ECUACIONES POLINÓMICAS EN UNA VARIABLE VARIABLE Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienen una o más variables. Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el Álgebra. Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de atemática. !uando las expresiones algebraicas de cada miembro de la igualdad cumplen con ciertas condiciones, las ecuaciones reciben nombres particulares. "e esta manera# Ecuaciones Polinómicas # $on aquellas aquellas en las que las expresion expresiones es algebraic algebraicas as que intervien intervienen en en la ecuación, ecuación, son polinomios %existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, tales como las expresiones algebraicas racionales y otras&. '(emplos de ecuaciones polinómicas# a& 2 x +
1
y
2
= 4 x 2 que puede expresarse tambi)n#
1
4
3
3
b& − x 3 + 3 xy = − x 2 + c& 3 x +
7 3
2 x +
1 2
y − 4 x 2
=0
1
4
3
3
que puede expresarse tambi)n# tambi)n# − x 3 + 3 xy + x 2 −
y + z = 5 que puede expresarse tambi)n# tambi)n# 3 x +
7 3
=0
y + z − 5 = 0
Ecuaciones Ecuac iones en una variable # $on aquellas en las que las expresiones algebraicas que intervienen en la ecuación, contienen una sola variable. '(emplos de ecuaciones en una variable, no polinómicas# a& 2 x + b& 2r 2 + c& 3t +
7 3
1 2
3 2
= 4 x que puede expresarse tambi)n# 2
=−
r
2 x
+ 1 que puede expresarse tambi)n# tambi)n#
r
(t 2 + 1) =
1 t + 1
1
+ − 4x = 0 2
2
2r
3
2
+ +
r
2
que puede expresarse tambi)n# tambi)n# 3t +
7
+1
r
=0
2 ( t + 1) − 3
1 t + 1
=0
Ecuaciones Polinómicas en una Variable # $on ecuaciones en las que las expresiones algebraicas que intervienen son polinomios que poseen una sola variable. 'n general, son expresiones de la forma# P ( x ) = 0 'l primer miembro miembro es un polinomio nomio en la variable variable x %puede %puede indicarse indicarse con cualquier cualquier otra letra&. letra&. 'sa variable variable es la incógnita de la ecuación y el grado de la ecuación, es el grado del polinomio P ( x ) . '(emplos de ecuaciones polinómicas en una variable# 3 x − 10 = 0 a. es una ecuación de primer grado. 1
b.
2−
c.
3m 4
2
x − x 2
−1+
3 4
=0 m2
es una ecuación de segundo grado.
= 0 es una ecuación de cuarto grado %o %o de grado cuatro& cuatro&
Resolución de ecuaciones olinómicas en una variable en R *esolver una ecuación, significa determinar el+los valor+es de la incógnita que verifica+n la igualdad. hacerlo en el con(unto num)rico * implica que es posible usar todas las propiedades de las operaciones de este con(unto. $e denomina con(unto solución al con(unto formado por los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad, que no es otra cosa que el con(unto de ra-ces de P ( x ) , y se denota con la letra $.
ECUACIONES POLINÓMICAS !E PRIMER "RA!O CON UNA INCÓ"NI#A 'stas ecuaciones tambi)n reciben el nombre de ecuaciones lineales. $on expresiones de la forma P ( x ) = 0 , donde P ( x ) es un polinomio de primer grado. or lo tanto, toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede escribir en la forma# ax + b = 0 siendo a y b números reales reales y a ≠ 0
ax es el t)rmino lineal y b el t)rmino independiente Resolución de ecuaciones lineales en R ara resolver una ecuación lineal con una incógnita en R, se recurre a la aplicación aplicación de las propiedades propiedades que resulten necesarias para ir obteniendo ecuaciones equivalentes a la inicial, hasta reducirla a la expresión general ax + b = 0 . /na ve0 obtenida esta expresión, se continuará aplicando propiedades hasta obtener la solución. E$emlo% *esolver 4( x + 1) − 3 = 2 x + 9 . 4 ⋅ ( x + 1)
− 3 = 2 x + 9 4 x + 4 − 3 = 2 x + 9 4 x + 1 = 2 x + 9 4 x + 1 + ( − 1) = 2 x + 9 + ( − 1) 4 x + 0 = 2 x + 8 4 x = 2 x + 8 4 x + ( − 2 x ) = 8 + 2 x + ( − 2 x ) 2 x = 8 1
1
⋅ 2 x = ⋅ 8
2 2 1. x = 4 x = 4
Veri&icación *eempla0ando x = 4 en la ecuación original original y operando, operando, se obtiene# 4 ⋅ ( 4 + 1) − 3 = 2 ⋅ 4 + 9 4⋅5− 3 = 8 + 9 20 − 3 = 17 17
= 17
!omo se llegó a una identidad, se concluye que x = 4 es solución y el con(unto solución es $ 1 2 3 4 !is'in'os 'ios de solución Las ecuaciones pueden presentar tres tipos de solución# . 5nica solución. . $olución vac-a. . 6nfinitas soluciones.
