AREAS
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gr áfica de la f u n c ió i ó n e s t á p o r e n c i ma m a d e l e j e d e a b s c i s as as . E l á r e a d e l a f u n c i ó n v i e n e dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: ! Se calculan los puntos de corte con el eje "#, haciendo f$%& ' ( ) resolviendo la ecuación. * ! E l á r e a e s i g ua ua l a l a i n t e g r a l d e f i n i d a d e l a f u n c i ó n + u e t i e n e c o m o lmites de integración los puntos de corte.
Ejemplos do p o r l a c u r v a ) ' % / % * ) e l e j e " # . 1 . - a l c u l a r e l á r e a d e l r e c i n t o l i m i t a do E n p ri r i me m e r l ug u g ar a r h al a l la l a mo m o s l os o s p un u n to t o s d e c or o r te t e c on o n e l e je j e " # p ar ar a representar la curva ) conocer los lmites de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
2. 0allar el área de la región del plano encerrada por la curva ) ' ln % entre el punto de corte con el eje "# ) el punto de abscisa % ' e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
2. La función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfi ca de la f u n c ió i ó n e s t á p o r d e b a jo j o d e l e j e d e a b s c i s as as . E l á r e a d e l a f u n c i ó n v i e n e dada por un viene dada por:
Ejemplos 1. -alcular el área del recinto limitado por la curva ) ' % * / % ) el eje "#.
d a p o r l a c u rv r v a ) ' c os o s % ) e l e j e " % e nt nt r e 1 2 * ) 2 . 0 a llll a r e l á r e a l i m iti t a da 312*.
3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el el recinto tiene 4onas por encima ) por debajo del ej e de a b s ci s a s . P a ra c a l c u l a r e l á r e a d e l a f u n c i ó n s e g u i r e m o s l o s s i g u i e n t e s pasos: ! S e c a l cu l a n l o s p u n t os d e c o r t e c o n c o n e l e j e " # , h a c i e nd o f $ % & ' ( ) resolviendo la ecuación. * ! S e o rd e na n d e m e n o r a m a )o r l a s r a ce s , + ue s e rá n l o s l m i te s d e integración. 3! El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos 1. -alcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f$%& ' % / 5%* 6 7% ) el eje "#.
El área, por ra4ones de simetra, se puede escribir:
3
2. -alcular el área del crculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia %8 6 )8 ' r8.
El área del crculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
-alculamos la integral indefinida por cambio de variable.
0allamos los nuevos lmites de integración.
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función +ue está situada por encima menos el área de la función +ue está situada por debajo.
Ejemplos 1. -alcular el área limitada por la curva ) ' % * 9% 6 5 ) la recta ) ' *%. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funcione s para c o n o c e r l o s l m i t e s d e i n t e g r a c i ó n.
;e % ' a % ' 5, la recta +ueda por encima de la parábola.
2.-alcular el área limitada por la parábola ) * ' % ) la recta ) ' %.
;e % ' o a % ' , la parábola +ueda por encima de la recta.
3.-alcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3) '%
*
e ) '
/%* 6 %. E n p r im e r l u ga r r ep r es e nt a mo s l a s p a rá b ol as a p ar t ir d e l v
0allamos tambi
. -alcula el área de la figura plana limitada por las parábolas )' % * / *%, ) ' /%* 6 %. =epresentamos las parábolas a partir del v
!.0allar el área de de la región limitada por las funciones: ) ' sen %, ) ' cos %, % ' (. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
> a g rá fi ca d el c os en o + ue da p or e nc im a d e l a g rá fi ca d el s en o e n e l i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ón .
Ejercicios aplicaciones de la integral. "reas . 0 a l la r e l á r ea l i m i t ad a p o r l a re c t a % 6 ) ' ( , e l e j e " # ) l as o r d e na d a s de % ' * ) % ' 7. * . - a l cu l a r el á r e a de l r e ci n t o l im i t a do p o r l a c ur v a ) ' ? / % * ) e l e j e " # . 3 . - a l c u l a r el á r e a de l t r i á n gu l o d e v< r t i c e s @$ 3 , ( & , A $5 , 3 & , - $7 , ( & . . - a l cu l a r e l ár e a l im i t ad a p o r l as g r á f ic a s d e l as f u n c io n e s ) * ' % e
)
' %*. . - a l cu l a r e l á re a l i m i ta d a p o r la c u r v a % ) ' 3 5, e l e j e " # ) l a s r e c ta s : % ' 5, % ' *. 5 . - a l cu l a r el á r ea l i m i ta d a p or l a c ur v a ) ' *$ / % * & ) l a r e c t a ) ' / . B . - a l cu l a r el á r e a de l r e c in t o l i mi t a do p o r l a p ar á bo l a ) ' % * 6 * ) l a r e c t a +ue pasa por los puntos $/, (& ) $, &.
