0a6cap 5 Funciones Lineales, Aplicaciones

CAP TULO 5

Funciones lineales: aplicaciones 5.1 FUN FUNCI CIONE ONESS LINE LINEAL ALES ES 5.2 5. 2 OTR TROS OS EJEMPLOS EJEMPLOS DE FUNCIONES LINEA LINEALES LES 5.3 5. 3 MODEL MODELOS OS BAS BASADOS ADOS EN EL PUNT PUNTO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO Términos y conceptos clave Fórmulas importantes Ejercicios adicionales Evaluación del capítulo Minicaso: decisión de cambio de automóvil

ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Impuestos federales sobre la renta

En 1990, las tasas federales de impuestos para un matrimonio eran las que se muestran en la tabla. Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que $ 0 $ 32 450 32 450 78 400 78 400 16 2 7 7 0 162 770

Tasa tributaria 15% 28 33 28

 Lo que se desea es una fórmula o un conjunto conjunto de fórmulas que permitan al matrimonio calcular sus impuestos federales una vez que conozcan su ingreso gravable. [Ejemplo 10]

En este capítulo ampliamos el material mostrado en los capítulos 2 y 4 al presentar un análisis de las funciones lineales. Después de revisar la forma y las suposiciones subyacentes en estas funciones, veremos ejemplos que ilustran las aplicaciones de estos modelos en los negocios, la economía y otras áreas.

5.1

Funciones lineales Forma general y suposiciones Definición: Función lineal que incluye una variable independiente Una función lineal f que incluye una variable independiente  x y una variable dependiente y tiene la forma general  y

f  ( x)

a1 x

a0

(5.1)

donde a1 y a0 son constantes, a1  0.

Debe estar familiarizado con la ecuación (5.1) a partir del capítulo anterior. Además debe reconocer ésta como la forma de pendiente-intersección de una ecuación lineal con pendiente a1 e intersección de y que ocurre en (0, a0). Para una función lineal que tiene la

 forma de la ecuación (5.1), un cambio en el valor de y es directamente proporcional proporcional a un cambio en el valor de x. Este índice de cambio es constante y se representa por medio de la pendiente a1.

El ejemplo 1 del capítulo 4 presentó la función lineal del salario  y

ϭ  f ( x) ϭ

3 x

ϩ

25

$350    l   a   n   a   m   e   s   o    i   r   a    l   a    S

300 250  y

200

= 3 x+ 25

150 100 50

Salario  x

base semanal

Figura 5.1 Función lineal del salario.

25

50

75

100

125

150

Unidades vendidas por semana

donde y se define como el salario semanal en dólares y x representa el número de unidades vendidas por semana. En esta función del salario, se paga al vendedor un salario base

de $25 por semana y una comisión de $3 por unidad vendida. El cambio en el salario semanal de la persona es directamente proporcional al cambio en el número de unidades vendidas. Es decir, la pendiente de 3 indica el aumento en el salario semanal asociado con cada unidad adicional vendida. La gráfica de la función del salario aparece en la figura 5.1. Nótese que esta gráfica se encuentra en el primer cuadrante y restringe  x  y  y a valores no negativos. negativ os. ¿Esto tiene sentido?

Definición: Función lineal que incluye dos variables independientes Una función lineal  f que incluye dos variables independientes  x 1 y x 2 y una variable de demanda y tiene la forma general  y

f  ( x1 , x2)

a1 x1

a2 x2

a0

(5.2)

donde a1 y a2 son constantes (no cero) y a0 es una constante. Para una función lineal con la forma de la ecuación (5.2), la variable  y depende con juntamente de los valores de x 1 y x 2. El valor de la variable y en proporción directa cambia en los valores de x 1 y x 2. De modo específico, si  x 1 se incrementa 1 unidad, y aumentará a1 unidades. Y si x 2 aumenta 1 unidad, y cambiará a2 unidades.

Ejemplo 1

Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más específicamente, suponga que la función del salario

es

 y

ϭ  f ( x

 y

ϭ

5 x

,x ) ϩ

3 x

ϩ

25

donde y ϭ salario seman semanal, al, x 1 ϭ número de unidades vendidas del producto 1 y  x 2 ϭ número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del salario sugiere un salario semanal base de $25 ❑ y comisiones por unidad vendida de $5 y $3, respectivamente, para los productos 1 y 2.

Definición: Función lineal de  n variables independientes Una función lineal  f de n variables independientes  x 1, x 2, . . . , x n y una variable dependiente y tiene la forma general o bien

 y

f  ( x1 , x2 , . . . , x )

 y

a1 x1

n

a2 x2

a  x n

n

a0

(5.3)

donde a1, a2, . . . , an son constantes (diferentes de cero) y a0 es una constante.

Funciones lineales del costo Las organizaciones se interesan en los costos porque reflejan los dólares que salen de la organización. Estos flujos de egreso con frecuencia se pagan en salarios, materias primas, provisiones, renta, calefacción, servicios y demás. Como hemos mencionado, los l os contadores y economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes:  costo variable total y costo fijo total . Se deben sumar estos dos componentes para determinar el costo total. La función del costo de posesión y operación del auto patrulla del ejemplo 3 del capítulo 4 es un ejemplo de una función lineal del costo. La función del costo C( x)

0.40 x

18 000

tenía costos variables que variaban con el número de millas conducidas y costos fijos de $18000. El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida y el nivel de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo. En el ejemplo de la patrulla, el costo variable por milla consistía en los costos de operación por milla como la gasolina, aceite, costos de mantenimiento y depreciación. Las funciones lineales de los costos muy a menudo son realistas, aunque ignoran la posibilidad de economías o deseconomías de escala . Esto es, las funciones lineales del costo implican rendim  rendimientos ientos consta constantes ntes a escala escala. Los rendimientos constantes a escala implican que no obstante el número de unidades producidas, el costo variable de cada unidad es el mismo. Esta suposición ignora la posibilidad de que los elementos del proceso de producción (trabajadores o máquinas) pueden ser más eficientes conforme aumenta el número de unidades producidas o que la compra de materias primas en grandes cantidades puede dar como resultado descuentos por cantidad que a su vez pueden reducir el costo variable por unidad producida (éste es un ejemplo de economías de escala). La función del costo de la patrulla supone que los costos operativos por milla serán $0.40 sin que tenga importancia

el número de millas conducidas. Podríamos esperar que más allá del tiempo de vida de un equipo, como la patrulla, éste será menos eficiente y requerirá mayor mantenimiento. Esto se puede traducir en un mayor costo variable por unidad. Algunos modelos de costo reconocen estas “no linealidades” potenciales al utilizar alguna medida del costo variable promedio por unidad. En otras situaciones se podría desarrollar un conjunto de funciones lineales del costo, cada uno más apropiado para ciertos casos dependiendo del nivel de salida seleccionado. El ejemplo siguiente ilustra la formulación de una función lineal del costo.

Ejemplo 2

Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual y como una función del número de unidades fabricadas x . Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 000. También También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son $5.50 y los costos de trabajo por unidad son $1.50 en el departamento de ensamble, $0.75 en el cuarto de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución. La función del costo total tendrá la forma

 y

C( x)  x) costo variable total

costo fijo total

Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función

 y ϭ

ϭ

o

costo total de la materia prima

costo total de la materia prima

ϩ

costo del trabajo (departamento de ensamble)

 y

ϭ

5.50 x

ϩ

ϩ

(1.50 x

ϩ

costo total del trabajo

costo del trabajo (cuarto de acabado)

ϩ

0.75 x

ϩ

1.25 x)

ϩ

ϩ

ϩ

costo fijo total

costo del trabajo (departamento de envíos)

ϩ

costo fijo total

50000

lo que se simplifica como  y

ϭ  f ( x) ϭ

9 x

ϩ

50 000

El 9 representa el costo variable combinado por unidad de $9.00. Es decir, por cada unidad adicional ❑ producida, el costo total aumentará $9.

Funciones lineales del ingreso Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de servicios como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto (o servicio) es Ingreso total

ϭ

(precio)(cantidad vendida)

Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Suponga que una empresa fabrica n productos. Si x i es igual al número de unidades vendidas del producto i y p j es igual al precio del producto j, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de n productos es  R

p1 x1

p2 x2

p3 x3

pn xn

(5.4)

Esta función de ingreso se puede expresar de modo más conciso usando la notación de suma como n

 R

 p j x j  j

(5.5)

1

Quienes ven por primera vez la notación de suma quizá quieran referirse al apéndice B donde encontrarán una introducción de este concepto.

Ejemplo 3

Una agencia local de renta de autos, Hurts Renta-Lemon, trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupan adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. I. T. Hurts, propietario y presidente de Hurts, ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. Hurts también simplificó la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de un automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si  R ϭ ingreso anual en dólares y d ϭ número de días de renta de autos durante el año,  R

ϭ  f (d ) ϭ

9.95d

❑

Funciones lineales de la utilidad La utilidad  de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Expresado en forma de ecuación, Utilidad

ϭ

ingreso total – costo total

Si

Ingreso total ϭ  R( x)

y

Costo total ϭ C( x)

(5.6)

donde x representa la cantidad producida y vendida, entonces la utilidad se define como  P ( x) ϭ  R( x) Ϫ C( x)

(5.7)

Cuando el ingreso total excede al costo total, la utilidad es positiva. En dichos casos la utilidad puede recibir el nombre de ganancia neta o utilidad neta. Cuando el costo total excede el ingreso total, la utilidad es negativa. En tales casos, la utilidad puede llamarse pérdida neta o déficit. Cuando el ingreso y el costo son funciones lineales de la(s) misma(s) variable(s), la función de la utilidad es una función lineal de la(s) misma(s) variable(s).

Ejemplo 4

Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos fijos anuales son $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de  x , el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son 20000 unidades?

SOLUCIÓN Si el producto se vende en $65 por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la función lineal  R( x) ϭ 65 x

De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y costos fijos: C( x) ϭ 20 x ϩ 27.50 x ϩ 100000

que se reduce a la función lineal del costo C( x) ϭ 47.50 x ϩ 100000

Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como  P ( x) ϭ  R( x) Ϫ C( x) ϭ ϭ

65 x Ϫ (47.50 x ϩ 100000) 17.50 x Ϫ 100000

Nótese que P( x   x ) es una función lineal. La pendiente de 17.50 indica que para cada unidad adicional producida y vendida, la utilidad aumenta $17.50. Esto se conoce en los negocios y la economía como utilidad marginal (la suma a la utilidad total de la venta de la unidad siguiente). Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año,  P (20000 (20000))

17.5 17.50 0(20 (20 000) 00) 100000 00000 350000 0000 100000 0000 250000

Ejemplo 5

(Planeación de la agricultura) Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizarán el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla 5.1 indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociados con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con la operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75000. Determine la función de la utilidad para la operación de las tres granjas si x  j ϭ número de acres plantados en la granja j, r  j ϭ ingreso por acre en la granja j, c j ϭ costo por acre en la granja j y F   j ϭ costo fijo en la granja j.

Tabla 5.1

Costo/acre  c j) ( c

Granja

Cosecha

1 2 3

Frijol de soya Maíz Papa

$ 900 1 10 0 750

Ingreso/acre  r j) ( r

Costo fijo  F j) ( F

$1 300 1 65 0 1 200

$150 000 17 5 0 0 0 125 000

SOLUCIÓN El ingreso total proviene de la venta de las cosechas plantadas en cada una de las tres granjas, o  R( x1 , x , x )

r  x

1300 x

r  x

r  x 1650 x

1200 x

Los costos totales son la suma de los de las tres granjas más los costos fijos corporativos, o C( x 1 , x , x )

c  x

900 x 900 x

 F 

c  x

150000 0000 1100 x

c  x  F  75000  x 1100 1100 175000 5000 750 x 750 x 525000  F 

125000 5000

75000 5000

La utilidad total es una función lineal que se calcula como  P ( x 1 , x , x )

R( x , x , x ) C( x , x , x ) 1300 x 1650 x 1200 x (900 x 400 x 550 x 450 x 525000

1100 x

750 x

525000) ❑

Secci Sec ción ón 5.1 Ej Ejer erci cici cios os de de segui seguimi mien ento to 1. 2.

Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes. Suponga que el vendedor del ejemplo 1 (página 185) tiene un objetivo salarial de $800 por semana. Si el producto  B no está disponible una semana, ¿cuántas unidades del producto  A se deben vender para lograr el objetivo salarial? Si el producto  A no está disponible ¿cuántas unidades se deben vender del producto  B?

3.

4. 5.

Suponga en el ejemplo 1 (página 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los dos productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivos, la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales diferentes. ¿Cuáles son y cuándo son válidas? Para el ejemplo 4 (página 189), ¿cuántas unidades se deben producir y vender para a) ganar una utilidad de $1.5 millones, y b) tener una utilidad de cero (equilibrio)? Un fabricante de microcomputadoras produce tres modelos distintos. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo de material por unidad y el costo de trabajo por unidad. Los costos fijos anuales son $25 millones.

Microcomputadora Precio de venta al mayoreo/unidad Costo del material/unidad Costo del trabajo/unidad a)

6.

7.

8.

Modelo 1

Modelo 2

Modelo 3

$500 175 100

$1 000 400 150

$ 1 5 00 7 50 225

Determine la función del ingreso ingreso total conjunto de las ventas de los tres tres modelos diferentes de microcomputadoras. modelos. b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos. Determine ine la función función de la utilidad utilidad de la venta venta de los tres tres modelos. modelos. c) Determ d ) ¿Cuál es la utilida utilidadd anual si la la empresa empresa vende 20 20 000, 40000 40 000 y 10 000 unidades, unidades, respecti respectivavamente, de los tres modelos? Para el ejemplo 5 (página 190), el consejo de directores votó por el siguiente programa de plantación para el próximo año: se plantarán 1000 1 000 acres en la granja granja 1, 1 600 en la granja 2 y 1 550 en la granja 3. ¿Cuáless son las utilidade utilidadess esperadas esperadas del programa? programa? a) ¿Cuále verano provocó que se redujeran los ingresos por acre en 20, 30 y 10 por cienb) Una sequía de verano to, respectivamente, respectivamente, en las tres granjas. ¿Cuál es la utilidad esperada del programa de plantación antes mencionado? Renta de automóviles Una agencia de renta de automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan cuestan $15 000. Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $4 500. El propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación de los autos, aparte de la gasolina, son $0.18 por milla. Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $0.33 por milla (sin incluir la gasolina). a) Formule la función del ingreso total asociado con la renta de uno de los autos por un total de  x millas en un periodo de 3 años. b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de x  millas en 3 años. Formule le la funció funciónn de la utilidad. utilidad. c) Formu gananciaa si se renta el automóvi automóvill por 60 000 millas millas en un periodo periodo de 3 años? d ) ¿Cuál es la gananci millaje se requiere requiere para para tener una utilida utilidadd de cero en 3 años? años? e) ¿Qué millaje Una compañía fabrica un producto que vende en $55 por unidad. Para la empresa cada unidad tiene un costo de $23 en gastos variables y los costos fijos sobre una base anual son $400 000. Si x  es igual al número de unidades producidas y vendidas durante el año: Formule le la función función lineal lineal del costo costo total. total. a) Formu Formule le la función función lineal lineal del ingreso ingreso total. total. b) Formu

c) d ) e) 9.

5.2

Formule la funció Formule funciónn lineal lineal de la utilid utilidad. ad. ¿Cuál es la utilidad utilidad anual si se producen producen y venden venden 10 000 unidades unidades durante durante el año? ¿Qué nivel nivel de producción producción se requiere requiere para obtener obtener una utilidad utilidad de cero? cero? Una gasolinera vende gasolina regular sin plomo y premium sin plomo. El precio por galón que la gasolinera cobra es de $1.299 en el caso de la regular sin plomo y de $1.379 por la premium sin plomo. El costo por galón del proveedor es $1.219 por la regular sin plomo y $1.289 por la premium. Si x 1 equivale al número de galones vendidos de gasolina regular y x 2 el número de galones vendidos de gasolina premium: Formule le la función función del ingreso ingreso de de la venta venta de x 1 y  x 2 galones, respectivamente, de los dos tia) Formu pos de gasolina. Formule ule la función función del costo costo total total de la compra compra de x 1 y x 2 galones, respectivamente, de los dos b) Form tipos. Formule ule la función función de la utilida utilidadd total. total. c) Form cuánto se espera que ascienda ascienda la utilidad utilidad total total si la gasolinera gasolinera vende vende 100 000 galones galones de gad ) ¿A cuánto solina regular sin plomo y 40000 de gasolina premium sin plomo?

Otros ejemplos de funciones lineales En esta sección veremos, por ejemplo, otras aplicaciones de las funciones lineales.

Ejemplo 6

(Depreciación en línea recta) Cuando las organizaciones compran equipo, vehículos, construcciones y otros tipos de “activos de capital”, los contadores por lo regular asignan el costo del artículo al periodo en que se usa el artículo. Para un camión que cuesta $20 000 y que tiene una vida útil de 5 años, los contadores podrían asignar $4 000 por año como un costo de posesión del camión. El costo asignado a cualquier periodo dado recibe el nombre de  depreciación. Los contadores también llevan registros de cada activo mayor y su valor actual de alguna forma o como antes lo hacían en “libros”. Por ejemplo, el valor del camión puede aparecer en cualquier estado contable como $20000 en el momento de la compra, $20000 $20 000 Ϫ $4000 ϭ $16 000 un año después de la fecha de compra y así sucesivamente. También También se puede considerar la depreciación como la cantidad que disminuyó el valor en libros de un activo. Aunque hay una variedad de métodos de depreciación, uno de los más sencillos es la  deprecia ción en línea recta. En este método la tasa de depreciación es constante. Esto implica que el valor en libros disminuye como una función lineal con el paso del tiempo. Si V es igual al valor en libros (en dólares) de un activo y t equivale al tiempo (en años) medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado, V

o

f (t) costo costo de compra compra 20 00 000 4 00 000 t

La gráfica de esta función aparece en la figura 5.2.

deprec depreciac iación ión

V 

$36 000 32 000   s   o   r    b    i    l   e    d   r   o    l   a    V

28 000 24 000 20 000 16 000 12 000

V  = f ( t ) = 20 000 – 4 000 t

8 000 4 000

Figura 5.2 Función del valor en libros basada en la depreciación en línea recta.

t

1

2

3 4 5 6  Años desde la compra

7

8 ❑

Ejercicio de práctica Defina el dominio restringido y el rango de esta función.  Respuesta: dominio ϭ {t Խ0 Յ t Յ 5}; rango ϭ {V Խ0 Յ V Յ 20000}.

Ejemplo 7

(Funciones lineales de la demanda) Como se estudió en el ejemplo 13 del capítulo 4, una función de la demanda es una relación matemática que expresa la manera en que varía la cantidad demandada de un artículo con el precio que se cobra por el mismo. Por lo regular, la relación entre estas dos variables (cantidad demandada y precio por unidad ) es inversa; es decir, un decremento en el precio da como resultado un incremento en la demanda. El propósito de las ventas especiales casi siempre es  q

50000   s   e    d 40000   a    d    i   n   u   n   e 30000   a    d   n   a   m   e 20000    D

(1, 40 000)

(3, 25 000)

10000

 p

Figura 5.3 Función lineal de la demanda.

$1

2

3

4

5

6

7

Precio por unidad

8

9

10

estimular la demanda. Si los supermercados bajaran el precio del filete mignon a $0.75 por libra, tal vez habría un aumento considerable en la demanda de ese artículo. Por otro lado, los incrementos en el precio del producto normalmente dan como resultado un decremento en la demanda. La frase subir los precios para que la gente no compre se refiere a la pérdida de clientes como consecuencia de los aumentos del precio. Si de pronto el precio del filete mignon fuera el triple, con todos los demás factores como los niveles de ingreso manteniéndose constantes, mucha gente que en la actualidad es capaz de comprarlo quedaría fuera del mercado. Por supuesto, hay excepciones para este comportamiento. Es probable que la demanda de productos o servicios que se consideran como necesidades fluctúe menos con cambios moderados en el precio. Los artículos como medicamentos prescritos, servicios médicos y ciertos artículos alimenticios son ejemplos de esta clase de productos. A pesar de que la mayoría de las funciones de la demanda no son lineales, hay situaciones en que la relación de la demanda es una función lineal o se puede aproximar razonablemente bien por medio de una función lineal. La figura 5.3 ilustra una función lineal de la demanda con dos puntos de datos muestra. Aunque la mayor parte de los libros de economía miden el precio en el eje vertical y la cantidad demandada en el eje horizontal, invertiremos la clasificación de los ejes, como se ilustra en la figura 5.3. El motivo de esto es que la mayoría de los consumidores ven la relación de la demanda con la forma Cantidad demandada ϭ  f  (precio por unidad) Es decir, los consumidores responden al precio. Por tanto, se traza la cantidad demandada, la variable dependiente, sobre el eje vertical. Verifique, usando los métodos del capítulo 2, que la función de la demanda de la figura 5.3 tiene la forma q

PU NTOS PUNT OS PARA PENSAR Y ANALIZAR 

Ejemplo 8

ϭ  f ( p) ϭ

47500Ϫ 7500 p

❑

Interprete el significado de la intersección de q en este ejemplo. ¿Parece válido? ¿Cuál es la interpretación de la intersección de  p? ¿Cuál es la interpretación de la pendiente en esta función?

(Funciones lineales de la oferta) Una  función de la oferta relaciona el precio de mercado con las cantidades que los proveedores están dispuestos a producir y vender. Las funciones de la oferta implican que lo que se pone en el mercado depende del precio que la gente está dispuesta a pagar. En contraposición a la naturaleza inversa del precio y la cantidad demandada, la cantidad que los proveedores están dispuestos a ofrecer varía directamente con el precio del mercado. Con todos los otros  factores iguales, cuanto más alto es el precio de mercado, más querrá producir y vender un proveedor; entre más bajo sea el precio que las personas están dispuestas a pagar, menor será el incentivo para producir y vender. Suponga que tiene un barco langostero. Con todos los demás factores iguales, ¿qué incentivo hay para sacar su bote y su tripulación si la langosta se vende al mayoreo en $0.25 por libra? ¿Cuál es el incentivo si se vende al mayoreo en $10 por libra?

Al igual que con las funciones de la demanda, algunas veces se pueden hacer aproximaciones de las funciones de la oferta por medio de funciones lineales. La figura 5.4 ilustra una función de la oferta. Observe que al nombrar el eje vertical q, se sugiere que Cantidad ofrecida ϭ  f  (precio de mercado)  q  S   a    d    i   c   e   r    f   o    d   a    d    i    t   n   a    C

Figura 5.4 Función lineal de la oferta.

PUNTOS PARA PENSAR Y ANALIZAR 

Ejemplo 9

 p ❑

Precio de mercado

¿Qué sugiere la intersección de q en la figura 5.4 sobre la relación entre la oferta y el precio de mercado? Si la curva de la oferta aparece como en la figura 5.5, ¿qué sugiere la intersección de  p acerca de la relación? ¿Qué cantidad cree que es la más representativa de una relación real de la función de la oferta? ¿Por qué?

