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4. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO 4.1 Movimiento relativo de partículas
1. Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente está sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pasajero?
25 km/h
Resolución
vP − Velocidad absoluta del pasajero vT − Velocidad absoluta del tren v P − Velocidad relativa del pasajero respecto al tren. T
v P = v P + vT T
Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuación anterior.
vT = 25 Ѳ
vP
vP/T = 8
La magnitud de la velocidad del pasajero es:
vP =
25 2 + 8 2
Y su dirección 8 tan θ = 25 v P = 26.2 km
h
17.7°
118
Cinemática del cuerpo rígido
2. Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración relativas del avión A respecto al B.
500 ft/s
Resolución
La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B. v B = 500
v A = 800
v A = v A + v B B
Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que:
v A/B
v A = 1300 ft B
s
←
La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es: v2
a = A ρ
800 2
a = ; A 8000
a = 80 ↓ A
y la de B es: a B = 30
a = 30 → B
Entonces: ϴ
a A = a A + a B B
a A = 80
De la figura que representa la ecuación: a A/B
= a A B tan θ =
30 2 + 80 2 80 30
a A = 85 .4 ft B
s2
69 .4°
118
Cinemática del cuerpo rígido
2. Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración relativas del avión A respecto al B.
500 ft/s
Resolución
La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B. v B = 500
v A = 800
v A = v A + v B B
Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que:
v A/B
v A = 1300 ft B
s
←
La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es: v2
a = A ρ
800 2
a = ; A 8000
a = 80 ↓ A
y la de B es: a B = 30
a = 30 → B
Entonces: ϴ
a A = a A + a B B
a A = 80
De la figura que representa la ecuación: a A/B
= a A B tan θ =
30 2 + 80 2 80 30
a A = 85 .4 ft B
s2
69 .4°
Cinemática del cuerpo rígido
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30 m/s
3. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista?
60°
40 m/s 100 m
Resolución
v A − Velocidad absoluta del automóvil v M − Velocidad absoluta del motociclista v A − Velocidad relativa del automóvil respecto al M
motociclista v A = v A
M
v A/M
α
v M = 40
60°
+ v M
Como se trata de sólo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuación anterior. Por la ley de cosenos v A
2
= 30 2 + 40 2 − 2(30)40 cos 60°
M
v A = 30
v A
= 36.1
M
Por la ley de senos senα 30
=
sen60 v A
M
α = 46.0°;
v A
M
90° − 46.0° = 44.0°
= 36 .1 m
s
44 °
120
Cinemática del cuerpo rígido
4. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30; el motociclista aumenta su rapidez a razón de 8 ft/s 2, mientras que el automóvil la reduce 5 m/s cada s. Calcule la aceleración relativa del automóvil respecto al motociclista.
y
Resolución
x
Para determinar la aceleración relativa del automóvil respecto al motociclista, elegiremos un sistema de referencia como el de la figura; entonces: a A = (a A ) n + (a A )t
30°
=
30 2 100
at = 5
(− isen30° − j cos 30°) + 5(i cos 30° − jsen30°)
= −4.5i − 4.5 3 j + 2.5 3i − 2.5 j a A = −0.1699i − 10.29 j
a M = (a M ) n + (a M ) t at = 8
=−
a M
40 2
i + 8 j 100 = −16i + 8 j
Aceleración relativa: a A = a A
15.83
M
+ a M
− 0.1699i − 10.29 j = a A
− 16i + 8 j
M
18.29
a A
= 15.83i − 18.29 j
a A
= 24.2 m
M
a A/M
M
s2
49.1°
Cinemática del cuerpo rígido
4.2 Rotación pura B
5. El diámetro AB del volante de la figura se 3 mueve según la expresión θ = 2t , donde si t está en s, θ resulta en rad. ¿Cuál es la aceleración angular del volante cuando t = 5 s? ¿Cuántas revoluciones gira el volante hasta alcanzar una rapidez de 2400 rpm?
θ
A Resolución
θ = 2t 3 •
θ = 6t 2 Es la velocidad angular del diámetro AB. ••
θ = 12t que es la aceleración angular del volante. Para t = 5
••
θ = 60 rad
s
2
2400 rpm en rad
s
son
2π = 80π 60
2400
El tiempo que tarda en alcanzar esa rapidez es: 2 80π = 6t t =
80π 6
121
122
Cinemática del cuerpo rígido
y la desviación angular correspondiente es:
80π θ = 2 6
3
rad
que en revoluciones son: 3
80π 2 6 = 86.3 rev 2π
Cinemática del cuerpo rígido
B
6. El diámetro AB del volante de la figura se 3 desvía según la expresión θ = 2t , donde si t está en s, θ resulta en rad. El volante tiene un radio de 20 cm en el instante mostrado, θ = 60º, determine: a) el valor de t . b) la velocidad y aceleración lineales del punto B.
θ
A Resolución:
a) 60° =
π 3 153.6
3
rad
= 2t 3
t = 3
π 6
B
α
π
t = 0.806 s
β 303.9
b) 60°
•
ω = θ = 6t 2 ω = 6(0.806) 2 = 3.898 Como v = ω r v = 3.898(20)
v = 78.0 cm
s
30°
La aceleración normal del punto B es: 2 2 a n = ω r = (0.898) 20 = 303.9
123
124
Cinemática del cuerpo rígido
Y la tangencial a t = α r ••
En donde α = θ = 12t = 12(0.806) = 9.672 a t = 9.672( 20) = 193.44
La magnitud de la aceleración de B es: a=
303.9 2 + 193.44 2 = 360.2
Y el ángulo β tan β =
193.44 360.2
; β = 32.5°
Por tanto, como 60° − 32.5° = 27.5°
a = 360 cm 2 s
27.5°
Cinemática del cuerpo rígido
125
7. La banda de la figura es flexible, inextensible y no se desliza sobre ninguna de la poleas. La polea A, de 3 in de radio, gira a 120 rpm. Calcule la rapidez de una partícula cualquiera de la banda y la velocidad angular de la polea B, de 5 in de radio.
Resolución
v = ω r
2π rad = 4π rad s s 60
Donde ω = 120 v = 4π (3) v = 37 .7 in
s
Como la expresión v = ω r puede emplearse con cualquiera de las poleas:
ω A r A = ω B r B ω B =
ω A r A r B
ω B = 72 rpm
=
120 ( 3 ) 5
