UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Se estudiará la cinemática en el plano, o estudio de la geometría del movimiento en un plano de un cuerpo rígido. Su estudio es impo im port rtan ante te pa para ra el di dise seño ño de en engr gran anes es,, le leva vas s y me meca cani nism smos os empleados para muchas operaciones de máquinas. En ingeniería civil es importa importante nte para el diseño diseño y plant plantear ear el comportami comportamiento ento de elementos que integran una estructura.
Cuerpo rígido: Todo cuerpo que no presente deformación relativa entre sus partes se dice que es un cuerpo rígido. Se trata de una hipótesis ideal ya que todos los cuerpos reales cambian algo de form fo rma a al se serr so some meti tido dos s a fu fuer erza zas. s. Cu Cuan ando do di dich chos os ca camb mbio ios s de forma sean despreciables frente a los cambios de posición del cuerpo en conjunto se podrá suponer que hay rigidez.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Se investigará las relaciones que existen entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las distintas partículas que forman un cuerpo rígido. Es posible someter un cuerpo rígido a tres tipos de movimiento en el plano, específicamente traslación, rotación en torno de un eje fijo y movimiento plano en general.
TRASLACIÓN: Un movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas se dice que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS
Traslación rectilínea
Traslación curvilínea
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Considérese un cuerpo rígido en traslación (rectilínea o curvilínea) y sean A y B cualesquiera de sus partículas. Representando por rA y rB los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y por rB/A al vector que une A y B
rB = rA + r B/A Si se deriva esta expresión con respecto al tiempo, por la definición de traslación el vector rB/A debe mantener su dirección y magnitud constante, ya que A y B corresponden al mismo cuerpo rígido.
Entonces la derivada de rB/A es cero: VA = VB
aA = aB
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante
Traslación curvilínea: velocidad y aceleración cambian de dirección y en cada instante. Traslación rectilínea: velocidad y aceleración mantienen la misma dirección durante todo el movimiento.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, intersecta al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad y aceleración cero.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo la placa izquierda está en traslación curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos paralelos, mientras que la placa derecha está en rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos concéntricos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS El cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Sea B la proyección de P sobre AA’, como P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo
B y radio rsen , donde el ángulo formado por r y AA’. de centro
es
La posición de P y de todo el cuerpo está definida por el ángulo que forma la línea BP con el plano zx . El ángulo se conoce como la coordenada angular del cuerpo. 1 rev = 2 rad = 360°
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS La velocidad de la partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P.
V = d r /dt S = (BP)
V = ds/dt = (r sen
)
t Dividiendo entre y obteniendo el límite 0 cuando t
S
BP
V = ds/dt = r
como :
=
V = ds/dt = r V = d r /dt = r =
sen
sen
xr
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS k k se llama El vector velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a la rapidez de cambio
de la coordenada angular.
Hallando la aceleración:
a = dV/dt d ( a = (d /dt) x r a= xr a=
xr
x r ) /dt x (dr/dt) xV x(
x r)
= aceleración angular del cuerpo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS k
k xr
x(
k
componente tangencial de la aceleración.
xr)
componente normal de la aceleración.
x(
xr) xr
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ROTACION DE UNA PLACA REPRESENTATIVA La rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo puede definirse por el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación
V=
xr
k
=
Dirección: r gira 90°
a= a=
xr
at =
xr)
r r
r
sentido rotación de la placa
x(
k x r
V=
an =
k
at =
k x r
an =
r
r
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Es probable que
pueda darse como una función de t , recordando:
ω
2
θ t
t
t
2
t
Ecuaciones similares obtenidas para el movimiento rectilíneo Se encuentran dos casos especiales de rotación: Rotación uniforme:
=0
= constante
Rotación uniformemente acelerada: 0
t
2
2 0
2
t
0
= constante (
0)
0
t 0
1 2
t2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL Un movimiento plano en general puede considerarse siempre como la suma de una traslación y una rotación.
Movimiento plano
=
Traslación con A
+ Rotación sobre A
Un ejemplo del movimiento plano esta dado por la rueda que gira sobre una vía recta. Durante cierto intervalo de tiempo, dos puntos arbitrarios A y B se habrán movido respectivamente desde A1 hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo resultado pudo obtenerse mediante una traslación que hubiera traído a A y B hasta A2 y B’1 (la línea AB sigue siendo vertical), seguida por una rotación respecto a A que tare B hasta B2 (movimiento original simultáneo)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL Un movimiento plano en general puede considerarse siempre como la suma de una traslación y una rotación.
Movimiento plano
=
Traslación con A
+
Rotación sobre A
Otro ejemplo del movimiento plano esta dado por la barra cuyas extremidades resbalan a lo largo de una vía horizontal y una vía vertical. Este movimiento puede sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una rotación con respecto a A.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
También puede sustituirse por una traslación en una dirección vertical y una rotación con respecto a B.
Movimiento plano
=
Traslación con B
En general consideraremos un pequeño desplazamiento de dos partículas A y B de una placa representativa desde A1 y B1 hasta A2 y B2
+
Rotación sobre B
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Este desplazamiento puede dividirse en dos partes, una en la que las partículas se mueven hasta A2 y B1 manteniendo la línea A1 y B1 la misma dirección, y otro en el que B se mueve de B1 hasta B2 manteniéndose fijo A2. La primera parte es una traslación y la segunda una rotación con respecto a A.
’
’
Recordando la definición del movimiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de referencia en movimiento: dadas dos partículas A y B de una placa rígida en un movimiento plano, el movimiento relativo de B con respecto a un sistema fijo a A y de orientación fija es una rotación. Un observador moviéndose con A, pero sin girar, le parecerá que la partícula describe un arco de círculo centrado en A.