(Equilibrio de mercado: dos productos competidores) Dadas las funciones de la oferta y la demanda de un producto, se tiene equilibrio de mercado si hay un precio en el que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Este ejemplo demuestra el equilibrio de mercado para dos productos competidores. Suponga que se estimaron las funciones de la demanda y la oferta siguientes para dos productos competidores.  q  S   a    d    i   c   e   r    f   o    d   a    d    i    t   n   a    C

Figura 5.5 Función lineal de la oferta.

 p Precio de mercado

qd

 f  ( p , p )

q

h ( p )

q

 f  ( p , p )

q

h ( p )

100 2 p

3 p

(demanda, producto 1)

4 150

3 p

2 p

(oferta, producto 1) 4 p

(demanda, producto 2)

 p

6

(oferta, producto 2)

donde qd 1 ϭ cantidad demandada del producto 1 qs1 ϭ cantidad ofrecida del producto 1 qd 2 ϭ cantidad demandada del producto 2 qs2 ϭ cantidad ofrecida del producto 2  p1 ϭ precio del producto 1, dólares  p2 ϭ precio del producto 2, dólares

Nótese que las funciones de la demanda y la oferta son lineales. También obsérvese que la cantidad demandada de un producto dado depende no sólo del precio del producto sino también del precio del producto competidor. La cantidad ofrecida de un producto sólo depende del precio de ese producto. Habría equilibrio de mercado en el mercado de estos dos productos si existieran (y se ofrecieran) precios tales que

y

q d1

q s1

q d2

q s2

La oferta y la demanda son iguales para el producto 1 cuando 100 Ϫ 2 p

ϩ

3 p

ϭ

2 p

4 p

Ϫ

3 p

ϭ

104

o bien

Ϫ

4

(5.8)

La oferta y la demanda son iguales para el producto 2 cuando 150 ϩ 4 p

o bien

Ϫ  p ϭ

Ϫ 4 p ϩ

4 p

ϭ

3 p 156

Ϫ

6

(5.9)

Si se resuelven las ecuaciones (5.8) y (5.9) de manera simultánea, se identifican los precios de equilibrio como p1 ϭ 221 y p2 ϭ 260. Este resultado sugiere que si se asignan los precios de los productos en forma correspondiente, las cantidades demandadas y ofrecidas serán iguales para cada ❑ producto.

Ejercicio de práctica Dados los precios antes identificados, calcule qd 1, qs1, qd 2 y qs2. ¿Se satisfacen las condiciones de equilibrio?  Respuesta: qd 1 ϭ qs1 ϭ 438, qd 2 ϭ qs2 ϭ 774; sí.

PUNTOS PARA PENSAR Y ANALIZAR 

Ejemplo 10

Tabla 5.2

Explique la lógica subyacente de las suposiciones de las funciones de la demanda y la oferta. Es decir, ¿por qué el precio de un producto al igual que el precio del producto competidor afectan la demanda del producto? Explique la lógica del signo más del producto “competidor” en cada función de la demanda. ¿Qué se supone al incluir una sola variable de precio en las funciones de la oferta? ¿En qué circunstancias sería apropiado incluir ambos precios en estas funciones?

(Impuestos federales sobre la renta; Escenario de motivación) En 1990, los impuestos federales sobre la renta para un matrimonio que declara en forma conjunta fueron (repitiendo la tabla del Escenario de motivación) los que se proporcionan en la tabla 5.2. Lo que se desea es una función matemática que permita a la pareja calcular su pasivo tributario, dado su ingreso gravable.

Tasas de impuestos federales de 1990 (matrimonio que declara en forma conjunta) Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria $

0 32 450 78 400 16 2 7 7 0

$ 32 450 78 400 162 770

15 28 33 28 0

SOLUCIÓN Suponga que  x ϭ

ingreso gravable, dólares T  ϭ deudas de impuestos federales sobre la renta, dólares

Queremos identificar la función T  ϭ  f ( x)

Primero, debemos comprender la información de la tabla 5.2. Si el ingreso gravable de una pareja es de $0 a $32 450, deben pagar un impuesto federal sobre la renta de 15 por ciento del ingreso gravable. Si su ingreso gravable es mayor que $32 450 pero no mayor que $78 400, deben pagar 15 por ciento sobre los primeros $32 450 y 28 por ciento sobre todos los ingresos por encima de los $32 450. Si su ingreso gravable gravable es mayor que $78 400 pero no mayor que $162770, $162 770, deben pagar 15 por ciento sobre los primeros primeros $32450, 28 por ciento ciento sobre los $45950 $45 950 siguientes siguientes ($78 ($78 400 Ϫ $32450) y 33 por ciento de todos los ingresos por encima de los $78400. Por tanto, la tasa tributaria sólo se aplica al ingreso que cae en el rango correspondiente.

Se expresará la función del impuesto por medio de cuatro funciones componentes diferentes, una por cada uno de los rangos de ingresos gravables indicados en la tabla 5.2. Por ejemplo, si el ingreso gravable es de $0 a $32450, T  ϭ 0.15 x

Si el ingreso gravable gravable es mayor que $32 450 pero no mayor que $78 400, T 

0.15 0.15(3 (32 2 450) 450) 0.28 0.28(( x 32 450) 450) 4867 4867.5 0.2 0.28 x 9086 0.28 x 4 218.5 218.5

Si el ingreso gravable gravable es mayor que $78 400 pero no mayor que $162 770, 0.15(32 450) ϩ 0.28(45 0.28(45 950) ϩ 0.33( x Ϫ 78400) T  ϭ 0.15(32 ϭ ϭ

4 867.5 867.5 ϩ 12866 ϩ 0.33 x 0.33 x Ϫ 8 138.5 138.5

Ϫ

25872

Si el ingreso gravable es mayor que $162 770, T  ϭ 0.15(32 450) ϩ 0.28(45 950) ϩ 0.33(84 370) ϩ 0.28( x Ϫ 162 770) ϭ ϭ

4867.5ϩ 12 866ϩ 27 842.1ϩ 0.28 x 0.28 x

Ϫ

45 575.6

La función completa del pasivo tributario es T

f ( x)

0.15 x

0

x

32450

0.28 x

4 21 218.5

32 45 450

x

78400

0.33 x

8 13 138.5

78 40 400

x

162770

162770

x

0.28 x

La figura 5.6 presenta una gráfica de esta función del pasivo tributario para personas registradas co❑ mo “Matrimonio que declara de manera conjunta” para 1990.

Ejemplo 11

(Impuestos del seguro social) La figura 5.7 es una gráfica de los impuestos del seguro social recaudados en los años 1980-1989. La cantidad cobrada por año parecía aumentar, aproximadamente, con una tasa lineal. En 1980, los impuestos del seguro social cobrados fueron $150000 millones y en 1989, $352000 millones. Usando estos dos puntos de datos, desarrolle una función lineal que estime los impuestos del seguro social cobrados como una función del tiempo desde 1980.

T 

$60 000   x

  2  8   0.   o    i   r   a    t   u    b    i   r    t   o   v    i   s   a    P

50 000

40 000

   5    8.    3    1    8

30 000

  x    3    3   0.

  5  8.   2 4  4

20 000

10 000

0.15 x

 x   2 8  0.

 Ϫ

T  =  f ( x) =

 Ϫ

0.15 x 0.28 x – 4 218.5 218.5 0.33 x – 8138.5 0.28 x

0 32 450 < 78 400 < 162 770 <

 x x x x

32 450 78 400 162 770

 x

$25 000

50 000 75 000 100 000 125 000 150 000 175 000 200 000 Ingreso gravable

Figura 5.6 Pasivo tributario en 1990: matrimonio que declara en forma conjunta.

450

350

  s   e   n   o    l    l    i   m   e    d 250   s   e    l    i   m   n    E

150

Figura 5.7 Impuestos del seguro social. (Datos: Office of Management & Budget, DRI/McGraw-Hill.)

0 1980 81

82

83

84

85

86

87

88

89

SOLUCIÓN Si definimos S ϭ impuestos del seguro social cobrados, miles de millones de dólares t ϭ tiempo medido en años desde 1980

queremos determinar la función lineal que tiene la forma  S

ϭ  f (t) ϭ

a t

ϩ

a

Los dos puntos de datos (t , S ) son (0, 150) y (9, 352). Por observación, el valor de a0 equivale a 150. Al sustituir el punto de datos para 1989 en la forma de pendiente-intersección da 352 ϭ a (9)

ϩ

150

202 ϭ 9 a 22.44 ϭ a

Por consiguiente, la función lineal aproximada es  S ϭ  f (t) ϭ

Ϫ22.44 t ϩ

150

❑

Secci Sec ción ón 5. 5.2 2 Ej Ejer erci cici cios os de seg segui uimi mien ento to 1.

2.

Se compra una maquinaria en $80 000. Los contadores decidieron utilizar un método de depreciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 6 años. Suponiendo que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina, determine la función ). (Suponga que no hay valor de recuperación.) V ϭ f (t ). Depreciación en línea recta con valor de recuperación Muchos activos tienen un valor de reventa, o de recuperación, aun después de haber cumplido los propósitos para los que se compraron originalmente. En tales casos, el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre el costo de compra y el valor de recuperación. El costo asignado a cada periodo es el costo asignado dividido entre la vida útil. En el ejemplo 6, suponga que se estima que el camión (que cuesta $20 000) se puede revender en $2500 $2 500 al cabo de los 5 años. El costo total que se debe asignar al periodo de 5 años es el costo de compra menos el valor de reventa, o $20 000 Ϫ $2500 ϭ $17 500. Utilizando la depreciación en línea recta, la depreciación anual será Costo de compra valor de salvamento salvamento  Vida útil (años)

20000 0000

2500 2500 5

17500 5 3500

La función que expresa el valor en libros V como una función del tiempo t es V

f (t)

20 00 000

3 50 500 t,

0

t

5

3.

4. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

En el ejercicio 1 suponga que la máquina tendrá un valor de recuperación de $7 500 al cabo de 6 años. Determine la función V ϭ f (t ) para esta situación. Se compra una maquinaria en $300 000. Los contadores decidieron usar un método de depreciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 8 años. Si se supone que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina, determine la función V ϭ f (t ). ). Suponga que no hay valor de recuperación. Suponga en el ejercicio 3 que se puede revender revender la máquina después de 8 años en $28 000. Determine la función V ϭ f (t ). ). Una compañía compra autos para el uso de sus ejecutivos. El costo de compra este año es de $25 000. Se conservan los autos 3 años, después de los cuales se espera que tengan un valor de reventa de $5 600. Si los contadores usan la depreciación en línea recta, determine la función que describe el valor de libros V como una función de la antigüedad del automóvil t . Un departamento de policía cree que los índices de arrestos  R son una función del número n de oficiales vestidos de civil asignados. Se define el índice de arrestos como el porcentaje de casos en que se ha hecho arrestos. Se cree que la relación es lineal y que cada oficial adicional asignado al destacamento vestido de civil da como resultado un aumento en el índice de arrestos de 1.20 por ciento. Si la actual fuerza policiaca vestida de civil consiste en 16 oficiales y el índice de arrestos es 36 por ciento: Defi fina na la la func funció iónn R ϭ f (n). a) De Interprete rete el signif significado icado de inters intersección ección de R. b) Interp Determine ine el dominio dominio restrin restringido gido y el rango rango de la la función. función. c) Determ Trac acee la fun funci ción ón.. d ) Tr Dos puntos de una función función lineal de la demanda demanda son ($20, 80000) 80 000) y ($30, 62500). 62 500). Determine ine la función función de la deman demanda da q ϭ f ( p a) Determ  p). Determine ine qué precio precio daría daría como resultado resultado una una demanda de de 50 000 unidades. unidades. b) Determ Interprete rete la pendient pendientee de la función función.. c) Interp Definaa el dominio dominio restringi restringido do y el rango rango de la función función.. d ) Defin e) Grafique f ( p  p).  p, q) en una función lineal de la demanda son ($24, 60 000) y ($32, 44400). Dos puntos ( p 44 400). Determine ine la función función de la deman demanda da q ϭ f ( p a) Determ  p). precio daría daría como resulta resultado do una demanda demanda de de 80 000 unidades? unidades? b) ¿Qué precio c) Interp Interprete rete la pendient pendientee de la función función.. Determine ine el domini dominioo restringid restringidoo y el rango. rango. d ) Determ e) Trace f ( p  p). Dos puntos en una función función lineal de la oferta oferta son ($4.00, 28000) 28 000) y ($6.50, 55000). 55 000). Determ ermine ine la funci función ón de la oferta oferta q ϭ f ( p a) Det  p). precio daría como resultado resultado que que los proveedores proveedores ofrezcan ofrezcan 45000 unidades? b) ¿Qué precio Determine ine e interp interprete rete la intersec intersección ción de de p. c) Determ Dos puntos ( p 180 000).  p, q) en una función lineal de la oferta son ($3.50, 116 000) y ($5.00, 180000). Determ ermine ine la funci función ón de la oferta oferta q ϭ f ( p a) Det  p). precio daría como resultado resultado que los proveedo proveedores res ofrezcan ofrezcan a la venta 135 000 unidades? unidades? b) ¿Qué precio Interprete rete la pendient pendientee de la función función.. c) Interp Determine ine e interpr interprete ete la inters intersecció ecciónn de p. d ) Determ e) Trace f ( p  p). Pensión alimenticia Encuestas recientes indican que el pago de pensiones alimenticias tiende a declinar con el tiempo transcurrido después del decreto de divorcio. Una encuesta usa la función para estimar  p

