Antiderivadas y La Integral Definida

2007-A

UNAC-FIEE

Integrales

Lic. Julio Chicana

ANTIDERIVADAS y LA INTEGRAL DEFINIDA (ASPECTOS BÁSICOS) Dada una función F como por ejemplo F(x)

2

x + x - sen(x sen(x), ), mediante las reglas de 1 - cos (x). Ahora estamos interesados derivación podemos hallar su derivada F' (x) = 2x + 2 x =

en el proceso inverso, por ejemplo si f (x) = x - 2 cos(x) + 3, ¿qué función F tiene por derivada a f? Este proceso de hallar F se llama Antiderivación.

01.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Definición 1. Dada una función f , si F es una función tal que F' (x) = f (x), x (x), x

∈

I

entonces F se llama una antiderivada de f en I. Así, una antiderivada de f es simplemente una función cuya derivada es f . Por ejemplo, como la derivada de (x2) es (2x), entonces se dice que F(x) = x2 es una antiderivada de f(x) = 2x. Note que la antiderivada de f(x) = 2x no es única, dado que d dx

( x

2

2

d

y

+ 4 ) = 2 x

dx

( x

2

− 100) = 2 x

2

entonces las funciones (x + 4) y (x - 100) también son antiderivadas de (2x), la razón es que la derivada de una constante es cero. Por lo expuesto, podemos decir que 2

(1)

x + C

es antiderivada de la función (2x), para cualquier constante C .

Definición 2. Sea f una función real y F una antiderivada de f . La expresión ∫ f(x)dx f(x)dx de llama integral indefinida de f y se define por:

∫ f ( x) dx

=

F ( x)

+

C

(2)

En (2), f se llama “función integrando” y “dx” se llama diferencial de “x” e indica la variable de integración, que en este caso es “x”.

Física I - Capítulo 1: Elementos de Cálculo Integral para Física Física

Página 1

Por ejemplo, de (1) se sigue que

∫ (2 x)dx En resumen:

∫ f ( x) dx

=

F ( x)

+

=

x 2

C

+ C

si y solo si

F ' ( x)

=

f ( x)

Ejemplo 1. 1.

Hallar ∫3dx. Una función que tiene derivada 3 es 3x, por lo que ∫3dx = 3x + C.

2.

Hallar ∫4x dx. Derivando (x4) se obtiene 4x3, entonces ∫4x3dx = x4 + C.

3.

Comprobar que ∫cos(x)dx = sen(x) + C . Se observa que

3

d dx

( sen( x) + C ) = cos( x) .

FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION a)

∫ k dx = k x + C

b)

∫ x

c)

∫ cos(x)dx = sen(x) + C

d)

∫ sen(x)dx = -cos(x) + C

e)

∫sec2(x)dx = tan(x) + C

n

dx

=

x n

+1

+

n +1

C ,

n

≠ −1

1

f)

∫ x dx = ln( x) + C

g)

∫ e

x

dx = e x

+ C

Ejemplo 2. 1.

∫ 0.5dx= 0.5x + C.

2.

∫ 4dx = 4x + C.


Página 2

x 2+1

x 3

3.

∫ x dx = 2 + 1 + C = 3 + C .

4.

∫ x dx = ∫ x

2

1

5.

∫ x

6.

∫ x dx = ?

02.

2

1 / 2

∫

dx = x

−2

dx =

dx =

x 3 / 2

3 / 2 x −1 −1

+ C =

2 3

+ C = −

x

1 x

3 / 2

+ C .

+ C .

1

PROPIEDADES DE INTEGRACION

Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k una constante, entonces se cumplen las siguientes propiedades: P1)

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

P2)

∫ [f(x) ± g(x)] d x = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

P3)

∫ dx = x+ = x+ C

P4)

∫ k dx= kx + C.

En particular se verifica que.

Example 3. x

2

1.

xdx - ∫3dx = 2 ∫(2x - 3)dx = 2∫ xdx

2.

∫(sen(x)+2cos(x))dx = ∫sen(x)dx+2 ∫cos(x)dx = - cos(x) + 2sen(x) +C.

3.

∫ (5 x − 3 x )dx = 5∫ xdx − 3 ∫ x

4.

