Cinematica Plana de un cuerpo rigido

La cinemática de cuerpos rígidos describe las relaciones entre los movimientos lineales y angulares de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas y momentos asociados. Un sistema de transmisión es un buen ejemplo de una aplicación de la cinemática del cuerpo rígido en el que las relaciones entre los movimientos de entrada y salida requieren un análisis preciso.

Universidad de Ingeniería & Tecnología UTEC

DINAMICA CAPITULO 16: CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO Helard Alvarez Sanchez [email protected] Samuel Charca [email protected]

CAPITULO 16: CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

Objetivos: a) Clasificar los diversos tipos del movimiento plano de un cuerpo rígido. b) Investigar la traslación y el movimiento angular con respecto a un eje fijo de un cuerpo rígido. Contenido de clase: • Movimiento plano de un cuerpo rígido tanto en traslación como en rotación.

• Rotación alrededor de un eje fijo.

16.1 Movimiento plano de un cuerpo rígido Se debe de considerar el tamaño. Por ejemplo, en el diseño de engranajes, levas, enlaces y en las máquinas o mecanismos, la rotación del cuerpo es un aspecto importante en el análisis de movimiento.

16.1 Movimiento plano de un cuerpo rígido

Traslacion: se produce cuando todos los segmentos de línea en el cuerpo se mantiene paralela a su dirección original durante el movimiento. Cuando todos los puntos se mueven a lo largo de líneas rectas, el movimiento se llama traslación rectilínea. Cuando las trayectorias de movimiento son líneas curvas, el movimiento se llama traslación curvilínea.

16.2 Traslación La posicion de dos puntos A y B en un cuerpo en traslacion pueden ser relacionados por: rB = rA + rB/A donde rA y rB son los vectores absolutos de posicion definido en el sistema fijo x-y de cordenadas, y rB/A es el vector relativo de posicion entre B y A. La velocidad en B es vB = vA+ drB/A/dt Ahora drB/A/dt = 0 donde rB/A es constante. Tambien, vB = vA, y por logica, aB = aA. Nota, todos los puntos en un cuerpo rigido sugeto a la traslacion tiene la misma velocidad y aceleracion.

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P en el cuerpo viaja a lo largo de una trayectoria circular. La posición angular de P se define por . El cambio en la posición angular, d, se llama el desplazamiento angular, con unidades de cualquiera de radianes o revoluciones. Ellos están relacionados por 1 revol. = (2) radianes Velocidad angular, , es obtenido derivando con respecto al tiempo el desplazamiento:  = d/dt (rad/s) + Similarmente, la aceleracion angular es

 = d2/dt2 = d/dt or  = (d/d) + rad/s2

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Si la aceleración angular del cuerpo es constante,  = C, las ecuaciones para la velocidad angular y la aceleración pueden integrarse para producir el conjunto de ecuaciones algebraicas siguientes:  = 0 + C t  = 0 + 0 t + 0.5 C t2 2 = (0)2 + 2C ( – 0)

0 y 0 son los valores iniciales de la posición angular y la velocidad angular del cuerpo.

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Velocidad del punto P La magnitud de la velocidad del punto P es igual a r. La direccion de la velocidad es tangente a la trayectoria circular P. En la formulación de vectores, , la magnitud y la dirección de v pueden determinarse apartir del producto vectorial de  y rp . Aqui rp es un vector de cualquier punto en el eje de rotacion P. v =  × rp =  × r La direccion de v se determina por la regla de la mano derecha.

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P La aceleración de P puede expresarse en función de su componente normal (an) y tangencial (at). En forma escalar, estos son: at =  r y an = 2 r. El componente tangencial de la aceleración. Representa el cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad. Es tangente a la trayectoria del movimiento. La componente normal, an, representa el cambio con respecto al tiempo de la dirección de la velocidad. Su dirección siempre es hacia el centro de la trayectoria circular.

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Aceleracion del punto P Usando la formulacion vectorial, la aceleracion de P puede obtenerse derivando la velociad. a = dv/dt = d/dt × rP +  × drP/dt =  × r P +  × (  × r P)

Se puede demostrar que esta ecuación se reduce a: a =  × r – 2r = at + an La magnitud de la aceleracion es a = (at)2 + (an)2

16.3 Rotación alrededor de un eje fijo Procedimiento para analisis • Establecer una convención de signos a lo largo del eje de rotación. • Si se conoce una relación entre dos o mas variables (, , , or t), las otras variables se pueden determinar a partir de las ecuaciones:  = d/dt  = d/dt  d =  d • Si  es constante, use las ecuaciones de aceleracion constante.

