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[Escriba texto]
MOVIMIENTOS CURVILINEOS El movimiento de una partícula a lo largo de una curva, se denomina movimiento curvilíneo. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CURVILÍNEO Sea C la curva cuya ecuación vectorial es R ( t ) = f ( t ) ˆi + g ( t ) ˆj + h( t ) kˆ Si una partícula se mueve a lo largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades es el punto P ( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) ) , entonces el vector velocidad V ( t ) y el vector
aceleración A ( t ) en el punto P se definen como V ( t ) = R′ ( t ) ⇔ V (t ) = f ′ ( t ) ˆi + g′ ( t ) ˆj + h′ ( t ) kˆ
A ( t ) = R′′ ( t ) ⇔ A ( t ) = f ′′ ( t ) ˆi + g′′ ( t ) ˆj + h′′ ( t ) kˆ ⇔ A( t ) = V ′ ( t )
Donde R′′( t ) existe.
Puesto que la dirección de R′′( t ) en el punto P es la misma que la de la recta tangente a la
curva en P, entonces el vector velocidad V ( t ) tiene esta dirección en P.
El módulo o intensidad (o también magnitud) del vector velocidad, V ( t ) es una medida de la rapidez de la partícula. La figura muestra las representaciones de los vectores velocidad y aceleración en el punto P de C.
En resumen resumen:: si x e y son funciones dos veces derivables de t y R ( t ) = x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez se definen: En el plano plano:: Velocidad: V (t ) = R′ ( t ) = x′ ( t ) ˆi + y′ ( t ) ˆj
Aceleración: A(t ) = R′′ ( t ) = x ′′ ( t ) ˆi + y′′ ( t ) ˆj
Rapidez: V (t ) = R′ ( t ) = [ x′ ( t )]2 + [y ′ ( t )] 2
En el espacio espacio:: R ( t ) = x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj + z(t)kˆ Velocidad: V (t ) = R′ ( t ) = x′ ( t ) ˆi + y′ ( t ) ˆj + z′(t)kˆ ˆ Aceleración: A(t ) = R′′ ( t ) = x ′′ ( t ) ˆi + y′′ ( t ) ˆj + z′′(t)k
Rapidez: V (t ) = R′ ( t ) = [ x′ ( t )]2 + [ y ′ ( t )]2 + [ z′(t)] 2
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[Escriba texto]
EJEMPLO. Hallar el vector velocidad y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva C del plano descrita por: R ( t ) = 2cos( 2t )ˆi + 2 sen( 2t )tjˆ V ( t ) = R′ ( t ) ⇔ V ( t ) = f ′ ( t ) ˆi + g′ ( t ) ˆj + h′ ( t ) kˆ
A ( t ) = R′′ ( t ) ⇔ A ( t ) = f ′′ ( t ) ˆi + g′′ ( t ) ˆj + h′′ ( t ) kˆ ⇔ A( t ) = V ′ ( t )
El vector velocidad es V (t ) = R′ ( t ) = cos ( 2t ) ˆi − sen ( 2t ) ˆj
La rapidez en el instante t viene dada por V (t ) = cos2 ( 2t ) + sen2 ( 2t ) = 1
Y el vector aceleración es A(t ) = −
sen( 2t ) ˆ cos( 2t ) ˆ i− j
2 2 Las ecuaciones paramétricas de la curva son x = 2sen( 2t ); y = 2cos( 2t ) . Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular x 2 + y 2 = 4 . Ecuación rectangular (la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen), como el vector velocidad tiene longitud constante, pero dirección cambiante cuando t crece, la partícula se mueve sobre el círculo con rapidez constante. EJEMPLO. Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana que tiene la ecuación 1 1 vectorial R ( t ) = 4cos tiˆ + 4 sen tjˆ . Calcule la rapidez de la partícula y el módulo del 2 2 vector aceleración de la partícula a los t segundos si la distancia se mide en centímetros. 1 Determine los vectores velocidad y aceleración en el punto donde t = π . 3 Al calcular V ( t ) y A ( t ) se tiene 1 1 V ( t ) = R′ ( t ) = −2sen tiˆ + 2cos tjˆ 2 2 2
2
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 21 21 V ( t ) = ⎜ −2sen t ⎟ + ⎜ 2cos t ⎟ = 4 sen t + 4cos t = 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝ 1 1ˆ A ( t ) = V ′ ( t ) = − cos tiˆ − sen tj 2 2
2
2
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ A ( t ) = ⎜ − cos t ⎟ + ⎜ − sen t ⎟ = 1 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ Por tanto, la rapidez de la partícula es constante e igual a 2 cms . El módulo del vector aceleración también es constante e igual a 1 cm 2 . s
Las ecuaciones paramétricas de C son x = 4cos( 2t ); y = 4 sen( 2t ); 0 ≤ t ≤ 4π Al eliminar el parámetro t de estas ecuaciones se obtiene la ecuación cartesiana 2 2 x + y = 16 . La cual es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 4.
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[Escriba texto]
Ahora
se
determinarán
los
vectores
velocidad
y
aceleración
en
1 3
t = π .
