FACUL ACULT TAD DE MEDICINA MED ICINA HUMANA H UMANA
ASIGNATURA ASIGNATURA
: matematica matema tica
Tema T ema : ecuaciones cuadráticas DOCENTE : INTEGRANTES : ECERRA CUE!A "ESSICA "!ON # # #
CICLO Acad$mico: SECCI%N:
I
F AULA &
A'O :
()#* INTRODUCCIÓN El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita incógnita,, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de aordar ! se necesitan nue"os m#todos, así, como el conocimiento $re"io de álgera elemental en es$ecial de e%$resiones algeraicas.
&'RCO TEORICO Historia sobre las ecuaciones de segundo grado.
(as ecuaciones de segundo grado son de una )istoria *ue duro + a-os la solución ! el origen de las ecuaciones son de gran antigedad. '$arecieron los $rimeros te%tos antiguos de ecuaciones son de /0 al /1 a.C. en &eso$otamia, ! traen algunos m#todos $ara resol"er ecuaciones lineales, aun*ue, la notación ! forma de resolución de a-os $asados "ista una infinidad
de la *ue nosotros $oseemos actualmente. 2arían de $asar unos cuantos a-os, )asta el /13 a.C., *ue es la fec)a de la *ue data el $a$iro de rind), escrito en Egi$to. En este te%to casi $uramente matemático se muestra un m#todo de resolución general de ecuaciones de $rimer grado. (a )umanidad acaa de dar un $aso, el $rimero, $ara dar la solución general de una ecuación $ara cual*uier grado. Este $a$iro muestra además *ue los egi$cios $odían resol"er cierto ti$o de ecuaciones de segundo grado, aun*ue a4n desconocían un m#todo general de resolución, *ue será el siguiente $aso de nuestra )istoria. 5asaron unos /3 a-os, )asta *ue un griego, Diofanto de 'le6andría, diera con la fórmula *ue resuel"e casi todas las ecuaciones de segundo grado. El segundo $aso estaa logrado ! !a se )aían resuelto todas las ecuaciones de $rimer ! segundo grado En 7ailonia se conocieron un con6unto de instrucciones, reglas ien definidas $ara resol"er dic)as ecuaciones. El resultado tami#n fue encontrado inde$endientemente en otros lugares del mundo. En 8recia, el matemático Diofanto de 'le6andría a$ortó un $rocedimiento $ara resol"er este ti$o de ecuaciones 9aun*ue su m#todo sólo $ro$orcionaa una de las soluciones ! aun en el caso de *ue las dos soluciones sean $ositi"as:. (a fórmula, tal ! como la "amos a "er, $arece ser ora del matemático )ind4 7)as;ara 7)as;ara escrie su famoso <=idd)anta =iroman> en el a-o //3. Este (iro se di"ide en + $artes, (ila"ati 9aritm#tica:, ?i6aganita 9álgera:, 8olad)!a!a 9gloo celestial:, ! 8ra)aganita 9matemáticas de los $lanetas:. (a ma!or $arte del traa6o de 7)as;ara en el (ila"ati ! 7i6aganita $rocede de matemáticos anteriores, $ero los sore$asa sore todo en la resolución de ecuaciones. Es a*uí, donde a$arece la fórmula general *ue $ermite resol"er una ecuación de segundo grado. Una ecuación de segundo grado o tami#n llamada ecuación cuadrática de una "ariale es una ecuación *ue tiene la forma de una suma algeraica de t#rminos cu!o má%imo es dos. Una ecuación cuadrática $uede ser re$resentada $or un $olinomio de segundo grado o $olinomio Donde % re$resenta la "ariale ! a, ! c son constantes@ a es un coeficiente cuadrático 9distinto de :, el coeficiente lineal ! c es el t#rmino inde$endiente. Este $olinomio se $uede re$resentar mediante una gráfica de una función cuadrática o $aráola. Esta re$resentación gráfica es 4til, $or*ue la intersección de esta gráfica con el e6e )oriAontal coincide con las soluciones de la ecuación 9! dado *ue $ueden e%istir dos, una o ninguna intersección, esos $ueden ser los n4meros de soluciones de la ecuación:.
