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Ejercicios Longitud de Arco
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Ejercicios Longitud de Arco
Descripción: Mate II...
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HuancasKevin
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1. Hallar la longitud de de arco de la curva C : y
2
4 x x 2 comprendidos entre los dos puntos
que cortan al eje X. Solución::
y 2 4 x x 2
y=
4 x x 2
Graficamos
dy dx
4 2 x 2 4 x x 2 2
2 x
D
4 x x 2
e r
2 x dy 4 x x 2 dx
2
i v
2
2 x 4 x xa2 4 4 x x 2 dy 1 1 n4 x x 2 4 x x 2 dx 2
2
d
4
4
4
4 4 dx dx dy o dx 1 L 2 0 4 x x 2 0 4 x x 2 0 x 2 4 x 4 x x 2 dx : 4
L 2
0
4
dx
x 2 2 4 2
2 0
dx
4 x 2 2
2
x 2 4 2 Arcsen A rcsen I 2 0
Rp t 2 2 u : Rpt 2 2
L 2 Arcsen A rcsen(1) 2 Arcsen(1) 2
2.
Hallar la longitud de arco de la curva y=Ln(x), desde x= 3 hasta x = 8
Solución:
…
Graficamos y=Ln(x) Derivando: 2
dy 1 1 dy 2 dx x dx x 2
1 x 2 1 dy 1 1 2 x x 2 dx
8
L
3
x 2 1 dx x 2
x 2 1 dx x
8
3
x 2 1 xdx, u 2 x 2 1 udu 2 x
8
3
x 3 u 2 3 1 u 2; x 8 u 2 8 1 u 3 3
L
2
3 1 u2 1 1 du u 1 3 udu du u I Ln I 2 2 2 2 1 1 2 1 u2 1 u u u 2 2 3
u2
3
1 3 1 1 2 1 3 L 3 2 Ln Ln 1 Ln u : Rpt 2 3 1 2 2 1 2
3.
Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5 y circunferencia x
2
2
x 2 , comprendida dentro de la
y2 6 Solución:
Graficamos x
2
y 2 6 ; 5 y 2 x 2
Derivando:
dy
5 y 3 x 2 2
dx
2 x
1
3
33 5
2
4 x 3 dy 93 25 dx 2
2
2
2
4 x 3 93 25 x 3 4 93 25 x 3 4 dy 1 L 2 dx 2 2 3 3 3 dx 3 3 9 25 0 9 x 25 9 25 x 5
L 2
0
93 25 x 3
2
3
3 5 x
4
1 3
dx
5
Hacemos u
2
93 25 x
2
4 udu 33 25 x
3
x
3
3
2
4.
3
dx
5 u 2 45 4 u 7, x 0 u 2 7
L 2
1
udu 5 (3)3 25
Encuentre la longitud del arco de la c urva 9 y
2u 3 135
7
2 73 8
2
135
I
134 u : Rpt 27
4 x 3 del origen al punto (3,2
2
3)
Solución:
En la curva y
2 x
3
2
Derivando:
3
1 2
2
dy x 3(2) dx dx dy
2(3) x
En la expresión de la longitud de arco: L=
a
5.
3
3
2
3 2 x 1 2 3 2(4) 2 2 16 2 14 dy : Rpt 1 dx 1 x dx I 0 3 3 3 3 dx 0
b
Hallar la longitud del arco de la curva c uya ecuación es y
3
x 2 , comprendida entre los
puntos (0,0) y (8,4) Solución:
La ecuación: y
x
3
2
1
2
9 y dy Derivando: dx 2 4 dx dy
3 y
2
En la expresión de la longitud de arco:
b
L
a
L
6.
2
4 4 9 y 9 y 4 dy 1 dy dx 1 dy 4 4 dx 0 0
2(9 y 4)
1 3 4
2(9)(3)
0
I
( 40)
3
2
27
8
40 40 8 27
Hallar la longitud total del lazo de la curva 6 y
2
80 10 8 27
8 27
(10 10 1)u : Rpt
x( x 2) 2 , si x ɛ [0,2]
Solución:
Graficamos
6 y 2 x( x 2) 2 y
x
( x 2) 6 Derivando :
x
1 2 1 3 x
3
1
2 x
2
2
6
x dx 6 2 dy
1
2
1 2 1 1 3 x dy 2 x 6 2 dx 2
2
1 2 1 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 3 x dy dy 1 1 x 2 8 2 6 8 2 6 8 2 6 6 2 dx dx 2
1 3 x
Dos regiones: L
2 0
L
1
1
2
2
1 2 2 1 2 3 x 2 dx x x 2 dx 6 2 2 6 0
2
7.
2
1
1 2
1
2 1 2 3 2 2 4 12 8 3 2 22 2 : Rpt x 2 x 2 I 0 3 3 6 6
Calcular la longitud del arco de la parábola y=2
x desde x =0 hasta x =1.
Solución:
Derivamos la ecuación dada: y=2
2
dy y 2 x x ; x 0, y 0, x 1, y 2 4 dx 2 dx 4 y 2
dy
y
La longitud de la curva b
L
a
L
8.
y 4
2
2
2
2
y 1 dy 1 dy 1 dy 1 y 2 dx 4 20 dx 0 1 y 2
y 4
2
Ln y 1 y 2 I
Hallar la longitud total del arco de la parábola ay
2
0
1
1 5 Ln(2 5 ) : Rpt 2 2
x 3 desde el origen hasta x=5ª.
Solución:
2
Derivamos y arreglamos la expresión dada: La
2
dy 9 x 2ayy' 3 x 2 dx 2 a dx 4a 3 x
dy
5a
L
0
2
dy 1 dx dx
8a 45 1 L 27 4
3
2
9.
5a
longitud de la curva
9 x 24a 1 9 x 4a 1 dx 4a
0
3
2
3(9)
5a
I 0
8a 343 335a : Rpt 1 1 27 27 8
Hallar la longitud del arco de la curva x=
y 2 4
1
Ln( y ) desde y=1 hasta y=e. 2
Solución:
Derivamos la ecuación dada: x=
4
1
dy
2
dx
Ln( y )
2
2
Arreglamos
y 2
y 2
1 2 y 2
2 2 1 1 y 1 1 dy y 1 y dy 2 1 1 2 4 2 4 y 4 2 4 y dx 2 2 y dx 2
2 y 1 1 1 dy y 2 1 dx 4 2 4 y 2 2 y
2
De donde: 2
2
e e y 1 y 1 y 2 1 dy dy L Ln( y) I 1 2 2 y 2 2 y 4 2 1 1 e2 1 1 1 e2 1 1 e2 1 Ln(e) Ln(1) L : Rpt e
4
e
dy 1 dy dx 1 2
4
2
4
2
4
4
x desde el vértice A(0,a) hasta el punto B(b,h). a
10. Hallar la longitud de la catenaria y=aCosh
Solución:
dy x x Senh dx a a
Derivamos la expresión dada: y=aCosh 2
dy 2 x 2 x Arreglando: 1 1 Senh Cos h dx a a b
L De donde:
0
2
b
b
dy x x b 2 x 1 dx Cosh dx Cosh dx aSenh I dx a a a a 0 0
b L aSenh : Rpt a
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