7 . 0 al la r e l á re a l im it ad a p or l a r ec ta
, e l e je d e a bs ci sa s ) l as
ordenadas correspondientes a % ' ( ) % ' . ? . - a l cu l a r el á r ea l i m i ta d a p or l a c ur v a ) ' 5% * / 3 % 3 ) e l e j e d e a b s c i s a s . (.
0 a ll a r e l á re a d e l a r e gi ó n d el p l a no l i m it ad a p o r l as c u r va s ) ' l n % , ) ' * ) los ejes coordenados.
.
- a l cu l a r el á r e a de l a r e gi ó n d el p l a no l i m i ta d a p or e l c r cu l o % * 6 ) * ' ? .
*.
0 a l la r el á re a de u na e li p s e d e se m i ej e s a ) b .
3.
-alcular el área de la región del plano limitada por la curva: f$%& ' C% * / % 6 3C ) el eje "#.
.
0allar el área de la figura limitada por: ) ' % *, ) ' %, % ' (, % ' *
.
0 al la r e l á re a d el re ci nt o p la no ) l im it ad o p or la pa rá bo la ) ' % / % ) las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje "#.
*
Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. "reas 1 0 a l l a r e l á r e a l i m i t a d a p o r l a r e c t a % 6 ) ' ( , e l e j e " # ) l a s o r d e n a d as d e % ' * ) % ' 7.
2 - a l c u l a r e l á r e a d e l r e c i n t o l i m i t a d o p o r l a c u r v a ) ' ? / % * ) e l e j e " # . En
p ri me r
l ug ar
h al lam os
l os
p un to s
de
c or te
c on
el
e je
"#
p ara
r e p r e s e nt a r l a c u r v a ) c o n o c e r l o s l m i t e s d e i n t e g r a c i ó n .
-omo la parábola es sim
-alcular el área del triángulo de v
Ecuación de la recta +ue pasa por A-:
-alcular el área limitada por las gráficas de las funciones ) * ' % e ) ' % *.
! - a l c u l a r e l á r e a l i m i t a d a p o r l a c u r va % ) ' 3 5 , e l e j e " # ) l a s r e c t a s : % ' 5 , % ' *.
# -alcular el área limitada por la curva ) ' *$ / % *& ) la recta ) ' /.
$ -alcular el área del recinto limitado por la parábola ) ' % * 6 * ) la recta +ue pasa por los puntos $/, (& ) $, &.
%
0 a ll a r e l á re a l i mi t ad a p or l a r e ct a
, e l e je d e a b sc i sa s ) l a s
ordenadas correspondientes a % ' ( ) % ' .
& -alcular el área limitada por la curva ) ' 5%
*
/ 3 % 3 ) e l e j e d e a b s c i s a s .
1' 0allar el área de la región del plano limitada por las curvas ) ' ln %, ) ' * ) los ejes coordenados. -alculamos el punto de corte de la curva ) la recta ) ' *.
E l á r e a e s i g u a l a l á r e a d e l r e c t á n g u lo " @ A - m e n o s e l á r e a b a j o l a c u r v a ) ' ln %. El área de rectángulo es base por altura.
El área bajo la curva ) ' ln % es:
11 -alcular el área de la región del plano limitada por el crculo %
E l á re a d el
c r cu lo
e s c ua tr o v ec es
el
á re a e nc er ra da
*
6 )* ' ?.
e n e l p ri me r
cuadrante ) los ejes de coordenadas.
0allamos los nuevos lmites de integración.
12 0allar el área de una elipse de semiejes a ) b.
Por ser la elipse una curva sim
0allamos los nuevos lmites de integración.
13 -alcular el área de la región del plano limitada por la curva: f$%& ' C% 6 3C ) el eje "#.
1 0allar el área de la figura limitada por: ) ' % *, ) ' %, % ' (, % ' * Puntos de corte de la parábola ) la recta ) ' %.