Ecuaciones con (nica solución /na ecuación tiene única solución si existe solamente un número real que satisface la igualdad. 'n este caso, el con(unto solución es el con(unto unitario formado por dicho número real. E$emlo% 7 x − 4 = 1 Veri&icación 7 x − 4 + 4 = 1 + 4 7 x + 0 = 5 7 x = 5
1 7 x = 1 5 7 7 1. x
=
=
5
x
7
5 7
5 − 4 = 1 7
7
5−4 =1
1=1
Luego de verificar, el con(unto solución es S =
5 7
Ecuaciones con solución vac)a /na ecuación tiene solución vac-a cuando no existe ningún número real que satisface la igualdad. 'n este caso se dice que la ecuación no tiene solución y el con(unto solución es el con(unto vac-o. '(emplo# 3 ⋅ ( x + 3) − x = 2 x + 4 *esolviendo la ecuación resulta# 3 x + 9 − x
= 2 x + 4 2 x + 9 − 9 = 2 x + 4 − 9 2 x + 0 = 2 x − 5 2 x − 2 x = 2 x − 5 − 2 x 0 x = −5 + 0 0 x = −5
'sta ecuación no tiene solución porque la igualdad obtenida 0 x = −5 no se cumple para ningún número real x, ya que para cualquier valor de x se obtendr-a 0 = −5 lo cual es un absurdo, por lo que el con(unto solución es vac-o. 's decir S = φ
Ecuaciones con in&ini'as soluciones /na ecuación tiene infinitas soluciones cuando existen infinitos números reales que satisfacen la igualdad. 'n este caso la ecuación recibe el nombre de identidad, y el con(unto solución es el formado por todos los números reales. '(emplo# 7% x 8 9& : 9x 1 ;< : =x 2 x + 10 − 5 x
= 10 − 3 x − 3 x + 10 = 10 − 3 x − 3 x + 10 − 10 = 10 − 3 x − 10 − 3 x + 0 = −3 x + 0 − 3 x = −3 x − 3 x + 3 x = −3 x + 3 x 0 x = 0
'sta ecuación tiene infinitas soluciones porque para cualquier número real x, se obtiene < 1 < que es una identidad. 'l con(unto solución es $ 1 R Casos ar'iculares Algunas ecuaciones que no son lineales, pueden llevarse a la forma lineal mediante pasos algebraicos %aplicación de propiedades de las operaciones&, tal es el caso de igualdades en las que aparecen expresiones algebraicas racionales. 'n estos casos, antes de comen0ar la resolución, se debe determinarse el o los valores de la variable que anulan los divisores %denominadores& para no considerarlos como solución, ya que la división por cero no está definida. E$emlos# a&
3 x − 3 x − 1
= 0 $e observa que el denominador se anula para x 1 ;, entonces la condición a tener en cuenta es
que x no puede tomar el valor ; ara resolver la ecuación, se aplica la propiedad#
A
= 0 ⇔ A = 0 para todo número real B B 3 x − 3 =0 x − 1
3 x − 3 = 0
condición x
≠1
≠0
3 x − 3 + 3 = 0 + 3 3 x + 0 3 x
x 2+
1 + x
x + 2
=0
=3
1 ⋅ 3 x 3
= ⋅3
1 ⋅ x
3
=
1 3
3
>alor que no es admitido como solución por la condición
S = φ
or lo tanto en con(unto solución es b&
=1
=3
'n esta ecuación el valor no permitido para x es :7.
*esolviendo la ecuación, se obtiene# 2 ( x + 2) + 1 + x x + 2 2 x + 4 + 1 + x x + 2
3 x + 5 x + 2
=0
=0
=0
3 x + 5 = 0 3 x + 5 − 5 = 0 − 5 3 x + 0 = −5
1 x = 1 ( − 5) 3 3 1. x x
=−
5 3
=−5
3
'n este caso el valor de x cumple con la condición de ser distinto de :7. or lo tanto
se puede verificar que el con(unto solución es S = −
5 3
?ambi)n pueden presentarse ecuaciones que en principio parecen ser de segundo grado %o más&, pero que al llevarlas a su expresión general, resultan ser lineales al anularse el+los t)rmino+s de mayor grado. or e(emplo# 2 x ⋅ ( x − 1) = 5 + 2 x 2 Aplicando propiedades se obtiene# *esulta una ecuación lineal#
− 2 x = 5 + 2 x 2 2 x 2 − 2 x − 5 − 2 x 2 = 5 + 2 x 2 − 5 − 2 x 2 2 x 2 − 2 x − 5 − 2 x 2 = 0 2 x 2
−2 x − 5 = 0
Aplicaciones
a se mencionó la importancia de las ecuaciones en la resolución de problemas. ara resolver un problema aplicando ecuaciones con una incógnita, se procede de la siguiente manera# Leer e interpretar el enunciado, para poder identificar datos e incógnita determinando las relaciones que existen entre ellos. !uando se trate de un problema geom)trico, es conveniente reali0ar un dibu(o %esquema gráfico& donde se anoten los datos e incógnita. 'scribir la ecuación que corresponda a la relación encontrada entre los datos y la incógnita. *esolver la ecuación. Anali0ar la solución algebraica, para determinar si el valor obtenido responde a las condiciones del problema. 'n caso afirmativo, se procederá a enunciar la respuesta del mismo.
E$emlo% 'l per-metro de un triángulo isósceles es de 9< cm y la base mide ;; cm más que uno de los lados iguales. @alla la longitud de los lados. 'n este caso, un gráfico permite ilustrar la situación. Llamando x a la longitud de los lados iguales, la base x x quedará identificada con x 8 ;; y el per-metro será P = ( x + 11) + 2 ⋅ x $egún los datos del problema, el per-metro es de 9< cm. # x 8 ;; or lo tanto, reempla0ando este valor en la expresión anterior, se obtiene la ecuación cuya resolución permitirá dar la respuesta al problema. 50 = ( x + 11) + 2 ⋅ x La solución de esta ecuación es# x 1 ;= cm La respuesta del problema será entonces# La base mide 73 cm %se obtiene al reempla0ar el valor de x en la expresión de la base& y los lados iguales miden ;= cm cada uno. ECUACIONES POLINÓMICAS !E SE"UN!O "RA!O CON UNA INCÓ"NI#A 'stas ecuaciones tambi)n reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas. $on expresiones de la forma# P ( x ) = 0 , donde P ( x ) es un polinomio de segundo grado. or lo tanto, toda ecuación de segundo grado con una incógnita se puede escribir en la forma# 2 ax + bx + c = 0 siendo a, b y c números reales y a ≠ 0 2 ax es el t)rmino cuadrático, y a el coeficiente del t)rmino cuadrático. bx es el t)rmino lineal, y b el coeficiente del t)rmino lineal. c es el t)rmino independiente.
