APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA A. MASA, MOMENTOS ESTATICOS Y DE ENERGIA Y CENTRO DE MASA. 1. Cas Caso: o: Siste Sistema ma de p!t p!tos os de Mate Mate"ia "ia#es #es.. ,…, mn , ubicados
m2
Consideremos un sistema de n puntos materiales de masas en un plano de la recta L, llamado eje, entonces definimos.
a$ Ma Masa sa To Tota# ta# de# de# Sist Sistem emaa n
M=
m1
m2
+
+ … +
mn
= ∑ m
i
i=1
%$ E# mome! mome!to to est&ti'o est&ti'o "espe't "espe'to o a# e(e L. n
M=
m1 d 1
m2 d 2
+
mn d2
+ … +
= ∑ m d i
2
i= 1
m2
m
m3
d
di
d1
E(e L '$ E# mome! mome!to to de i!e"'i i!e"'iaa "espe'to "espe'to a# e(e e(e L. L. n
I l
=
2
m1 d 1
+
2
m2 d 2
+ … +
mn d n
d$ E# 'e!t"o 'e!t"o de de masa masa "espe' "espe'to to de# de# e(e L. L. d´
=
2
M L M
= ∑ m d i
i=1
2 1
e$ Radio de )i"o "espe'to de# e(e L. R
2
=
I L M
, R ¿ O
*. Caso : C"+as p#a!as Supongamos que la curva C representa a un alambre ( o ilo ! contenido en un plano de una recta fija L " admitamos que en cada punto de la curva se tiene una densidad dM = S ds
O%se"+a'i!: #! Sea $ = % distancia de dM al eje L. &! 'l signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre dM aun lado del eje L. ! 'l signo ) se elige cuando dM se encuentra al otro lado. *ora para la curva C que representa a un alambre damos la siguiente definicin a! Masa total M=
b! Momento est-tico respecto al eje L. dM
∫
M L
=
∫ x dM
c! Momento de inercia respecto al eje L. I L
=
∫ x
2
dM
d! adio de giro respecto del eje L. = radio de giro,
¿ / R
I L
2 =
M
e! Cuando C = alambre se encuentra en el plano 01 el centro de masa se denota por ( x´ , y´ ! " es definido por x´ =
M Y M
´ Y =
M X M
-. Caso: Fi)"as P#a!as: Supongamos que una 2Lamina fina3 tiene la forma de una regin S contenida en un plano, " que la masa de la l-mina es omog4nea, es decir que la densidad S de masa por unidad de -rea es constante. Sea L una recta fija en dico plano5 la masa de un rect-ngulo elemental con dos lados paralelos al eje L (franjas paralelas al eje L! es dM = S d$, donde la altura " d$ la base de dico rect-ngulo. 0 = % distancia de al eje L, el signo se determina de acuerdo a los casos anteriores. *ora daremos las siguientes definiciones para la l-mina. a! Masa 6otal. M=
M=
dM ∫
b! Momento est-tico respecto al eje L. M L
=
∫ x dM
c! Momento de inercia respecto al eje L. I L
=
∫ x
2
dM
d! adio de giro respecto del eje L. R
I L
2 =
M
e! Si la l-mina est- en el plano cartesiano 01 el centroide de s es ( x´ , y´ ! donde x´ =
M Y M
M X
´ Y =
M
f! 'l momento de inercia relativa al origen ( o momento polar! 2
I 0
X (¿ + Y 2 )
=
dM = I X + I Y
∫¿
g! Cuando la regin S del plano es acotada por las rectas $ = a, $=b " las curvas /
¿
($! ¿
y 1
y 2
($! , a
¿ $
¿ b , entonces se tiene 2
2
M x
y 2 ¿
1
=
2
2
M Y
7 y 1 ! d$ ,
b
∫¿
y x ¿
=
b
∫¿
a
a
2
3
y 3 x ¿
y 2 l x
¿
1
=
3
b
∫¿
1 7 y ! d$
3
7 y 1 ! d$ ,
l Y
=
a
b
∫¿
1 7 y ! d$
a
. Caso : Spe"/i'ie de Re+o#'i!: Suponiendo que 8 sea la superficie obtenida por rotacin alrededor del eje 0 de la curva " = f($!
