FUNCIONES CUADRATICAS DEFINICION
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:
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f(x) = x2 f(x) = -x2
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En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función
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polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:
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Gráficas de funciones cuadráticas.
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donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
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La representación gráfica en el plano XY haciendo:
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esto es:
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es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
Resumen
Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a
Explicación: Una función cuadrática es aquella de la forma y = ax2 + bx + c. Si la representamos gráficamente, obtenemos una parábola. Vamos Vamos a ver cómo se calculan los elementos de esa parábola: ORIENTACIÓN: Para saber si una parábola está abierta hacia arriba o hacia abajo, tan solo hay que mirar el término ax2. Si a es positivo, está abierta hacia arriba, y si es negativo, hacia abajo.
VÉRTICE: Es importante calcularlo, ya que es el máximo o el míni mí nimo mo de la pará parábo bola la,, depe depend ndie iend ndoo de su orie orient ntac ació ión. n. Si queremos dibujarla, es un punto clave. Calcularlo es sencillo, ya que la coordenada x es -b/2a. Para hallar al coordenada y, basta con sustituir en la fórmula el valor de la x. Por ejemplo, en la parábola y = x2 - 4x + 5, el vértice estará en:
EJE DE SIMETRÍA: El eje de simetría siempre es vertical, y pasa por el vértice, luego su ecuación será: x = vx es decir, x = -b/2a En el ejemplo anterior, el eje de simetría tiene por ecuación: x = 2
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: En el eje Y la coor coorde dena nada da x es cero cero,, lu lueg ego, o, sust sustit ituy uyen endo do este este valo valorr en la fórmula, hallamos la y: y = a·02 + b·0 + c = c, por lo que el punto de corte es el ( 0 , c ) En el eje X, es la y la que vale cero. Sustituimos en la fórmula y hallamos los valores de x: 0 = ax2 + bx + c Tenemos una ecuación de segundo grado, que puede tener dos soluciones, una o ninguna, es decir, la parábola puede cortar al eje X en dos puntos, en uno o en ninguno:
Estudio Completo de la FUNCIÓN CUADRÁTICA APLICACIONES Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Además las características geométricas de la parábola son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los espejos parabólicos en los faros de los coches y en los telescopios astronómicos. Los radares y
las antenas para radioastronomía y televisión por satélite s atélite presentan también este tipo de diseño.
