Energía cinética= un medio del producto de la masa x el cuadrado de la velocidad : Energía potencial gravitacional es la energía que tienen los cuerpos para realizar un trabajo debido a su posición con respecto a un nivel de referencia, que por lo general se considera como nivel cero de referencia la superficie terrestre. Por lo que EPG= mgh ; como el peso de un cuerpo es w= mg , se tiene: EPG= wh = mgh De acuerdo a la segunda ley de Newton , F = M a, las unidades de fuerza son: 1) Un kilogramo fuerza es aquella fuerza que aplicada a la masa de un kilogramo le produce una aceleración de
, es decir,
2) Un Newton es la fuerza que aplicada a la masa de un kilogramo le produce una aceleración de
es decir ,
; por lo que
3) Un gramo fuerza es la fuerza que aplicada a la masa de un gramo le produce una aceleración de 981
, por lo que
4) Una dina es la fuerza que aplicada a la masa de un gramo se produce una aceleración de
, es decir, 1 dina=
; y se tiene que
5) Una libra fuerza ,también llamada Pound, es la fuerza que aplicada a la masa de una libra le produce una aceleración de , o sea que ,
; por lo que
6) Trabajo es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento por el desplazamiento. Si la dirección de la fuerza es contraria al desplazamiento se tiene un trabajo negativo, y si la dirección de la fuerza es el del desplazamiento se tiene un trabajo positivo. 7) Definiendo al trabajo en forma general, 8) Las unidades de trabajo son: .; 1caloría=4.186Joules; 9) Las equivalencias de trabajo resultan ser: 1Kilográmetro= 9.81 Joules ; Ergios.
Potencia es el trabajo realizado en la unida de tiempo:
Como Trabajo= F d , resulta que la potencia es equivalente a (fuerza x velocidad media) y la velocidad media se puede considerar como
!
1) La unidad C.G.S. de potencia es el watt y es la potencia de una máquina que realiza un trabajo de un joule en un segundo, o sea : utilizan el kilowatt y el kilográmetro por segundo;
. También se
2) Otras unidades de potencia son : 3) 4) El caballo de vapor (C.V) definido por:
5) Además se acostumbra una nueva unidad de trabajo, que es el kilowatt-hora que resuta de
Trabajo= P t
Un kilowat-hora (Kw-h) es el trabajo realizado en una hora por una máquina cuya potencia es un kilowatt. 6) 1Kw-h= 1000watts-hora=
PROBLEMA 4.3.1. Un automóvil de 1000 kg de masa se mueve a una velocidad de 0.28
.
a) ¿Cuál es su energía cinética?. b) ¿ A qué velocidad se debe mover un objeto de 80 kg de masa para tener la misma energía cinética que la del auto? a) Aplicando la fórmula y sustituyendo: . Resp.
b) Datos: M= 80 kg ; Sustituyendo los datos en la fórmula de energía cinética:
Resp.
PROBLEMA 4.3.2. Una persona levanta con velocidad constante un portafolios de 10 kg de masa ,desde el piso hasta una altura de 1metro. a) ¿Cuáles son las fuerzas que actuan sobre el portafolios , y la fuerza neta?. b)¿ Cuál es el trabajo neto efectuado sobre el portafolios? c) ¿Cuál es el trabajo que efectua la persona sobre el portafolios?
Solución: a) las fuerzas que actúan se representan en el esquema. Como el portafolios se levanta a velocidad constante y considerando el movimiento positivo hacia arriba, F-mg=0 , por lo que la fuerza neta es cero. b)Trabajo neto que se efectúa sobre el portafolios :
. Como F=M
g debido a que el movimiento se realiza a velocidad constante , se tiene que Resp. c) El trabajo que realiza la persona sobre el portafolios : T= FH Resp.
PROBLEMA 4.3.3. Un camión lleva una caja de 66 kg de masa, y acelera uniformemente desde el reposo hasta en 15 seg. Calcular el trabajo efectuado por el camión sobre la caja.
Solución. Cuando el camión se mueve ejerce una fuerza de acción en el sentido del movimiento lo cual hace que la caja
que está sobre la plataforma del camión se mueva con una fuerza de reacción que es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento, como el conjunto se mueve con cierta aceleración entonces la fuerza aplicada a la caja y que le produce la aceleración del camión puede ser conocida mediante la segunda ley de Newton: F=M a y el trabajo que realiza el camión sobre la caja puede ser calculado mediante la expresión: T= F x d = (Ma) d . Siendo necesario conocer ahora la aceleración y la distancia recorrida en los 15 segundos. (considerar
.
