máxima. b) El nivel máxima utili utilidad dad esper esperada ada.. c) La máxima Necesidades eléctricas pico en el horario de verano en Estados Unidos La figura 6.26 es una gráfica de las demandas de electricidad pico en el horario de verano en Estados Unidos como lo compiló el North American Electric Reliability Council. Al parecer, las demandas pico en el horario de verano aumentan aproximadamente de manera cuadrática. Si las demandas pico en el horario de verano en 1981, 1985 y 1988 fueron 427, 450 y 522 (miles de megawatts), respectivamente: a) Utilice los tres puntos de datos para determinar la función cuadrática de estimación ), donde D es igual a la demanda pico en el horario de verano en Estados Uni D ϭ f (t ), dos (en miles de megawatts) y t equivale al tiempo medido en años desde 1981. b) Utiliz Utilizando ando la función función de la parte a), estime la demanda pico en el horario de verano en 1995 y en 2000. 600
Figura 6.26 Demanda de electricidad pico en el horario de verano en Estados Unidos.
s t t a w a g e m e d s e l i m 500 n e , o n a r e v e d o i r a r o h 400 l e n e o c i p a d n a m e 300 D
1980
81 81
82
83
84
85
86
87
88
200
o s e t i n d l o é 150 l r i c m e e d d s s a e t e l i j r m a t n e e d ) 100 a r s a i r V b o y c d r o r a p C s r a e 50 t t n e s u a C M (
Figura 6.27
29.
30.
$154.1 $133.4 $112.9 $95.6 $80.7 $69.6 $53.4 $38.7
1983
84
85
86
87
88
89
90
Uso de tarjeta de crédito El uso de tarjetas de crédito del consumidor ha aumentado constantemente. La figura 6.27 ilustra las cuentas por cobrar (cargos) anuales combinadas de MasterCard y Visa para los años 1983-1990. Utilicee los datos para los los años 1984, 1986 1986 y 1989 para determinar determinar una una función cuadrátia) Utilic ), donde C equivale a las cuentas por cobrar anuales en miles de ca de estimación C ϭ f (t ), millones de dólares y t representa el tiempo medido en años desde 1983. datos para los años años 1986 y 1988 1988 para determinar determinar una función función lineal de estimab) Use los datos ción C ϭ g( t ), ), donde C es igual a las cuentas por cobrar anuales en miles de millones de dólares y t es el tiempo medido en años desde 1983. las funcion funciones es de las las partes partes a) y b) para estimar las cuentas por cobrar anuales para el c) Use las año 1995. Uso de tarjeta de crédito, continuación En el ejercicio 29 se desarrollaron dos funciones de estimación (lineal y cuadrática) para las cuentas por cobrar anuales combinadas de MasterCard y Visa. Es interesante determinar cuál de las dos funciones ofrece la mejor estimación de las cuentas por cobrar anuales. Una manera de decidir esto es medir el error asociado con cada función al estimar los 8 puntos de datos de la figura 6.27. Hay diferentes medidas de error. Una medida es la suma de los cuadrados de las desviaciones entre las cuentas por cobrar anuales reales para los 8 años y las cuentas por cobrar anuales pronosticadas por medio de las funciones de estimación. función cuadrá cuadrática tica de estimac estimación ión f (t ) encontrada en el ejercicio 29, determine las a) Dada la función estimaciones de las cuentas por cobrar anuales para cada uno de los años 1983-1990. Para cada año, determine la diferencia entre las cuentas por cobrar reales y las cuentas por cobrar estimadas y eleve al cuadrado la diferencia. Se determina la medida de error asociada con f (t ) al sumar los cuadrados de las diferencias para los 8 años. función lineal de estimación estimación del ejercicio 29, determine determine estimaciones estimaciones de las b) Al utilizar la función cuentas por cobrar anuales para cada uno de los años 1983-1990. Como en la parte a), de-
termine la suma de los cuadrados de las diferencias entre las cuentas por cobrar reales y las estimadas usando g(t ). ). base en los los resultado resultadoss de las las partes partes a) y b), ¿cuál función de estimación tiene el mec) Con base nor error?
SECCIÓN 6.3 En los ejercicios 31 a 38, determine a) el grado de la función y b) la dirección extrema de la función. 31. 33. 35. 37. 39. 40. 41. 42. 43. 44.
❑
f ( x) 8 x 6 4 x 3 f ( x) 4 x 5 5 x 3 2 x 25 x f ( x) x 8 40 000 x 5 7 f ( x) ( x 5 x 6 3 x 5 5 x 4)/100 Dibuje la función f ( x) x 3 /2 10. 5 Trace la función f ( x) x /4 5. Grafique la función f ( x) x 8. Grafique la función f ( x) x 7. Bosqueje la función racional f ( x) 5 x /(200 Dibuje la función racional f ( x) 3/( x 3).
