Teorema de Trabajo y Energía para un Cuerpo Rígido. El principio de trabajo y la energía se utilizara para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos. Este método se adapta bien a la solución de problemas en los que intervienen velocidades y desplazamientos. Su ventaja principal radica en el hecho de que el trabajo y la energía cinética de las partículas son cantidades escalares. Para aplicar el principio del trabajo en la energía en el análisis del movimiento de cuerpo rígido, se supondrá que el cuerpo rígido esta compuesto de gran número de n de partículas de masa Δm.Si la ecuación se escribe: |T1+ U1→2 = T2 | Donde; T1, T2 = Valores inicial y final de la energía cinética total de las partículas que forman al cuerpo rígido. U1→2 = Es el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del cuerpo. La energía cinética total: |n| |T = ½ ∑ Δm iui | |i =1 | Se obtiene al sumar las cantidades escalares positivas, y ella misma es una cantidad escalar positiva. Después se vera como T para diversos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. La expresión U1→2 se representa el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre distintos cuerpos, ya sea que estas fuerzas sean internas o externas consideradas desde el punto de vista de un todo
2. Fuerzas Conservativas y Energía Potencial para un Cuerpo Rígido y Teorema de la Conservación de la Energía para un Cuerpo Rígido. Se analizo que el trabajo de fuerzas conservativas como el peso de un cuerpo o la fuerza que ejerce un resorte, puede expresarse como el cambio en la energía potencial. Cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mueven bajo la acción de las fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energía se expresa en una forma:
T1 + V1 = T2 + V2. Indica que cuando un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas la suma de la energía cinética y de la energía potencial del sistema permanece constante. Hay que observar que en el caso del movimiento plano de un cuerpo rígido, la energía cinética del cuerpo debe incluir tanto el termino trasnacional ½ m[pic]² y el termino rotacional ½ [pic]W². Como ejemplo de la aplicación del principio de la conservación de la energía, se considerara una barra esbelta AB, de longitud I y masa m cuyas, extremidades se conectan a bloques de masa insignificante con desplazamiento a lo largo de sendas correderas horizontales y verticales. Se supone que la barra se suelta sin ninguna velocidad inicial desde la posición horizontal y se desea determinar su velocidad angular después de que ha generado un ángulo θ. La potencia es la rapidez con la cual se realiza el trabajo. Es el caso de un cuerpo sobre el que actúa la fuerza F, y que se mueve a la velocidad V, la potencia se expresa del modo: Potencia = [pic] = F+V Y para el caso de un cuerpo rígido que gira con velocidad W y con la acción de un par M paralelo al eje de rotación se tiene: Potencia = [pic] = [pic] = M 3. Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento para un Cuerpo Rígido. Es la cantidad de movimiento que se aplicara ahora al análisis del movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos. El método del impulso y la cantidad de movimiento se adaptan particularmente bien a la solución de problemas que incluyan el tiempo y las velocidades, además el principio del impulso y la cantidad de movimiento proporciona el único método práctico para la solución de problemas en los que intervienen el movimiento o impacto impulsivos. Considerando de nuevo de un cuerpo rígido conformado por una gran numero de partículas P, que el sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo T1, y el sistema de los impulsos de las fuerzas externas aplicadas desde T1 hasta T2 son conjunto equipolentes al sistema formado por las
cantidades de movimientos de las partículas en le tiempo T2 puesto que los vectores asociados con un cuerpo rígido pueden considerarse como vectores deslizantes. [pic] El sistema de vectores no solo es equipolente sino verdaderamente equivalente en el sentido de que los vectores en el lado izquierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los vectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales. Sist.Cant. Mov + Sist.Imp.Ext1→2 = Sist.Cant.Mov2. Pero las cantidades de movimiento Vi Δmi de las partículas se reducen a un vector fijo en G, igual a su suma: [pic] Un par de movimiento iguala la suma de sus momentos alrededor de G: [pic] L y HG, son la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido. L= m[pic] por otro lado →al plano de referencia ya que HG = [pic]W. Por lo tanto el sistema de las cantidades de movimiento v Δm es equivalente al vector de cantidad de movimiento angular [pic]W. [pic] El sistema de las cantidades de movimiento se reduce al vector m[pic] en el caso particular de una traslación (W=0) y al par [pic]w, en el caso particular de una rotación centroidal ([pic]=0) verificamos una vez mas que el movimiento plano de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puede descomponerse en una traslación i en el centro de masa G y una rotación alrededor de G. T1 + U 1 →2 = T2 0+W[pic]2 = ½(m+I/[pic]) [pic]
