F uncione unciones s pol poliinomiale ales y sus gráficas gráficas I ntroducc ntroducciión
Un ejemplo de una función polinomial es el siguiente: ( )
Estas son fáciles de evaluar porque están definidas solo con suma, resta y multiplicación. Por lo tanto son las funciones más fáciles en matemática. Las funciones polinomiales son utilizadas para representar el crecimiento de una población de animales en un momento dado o la productividad de una fábrica de acuerdo a la cantidad de empleados. Longitud
Productividad
Años
Número de trabajadores trabajadores La productividad se modela mediante un polinomio de grado 2.
El crecimiento se modela mediante un polinomio de grado 3.
Funciones polinomiales Una función polinomial de grado n es una función de la forma ( )
donde n es un entero no negativo y Los números , se llaman coeficientes de polinomio. El número , es el coeficiente constante o término constante. El número , el coeficiente de la potencia más alta, es el coeficie ciente princi principa pall, y el término , es el término término princi pri ncipa pall.
Veamos el siguiente ejemplo para identificar los términos antes mencionados. Grado 5
Coeficiente constante -6
Coeficiente principal 3
Término principal Coeficientes 3,
Veamos otros ejemplos de polinomios: ( ) ( ) ( ) ( )
Recuerda que nombramos los polinomios de acuerdo a la cantidad de términos.
Gráficas de polinomios
Las gráficas de los polinomios de grado 0 y 1 son rectas y las gráficas de polinomios de grado 2 son parábolas. Mientras mayor sea el grado de un polinomio, más complicada será la gráfica. Pero la gráfica de una función polinomial siempre será una curva lisa, es decir no tiene discontinuidades en las esquinas. Veamos algunos ejemplos: y
y
cúspide
y
lisa y continua
esquina
discontinuidad
No es una gráfica de una función polinomial
x
x
x
No es una gráfica de una función polinomial
Gráfica de una función polinomial
Las funciones polinomiales más simples son los polinomios cuyas gráficas ya ustedes conocen como son las rectas, parábolas o con exponente 3, pero a medida que el grado es mayor se vuelven más planas respecto al origen y más inclinadas en otra.
Ejemplo 1 Transformaciones de monomios
Construya las gráficas de las siguientes funciones. a) b) c) d) e)
() () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Solución
a)
Comportamiento extremo y el término principal
El comportamiento extremo de un polinomio es una descripción de lo que sucede cuando x se vuelve grande en la dirección positiva o negativa. Para describir el comportamiento extremo se usa la siguiente notación.
significa “x se hace grande en la dirección positiva”
significa “x se hace grande en la dirección negativa”
Ejemplo: 1) Tiene el comportamiento extremo: cuando
y
cuando
y
cuando
2) Tiene el comportamiento extremo: cuando
Para cualquier polinomio el comportamiento extremo está determinado por el término que contiene la potencia más alta de la , porque cuando es grande los otros términos son de tamaño insignificante. Veamos la siguiente tabla:
Comportamiento extremo de polinomios El comportamiento extremo del polinomio ( )
se determina por el grado n y el signo del coeficiente principal, como veremos. P tiene grado impar
cuando
P tiene grado impar cuando y
y
x
0
cuando
cuando
Coeficiente principal positivo
Coeficiente principal negativo
P tiene grado par cuando
x
0
P tiene grado par cuando
y
y
x
0
0
x
cuando
Coeficiente principal positivo
cuando
Coeficiente principal negativo
Ejemplo:
Comportamiento extremo de un polinomio
Determinar el comportamiento extremo final de un polinomio ( )
Solución El polinomio P tiene grado 4 y coeficiente principal -2, por lo tanto el comportamiento extremo es:
cuando
y
cuando
Uso de ceros para graficar (construir gráficas polinomios)
Si P es una función polinomial, entonces c se llama un cero de P si P(c)= 0. En otras palabras, los ceros de P son las soluciones de la ecuación polinomial P( x) = 0.
Ceros reales de polinomios Si P es un polinomio y c es un número real, entonces los enunciados siguientes son equivalentes. 1) c es un cero de P. 2) x = c es una solución de la ecuación P(x) = 0. 3) x – c es un factor de P(x). 4) x = c es una intersección en x de la gráfica de P.
