UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA “LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UN
SECTOR CIRCULAR’ Semana Nº 2
. -Rodolfo CarrilloV. D oce ocent nte e: L i c. Edgar F er nández C
A R
En una circunferencia de radio R mostrado en la figura, tenemos el ángulo central AOB que mide y el arco correspondiente , cuya longitud L es nuestro objetivo y se calculará así:
O
L
rad
R
̂ = ( ) )
B
1. p
C
No pierda de vista que la medida del ángulo central, debe estar expresada en radianes. A la región AOB, se le denominara sector circular; y para la resolución de problemas solo será necesario dibujar dicha región.
O
rad
n
m
D
θ
= n −p m
p B
2. p
C
O
Aprovechando el sector circular AOB anterior; su área podrá ser calculada usando cualquiera de las siguientes formulas:
A
n
m
D
=
A
S = m + n p
p B
Obviamente el uso de una u otra formula dependerá de los datos que se presente el problema. Algunas propiedades adicionales:
| = | =
A
C
L1
L2 O
E
F
L3 D
1
L4 B
13 = 4
L ic. Edgar F er nández C. -Rodolf o Carr il lo V . A
C
O
Tr igonometr ía.
P’
L1 E
F
D
S1S3 = SS4
r1 1
P
(1)
r1
(2) r2 r2 2 Q
B
L2
Q’
Si en la figura mostrada la rueda de radio . El número de vueltas rueda se calcula así:
En ambos casos, después que la polea (1) gira un cierto ángulo; genera en la polea (2) otro giro; determinándose en la periferia de ellas arcos 1 respectivamente; cumpliéndose:
r se desplaza sin resbalar de ‘’ hasta ‘’ ‘‘n’’ que da dicha
r
1 = 1r1 = r n1r1 = nr
A e
n = r
r
2π
Donde: n: Número de vueltas.
B
e Trayectoria descrita por el centro de la rueda. Trayectoria descrita por el centro de
L1
r1
P
la rueda.
r1
Pero también, si el ángulo girado por la rueda es
rad ; entonces: n = .
P’
1 r2 Q’ 2 L2 r2 Q (2)
(1)
1 = θ
θ
P
P’
r1 1 P’
L1
1 r1
P
Q
2 r2 r2
Eje
(1) r1
r1
Q’
(2)
(2) r2 Q’ r2 2 L2 Q
(1) En el primer caso, el giro (1) determinan un giro (2); y en el segundo caso; el eje genera los giros de los discos o poleas; cumpliéndose:
1 = 2
L ic. Edgar F er nández C. -Rodolf o Carr il lo V .
Tr igonometr ía.
3 − 1 − 1
1 = n1 = n 2 C
4
B
A
6
O 2
D
4
E
6
F
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
En un sector circular donde el radio mide 8cm. ¿Cuál es el mayor valor entero que toma el arco? a) 60 d) 64
2.
a) 1 d) 26/7
b) 40 e) 50
5.
Del gráfico
a) d) 6.
53˚ Q
M B
√
b) 17m e) 68 m
, calcular: ‘‘’’
rad
√
a) m d) 51 m
√ √ −
b) 2 e)
A partir del grafico calcular el valor
de , si se sabe que: S = S1 considere: = A
B
c) 34 m S2
2m 2
Si el área de un sector es y su perímetro es 6 m. Hallar la medida del ángulo central del sector. a) 2 ó 4 d) 4 ó 1
4.
c) 1
√ +
S1
3.
c) 13/7
c) 48
En la figura mostrada se tiene que AOB es un sector circular y MNPQ es un cuadrado de de lado. Hallar la longitud del radio del sector circular. A N P O
b) 13/2 e) 13/14
b) 1 ó 2 e) 5 ó 1
θrad
D
a) 1/2 d) 1/4
c) 3 ó 2
7.
Siendo 3 áreas de los trapecios circulares ABEF y BCDE respectivamente y 1 área del sector circular COD. Evaluar:
b) 1
e) 3
c) 1/3
Calcular la longitud aprox. de la correa si los tres discos tienen igual radio de longitud 7cm.
( = )
3
L ic. Edgar F er nández C. -Rodolf o Carr il lo V .