De la fórmula
Utilizando Por último, sustituyendo en T= (M a) d =
Resp.
PROBLEMA 4.3.4. Un hombre empuja un refrigerador de 40 kg de masa a velocidad constante una distancia de 1.5 m. El coeficiente de fricción entre las dos superficies es de a) ¿ Qué trabajo realiza el hombre al mover el refrigerador? b) ¿ Qué otros trabajos se efectúan ? c) ¿ Cuál es el trabajo neto que se realiza en este proceso?
Solución: a) La fuerza que ejerce el hombre es de igual magnitud y opuesta a la fuerza de rozamiento debido a que el movimiento se realiza a velocidad constante : La fuerza de rozamiento es Trabajo realizado por el hombre: Joules. Resp. b) El otro trabajo lo realiza la fuerza de rozamiento. Resp. c) El trabajo neto que se realiza se obtiene considerando que el trabajo neto es igual a la resultante de todas las fuerzas que actúan,
Resp.
PROBLEMA 4.3.5. Se deja caer una pelota de 100 gr de masa desde una altura de 10m. a) ¿ Cuál es el trabajo que efectúa la fuerza de gravedad sobre la pelota ? b) Suponga que la pelota rebota a una altura de 8 m . ¿ Cúanto trabajo efectúa la gravedad sobre la pelota, desde el piso hasta la altura de 8 m ?
Solución. a) Como la fuerza de la gravedad sobre la pelota es en la misma dirección y sentido que el movimiento de la pelota, el trabajo que realiza la gravedad es positivo :
Resp.
b) Como la fuerza de gravedad es en la misma dirección y de sentido contrario al movimiento de la pelota, el trabajo de la gravedad es negativo : Resp.
PROBLEMA 4.3.6. Un trabajador de la construcción , con 75 kg de masa, iza una carga de ladrillos de 42 kg de masa. Pasa una cuerda por una polea y deja que su peso eleve la carga. Suponiendo que no hay fricción, ¿ cúal es el trabajo que realiza la gravedad durante un período de 2 segundos
Paso 1. Trabajo que realiza la gravedad =
Paso 2. La distancia recorrida durante los 2 segundos se obtiene encontrando primero la aceleración, y la aceleración se puede obtener aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo por separado, figuras a) y b), considerando en cada caso positivas las fuerzas que actúan en el sentido del movimiento. Figura a):
Figura b) : Paso 3. Sustituyendo la tensión de la cuerda , T , de la ecuación anterior: ; despejando la aceleracion se tiene : por lo que la distancia recorrida en 2 seg. , es:
.
Paso 4. El trabajo realizado por la gravedad, es: . Resp.
PROBLEMA 4.3.7. Una cuadrilla de construcción necesita izar una carga de 87 kg masa, mediante una cuerda que pasa por una polea. Van a elevar la carga partiendo del reposo en el piso, a una altura de 18m, y debe llegar al punto final con de velocidad. a) Calcular el trabajo que realiza la cuadrilla sobre la carga, si la acelera uniformemente toda la distancia. b) Repita el cálculo para el caso en que la aceleración se lleve a cabo en los primeros 5m y la carga se ice con velocidad constante el resto de la trayectoria.
Solución. a) El trabajo que se realiza es el que resulta de multiplicar la tensión de
la cuerda por la distancia recorrida. Para obtener la tensión de la cuerda se emplea la segunda ley de Newton : . La aceleración se obtiene mediante la relación:
Despejando la tensión de la cuerda: . Trabajo realizado= 862.26N ( 18m)= 15,1521 Joules. Resp. b) El trabajo realizado durante los primeros 5 m se lleva a cabo con la misma aceleración y con la misma tensión de la cuerda, por lo que Joules. El trabajo que se realiza en los siguientes 13m restantes es a velocidad constante por lo que es este caso la tensión de la cuerda igual al peso de la carga, y el trabajo es :
joules.
El trabajo total efectuado es: joules. Resp.
PROBLEMA 4.3.8. Calcular el trabajo que debe efectuar una fuerza dirigida hacia arriba para elevar una cuerda enrrollada de longitud L y masa M apartándola por completo de la superficie.
