0a6cap 14 Distribuciones de Probabilidad

Distribuciones de probabilidad 14.1 VARIA ARIABLES BLES ALEA ALEATORIAS Y DISTRIBUCION DISTRIBUCIONES ES DE PROBABILIDAD 14.2 MEDIDAS DE LA TENDENCIA CENTRA CENTRALL Y VARIA VARIACIÓN CIÓN 14. 4.3 3 DIS DISTRIBUCI TRIBUCIÓN ÓN DE LA LA PROBA PROBABILIDA BILIDAD D BINOMIAL BINOMIAL 14. 4.4 4 DIS DISTRIBUCI TRIBUCIÓN ÓN DE LA PROBA PROBABILIDA BILIDAD D NORMAL NORMAL Términos y conceptos clave Fórmulas importantes Ejercicios adicionales Evaluación del capítulo

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ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Crédito al consumidor

Una importante institución bancaria emite tarjetas de crédito bajo el nombre VISACARD. Ha determinado que, en promedio, 40% de todas las cuentas de tarjetas de crédito se liquidan por completo después de la facturación inicial. Es decir, para cualquier mes, 40% de todas las cuentas que presentaban nuevos cargos en su último estado de cuenta no incurrirán en cargos por intereses. En una muestra de seis cuentas seleccionada de forma aleatoria, se quiere determinar la probabilidad de que ninguna de las seis haya pagado cargos por intereses en sus últimos estados de cuenta (ejemplo 18).

Una rama de las matemáticas recibe el nombre de estadística. Ésta se ocupa de la obtención, organización, descripción y análisis de datos. En una aplicación, la finalidad de la estadística suele ser llegar a conclusiones que estén basadas en los datos obtenidos a partir del fenómeno de interés. En el presente capítulo se ofrece una breve introducción a la estadística. En las dos primeras secciones se desarrollarán las nociones de variables aleatorias, distribuciones de frecuencias, distribuciones de probabilidad y algunos atributos especiales de las distribuciones de probabilidad. En las dos últimas secciones se describen las dos distribuciones de probabilidad que más se emplean: las distribuciones binomial y normal.

14.1

Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad En esta primera sección se expondrán los conceptos de variables aleatorias, distribuciones de frecuencias y distribuciones de probabilidad .

Variables aleatorias Ejemplo 1

(Administración de un banco de sangre) El director de un banco de sangre de la localidad está preocupado por la cantidad de sangre que se pierde a causa del deterioro. La sangre es un producto perecedero, y su vida útil es de 21 días en este banco. Todos los días el personal debe identificar las unidades de sangre que tengan más de 21 días y quitarlas de los estantes. El número de unidades que es preciso desechar fluctúa diariamente, dependiendo de las tasas de adquisición y de las del uso de sangre. Para conocer mejor el problema, el director quiere efectuar un experimento en el cual se lleve un registro diario del número de unidades extraídas del inventario. En el experimento, los sucesos simples son el número de unidades que se sacan todos los días del inventario. Si X representa esas unidades, el espacio de muestra constará de los valores 0, 1, 2, 3, . . . X es un ejemplo de una varia-













Tabla 14.1

Eventos simples en S

Variable aleatoria (número de declaraciones que contienen errores) X

Probabilidad

EEE EEN ENE ENN NEE NEN NNE NNN

3 2 2 1 2 1 1 0

(0.4)(0.4)(0.4) = 0.064 (0.4)(0.4)(0.6) = 0.096 (0.4)(0.6)(0.4) = 0.096 (0.4)(0.6)(0.6) = 0.144 (0.6)(0.4)(0.4) = 0.096 (0.6)(0.4)(0.6) = 0.144 (0.6)(0.6)(0.4) = 0.144 (0.6)(0.6)(0.6) = 0.216

lizó un experimento donde se seleccionaron de modo aleatorio tres experimentos y se examinaron en busca de errores. La figura 13.19 (página 629) describe el árbol de probabilidad de este experimento. El espacio de muestra S del experimento se compone de un conjunto de eventos simples S

