Cálculo Integral Prof: Celestina Peña Quiñones UNI - FIIS RESUMEN DE PRIMERAS PRÁCTICAS PR ÁCTICAS CALIFICADAS
1. Se estima que dentro de x años el valor de un un acre de terreno cultivable aumentará a
0.4 x 3
una razón de
0.2 x
4
+ 8000
dólares dólares por año. año. Si un acre vale vale en la actualidad actualidad $
500 ¿Cuánto costará dentro de 10 años?. 2. Hallar Hallar si existe existe las siguientes siguientes antiderivad antiderivadas: as:
a)
∫
sen
c)
∫
e)
∫ x +
−1
1 − x 2
dx +
1 − x 2
cos 2 x dx +
∫
∫ x
dx
b)
(1 + x)
2 − x
∫ + x
+
∫ x x
dx 6
−9
x dx
x dx
( x 2
∫
x dx
d)
− x) 3 / 2
2 x dx
2
) 1− x4
arc sen 2 ( x − 1) dx
∫
f)
2
x + 2
(1
2 x − x 2
Resolver las siguientes integrales no definidas:
3.
a)
c)
e)
h)
x 6
∫
+ x 4 + x 2 + x + 1 dx 4 1 + x
b)
senx dx
∫ cos x g ( x) =
x 2 (1 + x 2 ) 2
∫ (4 x d)
cos 2 x
x 2 3
− 2 x + 8 , f ( x ) = x x − 4
4. Dada Dadas s las las func funcio ione nes s
f ( x ) ≤ g ( x) , ∀ x ∈ ℜ +
i) f ( x) =
2 x 2
dx
− 4 x 2 + 9 x − 9) 9 1 4 x 4 + x 4 + x 2 dx 2
∫
+ (2 x 2 − 1) cos 3 x , f) f ( x) =
x 2
− 2 x + 1
3 1 − 4 x
+ arc cos ec 2
x + 1 x
− 4 x + 4
3 + 2 x − x 2
( 1 + x 2 )arc tgx − x , f ( x) = 1 + x
2
g ( x ) =
x 3 1 + x
2
, prob robar que
5. Hallar Hallar si existe existe la antiderivad antiderivada a de las siguie siguientes ntes funcion funciones es 7/6
a)
∫
x 3 + 3 x
∫
c)
e)
∫
x + x + 4 + x + 3
( x 8 − x)1 / 8
x
h) I
∫
b)
dx
dx
9
, f) I =
x 4 dx 3
x 7
− x 3 (1 − x 2 ) dx
∫ (1 + x ) 1 + x
d)
2 x + 7 + 2 ( x + 4)( x + 3)
2
4
senx
∫ 1 + cos x dx
x. cos 6 x + 6 x cos 4 x + 15 x cos 2 x + 10 x
∫ = ∫
I =
g)
2 x 3 − 3 x 2 dx
dx ,
cos 5 x + 5 cos 3 x + 10 cos x
∫
2
x .arctg (2 x − 3)dx , i) I =
1 1 dx − 2 3/ 2 (9 + x 2 ) 2 (2 − ( x − 2) )
6. Hallar Hallar si existe existe las siguientes siguientes antiderivad antiderivadas: as:
∫ x
a)
x
+1
( x + 4 )
dx
b)
5
2 c) ( x + 2 x + 1)arctg ( x + 1 )dx ∫
e) f)
(
∫ dx ∫ 4 x − 4x sen 3 x 2
∫ x
d)
x + 1 3
x 2
−1
xsenx + cos x − 1
∫
( senx − x )
2
dx
4 4 3 + 1) cos ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) xdx − dx
g)
2
∫ x
5 x 2
+ 4 x − 1
7. Bosquejar Bosquejar el el gráfico gráfico de de las siguientes siguientes funcio funciones: nes: a)
f ( x ) = arc cos
2 x 4 − 4 x 2 + 4 x 2
,
existe f*?, en caso no afirmativo, restringir
el dominio para que existe f*.
