LONGITUD DE ARCO Calcular la longitud de arco o de una curva dada por una función f en un intervalo a ≤ x ≤ b , tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Es necesario que hagamos un breve estudio del cálculo de ellas.
Una aproximación es una línea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b , como se indica en la figura: Dado los incrementos en x y en y, entonces la longitud L (por el teorema de Pitágoras), es: L =
(∆ x )
2
+ ( ∆y ) 2 (1)
Ahora como se ve en la animación, la RECTA que es secante a la curva curva se vuelve recta tangente en un punto cuando ∆ x → 0 .
Entonces podemos determinar que, la pendiente de la recta tangente es: f ' ( x ) =
∆ y , ∆ x
Despejando ∆ y y reemplazando en (1), nos queda L =
( ∆ x )
2
+ ( ∆ x f ' ( x)) 2
Factorizando ( ∆x ) 2 y extrayendo la raíz, tenemos L = 1 + ( f ' ( x)) 2 ∆ x
Siguiendo las sumas de Riemann, entonces tenemos que la longitud de curva de f ( x) en el intervalo a ≤ x ≤ b , esta dada por:
L =
b
∫ a
1 + ( f ' ( x)) dx 2
Ejemplo:
Calcular la longitud de la curva en el intervalo [0,4] de la función f ( x ) =
4 2 3
Solución:: Solución
x
3
2
−1
Dada la integral para calcular la longitud de curva, entonces primero
derivamos la función
f ( x )
f ' ( x) =
4 2 3
*
3 2
x
1
2
,
Simplificando y elevando al cuadrado,
( f ' ( x )) = ( 2 2 x 2
1
2
) = 8 x 2
Ahora sustituimos en la integral para calcular la longitud
L =
4
∫ 0
1 + 8 x dx
Integrando por sustitución, queda
L =
2 3
Que es la longitud de la curva pedida. A continuación veremos una aplicación de la longitud de curva en el cálculo del área de superficie de un sólido de revolución.
AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION
Las superficies de revolución son aquellas que se generan haciendo girar una curva (una cuerda) alrededor de una recta Para calcular el área de una superficie superficie de revolución generada al girar la recta azul alrededor del eje x se genera un tronco de de cono circular circular recto cuya superficie lateral es: A = 2π RL
r 1 =
radio menor
r 2 =
radio mayor
L= longitud del segmento R =
r 1 + r 2 2
radio medio del tronco del cono
Supóngase Supóng ase aho ahora ra que que se se gira gira la gra grafic ficaa de la funci función ón f (x) (x) ≥ 0 cuy cuyaa deriv derivada ada es continua en el [a,b] alrededor del eje x para formar la superficie de revolución
Se hace una partición del intervalo [a,b] de ancho ∆ xi es decir a = x 0 < x1 < x 2 < x3 ........ < x n = b ,cuando las imágenes f(x i ) de ca cada pu punt ntoo se se unen entre si se forma un trapecio, cuando esta figura se hace girar en torno al eje x se genera un tronco de cono i
L I = (∆ x I ) 2 + (∆yi ) 2 ∆ y la longitud de cada segmento que une dos puntos es y
el área superficial de un solo tronco de cono esta dada por 2 2 ∆si = 2π f ( xi ) (∆ x I ) + (∆yi ) y por el teorema del valor medio esta área se
puede escribir como : ∆si = 2π f ( xi ) 1 +
∆si = 2π f ( xi )
(∆ y i )2 (∆ xi )
2
(∆ xi )
2
(∆ xi )
2
+
( ∆ y i ) 2 ( ∆ xi )
2
∆xi
∆xi
por lo tanto el área total de toda la superficie generada puede aproximarse como la suma de las áreas de todos los troncos de conos que se formen con esa partición y cuando cuando la longitud longitud de cada cada segmento tiende a cero y el numero de segmentos tiende a infinito se tiene : S = lim n →∞
n
∑
2π f ( x ) 1 + f ( x) ∆ xi /
2
i
que equivale a la siguiente siguiente integral definida :
b
∫
/ 2 S = 2π f ( x) 1 + f ( x) dx
donde f(x) es el radio R(x) o distancia entre entre la grafica y el eje de revolución correspondiente a