ϭ

{ EEE, EEE, EEN, EEN, ENE, ENN, ENN, NEE, NEN, NEN, NNE, NNN NNN }

donde cada evento simple representa un resultado posible del análisis de tres declaraciones de impuestos. La tabla 14.1 ofrece un resumen de los eventos junto con sus probabilidades de ocurrencia. En el experimento quizás haya menor interés por la serie de hallazgos sin error y mayor interés por el número de declaraciones que contienen error. Las que contienen error en una muestra de tres declaraciones son 0, 1, 2 o 3. Así pues, podría definirse una variable aleatoria X para el experimento, donde X representa la cantidad de declaraciones que contienen errores. La variable aleatoria X asigna a cada evento simple dentro del espacio de muestra un número: 0, 1, 2 o 3. Estas asignaciones se obser❑ van en la tabla 14.1.

Si una variable aleatoria puede adoptar sólo un reducido número de valores bien diferenciados, se le da el nombre de variable aleatoria discreta. Los resultados de un experimento que mida el número de unidades de la demanda diaria de un producto pueden ser representados mediante una variable aleatoria discreta. Y los resultados de un experimento que mida la cantidad de automóviles que pasan por una caseta de cobro cada hora pueden representarse del mismo modo. Variable aleatoria continua es el nombre que recibe una variable aleatoria que puede asumir cualquiera de la infinidad de valores comprendidos dentro de un intervalo de números reales. En un experimento que selecciona en forma aleatoria a un grupo de personas y













de las frecuenci frecuencias as. Mediante ella se resume cada valor posible de una variable aleatoria, así como el número de ocurrencias ocurrencias,, o la frec frecuenc uencia ia para ese valor.

Ejemplo 3

(Administración de un banco de sangre, continuación) Considérese el caso del banco de sangre mencionado antes. Para entender mejor el problema del deterioro de la sangre, el director llevó a cabo un experimento en un periodo de 80 días. Al final de cada día se anotaba el número de unidades que se eliminaban del inventario por haberse deteriorado, representado por X . Ésta es la variable aleatoria del experimento. La tabla 14.2 es una distribución de las frecuencias que resume los resultados del experimento. Esta distribución de frecuencias muestra en forma adecuada los datos tabulados del experimento.

Distribución de la frecuencia para el deterioro sanguíneo

Tabla 14.2

X ) Unidades extraídas del inventario ( X

Ocurrencias

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 6 8 8 10 16 14 10 6 80

Luego de estudiar los datos, el director implantó un nuevo programa de administración de la sangre, introduciendo cambios en los programas destinados a obtener sangre y los procedimientos de intercambio de ese producto con otros bancos de sangre que participaban en una cooperativa regional de bancos de sangre. Con objeto de determinar si con las nuevas políticas se había logrado reducir las tasas de pérdida, se efectuó un experimento similar durante un periodo de 50 días. Los resultados se resumen en la distribución de la frecuencia de la tabla 14.3.

Tabla 14.3


0

Ocurrencias 3













Tabla 14.4

Tabla 14.5


Frecuencia relativa

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2/80 = 0.025 6/80 = 0.075 8/80 = 0.100 8/80 = 0.100 10/80 = 0.125 16/80 = 0.200 14/80 = 0.175 10/80 = 0.125 6/80 = 0.075 80/80 = 1.000


Frecuencia relativa

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3/50 = 0.060 5/50 = 0.100 8/50 = 0.160 12/50 = 0.240 9/50 = 0.180 5/50 = 0.100 4/50 = 0.080 3/50 = 0.060 1/50 = 0.020 50/50 = 1.000

Aunque las tablas 14.2 y 14.3 contienen los datos reunidos respecto de la misma variable aleatoria, no es fácil comparar directamente los resultados de ambos experimentos debido a la diferente duración de ellos (80 y 50 días, respectivamente). A fin de hacer más comparables los datos, puede obtenerse en cada experimento la frecuencia relativa de cada valor de la variable aleatoria. Esto se hace dividiendo el número de ocurrencias (la frecuencia) entre el número total de observaciones del experimento. En las tablas 14.4 y 14.5 se incluyen los resultados de los experimentos en que se usan frecuencias relativas. No nos detendremos a tratar de sacar conclusiones concernientes a los resultados de los dos ex-