ϭ  f (t) ϭ

90

Ϫ

12.5t

donde p representa el porcentaje de casos en que se hacen los pagos y t es el tiempo medido en años después del decreto de divorcio. Interp erpret retee la interse intersecci cción ón de p. a) Int Interp erpret retee la pendi pendient ente. e. b) Int porcentajee de casos se paga paga la pensión pensión alimenticia alimenticia después después de 5 años? años? c) ¿En qué porcentaj ). d ) Trace f (t ). 12. Lesiones deportivas Una encuesta entre jugadores de futbol americano de preparatorias y universidades sugiere que está aumentando el número de lesiones que terminan con la carrera de los  jugadores de este deporte. En 1980, el número de dichas lesiones fue 925; en 1988 el número fue 1 235. Si se supone que las lesiones aumentan con un índice lineal: Determ ermine ine la fun funció ciónn n ϭ f (t ), ), donde n es igual al número de lesiones por año y t el tiempo a) Det medido en años desde 1980. Interprete rete el signifi significado cado de la pendiente pendiente de de esta función. función. b) Interp ¿Cuándoo se espera espera que el número número de de dichas dichas lesiones lesiones supere supere la marca marca de 1 500? c) ¿Cuánd 13. Prospecto Prospectoss de matrimonio Datos publicados por el Census Bureau en 1986 indicaron la probabilidad de que con el paso del tiempo se casen las mujeres que nunca se han casado. Los datos indicaron que mientras mayor sea la mujer, menor es la posibilidad del matrimonio. Específicamente, dos estadísticas indicaron indicaron que las mujeres sin casarse nunca a los 45 tienen un 18 por ciento de probabilidad de casarse y las mujeres mayores de 25 años tenían una probabilidad de 78 por ciento. Suponga que un ajuste lineal para estos dos puntos de datos ofrece una aproximación razonable para la función p ϭ f (a), donde p es la probabilidad de matrimonio matrimonio y a la edad de las mujeres nunca casadas. Determ ermine ine la func función ión linea lineall p ϭ f (a). a) Det Interprete prete la la pendiente pendiente y la intersec intersección ción de p. b) Inter ¿Loss valo valores res de la la parte parte b) parecen razonables? c) ¿Lo dominio restr restringido ingido de la función función es 20 Յ a Յ 50, determine f (20), (20), f (30), (30), f (40) (40) y f (50). (50). d ) Si el dominio 14.

Familiar con ingresos de dos personas La figura 5.8 ilustra los resultados de una encuesta relacionada con las familias con ingresos de dos personas. Los datos reflejan el porcentaje de parejas casadas con esposas que trabajan por cuatro años diferentes. El porcentaje parece aumentar aproximadamente con un índice lineal. Usando los puntos de datos para 1960 y 1988: Determine mine la funci función ón line lineal al P ϭ f (t ), ), donde P equiva equivale le al porcentaje de parejas casadas con a) Deter esposas que trabajan y t es el tiempo medido en años desde 1950 (t ϭ 0 corresponde a 1950).

80% 70 60 50 40 30 20 10

Figura 5.8 Porcentaje de parejas casadas con esposas que trabajan.

1960

70

80

90

b) c) 15.

Interprete el signifi Interprete significado cado de la pendiente pendiente y la interse intersección cción de P. ¿Cuándoo se espera ¿Cuánd espera que el porcen porcentaje taje exceda exceda 75 por por ciento? ciento? Gastos de educación La figura 5.9 ilustra los datos por estudiante en escuelas públicas de Estados Unidos en un periodo de tres décadas. Los gastos se expresan en “dólares constantes”, los cuales representan un filtro de salida de los efectos de la inflación. El aumento en los gastos por estudiante parece ocurrir aproximadamente aproximadamente con un índice lineal. En 1958, los gastos por estudiante fueron $1 750; en 1984, los gastos fueron $3812.50. $3 812.50. Utilizando estos estos dos puntos de datos: Determine ine la función función linea lineall de aproximac aproximación ión E ϭ f (t ), ), donde E es igual a los gastos esperaa) Determ dos por estudiante en dólares y t el tiempo medido en años desde 1955 (t ϭ 0 corresponde a 1955). Interprete rete la la pendiente pendiente y la intersecc intersección ión de E . b) Interp acuerdo con esta función, función, ¿cuáles ¿cuáles serán los gastos gastos esperados esperados por estudiant estudiantee en el año c) De acuerdo 2000? $4 500 500

3 000 000

1 500 500

Figura 5.9 Gastos por estudiante en escuelas públicas de Estados Unidos (dólares constantes). (Fuente: U.S. Department of  Education, Educ ation, National Center for Education Statistics) 16.

1955

65

75

86

Walt Disney Company La figura 5.10 muestra las utilidades operativas anuales de Walt Disney Company entre 1986 y 1900 (estimadas). Durante este periodo, las utilidades operativas operativas parecen haber aumentado aproximadamente de manera lineal. En 1987, las utilidades operativas operativas anuales eran $0.762 millones; en 1989, fueron $1.220 millones. Utilizando estos dos puntos de datos: Determ ermine ine la la función función line lineal al P ϭ f (t ), ), donde P equivale a las utilidades operativas anuales y t  a) Det es igual al tiempo medido en años desde 1986. Interprete rete la la pendiente pendiente y la intersecc intersección ión de P. b) Interp esta función, estime las utilidades operativ operativas as anuales anuales para Walt Disney Disney Company en c) Usando esta el año 2000.

$2.0   s   e   r   a    l    ó    d   e    d   s   e   n   o    l    l    i   m   e    d   s   e    l    i   m   n    E

Figura 5.10 Utilidades operativas anuales, Walt Disney Company (Datos: Company Reports, Wertheim Schroder & Co.)

17.

1.5

1.0

0.5

0 1986

87

88

89

90

Depresión económica La figura 5.11 refleja una tendencia general a la baja económica en la ciudad de Nueva York. Esta figura presenta el índice de vacantes en oficinas de Manhattan durante el periodo de 1985 a 1990. El incremento en el índice de vacantes parece aproximadamente lineal. El índice de vacantes en 1986 era 9.4 por ciento; en 1989, el índice era 13.2 por ciento. Usando estos dos puntos de datos: a) Det Determ ermine ine la func función ión linea lineall V  ϭ  f (t ), ), donde V  equivale al índice estimado de vacantes (en porcentaje) y t es igual al tiempo medido en años desde 1985. Interprete rete la la pendiente pendiente y la intersecci intersección ón de V. b) Interp c) Usando esta esta función, función, estime estime el índice índice de de vacantes vacantes en 1995. 1995.

16%

12

8

Figura 5.11 Porcentaje de vacantes en oficinas de Manhattan. (Business Week, 18 de junio de 1990)

0 1985

86

87

88

89

90

18.

Tabla 5.3

Impuestos federales sobre la renta La tabla 5.3 contiene las tasas tributarias federales de 1990 para una sola persona. Determine la función T ϭ f ( x  ), donde T representa el pasivo tributario (en  x ), dólares) para una sola persona y  x expresa el ingreso gravable (en dólares).

Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que

Tasa tributaria

$ 0 19 450 47 050 97 620

15% 28 33 28

19.

*20.

$19 450 47 050 97 620

Equilibrio de mercado Dadas las siguientes funciones de la demanda y la oferta para dos productos competidores, q

ϭ

82 Ϫ 3 p ϩ  p

q

ϭ

15 p Ϫ 5

q

ϭ

92 ϩ 2 p Ϫ 4 p

q

ϭ

32 p Ϫ 6

determine si hay precios que ponen en equilibrio los niveles de oferta y demanda para los dos productos. De ser así, ¿cuáles son las cantidades de equilibrio? Equilibrio de mercado: tres productos competidores Las siguientes son las funciones de la oferta y la demanda para tres productos competidores. q

ϭ

46 Ϫ 10 p ϩ 2 p ϩ 2 p

q

ϭ

12 p Ϫ 16

q

ϭ

30 ϩ 2 p Ϫ 6 p ϩ 4 p

q

ϭ

6 p Ϫ 22

q

ϭ

38 ϩ 2 p ϩ 4 p Ϫ 8 p

q

ϭ

6 p Ϫ 10

Determine si hay precios que ponen en equilibrio los niveles de oferta y demanda para cada uno de los tres productos. En caso de que así sea, ¿cuáles son las cantidades de equilibrio de la oferta y la demanda?

5.3

Modelos basados en el punto de equilibrio En esta sección estudiaremos los  modelos basados en el punto de equilibrio, un conjunto de herramientas de planeación que pueden ser y han sido muy útiles en la administración de organizaciones. Un indicador importante del desempeño de una compañía se refleja por medio de la llamada línea inferior del estado de ingresos de la empresa; es decir, ¡qué utilidad se gana! El análisis del punto de equilibrio equilibrio se enfoca en la rentabilidad rentabilidad de una empresa. empresa. En el análisis del punto de equilibrio, una preocupación importante importante es el nivel de operación o el nivel de producción que daría como resultado una utilidad cero. Este nivel de operaciones o producción se denomina  punto de equilibrio. El punto de equilibrio es un punto de referencia útil en el sentido de que representa el nivel de operación en que el ingreso total equivale al costo total. Cualquier cambio de este nivel operativo dará como resultado ya sea una ganancia o una pérdida. El análisis del punto de equilibrio es particularmente valioso como una herramienta de planeación cuando las empresas contemplan expansiones como la oferta de nuevos productos o servicios. De modo similar, es útil para evaluar las ventajas y desventajas de iniciar un nuevo proyecto empresarial. En cada caso, el análisis permite proyectar la rentabilidad.

Suposiciones En este estudio nos enfocaremos en situaciones en que tanto la función del costo total como la función del ingreso total son lineales. El uso de una función función lineal del costo implica que los costos variables por unidad son constantes o bien se puede suponer que son constantes. La función lineal del costo supone que los costos variables totales dependen del nivel de operación o producción. También También se supone que la porción del costo fijo de la función del costo es constante en el nivel de operación o producción que se considera. La función lineal del ingreso total supone que el precio de venta por unidad es constante. Cuando el precio de venta no es constante, en ocasiones se selecciona el precio promedio para los fines de la conducción del análisis. Otra suposición es que el precio por unidad es mayor que el costo variable por unidad. Piénselo un momento. Si el precio por unidad es menor que el costo variable por unidad, una empresa perderá dinero en cada unidad producida y vendida. Nunca podría haber una condición de punto de equilibrio.

Análisis del punto de equilibrio En el análisis del punto de equilibrio el principal objetivo es determinar el punto de equilibrio. Es posible expresar el punto de equilibrio en términos t érminos de 1) volumen de la producción (o nivel de actividad), 2) total de ventas en dólares, o quizás 3) porcentaje de capacidad de  producción. Por ejemplo, se puede indicar que una empresa tendrá un punto de equilibrio en 100 000 unidades de producción, cuando el total de ventas ventas es de $2.5 millones o cuando la empresa opera a 60 por ciento de su capacidad. Nos enfocaremos sobre todo en la primera de estas tres maneras. Los métodos para efectuar el análisis del punto de equilibrio más bien son sencillos y directos, y hay maneras alternativas de determinar el punto de equilibrio. El planteamiento común es el siguiente:

1. 2. 3.