1 1 ⎛1 ⎞ 6 6 ⎝3 ⎠ 1 1 1 1 ˆ 1ˆ ⎛ ⎞ A ⎜ π ⎟ = − cos π ˆi − sen π ˆj = − 3i − j 6 6 2 2 ⎝3 ⎠ 1 1 ⎛ ⎞ La dirección de V ⎜ π ⎟ está determinada por tanθ 1 = − 3 ; π < θ1 < π y la dirección de 2 ⎝3 ⎠ 1 3 ⎛1 ⎞ π < θ 2 < π A ⎜ π ⎟ está dada por tanθ 2 = ; 2 3 ⎝3 ⎠ 7 π Así, θ 1 = y θ2 = π . La figura muestra la trayectoria de la partícula y las 3 6 representaciones de los vectores velocidad y aceleración que tienen punto inicial para el 1 cual t = π . 3
V ⎜ π ⎟ = −2sen π iˆ + 2cos π ˆj = −ˆi + 3 ˆj
EJEMPLO. La posición de una partícula que se mueve en el plano, en el tiempo t unidades, está dada por la ecuación vectorial R ( t ) = ( t 2 + 2t + 1) ˆi + t 3 ˆj ; 0 ≤ t ≤ 2
(a) Calcule V ( t ) , A ( t ) , V ( t ) y A ( t ) . (b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = 1 .
2 a)V ( t ) = R′ ( t ) = ( 2t + 2 ) iˆ + 3t ˆj
V (t ) =
2
2 (2t + 2 ) + ( 3t 2 ) = 9t 4 + 4t 2 + 8t + 4
2 A ( t ) = V ′ (t ) = 2ˆi + 6tjˆ ⇒ A ( t ) = 4 + 36t
b) V (1 ) = 5; A (1 ) = 40 ≈ 6.32
EJEMPLO. Un objeto parte del reposo del punto P(1,2,0) y se mueve con una aceleración ˆ Donde A ( t ) se mide en pies2 . Hallar la posición del objeto tras un tiempo de A(t ) = ˆj + 2k s
t = 2 segundos.
De la descripción del movimiento del objeto deducimos las siguientes condiciones iniciales. Ya que el objeto parte en reposo, tenemos v (0) = 0 . Además, como parte del punto ( x , y , z) = (1,2,0) se tiene R(0) = x(0)iˆ + y (0)ˆj + z(0)kˆ = ˆi + 2 ˆj 109 http://www.damasorojas.com.ve
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Para hallar su función posición, hemos de integrar dos veces, usando cada vez las condiciones iniciales para fijar el valor de la constante de integración. El vector velocidad es: Vt ) = ∫ A(t)dt = ∫ (ˆi + 2kˆ)dt = tjˆ + 2tkˆ + c donde C = c1ˆi + c2 ˆj + c3 kˆ . Haciendo t = 0 y aplicando la condición inicial v (0) = 0 , obtenemos, V (0) = c1ˆi + c2 ˆj + c3 kˆ = 0 ⇒ c1 = c2 = c3 = 0 Así , pues, el vector velocidad en cualquier instante t es V (t ) = tjˆ + 2tkˆ . Integrando de nuevo vemos que: 2
t 2 R(t ) = ∫ V (t)dt = ∫ (tjˆ + 2tkˆ)dt = ˆj + t kˆ + c . Donde C = c4 ˆi + c5 ˆj + c6 kˆ ⇒ si t = 0 aplicando la 2 condición inicial v (0) = 0 , obtenemos, R(0) = c4 ˆi + c5 ˆj + c6 kˆ = ˆi + 2 ˆj ⇒ c4 = 1, c5 = 2, c6 = 0 por
⎛ t 2 ⎞ ˆ lo tanto el vector posición es: R (t ) = i + ⎜ + 2 ⎟ ˆj + t 2 kˆ ⎝2 ⎠ MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.
Suponga que un proyectil se dispara desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de α radianes. Sea v 0 el número de pies por segundo la velocidad inicial o velocidad de salida. Los ejes coordenados se colocan de modo que el cañón esté ubicado en el origen. Refiérase a la figura. El vector de velocidad inicial, V 0 del proyectil está determinado por V0 = v0 cosα ˆi + v 0 senα ˆj
Sean t segundos el tiempo que transcurre desde que el arma se disparó, x pies la distancia horizontal del proyectil desde el punto de partida a los t segundos, y y pies la distancia vertical del proyectil también desde su punto de partida a los r segundos. R (t ) es el
vector de posición, V ( t ) es el vector velocidad y A ( t ) es el vector aceleración del proyectil a los t segundos.
