Universidad de Cuenca.
Alumno: Andres Piña Rodriguez.
Catedratico: Ing. Miguel Guillermo Corral.
Materia: Calculo Integral.
Tema: Sumas de Riemann.
Paralelo: 4
Fecha: 11/07/2016.
INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES DENTRO DE UNA REGIÓN ACOTADA POR UNA CURVA O UN CONJUNTO DE CURVAS. DEFINICIÓN.- Si f es una función continúa en el intervalo cerrado [a, b], y si f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], la medida del área de la región acotada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x= a y x = b, se define como: lim ∑ f(عi) ∆x ∆x
0
Que es igual a la integral definida
f(x) dx.
Supóngase que f(x) < 0 para toda x en [a, b]. Entonces cada f(عi) es un número negativo, y definimos la medida del área de la región acotada por y = f(x), el eje x y las rectas x= a y x = b, se define como: lim ∑ [-f(عi) ] ∆x ∆x
0
Que es igual a la integral definida -
f(x) dx.
De acuerdo a la definición anterior y el teorema fundamental del cálculo, el cálculo de áreas mediante la sumatoria de elementos infinitesimales, y la aplicación de la integral definida, constituye el fundamento del cálculo integral. El propósito del presente proyecto es el de establecer tres formas de calcular el área y el volumen de una región acotada por curvas y ejes, establecer similitudes, diferencias y conclusiones, con una observación directa tanto analítica (con la formulación matemática), como gráfica (utilizando métodos gráficos como AutoCad) y reforzada con una maqueta construida en hierro, que permite una explicación clara y sencilla del comportamiento de áreas y volúmenes en los que se divide una región para establecer la formulación matemática.
CALCULO DE ÁREAS UTILIZANDO SUMATORIA.
Definimos el área de la región como la suma de n elementos rectangulares, que para nuestro ejemplo denotamos: 𝑛
∑ f(عi) ] ∆y 𝑖=1
Siendo: la función: y = x^2/10 tenemos:
n = 10 ∆y = 4 y = x^2/10 En el presente ejemplo y tomando sumatorias de n=10 elementos con un ancho de 4 unidades, tenemos dos casos: 1.- Tomamos elementos rectangulares circunscritos:
Calculamos el área de la región como la sumatoria de i = 1 hasta 10 elementos rectangulares con un ancho de 4 unidades de acuerdo al siguiente cuadro:
Y
∆y
f(y)
AREA
40.00
20.00
4.00
80.00
36.00
18.97
4.00
75.88
32.00
17.88
4.00
71.52
28.00
16.73
4.00
66.92
24.00
15.49
4.00
61.96
20.00
14.14
4.00
56.56
16.00
12.64
4.00
50.56
12.00
10.95
4.00
43.80
8.00
8.94
4.00
35.76
4.00
6.32
4.00
25.28
AREA TOTAL:
568.24
2.- Tomamos elementos rectangulares inscritos:
Calculamos el área de la región como la sumatoria de i = 1 hasta 10 elementos rectangulares con un ancho de 4 unidades de acuerdo al siguiente cuadro:
Y
∆y
f(y)
ÁREA
36.00
18.97
4.00
75.88
32.00
17.88
4.00
71.52
28.00
16.73
4.00
66.92
24.00
15.49
4.00
61.96
20.00
14.14
4.00
56.56
16.00
12.64
4.00
50.56
12.00
10.95
4.00
43.80
8.00
8.94
4.00
35.76
4.00
6.32
4.00
25.28
AREA TOTAL:
488.24
3.- Calculo del área como una suma de Riemann. Se busca el área bajo la curva por facilidad de cálculo:
𝑛
A = Lim
∑
2
((𝑖 − 1)∆x) . ∆x
∆x = (20-0)/n = 20/n
𝑖=1
n
∞ f(xi -1) = (i-1) ∆x
𝑛
A = Lim
1/10 ∑
((𝑖 2 − 2𝑖 + 1)) ( 8000/n^3)
𝑖=1
n
∞
A = Lim 800/𝑛^3 ( ∑ i2 n ∞
-2 ∑ i + ∑ 1 )
A = Lim 800/𝑛^3 [(2n3+3n2+n)/6 -2(n2+n)/2+n] n ∞ A = Lim 800/𝑛^3 [(2n3+3n2+n -6n2 -6n+6n)/6] n ∞ A = Lim 800 n3/(3n3) -400n2 /n3 +800n/n3 n ∞
A = Lim 800 /3 -400 /n+800/n2 n ∞ A = 800 /3. (Área bajo la curva) Área de la región: 40*20-800/3 Área de la región: = 533.33.
