Año de la Diversifcación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación Universidad: Universidad Nacional del Callao Facul aculta tad: d: Inge Ingeni nier ería ía Ami Amien enta tall ! "ecursos Naturales Ciclo: ll Curso: matem#tica II $ema: $ema: %&N'I$UD %&N'I$UD DE A"C& A"C& Integrantes: Cam(osano )e*a 'iuse((e "udy Pam(as "ivera +aren "odrígue* "osales ,imena -ilca "amíre* %inytc.
Fec.a: /010213045
LONGITUD DE ARCO
¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva? Necesitamos una definición precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos términos en que desarrollamos los conceptos de área y de volumen. i la curva es un pol!gono, es fácil determinar su longitud" simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el pol!gono. #$ara la distancia entre los e%tremos de cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.& 'amos a definir la longitud de una curva general apro%imándola con un pol!gono y entonces tomando un l!mite cuando el n(mero de segmentos del pol!gono aumenta, )ste proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es el l!mite de las longitudes de los pol!gonos inscritos. upongamos ahora que una curva * ha sido definida por medio de la ecuación , donde f es continua en . +btenemos una apro%imación poligonal a * dividiendo el intervalo en subintervalos con los e%tremos y todos de la misma longitud . i , entonces, el punto está en la curva * y el pol!gono con vértices . a longitud de de * es apro%imadamente igual a la longitud de este pol!gono y la apro%imación es me-or cuando crece . $or lo anterior, definimos la longitud, , de la curva *, cuya ecuación es , , como igual al l!mite de la suma de las longitudes de esos pol!gonos inscritos #si e%iste el l!mite&
+bservará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al empleamos al definir el área y el volumen. /ividimos la curva en un gran n(mero de partes peque0as. uego calculamos las longitudes apro%imadas de las partes peque0as para después sumarlas. $or (ltimo sacamos el l!mite cuando . a definición de longitud de arco, e%presada por la ecuación 1, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular en el caso en que tenga una derivada continua. 2na función as!, se denomina función lisa o función suave, porque el cambio de origina una peque0a alteración de .
*on
, entonces
3l aplicar el teorema del valor medio a , en el intervalo que hay un n(mero, entre y tal que
, vemos
)sto es, por
*onsiguiente,
)ntonces, seg(n la definición 1,
4econocemos que esta e%presión es igual a de acuerdo con la definición de una integral definida. )sta integral e%iste porque la 5unción es demostrado el teorema siguiente
Fórmula de longitud de arco, si
curva
, es
continua"
por
es continua en
consiguiente,
hemos
, la longitud de la
*on la notación de eibni6 de derivadas podemos escribir la f7rmula de la longitud de arco de esta manera
Eem!los"
1. )ncontrar la longitud de arco para la función dada para el intervalo de 89,1:, derivamos la función y obtenemos lo siguiente luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos
esto
operamos de la siguiente manera
olución
;acemos
una
sustitución
sacamos la primitiva y por el
. en el intervalo de
ntegramos por partes
ntegramos
4esolvemos )ntonces 1@,1>>.@A B CC.91D1@,9EF.@E
<)G3 /) *++4/)N3/3 *34<)3N3
3rt!culo principal *oordenadas cartesianas )n un espacio eucl!deo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres e-es ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional #análogamente en se pueden definir sistemas nBdimensionales&. )l valor de cada una de las coordenadas de un punto #3& es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto # & sobre un e-e determinado *ada uno de los e-es está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. $or e-emplo, el e-e % está definido por el origen de coordenadas #+& y un versor # & tal que , cuyo módulo es
.
)l valor de la coordenada % de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el e-e %.
#istema de coordenadas cil$ndricas
ignificado de las coordenadas cil!ndricas.
)l sistema de coordenadas cil!ndricas se usa para representar los puntos de un espacio eucl!deo tridimensional. 4esulta especialmente (til en problemas con simetr!a a%ial. )ste sistema de coordenadas es una generali6ación del sistema de coordenadas polares del plano eucl!deo, al que se a0ade un tercer e-e de referencia ortogonal a los otros dos. a primera coordenada es la distancia e%istente entre el e-e H y el punto, la segunda es el ángulo que forman el e-e I y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada 6 que determina la altura del cilindro. #istema de coordenadas es%&ricas
3l igual que las coordenadas cil!ndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios eucl!deos tridimensionales. )ste sistema de coordenadas esféricas está formado por tres e-es mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. a primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcan6ar la posición del punto. Coordenadas geogr'%icas
)ste tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. ;ay varios tipos de coordenadas geográficas. )l sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos •
// BBB /ecimal /egree #Jrados $olares& e-. CA.K99B1>@.K99
•
/G BBB /egreeGinute #JradosGinutos& e-. CA@9.9B1>@@9.9
•
/G BB /egreeGinuteecond #JradosGinutosegundos& CA@999B1>@@999
e-.
3rt!culo principal *oordenadas curvil!neas 2n sistema de coordenadas curvil!neos es la forma más general de paramétrica o etiquetar los puntos de un espacio localmente eucl!deo o variedad diferenciable #globalmente el espacio puede ser eucl!deo pero no necesariamente&. i tenemos un espacio localmente eucl!deo G de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvil!neo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla
$ara cualquier punto q cercana a p se definen sus coordenadas curvil!neas
i el espacio localmente eucl!deo tiene la estructura de variedad de 4iemann se pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvil!neas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. as coordenadas cil!ndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio eucl!deo . *++4/)N3/3 *24'LN)3 +4<+J+N3) 2n sistema de coordenadas curvil!neas se llama ortogonal cuando el tensor métrico e%presado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. *uando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando e%iste por e-emplo simetr!a a%ial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvil!neas ortogonales. as coordenadas esféricas y cil!ndricas son casos particulares de coordenadas curvil!neas ortogonales. *3GM+ /) *+4/)N3/3 )n la resolución de problemas f!sicos y matemáticos es com(n la estrategia del cambio de coordenadas. )n esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad. Gás formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable #con inversa también diferenciable& entre dos con-untos de , aqu! llamados y
)ste cambio de variable permite por e-emplo reescribir integrales del siguiente modo
/onde
4epresenta la función que pretende integrarse e%presada en las vie-as y las nuevas coordenadas. )s el -acobino del cambio de coordenadas. )s el dominio de integración e%presado en las vie-as y las nuevas coordenadas. $ara transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial
LONGITUD DE UNA CUR(A EN CORDENADA# )OLARE#
)l proceso que culmina en una fórmula para el área de una región polar es paralelo al del área en coordenadas cartesianas, pero utili6a sectores circulares en lugar de rectángulos como elementos básicos.
3 través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. 3unque 3rqu!medes hab!a descubierto una apro%imación rectangular para calcular el área ba-o una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las l!neas rectas. as primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es com(n en el cálculo, a través de apro%imaciones los matemáticos de la época tra6aban un pol!gono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor apro%imado de la longitud de la curva. Gientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obten!a una apro%imación cada ve6 me-or. *onsideramos que es un parámetro, y escribimos las ecuaciones paramétricas de la curva en la forma
3l derivar con respecto de tenemos
y 3hora usando
uponemos que
es continua entonces podemos usar el teorema
))G$+ 1. *alcular la longitud de arco del cardioide
>. )ncontrar la longitud de un arco de la cicloide
olución
3hora hacemos la integral