Solución: La fuerza que se emplea al levantar la cuerda a velocidad constante va
aumentando a medida que aumenta la longitud de la cuerda que es elevada. Por lo que se propone analizar el trabajo que se realiza al levantar un pequeño segmento de cuerda y posteriormente realizar la suma del trabajo total. Paso 1. Densidad=
;
Paso 2. volumen= área x longitud= Paso 3.
;
;
Paso 4. Diferencial de masa: Paso 5.
;
Paso 6.
Paso 7. Como
v= AL ;
; entonces
;
sustituyendo esta relación se tiene: Trabajo total realizado :
Resp.
PROBLEMA 4.3.9. Un hombre tira de un trineo hasta la parte superior de una pendiente de 150 . Mantiene la cuerda con la que tira paralela a la pendiente. Si el trineo tiene una masa de 43 kg, y la longitud de la pendiente es de 36m,¿ cuánto trabajo realiza el señor sobre el trineo suponiendo que tira de él a velocidad constante?
Solución. Como la fuerza se aplica a velocidad constante a lo largo de los 36m, y la fuerza aplicada es de
; El trabajo que realiza el hombre es de Resp.
PROBLEMA 4.3.10. Un esquiador de 85 kg de masa con todo y esquis, parte del reposo y se desliza pendiente abajo a un
ángulo de 230 con la horizontal. ¿ Cuál es el trabajo neto sobre el esquiador durante los primeros 5.5 segundos, si el coeficiente de fricción es de 0.12?
Paso 1. El trabajo neto realizado se puede calcular como la suma de fuerzas que actúan en la dirección del movimiento multiplicada por la distancia recorrida en la misma dirección: La distancia recorrida es
; pero hace falta conocer la aceleración.
Para obtener la aceleración es necesario aplicar la segunda ley de Newton. Paso 2. Considerando positivas las fuerzas en el sentido del movimiento, y que la fuerza de rozamineto es
Se tiene que
;
;
.
Por lo que la distancia recorrida en los 5.5 segundos ,es : Paso 3. El trabajo neto realizado es: Resp. Simplificando el procedimiento de solución, con los mismos datos y para cualquier ángulo:
PROBLEMA 4.3.11. Una caja de 25 kg de peso se desliza pendiente abajo de un plano que forma un ángulo de 300 con la horizontal, partiendo del reposo en la parte superior del plano. La velocidad de la caja al llegar al pié del plano de 10m de longitud, es . ¿ Cuál es el coeficiente de fricción? ¿ Cuánto trabajo efectúa la fuerza de fricción?
.
Paso 1. Obtener primero la aceleración de la caja:
Paso 2. Obtener ahora el coeficiente cinético de fricción mediante la segunda ley de Newton , considerando positivo el sentido del movimiento: ;
Sustituyendo valores: ; De donde se obtiene:
Resp.
Paso 3. El trabajo de la fuerza de fricción es negativo:
Resp.
PROBLEMA 4.3.12. Un cuerpo de 100 newtons es subido por un plano inclinado 30o con la horizontal, por medio de una fuerza P que se aplica a 50o con la vertical. El coeficiente de rozamiento es de 0.6 y el cuerpo se mueve a velocidad constante a lo largo de 1.2 m. Calcular el trabajo realizado por la fuerza P
Paso 1. Se construye un diagrama de cuerpo libre en el cual se representan las fuerzas que actúan considerando positivo el movimiento hacia arriba, y aplicando el concepto de trabajo: Nos damos cuenta que es necesario determinar primero el valor de la ferza P, para lo cual consideremos que el sistema está en equilibrio dinámico, es decir, la suma total de las fuerzas en el sentido del movimiento es cero:
;
Paso 2. La fuerza de rozamiento es igual a la fuerza normal multiplicada por el coeficiente de rozamiento (en este caso la fuerza normal es la suma de la reacción de las fuerzas normales a la superficie de contacto entre el cuerpo y el plano inclinado). Sustituyendo valores, se tiene: ; despejando a P :
Por lo que el trabajo realizado por la fuerza P, es T=(463.45 )1.2m=556.14 Joules. Resp.
PROBLEMA 4.3.13. Un resorte especial ejerce una fuerza distancia al punto de equilibrio. Los valores de
para restaurarse al equilibrio, siendo x la , respectivamente. Encuentra el trabajo
realizado al estirar el resorte de 0.1m a 0.2m.
