Tema 3 Formas mas cuadr´ adr´ aticas. as.
3.1. 3.1.
Defin Definic ici´ i´ on on y expresi´ on on matricial
Definici´ on on 3.1.1. Una forma cuadr´ atica sobre R es una aplicaci´ on q : cada vector x = (x1 , x2 ,
n
n
R
−→ R que a
· · · , x ) ∈ R le hace corresponder un n´ umero real dado por: q (x , x , · · · , x ) = a x +a x +· · ·+a x +2a x x +· · ·+2a x x +· · ·+2a − x − x con a ∈ R, ∀i, j = 1, 2, · · · , n, y que correspond correspondee a un polinomio polinomio homog´ homog´ eneo eneo de segundo segundo grado en las n variables x , x , · · · x . 1
n
2
11
n
2 1
22
2 2
2
nn n
12
1
1n
2
1
n
n
1n
n
1
ij
1
n
2
Esta expresi´on on polin´omica omica puede expresarse como una expresi´on on matricial de la forma;
· · · a a a x a a · · · a x = X AX q (x , x , · · · , x ) = ( x , x , · · · , x ) · · · · · · · · · · · · · · · 1
2
n
1
2
11
12
1n
1
12
22
2n
2
a1n
a2n
ann
xn
n
···
t
donde la matriz A asociada a la forma cuadr´atica, atica, es una matriz sim´ etrica etrica de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes co eficientes de los t´erminos erminos cuadr´aticos aticos de la expresi´on on polin´omica, omica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los coeficientes coefici entes de d e los lo s t´erminos erminos no cuadr´ cu adr´aticos aticos de dicha expresi´on. on. Esta relaci´ relaci´on on entre los elementos de una y otra expresi´on o n de la forma cuadr´atica, atica, permite obtener f´acilmente acilmente cada una de ellas a partir de la otra.
31
n
Curso 2014/2015
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Ejemplos 3.1.2.
(1.) La forma cuadr´ atica q :
es q (x, y ) = 3x2
− 6xy + y
2
2
R
−→ R cuya expresi´on polin´omica
tiene por expresi´on matricial:
3 −3 x q (x, y ) = (x, y ) −3
(2.) La forma cuadr´atica q :
3
R
1 −1 q (x,y,z ) = (x,y,z) −1 −2 2
y
−→ R cuya expresi´on matricial es: 2
x tiene por expresi´on polin´omica: 1 y
1
0
z
q (x,y,z) = x 2
3.2.
1
2
− 2y − 2xy + 4xz + 2yz
Expresi´ on diagonal de una forma cuadr´ atica
Una expresi´on diagonal o can´onica de una forma cuadr´atica q :
R
n
por:
−→ R viene dada
0 ··· 0 d x 0 d ··· 0 x q (x , x , ··· , x ) = d x +d x +···+d x = (x , x , ··· , x ) · · · · · · · · · · · · ··· 1
1
n
2
1
2 1
2
2 2
1
2
2
n n
1
2
n
2
0
0
···
dn
xn
es decir, la expresi´on polin´ omica s´olo contiene t´erminos cuadr´aticos y la matriz asociada es diagonal. Cualquier forma cuadr´atica admite, al menos, una expresi´on diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones, tambi´en pueden existir otras expresiones diagonales. Teorema 3.2.1. (Expresi´ on diagonal por autovalores). Para toda forma cuadr´ atica q :
n
−→ R, con A su matriz asociada, y λ , λ , ··· , λ los autovalores de A, existe una expresi´ on diagonal dada por q (x , x , ··· , x ) = λ x + λ x + ··· + λ x . R
1
1
2
n
Ejemplo 3.2.2. Sea la forma cuadr´atica q : q (x,y,z) = 3x2 + 3y2 + 5z 2
n
2
1
2 1
2
2 2
2
n n
3
−→ R dada por: 3 −2 − 4xy = (x,y,z) −2 3 R
0
32
0
x 0 y
0
5
z
Grupos A y D
Curso 2014/2015
La matriz asociada A tiene los autovalores λ1 = 1, λ2 = λ 3 = 5 por lo que una expresi´on diagonal de q es q (x,y,z) = x 2 + 5y 2 + 5z 2 .