Resolución de ecuaciones cuadr*'icas con una incó+ni'a ara determinar el con(unto solución de estas ecuaciones, es importante anali0ar si contiene todos los t)rminos. 'n caso de no presentar el t)rmino lineal o el independiente %a 1 < o b 1 < & conviene aplicar m)todos prácticos de resolución, distintos del correspondiente a una ecuación cuadrática completa. Ecuaciones cuadr*'icas sin ',rmino lineal -b . /0 $on de la forma# ax 2 + c = 0 'n este caso, se obtiene la solución en forma inmediata, aplicando propiedades de las operaciones, que permiten despe(ar la incógnita. '(emplo#
2
4 x − 9 = 0 2
4 x − 9 + 9 = 0 + 9 4 x 1 4
2
=9
⋅ 4x 2 = x 2 =
1 4
⋅9
9 4
!abe recordar que al aplicar ra-0 cuadrada en ambos miembros se deben considerar los dos signos posibles para la incógnita. "e esta manera resulta#
Veri&icaciones
x
=±
x
=±
9 4
3 2
2
2
3 4 ⋅ − 9 = 0 2 4
3 4 ⋅ − − 9 = 0 2
9
⋅ −9 = 0
4
4
9
⋅ −9 = 0 4
−9 = 0 0=0
−9 = 0 0=0 3 3 'l con(unto solución es S = , − 2 2 9
9
Ecuaciones cuadr*'icas sin ',rmino indeendien'e -c . /0 $on de la forma# ax 2 + bx = 0 'n este caso, se obtiene la solución factori0ando el primer miembro. !omo el producto obtenido %siempre pueden considerarse dos factores& está igualado a cero, se debe cumplir que uno de los factores es cero o bien ambos son ceros. 'l planteo de esta propiedad nos lleva a dos ecuaciones lineales con una incógnita, que al resolverlas permitirán obtener el con(unto solución de la ecuación cuadrática. E$emlo% 3 x 2 + 6 x = 0 Bactori0ando el primer miembro %factor común x&# 3 x ⋅ ( x + 2) = 0 Aplicando propiedad# =x 1 < v x 8 7 1 < La solución de =x 1 < es x 1 <. la solución de x 8 7 1 < es x 1 C7 >erificaciones 3 ⋅ 0 ⋅ ( 0 + 2) = 0 3 ⋅ ( − 2) ⋅ ( − 2 + 2 ) = 0 − 6⋅0 = 0 0⋅ 2 = 0 0=0 0=0 'l con(unto solución de la ecuación cuadrática es S = { 0 , − 2 } Ecuaciones cuadr*'icas comle'as $on de la forma# ax 2 + bx + c = 0 con a, b y c distintos de cero. $e puede obtener una fórmula que permite encontrar las ra-ces de la ecuación. $ólo se requiere identificar los coeficientes a y b, y el t)rmino independiente c que deben reempla0arse en la fórmula. Ob'ención de la &órmula ara obtener la fórmula se siguen los siguientes pasos# ax
2
+ bx + c = 0
b c x 2 + x + = 0 a a b c x 2 + x = − a a 2
2
b = − c + b a a 2a 2a 2 x + b = − 4ac + b 2 = b 2 − 4ac 4a 2 4a 2 2a
x
2
+
x1,2
or lo tanto, la fórmula es#
x1 =
− b + b 2 − 4ac
b
x +
=±
b
2
− 4ac 4a
−b± x1, 2 =
x 2 =
2
b
2
−
b 2a
=±
b
2
− 4ac 2a
−
b 2a
− 4ac
2a
− b − b 2 − 4ac
2a 2a 's decir# y E$emlo% $e resuelve a continuación una ecuación mediante la aplicación de la fórmula.
2 'n la ecuación 2 x − x − 1 = 0 ,
x1, 2
a = 2 , b = −1 y c = −1
− ( − 1) ± ( − 1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 1) = 2⋅ 2
⇒ x1, 2 =
1± 9
=
1± 3
4 4 *eempla0ando en la fórmula# 's decir, se obtiene# x ; 1 ; y x7 1 C;+7 'sta fórmula es aplicable tanto para las ecuaciones cuadráticas completas, como para las incompletas.
