Aplicaciones de La Integral Definida

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁTEDRA

:

CALCULO INTEGRAL

CATEDRÁTICA :

ING. RICCIO YAURI, Luis F.

INTEGRANTES

:

TORRES QUISPE, Rocío

SEMESTRE

:

II “B”

HUANCAYO – PERÚ 2011

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

DEDICATORIA

El presente trabajo lo dedico a mis verdaderos amigos quienes me acompañan en las buenas y en las malas…

2


DEDICATORIA

El presente trabajo lo dedico a mis verdaderos amigos quienes me acompañan en las buenas y en las malas…

2


ÍNDICE Caratula

1

Dedicatoria

2

Índice

3

Introducción

4

Objetivo

5

Aplicación de la Integral Definida

6

A. Área de regiones planas

6

B. Volumen de un sólido de revolución

27

Bibliografía

47

3


INTRODUCCIÓN El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula. Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo

  

, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular

el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa

 

.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es

.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos. En el presente trabajo se tratará acerca de las aplicaciones de la integral definida (áreas y volúmenes) con el desarrollo de ejercicios propuestos en diferentes libros de Cálculo

4


OBJETIVO 

Aplicar la integral definida correctamente en los diferentes problemas propuestos en diferentes libros,



Tener un mejor dominio de la resolución de integrales definidas.



Encontrar y graficar el área y el volumen de diferentes ecuaciones haciendo uso de las integrales definidas.



Tener mayor bibliografía acerca de Calculo Integral.

5


INTEGRAL DEFINIDA La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.


A. ÁREA DE REGIONES PLANAS:

  ∫ 



En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la región y hallar su área, limitada por las gráficas. 1.

    



esta

y el eje :

    ∑  

                     6


      ∑[   ]        ∑[   ]        ∑           ∑           ∑                ∑              ∑ ∑ ∑ ∑                  ∑    ∑    ∑                   

                                  [           ]   [          ]    [        ]         7


8


2.

                          

    ∑         ∑                  ∑            ∑                      ∑                       ∑ ∑ ∑ ∑                ∑   ∑    ∑                                                                     9


                     

10


3.

     

y el eje :

                     

    ∑            ∑                      ∑                     ∑            ∑     ∑ ∑         ∑   ∑    ∑                                                               11


                                          

12


4.

           

  ∫   ∫  

                                 

13


14


5.

    Despejamos :

              

Hallamos los puntos críticos:

     

Entonces se tiene que:

  ∫    ∫ (  )

   ∫      ∫        ∫[  ] ∫[  ]      ∫  ∫         | |  ||||     

15


6.

          ∫ 

16


⁄   ∫⁄  

 |⁄⁄  (⁄)( ⁄)  (⁄)( ⁄)       

17


7.

 

Hallando los puntos de intersección:

  ∫     ∫ (√  )    ∫ √  ∫       ⁄  ∫           ⁄          ⁄     

√  ⁄    (⁄) ⁄    

18


19


8.

 


                                       ∫     ∫       ∫ ∫      ∫ ∫          ∫          ∫    ∫     ∫          20


 ∫   ∫    ∫ ∫    ∫        |  ()      

21


22


9.

 


                   

Hallando el área:

  ∫    ∫      ∫    ∫  ∫                                    

23


24


10.

     


                                                       ∫        ∫           ∫            ∫  ∫        ∫    ∫                      Hallando el área:

25


           

26


B. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIÓN:

  ∫    ∫  En los siguientes ejercicios, calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región

1.



alrededor de la recta L donde:

      √   

              √     ∫       ∫* (√ )  +    ∫                 27


       

28


2.

       

Despejamos :

                      √    √                 ∫   √   ∫      ∫         ∫          


29


               [  ]   []         

30


3.

          

         ∫    ∫       ∫                              

Despejamos :

31


32


4.

     


                 ∫       ∫        ∫                                

33


34


5.

              ∫   

∫    ∫       ∫                           ] [  ] [             

35


36


6.

     Despejamos x:

     

   ∫      ∫     ∫    ∫       ∫ 

∫  ∫ 



Reemplazamos el valor hallado de :

 ∫  

               

37


38


7.

   Hallando los puntos críticos:

              ∫      ∫       ∫                                 [      ]  [    ] [] [  ]   

39


40


8.

    √  Hallando los puntos críticos:

√                   √       ∫       ∫* (√ )   +   ∫      ∫ ∫                             

41


42


9.

     Hallando los puntos críticos:

                     ∫        ∫        ∫      ∫                              [    ]  [  ]   []      

43


10.

    

Hallando los puntos críticos:

         

44


             ∫      ∫      ∫        ∫         ∫                                                 [ ]                45


46

Aplicaciones de La Integral Definida

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