Departamento Académico de Estructuras Curso: DINÁMICA Tema: CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa E-mail: f_lazare
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Índice: -Introducción. - Movimiento de Traslación:
a) Propiedades b) Ec Ecua uaci cion ones es de mov movim imie ient nto. o. - Movimiento de Rotación
alrededor alreded or de un eje:
a) Propiedades b) Ec Ecua uaci cion ones es de mov movim imie ient nto. o. - Aplicaciones
Índice: -Introducción. - Movimiento de Traslación:
a) Propiedades b) Ec Ecua uaci cion ones es de mov movim imie ient nto. o. - Movimiento de Rotación
alrededor alreded or de un eje:
a) Propiedades b) Ec Ecua uaci cion ones es de mov movim imie ient nto. o. - Aplicaciones
Bibliografía: -Mecánica Vectorial para Ingenieros - DINÁMICA
Autores: Beer F., F., Johnston Johnston R., Clausen Clausen W. W. Mc Graw Hill - Ingeniería Mecánica - DINÁMICA Autor: Hibbeler R. C. Pearson Educación - Mecánica para Ingenieros - DINÁMICA Autores: Merian J. L., Kraige L. G. Editorial Reverté
INTRODUCCIÓN La CINEMÁTICA es el estudio de la geometría del movimiento aplicado a una partícula o a un cuerpo rígido y se usa para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento. Se estudiará la cinemática en el plano, o estudio de la geometría del movimiento en un plano de un cuerpo rígido. Su estudio es importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos empleados para muchas operaciones de máquinas. En ingeniería civil es importante para interpretar el comportamiento y análisis de elementos que por ejemplo integran una estructura.
Cuerpo rígido: Es un sistema de partículas que mantienen invariables sus distancias mutuas. Esta formulación es ideal ya que todos los materiales sólidos cambian algo de forma cuando se les aplican fuerzas. Si los movimientos asociados a los cambios de forma son muy pequeños frente a los movimientos globales del cuerpo , el concepto ideal de rigidez es aceptable.
-El diafragma rígido y la losa o placa al desplazarse rígidamente (sin deformación) puede trasmitir el desplazamiento a otros elementos como muros, haciéndolos todos a la vez y de igual forma.
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Se investigará las relaciones que existen entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las distintas partículas que forman un cuerpo rígido. Es posible someter un cuerpo rígido a tres tipos de movimiento en el plano, específicamente traslación, rotación en torno de un eje fijo y movimiento plano en general.
TRASLACIÓN: Un movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas se dice que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS s
s
s
s
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS
s
s Trineo para ensayo de cohetes
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS s
s
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Considérese un cuerpo rígido en traslación (rectilínea o curvilínea) y sean A y B cualesquiera de sus partículas. Representando por r A y
y B
r B los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y por r B/A al vector que une A y B
r B r A
rB = rA + r B/A Si se deriva esta expresión con respecto al tiempo, por la definición de traslación el vector r B/A debe mantener su dirección y magnitud constante, ya que A y B corresponden al mismo cuerpo rígido.
A x
O z Entonces la derivada de r B/A es cero: V A = VB Ecuaciones de
a A = aB
movimiento
PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante
y
y
x
x z
z
Traslación curvilínea: velocidad y aceleración cambian de dirección y en cada instante. Traslación rectilínea: velocidad y aceleración mantienen la misma dirección durante todo el movimiento.
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, intersecta al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad y aceleración cero.
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo la placa izquierda está en traslación curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos paralelos, mientras que la placa derecha está en rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos concéntricos
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS El cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Sea B la proyección de P sobre AA’, como P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo de centro B y radio r senf, donde
A’
B
f es
el ángulo formado por r y AA’.
O
La posición de P y de todo el cuerpo x está definida por el ángulo q que forma la línea BP con el plano
zx .
z
r
P
El ángulo
q se conoce como la coordenada
angular del cuerpo. 1 rev = 2 p rad = 360°
A
y
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS z
La velocidad de la partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P.
V = d r /dt S = (BP) S
q
BP
V = ds/dt °
q = (r sen f ) q t Dividiendo entre y obteniendo el límite cuando t 0 ° V = ds/dt = r q sen f °
como : q = w
V = ds/dt = r w sen f °
V = d r /dt = r = w x r
k
B
r
k i
O
j
P
v
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS El vector w = w k = q k se llama
z
velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a la rapidez de cambio q de la coordenada angular. °
Hallando la aceleración:
a = dV/dt = d (w x r ) /dt a = (dw/dt) x r + w x (dr/dt) a = a x r + w x V a = a x r + w x (w x r)
a = aceleración angular del cuerpo
k
B
r
k i
O
j
P
v
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS z
a = a k = w k = q k a x r
componente tangencial de la aceleración.