• Para determinar el movimiento de un punto, las ecuaciones escalares v =  r, at =  r, an = 2r , y a = (at)2 + (an)2 pueden ser usadas. • Alternativamente, la forma vectorial de las ecuaciones puede ser usado (con i, j, k componentes). v =  × rP =  × r a = at + an =  × rP +  × ( × rP) =  × r – 2r

Problemas de aplicación 1

Problemas de aplicación 1 Solucion:



Problemas de aplicación 2 Dado: Partiendo del reposo el engranaje A da una aceleracion constante, A = 4.5 ad/s2. La cuerda se enrolla en la polea D, la cual está sólidamente unida al engrane B. Encontra: La velocidad del cilindro C y la distancia que recorre en 3 segundos. Plan: 1) La aceleración angular del engranaje B (y la polea D) puede estar relacionada con A. 2) La aceleracion del cilindro C puede ser determinado usando las ecuaciones de movimiento de un punto de un cuerpo de rotacion desde (at)D y el P es lo mismo que ac. 3) La velocidad y distancia de C pueden ser encontradas usando las ecuaciones de aceleracion constante.

Problemas de aplicación 2 (continuacion) Solucion:

1) El engranaje A y B tendrá la misma velocidad y el componente tangencial de la aceleración en el punto donde se engranan. Asi, at = ArA = BrB  (4.5)(75) = B(225)  B = 1.5 rad/s2 Dado que el engranaje B y la polea D giran juntos, D = B = 1.5 rad/s2 2) Suponiendo que el cable que está conectado a la polea D es inextensible y no resbala, la velocidad y la aceleración de cilindro C será la misma que la velocidad y el componente tangencial de la aceleración a lo largo de la polea D: aC = (at)D = D rD = (1.5)(0.125) = 0.1875 m/s2

Problemas de aplicación 2 (continuacion) 3) Desde A es constante, D y aC será constante. La ecuación para la aceleración constante movimiento rectilíneo se puede utilizar para determinar la velocidad y el desplazamiento del cilindro C cuando t = 3 s (s0= v0 = 0): vc = v0 + aC t = 0 + 0.1875 (3) = 0.563 m/s

sc = s0 + v0 t + (0.5) aC t2 = 0 + 0 + (0.5) 0.1875 (3)2 = 0.844 m

Problemas de aplicación 3 En la figura se muestra el mecanismo elevador del cristal de la ventanilla de un automóvil. Aquí la manija hace girar la pequeña rueda dentada C, que a su vez hace girar el engrane S, con lo cual gira la palanca fija AB que eleva el bastidor D donde descansa el cristal. El cristal se desliza libremente en el bastidor. Si se gira la manija a 0.5 rad/s, determine la rapidez de los puntos A y E y la rapidez Vw del cristal en el instante  =30°.



16.4 Análisis del movimiento absoluto Procedimiento para analisis

Ecuación de coordenadas de posición. • Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de posición s, la cual se mide con respecto a un origen fijo y está dirigida a lo largo de la trayectoria de movimiento en línea recta del punto P. • Mida con respecto a una línea de referencia fija la posición angular de una línea situada en el cuerpo. • Con las dimensiones del cuerpo, relacione s con , s= f (), por medio de geometría y/o trigonometría. Derivadas con respecto al tiempo. • Considere la primera derivada de s= f (), con respecto al tiempo para obtener una relación entre v y . • Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una relación entre a y . • En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del cálculo cuando se consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de coordenadas de posición.


Dado: La manivela AB rota con una velocidad angular constante de  = 150 rad/s . Encontrar:

La velocidad del punto P cuando  = 30°.

Plan: Defina x como una funcion de  y derive con respecto al tiempo.

Problemas de aplicación 5 (continuación)

Problemas de aplicación 5 (continuación)

Solucion: xP = 0.2 cos  +

(0.75)2 – (0.2 sin )2

vP = -0.2 sin  + (0.5)[(0.75)2 – (0.2sin )2]-0.5(-2)(0.2sin )(0.2cos  )  vP = -0.2 sin  – [0.5(0.2)2 sin2 ] / (0.75)2 – (0.2 sin )2 At  = 30°,  = 150 rad/s and vP = -18.5 ft/s = 18.5 ft/s

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad Cuando un cuerpo se somete a movimiento plano general, se somete a una combinación de traslación y rotación.

