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APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de las matematicas avanzadas, especialmente del area del calculo y del analisis matematico (cualquiera que esta sea, ya que el area matematica abarca todos los campos del conocimiento). Las integrales son basicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamente pequeños.
La definicion de integral se dice como sigue:
Dada una funcion f ( x x ) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al area de la región del plano xy limitada limitada entre la grafica de f , el eje x , y las líneas verticales x = = a y x = = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x .
Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas situaciones situaciones prácticas. Consideremoscomo ejemplo el de una alberca (o el del Acuario de Veracruz, que tiene un tunel redondo), el cual si es rectangular no hay mas problema que el de calcular su area a partir de su longitud,anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen deagua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (paracubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero s i es ovaladacon un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularian areas bajo curvas.
Otras aplicaciones practicas se encuentran en areas como:
ECONOMIA: Coeficientes ECONOMIA: Coeficientes de desigualdad para la distribucion del ingreso en una poblacion; maximizacion de la utilidad con respecto al tiempo; superavit del consumidor y del productor; PEDAGOGIA: Curvas PEDAGOGIA: Curvas de aprendizaje
FINANZAS: Valor FINANZAS: Valor presente de un ingreso c ontinuo FISICA Y MECANICA: Area MECANICA: Area de una region en el plano; plano; area de una region comprendida comprendida entre dos curvas; volumenes de solidos; calculo del trabajo y esfuerzo
Aplicaciones de la integral definida a la Economía Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.
A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la
cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado. Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.
A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la
cantidad de productos que, a ese precio, se demanda SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta
representa el superávit de los consumidores.
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p 0 entonces
su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de
equilibrio q0.
Problema
La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x 2. Encuentre el superávit o ganancia
de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06 20 2 = 26. Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta: = = = 320 La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p 0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.
El área total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q 0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q 0 artículos. El área total bajo la recta p
= p 0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida. Si s(q) es una función de oferta con precio p 0 de equilibrio y oferta q 0 de equilibrio, entonces superávit de los productores =
Problema
Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) =
. Encuentre la ganancia de
los productores si la producción asciende a diez artículos. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:
=
=
= 12 pesos.
Ganancia de las productores =
= 25 La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos. Problema Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda: p 1 (q) = 1000 - 0,4 q 2. Función de oferta: p 2 (q) = 42q El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:
La oferta coincide con la demanda en (q 0, p0) , es decir,: 2p1 (q) = p2 (q) Þ 1000 - 0,4q2 = 42q Þ - 0,4q 42q + 1000 = 0 Þ q1 = - 125 Ù q 2 = 20 Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q 0 =
20 y, por lo tanto, p 0 = 840. El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la región comprendida entre p 1 (q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea,:
= = = 2133,33 El excedente de demanda asciende a $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea: = = (840.20 - 21.202) = 8400 El superavit de oferta alcanza $8400.
ANÁLISIS MARGINAL La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales. Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades. En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más. Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben cumplir las siguientes condiciones:
Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total.
Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.
Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:
Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio. También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos. Costo promedio por artículo Costo marginal Costo marginal c'(x) El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.
Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasa instantánea de cambio
en el ingreso total con un cambio del número de unidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.
Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x) r(x) – c(x). La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artículo si la
producción sufre un pequeño incremento. Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.
Problema Una función de costo marginal está definida por c'(x) 3x2 + 8x + 4 y el costo fijo es de $6. Determine la función costo total correspondiente. Respuesta: c(x)
3 x +
2
4x +4x + 6
Problema Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es i'(x) 15 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:
a) Determine la función ingreso total. b) Determine la ecuación de demanda. 2
Respuestas: a) i(x) 15x 2x
b ) p(x)
15 2x
Analice los problemas resueltos a continuación.
Problema
Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.
si
Debemos plantear Venta total
Venta total
18000
Las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades.
Problema Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f(x) 1000 + 5000x.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola? a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamos
Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000
b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que se requieren para que la máquina se pague sola es n, entonces
1000n + 2500 n2 67500 2500 n2 + 1000n 67500 0 5 n2 + 2n 135 0
Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1 5,4 (imposible para nuestro problema) y además n2 5. Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.
Aplicaciones a la Física Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.
Sirven para calculo de: Areas volumenes momentos de inercia de un cuerpo masa de un cuerpo obtencion de la velocidad y posicion de un cuerpo a partir de su aceleracion y velocidad, respectivamente calculo de trabajo y energia flujos de campos vectoriales a traves de un area puede servir tambien para calcular: carga encerrada en determinada area cerrada corriente q circula por un circuito sabiendo el campo magnetico
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t)
.
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: s(t1)
s(t2)
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t 2) s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t 1, t2]. Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t 2 que en el instante t 1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo [t 1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t 2) s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t 2) s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto. En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t 1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir: distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo = [t1, t2]
Problema Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) t2 2t metros por segundo. Halle:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a)
0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t 3 que en el instante t 0.
b) La velocidad puede escribirse como v(t) t ( t 2) de modo que v(t) 0 si 2 t 3 y la velocidad es negativa si 0 t 2. La distancia recorrida es:
distancia recorrida
.