Teorema 3.2.3. (Expresi´ on diagonal de Jacobi). Sea una forma cuadr´ atica q :
n
R
−→ R , A su matriz asociada, D , D , ··· , D 1
n los
2
menores principales de A
(los formados con las i primeras filas y las i primeras columnas) y rg (A) = r expresi´ on diagonal de Jacobi de la forma cuadr´ atica q viene dada por: q (x1 , x2 ,
n)
··· , x
siempre que D1 = 0 , D2 = 0,
= D 1 x21 +
D2 2 x + D1 2
··· + DD− r
r
1
≤ n. La
x2r ,
··· , D = 0. r
Ejemplo 3.2.4. Sea q la forma cuadr´atica del ejemplo anterior: Los menores principales 3 2 0 3 2 son D1 = 3, D2 = = 5, D3 = 2 3 0 = 25 Como rg (A) = 3 y los tres 2 3 0 0 5 menores principales son distintos de cero, la expresi´on diagonal de Jacobi es:
− −
− −
q (x,y,z) = 3 x2 +
3.3.
5 2 25 2 5 y + z = 3 x2 + y 2 + 5z 2 . 3 5 3
Clasificaci´ on de las formas cuadr´ aticas
Definici´ on 3.3.1. Sea q : Se dice que:
R
n
n
−→ R una forma cuadr´ atica y x = (x , x , ··· , x ) ∈ R 1
2
n
.
∀ ∈ R , x = 0. = 0. q ( x) es definida negativa si q ( x) < 0 , ∀ x ∈ R , x = 0 : q (u) = 0. q ( x) es semidefinida positiva si q ( x) ≥ 0 , ∀ x ∈ R , y ∃ u = 0 : q (u) = 0. q ( x) es semidefinida negativa si q ( x) ≤ 0 , ∀ x ∈ R , y ∃ u q ( x) es indefinida si ∃ u, v ∈ R : q ( u) > 0 , q (v) < 0 . q ( x) es definida positiva si q ( x) > 0 , x
n
n
n
n
n
Ejemplos 3.3.2.
La forma cuadr´ atica q (x, y ) = x2 + y2 es definida positiva pues al
ser una suma de cuadrados ser´a positiva salvo para el vector nulo.
33
Curso 2014/2015
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
La forma cuadr´atica q (x, y ) = (x 2
q (x, y )
≥ 0 ∀(x, y) ∈ R
2
− y )
es semidefinida positiva pues
y q (x, x) = 0.
La forma cuadr´atica q (x, y ) = x2
− y
2
es indefinida pues q (1, 2) =
−3 y q (2, 1) = 3.
Vamos a estudiar unas caracterizaciones del signo de una forma cuadr´aticas que vienen dadas, bien por los autovalores de su matriz asociada, bien por los menores principales de dicha matriz. Proposici´ on 3.3.3. Sea q :
n
R
−→ R una forma cuadr´ atica y λ , λ , ··· , λ 1
2
n los
auto-
valores de su matriz asociada.Se verifica:
olo si los autovalores de A son todos positivos. q ( x) es definida positiva si y s´ olo si los autovalores de A son todos negativos. q ( x) es definida negativa si y s´ olo si los autovalores de A son positivos y nulos. q ( x) es semidefinida positiva si y s´ olo si los autovalores de A son negativos y nulos. q ( x) es semidefinida negativa si y s´ olo si los autovalores de A son positivos y negativos. q ( x) es indefinida si y s´
n
Proposici´ on 3.3.4. Sea q :
R
Di : 1
1
2
−→ R una forma cuadr´ atica, A su matriz asociada,
≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = rg (A). |A| = 0 (nunca es semidefinida y r = n) • Si D > 0, D > 0, ··· , D > 0, entonces q es definida positiva. • Si D < 0, D > 0, ··· , (−1) D > 0, entonces q es definida negativa. • Indefinida en otro caso. |A| = 0 (nunca es definida y r < n) a) ∀i : 1 ≤ i ≤ r, D = 0: ◦ Si D > 0, D > 0, ··· , D > 0, entonces q es semidefinida positiva. ◦ Si D < 0, D > 0, ··· , (−1) D > 0, entonces q es semidefinida negativa. ◦ Indefinida en otro caso. b) ∃i : 1 ≤ i ≤ r, : D = 0. Este criterio no se puede aplicar. 1
2
1
2
n
n
n
i
1
2
1
2
r
r
i
34
r
Grupos A y D
3.4.
Curso 2014/2015
Formas cuadr´ aticas restringidas
En el estudio del signo de una forma cuadr´atica real de n variables es frecuente que ´estas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector un subespacio de x pertenezca a alg´
R
n
. Por tanto, interesa clasificar la forma cuadr´atica
en el subespacio en el que est´an restringidas las variables. Definici´ on 3.4.1. Sean q : de Rn .