Formule el costo total como una función de x, el nivel de producción. Formule el ingreso total como una función de x. Puesto que hay condiciones de equilibrio cuando el ingreso total equivale al costo total, establezca C(x) igual a R(x) y despeje x. El valor resultante de x es el nivel ( x  Break Ϫ Even; del punto de equilibrio de la producción y se podría expre expresar sar como x   BE   x   x Punto de equilibrio).

Una alternativa para el paso 3 es elaborar la función de la utilidad P( x  ),  x ) ϭ R( x   x ) Ϫ C ( x   x ), establecer P( x   x ) igual a cero y despejar  x  BE . El ejemplo siguiente ilustra ambos planteamientos.

Ejemplo 12

Un grupo de ingenieros se interesa en formar una compañía para producir detectores de humo. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo materiales, trabajo y costos de comercialización son de $22.50. Los costos fijos asociados con la formación, operación y administración de la compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de $250 000. Estiman que el precio de venta será de $30 por detector. a) Determine el número de detectores de humo que se deben vender para que la empresa tenga el punto de equilibrio en el proyecto. b) Datos mercadotécnicos preliminares indican que la empresa puede esperar vender aproximadamente 30 000 detectores durante la vida del proyecto si los detectores se venden venden en $30 por unidad. Determine las utilidades esperadas con este nivel de producción.

SOLUCIÓN a) Si  x  es

el número de detectores de humo producidos y vendidos, se representa la función del ingreso total mediante la ecuación  R( x)

ϭ

30 x

Se representa la función del costo total por medio de la ecuación C( x)

ϭ

22.50 x

ϩ

250000

.

La condición del punto de equilibrio ocurre cuando el ingreso total equivale al costo total o cuando  R( x)

C( x)

(5.10)

Para este problema, se calcula el punto de equilibrio como 30 x ϭ 22.50 x ϩ 250000

o bien y

7.50 x ϭ 250000

 x

ϭ

33 333.33 333.33 unidades

El planteamiento alternativo consiste en escribir primero la función de la utilidad y se establece igual a 0, como sigue:

 P ( x)

ϭ  R( x) Ϫ ϭ ϭ

C( x)

30 x Ϫ (22.50 x ϩ 250000) 7.50 x Ϫ 250000

Al establecer la función de la utilidad P igual a 0, tenemos 7.50 x

250000 7.50 x  x B

o bien

0 250000 33 333.33 333.33 unidades unidades

Éste es el mismo resultado y nuestra conclusión es que dados los parámetros (valores) de costo y pre33 333.33 unidades para tener el punto de equilibrio. cio supuestos, la empresa debe vender 33333.33

Ejercicio de práctica Verifique que el ingreso total total y el total de costos equivalgan equivalgan ambos a $1 000 000 (tomando en cuenta el redondeo) en el punto de equilibrio.

b)

Con ventas proyectadas de 30000 30 000 detectores de humo,  P (30 (30 000) 00)

7.5( 7.5(3000 30000) 0) 25000 250000 0 225 00 000 250 00 000 25 00 000

Esto sugiere que si todas las estimaciones (precio, costo y demanda) resultan ciertas, la empresa puede esperar perder $25000 $25 000 en el proyecto.

Ejemplo 13

(Planteamiento gráfico) La esencia del análisis del punto de equilibrio se ilustra con gran eficacia por medio del análisis gráfico. La figura 5.12a) ilustra la función del ingreso total, la figura 5.12 b) la función del costo total y la figura 5.12 c) una gráfica compuesta que muestra ambas funciones para el ejemplo 12. Observe en la figura 5.12b) que el componente componente del costo fijo se distingue distingue del componente componente del costo variable. En cualquier nivel de producción  x , la distancia vertical dentro del área sombreada indica el costo fijo de $250 000. A esto se suma el costo variable total, que se representa por medio de la distancia vertical en x dentro del área más clara. La suma de estas dos distancias verticales representa el costo total C ( x  ).  x ). En la figura 5.12c) se grafican grafican las dos funciones en el mismo conjunto conjunto de ejes. El punto en que se intersecan las dos funciones representa el único nivel de salida en que el ingreso total y el costo total son iguales. Éste es el punto de equilibrio. Para todos los puntos a la izquierda del punto de equilibrio, la función del costo C tiene un mayor valor que la función del ingreso  R. En esta región, la distancia vertical que separa las dos funciones representa la pérdida que ocurriría en un nivel de producción dado. A la derecha de  x  ϭ 33333,  R( x  ). Para  x ) es mayor que C ( x   x ) o  R( x   x ) > C ( x   x ).  x ) y C ( x   x ) repreniveles de producción mayores que  x  ϭ 33 333, la distancia vertical vertical que separa R( x  senta la utilidad en un nivel de producción determinado.

 R ( x  x )

C ( x  x)

$1000000 750000 500000

(33 (33 333, 333, 1 000 000 000) 000)    0    0    0    0    5    2   =

$1000000

  x    0

   3   =     )   x    ( 

  x    0

   5 .    2    2   =    )   x   ( 

750000

   R

500000

$1000000 Costo variable total

  C

750000

500000   C

Costo fijo

 x 10 20 30 40 40 50 Unidades vendidas, en miles Función de ingreso total a)

 A

   0    0   0    5 .    0    2    0    2    5   =    2    )   =   x   ( 

250000

250000

250000

  x

Utilidad

Pérdida

  x

    0     3    =     )   x    ( 

   R

 x  x

10 20 30 40 50 Unidades producidas, en miles

 x

10 20 30 40 50  x BE

Unidades producidas y vendidas, en miles c)

Función de costo total b)

Figura 5.12 La figura 5.13 ilustra la función de la utilidad P para este ejemplo. El punto de equilibrio se identifica por medio de la coordenada de  x  y la intersección de  x . Nótese que a la izquierda del punto de equilibrio, la función de la utilidad se encuentra por debajo del eje de las  x , indicando una utilidad negativa o pérdida. A la derecha, P( x   x ) se halla por encima del eje de las  x , expresan❑ do una utilidad positiva.

$ 400000 300000 200000 Punto de equilibrio,  x BE 100000

5 –100000 –200000 –300000

Figura 5.13 Función de la utilidad.

–400000

10

15

20

25

30

 0 0 0  2 5 0  –  .5 0 x  7 5  =  ) Región de utilidad  P ( x  x

35

Región de pérdida Unidades producidas y vendidas, en miles

40

45

50

PU NTOS PUNT OS PARA PENSAR Y ANALIZAR 

Analice cualquier cambio en la figura 5.13 y el punto de equilibrio si a) el precio por unidad sube (baja), b) el costo fijo aumenta (disminuye) y c) el costo variable se incrementa (se reduce).

Una forma alternativa de considerar considerar el punto de equilibrio es en términos de la contri bución a la utilidad . En tanto que el precio por unidad  p exceda el costo variable por unidad v, la venta de cada unidad da como resultado una contribución a la utilidad. La diferencia entre p y v se denomina margen de utilidad. O expresado en forma de ecuación, Margen de utilidad

 p

v, p

v

(5.11)

El margen de utilidad generado de la venta de unidades se debe asignar primero a la recuperación de cualquier costo fijo que exista. Con menores niveles de producción, la  contri bución  buci ón a la utilidad utilidad total (margen de utilidad para todas las unidades vendidas) normalmente es menor que los costos fijos, lo que implica que la utilidad total sea negativa (véase la figura 5.13). Sólo habrá una utilidad positiva cuando la contribución a la utilidad total excede el costo fijo. Como consecuencia de esta orientación (que el margen de utilidad por unidad contribuye primero a recuperar los costos fijos, después de lo cual contribuye a la utilidad), el margen de utilidad a menudo recibe el nombre de  contribución al costo fijo y  a la utilidad . Con esta perspectiva en mente, es posible considerar el cálculo del punto de equilibrio como la determinación del número de unidades por producir y vender con el fin de recuperar los costos fijos. Por consiguiente, el cálculo del punto de equilibrio es así  Costo fijo Nivel de producción del –———————————————— ϭ punto de equilibrio Contribución al costo fijo y a la utilidad

o bien

 x BE

 FC  p v

(5.12)

De hecho, si resuelve problemas de punto de equilibrio estableciendo  R( x   x ) ϭ C ( x   x ) o la utilidad P( x   x ) igual a cero, el cálculo final realizado es el de la ecuación (5.12). Aplicar la ecuación (5.12) al ejemplo 12 da  x BE

250000 30000 30000 250000 7.5 33 333.33 333.33

22. 22.50

Si regresa al ejemplo 12, el cálculo final se reduce al anterior, no obstante el planteamiento que se tome.

Ejemplo 14

convención ención anual para celebrar(Planeación de convención) Una organización profesional planea su conv se en San Francisco. Se están haciendo arreglos con un hotel grande en que tendrá lugar la convención. Se cobrará a los participantes en la convención de 3 días una tarifa sencilla de $500 por persona, la cual incluye tarifa de registro, habitación, todos los alimentos y propinas. El hotel cobra $20000 a la organización por el uso de las instalaciones como salas de juntas, salón de baile e instalaciones recreativas. Además, el hotel cobra $295 por persona por habitación, alimentos y propinas. La organización profesional se apropia de $125 de la tarifa de $500 como cuotas anuales para depositarse en la tesorería de la oficina nacional. Determine el número de participantes necesarios para que la organización recupere el costo fijo de $20000. $20 000.

SOLUCIÓN La contribución al costo fijo y la utilidad es la tarifa de registro (precio) por persona menos el costo por persona que el hotel cobra menos el porcentaje por participante de la organización, o bien cargo del hotel Contribución por participante ϭ tarifa de registro Ϫ por persona ϭ

Ϫ

cuotas anuales

500 Ϫ 295 Ϫ 125 ϭ $80

Por tanto, de acuerdo con la ecuación (5.12), el número de participantes requeridos para recuperar el costo fijo es  x

Ejemplo 15

ϭ

20 000 80

ϭ

250

personas

(La película “Dick Tracy”) En el verano de 1990 se estrenó la película “Dick Tracy”, protagonizada por Warren Beatty y Madonna. Se estimaba que a Walt Disney Company le costaría $45 millones producir y comercializar la película. Se estimaba que la película tendría que tener una cantidad bruta de $100 millones en taquilla para “tener el punto de equilibrio”. ¿Qué porcentaje de las entradas brutas esperaba ganar Disney con esta película?

SOLUCIÓN Este ejemplo requiere un tipo de análisis ligeramente distinto relacionado con el concepto del punto de equilibrio. Si x equivale al porcentaje del bruto de entradas, la información que se nos proporciona es que Disney tendría el punto de equilibrio si las entradas brutas equivalieran a $100 millones. Los costos que necesitan recuperar son los $45 millones en costos de producción y mercadotecnia. Por tanto, para obtener el punto de equilibrio (Entradas brutas)(% de Disney de las entradas brutas) ϭ 45 millones o

100 x

ϭ

45

 x

ϭ

45/100 ϭ 0.45

Por ello, la participación de Disney de las entradas brutas debe ser igual a 45%.