Tabla 14.6

Distribución de probabilidad discreta generalizada X = x i) Valor de la variable aleatoria ( X

xi) Probabilidad P( x

x 1 x 2 x 3 . . . x n

p1 p2 p3 . . . pn

1.0

de ocurrencia p1, p2, p3,..., pn, en la tabla 14.6 se indica la correspondiente distribución de probabilidad discreta. Puesto que todos los valores posibles de una variable aleatoria quedan incluidos en una distribución de la probabilidad, la suma de las probabilidades siempre será igual a 1. Las frecuencias relativas que se dan en las tablas 14.4 y 14.5 pueden interpretarse como probabilidades. En consecuencia, las dos tablas ofrecen ejemplos de dos distribuciones de la probabilidad.

Ejemplo 4

En el ejemplo 2 se analizó un experimento donde se seleccionaban en forma aleatoria y se examinaban tres declaraciones de impuestos, para determinar si contenían errores. En la tabla 14.1 se mostró la asignación de valores de la variable aleatoria a cada evento simple del espacio de muestra. Una vez conocidas las probabilidades de cada evento simple y hecha la definición de variable aleatoria, el siguiente paso lógico consiste en construir la correspondiente distribución de la probabilidad. Los posibles valores de la variable aleatoria “número de declaraciones que contienen error” son 0, 1, 2 y 3. Para construir la distribución de la probabilidad, basta identificar todos los eventos simples relacionados con cada valor específico de la variable aleatoria y sumar las probabilidades de que los eventos alcancen la probabilidad de ese valor aleatorio. Así, los eventos simples asociados al valor X = 2 son EEN , ENE y NEE . Al sumar las probabilidades de estos tres eventos mutuamente excluyentes, como se muestra en la tabla 14.7, se llega a la conclusión de que P( X X = 2) = 0.288. Si se aplica un proceso análogo a los otros valores de X , el resultado es la distribución de la probabilidad de la tabla 14.8.

Tabla 14.7

Eventos simples

Variable aleatoria (número de















Distribución de probabilidad discreta del ejemplo de hacienda

Tabla 14.8

X ) Número de declaraciones con errores ( X

X ) Probabilidad P( X

0 1 2 3

0.216 0.432 0.288 0.064 1.000

❑

Debieran considerarse las siguientes propiedades generales en relación con las distribuciones de probabilidad:

Propiedades de las distribuciones de probabilidad discreta Dada una variable aleatoria discreta X que puede adoptar n valores x 1, x 2, x 3,..., x n: 1. Sólo una probabilidad P( X X = x i) deberá asignarse a cada valor de la variable aleatoria.

2. 0 ≤ P( X X = x i) ≤ 1 para toda x i . 3. P( X X = x 1) + P( X X = x 2) + P( X X = x 3) + ... + P( X X = x n) = 1.0.

Histogramas













Resultados del experimento original (n = 80)

0.25

0.25

0.20

0.20

d a d i l i b0.15 a b o r P

d a d i l i b0.15 a b o r P

0.10

0.10

0.05

0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

0

8

Número de unidades de sangre retiradas del inventario

Figura 14.1 a) b)

Tabla 14.9

Resultados experimentales después del nuevo programa (n = 50)

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de unidades de sangre retiradas del inventario

¿Qué probabilid probabilidad ad hay de que un cliente espere espere a que lo atienda un cajero? cajero? ¿Qué probabilidad probabilidad existe existe de que un cliente cliente espere menos de dos dos minutos? ¿Y más más de tres minutos?

Tiempo de espera, X , minutos

P( X X )













b) P(espera < 2 minutos) = P( X X = 0) + P( X X = 1)

= 0.32 + 0.24 = 0.56 P(espera > 3 minutos) = P(X = 4) + P( X X = 5)