!is'in'os 'ios de solución Las ecuaciones cuadráticas pueden presentar distintos tipos de solución# Dúmeros reales y distintos Dúmeros reales e iguales %tambi)n llamadas ra-ces dobles& Dúmeros comple(os con(ugados. ara determinar el tipo de solución, tambi)n llamado naturale0a de las ra-ces, se anali0a el radicando de la fórmula de resolución. "icho radicando recibe el nombre de discriminante, y se denota con la letra griega delta ∆ 2
'ntonces# ∆ = b − 4ac 'l discriminante permite determinar la naturale0a de las ra-ces sin resolver la ecuación# $i ∆ > 0 las ra-ces son números reales y distintos. $i ∆ = 0 las ra-ces son números reales e iguales. $i ∆ < 0 las ra-ces son números comple(os con(ugados. Casos ar'iculares "e igual forma que ocurre con las ecuaciones lineales, existirán ecuaciones que sin ser cuadráticas, se pueden llevar a la expresión de una cuadrática. $i se tratan de expresiones algebraicas racionales, siempre se tendrá que tener presente las condiciones que debe cumplir la variable. '(emplo# 3x :
13 x
1
3 2
La condición para x será que no puede tomar el valor c ero. 4 x −
13
x
−
3 2
=
3 2
−
3 2
2
8 x − 26 − 3 x 2 x
=0
2
Llevando esta ecuación a su expresión general, se obtiene# 8 x − 3 x − 26 = 0 *esolviendo, se obtiene# x ; 1 7 y x7 1 C;=+E valores permitidos, la solución es# $ 1 { 2; − 13 / 8} ?ambi)n existen las ecuaciones polinómicas que, en principio, parecen ser de mayor grado. ero al llevarlas a su expresión general resultan de segundo grado, al cancelarse los t)rminos de mayor grado. Alicaciones 'xisten innumerables planteos de situaciones problemáticas que dan origen a una ecuación cuadrática. $iguiendo los pasos ya indicados para la resolución de un problema aplicando ecuaciones, se puede arribar a la solución del mismo. E$emlo# /n terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. $i el largo se aumenta en 3
Llevando la ecuación a su expresión general, se obtiene# − 2 x + 52x + 240 = 0 "onde a 1 :7, b 1 97 y c 1 73<. Aplicando la fórmula de resolución, se obtiene# x ; 1 C3 y x7 1 =< 2
'n el contexto del problema, sólo se acepta como solución el valor x 1 =< % no existen longitudes negativas&. La respuesta del problema será# 'l ancho del terreno es de =< m y el largo es de F< m.
ECUACIONES POLINÓMICAS !E #ERCER "RA!O CON UNA INCÓ"NI#A 'stas ecuaciones tambi)n se llaman ecuaciones cubicas. $on expresiones de la forma# P ( x ) = 0 , donde P ( x ) es un polinomio de tercer grado. /na ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner ba(o la forma canónica# a12 3 b14 3 c1 3 d . /5 donde a, b, c y d %a G <& son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a * o a !. $ea H un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer ra-ces cuadradas y cúbicas.
Resolución de ecuaciones cubicas con una incó+ni'a Los pasos de la resolución son# "ividir la ecuación inicial por el coeficiente a %a G <&. $e obtiene# x = 8 bIx7 8 cIx 8 dI 1 < con bI 1 b+a, cI 1 c+a, dI 1 d+a. roceder al cambio de incógnita y 1 x 8 bI+=, para suprimir el t)rmino cuadrado. 'n efecto, al desarrollar %y C bI+=& = con la identidad precedente, vemos aparecer el t)rmino CbIy 7, compensado exactamente por bIy 7 que aparece en bI%y C bI+=& 7. $e obtiene# y = 8 py 8 q 1 <, con p y q números del cuerpo. Jbs)rvese que esta ecuación cúbica reducida no tiene t)rmino de segundo grado. Luego se sustituye y por 0 : p+=0 en y = 8 py 8 q 1 < obteni)ndose 0 F 8 q0= : p=+7K 1 < que es una cuadrática en 0=.
La fórmula cuadrática, al aplicarse a la ecuación 0 F 8 q0= C p=+7K 1 < da z 3 = 7
−q 2
±
q
2
4
+
p
3
27
=
$e puede mostrar que si q +3 8 p +7K < y A y M son números reales con# A = 3
−q
+
2
q
2
4
+
p
3
B
27
=3
−q 2
−
q2 4
+
p 3 27
y 6 y 67 son los números comple(os# w=
−1+ i 2
3
w2
=
−1− i
3
2
=
entonces las soluciones de y 8 py 8 q 1 < son# y; 1 A 8 M y7 1 NA 8 N 7M y= 1 N7A 8 NM Jbs)rvese que y7 y y= son comple(os con(ugados si p y q son reales. Las soluciones de la ecuación cúbica original ax= 8 bx7 8 cx 8 d 1 < son entonces# x1
= y1 −
b' 3
x 2
= y 2 −
b
'
3
x3
= y 3 −
b
'
3
El caso real Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales %de hecho# enteros&. 'l cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de ra-ces reales no es siempre =. Las que faltan se encuentran en !, extensión algebraica cerrada de *. $e demuestra que el número de ra-ces reales depende del discriminante %multiplicado por 7K& de la ecuación auxiliar O 1 3p= 8 7Kq7# $i O < existe una única ra-0 real. Las demás son comple(as con(ugadas. $i O 1 < existe una ra-0 múltiple real# una ra-0 triple o una doble y otra simple, todas reales. $i O P < existen tres ra-ces reales. @abrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. 's debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen l-mites infinitos en 8 Q y C Q y las de grado impar tienen l-mites de signos contrarios. !omo son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. 'n la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de O.
E$emlo% $ea 7t= 8 Ft7 8 ;7t 8 ;< 1 <, hallar el con(unto solución. $igamos los pasos descritos en el primer párrafo. t= 8 7t7 8 Ft 8 9 1 < %al dividir por 7& con x 1 t 8 7+=, es decir t 1 x : ;, reempla0ando# %x C ;& = 8 =%x C ;& 7 8 F%x C ;& 8 9 1 < desarrollando# x= 8 7x 8 ; 1 < calculando el discriminante O 1 3.= = 8 7K.;7 <, nos damos cuenta que esta ecuación tiene una única ra-0 real y las demás son comple(as con(ugadas %vean el cuadro ; de la figura&. con u 1 x 8 7+=u, es decir x 1 u : ;+u, reempla0ando# %u : ;+u& = 8 =%u : ;+u& 8; 1 < desarrollando# u F 8 u= : ; 1 < u= 1
−1 2
12
±
Luego# x; 1
4 3
+
33 27
−1+
5
2
=
−1±
+3
5
2
−1 −
x7 1 − 1 + i 3 .3 − 1 + 5 + − 1 − i 3 .3 − 1 − 5
5
2
2
2
2
2
x= 1 − 1 − i 3 .3 − 1 + 5 + − 1 + i 3 .3 − 1 − 5 2
=
2
2
2
7
Las soluciones de 7t 8 Ft 8 ;7t 8 ;< 1 < son# t ; 1 x; : ; t7 1 x7 : ; t = 1 x= : ;
ECUACIONES POLINÓMICAS !E CUAR#O "RA!O CON UNA INCÓ"NI#A 'stas ecuaciones tambi)n se denominan ecuaciones cuárticas. $on expresiones de la forma# P ( x ) = 0 , donde P ( x ) es un polinomio de cuarto grado. /na ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner ba(o la forma canónica# a18 3 b17 3 c19 3 d1 3 e . /5 donde a, b, c, d y e %a G <& son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a * o a !. $ea H un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer ra-ces cuadradas y cúbicas %y por lo tanto tambi)n de cuarto orden, pues equivale a extraer ra-ces cuadradas dos veces seguidas&.