b)
x 2 + 2 x − 2 , Inversa de f ( x ) = x + 3 x − 2 − 1 ,
si
− 3 ≤ x < −2
si
− 1 < x < 2
x + 4 2 / 3 x + 1 1/ 3 , x < 1 arc tg [( x + 1) 2 / 3 ( x − 2)1/ 3 ] , − 1 ≤ x ≤ 2 f ( x ) = π − arc ctg [( x − 2) 2 / 3 ( x − 4)1 / 3 ] , 2 ≤ x ≤ 4 2 x − 4 arc sen x > 4 x 4 +
c)
,
4 x − x 2 , d) Para f ( x ) = x 2 , −2 x
si x < 2 si 2 < x < 4
Analizar si existe f*, en caso afirmativo calcular (Df*)(3) + (D2 f*)(9) 8. Hallar Hallar si existe existe las siguientes siguientes integrales integrales no no definidas definidas :
5
a)
π
2
− arc sen(
∫ cos x
e)
h)
∫
x1 / 2 arc tg ( 2 x1 / 2 (1 − x
∫ ∫
x 2 − x
∫
2
1 − sen t
x − 2 + x − 1
9. Dada la función a. Analizar si f
fin de que
f
− 21
2 − x − x
2
x(1 − x 2 )dx
∫ (1 + x ) 1 − x
)dx d)
1 − x
∫
i)
dx
x + x − 1 + x − 2
∫
f)
2 x − x( x − 1) − 2
1 + sen 2 t cos 3 t
k)
n)
2
dx
b)
dx
tgx − tg x
2
c)
tgx )
2
∫ x
x 4 − 1 2
x
dx
∫
l)
dx ,
o)
∫ ∫
2
j)
− 2 xsen 1 xdx ,
dx
− x + 1
4
g)
x 2 sen −1 xdx
dt ,
4
∫ x
2 2
+ x + 1
∫ x x
m)
dx
3dx
∫ x
3
−1
2dx 3
1 + x 4
dx 2 cos 2 x + 2 senx cos x + sen 2 x
= tan x + sec 2 x , x ∈ [ 0, π [ tiene inversa sobre [ 0, π [ , de ser ser necesario necesario restringir el dominio dominio a f ( x )
tenga inversa.
Domf * , ( f *) ′ ( 3) .
b. Hallar:
f ( x )
10. Dada la función
= x 3 + x 2 + 12 x .
Expresando la integral definida como como límite
de una suma, hallar el el área de la región acotada por
13 − x . 2 x − x − 12
11. Sea f ( x ) = arc cos
′
2
y el eje
+ ( f * ) ″( 0 ) − ( f * )′′′( − π ) 2
4 f( x) 2 arc tg 1 x
, si
= f ( x )
2
x
13.Hallar si existe la antiderivada de las siguientes funciones x
a) f ( x )
c)
( x 2 7)(9 x 2 ) 2
x 2 x8
( f) x
x x 4 2 x 2
e) f ( x ) =
14. Si
1 x
x 2
cos
b) f ( x)
,
x 1
e1c
x
, d) f ( x ) =
x 3 1 4 x
2
1
x x 4
x 2 − 2 x + 8 x x − 4
− 4 x + 4
3 + 2 x − x 2
f ( x ) = x x 3 + 1 hallar
∫
f " ( x )dx
15. Hallar un valor aproximado de las siguientes integrales definidas a) f ( x )
=
1 x
2
+ 2 x
, x ∈ [1,4] ,
x3 , x ≤ 1 , c) f ( x ) = 1 , 1 > x x
b) f ( x ) = x 2 + 4 x , x ∈ [ 0,4]
7 x ∈ − 3, 2
16. Expresar como como una integral definida las siguientes siguientes sumas 2n + 4i
n
a) lím
∑
x →∞ i =1 2n 2 n
c)
lím
P →0
n
+ 4in + 4i 2
( xi − xi −1 )
∑ 1 + x 2i + x 2i ,
b) lím
,
x→∞
[
]
x ∈ 1, 3 ,
i =1
X .
Bosquejar su su gráfico indicando indicando Dominio Dominio y rango. rango.
¿Existe f*(x)?. en caso afirmativo hallar ( f * ) ( 0 )
12. Demostrar que 0 f ( x )
y
d)
n( i − 3n)
∑ ( i + n) 3 i =1 n
lím
P →0
,
∑ senxi − senxi−1, i =1
17. hallar el área acotada por las siguientes curvas
a)
f ( x ) = x 2 + 4 x, x ∈ [ 0,4] , b) f ( x ) = x 2 + 4 x , x ∈ [ 0,4]
c)
f ( x ) = x 2 + 4 x, g ( x) = x 2 − 4 x
x ∈ [ 0, π ]