Como x y y son funciones de t , se escriben las componentes horizontal y vertical de R ( t ) como x ( t ) y y ( t ) ; así, R ( t ) = x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj
Si F representa la fuerza que actúa sobre el proyectil, entonces F = −mgj De esta ecuación de la segunda ley de Newton para el movimiento. mA ( t ) = −mgjˆ ⇒ A ( t ) = −gjˆ ⇔ V ′ ( t ) = −gjˆ Al integrar los dos miembros de esta ecuación con respecto a t , se obtiene: V ( t ) = −gtjˆ + C1 . Como V ( 0 ) = V 0 , entonces C1 = V 0 . Por tanto, 110 http://www.damasorojas.com.ve
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[Escriba texto]
V ( t ) = −gtjˆ + V0 ⇔ R′ ( t ) = −gtjˆ + V0 . Si se integra otra vez, resulta:
1 2 R ( t ) = − gt ˆj + V0t + C 2 . Puesto que el proyectil parte del origen, R ( 0 ) = 0 por lo que
2
1 2
C 2 = 0 . De este modo, R ( t ) = − gt 2 ˆj + V0t 1 Con el valor de V 0 esta ecuación se transforma en R ( t ) = − gt 2 ˆj + ( v0 cosα ˆi + v0 senα ˆj ) t 2 1 2⎞ ⎛ R ( t ) = tv 0 cos α iˆ + ⎜ tv0 senα − gt ⎟ ˆj . Esta ecuación proporciona el vector de posición del 2 ⎝ ⎠ proyectil a los t segundos.
A partir de esta ecuación se puede estudiar el movimiento del proyectil. Generalmente, las cuestiones de interés son las siguientes: 1. ¿Cuál es el alcance del proyectil? El alcance es la distancia OA a lo largo del eje x . 2. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido, esto es, el tiempo que tarda el proyectil en ir de O a A? 3. ¿Cuál es la altura máxima del proyectil? 4. ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyectil? 5. ¿Cuál es el vector velocidad del proyectil en el momento del impacto? EJEMPLO. Se dispara un proyectil desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de 1 pie π rad, y su velocidad de salida es de 480 s . Obtenga: (a) el vector de velocidad inicial; 6 (b) el vector de posición R ( t ) y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil; (c) el tiempo de recorrido del proyectil; (d) el alcance del proyectil; (e) la altura máxima alcanzada por el proyectil; (f) el vector velocidad y la rapidez en el momento del impacto; (g) el vector de posición, el vector velocidad y la rapidez a los 2s; y (h) una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. 1 (a) De 10 con v 0 = 480 y α = π , el vector de velocidad inicial es 6 1 1 V0 = 480cos π ˆi + 480 sen π ˆj = 240 3ˆi + 240 ˆj 6 6 1 ⎛ ⎞ (b) El vector de posición a los t segundos es: R ( t ) = 240 3tiˆ + ⎜ 240t − gt 2 ⎟ ˆj 2 ⎝ ⎠ 2 Si se considera g = 32 se tiene R ( t ) = 240 3tiˆ + (240t − 16t ) ˆj Si ( x ( t ) , y ( t ) ) es la posición del proyectil a los t segundos, entonces: x ( t ) = 240 3t y y ( t ) = 240t − 16t 2
(2) 111
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[Escriba texto]
(c) Con el propósito de calcular el tiempo de recorrido del proyectil, se debe obtener t cuando y ( t ) = 0 . De esta manera, se considera y ( t ) = 0 240t − 16t 2 = 0 ⇒ t ( 240 − 16t ) = 0 ⇒ t = 0; t = 15 El valor 0 para t se presenta cuando el proyectil se dispara. Como y (15) = 0 , el tiempo de recorrido es de 15 s. (d) Con el fin de obtener el alcance del proyectil se calcula x (15) x ( t ) = 240 3t entonces x (15 ) = 3600 3 .En consecuencia, el alcance es de 3600 3 ≈ 6200 pies.
(e) El proyectil alcanza su máxima altura cuando la componente vertical del vector velocidad es cero, esto es cuando y ′ ( t ) = 0 . Al calcular y′ ( t ) de la ecuación se tiene y ( t ) = 240t − 16t entonces, y ′ ( t ) = 240 − 32t 2
Si se considera y ′ ( t ) = 0 , se obtiene t = 7.5 , el cual es la mitad del tiempo total de recorrido. (f) Puesto que el tiempo total de recorrido es de 15 s, el vector velocidad en el momento del impacto es V (15) . Con V ( t ) = R′ ( t ) , se obtiene de (1)
V ( t ) = 240 3ˆi + ( 240 − 32t ) ˆj
Así, V (15 ) = 240 3ˆi − 240 ˆj
Como V (15) = 480 , la rapidez en el momento del impacto es de 480 pies .