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
32. 34. 36. 38.
x 5 /25 3 x 4 65 7 x 9 x 5 x 3 500 x 7 4 x 5 2 x 3 x x 6 /3 2 x 3 4 x 9
5
x).
EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO 1.
Dada la función cuadrática f ( x )
4 x2 ϩ 5 x
20
determine a) la concavidad, b) la intersección de y, c) la(las) intersección(intersecciones) de Trace la parábo parábola. la. x y d ) las coordenadas del vértice de la parábola asociada. e) Trace La función de la demanda para un producto es 2. q
3.
4.
f ( p)
360 000
45 p
donde q es igual a la cantidad demandada y p es el precio en dólares. Determine ine la la función función cuadrát cuadrática ica del del ingreso ingreso R ϭ g( p a) Determ p). precio se debería debería cobrar cobrar para maximizar maximizar el ingreso ingreso total? total? b) ¿Qué precio Trace ace la func función ión del del ingres ingreso o total. total. c) Tr Prosperidad japonesa En años recientes, la prosperidad en Japón dio como resultado una fuerte inversión inversión de los japoneses en otros países en todo el mundo. La figura 6.28 es una gráfica que muestra la cantidad de dinero invertida invertida en Europa durante la década de 1980. En 1980, 1984 y 1987 las cantidades invertidas fueron $0.6, $2.1 y $6.25 mil millones, respectivamente. Usando estos tres puntos de datos, determine la función cuadrática de estimación I ϭ f (t ), ), donde I es igual a la inversión japonesa (en miles de millones de dólares) y t es el tiempo medido en años desde 1980. Empleando esta función, estime la inversión esperada en el año de 1995. Determine el grado y la dirección extrema de las funciones siguientes. a) f ( x) b) f ( x)
( x 3
4)5 3
3 4
( x )
15 x 7
20 x
5.
Se va a construir una caja rectangular abierta cortando esquinas cuadradas de una lámina de metal de 24 ϫ 16 pulgadas y doblando los lados como se muestra en la figura 6.29. Se desea seleccionar las dimensiones que maximicen el volumen de la caja. Formule la función V ϭ ), donde V representa el volumen de la caja y x el ancho de la esquina cuadrada. f ( x x ),
$15
s e r a l ó d e d 10 s e n o l l i m e d s e l i m n E 5
Figura 6.28 Inversión directa de Japón en Europa. (Fuente: Ministerio de Finanzas, Japón)
0 1980 81
82
83
84
16”
x
x
x
x
24”
x
x
Figura 6.29
x x
x
85
86
87
88
89 Est.
MINICASO GUERRAS DEL COMERCIO MINORISTA Sears, K Mart y Wal-Mart son los tres comercios minoristas líderes en Estados Unidos. Sears, desde hace mucho tiempo líder en dólares de ventas, comenzó a perder su ventaja a mediados de la década de 1980. La figura 6.30 es una gráfica de los ingresos de las ventas de mercancías (en miles de millones de dólares) de los tres minoristas entre 1983 y 1988. Aunque al parecer K Mart se acercaba a Sears, Wal-Mart hacía avances significativos en comparación con Sears y K Mart. Un analista cree que las ventas de Sears y K Mart aumentaban con un índice aproximadamente lineal durante este periodo y que las ventas de Wal-Mart aumentaban de manera cuadrática. S
Figura 6.30 Ingresos de las ventas anuales de Sears, K Mart y Wal-Mart.
s e r a 30 l ó d e d s e 25 n o l l i m e 20 d s e l i m 15 n e s a t n 10 e v e d s 5 o s e r g n I
1983 0
(5, 31.1)
Sears
(5, 27.3)
(1, 27.3) K Mart (1, 22.0)
(5, 16.0) Wal-Mart (4, 11.9)
(1, 7.0) Estimado Reales 84 1
85 2
86 3
87 4
88 5
Año t
1. Usando los puntos de datos para 1984 y 1988, determine la función lineal de esti2. 3. 4. 5. 6. 7.
mación S 1 ϭ f (t ), ), donde S 1 es igual a las ventas anuales de Sears (en miles de millones de dólares) y t es el tiempo medido en años desde 1983. Empleando los puntos de datos para 1984 y 1988, determine la función lineal de estimación correspondiente S 2 ϭ g(t ) para K Mart. Utilizando los puntos de datos para 1984, 1987 y 1988, determine la función cuadrática de estimación S 3 ϭ h(t ) para Wal-Mart. Usando las funciones de estimación S 1, S 2 y S 3, proyecte las ventas anuales para los años 1989-1995. Empleando las funciones f (t ) y g(t ), ), estime el momento en que las ventas anuales de K Mart son iguales que las de Sears. Usando las funciones f (t ), ), g(t ) y h(t ), ), estime los momentos en que las ventas de WalMart equivalen a las de K Mart y Sears. Utilizando una referencia apropiada, observe los datos de las ventas anuales de Sears, K Mart y Wal-Mart y determine el error en las estimaciones asociadas con la parte 4 para 1989 y 1990.
