Impulso, Momento y Choques • Enero 2016 • Vol. I, No. 1
Impulso, Momento y Choques: Aplicación al Cuerpo Rígido Rafael Paredes B eltrán Escuela Politécnica Nacional
[email protected] Resumen
El presente documento trata de definir de forma clara y concisa la diferencia que tiene la aplicación de conceptos como el impulso y la cantidad de movimiento ya no aplicado solamente a partículas sino a cuerpos rígidos. Se intenta además con los ejercicios de aplicación, que el(la) lector(a) comprenda de mejor manera esta diferencia, ya que la simple teoría suele resultar poco práctica para la explicación de este tipo
de conceptos. Abstract
The present paper is trying to define in a clear an concise way the difference in the application of concepts like Impulse and Momentum no applied just to particles but to rigid bodies. It also tries with the application
problems that the reader understands in a better way this difference, because the simple theories can sometimes be less practical in the explanation of these types of concepts.
I. Introducción
movimiento de un punto material se define como:
na vez definidos los conceptos de Im-
U
pulso, Cantidad de Movimiento y Momento Cinético para la descripción del movimiento de un punto material, se entendio de mejor manera su importancia en el momento de aplicar fuerzas y expresarlas en función del tiempo, además de entender los fenómenos como los choques que ocurren en períodos muy cortos de tiempo. Se conoce además que al hablar de un cuerpo rígido se obtienen las mismas ventajas de dichos conceptos y se debe saber que el movimiento de un cuerpo rígido no es mas que un caso particular de un sistema material general, por lo que la aplicación de conceptos como el Impulso o Cantidad de Movimiento a un cuerpo rígido, no son tan ajenos a su aplicación en puntos materiales.
II. Marco Teórico Impulso y Cantidad de Movimiento Como se definió en la parte precedente de este documento [Paredes, [Paredes, 2016], 2016], la cantidad de •
p = m v
De este concepto básico se puede definir la cantidad de movimiento de un sistema de partículas [ tículas [Contreras, 2013], como la sumatoria de todas las cantidades de movimiento de sus componentes:
p = ∑ mi vi Donde el súbindice i representa el número de partícula del sistema. Además, si definimos a ri
como el vector de posición del punto de masa mi y a su derivada en el tiempo:
vi = r˙i p = ∑ mi ˙ri
Si la masa permanece constante,expresando la derivada en función del tiempo y al sustituir la sumatoria por un equivalente se tiene que:
p =
d(mr ) dt = m r˙
Donde r˙ es la velocidad v del centro de masa del cuerpo. Por lo tanto, como se sabía antes, la cantidad de movimiento de un sistema material, sea este rígido o no rígido es: 1
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p = m v
Impulso Angular y Momento Cinético Citando lo dicho en el documento precedente al actual [Paredes, 2016], el momento cinético de un punto puede definirse como el momento provocado por la cantidad de movimiento de dicha partícula, que puede expresarse como: •
L = r × p = r × mv Además, como se menciono en la sección de cantidad de movimiento, lo que se expresa como Momento cinético para una particula puede extrapolarse al caso de un sistema de partículas de la forma:
LG = ∑ ri × mi vi Donde el subíndice G del momento indica que esta tomado en referencia al centro de gravedad del sistema y el subíndice i representa el número de partícula del sistema [Chávez y Martínez, 2013]. Además de esto, y conociendo conceptos básicos de derivación y movimiento de las partículas, se sabe que v i = r˙i y que dicha velocidad relativa se hace: r˙i = w × ri . Donde wk es la velocidad angular del cuerpo, en la que el vector unitario k está dirigido perpendicularmente ”hacia” el papel dependendiendo del sentido de w. Con estas consideraciones podemos redefinir al momento cinético como:
Además, este momento cinético cuya forma escalar para un movimiento plano es: ˙G ∑ MG = H Lo que nos indica que la suma de los momentos respecto al centro de masa de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a la variación por unidad de tiempo del momento cinético respecto al centro de masa. ˙ contiene los momentos Puesto que LG = Iw respecto a G de las cantidades de movimiento de todos los puntos materiales, se deduce que el vector cantidad de movimiento p = mv se debe tomar de modo que pase por el centro de masa G. Así pues, G y L G tienen propiedades vectoriales análogas a las de la fuerza resultante y el momento resultante. Establecidos la cantidad de movimiento y el momento cinético resultantes, el momento cinético LO respecto a un punto O cualquiera podrás escribirse de la forma:
˙ + mvd LO = Iw
