INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA) 1.-INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b ] tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo. El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la llamaremos integral b
definida de f(x) entre a y b y se designa por
.
f ( x) dx dx a
b
Hay que hacer notar que el resultado de
f ( x ) dx dx no
depende de la variable x ya que se
a b
trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área. Así
f ( x) dx dx a
b
=
f ( t ) dt dt
.
a
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA a
1.
f ( x ) dx dx =
0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe un
a
recinto del que podamos calcular un área. b
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b ], entonces
f ( x ) dx dx >
0y
a b
si f(x) < 0 y continua en [a,b ], entonces
f ( x) dx dx <
0.
a
entonc nces es : 3. Si a < b < c y f es continua en [a,c ], ento b
c
f ( x ) dx dx + a
f ( x) dx dx = b
c
f ( x ) dx dx a
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el siguiente ejemplo si calculamos 9
directamente
f ( x ) dx dx obtendremos
5-3+1 = 3 u 2 lo cuál
2
es falso ya que el área correspondiente a la parte negativa también se debe sumar y no restar. Para evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de los intervalos de forma que la función sea siempre positiva o siempre negativa y
5
cambiar de signo a la que le corresponde la parte negativa: Área =
f ( x) dx 2
8
9
f ( x) dx =
f ( x ) dx 5
8
b
4.
5+3+1=9 u 2.
b
f ( x ) dx + a
b
g(x )d x
=
a
b
5. K·
( f ( x)
g( x))dx
a
b
f ( x ) dx = a
Para K un número real cualquiera.
K • f ( x)dx a
b
6. Si para cada x ∈ [a,b] se cumple que f(x) ≤ g(x), entonces
b
f ( x ) dx ≤ a
7. Si f es una función continua en [a,b], entonces existe c
∈ [a,b] tal
g(x )d x
.
a
que:
b
f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
f ( x ) dx = a
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA x
Función área: Dada una función f continua en [a,b] podemos calcular
f ( t ) dt
para
a
cualquier x
∈
[a,b] (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por tanto podemos x
considerar la función F(x) =
f ( t ) dt
, que asigna a cada x
∈ [a,b]
el valor del área bajo
a
f(x) entre a y el punto x.
Teorema fundamental del cálculo integral : Si f es una función continua en [a,b ], x
entonces F(x) =
f ( t ) dt
con x
∈
[a,b], es derivable y además F´(x) = f(x).
a
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b ] y G(x) es una primitiva suya, b
entonces :
f ( x ) dx =
G(b) -G(a)
a
EJEMPLO 3
(x2
Queremos calcular
x )dx
:
1
1. Calculamos una primitiva de f(x) :
(x
2
x) dx
=
x
3
x
3
2
2
= G(x)
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2 3
3. Calculo:
(x2 1
x) dx
=
x
3
3
x
2
2
x
3
x
1
= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u 2
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE DOS PUNTOS: EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x 3-9x , los puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
3
Para ello calcularemos:
(x3
9 x) dx
Si aplicamos directamente la regla de Barrow
2
obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) . Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos: 1. Resolvemos la ecuación x 3-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El resultado son los puntos -3, 0 y 3. 2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que pertenezcan al intervalo [-2,3] : en nuestro caso 0 y 3. 0
3. Descomponemos Área = |
3
(x
3
9 x) dx
| +|
2
(x
3
9 x)dx
|
0
4. Calculamos una primitiva de x3- 9x : G(x) = x 4/4-9x2/2. 0
5. Calculamos cada una de las integrales definidas
(x3
9 x) dx
= 0 -(4- 18) =14 u 2 y
2 3
(x3
9 x) dx
= 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área buscada es
0
14 + 81/4 = 137/4 u 2 B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de g entre los puntos de corte de f y g.
En el dibujo tenemos f(x) = -x 2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x 2 +5x -4 y calculamos el área comprendida entre 1, 4 bajo f-g: Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la integral definida . Calculamos 4
x2 1
5x
5
)dx
x3 3
5x
2
2
5x
4
64
1
3
40
20
(
1 3
5 2
5)
3 2
u2
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b ], se hace girar alrededor del eje X y se engendra un cuerpo de revolución:
b
El volumen del cuerpo será igual a
f a
2
( x)dx
