ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO CÁLCULO I Prof. Irazel CÁLCULO INTEGRAL COM UMA VARIÁVEL
INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e F uma primitiva de f , então,
onde: •
a é o limite inferior de integração
•
b é o limite superior de integração f(x) é o integrando
•
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
1 0
2
3 ,
4 . . ,
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01.
: 7 ⁄3
02. 4
:16
03.
:1 1⁄
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 308, 309 e 310, exercícios 11.5) 1
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA I.
CÁLCULO DE ÁREAS – Seja gráfico de e o eixo dos x, de
uma função contínua no intervalo ,. A área entre o , é dado por:
II.
CÁLCULO DA ÁREA COMPREENDIDA ENTRE O GRÁFICO DE DUAS FUNÇÕES A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo- x e pelas funções abaixo:
21, 1, 3 b) 4, 1, 3 c) 2 56, 2, 3 a)
4 03. Calcule a área da região compreendida pelas curvas 22 5 02. Calcule a área da região compreendida pelas curvas
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 316 e 317, exercícios 11.6)
2
III.
TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS
Se f é uma função contínua em [ a ,b ], então existe c (a ,b ) tal que
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO Se f (x ) (b – a ) e f (c).
≥
0,
∀ x ∈[a ,b ]
, então a área sob o gráfico de f é igual à área do retângulo de lados
O valor médio de f em [a,b] é dado por:
1
IV.
VOLUME OBTIDO PELA ROTAÇÃO DE UMA CURVA DESCRITA POR TORNO DE OX
EM
Dada uma região plana R, girando-se a região R em torno do eixo dos x obtém-se um sólido denominado de sólido de revolução.
Considerando uma curva suave C descrita por y=f(x) (não negativa no intervalo [a,b]), o volume V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo OX no intervalo [a,b] é dado por:
3
Volume obtido pela rotação de uma curva descrita por y=f(x) em torno do eixo dos y
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Determine o volume obtido pela rotação completa, em torno do eixo dos x, do conjunto de pontos x 2 + y 2 ≤ r 2 , y ≥ 0 (r > 0) . 02. Determine a expressão do volume do cone obtido pela rotação completa de f ( x ) =
r h
x , em torno do
eixo dos x. 02. Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta AB, em torno do eixo dos x, sendo A(1,1) e B(2,3). R.: 13 3
π
03. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f ( x) = x 2 , x ∈ [1,3] , em torno do eixo dos x. R.: 242 5
04. A curva Calcule V .
V.
1
f ( x ) = , x
∈ [1, 4] ,
R.: 3 4
π
ao ser girada em torno do eixo dos x determina um sólido de volume V.
π
TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e seja f(x) o número de unidades da força atuando sobre um objeto no ponto x sobre o eixo dos x. Então, se τ for o trabalho realizado pela força enquanto o objeto se move de a para b, τ será dado por:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Determine o trabalho realizado por uma força para distender uma mola de constante elástica k, de x1 a x2. (Adote: x1=0 e x2=x)
4
02. Uma mola tem um comprimento natural de 1,4 m. Se uma força de 5N é exigida para conservar a mola esticada de 0,2 m, qual é o trabalho realizado para que a mola se estenda de seu comprimento natural a um comprimento de 1,8 m?
VI.
R.: 2 J
COMPRIMENTO DO ARCO DE UMA CURVA PLANA
e sua derivada são contínuas no intervalo fechado [a,b], então, o comprimento do arco da curva do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)), que representaremos por L é Se a função
dado por
1 ′
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Determine o comprimento da curva y =
x 2
2
, 0 ≤ x ≤ 1. 2
02. Determine o comprimento do arco da curva f ( x) = x 3 do ponto (1,1) a (8,4). 3 3 1 2 R.. (40 − 13 2 ) ≅ 7, 6 27
03. Determine o comprimento de uma circunferência de raio r. R.:
2
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, página 405, exercício 13.1)
5