R
n
−→ R una forma cuadr´ atica y E un subespacio vectorial ∀ ∈ E, x = 0.
q restringida a E es definida positiva si q ( x) > 0 , x
∀ ∈ E, x = 0.
q restringida a E es definida negativa si q ( x) < 0, x q restringida a E es semidefinida positiva si q ( x)
≥ 0, ∀x ∈ E , y ∃u ∈ E, u = 0 : q (u) = 0.
q restringida a E es semidefinida negativa si q ( x)
≤ 0, ∀x ∈ E , y ∃u ∈ E, u = 0 : q (u) = 0..
q ( x) es indefinida si u, v
∃ ∈ E : q (u) > 0, q (v) < 0.
Clasificaci´ on de una forma cuadr´ atica restringida a un subespacio Se obtienen las ecuaciones param´etricas del subespacio:
x x ...
1
=
α1 u11 + α2 u21 +
k k1
2
=
α1 u12 + α2 u22
k k2
xn
··· + α u + ··· + α u
.. .
= α1 u1n + α2 u2n +
α1 , α2 ,
··· , α ∈ R. n
··· + α u
k kn
Se sustituyen las ecuaciones param´etricas en la expresi´ on anal´ıtica de la forma cuadr´ atica. Se clasifica la forma cuadr´atica restringida
35
q (α1 , α2 ,
|
E
n ).
··· , α
Curso 2014/2015
3.5.
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Ejercicios resueltos
1.- Obtener la expresi´ on matricial y una forma diagonal de las siguientes formas cuadr´aticas: a) q (x, y ) = 2x2 + 6xy + 2 y 2
2 3 x La expresi´on matricial es: q (x, y ) = (x, y ) 3 2
y
Para obtener le expresi´on diagonal podemos usar el m´ etodo de Jacobi o los autovalores:
|A − λI | = 2 − λ 3 = 0 tiene como soluci´on λ = 5, λ = −1, por lo que 3 2 − λ una expresi´on diagonal ser´a: q (x, y ) = 5x2
2
− y .
Como los menores principales de A son D1 = 2, D2 = A = 5 2 diagonal de Jacobi es: q (x, y ) = 2 x2 y . 2
| | −5, la expresi´on
−
b)
0 4 x. on matricial: q (x, y) = ( x, y ) q (x, y ) = 8xy. Su expresi´ 4 0
y
Como D1 = 0 no existe la expresi´on diagonal de Jacobi, utilizamos, por tanto, la de los autovalores:
|A − λI | = −λ 4 = 0 tiene como soluci´on λ = 4, λ = −4, por lo que una 4 −λ expresi´on diagonal ser´a: q (x, y) = 4 x2
2
− 4y .
c) q (x,y,z) = 3x2 + 3z 2 + 4xy + 8 xz + 4 yz .
3 Matricialmente: q (x,y,z) = (x,y,z) 2
x. 2 y
2 4 0
4 2 3
Los menores principales son: D 1 = 3, D2
0 = 2
z 2 = −4, D = |A| = 8, por lo 0 3
que la expresi´on diagonal de Jacobi es: 4 2 8 2 4 2 q (x,y,z ) = 3x2 y z = 3x2 y 2z 2 . Dado que los autovalores de A son 3 4 3 a: q (x,y,z) = x2 y 2 +8 z 2 . λ = 1 (doble) y λ = 8, una expresi´on diagonal ser´
−
−
d) q (x,y,z) = 2xy
−
−
− 2xz + 2yz . 36
−
− −
Grupos A y D
Curso 2014/2015
0 En forma matricial: q (x,y,z) = (x,y,z) 1
1 0
−1
1
−1 x 1 y. 0
z
Como D1 = 0, no podemos utilizar la expresi´on diagonal de Jacobi, lo que nos obliga a calcular los autovalores de A:
−λ 1 −1 |A − λI | = 1 −λ 1 = −λ −1 1 −λ
3
(doble) y λ =
+ 3λ
− 2 = 0, que tiene por soluci´on: λ = 1
−2, por lo que una forma diagonal ser´a: q (x,y,z) = x
2
+ y2
2
− 2z .
2.- Obtener la expresi´ on anal´ıtica y una expresi´ on diagonal de las formas cuadr´aticas cuya matriz es:
a)
−2 4 A = 4 −8 0
0
. 0 0 1
La expresi´on anal´ıtica la obtenemos:
2 4 0 − x = −2x − 8y + z + 8xy q (x,y,z ) = (x,y,z) 4 8 0 − y 0 0 1 z −2 4 = 0, no existe la expresi´on diagonal de Jacobi. Como D = 4 −8 2 4 0 − − λ Los autovalores: |A − λI | = 4 8 − λ 0 = (1 − λ)(λ + 10λ) = 0, − 0 0 1 − λ 2
2
2
2
2
que tiene por soluci´on: λ = 1, λ = 0 y λ = ser´a: q (x,y,z) = x 2
b)
1 A = 0
−1
0 2 0
2
− 10z .