°
w x (w x r )
B
componente normal de la aceleración.
w
r
k i
w x (w x r ) a x r
k
O
j
P
v
y
ROTACION DE UNA PLACA REPRESENTATIVA La rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo puede definirse por el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación
V=wxr Dirección:
w = w k
r gira 90°
v = wk x r
P 0
V=wr
r
x
= wk
sentido rotación de la placa y
a = a x r + w x (w x r ) a = a k x r at = a r
w2 r
a=ak
at = a k x r an = w2 r
an = w2 r
at = ak x r an = -w2 r
P x
0
= wk a = ak
ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Es probable que a pueda darse como una función de t , recordando: ω=
θ
a=
t
w t
2
=
q t
2
a = w
w q
Ecuaciones similares obtenidas para el movimiento rectilíneo Se encuentran dos casos especiales de rotación: Rotación uniforme: a = 0
q = q0 + w t
w = constante
Rotación uniformemente acelerada: a = constante w = w0 + a
t
2
w =
2 w0
+ 2 a ( q - q0 )
q = q 0 + w0 t +
1 2
at
2
MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL Un movimiento plano en general puede considerarse siempre como la suma de una traslación y una rotación.
Movimiento plano
=
Traslación con A
+
Rotación sobre A
Otro ejemplo del movimiento plano esta dado por la barra cuyas extremidades resbalan a lo largo de una vía horizontal y una vía vertical. Este movimiento puede sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una rotación con respecto a A.
También puede sustituirse por una traslación en una dirección vertical y una rotación con respecto a B.
Movimiento plano
=
Traslación con B
En general consideraremos un pequeño desplazamiento de dos partículas A y B de una placa representativa desde A1 y B1 hasta A2 y B2
+
Rotación sobre B
Este desplazamiento puede dividirse en dos partes, una en la que las partículas se mueven hasta A2 y B1’ manteniendo la línea A1 y B1 la misma dirección, y otro en el que B se mueve de B1’ hasta B2 manteniéndose fijo A2. La primera parte es una traslación y la segunda una rotación con respecto a A. Recordando la definición del movimiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de referencia en movimiento: dadas dos partículas A y B de una placa rígida en un movimiento plano, el movimiento relativo de B con respecto a un sistema fijo a A y de orientación fija es una rotación. Un observador moviéndose con A, pero sin girar, le parecerá que la partícula describe un arco de círculo centrado en A.
VELOCIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO
La velocidad absoluta VB de una partícula B de la placa se obtiene:
VB = VA +VB/A La velocidad VA corresponde a la traslación de la placa con A, mientras que la velocidad relativa VB/A está asociada con la rotación de la placa respecto de A y se mide respecto a ejes centrados en A y de orientación fija.
VA
VA VB
A
A A
fijo
VA
B
B
B
Movimiento plano = Traslación con A
+
VB/A VA VB VB/A
Rotación sobre A
VB = VA+V B/A
VA
VA VB
A
A A
fijo
VA
B
B
B
Movimiento plano = Traslación con A
+
VB/A VA VB VB/A
Rotación sobre A
VB = VA+V B/A
Sea rB/A el vector de posición de B relativo a A, ωk la velocidad angular de la placa respecto a los ejes de orientación fija: V=ωxr
V=ωr
VB/A= ω k x rB/A
VB/A= ω r
Donde r es la distancia de A a B. Sustituyendo el valor de VB/A
VB = VA + ω k x rB/A
Considerando la barra AB y suponiendo que la velocidad VA del extremo A se conoce, se propone encontrar la velocidad VB del extremo B y la velocidad angular ω de la barra en términos de la velocidad
VA, la longitud l y el ángulo
θ. Escogiendo A como punto de referencia, el movimiento es equivalente a una traslación con VA y una rotación simultánea con respecto a A. La velocidad absoluta de B debe ser por lo tanto: V = V +V
B
A
B/A
Se conoce VA, l y θ hallar VB y ω
VB = VA tg θ
ω = VB/A / l
Movimiento plano = Traslación con A
+
Rotación sobre A
VB = VA+V B/A
El mismo resultado puede obtenerse empleando B como punto de referencia. Descomponiendo el movimiento dado en una traslación con VB y una rotación simultánea con respecto a B:
VA = VB + VA/B
Se conoce VB, l y θ hallar VA y ω
VA = VB tg θ
ω = VA/B / l
Movimiento plano = Traslación con B
+
Rotación sobre B
VA = VB+V A/B
La velocidad angular ω de un cuerpo rígido en un movimiento plano es independiente del punto de referencia.
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE UNA RUEDA En un instante A B = r θ
A B = SG
y α
SG = r θ
r = cte
ω
G’
G
θ
A
VG = r ω
r G = r θ i
VG = r ω i
V A = VC = ?
r z
SG = r θ
x
VC = VG’ + ω x r C/G’
VC = r ω i + (- ω k )x (-r j) B
SG = r θ
VC = r ω i - r ω i C
V A = VC = 0
CENTRO DE ROTACIÓN INSTANTÁNEO EN EL MOVIMIENTO Considerando el movimiento plano general de una placa, se demostrará que en cualquier instante las velocidades de las distintas partículas de la placa son las mismas que las que tendrían si la placa estuviese girando con respecto a cierto eje perpendicular al plano de la placa, llamado eje instantáneo de rotación. Este eje intersecta el plano de la placa en el punto C llamado centro instantáneo de rotación de la placa.