Resolución de ecuaciones cu*r'icas con una incó+ni'a 'l m)todo siguiente permite obtener las cuatro ra-ces al mismo tiempo, eso s-, despu)s de un largo cálculo. Los pasos de la resolución son#
"ividir la ecuación inicial por el coeficiente a %a G <&. $e obtiene# x3 8 bIx = 8 cIx7 8 dIx 8 eI 1 <, con bI 1 b+a, cI 1 c+a, dI 1 d+a y eI 1 e+a roceder al cambio de incógnita 0 1 x 8 bI+3, para suprimir el t)rmino cúbico. 'n efecto, al desarrollar %0 C bI+3& 3 con la identidad precedente, vemos aparecer el t)rmino CbI0 =, compensado exactamente por bI0 = que aparece en bI%0 C bI+3& =. $e obtiene# 0 3 8 p07 8 q0 8 r 1 <, con p, q y r números del cuerpo. Bactori0ar lo anterior en %0 7 8 R0 8 S &% 0 7 C R0 8 T&, lo que es posible porque no hay 0 = en el polinomio. "esarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones# S 8 T C R 7 1 p %coeficiente de 0 7& R% T C S & 1 q %coeficiente de 0& ST 1 r %t)rmino constante& "espu)s de algunos cálculos, hallamos# R F 8 7pR3 8 %p7 : 3r&R7 : q7 1 < 's una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, R sólo aparece con potencias pares. ongamos A 1 R 7. 'ntonces# A= 8 7pA7 8 %p C 3r&A C q 7 1 <, lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado. Luego se encuentra R, S y T, y se resuelven 0 7 8 R0 8 S1 < y 0 7 C R0 8 T 1 <, teniendo en cuenta que x 1 0 C bI+3. II: E$emlo% $ea x3 : Ex= 8 ;3x 7 : Ex 8 ;= 1 <, hallar el con(unto solución. $igamos los pasos descritos en el párrafo anterior. con y 1 x : ;+3 , es decir x 1 y 8 7, reempla0ando# %y 8 7& 3 : E%y 8 7&= 8 ;3%y 8 7& 7 : E%y 8 7& 8 ;= 1 < desarrollando se obtiene# y 3 : ;
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓ"NI#A !e&inición $ean a, b y c constantes reales con a ≠ <. $e llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que tenga alguna de las formas siguientes# ax 8 b P c, ax 8 b ≤ c, ax 8 b c o ax 8 b ≥ c ara resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el concepto de inecuaciones equivalentes. ara esto transformaremos la inecuación dada en otras equivalentes a la original, hasta obtener una inecuación de alguna de las formas# x P c, x ≤ c, x c o x ≥ c donde x es la incógnita y c es una constante. Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener inecuaciones equivalentes entre s-. 1. Permutación de miembros
$e pueden intercambiar los miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes. $ean a y b ⇒ aPb b a, a ≤ b ⇒ b ≥ a, a b ⇒ b P a o a ≥ b ⇒ b ≤ a '(emplo
∈
∈
3 P x : 7 ⇒ x : 7 3 E ≤ x 8 = ⇒ x 8 = ≥ E C= 7x 8 = ⇒ 7x 8 = P C= 7x : ; ≥ = ⇒ = ≤ 7x : ;
a. b. c. d.
2. Sumar una constante k a ambos miembros de la inecuación
$e puede sumar una constante V a ambos miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes. $ean a y b , V constante a P b ⇒ a 8 V P b 8 V , a ≤ b ⇒ a 8 V ≤ b 8 V, a b ⇒ a 8 V b 8 V o a ≥ b ⇒ a 8 V ≥ b 8 V
∈
∈
Por e$emlo# x 8 7 C= ⇒ x 8 7 8 C7 C= 8 C7 7x : = ≤ 9 ⇒ 7x C = 8 = ≤ 9 8 = C7x 8 9 ≥ 7 ⇒ C7x 8 9 8 C9 ≥ 7 8 C9 x : = P CK ⇒ x : = 8 = P CK 8 = 3. Multiplicar por una constante k positiva ambos miembros de la inecuación
$e puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante V positiva de acuerdo con las propiedades siguientes. $ean a y b , V constante positiva
∈
∈
E$emlo a.
7x : 3 1
b.
x:
4
c.
≤ F ⇒ 1 2
=x 8 7 P 9 1
d.
x8K
3
=
1 2
%7x : 3&
≤
1
%F&
2 1 3.= 2
⇒ 3 14 x −
⇒ K%=x 8 7& P K.9 1 ≥ C= ⇒ F 3 x + 7 ≥ F%C=&
4. Multiplicar por una constante k negativa ambos miembros de la inecuación.
$e puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante V negativa de acuerdo con las propiedades siguientes. $ean a y b , V constante negativa
∈
∈
E$emlo a. b. c. d.