(g)
R ( 2 ) = 480 3iˆ + 416 ˆj ⇒ V (2 ) =
2
(240 3 )
2
+ (176 ) = 32 199
V ( 2 ) = 240 3ˆi + 176 ˆj
Por tanto, a los 2 s la rapidez es de 32 199 pies ≈ 450 pies . (h) A fin de obtener una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil, se elimina el parámetro t de las ecuaciones paramétrica. Al sustituir el valor de t de la primera ecuación en la segunda se obtiene 2
1 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 2 y = 240 ⎜ x− x ⎟ − 16 ⎜ ⎟ ⇒y= 10800 3 ⎝ 240 3 ⎠ ⎝ 240 3 ⎠
La cual es una ecuación de una parábola. LONGITUD DE ARCO Si C es una curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son x = f ( t ) y y = g ( t ) , donde f ′ y g′ son continuas en el intervalo cerrado [a , b] y si L unidades es la longitud de arco de
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[Escriba texto] C
desde
L=
b
∫
a
el
( f ( a ) , g ( a ) )
punto
2
hasta
el
punto
( ( b ) ,g ( b) ) ,
entonces
2
⎡⎣ f ′ ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣g′ ( t ) ⎤⎦ dt
Puesto que una ecuación vectorial de C es R (t ) = f (t ) iˆ + g (t ) ˆj , esta ecuación puede b
escribirse como L = ∫ R′ (t ) dt a
EJEMPLO. Calcule la longitud de arco descrito por el punto terminal de la representación de posición de R (t ) conforme t se incrementa de 1 a 4 si R ( t ) = et sentiˆ + et cos tjˆ t t t t R′ ( t ) = ( e sent + e cos t ) iˆ + ( e cos t − e sent ) ˆj
R′ ( t ) =
( e sent + e t
R′ ( t ) = e2 L=
∫
4
1
t
t
2
2
cos t ) + ( et cos t − et sent )
sen2t + 2 sent cos t + cos 2 t + cos 2 t − 2 sent cos t + sen 2t = e
t
2
4
2et dt = 2 et ⎤⎦ = 2 ( e4 − e ) 1
LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
Sea C la curva cuya ecuación vectorial es R ( t ) = f (t ) iˆ + g (t ) ˆj + h (t )kˆ , y suponga que f ′,g ′ y h′ son continuas en el intervalo cerrado [ a, b] . Entonces si L es la longitud de arco de C desde el punto ( f ( a ) , g ( a ) , h ( a ) ) hasta el punto ( f ( b ) , g ( b ) , h ( b ) ) esta viene b
expresada por L = ∫ R′ (t ) dt a
EJEMPLO. Calcule la longitud de arco de la hélice circular R (t ) = 2cos tiˆ + 2 sentjˆ + tkˆ desde t = 0 hasta t = 4π . R′ ( t ) = −2 sentiˆ + 2cos tjˆ + kˆ L=
∫
4π
0
4π
2 2 ( −2 sent ) + ( 2cos t ) + 1dt = ∫0
4 sen2t + 4cos2 t + 1dt = ∫
4π
0
5dt = 4π 5 = 28.10
Ejercicios Propuestos La posición de una partícula, que se mueve en el plano xy , a las t unidades de tiempo
está determinada por la ecuación vectorial. a) Obtenga V ( t ) , A ( t ) , V ( t ) y A ( t ) . b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = t 1 .
1) R ( t ) = ( t 2 + 4) iˆ + ( t − 2 ) ˆj; t 1 = 3
2) R ( t ) = (1 + t ) iˆ + ( t 2 − 1) ˆj; t 1 = 1
1 3) R ( t ) = 5cos 2tiˆ + 3 sen 2tjˆ; t 1 = π 4
4) R ( t ) =
2ˆ 1 ˆ i − tj; t 1 = 4 4 t 113
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[Escriba texto]
5) R ( t ) = etiˆ + e 2 t ˆj; t 1 = ln 2
7) R ( t ) = tiˆ + ln sec tjˆ; t 1 =
1
6) R ( t ) = e2t ˆj + e3t ˆj; t 1 = 0 5 8) R ( t ) = 2 (1 − cos t ) iˆ + 2 (1 − sent ) ˆj; t 1 = π 6 1 10) R ( t ) = ln ( t + 2) iˆ + t 2 ˆj; t 1 = 1 3
π
4
1 9) R ( t ) = ( t 2 + 3t ) iˆ + (1 − 3t 2 ) ˆj; t 1 = 2
La posición de una partícula, que se mueve en el plano xy , a las t unidades de tiempo
está determinada por R ( t ) . a) Obtenga V ( t ) , A ( t ) . b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = t 1 .