4.- Calculo del área de la región aplicando la Integral definida:
f(x)= x2 /10 X= √10 𝑦
40
= ∫0 √10 𝑦 40
= √10 ∫0
𝑑𝑦 y1/2 dy
= √10 ((2 y1/2 ) /3) ] = 533.33
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN: MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR. Hemos desarrollado un método para encontrar el área de una región plana. Ahora este proceso se extiende para encontrar el volumen de un sólido de revolución, que es un sólido obtenido al rotar una región en un plano alrededor de una recta en el plano, llamada el eje de revolución, el cual o toca la frontera de revolución o no intersecta la región en algún punto. Por ejemplo, si la región acotada por un semicírculo y su diámetro se rota alrededor del diámetro, se genera una esfera. Se genera un cono recto circular si la región acotada por un triangulo recto se rota alrededor de uno de sus catetos. El propósito del presente proyecto es el de establecer tres formas de calcular el volumen de una región acotada por curvas y ejes, establecer similitudes, diferencias y conclusiones, con una observación directa tanto analítica (con la formulación matemática), como gráfica y reforzada con una maqueta construida en hierro, que permite una explicación clara y sencilla del comportamiento de áreas y volúmenes en los que se divide una región para establecer la formulación matemática. Para establecer los volúmenes de nuestra región acotada por la fórmula Y= x2/10, el eje Y y la recta Y=40, utilizáremos la formulación matemática siguiente: 𝑛
∑ ΔiV = Ʃπ[ f(Ɛi)]^2 Δix 𝑖=0
La suma de Riemann dada es una aproximación a lo que intuitivamente pensamos como el volumen del solido de revolución en unidades cubicas. Mientras más pequeña tomemos la ǁΔǁ de la partición, mayor será n y más cercana será esta aproximación al número V que deseamos asignar a la del volumen. Por lo tanto definimos V como el límite de la suma de Riemann, cuando la ǁΔǁ se aproxima a cero. Este límite existe porque f2 es continua en [a, b], lo cual es cierto ya que f es continua ahí. Tenemos entonces, la siguiente definición. Sea f la función continua en el intervalo cerrado [a, b], y supongamos que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b]. Si S es el sólido de revolución obtenido alrededor del eje x la región acotada por la curva y= f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, y si V es el volumen de S en unidades cubicas, entonces: V= Lim Ʃ π[f(Ɛi)]2 Δix = π [f(x)]2 dx
ǁΔǁ
0
CALCULO DEL VOLUMEN UTILIZANDO SUMATORIA. Definimos el volumen de la región como la suma de n elementos rectangulares, que para nuestro ejemplo denotamos:
V= Lim Ʃ π[f(Ɛi)]2 Δix = ǁΔǁ
0
1. UTILIZANDO RECTÁNGULOS CIRCUNSCRITOS
Calculamos el volumen de la región como la sumatoria de i = 1 hasta 10 elementos rectangulares con un ancho de 4 unidades de acuerdo al siguiente cuadro:
2. UTILIZANDO RECTÁNGULOS INSCRITOS.
3. Calculo del área de la región aplicando la Integral definida: f(x)= x2 /10 X= √10 𝑦 ΔV= πr2 dy 40
V= π∫0 10𝑦 dy V= (10 y2 /2 )] V= 5π y2 ] = 8000π