Expresión que es válida en un instante particular cualquiera para O, que puede ser un punto fijo o en movimeinto, situado fuera o dentro del cuerpo. Si el cuerpo gira alrededor del punto fijo O situado en el cuerpo o en su prolongación, en la expresión de LO podrán sustituirse v y d por las relaciones v = rw y d = r dando LO = ( Iw + mr2 w). Pero I + mr2 = I O , por lo que el momento cinético puede expresarse como:
LG = ∑ ri × mi ˙ri Podemos luego definir al módulo de r˙i como ri w y al módulo de r i × mi ˙ri como r i2 wm i por lo que podemos escribir:
LG = ∑
r2 m i
˙ k i wk= Iw
Donde I ˙ = ∑ mi r2i es el momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa. Como se definión en el documento precedente, el momento cinetico es siempre un vector normal al plano de movimiento, por lo que la notación vectorial es generalmente innecesaria y el momento cinético respecto al centro de massa de un cuerpo puede escribirse como el escalar: ˙ LG = Iw 2
H O = I O w Cuerpos rígidos interconectados Es posible la aplicación de los teoremas de la cantidad de movimiento del momento cinético en el caso de un sistema de cuerpos rígidos interconectados ya que dichos teoremas son aplicables a todo sistema general de masa constante [Meriam y Kraige, 1998]. En el caso de tener un número cualquiera de cuerpos interconectados. La ecuaciones: ∑ F = p˙ y ∑ MO = L˙O , donde O es un punto de referencia fijo, pueden escribirse para cada miembro del sistema y sumarse: •
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∑ F = p˙1 + p˙2 + ... MO = LO˙ 1 + LO˙ 2 + ...
Que puede expresarse de forma integral para un intervalo finito de tiempo como:
t2
t2 t1
∑ Fdt = (∆ p)sist
t1 ∑ MO dt = (∆ LO )sist
Debe acotarse también que las acciones y reacciones iguales y opuestas que se ejercen en las conexiones son interiores al sistema y se anulan entre sí. También se debe notar que el punto O es un punto de referencia fijo para todo el sistema. • Conservación de la cantidad de movimiento Como se ha mencionado antes, los principios de conservación de la cantidad de movimiento y del momento cinético, pueden aplicarse a un cuerpo rígido o a un sistema de cuerpos rígidos interconectados. Por lo tanto, para un intervalo de tiempo dado: ∑ F = 0
→
∆ p = 0
Esta expresión nos indica que el vector cantidad de movimiento no sufre ningún cambio en ausencia de un impulso lineal resultante. Al hablar de un sistema de cuerpos interconectados puede haber variaciones de cantidad de movimiento en partes individuales del sistema durante un intervalo, pero no habrá variación resultante del sistema si no hay un impulso lineal resultante [Franco A, s.f]. Siguien esta secuencia, si es nulo el momento resultante respecto a un punto fijo dado O, o respecto al centro de masa, durante un intervalo de tiempo se tendrá, en el caso de un cuerpo rígido único o de un sistema de cuerpos rígidos interconectados: ∆ H O = 0
→
∆ H G = 0
Lo que nos dice que el momento cinético respecto al punto fijo, o respecto al centro de masa, no sufre cambio alguno en ausencia de un impulso angular resultante. De igual forma, en el caso de un sistema de cuerpos rígidos interconectados, pueden producirse cambios individuales dentro del sistema durante un intervalo
de tiempo, pero el momento cinetico resultante de todo el sistema no variará si no hay un impulso angular resultante respecto al punto fijo o al centro de masa [Dávila y Pajón, 2002]. Como comentario para este tipo de sistemas, se puede acotar y sugerir que no se trabaje el centro de masa del sistema, sino que se utilice un punto fijo para realizar los cálculos de momentos y cantidades de movimiento. • Choque de cuerpos rígidos Los fenómenos de choque poseen unas interacciones bastante complicadas de transferencia de energía y cantidad de movimiento, disipación de energía, deformaciones elásticas y plásticas, velocidades relativas y geometría. En el trabajo anterior, se trato el choque de partículas considerando el caso de choque central, que sucede cuando las fuerzas de contacto desarrolladas en el choque pasan por los centros de masa de los cuerpos. Además, en el mismo trabajo se definió un coeficiente de resitutición e que compara las velocidades relativas de separación y de acercamiento. Aunque en la teoría de choques e se consideraba constante para cada material, investigaciones recientes han mostrado que e depende notablemente de la geometría y de la velocidad de impacto, además del material. Para el estudio de choques en cuerpos rígidos, aunque sea un tema muy difícil de estudiar debido a simplificaciones poco prácticas, puede hacerse uso completo de principios de conservación de la cantidad de movimiento y del momento cinético, cuando sean aplicables, al estudiar el choque y otras interacciones de cuerpos rígidos [Meriam y Kraige, 1998]. El problema de choque de cuerpos rígidos es muy parecido al de choque en puntos materiales, con la complicación por el hecho de que la línea de impacto no suele pasar por los centro de masa de los cuerpos. A este choque se le llama choque excéntrico [Riley y Sturges, 1996]. Considerando el choque de dos cuerpos con centro de masa A y B respectivamente, en donde los punto C y D son los puntos de contacto, se puede definir un coeficiente de restitución semejante al usado en el choque de partículas:
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e = − (vDDif )nn
− −
(vC f )n (vCi )n
Donde los subínidices i y f representan las velocidades antes y después del choque, respectivamente. Además, las componentes de las velocidades de los puntos C y D están relacionadas con las velocidades de los centros de masa A y B mediante las ecuaciones de la velocidad relativa:
vC = v A + w A × rC/ A vD = v B + wB × rD/B El resultado de combinar estas ecuaciones con la del coeficiente de resolución, permite relacionar las velocidades v A y v B y las velocidades angulares w A y wB después del choque. [Alfaro, 2012]
III. Aplicaciones Impulso y Cantidad de Movimiento El manejo de estos conceptos en el estudio del movimiento de un cuerpo rígido, permite predecir de manera acertada como terminará un cuerpo, como se moverá en que sentido y cuanta magnitud, después de aplicarle una fuerza cualquiera en algún punto de dicho cuerpo. • Impulso Angular y Momento Cinético Mediante el uso del concepto del Momento cinético, se puede entender el comportamiento de un cuerpo sometido a un torque y como se generará el movimiento rotatorio de dicho cuerpo. Estos conceptos permitirán entender el comportamiento errático que poseen ciertos sistemas cuando se le aplican torques en puntos distintos a su centro de masa o centro de rotación. • Choque de cuerpos rígidos Una vez definido y diferenciado el choque en los cuerpos rígidos de los choques de partículas, se puede conocer de una forma más clara las consecuencias que producen los choques de cuerpos rígidos, y como alteran las velocidades y direcciones que tenían estos cuerpos antes de dicho choque. Gracias a los conceptos presentados, se puede entender también el comportamiento de un choque excentrico de dos o más cuerpos, que suele ser el más común en la vida real. •
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IV. Ejercicios R esueltos VER ANEXO 1
V. Conclusiones Conceptos previamente definidos para ser utilizados en el movimiento de las partículas pueden ser utilizados en el movimiento del cuerpo rígido. • Se pueden obtener magnitudes referentes a un sistema como la Cantidad de movimiento, mediante la suma de todas las magnitudes de los cuerpos pertenecientes al sistema, la suma de als cantidades de movimiento de todos los constituyentes. • Para el estudio del movimiento de un cuerpo rígido, se puede tomar como referencia cualquier punto perteneciente al mismo, pero se sugiere utilizar un punto fijo O o el mismo centro de masa del cuerpo. • Así como existen varias aplicaciones de los conceptos como el Impulso, Choques y Momentos, para las partículas, existen también para los sistemas de partículas o para un cuerpo rígido en sí. • Todos los conceptos presentados en este documento pueden ser relacionados entre sí al momento de estudiar el movimiento de cuerpos rígidos, ya sean solos, interconectados entre sí, o durante un choque entre ellos. •
Referencias [Alfaro, 2012] Alfaro J. (2012) Dinámica del cuerpo rígido: momento de inercia, aceleración angular Obtenido de:
http : // www. f is . puc .cl / jal f aro / FIZ0121 /CLASES/solido . pd f [Chávez y Martínez, 2013] Chávez A. T. Y Martínez J.M. (2013) Cinética de Cuerpo Rígidos: Métodos de Impulso e Ímpetu. Universidad de Guanajuato, México [Contreras, 2013] Contreras Luis (2013) Im-
pulso y Cantidad de movimiento del sólido rígido.
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[Dávila y Pajón, 2002] Dávila J.A y Pajón J.(2002) Cinética de los cuerpos rígidos: Movi-
mientos [Franco A, s.f] Franco, A (s.f.) Momento An gular de un sólido rígido. Obtenido de: http : // teleformacion .edu .aytolacoruna.es / FI − SICA/document/teoria/ AF ranco/solido − /teoria/teoria.htm
[Meriam y Kraige, 1998] Meriam, J. L., y Kraige, L. G.(1998) Mecánica para ingenieros: Dinámica . Reverté [Paredes, 2016] Paredes W.R. (2016) Impulso, Momento y Choques, Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador [Riley y Sturges, 1996] Riley, William y Sturges, Leroy, (1996)Ingeniería Mecánica: DINÁMICA, Editorial Reverté. Barcelona
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