11) R ( t ) = cos tiˆ + sentjˆ + tkˆ; t 1 = π
12) R ( t ) = sen (2t )iˆ + cos(3t ) jˆ + cos(4t )kˆ ; t 1 =
π
2
π
13) R ( t ) = tan(t )iˆ + 3e t jˆ + cos(4t )kˆ ; t 1 =
4
La posición de una partícula, que se mueve en el espacio tridimensional, a las t unidades de tiempo está determinada por la ecuación vectorial dada. Obtenga los vectores velocidad y aceleración así como la rapidez de la partícula en t = t 1 . 1 14) R ( t ) = 2 cos tiˆ + 2 sentjˆ + tkˆ; t 1 = π 2
1
1
2
3
15) R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj + t 3 kˆ; t 1 = 2
16) R ( t ) = tiˆ + ( t 2 − 2t ) ˆj + 2 ( t − 1) kˆ; t 1 = 2
17) R ( t ) = 3cos tiˆ + 4 sentjˆ + 2tkˆ; t 1 =
1
π
2
18) R ( t ) = et cos tiˆ + et sentjˆ + et kˆ; t 1 = 0
19) R ( t ) =
1
(t 2
2
−
1 + 1) iˆ + ln (1 + t 2 ) ˆj + tan −1 tkˆ; t 1 = 1
Una partícula se mueve en el plano xy de modo que se satisfacen la ecuación dada y las condiciones iniciales. Obtenga una ecuación vectorial de la trayectoria de la partícula. 1
20)V ( t ) =
( t − 1)
iˆ − ( t + 1) ˆj ; y R ( 0 ) = 3iˆ + 2 ˆj 21) V ( t ) = ( 2t − 1) iˆ + 3t −2 ˆj; y R (1) = 4iˆ − 3 ˆj 2
2 22) A ( t ) = e −t iˆ + 2e t ˆj , V ( 0 ) = 2iˆ + ˆj; y R ( 0 ) = 3 ˆj 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 23) A ( t ) = 2 cos 2ti + 2 sen 2tj ,V ( 0 ) = i + j ; y R ( 0) = iˆ − ˆj 2 2 t 3 24) R ( t ) = ⎡ x 2iˆ + 5 ( x − 1) ˆj + ( sen π x ) kˆ ⎤ dx; t = 2
∫⎣
⎦
1
1
Determine la velocidad v , la aceleración a y la rapidez s en el instante t = t 1 . 25) r ( t ) = 4tiˆ + 5 ( t 2 − 1) ˆj + 2tkˆ;t1 = 1
2 3 26) r ( t ) = tiˆ + (t − 1) jˆ + ( t − 3) kˆ; t1 = 0
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[Escriba texto]
−1 ⎛1⎞ 27) r ( t ) = ⎜ ⎟ iˆ + ( t 2 − 1) ˆj + t 5kˆ; t1 = 2 ⎝ t ⎠
29) r ( t ) = iˆ +
(∫
t
0
2
)
x dx ˆj + t 3 kˆ; t1 = 2 2
6
28) r ( t ) = t 6iˆ + ( 6t 2 − 5 ) ˆj + tkˆ; t1 = 1
30) r ( t ) =
31) r ( t ) = t sen π tiˆ + t cos π tjˆ + e −t kˆ; t1 = 2
(∫
1
t
) (∫
e dx iˆ + x
π
t
sen πθ dθ
)
2
ˆj + t 3 kˆ; t = 2 1
32) r ( t ) = ln tiˆ + ln t 2 ˆj + ln t 3kˆ; t1 = 2
33) Demuestre que si la rapidez de una partícula móvil es constante, su vector aceleración siempre es perpendicular a su vector velocidad.
34) Pruebe que r ( t ) es constante si y sólo sí r ( t ) i r ′ ( t ) = 0 .
Una partícula se mueve en el espacio tridimensional de modo que la ecuación dada y las condiciones iniciales se satisfacen. Determine una ecuación de la trayectoria de la partícula.
35) V ( t ) = iˆ + ˆj − 32tkˆ; y R ( 0 ) = iˆ + 2 ˆj
2 36) V ( t ) = ( t + 2t ) iˆ + 2tjˆ + 3t kˆ; y R ( 0 ) = 2 ˆj + kˆ
2
37) A ( t ) = 6tiˆ + 12t 2 ˆj + kˆ, V ( 0 ) = 2iˆ + 3 ˆj; y R ( 0 ) = 4k ˆ
38) A ( t ) = −32kˆ,V ( 0 ) = 4iˆ + 4 ˆj; y R ( 0 ) = 60k ˆ 39) Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial
R ( t ) = tan tiˆ + senh 2tjˆ + sec h tk ˆ . Demuestre que los vectores y aceleración son
ortogonales en t = 0 .
40) Demuestre que para la cúbica alabeada V ( t ) = iˆ + 2tjˆ + 3t 2 kˆ , si t ≠ 0 , entonces
ningún par de los vectores R ( t ) ,V ( t ) y A ( t ) son ortogonales. Se dispara un proyectil desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de α radianes, y su velocidad de salida es v0 pie por segundo. Obtenga: a) el vector de velocidad inicial;
b) el vector de posición R ( t ) y ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil; c) el tiempo de recorrido del proyectil; d) el alcance del proyectil; e) la altura máxima que alcanza el proyectil; f) el vector velocidad y la rapidez en el momento de impacto; g) el vector de posición, el vector velocidad y la rapidez a los t 1 segundos; y h) una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. 41) α =
1 4
π ; v0
= 320; t 1 = 6
42) α =
1 3
π ; v0
= 160; t 1 = 4
43) Se dispara un proyectil desde un cañón situado en la parte superior de un edificio de 96 pie de altura. El cañón forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si la velocidad de
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[Escriba texto]
salida es de 1600
pie s
, calcule el tiempo de recorrido y la distancia desde la base del
edificio hasta el punto donde caerá el proyectil. 44) La velocidad de salida de un arma es de 160
pie s
. ¿Con qué ángulo de elevación
debe dispararse el arma a fin de que el proyectil impacte un objeto situado al mismo nivel del arma y a una distancia de 400 pie de ésta? 45) ¿Cuál es la velocidad de salida de un cañón si un proyectil disparado desde éste tiene un alcance 2000 pie y alcanza una altura máxima de 1000 pie? 46) Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un risco de 256 pie de altura con una velocidad inicial de 50
pie s
. Calcule el tiempo de recorrido de la pelota
y la distancia desde la base del risco hasta el punto donde caerá la pelota. 47) A medida que un barco se aleja de un muelle, una muchacha ubicada en la cubierta del barco, a 55 pie por arriba del muelle, lanzó una piedra envuelta en una nota a un amigo que está en el muelle. El barco se hallaba a 28 pie del muelle en el momento en que la joven lanzó la piedra desde su mano, a 5 pie por arriba de la cubierta, hacia el muelle con una velocidad inicial de 15
pie s
y en un ángulo de 45° con respecto a la
horizontal. ¿Llegará la piedra al muelle, de modo que si amigo reciba la nota, o caerá al agua y se hundirá? Justifique su respuesta.