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad

La velocidad B es: (drB/dt) = (drA/dt) + (drB/A/dt) o vB = vA + vB/A

Puesto que el cuerpo gira alrededor de A, vB/A = drB/A/dt =  × rB/A

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad vB = vA +  × rB/A

Cuando se utiliza la ecuación de la velocidad relativa, los puntos A y B del cuerpo tienen un movimiento conocido. A menudo, estos puntos son conexiones de pines en los vínculos. Por ejemplo, el punto A en el enlace AB debe moverse a lo largo de un recorrido horizontal, mientras que el punto B se mueve en una trayectoria circular. Las direcciones de vA y vB son conocidas, ya que siempre son tangentes a sus trayectorias.

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad vB = vA +  × rB/A

Cuando una rueda de rueda sin deslizarse, el punto A se selecciona a menudo para estar en el punto de contacto con el suelo. Puesto que no hay deslizamiento, el punto A tiene velocidad cero. Además, el punto B en el centro de la rueda se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal. Por lo tanto, vB tiene una dirección conocida, por ejemplo, paralela a la superficie.

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de análisis La ecuación de velocidad relativa se puede aplicar utilizando un análisis vectorial cartesiana o escribiendo x escalares y ecuaciones componente y directamente. Analisis escalar: 1. Establecer un sistema de cordenada fijo y dibujar un diagrama cinemático para el cuerpo, establecer la magnitud y dirección del vector de velocidad relativa vB/A.

2. Escriba la ecuacion vB = vA + vB/A. En el diagrama cinematico, representar los vectores mostrando sus magnitudes y direcciones debajo de cada término. 3. Escriba las ecuaciones escalares de los componentes x e y de estas representaciones. Resuelva las incógnitas.

16.5 Análisis de movimiento relativo: velocidad Procedimiento de análisis Analisis vectorial:

1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el diagrama cinemático del cuerpo, mostrando los vectores vA, vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido de la dirección puede ser asumida. 2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y sustituirlos en vB = vA + w × rB/A. Evaluar el producto vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos ecuaciones escalares. 3. Si la solución se obtiene una respuesta negativa, el sentido de la dirección del vector es opuesta a la supuesta.


Problemas de aplicación








16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR)

16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR) Analisis vectorial:

1. Establezca el sistema de coordenadas fijos x e y dibujar el diagrama cinemático del cuerpo, mostrando los vectores vA, vB, rB/A y w. Si las magnitudes son desconocidos, el sentido de la dirección puede ser asumida. 2. Expresar los vectores en forma vectorial cartesiana y sustituirlos en vB = vA + w × rB/A. Evaluar el producto vectorial y compara respectivamente i y j para obtener dos ecuaciones escalares. 3. Si la solución se obtiene una respuesta negativa, el sentido de la dirección del vector es opuesta a la supuesta.

16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR) Problemas de aplicación 9

Solucion: Dado que D corre a al derecha, causa que la barra AB rote alrededor de A en sentido horario. El CIR para BD esta ubicado en la interseccion de la linea dibujada perpendicular a la velocidad vB y vD. Notar que vB es perpendicular a la barra AB. Por lo tanto el CIR esta localizado a lo largo de la extension de la barra AB.

16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR) Problemas de aplicación 9 rB/IC = 0.4 tan 45° = 0.4 m rD/IC = 0.4/cos 45° = 0.566 m vD es conocida, la velocidad angular de la barra BD puede encontrarse vD = BD rD/IC . BD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s Barra AB esta sujeta a rotacion en A.

AB = vB/rB/A = (rB/IC)BD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s


16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR) Solución 10 La barra AB para este instante no rota dado que el CIR no existe, por lo tanto todos sus puntos tiene la misma velocidad de la barra y la barra esta conectado al VA=.r A/O =(1)(6)=6 pulg/s deslizador en el punto B

VB=VA = 6 pulg/s








16.6 Centro instantáneo de rotacion (CIR) Solución 12

Resumen: •En este capitulo se ha podido clasificar dos tipos del movimiento plano de un cuerpo rígido, la traslación y el movimiento angular con respecto a un eje fijo de un cuerpo rígido

BIBLIOGRAFIA 1. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall, 12th Edition (2010) 2. F.P. Beer, E.R. Johnston Jr,J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Mechanics of Materials, McGraw Hill, 6th Edition (2012) 3. J.L. Meriam, L.G. Kraige, Engineering Mechanics, Dynamics Vol 2, JohnWiley & Sons, 5th Edition (2002)

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