−10, por lo que una forma diagonal
−1 0 . 1
La expresi´on anal´ıtica la obtenemos:
1 q (x,y,z ) = (x,y,z) 0
−1
0 2 0
0 y = x
−1 x 1
z
37
2
+ 2y 2 + z 2
− 2xz
Curso 2014/2015
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
Los menores principales de A son D1 = 1, D2 = 2, D3 = 0, pero como el rango de A es 2, puede obtenerse la expresi´on diagonal de Jacobi que ser´a: q (x,y,z ) = x 2 + 2y2 .
Los autovalores de A son λ = 0 y λ = 2 (doble) por lo que tambi´ en podemos escribir: q (x,y,z ) = 2y 2 + 2z 2 .
3.- Clasificar las formas cuadr´ aticas: a) q (x, y ) = x 2
2
− 2xy + 4y .
La matriz asociada es: A =
−1 y los menores principales son:
1
−1
4
D1 = 1 > 0 , D2 = 3 > 0, por lo que la forma cuadr´atica es definida positiva.
b) q (x, y ) =
−4xy + 3y
2
0 −2 . Como D = 0, no podemos utilizar La matriz asociada es: A = este m´etodo de clasificaci´on.
−2
1
3
−λ −2 = λ − 3λ − 4 = 0 cuya soluci´on es Por los autovalores: |A − λI | = −2 3 − λ 2
λ =
−1, λ = 4, por lo que la forma cuadr´atica es indefinida.
c) q (x,y,z) = x 2 + 4xy + 4 y 2 + 3z 2
1 La matriz asociada es: A = 2
. Como |A| = 0 y D = 0, no podemos 0
2 0 4
2
0 0 3 utilizar el m´ etodo de los menores principales por ello, hay que calcular los 1 λ 2 0
− autovalores de la matriz: |A − λI | = 2 0
4 − λ 0 = 0, cuya soluci´on es 03 − λ
atica es semidefinida positiva. λ = 0, λ = 3, λ = 5, por lo que la forma cuadr´ d) q (x,y,z) =
2
−3x
+ 2xy
2
2
− y + z −3
La matriz asociada es: A =
1 0
D1 =
−
. Los menores principales: −1 0 1
0
0 1 3 < 0, D2 = 2 > 0, D3 = 2 > 0, por lo que la forma cuadr´atica es
indefinida.
38
Grupos A y D
Curso 2014/2015
2
e) q (x,y,z) =
2
2
−x − 3y − 3z + 4yz −1
La matriz asociada es: A =
−1 < 0, D
2
0
0 −3 0
D1 =
. Los menores principales: 2
0 2
= 3 > 0, D3 =
definida negativa.
−3
−5 < 0, por lo que la forma cuadr´atica es
4.- Calcular el valor del par´ametro a para que la forma cuadr´atica q (x,y,z) = 3x2 + 2xy + y 2
− 2axz + 3z
2
sea semidefinida positiva.
3 La matriz de la forma cuadr´atica es: A = 1
0 .
1
−a
1 0
−a
3
Se verifica que D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que para que q sea semidefinida positiva debe ser D3 = 0, es decir:
3 1 −a
0 = 6 − a 3
1
−a
1 0
2
= 0 , = a =
⇒
√ ± 6.
5.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios: S 1 = (x, y)
{
a) q (x, y ) = 3x2
2
∈ R
: x
− 2xy + y
− y = 0},
S 2 = (x, y )
{
2
∈ R
: x + 5y = 0
}
2
3 −1 . La matriz asociada a q es A = −1
1
Sus menores principales son D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que la forma cuadr´ atica es definida positiva, por tanto, restringida a cualquier subespacio seguir´ a siendo definida positiva. b) q (x, y ) =
2
−x
+ 2xy
−1 1. La matriz asociada a q es A = 1
Sus menores principales son D1 = cuadr´ atica es indefinida.
0
−1 < 0 , D = −1 < 0, por lo que la forma
39
2
Curso 2014/2015
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
2
Restringida a S 1 , se tiene que x = y , por tanto q S =
|
1
−x
+2xx =
=
2
x2 > 0 (x, y ) = (0, 0), por tanto es definida positiva.
∀
Restringida a S 2 , se tiene que x =
−35y
2
−5y, por tanto q |
S 2
−(−5y)
2
−x
+ 2( 5y )y =
−
< 0 (x, y) = (0, 0), por tanto es definida negativa.