48) Responda la pregunta del ejercicio anterior, suponiendo que la muchacha lanzó horizontalmente la piedra con una velocidad inicial de 15
pie s
.
49) Un niño apuesta a sus amigos que puede lanzar una pelota y pegarle a un anuncio que se encuentra a 25 pie de él. El anuncio tiene 10 pie de altura y su base está a 35 pie sobre el suelo. El niño lanza la pelota hacia el anuncio con una velocidad inicial de 60 pie s
y un ángulo de elevación de 60°. Si la mano del niño está a 5 pie del suelo,
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demuestre que el niño gana la apuesta y determine la dirección de la pelota en el momento del impacto. . 50) Una basquetbolista debe efectuar un tiro libre en la canasta cuyo aro está a 10 pie del piso del gimnasio. Si la jugadora se encuentra a una distancia horizontal de 11 pie del centro de la canasta, determine el ángulo en que debe lanzar la pelota con una velocidad inicial de 25
pie s
si sus manos se encuentran a 6 pie por arriba del piso en el
momento del tiro.
51) Un árbol de 45 pie de altura se encuentra entre un banderín y una pelota de golf, la cual esta a 225 pie del banderín. El árbol se encuentra a 100 pie de la pelota. Un golfista golpea la pelota en dirección del banderín con una rapidez de 80
pie s
y un ángulo de
45°. Demuestre que la pelota no golpea el árbol, y determine a qué distancia del banderín cae la pelota.
52) Determine el ángulo de elevación de un cañón de modo que al dispararse se obtenga el máximo alcance para una velocidad de salida dada. 53) Para probar la calidad de una pelota de Tenis, la tiras hacia el piso a una altura de 4.00m. Está rebota a una altura de 3.00m. Si la bola estuvo en contacto con el piso por 10.0ms, ¿cuál es la aceleración promedio durante el contacto? 54) Una regadera gotea en el baño hacia el piso a 200cm abajo. Las gotas caen en un intervalo regular de tiempo. La primera gota golpea en el piso en el instante en que la cuarta gota empieza a caer. Encuentra las localizaciones de la segunda y tercera gota cuando la primera golpea el piso.
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55) Un globo de aire caliente está ascendiendo a una velocidad de 12m/s ‐y está 80 m arriba del suelo, cuando un paquete es tirado por un lado. a) ¿Cuánto tiempo le tomará al paquete llegar al suelo? b)¿Con qué velocidad golpea el piso? 56) Un jet plano de alto desempeño que realiza ensayos para evitar el radar, está en vuelo horizontal a 35m sobre el nivel del terreno. Súbitamente el jet encuentra que el terreno sube cuesta arriba en 4.3° una cantidad difícil de detectar. ¿Cuánto tiempo tiene el piloto para hacer una corrección si ha de evitar que el jet toque el terreno? La rapidez del jet es de 361,11 m/s. 57) Si el montículo del lanzador está a 1.25 ft sobre el campo de béisbol, ¿puede un lanzador lanzar una bola rápida horizontalmente a 92.0 mi/h y aun así entrar en la zona de "strike" sobre la base que está a 60.5 ft de distancia? Suponga que, para obtener un strike, la bola debe entrar a una altura de 1.30 ft pero no mayor de 3.60ft 58) Un jugador de tercera base quiere lanzar a la primera base, que dista 127 ft. Su mejor velocidad de tiro es de 85mi/h, (a) si la bola deja su mano a 3ft sobre el suelo en una dirección horizontal, ¿Qué sucederá? (b) ¿con qué ángulo de elevación deberá el jugador de tercera base la atrape? Suponga que el guante del jugador en primera base está también a 3ft sobre el terreno. (c) ¿cuál será el tiempo recorrido? 59) Cierto aeroplano tiene una velocidad de 180mi/h, y baja en picada con un ángulo de 27º debajo de la horizontal cuando emite una señal de radar. La distancia horizontal entre el punto de emisión de la señal y el punto en que la señal golpea el suelo es de 2300ft (a) ¿cuánto tiempo estará la señal de aire? (b) ¿A que altura estaba el aeroplano cuando se emitió la señal del radar? 60) Una pelota de fútbol es pateada con una velocidad inicial de 64 ft/s y un ángulo de proyección de 42º sobre la horizontal. Un receptor en la línea de gol situada a 65 yardas en la dirección de la patada comienza a correr para atrapar a la pelota en ese instante. ¿Cuál debe ser su velocidad promedio si tiene que atrapar la pelota en el momento antes de que llegue al suelo? Desprecie la resistencia de aire. 61) El pateador de un equipo de Fútbol americano puede dar a la pelota una velocidad de 25,/s ¿dentro de qué zona angular deberá ser pateada la pelota si el pateador debe apenas anotar un gol de campo desde un punto situado a 50m enfrente de los postes de gol cuya barra horizontal está a 3.44m sobre el terreno? 62) Un punto se mueve en la circunferencia x 2 + y 2 = 25 a una velocidad angular constante de 6 radianes por segundo, iniciando en ( 5,0 ) . Determine expresiones para