= 0.09 + 0.05 = 0.14

❑

Sección Secc ión 14. 4.1 1 Eje Ejerci rcicio cioss de de segui seguimie miento nto Dadas las siguientes variables aleatorias para una serie de experimentos, ¿cuáles son discretas y cuáles son continuas? a) El peso de de los alumnos alumnos de una escuel escuelaa de enseñanza enseñanza media. media. número de cigarros cigarros que que se fuman fuman diariamente diariamente.. b) El número temperaturaa corporal corporal de una person personaa en cierto cierto momento. momento. c) La temperatur talla de de un recié reciénn nacido nacido.. d ) La talla solicitudess de asistencia asistencia social que todos todos los días recibe recibe una oficina. oficina. e) El número de solicitude cantidad de agua agua que una comunid comunidad ad consume consume al día. día. f ) La cantidad g) El número de de granos de arena arena que todos todos los días hay hay en una playa. playa. batería tamaño tamaño “AA”. h) La vida útil de una batería 2. Obras públicas El director de obras públicas de una ciudad de Nueva Inglaterra ha verificado los registros del municipio para averiguar el número de nevadas que han caído en los últimos 50 años. La tabla 14.10 contiene una distribución de frecuencias que resume los resultados. Construya uya la distribuci distribución ón de probabilidad probabilidad para para este estudio. estudio. a) Constr Dibujee un histogram histogramaa para esta esta distribuc distribución. ión. b) Dibuj c) ¿Qué probabilid probabilidad ad hay de que caigan más de dos grandes grandes tormentas tormentas en un año determinado? determinado? ¿Y de que caigan tres o menos? 1.













Tabla 14.11

Número de alarmas falsas

Frecuencia

0 1 2 3 4 5 6 7

75 80 77 40 28 24 20 16 360 4.

Tabla 14.12

Control de calidad Las series de producción para un producto en particular se realizan en tamaños de lote de 100 unidades. Cada unidad se inspecciona para cerciorarse de que no tenga defecto en absoluto. El número de unidades defectuosas por serie parece ser aleatoria. Un ingeniero de control de calidad ha reunido datos relativos a la cantidad de unidades defectuosas en las últimas 50 series de producción. En la tabla 14.12 se muestra una distribución de las frecuencias que resume los resultados. Construya uya la distrib distribución ución de de la probabilid probabilidad ad para este este estudio. estudio. a) Constr Dibuje uje un histo histogra grama ma de la distr distribu ibució ción. n. b) Dib c) ¿Qué probabili probabilidad dad hay de que una una serie de producci producción ón dé por resultado resultado menos menos de 10 unidaunidades defectuosas? ¿Y que dé más de l0?

Núme Nú merro de de uni unida dade dess def defec ectu tuos osas as 5

Frec Fr ecue uenc ncia ia 3













Tabla 14.13

Número de conductores ebrios

Frecuencia

0 1 2 3 4 5 6 7 8

8 20 26 28 26 16 14 10 2 150 a) b) c) 6.

7.

8.

Construya la distribu Construya distribución ción de probabili probabilidad dad de este estudio estudio.. Dibuje Dibu je un histogr histograma ama de la distribu distribución. ción. ¿Qué probabilid probabilidad ad hay de que un retén de calles identifi identifique que a conductores conductores ebrios? ebrios? ¿Y de que identifique cinco o más? Construya la distribución de probabilidad discreta que corresponde al experimento de lanzar una moneda ferial tres veces. Suponga que la variable aleatoria X sea el número de veces que cae cara en tres lanzamientos. ¿Qué probabilidad hay de que dos o más veces caiga cara? Construya una distribución de probabilidad discreta que corresponda al experimento de lanzar una sola vez un par de dados. Suponga que haya igual probabilidad de que caiga cada lado o cara del dado y que la variable aleatoria X sea la suma de puntos que aparecen en el par. Desempleo Las estadísticas del desempleo en un estado occidental de la Unión Americana indican que 6% de las personas elegibles para trabajar carecen de empleo. Suponga que se lleva a cabo un experimento y en él se seleccionan en forma aleatoria tres personas y se apunta si tienen empleo o no. Si la variable aleatoria aleatoria de este experimento se define como el número de desemplea-















14.2

Medidas de la tendencia central y variación Dado un conjunto de datos reunidos durante algún experimento, con frecuencia se desea describirlos mediante una sola medida o número. El número que se escoja dependerá del atributo o cualidad particular que se quiera describir. En ciertos experimentos se querrá describir los extremos de los valores de los datos. En tales casos podría encontrarse el más pequeño, el mayor o ambos en el conjunto de datos. Por ejemplo, un estudio dedicado a los partos múltiples en ratones debido a la administración de un fármaco que aumente la fertilidad podría concentrarse en el número más alto de partos en un ratón cualquiera. En otro experimento, tal vez se desee conocer el total o la suma de los valores de un conjunto de datos. En un experimento que registre la cantidad de puntos encestados por Larry Bird o Michael Jordan en determinada temporada, se querrán describir los datos calculando el total de puntos conseguidos cons eguidos en la temporada.

