Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”
Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Matemática Matemática II (ING)
Ciclo 01/2017
Ing. José María Velásquez
(Sec. 01 y 02)
Lic. José Enrique Argüello
(Sec.03)
Aplicaciones de la la Integral Definida Definida
A. Volumen por secciones transversales
1. Determine el volumen del sólido que se encuentra entre los planos perpendiculares al eje x en x=0 y x=4. Las secciones transversales perpendiculares al eje x en el intervalo 0≤x≤4 son cuadrados cuyas diagonales van desde la parábola y
y
x hasta la parábola
x
2. La base de un sólido es la región entre la curva y
2 sin x
y el intervalo [0, π] en el
eje x. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros con bases que van desde el eje x a l a curva como se muestra en la figura.
3. La base de un sólido es la región acotada por las gráficas de y
3x , y 6 y el eje y. Las
secciones transversales perpendiculares al eje x son rectángulos de perímetro 20 u. 4. De un cilindro circular de radio 4, definido mediante dos planos, se corta una cuña. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro corta el perímetro en un ángulo de 30° a lo largo del diámetro del cilindro. Determine el volumen de la cuña. R/
128 3√ 3
5. Para la figura mostrada, encuentre el volumen del sólido formado si el radio de la base es igual a 4.
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B. Sólidos de revolución
Para los siguientes ejercicios determine el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar la región limitada por: 1.
y 9 x 2 , y 0 alrededor del eje x
2.
y
3.
y 4 x 2 , y 1
1 x
, x 1, y
1 2
alrededor del eje y
1 4
x2 alrededor del eje x
1
4.
y x 3 , x 0, y 1 alrededor de y=2
5. x y , y x 6 alrededor del eje y 2
6.
y cos x , y 0, 0 x 2 alrededor del eje x
C. Longitud de curva
Determine la longitud de curva para los siguientes casos: 1. x
2.
y
y 3 3 3 4
1 4 y
4
x 3
3 8
, 1 y 3 2
x 3 5, 1 x 8
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y
3. x
sec4 t 1dt,
0
4
x
4
4. x sin y , 0 y 5.
y 2 2 y 2x 1, de (1, 1) a 7, 3
6. Determine una curva que pase por el punto (1 ,1) cuya integral de longitud sea 4
1
1
1 4 x
dx x
7. Determine la longitud de la curva y
cos 2t dt, 0 x
0
D. Trabajo por una fuerza variable y resortes
1. Se requirieron 1800 J de trabajo para estirar un resorte de su longitud natural de 2 m a una longitud de 5 m. Determine la constante del resorte. 2. Una masa que pesa 10 lb está suspendida de un resorte de 2 pies. El resorte es estirado 8 pulgadas y luego se retira a masa. Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitud de 4 pies hasta una longitud de 5 pies.
3. Encuentre el trabajo realizado por subir una masa de 10,000 kg desde la superficie terrestre hasta una altura de 500 km.
4. Un elevador eléctrico con un motor en la parte superior tiene un cable con varios cabos que pesan 4.5 lb/ft. Cuando el carro del elevador está en el primer piso, el cable se extiende 180 ft; cuando el carro está en el piso superior, el cable se extiende 0 ft. ¿Cuánto trabajo realiza el motor para elevar sólo al cable cuando sube el carro del primero al último piso?
5. Un operario levanta por medio de una grúa un contenedor lleno de agua con un 3
volumen de 12 m desde el suelo hasta una altura de 10 metros, para poder mezclar cemento en el último piso de la construcción, sin darse cuenta el contenedor se rompe 3
de la base dejando salir el agua a una razón de 4 m / s , si la velocidad a la cual el depósito es levantado es de 3 m / s y el tanque cuando se encuentra vacío tiene un peso de 10 Newton: a. ¿Llegara algo de agua al último piso? b. Si no es así ¿a qué altura el tanque se vaciara por completo? c. ¿Qué trabajo realiza la grúa al levantar el tanque desde el suelo hasta el punto en que se vacía por completo?. La densidad del agua es de 9810 N / m . 3
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6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a la acción de una fuerza f ( x ) (2 x 1)
2
libras, encontrar el trabajo realizado por la fuerza si esta mueve la partícula desde x=1pie hasta x=3 pies
E. Trabajo de bombeo
1. Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies de profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Determine el trabajo necesario para bombear el agua hasta un nivel de 1pie por arriba de la superficie del tanque. 2. Un tanque hemisférico de radio 6 pies se llena con agua hasta una altura de 4 pies. Calcule el trabajo realizado para bombear el agua hasta la parte s uperior del tanque. 3. Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene un diámetro de 8m en su parte superior y una profundidad de 10 m. Si el tanque se llena a una altura de 9m con agua calcule el trabajo efectuado para bombear el agua hasta la parte superior del tanque.
4. Se quiere diseñar un tanque a través de girar la curva y
2 x alrededor del eje y con
una altura de 10 pies. Este tanque se llenará con aceite de oliva, cuya densidad es de 3
57 lb ft . Si se desea llenar este tanque a una altura de 2 pies, ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear el aceite hasta el borde del tanque?
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Respuestas guía #5
Parte A.
1)
16u3
2)
2 3u 3
3) 4) 5)
Parte D
3
36u 128 3 u 3 3 16.75u 3
1) 2) 3) 4) 5)
Parte B
1)
1296
u3
5 2)
2
u3
3)
32 u3
4)
3
5)
5 500
2
N
m W 37.5 J
W 453.1x108 J W 72900 lb ft a) El tanque se vaciara antes de llegar b) y 9m c) W=529830J 158
W
3
lb pie
Parte E
u3
3 6)
6)
k 400
2)
W 409500 lb-pie W=50185 lb-pie
3) 4)
W 3894291.864 Joules W 30.56 lb ft
1)
u3
u3
Parte C
1)
53
2)
6 99 8
3) 4) 5) 6) 7)
u u
2u 3.82u 9.29u y
x
1u
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