r ( t ) , v ( t ) , v ( t ) y a ( t )
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63) Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una hélice, dada por r ( t ) = sen tiˆ + cos tjˆ + ( t 2 − 3t + 2 ) kˆ , en donde la componente k mide la altura, en metros, por arriba del suelo y t ≥ 0 . a) ¿En algún momento la partícula se mueve hacia abajo? b) ¿En algún momento la partícula se detiene? c) ¿En qué instantes llega a una posición de 12 metros por arriba del suelo? d) Cuando la partícula se encuentra 12 metros por arriba del suelo, ¿cuál es su velocidad? 64) En muchos lugares del sistema solar, una luna orbita un planeta, el cual da vueltas alrededor del Sol. En algunos casos las órbitas son casi circulares. Supondremos que estas órbitas son circulares con el Sol en el centro de la órbita del planeta y el planeta en el centro de la órbita de la luna. Además, supondremos que todo el movimiento está en un sencillo plano xy . Suponga que el tiempo en que el planeta da una vuelta alrededor del Sol, la luna da diez vueltas alrededor del planeta. a) Si el radio de la órbita de la luna es Rm y el radio de la órbita del planeta alrededor del Sol es R p , demuestre que el movimiento de la luna con respecto al Sol, en el origen, podría ser dado mediante x = R p cos t + Rm cos10t y = R p sen t + Rm sen 10t b) Para R p = 1 y Rm = 0.1 , trace la trayectoria que describe la luna cuando el planeta da una vuelta alrededor del Sol. c) Determine un conjunto de valores para R p , Rm y t , de modo que en el instante t la luna permanezca inmóvil con respecto al Sol. 65) Suponiendo que las órbitas de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra están en el mismo plano y son circulares, podemos representar el movimiento de la Luna mediante r ( t ) = ⎡⎣93cos ( 2π t ) + 0.24cos ( 26π t ) ⎤⎦ iˆ + ⎡⎣ 93sen ( 2π t ) + 0.24sen ( 26π t ) ⎤⎦ jˆ
Donde r ( t ) se mide en millones de millas. a) ¿Cuáles son las unidades adecuadas para t ? b) Grafique la trayectoria de la Luna cuando la Tierra da una vuelta alrededor del Sol. c) ¿Cuál es el período de cada uno de los dos movimientos? d) ¿Cuál es la distancia máxima a la que se encuentra la Luna del Sol? e) ¿Cuál es la distancia mínima a la que se encuentra la Luna del Sol? f) ¿En algún momento la Luna está estacionaria con respecto al Sol? g) ¿Cuáles son la velocidad, la rapidez y la aceleración de la Luna cuándo t =
1 2
?
66) En términos generales, describa los siguientes movimientos “helicoidales”: a) r ( t ) = sentiˆ + cos tjˆ + tkˆ b) r ( t ) = sen t 3iˆ + cos t 3 ˆj + t 3kˆ c) r ( t ) = sen (t 3 + π ) iˆ + t 3 ˆj + cos (t 3 + π ) kˆ d) r ( t ) = t sen tiˆ + t cos tjˆ + tkˆ
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67) En este ejercicio deducirá la Primera Ley de Kepler, la cual dice que la trayectoria de los planetas es elíptica. Iniciamos con la notación. Coloque el sistema de coordenadas de modo que el Sol esté en el origen y la aproximación más cercana (perihelio) del planeta al Sol está en la parte positiva del eje x y ocurre en el instante t = 0 . Sea r ( t ) el vector
de posición y denótese con r ( t ) = r ( t ) la distancia al Sol en el instante t . Además, sea
( t ) el ángulo que el vector r ( t ) hace con el eje x positivo en el instante t . Así, ( r ( t ) ,θ ( t ) ) es la representación en coordenadas polares de la posición del planeta.
θ
Sean u1 =
r
r
= ( cosθ ) iˆ + ( sen θ ) ˆj y u2 = ( − sen θ ) iˆ + ( cosθ ) ˆj . Los vectores u1 y u2 son
vectores unitarios ortogonales que apuntan en las direcciones en que aumentan r y θ , respectivamente. La figura dada, resume esta notación. Con frecuencia omitiremos el argumento t , pero tenga presente que r ,θ , u1 y u2 son funciones de t . Un apóstrofo indica derivación con respecto al tiempo t . a) Demuestre que u1′ = θ ′u2 y u2′ = −θ ′u1 b) Demuestre que los vectores velocidad y aceleración satisfacen
(
v = r ′u1 + rθ ′u2 ⇒ a = r ′′ − r (θ ′ )
2
) u + ( 2r ′θ ′ + rθ ′′) u 1
2
c) Utilice el hecho de que la única fuerza que actúa sobre el planeta es la gravedad del Sol, para expresar a como un múltiplo de u1 , luego explique cómo podemos concluir que −GM 2 r ′′ − r (θ ′ ) = 2 r
2r ′θ ′ + r θ ′′ = 0 d) Considere r × r ′ , un vector constante, digamos D . Utilice el resultado de la parte b) para mostrar que D = r 2θ ′k .