Para hallar los ceros de un polinomio P, se factoriza y luego se usa la propiedad del producto nulo. Por ejemplo, para hallar los ceros de () , se factoriza P para obtener
( ) ( )( )
Propiedad del producto nulo AB = 0
si y solo si A = 0
o bien, B = 0
De esta forma factorizada se puede observar fácilmente que: 1) 2 es un cero de . 2) es una solución de la ecuación 3) x – 2 es un factor de 4) es una intersección en de la gráfica de . Los números hechos son ciertos para el otro cero, Teorema del valor intermedio para polinomios Si P es una función polinomial y () y () tienen signos opuestos, entonces existe por lo menos un valor entre y para el cual () .
Normas para construir las gráficas de funciones polinomiales 1) Ceros. Factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; estos son las intersecciones con el eje de la gráfica. 2) Puntos de prueba. Construir una tabla de valores para el polinomio. Incluir los puntos de prueba para determinar si la gráfica del polinomio yace arriba o abajo del eje de x en los intervalos determinados por ceros. Incluya la intersección y en la tabla. 3) Comportamiento extremo. Determine el comportamiento extremo del polinomio. 4) Gráfica. Trace las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla. Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos y exhiba el comportamiento extremo requerido.
Ejemplo:
Uso de ceros para construir una gráfica de una función polinomial
Bosqueje la gráfica de la función polinomial () ( )( )( )
Solución
Los ceros son y . Éstos determinan los intervalos () () ( ) y ( ). Si se emplean estos puntos de prueba en estos intervalos, se obtiene la información del siguiente diagrama de signos.
Punto de prueba
Punto de prueba
()
.
()
.
Punto de prueba
Punto de prueba
.
()
()
.
.
.
.
abajo del eje
arriba del eje
abajo
arriba del
de
de
del eje
eje de
Graficar algunos puntos adicionales y conectarlos con una curva uniforme ayuda a completar la gráfica de la figura a continuación.
Punto de prueba
Punto de prueba
Punto de prueba
Punto de prueba
()
Punto de prueba ()
Punto de prueba ()
.
Punto de prueba
.
. .
0
. . .
.
Punto de prueba
( ) ( )( )( )
Ejemplo
Localización de ceros y construcción de una función polinomial
Sea () a) Encuentre los ceros de P. b) Construya la gráfica de P.
Solución
a) Para hallar los ceros se factoriza por completo. ( ) ( ) ( )( )
Por lo tanto, los ceros son y
b) Las intersecciones en y . La intersección en es () . Se construye una tabla de valores de () asegurándose de elegir puntos de prueba entre (y a la derecha e izquierda de) ceros sucesivos. Como P es de grado impar y su coeficiente principal es positivo, tiene el siguiente comportamiento extremo: cuando
y
cuando
Se grafican los puntos de la tabla y se unen mediante una curva uniforme para completar la gráfica, como veremos a continuación:
()
.
.
.. . 0
. .
.
( )
Localización de ceros y construcción de una función polinomial
Sea () a) Encuentre los ceros de P. b) Construya la gráfica de P.
Solución: a) Para hallar los ceros, se factoriza por completo ( ) ( ) ( )( )
Por lo tanto, los ceros son y .
b) Las intersecciones en y . La intersección en es () . Se construye una tabla de valores de () asegurándose de elegir puntos de prueba entre (y a la derecha e izquierda de) ceros sucesivos. Como P es de grado par y su coeficiente principal es negativo, tiene el siguiente comportamiento extremo: cuando
y
cuando
Se grafican los puntos de la tabla y se unen mediante una curva uniforme para completar la gráfica, como veremos a continuación: ()
.
..
...
0
.
.
Halla los ceros y construye la gráfica de la función polinomial Sea () a) Encuentre los ceros de P. b) Construya la gráfica de P. Solución: a) Para hallar los ceros, se factoriza por completo ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
Por lo tanto, los ceros son y .
b) Las intersecciones en son y La intersección en es P(0) = 8.
Como P es de grado par y su coeficiente principal es negativo, tiene el siguiente comportamiento extremo: cuando
y
cuando
Se unen los puntos mediante una curva uniforme para completar la gráfica de la siguiente figura:
()
. .
.
0
.
. . .