⇒ C= −31 x C=.K 3 C7x ≤ 9 ⇒ C;;%C7x& ≥ C;;.9 :x 8 = 7 ⇒ C;%Cx 8 =& P C;. 7 − x − x + 8 2 ≥ 9 ⇒ − 2 C
1
xPK
2
2
≤ −
2
2
.9
Observación ara resolver inecuaciones, además de las transformaciones enunciadas e ilustradas anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la multiplicación definidas en %conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.& >eamos algunos e(emplos los cuales se resuelven usando algunas de las transformaciones anteriores. ;. *esolver# 3 x − 5 ≥ 4 x + 2
*esolución − x − 5 ≥ 2 *estando 3 x en cada miembro# − x ≥ 7 $umando 9 en cada miembro# ultiplicando ambos miembros por %:;& y cambiando el sentido de la desigualdad# !.$. 1 %C Q, CKW 7. *esolver la inecuación#
x − 3 x − 4
x
≤ −7
<1
*esolución# • "estacar que si se multiplica por x – 3, se produce una ambigXedad ya que esa expresión contiene a la variable y se desconoce por tanto si es positiva o negativa. /na forma de proceder que evita la necesidad de multiplicar por x : 3 es la que sigue# *estando ; en ambos miembros# 'fectuando la diferencia#
x − 3
−1< 0 x − 4 x − 3 − ( x − 4) x − 4 1
'fectuando y simplificando# , como el numerador es positivo# $umando 3 en ambos miembros# !.$. 1 %CQ, 3&
<0
<0
x − 4 x : 3 P < x P 3
=. *esolver# −1 < 2 − 5x ≤ 4 • 'l problema se puede tratar como dos inecuaciones lineales y resolverlas independientemente, pero es preferible proceder con la doble desigualdad y hacer pasos que la transformen en inecuaciones equivalentes hasta llegar a una en la que el termino central sea solamente x *esolución# −3 < −5 x ≤ 2 *estando 7 en los tres miembros# "ividiendo por : 9 y cambiando el sentido de las desigualdades# 'scribiendo la desigualdad en otro orden#
!.$. = − , 5 2
2
3
5
5
− ≤ x<
3 5
> x ≥ −
2 5
3
5
Dota 'n el proceso de resolución de inecuaciones no es necesario indicar todas las transformaciones que se realicen. 'n los e(emplos anteriores hemos resuelto inecuaciones en la cuales, despu)s de haber reali0ado algunas transformaciones obtenemos una desigualdad de alguno de los tipos x P c, x ≤ c, x c o x ≥ c, donde es la incógnita y es una constante real. $in embargo al resolver inecuaciones, despu)s de reali0ar ciertas transformaciones podemos obtener una desigualdad num)rica de alguno de los tipos a P c, a ≤ c, a c o a ≥ c, en estos casos el con(unto solución de estas inecuaciones se determina de acuerdo con las siguientes reglas. Regla 1
$i en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad num)rica verdadera, entonces el con(unto solución de la inecuación original es el dominio de la incógnita. Regla 2
$i en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad num)rica falsa, entonces el con(unto solución de de la inecuación original es el con(unto vac-o % φ &. E$emlo *esuelva cada una de las siguientes inecuaciones %x : 7&7 : x7 8 3x ≥ < x7 : 3x 8 3 : x 7 8 3x ≥ <
3 ≥ < !omo esta desigualdad es verdadera entonces el con(unto solución de %x : 7& 7 : x7 8 3x incógnita, en este caso
≥ < es el dominio de la
%x : =&%x 8 7& : %x7 : x 8 E& < x7 8 7x : =x : F : x 7 8 x : E < C;3 < !omo esta desigualdad es falsa, entonces el con(unto solución de %x: =&%x 8 7& : % x 7 : x 8 E& < es
φ
Inecuaciones en las
∈
∈
E$emlo% *esuelva # % x 8 =&% x : 7 & P < Aplicando la propiedad 7 anterior se tiene que# % x 8 =&% x : 7 & P < ⇒ Y% x 8 = < y x : 7 P <& ó % x 8 = P < y x : 7 <&W Analicemos el caso x 8 = < y x : 7 P < 'n este caso se tiene que# x C= y x P 7 $; 1 W C= 8 Y y $7 1 W C 7Y
∞
∞
$= 1 $; ∩ $7 1 ] 3;2[ Analicemos el caso x 8 = P < y x : 7 < 'n este caso se tiene que# x P C= y x 7 $3 1 W C C=Y y $9 1W 7 8 Y −
∞
∞