TEORIA DE ECUACIONES CUADRATICAS. 1.DEFINICIÓN :
2. CLASIFICACIÓN
3.ETODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS 5ara resol"er ecuaciones de segundo grado se $ueden utiliAar dos $rocedimientosB Ra!" Cuadrada
# C$%&'etand$ e' trin$%i$ cuadrad$ &er(ect$ Fact$ri"ación F$r%u'a cuadrática $ fórmula general.
A)Ra!" Cuadrada Un ti$o más sencillo de ecuación cuadrática, $or su solución, corres$onde a la forma es$ecial en *ue falta el t#rmino con la "ariale de $rimer grado@ o sea cuando está en la siguiente formaB El m#todo de solución a$ro"ec)a directamente la definición de raíA cuadrada. El $roceso se ilustra en el siguiente e6em$loB
E*e%&'$ 1
Resuel"e $or medio de la raíA cuadrada SOLUCIÓN:
E*e%&'$ 2
Resuel"e $or medio de la raíA cuadrada SOLUCIÓN:
E*e%&'$ 3
Resuel"e $or medio de la raíA cuadrada SOLUCIÓN:
+) Fact$ri"ación =i los coeficientes a, b ! c de la ecuación cuadrática son tales *ue la e%$resión $uede escriirse como el $roducto de dos factores de $rimer grado con coeficientes enteros, dic)a ecuación cuadrática $odrá resol"erse rá$ida ! fácilmente. El m#todo de resolución $or factoriAación se asa en la siguiente $ro$iedad de los n4meros realesB
=i a ! b son n4meros reales, entoncesB a⋅b si ! solo si a o b 9o amos "alen cero: Esta $ro$iedad se demuestra con facilidadB si a , )emos concluido. =i a , multi$licamos amos miemros de ab $or /Fa, $ara otenerB b . E*e%&'$ 1
Resuel"e $or factoriAación SOLUCIÓN:
E*e%&'$ 2
Resuel"e $or factoriAación SOLUCIÓN:
E*e%&'$ 3
Resuel"e $or factoriAación SOLUCIÓN: El $olinomio no se $uede factoriAar con coeficientes enteros@ $or tanto, dee de usarse otro m#todo $ara encontrar la solución.
C) C$%&'etand$ e' trin$%i$ cuadrad$ &er(ect$ El m#todo de com$leción del cuadrado se asa en el $roceso de transformar la cuadrática general $ara *ue *uede asíB . Donde A ! B son constantes. Esta 4ltima ecuación se $uede resol"er fácilmente $or medio de la raíA cuadrada, como se e%$licó en la sección anterior. 'síB
'ntes de estudiar cómo se resuel"e la $rimera $arte, )aremos una $ausa re"e $ara analiAar un $rolema relacionado con el nuestroB GHu# n4mero se le dee de sumar a $ara *ue el resultado sea el cuadrado de una e%$resión lineal 2a! una sencilla regla mecánica $ara encontrar tal n4meroB se asa en los cuadrados de los siguientes inomiosB
En amos casos, oser"emos *ue, en el miemro derec)o, el tercer t#rmino es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, *ue a$arece en el segundo t#rmino. Esta oser"ación nos lle"a directamente a la reglaB 5ara com$letar el cuadrado de una e%$resión cuadrática de la forma se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o seaB
o sea
E*e%&'$ 1
Com$leta el cuadrado de SOLUCIÓN: =umamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma , $or lo *ue otenemosB E*e%&'$ 2
Com$leta el cuadrado de
SOLUCIÓN: =umamos
@ o sea
, asíB
(a resolución de ecuaciones cuadráticas $or el m#todo de com$leción del cuadrado se ilustra me6or con e6em$los E*e%&'$ 3
Resuel"e
$or el m#todo de com$leción del cuadrado
SOLUCIÓN: =umamos J a amos miemros de la ecuación $ara eliminar KJ del miemro iA*uierdo. 5ara com$letar el cuadrado del miemro iA*uierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en amos miemros de la ecuación. LactoriAamos el miemro iA*uierdo. Resol"emos $or medio de la raíA cuadrada.
E*e%&'$ ,
Resuel"e
$or el m#todo de com$leción del cuadrado
SOLUCIÓN: Oser"a *ue el coeficiente de %J no es /. En tal caso, di"idimos todos los t#rminos entre el coeficiente $rinci$al ! $roseguimos como en el e6em$lo anterior.