Ejemplo 16

(Decisión de computadora propia contra oficina de servicio) Un grupo numeroso de practicantes médicos tiene 30 médicos de tiempo completo. Actualmente, hay personal de oficina que hace a mano toda la facturación a los pacientes. Dado el alto volumen de facturación, la gerente de la empresa cree que es hora de pasar de la facturación a clientes a mano a la facturación computarizada. Se consideran dos opciones: 1) el grupo de práctica puede comprar su propia computadora y software y hacer la facturación por sí mismo o 2) el grupo puede contratar una oficina de servicio de cómputo que hará la facturación a los pacientes. Los costos de cada alternativa son una función del número de facturas a clientes. La oferta inferior presentada por una oficina de servicio daría como resultado una tarifa anual sencilla de $3 000 más $0.95 por factura procesada. Con la ayuda de un consultor de cómputo, la gerente de la empresa ha estimado que el grupo puede arrendar un pequeño sistema de cómputo empresarial y el software requerido con un costo de $15000 por año. Se estima que los costos variables de llevar la facturación de esta manera son de $0.65 por factura. Si  x equivale facturación anual anual usando una ofieq uivale al número de d e paciente pa cientess por po r año añ o, el costo de facturación cina de servicio se representa por medio de la función S( x)

3 00 000

0.95 x

El costo anual de arrendar un sistema de cómputo y hacer la facturación ellos mismos se expresa mediante la función  L( x)

15 000

0.65 x

Estas dos alternativas tienen el mismo costo cuando S( x)

o bien

3000 3000

L( x)

0.95 x

15000 5000

0.30 x

12000

 x

40000

0.65 x

Por consiguiente, si el número esperado de facturas a pacientes por año es mayor que 40000, la opción de arrendamiento es la menos costosa. Si se espera que el número de facturas a pacientes sea menor que 40000, la opción de la oficina de servicio es menos costosa. La figura 5.14 ilustra las dos funciones del costo.

   )    i  o   c    i   r  v   )   s  e   t o    n e   d  e   i e   m   a  d a    i  n   c   n    i  e   f   r  r   O   (    (  A    x 5    5  x   6   9 . .   0   0 +  +   0   0   0   0   5   0  0 1   3 =   x  )   (     )  =   L   x   (    S

 Alternativa con costo mínimo en un nivel nivel determinado de facturación a clientes

$70000   s   e    t   n   e    i    l   c   a   n    ó    i   c   a   r   u    t   c   a    f   a    l

  e    d    l   a   u   n   a   o    t   s   o    C

60000

50000

40000

30000

20000

10000

Figura 5.14 Funciones del costo de facturación a pacientes: dos opciones.

 x

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 Número de pacientes por año ❑

PUNTOS PARA PENSAR Y ANALIZAR 

Ejemplo 17

Suponga que se espera que el volumen de facturación a clientes sea de 35 000 por año. ¿Qué razones que favorecen la opción de arrendamiento podría presentar a la gerente de la empresa? Analice las venta jas y desv desventa entajas jas potenciales que no son cuantifica cuantificables bles para las opciones de arrendamiento y oficina de servicio.

(Revisión de la facturación a pacientes: tres alternativas) Suponga que en el ejemplo anterior la gerente de la empresa no está convencida de que el procesamiento por computadora sea un medio de facturación a clientes con costo más efectivo. Estima que procesar manualmente las facturas cuesta al grupo de práctica $1.25 por factura, o bien  M ( x) ϭ 1.25 x

Analicemos las implicaciones si se considera este método como una tercera opción. Las tres funciones del costo se grafican juntas en la figura 5.15. Si la estudia con cuidado, debe llegar a las conclusiones siguientes:

1.  Los segmentos de línea gruesos gruesos destacan la opción menos costosa en cualquier nivel de fac2. 3. 4.

turación a pacientes. Si se espera que el número de facturas a pacientes sea de menos de 10 000, el sistema manual es el menos costoso. Si se espera que el número de facturas a pacientes sea de entre entre 10 000 y 40 000, el arreglo con la oficina de servicio es el menos costoso. Si se espera que el número de facturas a pacientes sea de más de 40 000, el arreglo de arrenarrendamiento es el menos costoso.

 Alternativa con costo mínimo en un nivel nivel determinado de facturación a clientes $70 000   s   e    t   n   e    i    l   c   a   n    ó    i   c   a   r   u    t   c   a    f   a    l

  e    d    l   a   u   n   a   o    t   s   o    C

60 000

50 000

40 000

   )   o   c  i   i   r  v   )   s  e   t o   e   n  e   e   d   i  a  m   n  a   i  d  e  n   f  i  c     )     l   r  r   O   (    a  A    (    u   5  x   5  x   6   a  n   0  9 . .   0     M    (   +   0 +   0   x   0   0    2   5   0  0   1  5    1 .   =  3  =   )   x    )   (      )  =   S  (   x   L   x    ( 

  M

30 000

20 000

10 000

 x

10 00 000 20 00 000 30 00 000 40 00 000 50 00 000 60 00 000 70 00 000 80 00 000 Número de facturas a pacientes por año

Figura 5.15 Funciones del costo de facturación a pacientes: tres opciones. ❑

NOTA

Al realizar el análisis del punto de equilibrio para más de dos alternativas (como en este ejemplo), es muy recomendable que trace primero las funciones pertinentes. En ocasiones, la interacción que ocurre entre tales funciones no siempre es la que se podría esperar. Un trazo le mostrará rápidamente la interacción.

Ejemplo 18

(Análisis de múltiples productos) Nuestro análisis en esta sección se ha limitado a situaciones con un solo producto/servicio. En situaciones con múltiples productos, es posible efectuar el anáprod uctos. La mezcla de productos expresa la lisis del equilibrio cuando se conoce una mezcla de productos razón de niveles de producción para diferentes productos. Por ejemplo, una empresa que tiene tres productos podría producir 3 unidades del producto A y 2 unidades del producto B por cada unidad del producto C. En esta situación podríamos decir que 1 unidad de la mezcla del producto consiste en 3 unidades del producto  A, 2 unidades de  B y 1 unidad del producto C. Si es posible definir una mezcla de productos, podemos efectuar un análisis del equilibrio usando esto como la medida de producción.

A

Producto B

$40 30 $10

$30 21 $ 9

Tabla 5.4 Precio/unidad Costo variable/unidad Margen de utilidad

C $55 43 $12

Suponga que estos tres productos tienen los atributos de precio y costo que se presentan en la tabla 5.4. El costo fijo combinado de los tres productos es $240 000. Puesto que 1 unidad de la mezcla de productos consiste en 3 unidades de  A, 2 unidades de  B y 1 unidad de C, la contribución a la utilidad por unidad de la mezcla de productos equivale a

3($10) ϩ 2($9) ϩ 1($12) ϭ $60

Si suponemos que x equivale al número de unidades de la mezcla de productos, la función de la utilidad para los tres productos es  P ( x) ϭ

60 x Ϫ 240000

El punto de equilibrio ocurre cuando P( x   x ) ϭ 0, o 60 x

240000 60 x  x

0 240000 4000

La empresa tendrá el punto de equilibrio cuando produzca produzca 4 000 unidades de la mezcla de productos o 12 000 unidades unidades de A, 8 000 unidades unidades de B y 4 000 unidades unidades de C. ❑

El análisis que se presenta en el ejemplo 18 presume que se conoce una mezcla de productos. Si no se conoce con exactitud la mezcla de productos pero se puede hacer una aproximación de la misma, este análisis aún es valioso como una herramienta de planeación.

Secci Sec ción ón 5. 5.3 3 Ej Ejer erci cici cios os de seg segui uimi mien ento to 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Una empresa vende un producto en $45 por unidad. Los costos variables por unidad son $33 y los costos fijos equivalen a $450 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? Un universitario emprendedor ha decidido comprar un negocio de lavado de automóviles en su localidad. El lavado de automóvil tendrá un precio de $5.50 y se espera que el costo variable por auto (jabón, agua, trabajo, etc.) sea igual a $1.50. ¿Cuántos automóviles se deben lavar para recuperar el precio de compra de $150000? Una organización organización de caridad planea una rifa para recaudar $10 000. Se venderán 500 boletos para la rifa de un auto nuevo. El auto le costará a la organización $15000. $15 000. ¿Cuánto debería costar cada boleto si la organización organización desea una utilidad neta de $10 000? Un editor tiene un costo fijo de $250 000 asociado con la producción de un libro de matemáticas a nivel universitario. La contribución a la utilidad y el costo fijo de la venta de cada libro es $6.25. se deben vender para lograr el punto de equilibrio. a) Determine el número de libros que se la utilidad utilidad esperada esperada si se venden venden 50 000 libros? libros? b) ¿Cuál es la Un equipo de futbol americano de una universidad local ha agregado un nivel nacional al programa del año entrante. El otro equipo acordó jugar el partido por una tarifa garantizada de $100 000 más 25 por ciento de las localidades. Suponga que el precio precio por boleto es de $12. Determine ine el número de boletos boletos que se deben vender vender para recuperar recuperar la garantía garantía de $100 000. a) Determ vender si los funcionarios funcionarios de la universidad universidad desean desean una utilidad b) ¿Cuántos boletos se deben vender neta de $240000 $240 000 del partido? asegura un éxito de taquilla taquilla de 50 000 aficionad aficionados, os, ¿qué precio precio permitiría permitiría a la universiuniversic) Si se asegura dad obtener una utilidad de $240000? nuevo un éxito de taquilla, ¿cuál ¿cuál sería la utilidad total si se cobra cobra el precio de $12? d ) Si se supone de nuevo Decisión de producción o compra Suponga que un fabricante puede comprar un componente necesario a un proveedor con un costo de $9.50 por unidad o invertir invertir $60000 $60 000 en equipo y fabricar el artículo con un costo de $7.00 por unidad. alternativas de proa) Determine la cantidad para la que los costos totales sean iguales para las alternativas ducción o compra. alternativa va del costo mínimo mínimo si se requieren requieren 15 000 unidades? unidades? ¿Cuál es el costo costo b) ¿Cuál es la alternati mínimo? c) Si el número de unidades requeridas del componente se aproxima a la cantidad del punto de equilibrio, ¿qué factores podrían influir en la decisión final de producir o comprar? Una arena cívica local negocia un contrato con una gira de un espectáculo de patinaje sobre hielo, Icey Blades. Icey Blades cobra una tarifa sencilla de $60 000 por noche más 40 por ciento de las localidades. La arena cívica planea cobrar un precio por todos los asientos, $12.50 por boleto. a) Determine el número de boletos que se deben vender cada noche para lograr el punto de equilibrio. vender si la arena cívica tiene el objetivo objetivo de una compensación de b) ¿Cuántos boletos se deben vender $15 000 cada noche? noche? sería la utilidad por por noche si la asistencia asistencia promedio promedio es de 7 500 personas personas por noche? noche? c) ¿Cuál sería En el ejercicio anterior, suponga que la experiencia pasada con este espectáculo indica que la asistencia promedio debe ser igual a 7 500 personas. precio del boleto permitirí permitiríaa a la arena tener el punto de equilibri equilibrio? o? a) ¿Qué precio precio del boleto boleto permitiría permitiría ganar ganar una utilidad utilidad de $15000? b) ¿Qué precio Selección de equipo Una empresa tiene para escoger dos alternativas de equipo para fabricar un producto. Un equipo automatizado cuesta $200 000 y fabrica artículos con un costo de $4 por