$F 1 $3 ∩ $9 1 φ La solución final será igual a la unión de las soluciones obtenidas en ambos casos# Dota# 'l procedimiento usado anteriormente para resolver inecuaciones de este tipo es un poco largo y tedioso, por esta ra0ón es que preferimos resolver este tipo de inecuaciones por medio de una Ztabla de signosZ, en la cual usaremos dos resultados generales que se enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos e(emplos que son casos particulares de dichos resultados. E$emlo ara cada uno de los casos siguientes determine el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en donde dicha expresión es negativa. a. 7x 8 =
b. :x 8 = *esolución a 7x 8 = es positiva si y sólo s-# 7x 8 = < → 7x C= x C=+7 o sea# 7x 8 = es positiva si y sólo s-# x ] −3 / 2;+∞ [ 7x 8 = es negativa si y sólo s-# 7x 8 = P < → 7x P C= x P C=+7 o sea# 7x 8 = es negativa si y sólo s-# x ] −∞;−3 / 2[ 'n forma resumida se tiene#
∈ ∈
*esolución b Cx 8 = es positiva si y sólo s-# Cx 8 = < → Cx C= x P = o sea# Cx 8 = es positiva si y sólo s-# x ]
∈
;3[
−∞
Cx 8 = es negativa si y sólo s-# Cx 8 = P < → Cx P C = x = o sea# Cx 8 = es negativa si y sólo s-# x ]3;+∞ [ 'n forma resumida se tiene#
∈
*esultado ; $i a y b son constantes reales tales que a <, y x es variable real, entonces se cumple que# ax 8 b < ⇔ x Cb+a ax 8 b P < ⇔ x P Cb+a 'n forma resumida podemos expresar este resultado en la ZtablaZ siguiente#
*esultado 7 $i y son constantes reales tales que a P <, y es variable real, entonces se cumple que# ax 8 b < ⇔ x P Cb+a ax 8 b P < ⇔ x Cb+a 'n forma resumida podemos expresar este resultado en la ZtablaZ siguiente#
INECUACIONES CUA!R>#ICAS !e&inición $ean a, b, c constantes reales tales que a ≠ <. $ea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma ax 7 8 bx 8 c y el otro miembro es cero. $on inecuaciones cuadráticas# a& x7 8 7x 8 ; P < c& 7x7 8 E < b& x7 : 9x 8 F ≥ < d& =x7 : 7K ≤ < Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos. Caso 1:
!onsideremos como !aso ;, aquel en el cual la expresión ax 7 8 bx 8 c es factori0able % ∆ ≥ 0 &. ara resolver estas inecuaciones se debe factori0ar la expresión ax 7 8 bx 8 c, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para
resolver las inecuacio nes de los e(e mplo s anterio res %por medio de una [[tabla de signosZ& *ecuerde que si la expresión ax 7 8 bx 8 c es factori0able entonces se cumple que# '(emplo a& x7 : 7x : =9 P < ara la expresión x7 : 7x : =9 se tiene# ∆ 1 %C7&7 : 3%;&%C=9& 1 3 8 ;3< 1 ;33 x7 : 7x : =9 es factori0able y además# as-# x7 : 7x : =9 1 %x : K&%x 8 9& x7 : 7x : =9 P < ⇔ %x : K&%x 8 9& P < *esolviendo esta última inecuación se tiene#
or lo tanto el con(unto solución de x 7 : 7x : =9 P < es# ] b& C=x7 8 x 8 7 < ∆ 1 79 7 C=x 8 x 8 7 es factori0able y además# as-# C=x7 8 x 8 7 1 C=%x 8 7+=&%x : ;& C=x7 8 x 8 7 < ⇔ C=%x 8 7+=&%x : ;& <
−2
$1 c& x : 3x ≤ < x7 : 3x ≤ < ⇔ x%x : 3& 7
≤<
$ 1 ] 0;4[ 7
d & K :x P< K : x7 P < ⇔ %
7
C x &%
7
8 x& P <
3
;1
5;7[
−
Caso 2:
!onsideremos como !aso 7, aquel en el cual la expresión ax 7 8 bx 8 c no es factori0able % ∆ < 0 &. ara resolver estas inecuaciones usaremos el siguiente teorema# ?eorema $ean a, b, c, constantes reales y x una variable ral tales que a ≠ < y b 2 − 4ac P < % ∆ < 0 &, entonces se cumple que#
∀c ∈ ii. $i a P < entonces ax 8 bx 8 c P < ∀c ∈ i. $i a < entonces ax 7 8 bx 8 c < 7
E$emlo a& 7x7 8 x 8 = < 'n este caso, para la expresión 7x 7 8 x 8 = se tiene# y $1 b& :x7 : x : ; ≥ < a 1 C; y ∆ 1 C= el con(unto solución de :x 7 : x : ;
≥ < es φ
c& =x7 C 9x 8 = ≤ < a 1 = y ∆ 1 C;; $ 1 φ 7
d& C3x 8 =x : 9 P < a 1 C3 y ∆ 1 CK; $ 1
INECUACIONES POLIMONIALES !E "RA!O MA?OR @UE 9 !e&inición Llamaremos inecuación polinomial de grado mayor que 7, a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que 7, y el otro miembro es cero. '(emplo $on inecuaciones polinomiales de grado mayor que 7# a. x= : 3x7 8 x 8 F ≤ < b. 7x3 : 3x7 C Fx < c. x9 8 =7 ≥ <
d. x= 8 7x7 8 x 8 7 P < ara resolver inecuaciones polinomiales de grado mayor que 7, frecuentemente es necesario factori0ar el polinomio que es miembro de la ecuación. /na ve0 factori0ado dicho polinomio se aplicará alguno de los m)todos estudiados anteriormente para resolver inecuaciones.