¿ / para a
¿ $
¿ b, entonces definimos.
a! 9rea de b
8=
2 π
∫ Y a
ds
b! Momento est-tico de 8 respecto al eje 0 b
M X
=
2 π
∫ y a
2
ds
c! Momento de inercia de 8 respecto al eje 0
b
I X
=
∫ y
2 π
3
a
ds donde ds =
√
2
dy ) 1+( dx
d$
0. Caso: So#idos. Supongamos que S es el slido de densidad constante S de masa por unidad de volumen en el espacio 01:, limitada por los planos $=a " $=b si *($! es el -rea de seccin de S paralela al plano 1: en el punto $, a
¿ $
¿ b , entonces la masa
del cilindro elemental de base *($! " altura d$ es dM= S *($!d$ entonces definimos.
a! La masa de S M=
∫ dM
b! Momento est-tico de S respecto al plano 01 M L
∫ x dM
=
c! Centroide de S es ($,",;! donde x´ =
M yz M
,
y´ =
M x z M
, z´
=
M x y M
. TEOREMA DE
PAPP2S 3G#di!$ .
6eorema #.7 'l -rea de la superficie engendrada por la rotacin del arco de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dico arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo.
´ 8onde L = longitud de la curva y´ = distancia del centro de masa de la curva al eje
6eorema &.7 'l volumen del cuerpo generado por la rotacin de una figura plana alrededor de un eje situado en el mismo plano que la figura, pero no se corta con ella, es igual al producto del -rea de dica figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.
´
8onde * = -rea de la regin. y´ = distancia del centro de masa de la regin al eje dado. = olumen del solido generado por la regin.
C. CAMINO RECORRIDO POR 2N P2NTO. La longitud del camino o tra"ectoria recorrido por un punto > que se mueve a lo largo de una curva en el intervalo de tiempo
[ t , t ] 1
2
es definido por
t 2
S=
∫ V ( t ) dt t 1
Donde: V (T) = Velocidad.
D. TRAA4O. Si la fuer;a f trabajo ? es definida la fuer;a distancia
es constante durante el despla;amiento, el reali;ado por esta fuer;a por ? = f.d, donde f es constante " d la recorrida por el cuerpo.
Si la fuer;a no es constante durante el despla;amiento, el trabajo no se puede e$presar en forma tan simple. Consideramos > una part@cula que se despla;a sobre la l@nea coordenada desde a asta b, por medio de una fuer;a f = A($!, $ B
[ a , b ] donde A($! es la fuer;a
aplicada a la part@cula > cuando se encuentra en el punto cu"a coordenada es $.
Cuando la part@cula se mueve de x i−1 a $, el trabajo reali;ado es apro$imadamente igual al producto f( t i ! ∆i $ quiere decir que mientras m-s pequea es la longitud ∆i $ en
[ x i− , x i ] 1
mejor ser- la apro$imacin aora,
formando la suma de iemann del trabajo.
f n
∆i
? = A(
t i
!
∆i
$
se tiene
∑ ∆i D = i= 1
F ( ¿¿ i ) ∆i n
¿ ∑ = i
1
'l trabajo total reali;ado por la fuer;a A denotaremos por ? " es definido por b
n
?=
lim
∑ F ( t ) ∆
|∆i X |→ 0 i=1
1
b
?=
∫ F ( x ) dx a
E. ENERGIA CINETICA.
i
$=
∫ F ( x ) dx a
$
Se da el nombre de energ@a cin4tica de un punto material, de masa m " velocidad ", a la siguiente e$presin 2
E=
M V 2
F. PRESION DE LOS LI52IDOS. >ara calcular la fuer;a con que presionan los l@quidos se emplea la le" de >ascal, segFn la cual, la presion que ejercen los l@quidos sobre un -rea * sumergida a una profundidad $, es igual a b
> = γ ∫ yxdx a
8onde γ es el peso espec@fico del l@quido.
E4ERCICIO DE APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA MA52ETA: PLA6A DE ARMAS DEL SANTA