C² = [pic] [pic] Al sustituir el sistema de cantidades de movimientos en los incisos a y e por el vector de cantidades de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular equivalente se obtiene tres diagramas. [pic] Es posible obtener 3 ecuaciones de movimiento, se obtiene al sumar e igualar las componentes X y Y de las cantidades de movimientos e impulso, y la tercera al sumar e igualar los momentos de estos vectores alrededor de cualquier punto dado. Los ejes de coordenadas pueden elegirse fijos en el espacio o permitir que se muevan con el centro de masa del cuerpo mientras mantienen una dirección fija. En cualquier caso, el punto alrededor del cual se consideran los momentos debe mantener la misma posición relativa con los ejes de coordenadas durante el intervalo de tiempo considerado. Al derivar las tres ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido, es necesario tener cuidado de no sumar de manera indiscriminada cantidades de movimientos lineales y angulares. Es posible evitar la confusión al recordar que mt2 y mt1 y representan las componentes de un vector, a saber, el vector de cantidad de movimiento lineal m[pic], mientras que [pic]w, representa la magnitud de una par, esto es, el par de cantidad de movimiento angular [pic]w.Asi la cantidad [pic]w debe sumarse solo al momento de la cantidad de movimiento lineal m[pic], y nunca a este mismo vector ni a sus componentes todas las cantidades implicadas se expresaran entonces en las mismas unidades: N-m-s ó Lb-ft-s. • Rotación no Centroidal. En este caso particular del movimiento plano, la magnitud de la velocidad del centro de masa del cuerpo es [pic] = [pic]w, donde [pic] representa la distancia desde el centro de masa hasta el eje de rotación fijo, y w la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado, la magnitud del vector de cantidad de movimiento fijo en G es consecuentemente m[pic] = m[pic]w. Al sumar los movimientos alrededor de o del vector de cantidad de movimiento y del par de cantidad de movimiento y al utilizar el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia se encuentran que la cantidad de movimiento angular Hо del cuerpo alrededor de o tiene la magnitud.
[pic]w + (m[pic]w) [pic] = ([pic] + m[pic]²) w = I*w Al igualar los momentos alrededor de o de las cantidades de movimiento e impulsos. Iоw1+[pic] [pic] En el caso general de movimiento plano de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puede utilizarse con respecto al eje de rotación instantáneo bajo ciertas conclusiones. • Conservación de la cantidad de movimiento angular. Cuando no actúan fuerzas externa sobre un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, los impulsos de las fuerzas externas son ceros y el sistema de las cantidades de movimiento en el tiempo T1, es equivalente al sistema de las cantidades de movimientos en el tiempo T2. Sumando e igualando de manera sucesiva las componentes x, las componentes y los momentos de las cantidades de movimientos en los tiempos T1 y T2 se concluyen que las cantidades de movimientos lineal total del sistema se conserva en cualquier dirección, y que su cantidad de movimiento angular toral se conserva alrededor de cualquier punto. (Hо) = (Hо)2 Los problemas que impulsan a la conservación de la cantidad de movimiento angular de un punto o pueden resolverse mediante el método general de impulso y la cantidad de movimiento, esto es, dibujando diagramas de cantidades de movimientos impulso según se obtiene entonces al sumar e igualar los momentos alrededor de o. 4. Impulso de un Cuerpo Rígido. El método del impulso y la cantidad de movimiento en el único método practico para la solución de problemas que implica el movimiento impulsivo de una partícula. Ahora se vera que los problemas con llevan el movimiento impulsivos de un cuerpo rígido son en particular muy apropiado a una solución por el método del impulsivos y la cantidad de movimiento. Puesto que el intervalo de tiempo que se considera en el cálculo de los impulsos lineales y de los impulsos angulares es muy corto es posible suponer que los cuerpos que participan ocupan la misma posición durante ese intervalo de tiempo, lo que hace el cálculo bastante simple.
• Impacto excéntrico. Los centros de masa de dos cuerpos que chocan se ubican sobre la línea de impacto. Considere dos cuerpos que chocan y denotan por Va y Vb las velocidades antes del impacto de los dos puntos de contacto A y b, bajo el impacto, los 2 cuerpos se deformaron y al final del periodo de deformación las velocidades Ua y Ub de A y B tendrán componentes iguales a lo largo de la línea de impacto. Luego ocurrirá un periodo de restitución, al final del cual A y B tendrán velocidades V´a y V´b, sino hay fricción entre los cuerpos se halla que las fuerzas que ejercen entre si están dirigidos a lo largo de la línea de impacto. [pic] Entre las velocidades relativas de las dos partículas antes y después del impacto también se cumple entre las componente a lo largo de la línea de impacto. [pic] El análisis del movimiento del segundo cuerpo conduce a una expresión similar para e ese termino de los componente a lo largo de una de las velocidades sucesivas del pinto B. Si se recuerda que (Ua)= (Ub) y eliminando estos dos componentes de velocidades. Si uno de ambos de los cuerpos que chocan están restringiéndose a girar alrededor de un punto fijo O, se ejercerá una reacción impulsiva en O. El periodo de deformación y el periodo de restricción se escribe: [pic] [pic] Donde R; representa la distancia perpendicular del punto fijo O, las componentes a lo largo de una de las velocidades sucesivas en el punto A. [pic]