∀
+2x2 =
6.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios: S 1 = (x,y,z)
{
3
: x
∈ R
− y + z = 0},
S 2 = (0, 1, 1)
a) q (x,y,z) = 2xy + 2 xz + 2 yz
0 La matriz asociada es A = 1
. Para clasificarla debemos utilizar los 1
1 1 0
1
1 0
autovalores, pues D1 = 0.
−λ 1 1 1 −λ 1 = 0 cuyas soluciones son λ = 2, λ = −1 (doble), por lo que la 1 1 −λ forma cuadr´atica es indefinida.
Restringida a S 1 se tiene que x es q queda:
− y + z = 0 de donde y = x + z que sustituido
q (x, z ) = 2 x(x + z ) + 2xz + 2(x + z )z = 2x2 + 6xz + 2z 2
2 3 x. = ( x, z ) 3 2
z
Los menores principales son D1 = 2 > 0 , D2 =
−5 < 0, por tanto tambi´en es
indefinida si se restringe a S 1 .
Restringida a S 2 = (0, 1, 1) , sus ecuaciones param´ etricas son x = 0, y =
α, z = α , que sustituidos estos valores en q queda: q (α) = 2 0α + 2 0α + 2αα = 2α2 > 0 α = 0 que es definida positiva.
·
b) q (x,y,z) = 2x2
· − 2xy + 3y
La matriz asociada es A =
∀
2
2
−1
−1 0 . 3
0
0 0 0 Como D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, D3 = 0, la forma cuadr´atica es semidefinida positiva. Restringida a S 1 se tiene que x es q queda:
− y + z = 0 de donde z = y − x que sustituido
40
Grupos A y D
Curso 2014/2015
q (x, y ) = 2x2
− 2xy + 3y
2 −1 x. = ( x, y)
2
−1
3
y
Los menores principales son D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, por tanto es definida positiva si se restringe a S 1 . Si la restringimos a S 2 = (0, 1, 1) , sus ecuaciones param´etricas son
x = 0, y = α, z = α , que sustituidos estos valores en q queda: 2
q (α) = 2 0
= 3α2 > 0 α = 0 que es definida positiva.
· − 2 · 0α + 3α
3.6.
∀
Ejercicios propuestos
1.- Calcular la expresi´on matricial de las formas cuadr´aticas cuyas expresiones anal´ıticas son: 2
a) q (x, y ) = b) c)
2
−2x − 2xy + 5y q (x,y,z ) = x + y + 4xy − 2xz + 6 yz q (x,y,z ) = x − 2xy + 3 z − 2yz + 4 xz 2
2
2
2
Encontrar una expresi´on diagonal para cada una de ellas. 2.- Calcular la expresi´on anal´ıtica de las formas cuadr´aticas cuya matriz asociada es:
1 A = 0
0 2 , A = 1
0 1
2
2 3
−1
1
1
−1 0
−1 A = 1 3
Encontrar una expresi´on diagonal para cada una de ellas. 3.- Clasificar las formas cuadr´ aticas: a) q (x, y ) = 3x2 + 6xy + 3 y 2 b) q (x, y ) = c) d)
2
−x − xy q (x,y,z ) = x − y − 3z + 2xy + 2 xz − 2yz q (x,y,z ) = −x + 3z − 2xy + 4 xz − 2yz 2
2
2
2
2
e) q (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy f) q (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2
− 2xy 41
−1
1 2 1
1 .
−1 −2
Curso 2014/2015
Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)
4.- Clasificar la forma cuadr´ atica q (x,y,z) = x 2 + y 2 S 1 = (x,y,z)
{
3
− 2z
: x + z = 0 ,
∈ R
2
restringida a los subespacios:
S 2 = (1, 1, 1) .
}
−
5.- Sea la forma cuadr´ atica: q (x,y,z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 xz + 2 yz , se pide: a) Determinar su expresi´ on matricial. b) Encontrar una expresi´ on diagonal para q . c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida al subespacio S = (x,y,z)
6.-
3
− y − 2z = 0}. Sea la forma cuadr´ atica: q (x,y,z) = 2 x − 2y {
∈ R
: x
2
2
+ 2z 2 + 2xy + 2 xz + 2 yz , se pide:
a) Determinar su expresi´ on matricial. b) Encontrar una expresi´ on diagonal para q . c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida a los subespacios
S 1 = (x,y,z )
{
3
∈ R
: x 2z = 0 ,
−
3
S 3 = (x,y,z)
{
∈ R
42
: x
}
S 2 = (0, 0, 1) ,
−
− z = 0, y + z = 0}.