La media En la mayor parte de los experimentos se busca describir describir el centro, o parte media, del conjun-















$3100000 x

ϭ

ϭ

3225

$961.24 (redondeado al centavo más cercano)

❑

Tratándose de grandes conjuntos de datos en que varios resultados se presentan con distinta frecuencia, se puede modificar la ecuación (14.1) y reducir así el número de cálculos. Dado un conjunto de valores x1, x2, x3, . . . , x n, que ocurren con las respectivas frecuencias, f 1, f 2, f 3, . . . , f n, la media se calcula así: x

Ejemplo 8

x1 f 1

x2 f 2 f 1 f 2

x3 f 3 f 3

x

n

f

f

n

(14.2)

n

En la tabla 14.2 (página 652) se indicó la distribución de frecuencias del experimento del banco de sangre que duró 80 días. Mediante la ecuación (14.2) puede determinarse el número medio de unida-















La mediana Otra de las medidas de posición central es la mediana. Cuando el número total de datos individuales es impar, la mediana es el valor del elemento medio cuando los datos individuales se disponen por orden creciente o decreciente. En el ejemplo del juego de golf, la puntuación mediana se obtiene colocando primero las puntuaciones en orden creciente (o decreciente). Como se aprecia, el elemento de la mitad es 78, y es la mediana del con junto de datos. 72

76

78

80

140

Cuando el número total de datos individuales es par , la mediana es la media de los dos datos individuales que ocupan la posición intermedia dentro del conjunto de datos.

Ejemplo 9

(La Sociedad Audubon) Una filial local de esta sociedad dedicó el fin de semana a realizar una encuesta de población sobre una especie particular de aves. En ella participaron 20 miembros de la sociedad y sus observaciones totales confirmadas se incluyen a continuación, dispuestas por orden creciente de magnitud. Dado un número par de elementos individuales, los dos miembros de la mi-















Tabla 14.15

Respuestas

Entrevistados

Excelente Muy bueno Bueno Deficiente Muy malo

4 532 8 849 5 953 531 13 5

Media de una distribución de probabilidad discreta Media de una distribución de probabilidad discreta Si una variable aleatoria discreta X puede adoptar n valores x 1, x 2,..., x n que tengan las respectivas probabilidades de ocurrencia p1, p2,..., pn, el valor medio µ de la variable aleatoria es

❑















Ejemplo 13

(Número telefónico para casos de drogadicción) Una ciudad ha establecido una línea telefónica de atención a fin de ofrecer ayuda a quienes desean superar sus problemas de drogadicción. El director del programa reunió datos sobre la cantidad de llamadas recibidas cada día. La tabla 14.16 contiene la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria. ¿Cuál es el número medio de llamadas por día? SOLUCIÓN Si se utiliza la ecuación (14.3), el número medio de llamadas por día es µ = 5(0.08) + 6(0.14) + 7(0.18) + 8(0.24) + 9(0.16) + 10(0.10) + 11(0.08) + 12(0.02) = 7.98

Tabla 14.16

X ) Llamadas por día ( X 5 6 7 8

P( X X )

0.08 0.14 0.18 0.24

















grupo fue 72 y la más alta 140. En consecuencia, el intervalo en este conjunto de datos es 140 – 72 = 68. Si se considera este resultado como una medida de la variación de las puntuaciones, se advierte una considerable variabilidad. En el conjunto de datos, la realidad es que cuatro de las puntuaciones muestran relativamente poca variación entre sí. La puntuación de 140 es atípica. Este ejemplo muestra que el intervalo es una medida fácil de calcular y entender. Sin embargo, no suministra información sobre los valores de los datos que se encuentran entre los extremos.

















