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Superficies Cuádricas
Sesión de Ejercicios 3 Superficies Cuadràticas Definición: Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
donde A, B, C, …, J son constantes.
1. Elipsoide. Tiene por ecuación
x2 a2
+
y2
b2
+
z2 c2
=1
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse Si y = 0 ⇒
x2 z2 + = 1 elipse a2 c2
Si z = 0 ⇒
Si x = 0 ⇒
x2 y2 + = 1 elipse a2 b2
2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuación
x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=1
Las trazas del hiperboloide son hiperbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.
y2 z2 + = 1 elipse b2 c2
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Si x = 0 ⇒
y2 z2 − = 1 Hiperbola b2 c2
Si z = 0 ⇒
Si y = 0 ⇒
x2 z2 − = 1 Hiperbola a2 c2
x2 y2 + = 1 Elipse a2 b2
El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.
3. Hiperboloide de dos hojas. x2 y2 z2 − − + =1 Tiene por ecuación a2 b2 c2
Las trazas de esta superficies son : Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos paralelos al YZ. si x = 0 ⇒
si y = 0 ⇒
z2 y2 − = 1 hiperbola c2 b2
z2 x2 − = 1 hiperbola c2 a2
Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .
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4. Paraboloides
si z = 0 ⇒ −
x2 y2 − = 1 imposible! ! ! ⇒no hay gráfica a2 b2
Tiene por ecuación
x2 2
a
+
y2 2
b
z
=
c
Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son Si x = 0 ⇒
parábolas.
y2 z = c b2
b2z ⇒ y2 = c
parábola
Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al Si y = 0 ⇒
x2 z = a2 c
Si z = K ⇒
a2z ⇒ x2 = c
x2 y2 k + = 2 2 c a b
parábola
Elipse, y si a = b Círculo
cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
5. Paraboloide hiperbólico. Tiene por ecuación
x2 a2
−
y2 b2
=
z c
Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios. Trazas:
si y = 0 ⇒
x2 z = a2 c
parábolas
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Superficies Cuádricas si x = 0 ⇒ −
si z = 0 ⇒
y2 z = c b2
parábolas
y2 x2 a − = 0 ⇒ x = y Dos rectas! ! 2 2 b a b
6. Conos
La superficie cuádrica que tiene por ecuación
Se denomina Cono.
x2 y2 z2 + = a2 b2 c2
Z
Las trazas del cono son: Si x = 0 ⇒
Si y = 0 ⇒
si z = K ⇒
y2 z2 b = ⇒ y = z Dos rectas 2 2 c b c
x2 z2 a = ⇒ x = z Dos rectas 2 2 c a c
Y
x2 y2 k2 + = Elipse, ¿Y si a = b? a2 b2 c2
X
7. Cilindro circular recto: Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo: x2 + y 2 = a 2
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Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z
En el plano:
En el Espacio:
z Y
a
x
y
x
8. Cilindro circular recto con eje en el eje y : Considere la ecuación:
x2 + z2 = a2
z
z
En el plano:
En el Espacio a y
x
x
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8. Cilindro parabólico: 2 Considere la ecuación x + y = 0 , que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie
En el plano
En el espacio
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9. Cilindro elíptico con eje en el eje z: Considere la ecuación de la elipse
y 2 + ( 4 z 2 ) = 4 en el plano yz , al recorrer el
eje x se obtiene la superficie En el espacio
10.
En el plano
Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:
y 2 − x2 = 1 Considere la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie En el espacio
En el plano
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EJERCICIOS PROPUESTOS I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràfico aproximado. 2 2 2 1. 4 x − y + z − 8 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1)) 2 2 2 2. x + y + z − 8 − 8 y − 6 z + 24 = 0
( esfera ) 2 2 2 3. x + 2 y − 4 z = 8
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(cono elíptico de 2 hojas) 2 2 2 4. x − y + z − 10 z + 25 = 0 (cono circular) 2 2 5. 36 y + x + 36 z = 9 (paraboloide elìptico) 2 2 6. x − z = 5 y (paraboloide hiperbólico) 2 2 2 7. x + 4 y − 4 z − 6 x − 16 y − 16 z + 5 = 0 ( hiperboloide de una hoja) 2 2 8. y + z − 2 x = 0 (paraboloide circular recto) 2 2 9. z = 3 x + 2 y − 11 ( paraboloide ) z 2 y 2 x2 − − =1 10. 4 9 9 ( hiperboloide de dos hojas) 12. x 2 + z 2 = 1 2 2 13. x − 4 y = 1 2 14. x = 4 − y
15. x 2 + z = 1 2 2 16. 4 x + y = 36 17. x 2 + 4 z 2 = 16
( cilindros )
II. 1. Trace la región limitada por x 2 + y 2 = 2
y
z = x2 + y2
para 1 ≤ z ≤ 2
2. Obtener la curva de intersección de las superficies x 2 + 2 y 2 − z 2 + 3 x = 1 y 2 x 2 + 4 y 2 − 2 z 2 − 5 y = 0 y hacer su gràfica 3. Graficar : 2 2 2 a) La parte del hiperboloide − x − y + z = 1 que se encuentra abajo del rectángulo [ −1,1] x [ −3,3] b) c)
La parte del paraboloide elíptico encuentra a la derecha del plano xz 2 2 2 La parte de la esfera x + y + z = 4 del cono z = x 2 + y 2
6 − 3 x 2 − 2 z 2 = y que se que se encuentra arriba
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d) e)
2 2 La parte del cilindro x + z = 1 que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3 La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 16
f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1 g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del 2 2 cilindro x + y = 1 2 h) La parte de la superficie z = x + y que se encuentra arriba del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1) 2 2 i) La parte del paraboloide hiperbólico z = y − x que se encuentra 2 2 2 2 entre los cilindros y + x = 1 y y + x = 4 III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los cortes con los ejes cordenados. 2 2 a) Sòlido limitado y + x = 1 , el plano z= y+3 y el plano xy
b) Sòlido limitado por z 2 + x 2 = 1 y los planos y=0 y x+y=2
c) El sòlido limitado por z = 4 − x 2 − y 2
y z=0
2 2 2 d) El sòlido limitado por z + y + x = 1 y arriba de z = x 2 + y 2
e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante. f) El sòlido limitado por z = − 9 − x 2 − y 2 2 2 g) El sòlido limitado por z = 3 − 2 x − y y
y z=-1 z = x2 + y 2 − 3
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h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)