Paso 1. Como la fuerza aplicada varía en función de la distancia, es decir, no es constante, lo cual se sabe por la forma en que está definida la fuerza del resorte,pero en elcaso del trabajo realizado al estirarlo la fuerza aplicada es en sentido opuesto a la fuerza del resorte, por lo cual el trabajo realizado al estirar el resorte es positivo y se obtiene por medio de la integración:
joules.Resp.
PROBLEMA 4.3.14. Si suponemos que la electricidad cuesta 0.30 pesos por Kw-h, y el recibo del consumo indica un cobro de 142.5 pesos en un mes, y que la electricidad sólo se utilizó en el alumbrado de los focos que permanecieron encendidos durante 7 horas diarias, ¿cuánto focos de 75 watts se encendieron?
Paso 1. Primero encontrar el trabajo eléctrico consumido en el mes de acuerdo al costo , mediante la proporción:
, trabajo realizado en un mes.
Paso 2. Encontrar ahora la potencia eléctrica en el mes de acuerdo a las horas utilizadas., utilizando la fórmula
;
Potencia consumida en el mes.
Para obtener el número de focos de 75watts utilizados : Resp.
PROBLEMA 4.3.15. Se emplea un motor para tirar una carga de 1000 kg de peso pendiente arriba de un plano inclinado en un ángulo de 200 con la horizontal. Calcular la potencia desarrollada por el motor, si la longitud del plano es de 50m, la carga se mueve a una velocidad constante de y si: a) el plano no tiene fricción; b) hay fricción y el coeficiente de fricción cinética es de
.
Solución. Como el trabajo se realiza a velocidad constante, la fuerza constante es la componente paralela al plano inclinado, por lo que la potencia realizada es:
. Resp.
b) Como hay fricción, la fuerza total empeada es la suma de todas las fuerzas que actúan en la dirección del movimiento,siendo positiva la que actúa en el sentido del movimiento y negativas la que actúan en sentido contrario. La fuerza que ejerce el motor a travéz del cable es de igual magnitud y de sentido contrario a las otras dos
; además
;
; Resp.
PROBLEMA 4.3.16. Un automóvil de prueba de 700 kg de masa se mueve a una velocidad de una pared. Si el auto se detiene en 0.3 seg. ¿ Cuánta potencia promedio se gasta en el proceso?. Paso 1. De acuerdo a la información proporcionada, la potencia se debe
, cuando choca contra
expresar como:
.
Por lo que se debe obtener el valor de la aceleración con los datos:
Paso 2. Ahora basta con sustituír los valores, tomando en cuenta que la velocidad promedio es:
.
=
Resp.
PROBLEMA 4.3.17. Encuentra el trabajo que se realiza al subir un cuerpo de 54 kg de masa hasta una altura de 4metros : a)si se iza con una cuerda en forma vertical ; b) si se empuja por un plano inclinado sin fricción que forma un ángulo de 300 con la horizontal.
Solución. a) Trabajo realizado= F (h) =Mgh=
Resp.
b) Trabajo realizado al empujarlo por el plano inclinado una distancia de
Resp.
PROBLEMA 4.3.18. Una fuerza constante de 10 N empuja una partícula a lo largo del eje x. La posición de la partícula está representada por . Encuentra el trabajo efectuado por la fuerza : a) entre t=0 y t= 1 seg. ; b) entre t= 1seg. y t= 2 seg. ; c) ¿ es conservativa la fuerza?
Solución. a) Sustituyendo t=0 en se obtiene x= 11m, y sustituyendo t=1seg; se obtiene x=9.5m por lo que la partícula se mueve hacia la izquierda 1.5m, mientras que la fuerza actúa hacia la derecha, por lo que el trabajo realizado por la fuerza es negativo: T= 10N(-1.5m)= - 15Joules. Resp. b) Haciendo un razonamiento semejante: Trab= 10N(- 0.5m ) = - 5 Joules. Resp. c) La fuerza sí es conservativa por ser el proceso reversible, si invertimos el proceso se realiza el mismo trabajo.