Tr igonometr ía.
10. Se sabe que el centro de la longitud del arco se encuentra en la prolongación del lado .
̂
Correa
̅
A
r
a) 43 cm d) 78 cm
8.
b) 56 cm e) 86 cm
c) 64 cm
C
Si la longitud de arco AB se puede
expresar como ‘‘ + ’’, calcular ‘‘’’ aproximadamente. Dato: AC = 1; BC = 3 a) 9 b) 18 d) 36 e) 45
Calcular el área del circulo sombreado A y D centros además es diámetro del semicírculo. B C
̅
A
9.
c) 27
11. Si la cuerda envuelve exactamente al triangulo trasladándose la esfera hasta el punto A, hallar el recorrido de la esfera. ABC es un triángulo equilátero de lado 4 cm.
2
a) d)
B
D
b) e)
c)
Esfera
a) d)
Calcular el área de la región sombreada sabiendo que: O es centro y OA = OB = 6
m m
b) e)
m m
c)
m
12. Determinar el número de vueltas que da una rueda de radio 1u. al desplazarse desde A hasta B.
A
u
A
˚
0 2
O a) d)
20˚
b) e)
B
4 u
u
c)
a) 3/2 d) 2
4
B
b) 2/3 e) 1
c) 3
L ic. Edgar F er nández C. -Rodolf o Carr il lo V .
13. A partir del gráfico, halle
Tr igonometr ía.
el área
del sector circular AOB. Además se cumple que:
B a
= () = a y = ()
D
b
S
Q
O
A
P
C
R
A C
O
a) 2/3 d) 45/16
D B
a) 5a2 d) 2 a2
b) 8a2 e) 9/2a2
14. Del gráfico: Halle: ̂
c) 6a2
b) 16/27 e) 10/3
c) 3/2
17. En la figura mostrada : ,
=− = − .
̂ = , = . B
a
b 4
Si el área del trapecio circular tiene valor mínimo, entonces la medida de un ángulo central en radianes es:
75˚ A
a) d)
C b) e)
⁄
c)
a) 4,25 d) 2,55
b) 3,75 e) 1,35
c) 3,15
18. Del gráfico, calcular el número de vueltas que da la rueda en ir de la
15. Un jardinero quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular con un alambre de 20 m. de longitud. Calcular el radio de dicho sector para que el área del campo sea la mayor posible.
posición ‘‘’’ hasta la posición ‘‘’’. Si: BC = 2AB = r cm B r
a) 5/4 m d) m
√
16. En la figura
b) 5/2 m e) m
√
=3
c) 5 m
r
A
C
y el área de la
región sombreada es 5 veces el área del sector circular OPQ. Determine la relación:
a) 1,5 d) 3
̂ ̂
b) 1 e) 2,5
c) 0,5
19. Calcular el area de la region sombreada, siendo O centro , ademas: 5
L ic. Edgar F er nández C. -Rodolf o Carr il lo V .
Tr igonometr ía.
OA=OB=OC=OD= 6 C
a) B
d)
50˚
A
O a) d)
b) e)
c)
b)
a n
e)
3
c)
a n
an
22. Si en un tronco de cono circular recto, los radios de sus bases y su generatriz suman 8cm. ¿Cual es el maximo valor del área lateral del tronco?
D 50˚
a) d)
20. Dos ruedas de radios iguales se encuentran en un aro de mayor radio como se muestra en el gráfico, las dos ruedas se desplazan sin resbalar sobre el aro, retornando a la misma posición inicial, el número de vueltas que dio la rueda exterior es A y el de la rueda interior es B. Indicar el valor de (A-B).
cm cm
b) e)
cm c) cm cm
23. En la figura mostrada se tiene a tres poleas A, B y C que estan unidas mediante una correa de transmision, si la polea A gira un angulo de . Calclar la suma de los numeros de vueltas que dan las poleas B y C. Ademas se sabe que:
= =
B
A
a) 1 d) 4
a) 2 d) 5
b) 2 c) 3 e) faltan datos.
21. Del grafico reducir:
= ∑( − 1) 1
a a
a
a
a
S1 S2 S3
….
S2n-1 S2n
rad
6
b) 3 e) 8
c) 4