*
/ %
;e % ' ( a % ' , la recta +ueda por encima de la parábola.
;e % ' a % ' *, la recta +ueda por debajo de la parábola.
1! 0allar el área del recinto plano ) limitado por la parábola ) ' % / % * ) las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje "#. P u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n:
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto $(, (&:
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto $, (&:
(olumen E l v ol u me n d e l c u er po d e r e vo l uc i ón e n ge n dr ad o a l g i ra r l a c u rv a f $ %& alrededor del eje "# ) limitado por % ' a ) % ' b, viene dado por:
Ejemplos 1. 0allar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas ) las rectas dadas al girar en torno al eje "#: ) ' sen %% ' (% ' 1
2. -alcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas ) ' *, % ' ) % ' , ) el eje "# al girar alrededor de este eje.
3. -alcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia %8 6 )8 ' r8. Firando un semicrculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
. -alcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola ) * ' % ) la recta % ' *, alrededor del eje "D. -omo gira alrededor d el eje "D, aplicamos:
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta ) el engendrado por la parábola entre los e%tremos ) ' / e ) ' .
-omo la parábola es sim
!. 0allar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 5% * 6 *)* ' ((, al girar:
1 @lrededor de su eje ma)or. 2 @ l r e d e do r d e s u e je m e no r.
-omo la elipse es sim
#. -alcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje "# el recinto limitado por las gráficas de ) ' *% /% *, ) ' /% 6 *. Puntos de intersección entre la parábola ) la recta:
>a parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
Ejercicios de vol)menes de funciones 0 a l l a r e l v o l u m e n d e l t r o n c o d e c o n o e n g e n d r a d o p o r l a r o t a c i ó n a l r e d e d or "# del área limitada por ) ' 5 / %, ) ' (, % ' (, % ' . -alcular el volumen +ue engendra un triángulo de v
0 a ll a r e l v o lu m en d e l a f i gu ra e n ge n dr ad a a l g ir ar l a e l ip s e alrededor del eje "#.
Ejercicios resueltos de vol)menes de funciones 1 0 a l l a r e l v o l u m e n d e l t r o n c o d e c o n o e n g e n d r a d o p o r l a r o t a c i ó n a l r e d e d or "# del área limitada por ) ' 5 / %, ) ' (, % ' (, % ' .
2 -alcular el volumen +ue engendra un triángulo de v
Ecuación de la recta +ue pasa por A-:
3 0 a l l a r e l v o l u m e n d e l t r o n c o d e c o n o e n g e n d r ad o p o r e l t r a p e c i o + u e l i m i t a e l e j e d e a b s c i s a s , l a r e c t a ) ' % 6 * ) l a s c o o r d e n a d as c o r r e s p o n d i e nt e s a % ' ) % ' (, al girar alrededor de "#.
-alcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide ) ' sen %, al girar alrededor del eje "#.
! -alcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje "# el recinto limitado por las gráficas de ) ' *% /% *, ) ' /% 6 *. Puntos de intersección entre la parábola ) la recta:
>a parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
# 0allar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje "#, la región determinada por la función f$%& ' 2* 6 cos %, el eje de abscisas ) las rectas % ' ( ) % ' 1.
$ - a l c u l a r e l v o l u m e n d e l c u e r p o e n g e n d r a do a l g i r a r a l r e d e d or d e l e j e " # e l recinto limitado por las gráficas de ) ' 5% / % *, i ' %. P u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n:
>a parábola +ueda por encima de la recta en el intervalo de integración.
% 0 a l l ar e l v o l um e n e n g e n dr a do p o r e l c r cu l o % * 6 ) * / % ' / 3 a l g i r a r alrededor del eje "#.
El centro de la circunferencia es -$(, & ) el radio r ' . Puntos de corte con el eje "#:
&
0 a ll a r e l v o lu m en d e l a f i gu ra e n ge n dr ad a a l g ir ar l a e l ip s e alrededor del eje "#.
Por ser la elipse una curva sim
volumen engendrado por el arco
entre % ' ( ) % ' a.
L*+,-/0 0E AR* > a l o n g i t u d d e l a r c o , d e l a c u r v a f $ % & , c o m p r e n d i do e n t r e l a s a b s c i s a s % ' a ) % ' b viene dado por la integral definida:
Ejemplo 0allar la longitud del arco de curva
en el intervalo [(, ].