unidad. Otro equipo semiautomatizado cuesta $125 000 y fabrica artículos con un costo de $5.25 por unidad. volumen de producción producción hace hace que los dos equipos equipos cuesten lo mismo? mismo? a) ¿Qué volumen producir 80 000 unidades, unidades, ¿cuál ¿cuál es el equipo menos costoso? costoso? ¿Cuál ¿Cuál es el cosb) Si se deben producir to mínimo? 10. Robótica Un fabricante se interesa en introducir la tecnología robótica en uno de sus procesos de producción. El proceso proporcionaría un “ambiente hostil” para los humanos. Para ser más específicos, el proceso incluye la exposición a muy altas temperaturas al igual que a vapores potencialmente tóxicos. Se han identificado dos robots que parecen tener las capacidades para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al parecer no hay diferencias significativas en las velocidades a que trabajan los dos modelos. Un robot cuesta $180 000 y tiene costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación. El segundo tipo de robot cuesta $250 000 con costos estimados de mantenimiento de $80 por hora de operación. nivel de operación (total de horas de producción) los dos robots cuestan lo mismo? a) ¿En qué nivel ¿Cuál es el costo asociado? b) Defina los niveles de operación para los que cada robot sería menos costoso. 11. Desarrollo de software de computadoras Una empresa utiliza una computadora para una variedad de propósitos. Uno de los mayores costos asociados con la computadora es el desarrollo de software (escritura de programas de cómputo). El vicepresidente de sistemas de información quiere evaluar si es menos costoso tener su propio personal de programación o que una empresa de desarrollo de software haga los programas. Los costos de ambas opciones son una función del número de líneas de código (declaraciones del programa). El vicepresidente estima que el desarrollo interno cuesta $1.50 por línea de código. Además, los costos generales anuales de emplear a los programadores son $30 000. El software desarrollado fuera de la empresa cuesta, en promedio, $2.25 por línea de código. a) ¿Cuántas líneas de código por año hacen que los costos de las dos opciones sean iguales? necesidades des de programación programación en 30000 30 000 líneas líneas por año, ¿cuáles ¿cuáles son los cosb) Si se estiman las necesida tos de las dos opciones? part rtee b) ¿cuál sería el costo por línea de código de desarrollo interno para que las dos c) En la pa opciones cuesten lo mismo? 12. Análisis de sensibilidad Ya que los parámetros (constantes) utilizados en los modelos matemáticos con frecuencia son estimaciones, es posible que los resultados reales difieran de los resultados proyectados por el análisis matemático. Para explicar algunas de las incertidumbres que pueden existir en un problema, los analistas a menudo efectúan un análisis de sensibilidad . El ob jetivo es evaluar evaluar cuánto puede variar variar una solución si hay cambios en los parámetros parámetros del modelo. Suponga en el ejercicio anterior que los costos de desarrollo de software por empresas externas podrían en realidad fluctuar en ±20 por ciento de los $2.25 estimados por línea. Vuelvaa a calcular el punto de equilibrio si los costos son 20 por ciento mayores o menores y a) Vuelv compare su resultado con la respuesta original. b) Junto con la incert incertidumbr idumbree en la parte a), los costos variables internos podrían aumentar hasta 30 por ciento a causa de un nuevo contrato sindical. Determine los efectos combinados de estas incertidumbres. 13. Videojuegos Un fabricante líder de videojuegos está por lanzar cuatro juegos nuevos. La tabla siguiente resume los datos de precios y costos. Los costos fijos combinados son $500 000. Un estudio de investigación de mercados pronostica que por cada unidad vendida de Black Hole, se venderán 1.5 unidades de Haley’s Comet, 3 unidades de Astervoids y 4 unidades de PacPerson. a) ¿Cuántas unidades de mezcla de productos se deben vender para tener el punto de equilibrio? traduce esto en ventas ventas de los juegos juegos individuale individuales? s? b) ¿Cómo se traduce

Precio de venta Costo variable/unidad

14.

Black Hole $20 10

1 $40 20

Producto 2 $ 32 24

3 $55 46

Una compañía considera la compra de un equipo que se utilizará en la fabricación de un producto nuevo.. Se consideran cuatro máquinas. La tabla siguiente resume el costo de compra de cada mánuevo quina y el costo variable de producción asociado si se usa la máquina para fabricar el producto nuevo. Determine los rangos de producción en los que cada máquina sería la alternativa menos costosa. Trace las cuatro funciones del costo.

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4

❑

PacPerson $50 20

Una compañía fabrica tres productos que se venden con una razón de 4 unidades del producto 2 y 2 unidades del producto 3 por cada unidad vendida del producto 1. La tabla siguiente resume los datos de precios y costos para los tres productos. Si se estima que los costos fijos son $2.8 millones, determine el número de unidades de cada producto necesario para tener el punto de equilibrio.

Precio de venta Costo variable/unidad

*15.

Juego Astervoids Haley’s Comet $45 $30 15 10

Costo de compra

Costo variable/unidad

$ 80 000 12 0 0 0 0 20 0 0 0 0 30 0 0 0 0

$10.00 9.00 7.50 5.50

TÉRMINOS TÉRMI NOS Y CONCEPTOS C ONCEPTOS CLAVE CLAVE contribución al costo fijo y a la utilidad 210 costo 186 costo fijo 186 costo variable 186 depreciación (en línea recta) 192 economías de escala 186 función de la demanda 193 función de la oferta 194

función lineal 184 ingreso 188 margen (contribución) de utilidad 210 modelos basados en el punto de equilibrio 206 punto de equilibrio 206 utilidad 188 valor de recuper recuperación ación 200

❑

FÓRMULAS IMPORTANTES  y ϭ f ( x  x) ϭ a1 x ϩ a6  y ϭ f ( x  x1, x2) ϭ a1 x1 ϩ a2 x2 ϩ a0  y ϭ f ( x  x1, x2, .. . , xn) ϭ a1 x1 ϩ a2 x2 ϩ . ..

ϩ

an xn ϩ a0

 P( x  x) ϭ R( x  x) Ϫ C( x  x)

Margen de utilidad  R( x  x) ϭ C( x  x)  x BE ϭ  FC  p Ϫ v

❑

}

ϭ p Ϫ

v

 p Ͼ v

Condiciones de punto de equilibrio

(5.1) (5.2) (5.3) (5.7) (5.11) (5.10) (5.12)

EJERCICIOS ADICIONALES SECCIÓN 5.1 1.

2.

Una empresa vende un producto en $80 por unidad. Los costos de la materia prima son de $12.50 por unidad, los costos de trabajo son de $27.50 por unidad y los costos fijos anuales son de $360000. Determine mine la la función función de la la utilidad utilidad P( x  ), donde x equivale al número de unidades vendia) Deter  x ), das. unidades se tendrían tendrían que vender vender para ganar ganar una utilidad utilidad anual de $250 $250 000? b) ¿Cuántas unidades Una empresa fabrica tres productos que vende, respectivamente, en $25, $35 y $50. Los requerimientos de trabajo por cada producto son, respectivamente, 3.0, 4.0 y 3.5 horas por unidad. Suponga que los costos de trabajo son $5 por hora y los costos fijos anuales son $75000. a) Elabore una función del ingreso total conjunto para las ventas de los tres productos. Determine ine una función función del costo total anual anual para la producción producción de los tres productos. productos. b) Determ para los tres productos. productos. ¿Hay algo inusual en esta funfunc) Determine la función de la utilidad para ción? la utilidad utilidad anual anual si se venden venden 20000, 20 000, 10000 10 000 y 30000 30 000 unidades, unidades, respect respectiv ivamenamend ) ¿Cuál es la te, de los tres productos?

SECCIÓN 5.2 3.

4.

Una ciudad compró una máquina nueva de revestimiento de asfalto en $300000. El contralor de la ciudad indica que se depreciará la máquina usando un método de línea recta. Al cabo de 8 años, se venderá la máquina con un valor valor de recuperación esperado de $60 000. Determ ermine ine la func función ión V ϭ f (t ) que expresa el valor en libros V de la máquina como una a) Det función de su antigüedad t . b) ¿Cuál se espera que sea el valor en libros cuando la máquina tenga 6 años de antigüedad? El índice de natalidad en un país particular ha disminuido en años recientes. En 1985, el índice era de 36.4 nacimientos por 1 000 personas. En 1990, el índice de nacimientos era 34.6 nacimientos por 1000 1 000 personas. Suponga que R equivale al índice de natalidad por 1000 1 000 y t es el tiempo medido en años desde 1985 ( t ϭ 0 para 1985).

a) b) c) d ) e) 5.

6.

7.

8.

9.

Determine la funció Determine funciónn lineal lineal de estimaci estimación ón R ϭ f (t ). ). Interprete Interp rete el signif significado icado de la pendiente. pendiente. ¿Cuál es el índice índice de nacimientos nacimientos esperado esperado para el año 2000 si continúa continúa el patrón patrón lineal? lineal? ¿Cuál es el dominio dominio restring restringido ido para esta esta función? función? Trac Tr acee la fun funci ción ón.. Control de armas de fuego Con el índice de crímenes al alza, parece aumentar el número de pistolas en circulación. Una encuesta de 10 años entre los habitantes de una ciudad de Estados Unidos mostró un aumento lineal sorprendente del número de pistolas con el paso del tiempo. En 1980, el número estimado de pistolas era 450 000; en 1990, el número estimado era 580 000. Suponga Suponga que n represe representa nta el número de de pistolas en poder poder de los residente residentess de la ciuci udad y t  representa el tiempo medido en años desde 1980 (t  ϭ 0 para 1980). dos puntos de datos, datos, determine determine la función lineal lineal de estimación estimación n ϭ f (t ). ). a) Usando los dos b) Interp Interprete rete el signif significado icado de la pendiente. pendiente. pistolas continúa continúa en aumento aumento con el mismo índice, índice, ¿cuándo pasará pasará de c) Si el número de pistolas 750 000 el número de pistolas? Drogadicción El Departamento de Salud de un estado estima que el número de consumidores de cocaína en el estado aumenta aproximadamente con un índice lineal. El número estimado de consumidores en 1980 era 950 000; el número estimado en 1985 era 1025 1 025 000. puntos de datos, determine determine la función función lineal de estimación estimación n ϭ f (t ), ), dona) Usando los dos puntos de n representa el número de consumidores y t  el tiempo medido en años (t  ϭ 0 para 1980). Interprete rete el signif significado icado de la pendiente. pendiente. b) Interp consumidores continúa continúa en aumento aumento de acuerdo con esta función, función, ¿cuán¿cuánc) Si el número de consumidores do llegará llegará la cifra a 1250 1 250 000? Alcoholismo Desde 1980 ha habido un aumento aparentemente lineal en el porcentaje de alcoholismo de una población de una ciudad europea. En 1980, el porcentaje era 10.5 por ciento. En 1990, el porcentaje se elevó a 12.9 por ciento. Si p es el porcentaje de la población que es alcohólica y t representa el tiempo en años desde 1980 (t ϭ 0 para 1980): Determine ine la funció funciónn lineal lineal de estimac estimación ión p ϭ f (t ). ). a) Determ Interprete rete el signif significado icado de la pendiente. pendiente. b) Interp c) Pronostique el porcentaje de alcohólicos esperado en 1996 si sigue el patrón de crecimiento. ¿Cuál es el pronóstico para el año 2000? Popularidad de una organización para el cuidado de la salud Una organización para el cuidado de la salud da atención médica a individuos y familias sobre una base prepagada. Normalmente, el suscriptor paga una prima de seguro en que se da la mayor parte de los servicios del cuidado de la salud. Por lo regular, estas organizaciones enfatizan el cuidado preventivo de la salud y los suscriptores generalmente no pagan por la atención en consultorio. Una encuesta indica que cada vez más individuos seleccionan este tipo de plan de seguros. En 1980 había 24 millones de individuos cubiertos con estos tipos de planes. En 1985 el número era 28.4 millones. Si se supone que el crecimiento sucede con un índice lineal: Determine mine la funció funciónn de estimac estimación ión n ϭ f (t ), ), donde n equivale al número de individuos a) Deter cubiertos con los planes de organizacio organizaciones nes para el cuidado de la salud y t es el tiempo medido en años (t  ϭ 0 para 1980). individuos cubiertos por por la organización organización para el b) ¿Cuál se espera que sea el número de individuos cuidado de la salud en el año 2000? Índice de precios al productor El índice de precios al productor (IPP) mide los precios de venta al mayoreo de bienes que no deben pasar por procesos adicionales y que están listos pa-

ra la venta a los usuarios finales. El IPP mide el costo de una selección de bienes que habrían costado $100 en 1982. La figura 5.16 es una gráfica de los datos mensuales del IPP entre el 1 de mayo de 1988 y el 1 de octubre de 1990. Durante este periodo, el aumento en el IPP en cierto modo parecía lineal. El IPP era 111.4 el 1 de febrero de 1989 y 122.3 el 1 de octubre de 1990. Utilizando estos dos puntos de datos: Determin rminee la funció funciónn lineal lineal I ϭ f (t ), ), donde I es igual al índice de precios al productor y t  a) Dete es el tiempo medido en meses desde el 1 de enero de 1988 (t ϭ 0 corresponde corresponde al 1 de enero de 1988). Interprete rete el significa significado do de la pendiente pendiente y la intersección intersección de I . b) Interp acuerdo con esta función función de estimación estimación,, ¿cuál es el IPP esperado esperado el 1 de enero de c) De acuerdo 1992?