PROBLEMA 4.3.19. Una fuerza constante y desconocida empuja un objeto de 10 kg de masa verticalmente hacia arriba, a partir del reposo,desde el piso. A una altura de 2m , la velocidad del cuerpo es de . a) Encuentra el cambio de energía potencial asociada con la gravedad. b) ¿ Cuál es el trabajo que realiza la fuerza desconocida ? c) ¿ Cuál es el trabajo neto?
Solución. a) Tomando el piso como nivel de referencia la energía potencial que tiene el cuerpo a los 2 m, es: En.pot.=Mgh=
Resp.
b) Considerando que el objeto parte del reposo y a los 2m ya lleva una velocidad de
, significa que la fuerza aplicada le produce una aceleración al objeto.
Por lo que a los 2m el objeto tiene una energía potencial debido a su posición con respecto al suelo, y una energía cinética debida a su velocidad. Entonces: Trabajo de la fuerza= E.pot. + E.cinética.
Trabajo de la fuerza=
Resp.
c)) El trabajo neto que se realiza: La fuerza aplicada está venciendo la acción de la gravedad, y la energía potencial que tiene el objeto a la altura de los 2m es el trabajo de la gravedad, pero como el objeto todavía lleva energía cinética en virtud de su velocidad, entonces al trabajo que ha realizado la fuerza le restamos el trabajo de la gravedad y lo que le quede será el trabajo neto, que es precisamente la energía cinética. Trabajo neto=
Resp Resp.
Otra forma de calcular el trabajo de la fuerza :
;
Para calcular la aceleración:
F=112.4 newtons ; Trabajo de la fuerza = 112.4N(2m)=224.8 joules. Resp. PROBLEMA 4.3.20. Un paquete de 3 kg de masa está sujeto a una fuerza constante de 7 N que apunta en la dirección ( +x). a) Encuentra la energía potencial del paquete como función de su posición, definiédola de tal modo que U(x) sea cero cuando x=0. b) Suponiendo que el paquete tenga una velocidad de cuando x= 2m, calcula la energía mecánica total del paquete. c) ¿ Cuál es la velocidad del paquete cuando x=5m?
Paso 1. Energía de posición U(x)= f (-x)= En x=2m ,
, por lo que la energía mecánica total es la suma de
la energías de posición y la cinética: Resp. Paso 2. Considerando en x=2m la velocidad como la final y en x=5m como la velocidad inicial, y utilizando
; se tienen dos incógnitas
que son la velocidad inicial y la aceleración, por lo que la aceleración la calculamos con la segunda ley de Newton , pero antes debemos considerar que la fuerza se aplica hacia la derecha y el paquete se mueve hacia la izquierda por lo que la aceleración es negativa: F= -M a ; ; sustituyendo la aceleración y con x= 3m
en la ecuación Sustituyendo se tiene Velocidad del paquete en x=5m.
PROBLEMA 4.3.21. Un resorte tiene una constante igual a y obedece a la ley de Hooke. a) ¿ Hasta dónde debe comprimirse, si su energía potencial debe ser de 29.64 Joules? b) ¿ Cuál es la masa de una pelota en el extremo del resorte, si la velocidad máxima de ésta es cuando se suelta el resorte?
Paso 1. La energía potencial del resorte al comprimirse es U(x)=
. Por lo que la longitud que se comprime debe ser
Resp.
Paso 2. El resorte al ser comprimido tiene una energía potencial, la cual al ser liberada soltando el resorte, se transforma en energía cinética comunicándole a la pelota la velocidad indicada.
Resp.
PROBLEMA 4.3.22. Un resorte cuya constante es de se usa como disparador de un pequeño bloque de 10 gr. masa. El bloque se coloca en el resorte comprimido 5 cm. y se suelta en posición horizontal. a) Si la superficie es lisa,calcula la velocidad del bloque al abandonar el resorte. b) Si la superficie es áspera, ¿ cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción para hacer que el bloque se detenga? c) Si el bloque recorre una distancia de 3.5m antes de detenerse, ¿ cuál es el coeficiente de
fricción cinética entre el bloque y la superficie?
Paso 1. La energía potencial que tiene el resorte al estar comprimido se transforma en energía cinética al ser liberado comunicándole al bloque cierta velocidad: U(x) = Igualando las dos energías y despejando la velocidad, se tiene :
Resp.
Paso 2. La energía cinética del bloque se gasta en el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento que es negativa por actuar en sentido contrario al movimiento el cual se considera positivo. Resp.