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de
metros.
TRABAJO El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w F . d Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.
Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x a hasta x b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a x0 x1 x2 x3 ......... xn1 xn b donde xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir xi xi xi1. Para cada i escogemos ci tal que xi1 ci xi. En ci la fuerza está dada por F(c i). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, xi es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [x i1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado w i al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde x i1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(c i). xi Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w
.
Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de esta suma cuando n resulta w
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x a hasta x b está dado por w
.
PRESIÓN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO
PRESIÓN DE UN FLUIDO
Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo.
FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD CONSTANTE
Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, p , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre ella F p . A presión . área . Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F w . h.A
FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD VARIABLE
Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y a hasta y b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.
tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral
1. Cálculo de áreas planas
Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. Ejemplo 1 : a) Hallar el área de la región limitada por la curva y x 2 , el eje OX y las rectas x 2 y x 4 . b) Hallar el área de la región limitada por la curva y x 3 3 x 2 x 3 y el eje OX en el intervalo 1,3. c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y cos x y el eje OX , en el intervalo 0,2 . Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos el siguiente resultado : Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en a, b y se verifica que g ( x) f ( x) x a, b, entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas verticales x a y x b , es :
A f x g x a
dx
b
()()n Observaciones: a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g ( x) f ( x) . b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del ejeOX . c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g ( x) f ( x) y otras veces que f ( x) g ( x) , entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo a, b, viene dado por la fórmula: A f x g x dx a b
()(), I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001
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En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de f y g , calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada. Ejemplo 2: a) Hallar el área de la región limitada por f ( x) x 2 y g ( x) x . b) Hallar el área de la región limitada por f ( x) x 2 y g ( x) x 3 . c) Hallar el área de la región limitada por f ( x) x 2 , g ( x) x 2, y el ejeOX . d) Hallar el área de la región limitada por f ( x) x 2 2 , g ( x) x en 0,1. e) Hallar el área de la región limitada por f ( x) 3 x3 x 2 10 x y g ( x) 2 x x 2 Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez de la variable x. , Ejemplo 3: Hallar el área de la región limitada por la gráfica de y 2 3 x e y x 1.
2. Cálculo de volúmenes Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
2.1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es: Volumen del disco = R2 Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f ( x) definida en el intervalo a,b, cuya gráfica determina con las
rectas x a , x b, y 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida. I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001
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Elegimos una partición regular de a,b: a x x x x b n n 0 1 __ 1 Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es R2 , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
f c x x i i i i n
2 1 1
( ) ( )
siendo: c x x iii ( , ) 1 x x i i1 , la altura (anchura) de los cilindros parciales R f ci ( ) el radio de los cilindros parciales Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir: V Lim n
f c x x i i i i n
2 1 1
( ) ( )
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: V f x dx a b
2( ) Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar : V f y dy c d
2( ) Ejemplo 4: a) Hallar el volumen de la esfera de radio r. b) Hallar el volumen del elipsoide de revolución engendrado por una elipse al girar alrededor del eje OX . c) Hallar el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h.
d) Hallar el volumen engendrado por la revolución entorno al eje OX del recinto limitado por la curva y sen x , entre 0 y . e) Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada por la gráfica de f ( x) 3 x x2 y el eje x (0 x 3) , entorno del eje x . f) Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada por la gráfica de f ( x) 2 x 2 y g ( x) 1, en torno a la recta y 1.
Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 1.1. Modelo matemático Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo matemático implica: Identi_car las variables causantes del cambio de un sistema. Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables). Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
1.2. Proceso de modelado El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos: 1. Identi_cación de variables estableciendo una notación matemática. 2. Leyes empíricas que se pueden aplicar. 3. Planteamiento de las ecuaciones.