Ejemplo 14

En el ejemplo 6 se determinó la puntuación promedio de un estudiante que había realizado cinco exámenes durante un curso de matemáticas a nivel universitario. La puntuación promedio, si las califi – = 84.0. He aquí la varianza de este caciones en los cinco exámenes fueron 78, 96, 82, 72 y 92, fue x conjunto de datos: Var( x x)

(78

2

84)

(96

2

84)

2

(82

84) 5

(72

84)

2

(92

2

84)

















Ejercicio de práctica Calcule la desviación estándar de las distribuciones de probabilidad (tablas 14.4 y 14.5) en el ejemplo del banco de sangre. Respuesta: ␴ 1 = 2.107, ␴ 2 = 1.919.

















11.

Tabla 14.20

La tabla 14.20 presenta una distribución de probabilidad discreta relacionada con la demanda diaria de un producto. Determine ine la media de de la demanda demanda diaria diaria.. a) Determ la desviación desviación estánda estándarr de la demanda demanda diaria? diaria? b) ¿Cuál es la

(X ) Número de demandas diarias X

P( X X )

















14.

15.

16.

17.

En el ejercicio 2 de la sección 14.1 calcule: a) la media de grandes nevadas por año y b) la desviación estándar de distribución de la probabilidad. En el ejercicio 3 de la sección 14.1, calcule: a) la media de alarmas falsas por día y b) la desviación estándar. En el ejercicio 4 de la sección 14.1 calcule: a) la media de unidades defectuosas por serie de producción y b) la desviación estándar. En el ejercicio 5 de la sección 14.1 calcule: a) la media de conductores en estado de ebriedad





























































































































































































❑

FÓRMULAS IMPORTANTES x1

x

x2

x1 f 1

x

( x 1

√Var( x )

␴

x1 √ ( x

␴

f 2

x3 f 3

x f n

f 3

(14.2)

n

f

n

+ x p n

x ) 2

(14.3)

n

( x

x ) 2

( x

x

(14.4)

n

␴

P(k,n ) =

(14.1)

n

x 1 p 1 + x 2 p 2 +

Var( x )

␮

x

x2 f 2 f 1

m

√

␮)2 p1

( x

x ) 2

( x

x ) 2

( x

n ( x2 Ϫ ␮ )2 p2

n k n – k p q k

( x

n

␮ )2 pn

x ) 2

(14.5) (14.6) (14.7)

= np

(binomial)

(14.8)

q ෆ p ෆ ෆ = ͙ n

(binomial)

(14.9)

(normal)

(14.10)

z =

❑

x3 n

X – ␮ ␴

EJERCICIOS ADICIONALES SECCIONES 14.1 Y 14.2 1.

El número de automóviles que se venden cada día en una automotriz de la localidad al parecer fluctúa en forma aleatoria. El gerente de ventas reunió algunos datos en los últimos













Tabla 14.27

Aut utom omóv óvil iles es ve vend ndid idos os po porr dí díaa

Frec Fr ecue uenc ncia ia

0 1 2 3 4 5 6 7 8

24 32 40 20 12 9 6 4 3 150

2.

3.

Tabla 14.28

Seguridad ocupacional Una oficina de distrito de una organización de seguridad ocupacional recibe quejas concernientes a condiciones de trabajo potencialmente nocivas. nocivas. El gerente de distrito ha recopilado algunos datos sobre la cantidad de quejas presentadas diariamente en el último año. La tabla 14.28 es un resumen de los datos. Construya uya la distribución distribución de la probabilidad probabilidad de este estudio. estudio. a) Constr Dibuje je un histograma histograma de esta distribuc distribución. ión. b) Dibu Calculee la media, la mediana, mediana, la moda y la desviación desviación estándar estándar.. c) Calcul d ) ¿Qué probabilidades hay de que más de 10 quejas sean presentadas en un día? ¿Y de que se hagan menos de 10? Epidemiología El Centro para el Control de Enfermedades (CDC), en Atlanta, ha recabado datos sobre un tipo bastante raro de infección viral. La tabla 14.28 contiene un resumen de los datos referentes al número de casos nuevos comunicados diariamente al centro en los últimos 400 días. Construya uya la distribución distribución de la probabilidad probabilidad de este estudio. estudio. a) Constr b) Trace un histograma para la distribución de la probabilidad.