122.3 $125 120 115

Una selección de bienes que cuestan $100 al mayoreo en 1982 cuesta $122.30 en octubre de 1990 111.4

110 105

Figura 5.16 Índice de precios al productor. (Fuente: Bureau of Labor Statistics)

100

1988

1989 Feb. 1

1990 Oct. 1

1982 = $100

70% 60

50

Figura 5.17 Porcentaje de mujeres (de 20 a 24 años de edad) en la fuerza laboral. (Fuente: Bureau of Labor Statistics)

10.

40 30 20

1971

72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 8 6 87 88 89

Mujeres en la fuerza laboral El número de mujeres en la fuerza de trabajo de Estados Unidos ha aumentado de manera estable por muchas décadas. La figura 5.17 ilustra datos relacionados con el porcentaje de mujeres de 20 a 24 años en la fuerza laboral entre 1971 1971 y 1989. Por observac observación, ión, el aumento aumento en este grupo grupo de edad fue aproximadamente lineal. En 1978, el

11.

50 por ciento ciento de mujeres en este grupo de edad era parte de la fuerza laboral; en 1985, había 55.4 por ciento. Empleando estos dos puntos de datos: Determine ine la función función lineal de estimació estimaciónn P ϭ f (t ), ), donde P es igual al porcentaje de mua) Determ  jeres de 20 a 24 años de edad en la fuerza de trabajo y t es el tiempo medido en años desde 1971. Interprete rete la pendien pendiente te y la intersecc intersección ión de P. b) Interp esta función de estimación estimación,, pronostique pronostique el porcentaje porcentaje en el año 2000. 2000. c) Usando esta Impuestos federales sobre la renta La tabla siguiente muestra las tasas tributarias federales en 1991 para los matrimonios que declaran de manera conjunta.

Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que $

0 34 0 0 0 82 150

$ 3 4 00 0 8 2 15 0

Tasa tributaria 15% 28 31

Determine la función T ϭ f ( x  ), donde T es igual al pasivo tributario (en dólares) para perso x ), nas casadas que declaran de manera conjunta y x equivale al ingreso gravable (en dólares). SECCIÓN 5.3 12.

13.

Campaña publicitaria Una empresa desarrolla una campaña publicitaria de televisión. Los costos de desarrollo (costos fijos) fijos) son $150 000 y la empresa debe pagar $15 000 por minuto por anuncio de televisión. La empresa estima que por cada minuto de publicidad se obtienen como resultado ventas adicionales adicionales de publicidad de $70000. $70 000. De estos $70 000, se absorben $47 500 para cubrir el costo variable de la producción de los artículos y se deben utilizar $15 000 para pagar el minuto de publicidad. Cualquier remanente es la contribución al costo fijo y la utilidad. a) ¿Cuántos minutos de publicidad son necesarios para recuperar los costos de desarrollo de la campaña publicitaria? b) Si la empresa usa 15 anuncios de un minuto, determine el ingreso ingreso total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad (o pérdida) total resultante de la campaña. Renta de automóviles Una agencia de renta de automóviles compra autos nuevos cada año para el uso de la agencia. Los autos cuestan $15 000 nuevos. Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $3600. El propietario de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles, excluyendo la gasolina, son $0.16 por milla. Se rentan los autos con una tarifa sencilla de $0.33 por milla (sin incluir la gasolina). a) ¿Cuál es el millaje millaje de equilib equilibrio rio para el periodo periodo de 3 años? años? años si b) ¿Cuáles son el ingreso total, el costo total y la utilidad total para el periodo de 3 años se renta un auto por 50 000 millas? precio por milla se debe debe cobrar para para tener equilibr equilibrio io si se renta el auto por por 50 000 c) ¿Qué precio millas en un periodo de 3 años? precio por milla milla se debe cobrar cobrar para ganar ganar una utilidad utilidad de $5 000 por auto en su d ) ¿Qué precio tiempo de vida de 3 años si se renta por un total de 50000 millas?

Una empresa de electrónica de alta tecnología necesita un microprocesador especial para usarlo en una microcomputadora que fabrica. Se identificaron tres alternativas para satisfacer sus necesidades. Puede comprar los microprocesadores de un proveedor con un costo de $10 cada uno. La empresa también puede comprar uno de dos equipos automatizados y fabricar los microprocesadores. Un equipo cuesta $80 000 y tendría costos variables por microprocesador de $8. $8. Un equipo más automatizado cuesta $120 000 y daría como resultado costos variables de $5 por unidad. Determine las alternativas con costo mínimo para diferentes rangos de producción (como se determinó en el ejemplo 17). 15. Un nuevo participante en el mercado de “jeans de diseñador” es Françoise Strauss, una prima francesa del sobrino bisnieto de Levi’s. Françoise planea comercializar tres estilos de  jeans. La tabla siguiente resume los datos de precios y costos. Los costos fijos combinados son de $7.5 millones. Un estudio de investigación de mercados proyecta una mezcla de productos para la que por cada par del estilo A, se venderán dos pares de  B y cuatro pares de C . ¿Cuántos pares de cada estilo se deben vender para tener el punto de equilibrio? 14.

Precio de venta Costo variable/par 16.

C $28 14

Una compañía planea producir y vender tres productos. La tabla siguiente resume los datos de costos y precios para los tres productos. Los funcionarios de la compañía estiman que los tres productos se venderán en una mezcla de 3 unidades del producto 2 y 5 del producto 3 por cada 2 unidades del producto 1. Si se estima que los costos fijos sean $3.7 millones, determine el número necesario de unidades de cada producto para lograr el equilibrio.

Precio de venta Costo variable/par

❑

A $45 19

Estilo B $3 6 17

1 $85 50

Estilo 2 $8 0 40

3 $95 67

EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO 1.

2.

Una compañía vende un producto en $150 por unidad. Los costos de la materia prima son $40 por unidad, los costos de trabajo son $55 por unidad, los costos de distribución son $15 por unidad y los costos fijos anuales son $200000. $200 000. Determine ine la la función función de la utilid utilidad ad P ϭ f ( x  ), donde x es igual al número de unidades vena) Determ  x ), didas. ¿Cuántas as unidades unidades se deben deben vender vender para obtener obtener una utilidad utilidad anual anual de $750000? b) ¿Cuánt La cantidad de pasajeros ha disminuido en una pequeña aerolínea regional, aproximadamente, con un índice lineal. En 1981, el número de pasajeros era 245000; 245 000; en 1986, el número era 215000. Si n es el número de pasajeros que utilizan la aerolínea por año y t  es igual al tiempo medido en años (t ϭ 0 para 1981):

a) b) c) d )

3.

Determine la Determine la función función lineal lineal de estimaci estimación ón n ϭ f (t ). ). Interprete Interp rete el resultado resultado de la pendie pendiente. nte. ¿Cuál es el número número esperado esperado de pasajero pasajeross en el año año 2000? Se estima que la aerolínea aerolínea saldrá saldrá del mercado mercado si el número de pasajeros pasajeros es menor que que 180 000. ¿Cuándo sucederá esto, de acuerdo con su función de la parte a)? Incremento en la población de internos La figura 5.18 refleja un incremento en el número promedio de internos en las cárceles de Baltimore. A comienzos de 1984 hubo un aumento considerable en el número promedio. Se puede hacer una aproximación del incremento entre 1984 y 1988 por medio de una función lineal. Si el número promedio esperado de internos era era 1 720 en 1984 y 2590 2 590 en 1988: 1988: Determine ine la función función de estima estimación ción N  ϭ  f (t ), ), donde  N  es igual al número promedio de a) Determ internos en la cárcel y t equivale al tiempo medido en años desde 1984. Interprete rete la la pendiente pendiente y la intersecc intersección ión de N . b) Interp acuerdo con esta función, función, ¿cuál ¿cuál se espera que sea sea el número promedio promedio de internos internos en c) De acuerdo 1990?

2600   s 2400   o   n   r   e    t   n 2200    i   e    d   o   r 2000   e   m    ú    N

Figura 5.18 Población promedio en cárceles de la ciudad. (Fuente: Baltimore City Jail)

4.

5.

1800 1600 1983

84

85

86

87

88

Una compañía considera comprar un equipo que se utilizará para fabricar un producto nuevo. Se consideran tres máquinas. La máquina 1 cuesta $100 000 y se estima que el costo variable de la fabricación del producto nuevo nuevo sea $25. La máquina 2 cuesta $150 000 con un costo variable de producción de $22.50. La máquina 3 cuesta $180000 con un costo variable de $21. Determine los rangos de producción en que cada máquina tiene la alternativa de menor costo. Trace las tres funciones en una gráfica. Suponga que se usa la función del ingreso  R( x   x ) y la función del costo total C ( x   x ) para llevar a cabo el análisis del punto de equilibrio. ¿Cuál es el efecto esperado sobre el nivel de producción de equilibrio  x  BE  si (con todo lo demás constante): precioo por por unidad unidad baj baja? a? a) el preci costo variab variable le por unidad dismin disminuye? uye? b) el costo costo to fi fijo jo baj baja? a? c) el cos

MINICASO DECISIÓN DE CAMBIO DE AUTOMÓVIL Dado el alto costo de la gasolina, los dueños de autos constantemente buscan maneras de economizar en gastos de conducción. Una alternativa costosa para muchas personas estriba en comprar un auto que tiene un millaje por gasolina considerablemente mejor que el de su auto actual. Chamberlain desarrolló una fórmula fórmul a matemática para calcular cuántos años tendría que conducir una persona su automóvil nuevo para hacer que los ahorros en gasolina compensen el costo de la venta del automóvil viejo y la compra de uno nuevo.* Las variables que se deben usar en este análisis son:  y ϭ número de años para justificar la compra de un auto nuevo m ϭ millaje por gasolina del automóvil actual, millas por galón n ϭ millaje por gasolina del automóvil nuevo, millas por galón c ϭ costo neto del auto nuevo (costo de compra menos ganancias de la

venta del

automóvil actual) d ϭ número promedio de millas conducidas por año  p ϭ precio de gasolina por galón Chamberlain determina este periodo de “punto de equilibrio” usando la relación general Costo de gasolina del auto actual durante el periodo del punto de equilibrio o

ϭ

costo de gasolina del auto nuevo durante el periodo del punto de equilibrio

ϩ

costo neto del auto nuevo

f viejo( y) ϭ  f nuevo( y  y))

1. Usando las variables antes definidas, determine las expresiones para f viejo( y  y) y f nuevo( y  y). 2. Establezca f viejo( y  y) igual a  f nuevo( y  y) y derive la fórmula general del periodo de equilibrio y. periodo de equilibrio si el auto actual tiene un valor de $8 000 y rinde 3. Determine el periodo 14 millas por galón. El auto nuevo nuevo tiene un precio de compra de $16 000 y recorre alrededor de 46 millas por galón. Actualmente la gasolina tiene un precio de $1.50 por galón. Suponga un millaje anual anual de 24 000 millas. 4. Analice la sensibilidad del periodo del punto de equilibrio a los cambios en el precio de la gasolina. Para evaluar esto, suponga que el precio actual puede variar en ±25 por po r ciento de la cifra de $1.50. ¿Hay un gran cambio en el periodo de equilibrio? 5. Vuelva a trabajar con las partes 1 a 3 si la incógnita es  x , el número de millas conducidas. Es decir, suponga que deseamos desarrollar una fórmula que nos permita determinar el número de millas que va a conducir un auto (en vez del número de años). El millaje promedio por año d no es una parte de este modelo. 6. Mencione las suposiciones de este modelo. ¿Qué suposiciones no son realistas? ¿Por qué? ¿Qué factores del costo no se consideraron? * “Should the Gas Guzzler Go?” (carta), Science, volumen 207, página 1028, marzo de 1980.