E$emlo a. x= : 3x7 8 x 8 F ≤ < x= : 3x7 8 x 8 F 1 %x 8 ;&%x 7 : 9x 8 F& x7 : 9x 8 F 1 %x : 7&%x : =& x= : 3x7 8 x 8 F 1 %x 8 ;&%x : 7&%x : =& x= : 3x7 8 x 8 F ≤ < ⇔ %x 8 ;&%x : 7&%x : =&
≤ <
$ 1 ] −∞ ;−1[ ∪ [ 2;3] =
7
b. 7x : 7x : 7 x : 3 < 7x= : 7x7 : 7 x : 3 1 %x : 7&%7x 7 8 7x 8 7& Ahora para 7x 7 8 7x 8 7 tenemos que# ∆ 1 %7&7 : 3%7&%7& 1 C;7 !omo ∆ P < entonces 7x7 8 7x 8 7 DJ es factori0able, pero como ∆ P < y %coeficiente de 7 7 anterior tenemos que# 7x 8 7x 8 7 < ∀ x . J sea , 7x 8 7x 8 7 es positivo ∀ x . = 7 7 ⇔ As- tenemos que# 7x : 7x : 7 x : 3 < %x : 7&%7x 8 7x 8 7& <
∈
∈
$ 1 ] 2;+∞[ c. Cx3 8 7x7 8 =x 8 7 ≥ < Cx3 8 7x7 8 =x 8 7 1 %x 8 ;&%Cx= 8 x7 8 x 8 7& Cx= 8 x7 8 x 8 7 1 %x : 7&%Cx 7 : x : ;& %\\& y para :x7 : x : ;, tenemos# ∆ 1 %C;&7 : 3%C;&%C;& 1 ; : 3 1 C= !omo ∆ P <, entonces :x 7 : x : ; no es factori0able, pero por el teorema anterior. :x7 : x : ; P < ∀ x , o sea :x7 : x : ; es negativo, ∀ x . 3 7 7 Cx 8 7x 8 =x 8 7 1 %x 8 ;&%x : 7&%Cx : x : ;& Cx3 8 7x7 8 =x 8 7 ≥ < ⇔ %x 8 ;&%x : 7&%Cx7 : x : ;& ≥ <
∈
∈
& por el teorema
$ 1 [ − 1;2 ] d. x3 : 7x= : 3x7 8 Ex < x3 : 7x= : 3x7 8 Ex 1 x %x= : 7x7 : 3x 8 Ex& x= : 7x7 : 3x 8 Ex 1 %x : 7&%x7 : 3& x7 : 3 1 %x : 7&%x 8 7& x3 : 7x= : 3x7 8 Ex 1 x%x : 7& %x : 7&%x 8 7& x3 : 7x= : 3x7 8 Ex < ⇔ x%x : 7& %x : 7&%x 8 7& <
$ 1 ] −∞ ;− 2[ ∪ ]0;2[ ∪ ] 2;+∞[
INECUACIONES EN LAS @UE UNO !E SUS MIEMBROS ES UN COCIEN#E ? EL O#RO MIEMBRO ES CERO P ( x ) P ( x ) P ( x) P ( x ) ≤0 ≥ 0 , en donde %x& y ]%x& son polinomios con $on de la forma# P< < Q ( x )
Q ( x)
]%x&
Q ( x )
Q ( x )
≠ <. ;.
*esolver
7.
*esolver
=.
*esolver
3.
*esolver
P ( x )
P < es equivalente a resolver %x&.]%x& P <
Q ( x )
P ( x ) Q ( x )
≤ 0 es equivalente a resolver %x&.]%x& ≤ <
P ( x ) Q ( x )
P ( x ) Q ( x )
< es equivalente a resolver %x&.]%x& <
≥ 0 es equivalente a resolver %x&.]%x& ≥ <
or lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno de s us miembros es un cociente y el otro miembro es cero, usaremos tablas de signos tal y como si hi0o para resolver inecuaciones, en las cuales uno de sus miembros es un producto y el otro es cero. E$emlo%
a)
x − 2 x + 3
≥0
'n este caso debe cumplirse que x 8 = sea diferente de cero pero x 8 = 1 < ⇔ x 1 C=. or lo anterior, x 8 = es diferente de cero s- y sólo si x es diferente de C= , o sea C= no pertenece al dominio de la incógnita. La Ztabla de signos Z correspondiente a esta inecuación se obtiene as-#
$1 ] −∞;−3[ ∪ [ 2;+∞[ Dota# ;& La doble linea vertical en C=, se utili0ó para indicar que C= no pertenece al dominio de la incógnita. 7& C= no se incluye en el con(unto solución, por no pertenecer al dominio de la incógnita. b&
6 ( x − 3)(2 − x)
x:=
≥0
≠ < y 7 : x ≠ < , o sea x ≠ = y x ≠ 7, por lo que = y 7 no pertenecen al dominio de la incógnita.
$ 1 ] 2;3[ '(emplo c&
x 2
− 4 x − 5 >0 x − 4
x≠ 3
7
x : 3x : 9 1 %x : 9&%x 8 ;& x 2
− 4 x − 5 >0 x − 4
⇔
( x − 5)( x + 1) x − 4
>0
$1 ] −1;4[ ∪ ]5;+∞ [
AC#IVI!A!ES ;.
1 + 1 ( 2 x + 3n + 4m ) = 9 y hallar los valores de x. 2 x + 3n x + 4m
*esolver#
"eterminar ^V 8 ;_, tal que la ecuación cuadrática# x 7 : 7%V7 : 3V& x 8 m 3 1m3 : V 3 tenga como con(unto solución a un con(unto unitario de elementos no nulos. =. $ea la ecuación cuadrática %x : =&7 8 % 7 + 2 10 & x 1 9 : Fx hallar una de sus ra-ces. 3. *esuelve las siguientes ecuaciones# x3 8 3x= 8 7x7 8 7
a& x= : ;7x 8 ;F ≥ < c& 7x3 : 9x= 8 3x7 : x <
b& 7x= : x7 C ;Ex 8 U ≤ < d& x3 : 7x= : =x7 8 Ex : 3 P <
x 2 + 3 e& ( x + 5)( x + 3)
f&
≤0
−6 x <0 g& − x 2 + 3 x − 2
i&
(4x + 2)2 (x2
+ 3)3 (2x − 8)9 ≥0 ( x + 1)2 (2x + 5)13
− 3 x 2 + 5 x − 3 h& 3 < 2 x + 2 x + x + 2 (& 6ndicar lo incorrecto de# A& %x78 ;& < → !.$. = * M& %x78 7x8 7&%xC ;& P < → !.$. = PC ∞ ; !& %x78 =x8 9&%x8 7& ≥ < → !.$. = YC7 ∞ W "& %x78 3x8 F&%x8;&7 P < → !.$. = φ '& %x7 C Fx8 ;<&%x C;&3 ≤ < → !.$. = φ
