UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Trabajo y Energía GRUPO: N° 1 CURSO: Dinámica FECHA: 13/10/11
TRABAJO: Ejercicios CLAVE: 1-1_1-2_1-3 G.HORARIO: “A”
1. Por una rampa cae una caja de 5Kg en la forme que se indica en la figura, e incide sobre el tope B. El coeficiente de rozamiento entre caja y suelo es k ₌0.25 y la masa del tope es despreciable. Si se suelta la caja partiendo del reposos cuando se halla a 15m del tope, determinar:
SOLUCIÓN
a. La celeridad
v c de la caja cuando choca
contra el tope. b. El acortamiento máximo máx del muelle debido al movimiento de la caja.
NOTA: CODIGO:
a.En la figura puede verse el diagrama del sólido libre de la caja, correspondiente a una posición genérica anterior a su contacto con el tope. Como la caja no se mueve en la dirección “y”(perpendicular a la superficie), según la ley de newton F y ₌
ma y ₌0, es decir, N ₌(0.25)(24.53) ₌6.13N. La fuerza de gravedad W₌ mg es conservativa y se podrá
determinar su trabajo mediante su energía potencial. Tomando como referencia la altura inicial de la caja, la energía potencial inicial será nula V 1 ₌ 0 y la energía potencial gravitatoria cuando la caja choca contra el tope será. V 2 ₌ (5)(9.81)(15sen60°)₌ -637.21
La fuerza de rozamiento no es conservativa y habrá que calcular directamente el trabajo que efectúa. (U 12 ) F ₌ 15 0 -6.13dx ₌ -91.95J
La fuerza N es normal al movimiento, por lo que no efectúa trabajo sobre la caja (U 12 ) N ₌ 0 .Como la caja parte del reposo, su energía cinética inicial es nula T 1 ₌ 0y su energía cinética cinética inmediatamente inmediatamente antes de chocas c hocas contra el tope es: 1 2 T 2 ₌ (5)V c ₌ 2.50 V c 2 Aplicando estos valores en la ecuación que traduce el teorema de las fuerzas vivas, se tiene. 2
2
0 + 0 – 91.95 ₌ 2.50 V c -637.2 V c ₌ 14.77m/s
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FECHA:
LECTURA: CLAVE: G.HORARIO:
NOTA: CODIGO:
b. Después del choque, caja y tope se mueven juntos. En la figura puede verse el diagrama del sólido libre del sistema. Las fuerzas normal y de rozamiento siguen siendo N ₌ 24.53N y F ₌ 6.13N, respectivamente. La velocidad inicial de la caja, en esa fase del movimiento, es V c ₌ 14.77m/s y la energía cinética inicial es T 2 ₌
1
(5)(14.77)2 ₌ 545.4J
2 En el instante de máxima deformación del muelle, la velocidad de la caja es nula y por tanto, también lo será la energía cinética T 3
₌0.
El trabajo efectuado por el rozamiento sobre la caja cuando se desliza por el suelo una distancia adicional δ máxes. (Ui→f )F = ∫0δmáx -6.13dx = -6.13δmáx La fuerza del muelle y la de la gravedad son ambas conservativas y el trabajo que efectúan se puede determinar mediante sus respectivas energías potenciales. Tomando como referencia la posición ocupada por la caja cuando entra en contacto con el tope, la energía potencial gravitatoria será nula (V g)2 la energía potencial gravitatoria final es. (Vg)3 = 5g(-δmáxsen60°) = -42.48δmáx Como en el instante en que la caja entra en contacto con el tope el muelle está indeformado, tomaremos la misma posición que antes como referencia para la energía potencial de la fuerza del muelle. Entonces, la energía potencial inicial de la fuerza del muelle será nula (Vg)2 = 0 y la energía potencial final de dicha fuerza es. (Vg)3 =(1/2)(2000)δ2máx El teorema de las fuerzas vivas de entonces. 545.4 + 0 + 0 -6.13δmáx = 0 -42.48δmáx + 1000 δ2máx de donde resulta. δmáx= 0.757m
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LECTURA: CLAVE: G.HORARIO:
NOTA: CODIGO:
2. Una cuenta que pesa 2.5N se mueve por un alambre semicircular situado en una plano horizontal, según se indica en la figura. La longitud natural del resorte es de 20cm y el rozamiento es despreciable. Si se suelta la cuenta partiendo del reposo en la posición A, determinar: a. Su velocidad en la posición B. b. La fuerza que el alambre ejerce sobre la cuenta en la posición B.
SOLUCIÓN a. En la figura puede verse el diagrama del sólido libre de la cuenta correspondiente a una posición genérica a lo largo del alambre. La fuerza peso es perpendicular al movimiento (perpendicular a la figura) y no efectúa trabajo. La fuerza normal N tampoco trabajo por ser también perpendicular al movimiento. La fuerza del resorte es conservativa y el trabajo que efectúa se puede calcular mediante su energía potencial. La longitud del resorte en la posición A es l A= √602+302 = 67.08cm; la deformación del resorte en la posición A es lA = (67.08 – 20)/100 =0.4708m. Por tanto, la energía potencial de la fuerza del resorte en la posición A, vale. (Vs)A = (1/2)(12.5)(0.4708) 2 = 1.3853J En la posición B, la deformación del resorte es δB = (30 – 20)/100 = 0.1000m
y la energía potencial de la fuerza del resorte, en la posición B, vale. (Vs)B = (1/2)(12.5)(0.1000) 2 = 0.0625J Como no hay fuerzas no conservativas, U 1→2 = 0. Como la cuenta parte del reposo, su energía cinética inicial es nula (T A = 0); en la posición B, la energía cinética de la cuenta es.