Paso 3. Fuerza de rozamiento=
; N= M g ;
Trabajo de la fuerza de rozamiento= Resp.
PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA.
PROBLEMA 4.4.23. Una esfera de masa M se suelta en el punto A sin velocidad inicial y rueda sobre una pista lisa como lo indica la figura. a) Encuentra la velocidad que lleva la esfera en el punto B. b) Encuentra la velocidad de la esfera en el punto C.
Paso 1. La energía potencial de la esfera en el punto A que tiene con respecto al nivel del piso, se tranforma una parte en energía cinética y la otra parte en energía potencial al llegar al punto B. Como el punto B está a la mitad de la altura del punto A, solo la mitad de la energía potencial que tiene la esfera en el punto A se transforma en energía cinética al llegar al punto B. Lo anterior se debe a que la energía total del sistema permanece constante, es decir, se conserva. El planteamiento general que se sugiere en este caso en donde no hay fuerza de rozamiento es : Energía potencial + Energía cinética en el punto A es igual a la Energía potencial + la Energía cinética en el punto B. Un planteamiento similar se puede hacer entre los puntos B y C ó entre los puntos A y C.
;
; simplificando y
despejando la velocidad, se tiene: Resp.
Paso 2. Para obtener la velocidad en el punto C es más corto hacer el
planteamiento de la conservación de la energía entre los puntos A y C :
; Simplificando y despejando la velocidad de la esfera en el punto C :
Resp.
PROBLEMA 4.4.24. Un paquete de 5 kg de peso se arroja hacia abajo con una velocidad de
por el plano inclinado como
se indica en la figura. Si el coeficiente cinético de rozamiento es de 0.6, determinar: a) la distancia horizontal que recorre el paquete hasta llegar al reposo; b) la altura que desciende el paquete.
Paso 1. Aplicando el principio de conservación de energía entre los puntos A y B: Lo cual significa: la energía cinética del paquete en el punto A mas el trabajo realizado al trasladarse del punto a hasta el punto B, es igual a la energía cinética del paquete en el punto B. Paso 2. Sustituyendo valores:
Paso 3. Trabajo de A a B realizado por la fuerza de rozamiento:
; siendo x la distancia paralela al plano inclinado, a lo largo del desplazamiento del paquete. Paso 4. La energía cinética del paquete en el punto B, es cero, pues se considera que es el punto en el cual llega al reposo. Paso 5. Sustituyendo lo anterior: Resp. Paso 6. La altura que desciende el paquete: Resp. Paso 7. Si resolvemos el problema aplicando el principio de la conservación de la energía entre los puntos A y B, pero de manera más completa, el análisis es un poco más complicado que el anterior, pero es conveniente hacerlo por lo ilustrativo que resulta: la energía cinética en A, mas la energía potencial en A mas el trabajo realizado de A a B, es igual a la energía cinética en B mas la energía potencial en B. No se considera trabajo realizado en el punto B, pues debe haber desplazamiento :
; tomando
como nivel de referencia la horizontal que pasa por el punto B, y considerando que el paquete queda en reposo en el puntoB, entonces las energías cinética y potencial son cero en ese punto: Paso 8. Sustituyendo valores y tomando en cuenta que la cuando se incluye la energía potencial en el análisis, la componente del peso del paquete que se dirige a lo largo del plano inclinado, no se toma en cuenta, solo se incluye la fuerza de rozamiento para calcular el trabajo realizado; por lo que: ;
la relación que existe entre x y h es:
sustituyendo esta relaión:
Resp. siendo el valor correspondiente de la distancia horizontal: Resp.
PROBLEMA 4.4.25. Una caja que pesa 50 newtons, se lanza hacia arriba por un plano inclinado, con una velocidad de
,
si el coeficiente de rozamiento es de 0.4, determinar : a) la altura en la cual la la caja llega la reposo, b) la velocidad con la cual el paquete se regresa al punto de partida.
Paso 1. Aplicando el principio de conservación de la energía entre el inicio y el final del movimiento del paquete:
; ; sustituyendo valores :
;
La altura en la cual la caja llega al reposo: Resp. Paso 2. Considerar ahora, que la caja parte del reposo desde el punto más alto alcanzado y determinar la velocidad con la cual llega al punto de partida: ;
Paso 3. Sustituyendo valores: ;
despejando la velocidad:
Resp.