e) Sustituya t = 0 para obtener D = r0v 0 k , donde r0 = r ( 0 ) y v0 = v ( 0 ) . Luego argumente que r 2θ ′ = r0v 0 para toda t . f) Haga la sustitución q = r ′ y utilice el resultado de la parte e) para obtener la ecuación diferencial (no lineal) de primer orden en q : q g) Integre con respecto a p −
p02GM v02
dq dr
2 2
=
r0 v0 r
3
−
GM 2
r
ambos lados de la ecuación anterior y utilice una
⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ r 02 ⎞ condición inicial para obtener q = 2GM ⎜ − ⎟ + v0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r r0 ⎠ 2
h) Sustituya p =
1 r
en la ecuación anterior para obtener
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2
2 r0 v0 ⎛ dp ⎞ p ⎞ 2⎛ ⎟ = 2GM ( p − p0 ) + v0 ⎜1− p 2 ⎟ 2 ⎜ (θ ′) ⎝ dt ⎠ 0 ⎠ ⎝ 2 2
2
2
2
2 2 p0 GM ⎞ ⎛ p0 GM ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ i) Muestre que ⎜ ⎟ = ⎜ p0 − v 2 ⎟ − ⎜ p − v 2 ⎟ θ d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 j) Con base en la parte i) de inmediato podemos concluir que 2
2
2 2 ⎛ p0 GM ⎞ ⎛ p0 GM ⎞ = ± ⎜ p0 − ⎟ −⎜ p− ⎟ 2 2 dθ v v0 ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎝ Explique por qué, en este caso, el signo menos es el correcto. 2 ⎛ p0 GM ⎞ ⎜ p − ⎟ v02 −1 ⎜ ⎟ = θ k) Separe las variables e integre para obtener cos 2 ⎜ p0 GM ⎟ ⎜ p0 − v 2 ⎟ ⎝ ⎠ 0 l) Por último, obtenga r como una función de θ : r0 (1 + e ) r0v02 − 1 es la excentricidad. En donde e = r = 1 + e cos θ GM
dp
Calcule la longitud exacta del arco desde t 1 hasta vectorial dada. 68) R (t ) = (t + 1)iˆ − t 2 jˆ + (1 − 2t )kˆ ; t1 = − 1;t 2 = 2
t 2
de la curva que tiene la ecuación
3
69) R(t ) = sen 2tiˆ + cos 2tjˆ + 2t 2 kˆ; t1 = 0; t 2 = 1
3
2 70) R(t ) = 4t iˆ − 3sen tjˆ + 3cos kˆ; t1 = 0; t 2 = 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 71) R ( t ) = t 2iˆ + ⎜ t + t 3 ⎟ ˆj + ⎜ t − t 3 ⎟ kˆ, t1 = 0; t 2 = 1 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
Obtenga un valor aproximado, con cuatros dígitos significativos, de la longitud de arco de t 1 a t 2 de la curva que tiene la ecuación vectorial indicada.
72) R (t ) = tiˆ + t 2 jˆ + t 3kˆ; t1 = 0; t 2 = 2
73) R (t ) = e tiˆ + e t ˆj + ln tkˆ; t1 = 1; t 2 = 2
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1
74) R (t ) = cos tiˆ + sen tjˆ + t 3kˆ ; t1 = −1; t 2 = 1 75) R(t ) = sen 2tiˆ + cos 2tjˆ + t 2 kˆ; t1 = 0; t 2 = 4 76) R (t ) = (t + 1)iˆ − t 2 jˆ + (1 − 2t )kˆ ;t = − 1;t = 2 1
2
Determine la longitud de la curva con la ecuación vectorial dada.
77) R ( t ) = tiˆ + sentjˆ + cos tkˆ;0 ≤ t ≤ 2
78) R ( t ) = t cos tiˆ + t sen tjˆ + 2tkˆ;0 ≤ t ≤ 2
Determine la longitud de arco de la curva dada. 80) x =
79) x = t , y = t , z = 2t ; 0 ≤ t ≤ 2 3 2
t
4
,y =
3 2
81) x = t , y = 3t , z = 4t;1 ≤ t ≤ 4
t
3
t
,z =
2
;1 ≤ t ≤ 3
3 2
82) x = t , y = t , z = t; 2 ≤ t ≤ 4
3
⎛4⎞ 83) x = t , y = ⎜ ⎟ t 2 , z = t;0 ≤ t ≤ 8 ⎝3⎠
84) x = t , y =
85) x = 2 cos t , y = 2 sen t , z = 3t ; −π ≤ t ≤ π
86) x = 2 cos t , y = 2sen t , z =
2
2
4 3 3
3 2
t , z = 3t ;1 ≤ t ≤ 4 t
20
;0 ≤ t ≤ 8π
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