D) F$r%u'a cuadrática $ -enera'. 5ara otener la formula $ara resol"er ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación general ! resol"emos $ara x, en función de los coeficientes a, b ! c , $or el m#todo de com$leción del cuadrado@ de esta manera otenemos una fórmula *ue $odremos memoriAar ! utiliAar siem$re *ue se conoAca el "alor de a, b ! c .
5ara em$eAar )aremos igual a / el coeficiente $rinci$al. 5ara ello, multi$licamos $or /Fa amos miemros de la ecuación. Hueda asíB
=umamos –c/a a amos miemros de la ecuación $ara su$rimir iA*uierdo.
c/a
del miemro
')ora com$letamos el cuadro del miemro iA*uierdo@ $ara ello, sumamos a cada miemro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x@
(uego factoriAamos el miemro iA*uierdo de la ecuación ! la resol"emos $or medio de la raíA cuadrada.
Otenemos estoB
Está 4ltima ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memoriAarla ! em$learla $ara resol"er ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado m#todos más sencillos. Oser"a *ue b2-4ac recie el nomre de discriminante ! nos $ro$orciona la siguiente información 4til res$ecto de las raícesB 2 / ,ac a02 0 c 5ositi"o Dos soluciones reales Cero Una solución real Negati"o Dos soluciones com$le6as
E*e%&'$ 1
Resuel"e
$or la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos aJ, K+ ! cKM.
=ustituimos la fórmula ! sim$lificamos.
E*e%&'$ 2
Resuel"e SOLUCIÓN: K1 ! c //
$or la fórmula cuadrática escriimos en la forma general e identificamos a /,
=ustituimos la fórmula ! sim$lificamos.
,) TEOREA DE de Cardan$/4i5te
CONC(U=IONE= (o *ue concluimos de todo este $ro!ecto es *ue )a! muc)as maneras de $oder realiAar las o$eraciones matemáticas , en este caso las ecuaciones de segundo grado ! de uno mismo sin necesidad de a$renderse todos los m#todos, $uede a$licar su ingenio ! ca$acidad de resolución en las ecuaciones cuadráticas. 'sí mismo a$rendimos, la manera de cómo se otiene la formula general de ecuaciones cuadráticas, *ue antes sim$lemente memoriAáamos , sin emargo esta tiene una forma sencilla de demostrarse.
U=O= DE (' ECU'CION CU'DR'TIC' EN (' ?ID' Nuestro comentario acerca de +as ecuaciones cuadráticas es ,ue de-niti.amente son /undamenta+es 0ara 0oder o1tener resu+tados 0recisos de manera más rá0ida
en di/erentes as0ectos de cá+cu+o como cantidades de mercanc2as .endidas3 com0radas3 áreas de terrenos3 distancias3 etc43 en rea+idad in.esti5ando un 0oco más +os di/erentes ti0os de 0ro1+emas ,ue aseme6an a casos de +a .ida diaria descu1r2 ,ue en e+ área de +os ne5ocios es un arma /undamenta+ 0ara o1tener cantidades re+acionadas con 0osi1i+idades 7 ,ue de esta manera no se 5aste mu7 0oco o más de +o necesario3 tam1i$n +as distancias en +a re0articiones de terrenos 7a ,ue +as áreas de 0or si están dadas en cuadrados 7 tra1a6ar con e++as en ecuaciones cuadráticas resu+ta mu7 .enta6oso4 Además descu1r2 ,ue estos resu+tados 0ueden tras+adarse a 0+anos 7 as2 crear es,uemas de inter.a+os 0ara tener una 5rá-ca de +as cantidades a uti+i8arse4 Además en +as 5uerras 0ara ca+cu+ar +a distancia de dis0aro de +os ca9ones +os anti5uos matemáticos uti+i8a1an +as ecuaciones cuadráticas 0ara o1tener +as cur.as de +as 0ará1o+as3 etc4 En conc+usin considero ,ue +as ecuaciones cuadráticas son un tema ,ue de1e ser conocido 7 estudiado correctamente 0or ser de /undamenta+ im0ortancia en e+ desarro++o de distintas acti.idades ,ue rea+i8an +as 0ersonas en su .ida cotidiana es0ecia+mente si nuestra /ormacin es inc+inada a+ ám1ito em0resaria+4
7I7(IO8R'LI' (in;s consultados •
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