PROBLEMA 4.4.26. Un paquete que pasa 100 newtons, parte del reposo en el punto A del plano inclinado como se indica en la figura, si el coeficiente cinético de rozamiento es de 0.2, y el paquete se desliza 4m para llegar a la parte más baja del plano inclinado, determinar la velocidad con la cual llega a ese punto.
Paso 1. Aplicando el principio de la conservación de la energía entre los puntos A y B: ;
; sustituyendo valores y despejando a V :
Resp.
Paso 2. Si aplicamos el principio de la conservación de la energía de la forma:
Paso 3. Cuando se incluye la energía potencial, el trabajo realizado es solo el de la fuerza de rozamiento; por lo que sustituyendo valores y despejando a V:
Paso 4. El valor de la altura inicial del paquete es:
; por
lo que la ecuación anterior es: Resp.
PROBLEMA 4.4.27. Un cuerpo de 10 newtons se desliza hacia abajo por un plano inclinado y luego continúa moviéndose a lo largo de la superficie horizontal hasta llegar al reposo en el punto C, como lo indica la figura. Si el coeficiente de rozamiento en todas las superficies es de 0.5, y la velocidad inicial del cuerpo es de ; determinar la distancia d que recorre en la superficie horizontal.
Paso 1. Resolveremos el problema considerando que la inclinación del plano entre los puntos A y B, es de
; es decir, que no existe la pequeña curva, lo cual simplifica el análisis.
Paso 2. Aplicando el principio de conservación de la energía entre los puntos A y B:
; Trabajo de A a B:
Paso 3. Sustituyendo:
Paso 4.
velocidad del paquete en el punto B.
Paso 5. Aplicando la conservación de energía entre los puntos B y C:
Paso 6. Sustituyendo valores: Resp.
PROBLEMA 4.4.28. En el dibujo de la figura, el resorte tiene una constante de , y está unido al collarín B que pesa 5 newtons, el cual se mueve horizontalmente a lo largo de la barra, sin rozamiento. Si la longitud natural del resorte es de 10cm y el collarín se suelta desde el reposo en la posición que se indica, determinar la velocidad máxima que alcanza.
Paso 1. La fuerza F del resorte es la constante del resorte k multiplicada por el alargamiento x : Paso 2. El trabajo W que realiza el resorte, es:
; sustituyendo:
Paso 3. Por lo que el trabajomque realiza el resorte,es
Paso 4. Aplicando la conservación de la energía entre los puntos B y A' :
Paso 5. para determinar el trabajo que realiza el resorte en el punto B, es necesario conocerr su a largamiento en ese punto: longitud AB=
; por lo que el alargamiento
del resorte en el punto B, es: 36cm-10cm=26cm; y el trabajo que realiza en el punto B, es: Paso 6. El alargamiento del resorte en el punto A', es: 20cm-10cm=10cm ; por lo que el trabajo que realiza el resorte en el punto A' , es:
Paso 7. La energía cenética del collarín en el punto A', es :
Paso 8. Sustituyendo en al ecuación de la energía: ; despejando la velocidad: Resp. Es la velocidad máxima del collarín y se alcanza en el punto A' por ser el punto del menor el alargamiento del resorte.
PROBLEMA 4.4.29. Un resorte cuya constante es de , se utiliza para lanzar una pelota que tiene una masa de 5 gramos. Si la longitud natural del resorte es de 15 cm y se comprime hasta que alcanza una longitud de 3cm, colocándose la pelota en esa posición y luego se dispara verticalmente hacia arriba. Determinar: a) la velocidad de salida de la pelota, b) la altura máxima de la pelota
Paso 1. El trabajo realizado para comprimir el resorte 12 cm, o bién, la energía potencial que tiene el resorte por estar comprimido 12cm, es: . Esta energía potencial se transforma en energía cinética al ser disparada la pelota, de modo que la energía cinética que lleva la pelota en el momento en que se despega del resorte, es de Paso 2. Aplicando la conservación de la energía en las posiciones entes e
inmediatamente después del disparo:
;
Resp.
Paso 3. Conociendo la velocidad de salida, determinamos la altura máxima que alcanza la pelota: Resp.
Paso 4. También se puede resolver considerando que la energía cinética que lleva la pelota en el momento en que se desprende del resorte, se transfoma en energía potencial gravitacional: Resp.