CENTRO DE ROTACIÓN INSTANTÁNEO (CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD CERO) Suponiendo que V A y ω se conocen y que ambas son diferentes de cero . Si V A = 0 el punto A es el centro instantáneo de rotación. Si ω = 0 todas las partículas tienen la misma velocidad V A. Estas velocidades pueden obtenerse permitiendo que la placa gire con velocidad angular ω, con respecto al punto
C localizado sobre la perpendicular a V A a la distancia r = V A / ω desde A.
V A será perpendicular a AC y su magnitud será r ω = (V A / ω) ω =
V A. La placa parece girar con respecto a su centro instantáneo C en el instante considerado.
La posición del centro instantáneo puede definirse en otras dos formas: a) Si las direcciones de las velocidades de dos partículas A y B de la placa se conocen y son diferentes, el centro instantáneo C se obtiene trazando la perpendicular a V A que pasa por A, y la perpendicular a V B que pasa por B, y determinando el punto en el cual estas dos líneas se intersectan. b) Si las velocidades V A y V B de las dos partículas A y B son perpendiculares a la línea AB (paralelas) y si sus magnitudes se conocen, el centro instantáneo puede encontrarse instersectando la línea AB con la línea que une las extremidades de los vectores V A y V B . Si V A y V B fueran paralelas y tuvieran la misma magnitud, no existe ω .
Trazando la perpendicular a V A que pasa por A y la perpendicular a V B que para por B , se obtiene el centro instantáneo C . En el instante considerado las velocidades de todas las partículas de la barra son entonces las mismas que la barra tendría si girara con respecto a C. Ahora si la magnitud de V A se conoce, la magnitud ω se obtiene: ω
=
V A
=
AC
V A l cos θ
La magnitud de V B puede obtenerse:
V B
= (BC) ω = l sen θ
V A l cos θ
= V A
tg θ
Sólo intervienen en el cálculo velocidades absolutas.
El centro instantáneo de la placa en movimiento plano puede localizarse dentro o fuera de la placa.
Si el centro instantáneo se localiza sobre la placa, la partícula C que coincide con el centro instantáneo en un instante dado t deber tener velocidad cero en ese instante. Sin embargo, debe notarse que el centro instantáneo de rotación es válido sólo en un instante dado, así que la partícula C de la placa que coincide con el centro instantáneo en el tiempo t no coincidirá generalmente con el centro instantáneo en el tiempo t + ∆ t; mientras su velocidad es cero en el tiempo t, probablemente será diferente a cero en t + ∆ t. Esto significa que, en general, la partícula C no tiene aceleración cero y por lo tanto la aceleración de las distintas partículas de la placa no puede determinarse como si la placa estuviese girando con respecto a C . Conforme el movimiento de la placa continúa, el centro instantáneo se mueve en el espacio. El centro instantáneo describe una curva en el espacio llamado centrodo espacial, y otra curva sobre la placa llamada centrodo del cuerpo.
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE UNA RUEDA En un instante A B = r θ
A B = SG α
y
SG = r θ
r = cte
SG = r θ
VG = r ω
r G = r θ i
VG = r ω i
VC = VG’ + ω x r C/G’
ω
r G’
G
z
θ
A
VC = r ω i + (- ω k )x (-r j) x
V A = VC = 0
B
SG = r θ
VC = r ω i - r ω i
C
V A = VC = CIR = IC
ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO aB = aA + a B/A Movimiento plano A (fijo) a A a A a B/A a B
(a B/A)n a A
Traslación con A asociado con la traslación de la placa
aA aB/A asociado con la rotación de la placa (a B/A) t = α k x r B/A (a B/A) t = α r 2 2 (a = ω r ) (a B/A) n = ω r B/A B/A n aB = aA + α k x r B/A
(a B/A)t
Rotación en A
(a B/A)n (a B/A)t ω2
r B/A
Suponiendo que la velocidad VA y la aceleración aA se conocen, determinar la aceleración aB y la aceleración angular de la biela AB. Eligiendo el punto A como referencia el movimiento es equivalente a una traslación con A y una rotación con respecto a A. La aceleración absoluta de B:
aB = aA + aB/A
aB = aA + (aB/A)n + (aB/A)t
(aB/A)n tiene la magnitud ω2l y está dirigida hacia A, mientras que (aB/A)t tiene la magnitud α l y es perpendicular a AB. No se conoce el sentido de la componente tangencial (aB/A)t por lo tanto el punto B puede acelerar hacia arriba o hacia abajo. A continuación se expresa aB = aA + (aB/A)n + (aB/A)t en forma geométrica, pueden obtenerse cuatro polígonos vectoriales diferentes.
Para conocer aB y la aceleración angular
de uno de los polígonos, se
debe conocer aA,
y
.
Considerando las componentes X e Y: En X
+
0 = aA+ ω2l Sen θ - α l Cos θ En Y +
- aB = - ω2l Cos θ - α l Sen θ