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TRABAJO: Ejercicios CLAVE: 1-1_1-2_1-3 G.HORARIO: “A”
NOTA: CODIGO:
TB = (1/2)(2.5/9.81)V B2 = 0.12742V B2 Aplicando estos valores en la ecuación que traduce el teorema de las fuerzas vivas, se tiene. 0 + 1.3853 + = 0.12742V B2 + 0.0625 En donde: VB = 3.22m/s
b. En la figura puede verse el diagrama del sólido libre de la cuenta correspondiente a la posición B. La componente de la aceleración de la cuenta, que es normal al alambre, es an = v2/r = 3.222/0.30 = 34.56m/s 2. Entonces, de la segunda ley de newton, ∑F n = man, se tiene.
N – (12.5)(0.1000) = (2.5/9.81)(34.56) De donde: N = 10.06N
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3. Dos bloques están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso que pasa por pequeñas poleas de masa despreciable, según se indica en la figura. Si se tira del bloque B hacia abajo 500mm a partir de su posición de equilibrio y se suelta partiendo del reposo, determinar su aceleración cuando vuelve a su posición de equilibrio.
SOLUCIÓN
NOTA: CODIGO:
Los bloques A y B constituyen un sistema de puntos materiales en interacción. Las ecuaciones que da el teorema de las fuerzas vivas para cada uno de ellos se pueden sumar y dan una ecuación semejante para el sistema. Ti + Vi + Ui→f = Tf + Vf (a) En la ecuación “a”, T representa la suma de las energías cinéticas
de los dos puntos, V la suma de las energías potenciales de todas las fuerzas conservativas que se ejercen sobre ambos y U i→f la suma de los trabajos efectuados por las demás fuerzas que se ejercen sobre dichos puntos.
En las figuras pueden verse los diagramas del sólido libre de los dos bloques. En la posición de equilibrio, la suma de fuerzas es nula para ambos. ↑∑F = 2Tst –(2)(9.81) -800δst = 2aA = 0 ↑∑F = Tst-(10)(9.81) = 10a B = 0
Por lo tanto la tensión estática del hilo será T st = 9.81N y la deformación estática del resorte será δ st = 0.2207m. Como la longitud del hilo es constante, el bloque A subirá cuando baje el B y reciprocamente
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TRABAJO: Ejercicios CLAVE: 1-1_1-2_1-3 G.HORARIO: “A”
NOTA: CODIGO:
Con referencia a la figura, la longitud del hilo en la posiciónde equilibrio (yA = yB = 0) viene dada por. l = 2d + b + c (b) Cuando el bloque A ascienda a una distancia y A y el B descienda una distancia yB, la longitud de la cuerda vendra dada por. l = 2(d – yA) + b + (c + y B)
(c)
Restando la ecuación “b” de la ecuación “c”, se tiene la relación
de posiciones yB = 2yA; derivando esta ecuación se tiene la relación de velocidades: vB = Y°B = 2Y°A= 2vA. Como el sistema se suelta partiendo del reposo, las energías cinéticas iniciales de los bloques son nulas (T A)i= (TB)i = 0.Cuando los bloques vuelvan a su posición de equilibrio, la suma de sus energías cinéticas será. (TA)f + (TB)f =(1/2)(2)VA2 + (1/2)(10)VB2 = 5.25V B2 Como el hilo es inextensible, al sumar los trabajos para ambos puntos materiales se anularán entre si los trabajos efectuados por las fuerzas de tensión. Tanto la fuerza de la gravedad como la del resorte son conservativas y por tanto, el trabajo efectuado por fuerzas no conservativas será nulo U1→2 = 0. Midiendo las energías potenciales de las fuerzas que se ejercen sobre cada bloque a partir de su posición de equilibrio, se tiene. (VA)f = (VAg)i + (VAs)i =(2)(9.81)(0.5/2) + (1/2)(800)(0.2207 + 0.500) 2 = 212.67J
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NOTA: CODIGO:
(VA)f = (VAg)f + (VAs)f = (1/2)(800)(0.2207)2 = 19.48J (VB)i = (VBg)i = (10)(9.81)(-0.5) = -49.05J y (V B)f = (VBg)f = 0J Aplicando estos valores en la ecuación “a” se tiene:
0 + 212.67 – 49.05 + 0 = 5.25V B2 + 19.48 Osea : VB = 5.24m/s
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4. Una pequeña caja se desliza a lo largo de una superficie horizontal sin fricción, cuando se llega a una rampa circular, como se muestra. Si la velocidad inicial de la caja es, y determinar el ángulo en que la caja se pierde el contacto con la rampa circular
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NOTA: CODIGO:
_por lo tanto, la ecuación trabajo-energía da …………… (I)
_ a pesar de la fuerza normal no hace ningún trabajo, puede estar relacionado con la velocidad de la caja con el componente normal de la segunda ley de newton ,
_la caja pierde el contacto con la superficie cuando N = 0 y en ese momento ……………………….. (II)
Sustituimos la ecu. (II) En la ecu. (I)
Solución: La fuerza normal N no funciona y la fuerza del peso W es constante. Como la caja cae a través de un ángulo, que se mueve en la dirección del peso a una distancia d=r(1-cosθ) _y la fuerza del peso no funciona U=Fd=mgr(1- cosθ)