Cuando la grafica gira el torno al eje y el R(x)=x entonces la formula es b
∫
/ 2 S = 2π x 1 + f ( x) dx
a
entonces la formula es
y Cuando la grafica gira el torno al eje x el R(x)=f(x)
b
∫
S = 2π f ( x) 1 + f / ( x) 2 dx
y
a
EJEMPLO: Hallar el área S de la superficie de revolución que se forma al hacer girar la grafica de la función
y = x
SOLUCION : Se grafica la función
en el intervalo [1,4] alrededor del eje x
Se deriva la función y se reemplaza en la fórmula y = x 1
y ' =
2 x
Entonces el área superficial es 2
⎛ 1 ⎞ x 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dx ⎝ 2 x ⎠
4
∫
S = 2π 1
4
S =
⎛ 1 ⎞ x 1 + ⎜ ⎟ dx 4 x ⎝ ⎠
∫ 2
π
1
4 x + 1
4
S = 2π
∫
x
4 x
1
dx
simplificando
4
S = π
∫
4 x + 1dx
,haciendo u=4x+1 se obtiene
1
3
S =2 π
=6
1
(
π
4
4 x + 1) 2
3
(17) − 2
3 π
6
=
π
6
3
⎤
( 4 x + 1) 2 ⎥
4
π
⎦1 = 6
3
(4( 4) + 1) 2
π
-6
3
( 4(1) + 1) 2
3
(5) 2
= 30.85 unidades cuadradas
EJEMPLO: Hallar el área S de la superficie de revolución que se forma al hacer girar la 2 grafica de la función y = x en el intervalo [2, 2 ] alrededor del eje y
SOLUCION: Se deriva la función y se reemplaza en la fórmula Cuando la grafica gira el torno al eje y el radio es x entonces la formula es
b
∫
S = 2π x 1 + f / ( x) 2 dx a
' por lo tanto y = 2 x y el área es
2
S=
∫ 2
π
x 1 + ( 2 x) dx 2
0 2
S =
∫ 2
π
x 1 + 4 x 2 dx
0
,esta integral se hace por sustitución tomando u = 1 + 4 x 2 9
du = 8 xdx 2
=8
π
2 3
reemplazando e integrando 3
(u ) 2 )]1
9
π
=6
729 −
π
6
1
∫
S = 2π u du 1
26π
=
6
=
13π
=
3
se hace la grafica
ROTACION DE UNA CURVA DADA EN TERMINOS DE x=g(y)
Cuando la función esta de la forma x=g(y) en el intervalo[c,d] entonces el área d
∫
S = 2π
de la superficie generada es ladistancia entre la
g ( y ) 1 + g ' ( y ) 2 dy
donde el radio es
c
grafica de g y el eje de revolución r evolución EJEMPLO El segmento de recta recta x=1-y gira alrededor alrededor del eje y en el intervalo [0,1] halle el área de la superficie de revolución generada (un cono) SOLUCION
x=1-y entonces la derivada es x / = −1 d
∫
S = 2π x 1 + (−1) 2 dy
pero x=1-y por lo tanto reemplazando
c 1
∫
S = 2π (1 − y ) 1 + (−1) 2 dy
=
0 1
∫
S = 2π (1 − y )
2dy = 2π 2 ( y −
0
y2 2
)] 0 1
=2
π
2 (1 −
1 2
)=
2π
Usando la formula geométrica se obtiene; Área de la superficie lateral del cono es S=circunferencia de la base x la altura 2π (1)
oblicua dividida por 2 es decir S=
2
2=
2π
EJEMPLO Superficie de la Hipocicloide 2
2
La hipocicloide x + y = 1 es una curva generada por la trayectoria que describe un punto situado sobre una circunferencia que rueda, sin deslizamiento por el interior de 3
otra circunferencia
3
Hallar el área de la superficie generada al girar ,alrededor del eje x la parte de 2
2
3 3 La hipocicloide x + y
=1
SOLUCIÓN 2
y = (1 − x 3 ) 2
Se despeja y en el primer cuadrante , resultado 3
y = /
La derivada es 2 3
2
2
b
∫
1
(1 − x ) ( − 3
2
2 3
x en [0, 1 ] y duplica el
−1 3
x
)
−1
1
y = (1 − x ) ( − x /
2
2
3
3
)
Reemplazando en la fórmula
3
S = 2π (1 − x 3 ) 2
2
−1
1
2
1 + (1 − x 3 ) 2 (− x 3 ) dx
a 2
b
∫
S = 2π (1 − x ) 3
2
−2
2
3
1 + (1 − x )( x 3
3
)dx =
a 2
b
−2
3
∫
S = 2π (1 − x 3 ) 2
1 + ( x
3
− x 0 )dx =
a 2
b
∫
−2
3
3
2
S = 2π (1 − x )
1 + ( x
2
3
−2
3
− 1)dx =
a 1
∫
S = 2π (1 − x 3 ) 2
x
3
) dx =
0
2
1
∫
3
−1
2
1
∫
−1
3
S = 2π (1 − x 3 ) 2 x 3 dx = S = 2π (1 − x 3 ) 2 x 3 dx = 0
2
u = 1− x
2π u
1
y la derivada
3
0
∫ S=
por
0
3 2
3 2
0
du
∫ =-
3
2π u 2
1
Diseño Clara Castillo.
du =
3 2
du
−2 3
=-
(
sustitución
−1
x 3 dx
6 5
resulta la integral
5 π
u 2 )] 0 = 1
6π 5
se
hace