Quejas por día 5 6 7

Frecuencia 25 40 60













c) d )

Tabla 14.29

Nuevos casos registrados por día

Frecuencia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

35 68 74 55 48 36 32 25 17 8 2 4.

5.

Tabla 14.30

Construya la distribución de probabilidad discreta que corresponda al experimento de lanzar una moneda tres veces. Suponga que P( H H ) = 0.7 y que la variable aleatoria X sea el número de cruces (T) que salen en tres lanzamientos. ¿Qué probabilidad hay de que salga más de una cara? ¿Dos o más cruces? Calcule la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de la tabla 14.30.

X

20

40

60

80

100

P( X X )

0.12

0.32

0.26

0.18

0.12

6.

Tabla 14.31

Calcule la media, la mediana, Calcule mediana, la moda y la desviación desviación estándar estándar.. ¿Qué probabilidad hay de que por lo menos se registre registre un nuevo nuevo caso en un día cualquiecualquiera? ¿Más de uno? ¿Menos de cinco?

X

Calcule la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de la tabla 14.31. 0

5

10

15

20

25













8.

Tabla 14.33

0 0.30

X P( X X )

9.

Tabla 14.34

100 0.10

200 0.05

300 0.35

400 0.20

Retiro de automóviles Un fabricante de automóviles ha anunciado que retirará los vehículos de 1990 por un defecto en el eje. Desde que se hizo el anuncio, un supervisor regional de servicio en una región del país lleva registros diarios del número de respuestas al anuncio. Construyó una distribución de probabilidad del número diario de respuestas. La distribución se observa en la tabla 14.34. a) Calcule e interprete la media de esta distribución y b) calcule la desviación estándar.

Número de respuestas por día Probabilidad

10.

Tabla 14.35

Calcule la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de la tabla 14.33.

0 0.10

1 0.15

2 0.18

3 0.22

4 0.30

5 0.03

6 0.02

Aparición de OVNIS Una sociedad que investiga la supuesta aparición de objetos voladores no identificados (OVNIS) recabó datos relativos a la frecuencia de estos informes en todo Estados Unidos. La tabla 14.35 es una distribución de probabilidad del número de apariciones que se registran todos los días. a) Calcul Calculee e interprete interprete la media de esta distribuc distribución. ión. Calculee la desviación desviación estánd estándar ar.. b) Calcul

Número de reportes por día Probabilidad

0 0.42

1 0.34

2 0.14

3 0.08

4 0.03

5 0.01

SECCIÓN 14.3 11.

12.

Una moneda se lanza cinco veces. ¿Qué probabilidad hay de que salgan exactamente tres caras? ¿Y de que no salga ninguna? Un funcionario de las autopistas de cuota ha dado a conocer información según la cual 80% de los vehículos que las usan son automóviles. Suponga que las llegadas a la caseta de la













14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Una prueba consta de 20 preguntas de opción verdadero/falso. Calcule la probabilidad de que un estudiante que conoce la respuesta correcta a 10 de ellas, pero que adivina las restantes lanzando una moneda, obtenga una puntuación de 90% o más en el examen. (Suponga una probabilidad de conjetura correcta = 0.6.) Una oficina de hacienda ha averiguado que 60% de las declaraciones del impuesto sobre la renta contienen un error por lo menos. Si se selecciona en forma aleatoria una muestra de 10 declaraciones, ¿qué probabilidad existe de que exactamente ocho contengan un error por lo menos? Un proceso de manufactura produce piezas defectuosas en forma aleatoria a una tasa de 12%. En una muestra de 10 piezas, ¿qué probabilidad hay de que se encuentren menos de dos piezas defectuosas? En el ejercicio 16, ¿cuál es el número medio de piezas defectuosas que se espera descubrir en una muestra de 10? ¿Cuál es la interpretación de este valor? ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución? Un proceso binomial se caracteriza por p = 0.7. En una muestra aleatoria de 500: Determine ine la media media para el experime experimento. nto. a) Determ Determine ine la desviació desviaciónn estándar. estándar. b) Determ Un proceso binomial se caracteriza por p = 0.10. En una muestra aleatoria de 400: a) Determ Determine ine la media media para el experime experimento. nto. Determine ine la desviació desviaciónn estándar. estándar. b) Determ Un proceso binomial se caracteriza por p = 0.85. En una muestra aleatoria de 150: Determine ine la media media para el experime experimento. nto. a) Determ Determine ine la desviació desviaciónn estándar. estándar. b) Determ Un proceso binomial se caracteriza por p = 0.6. En una muestra aleatoria de 75: Determine ine la media media para el experime experimento. nto. a) Determ b) Determ Determine ine la desviació desviaciónn estándar. estándar. En una pequeña universidad, se ha comprobado que 30% de los alumnos cuenta con alguna beca. Si se selecciona en forma aleatoria una muestra de 10 alumnos, ¿qué probabilidad hay de que más de nueve tengan algún tipo de beca? ¿Cuál es el número medio de los que cuentan con becas en una muestra de 500 estudiantes?

