Longitud de Arco Sea la función y
x (t ) a Cos (t ) a t Sen (t ) ; 0 t 2 y (t ) a Sen(t ) a t Cos (t ) x(t ) ln 1 t 2 b) ; 0 t 1 y (t ) ArcTang (t ) x (t ) t Sen(t ) c) ; 0 t 4 y (t ) 1 Cos (t ))
f ( x) representa una curva sobre el
a b . La longitud de arco de
intervalo
a) Calcular la longitud de la curva:
,
a)
f entre
a y b es:
dL
dy dx
a
x (t ) et Sen(t ) d) ; 0 t t y ( t ) e Cos ( t ) x f (t ) 2Sen(t ) Sen(2t ) e) , t 0 , 2 y g ( t ) 2 C o s ( t ) C o s ( 2 t )
b
b) Comprobar que un arco de la curva y
En coordenadas cartesianas
x
L
c)
1 ( f ' ( x)) dx 2
a
En Ecuaciones Parametricas Sea la curva dada en forma parametrica:
x f (t ) C: y g (t )
; t1 t t2 ; t es un parámetro
Sen( x ) ,
0, 2 tiene la misma longitud que la elipse: 0,2
2 x
b
2
y
2
2
Determine la longitud del arco de la curva:
1
x x 3
a)
y
b)
24 xy x 4 48
c)
y2 x
y
d)
e
3
e x 1
1 4
x
4
x 0, 4
;
e x 1
;
;
Ln ( 2) x Ln (3)
d) Calcula la longitud del arco, para para la siguiente t 2
L
2
f '(t ) g '(t )
2
dt
t 1
4 x
1. Calcular la longitud de arco para las siguientes curvas:
2
a)
y
b)
yx y
d)
y
e)
y
3
2
8 x 1
,
e) Determine la longitud de arco, arco, que la recta
EJERCICIOS
c)
y 1 curva x 6
3
x
3
x 4 8 3 2 1
2
3
2
2
e 2
x 0, 4
1 ;
3
e
x 1, 2
;
4 x 2
x
x 0,1
1 ;
1
x
x
;
x 1, 8
;
x 0, 2
3
corta a la curva y
2
x
3
13. Dada la función f x
PROBLEMAS REPASO 2. a.
y
x
2
2
2
2
x y el eje de abscisas en
;
y
4x 1 ;
2x
2
6 x 10
;
x
0
1
y
d.
x y
e.
y
f.
y
g.
Por la par ábo la y = x 2 + 2 y l a r e c t a que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
3.
1 ;
xy
2
1 x ,
y
2
5.
2
Sea
la
y
2x x
7.
8.
;
y
;
x
y
x
4x
2 , 2
x , en el intervalo
2
;
x y
región 2
R
;
2
;
x y
;
x
y
limitada
y x 2
2
x
por
;
las
curvas:
y 0
2
;
y
y
mx
,
m
0 , es
64 6
u
2
.
Halle el valor de “ m ”. 9. Calcular el área de la región plana acotada en el primer cuadrante por las curvas:
y 1
2
1
x
;
y 1
2x ;
y 1
6
x
10. Hallar el área de la región plana limitada por las
curvas f x x 3 2 x 2 x 1 y
x 2 3x 1.
g x
11. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x
2
2
+1 y la recta y =x+3
12. Por el punto de abscisa x=1 de la parábola de ecuación
y x x
2
se traza una recta r
perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Hallar el área del recinto limitado por la recta r y la parábola.
bx c . Determínense a, b y c
de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x=0, la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y - 4 x = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0, x = 1, sea igual a 1. 16. Considérese el recinto cerrado de 2 limitado por la parábola de ecuación y = -x 2 +1 y la recta horizontal de ecuación y = a, donde a es un número menor que 1 (que puede ser positivo o negativo). Determinar el valor de a para que el área del recinto 8 2 3
.
17. Calcular el área del recinto limitado por la parábola 2y2 = x – 2, el eje de abscisas y la tangente a la parábola paralela a la recta 2y = x – 3. Hacer un dibujo del recinto descrito . 18. Calcular el área de la región situada en el primer cuadrante, y limitado por las curvas: 2
2
15. Sea f x x 3 ax 2
valga
Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = lnx, y = 2 y los ejes coordenados El área de la región limitada por las curvas: x
gráfica de la función f ( x ) x 22 x 2 , el eje
2
Hallar el área de la región R. Determine el perímetro de la región , siendo la región comprendida por las curvas y
6.
2
Expresar mediante integrales dobles ( no calcular ), el área de la región determinado por las curvas x y 8
4.
4
y
;
x
x y
, hallar el área de la
OX y las rectas x= 3, x=2.
c.
1
14. Calcular el área de la región limitada por la
0,6
el intervalo de b.
4x
x
región limitada por la gráfica de f , el eje OX y las rectas x 1 , x 1.
Calcula el área del recinto limitado por: La parábola y
x 2
2
x y 3
;
2y x
2
;
2x
y
2
19. Expresar el área de la región limitada por las curvas: x
2
y
2
1, x
2
y
2
9 y las rectas
y
x
,
y
3 x
mediante una ò más integrales
definidas. (N0 CALCULAR) 20. Dada la función
f ( x)
2 x 3x 3 , se pide
determinar la altura de una recta horizontal para que las áreas A y B de la figura sean iguales
3
21. Hallar el área de la región limitada por las curvas
f ( x)
x
2
y
g ( x)
1 x
22. Halle el área de la región limitada por la curva: x y x, y 1, y las rectas y 4x
En el segundo cuadrante