1.3. Ejemplos de formulación de modelos 1.3.1. Fusión Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su super_cie. Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables: La incógnita del problema: volumen (es función del tiempo). Notación matemática: V : volumen, t : tiempo, V = V (t ): el volumen depende del tiempo, es decir, es función del tiempo. 2. Leyes empíricas que se pueden aplicar: En los datos: _La esfera se derrite a razón proporcional al área de su super_cie_, es decir, _el volumen de la esfera varía a razón proporcional al área de su super_cie_. La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo: dV dt . Expresión de la ley en forma matemática: dV dt
= k 4¼r 2, r es el radio de la esfera, r = r (t ). 2 3. Planteamiento de la ecuación: Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V : V= 4 3¼r 3 ! µ 3V
4¼ ¶1=3 = r: Sustituyendo: dV dt = k 4¼
µ 3V 4¼ ¶2=3 = k (4¼ )1=332=3V 2=3: Ecuación diferencial que proporciona el volumen en cualquier tiempo t . 1.3.2. Reacciones químicas En cinética de las reacciones, en lo que se está interesado es en la evolución de éstas con el transcurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de extrañar que la cinética de las reacciones se modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares. Sea la reacción bimolecular elemental A + B ! P; en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresión para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables. Las incógnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del tiempo): [ A]; [B], [P ]. 2. Leyes empíricas que se pueden aplicar: La velocidad de reacción depende de las concentración de los reactantes y quizás del producto. La ley de la velocidad de reacción es la formulación de esa dependencia: velocidad = d [P ] dt
=¡ d [A] dt
=¡ d [B] dt
Para las reacciones elementales existe un principio básico, la ley de acción de masas: la velocidad de una reacción elemental es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes: velocidad = k [ A][B] La ley de acción de masas está basada en la suposición de que reacciones elementales ocurren cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por tanto, a mayor concentración, mayor velocidad. El coe_ciente k es la constante de la reacción y se toma siempre positiva. Por último la ley de conservación: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reacción. [B] + [P ] = B0 + P 0 [A] + [P ] = A0 + P 0; A0; B0; P 0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los com ponentes. 3 3. Planteamiento de la ecuación. Igualando velocidades: d [A] dt
= ¡k [ A][B] d [B] dt
= ¡k [ A][B] d [P ] dt
= k [ A][B]: Por último, aplicando la ley de conservación, se pueden eliminar variables para obtener
la ecuación de [ A]: d [A] dt
= ¡k [ A]([ A] ¡ A0 + B0): De la misma forma se obtienen las ecuaciones que proporcionan las demás concentraciones: d [B] dt
= ¡k [B]([B] ¡ B0 + A0); d [C ] dt
= k ( A0 + C 0 ¡ [C ])(B0 + C 0 ¡ [C ]):
1.4. Condiciones adicionales En el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones adicionales que se deben añadir al problema que se plantea. En el caso de las reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son datos del problema que se consideran en la formulación de éste. 1.4.1. Ejemplo: enfriamientos Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300oF . Tres minutos después su temperatura es de 200oF . Estamos interesados en saber la temperatura del pastel en cualquier momento, siendo la temperatura ambiente de 70 oF . 1. Variables. La temperatura T es función del tiempo t . 2. Ley de Newton del enfriamiento: la rapidez con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea. 3. La ecuación: dT dt
= k (T ¡ 70): 4. Condiciones adicionales : T (0) = 300; T (3) = 200:
1.5. Métodos para resolver o analizar ecuaciones diferenciales Una vez que tenemos formulado el modelo matemático, el problema está en resolverlo, que en la mayoría de las ocasiones no es fácil. Los métodos de estudio de modelos los podemos resumir en: Método analítico: método de búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales. Análisis cualitativo: se utiliza la ecuación diferencial como fuente de información de las propiedades de las posibles soluciones. Análisis numérico: aproximación a los valores de la solución. 4
Ejercicios del capítulo 1. Sea la reacción elemental unimolecular A ! P:
Plantea el modelo matemático que da la concentración de A y de P en cualquier unidad de tiempo. 2. Una reacción bimolecular elemental. Una m olécula de hidrógeno H 2 reacciona con una de yodo I 2 y forman ácido de halógeno HI . La reacción es H 2 + I 2 ! 2HI: Plantea las ecuaciones diferenciales que dan la concentración de cada componente y la del producto en cualquier unidad de tiempo. 3. Radioactividad. El isótopo de carbono C 14 se transforma en nitrógeno ordinario N 14 emitiendo un electrón en el proceso. Plantea la ecuación del modelo. 4. El hierro Fe y el oxígeno O2 molecular reaccionan cuando se calientan para formar óxido de hierro negro Fe3O4: 3Fe + 2O2 ! Fe3O4: Formula las ecuaciones correspondientes a las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo. 5. Un granizo esférico se derrite a razón proporcional a su área super_cial. Se supone que tenía originalmente un radio de 1 8 de pulgada y 40 minutos después su radio medía 1 24 de pulgada.
a) Obtén una expresión para el radio del granizo en cualquier tiempo t . b) Obtén expresiones del área super_cial y el volumen del granizo en cualquier tiempo t . 6. En el proceso de conservación de alimentos, el azúcar de caña experimenta una inversi ón convirtiéndose en una mezcla de dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa. En solución diluida, la tasa de inversión es proporcional a la concentración de azúcar no alterado. Si la concentración es de 1 =50 al principio y de 1 =200 después de tres horas, plantea la el problema que proporciona la concentración de azúcar no alterado en cualquier momento. 7. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad determinada de bacterias. En una hora, el número de bacterias medido es (3 =2) de la cantidad inicial. Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, plantea el modelo que proporciona el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique. 8. Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que 0 ;043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Plantea el modelo que da la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. 9. Un policía descubre el cuerpo de un profesor de ecuaciones diferenciales. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. El forense llega al medio día y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 94.6 grados Fahrenheit. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 93.4 grados Fharenheit. Asimismo, observa que la temperatura de la habitación es constante a 70 grados F. Suponiendo que la víctima estaba normal (al menos en cuanto a temperatura se re_ere) hasta el momento de su fallecimiento, plantea la ecuación y los datos adicionales que nos de la hora a la que se cometió el crimen. 5