SECCIÓN 14.4 23.

En la distribución normal estándar determine: a) P ( z c) P(

24.

2.8) z 2.6

b ) P(

1.5)

En la distribución normal estándar determine:

0.6

d ) P (0.24

z z

1.3) 2.26)















26.

Dada una variable aleatoria X que tiene distribución normal con una media de 120 y desviación estándar 12, determine: a) P ( X c ) P (112

27.

X

X

138)

X

170)

d ) P (164

166) X

208)

Dada una variable aleatoria X que tiene distribución normal con una media de 760 y desviación estándar 25, determine: a) P (730 c ) P (767.5

30.

d ) P (126

b ) P ( X

215)

c ) P (160

29.

117)

135)

Dada una variable aleatoria X que tiene distribución normal con una media de 180 y desviación estándar 20, determine: a) P ( X

28.

b ) P ( X

105)

X ) X

b ) P (700

792.5)

d ) P ( X

X

710)

722.5)

Pruebas para medir la presión arterial La presión arterial (diastólica) de un grupo de mujeres de 25 a 34 años de edad presenta distribución normal con una media de 82 mmHg y desviación estándar de 3 mmHg. Si se escoge en forma aleatoria a una de ellas, ¿qué probabilidad existe de que: a) la presión arterial diastólica fluctúe entre 77.5 y 85 mmHg, b) sea menor que 86.5 mmHg y c) sea mayor que 88 mmHg? Admisiones a la facultad de derecho Los estudiantes que iniciaron un curso en la escuela de derecho obtienen un promedio de 680 en la prueba de aptitudes académicas, con desviación estándar de 40. Las puntuaciones obtenidas en este grupo también parecen tener distribución normal. a) ¿Qué porcentaje del grupo tenderá a alcanzar una puntuación de 700 en la prueba? ¿Entre 720 y 750? ¿Mayor que 650? ¿Menor que 600? debajo de la media de la prueba. ¿Qué porcentaje b) Un estudiante tenía desviación estándar debajo de estos condiscípulos consiguió calificaciones menores que las de él?













34.

35.

❑

Un proceso de manufactura produce una pieza metálica circular. Los diámetros de las piezas tienen, según se ha comprobado, distribución normal con media de 20 cm y desviación estándar de 0.05 cm. Si una pieza metálica se selecciona de modo aleatorio, ¿qué probabilidad existe de que tenga un diámetro entre 19.925 y 20.075 cm? Ligas mayores de béisbol Los promedios de bateo en la liga nacional de Estados Unidos presentaron en un año una media de 0.275 y desviación estándar de 0.020. Si se escoge de modo aleatorio a un jugador, ¿qué probabilidad existe de que su promedio: a) sea mayor que 0.300, b) menor que 0.250, c) entre 0.280 y 0.320 y d ) menos de 0.200 o mayor que 0.350?

EVALUACIÓN EV ALUACIÓN DEL DE L CAPÍTULO CAPÍTU LO 1.

En la siguiente distribución de probabilidad: a) calcule la media y la desviación estándar, y b) determine la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor mayor que 210.

X

P ( X X )

200

0.06

210

0.16

220

0.24

230

0.04

240

0.26

250

0.24

0a6cap 14 Distribuciones de Probabilidad

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