∫ tan2(x)dx = ∫(sec2(x)-1)dx = ∫sec2(x)dx - ∫dx = tan(x) – x + C

1

2

1

− 3 x + C = x

−1 / 2

dx =

2

10 3

− 3 x + C

x 3 / 2


−

2 3

x

+ C

Página 3

∫ sen (ax + b) dx

INTEGRALES DE LA FORMA P5)

∫

P6)

∫

sen(ax + b)dx

=−

cos( ax + b)dx =

1 a

1 a

y

∫ cos (ax + b) dx , donde a ≠ 0.

cos(ax + b) + C

sen(ax + b) + C

Example 4. 1. 2. 3.

4. 5.

03.

1

∫ sen(2 x)dx = − 2 cos(2 x) + C x x cos( )dx = 2sen( ) + C 2 2 w 1 [cos( wt ) − wt + 1]dx = sen( wt ) − t 2 + t + C (observe que dt está indicando que la w 2 variable de integración es t .) .) 1 sen(3 x − 4) dx = − cos(3 x − 4) + C 3 1 − cos( 2kx) 1 1  sen2(kx) dx = ( sen(2kx) + C )dx =  x − 2 2 2k 

∫ ∫ ∫ ∫

∫

LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b]. Presentamos definida de f en [a, b]” por: la “integral definida b

∫ f ( x) dx

=

F (b)

−

F (a )

(3)

a

Donde los números a y b se llaman límites de integración: a es el límite inferior y b es el límite superior. El lado izquierdo de (3) se lee “ integral definida de f de a hasta b”. El lado derecho de (3) expresa que se evalúa F en b y a esto se le resta el valor de F en a.

Ejemplo 5 1.

Hallar

1

∫ xdx 0


Página 4

x 2

El integrando x tiene una antiderivada 1

1

0

2

∫

da cero. Entonces:

xdx =

−0 =

. Evaluando esta antiderivada en 1 resulta

2

1 2

y en cero

1 2

∫ cos xdx π

2.

Hallar

0

∫ cos xdx = sen( π

Siendo sen(x) una antiderivada de cos(x), se tiene:

∫

/ 2

π

π

3.

) − sen(0) = 0

π

0

sen( x) dx = − cos( ) − (− cos( 0)) =1 0 2 3 3 3sen(2 x) dx = − cos(2π ) − (− cos(π )) = − 3 / 2 2 2 π

∫

4.

π

b

OBSERVACION: La expresión F(b) – F(a) frecuentemente es representada por F ( x) a Por ejemplo: 4

∫

x dx

1

04.

=

2 3

4

x

2 / 3

=

2 3

1

(4) 2 / 3

2

−

3

(1) 2 / 3

14

=

3

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sean f y g funciones continuas [a, b] y k una constante real. Entonces:

∫

1.

b

a

k f ( x) dx

b

∫a [ f ( x) ±

2.

NOTA:

=

b

∫

k f ( x) dx a

g ( x)]dx =

b

∫ a

f ( x) dx

±

b

∫ g ( x) dx a

El valor de la integral definida no depende de la variable que se emplea en el

proceso de integración, siempre que los límites de integración no cambien:

∫

b

a

f ( x) dx

=

b

∫ f (t ) dt a

Ejemplo 6. 1.

∫

2

1

( x

2

− x + 3) dx =

∫

2

1

2

∫

2

∫

2

3

x dx − xdx + 3 dx = 1

1

x 3

2

− 1


x 2

2

2

+ 3 x 1

2 1

=

1 3

(7) −

1 2

(3) + 3(1) =

23 6

Página 5

∫

/ 2

π

2.

0

( sen2 x

−

cos x)dx =

−

/ 2

π

cos 2 x

−

2

/ 2

π

0

x 2 sen ( ) 2 0

=

?

Teorema 1: Sean m y n constantes tales que m ≠ 0. Entonces: 1

b

∫ sen (mx + n)dx = − m cos (mx + n) a

b

1

a

m

∫ cos (mx + n)dx = b

∫

2

(mx + n) dx =

a

3m

b

a

b

sen (mx + n) a b

(mx + n)

3 / 2 a

Ejemplo 7. 1.

2.

2

∫

2

4 x + 1 dx =

0

0

∫

−π / 2

sen (2 x

3(4) π

−

3

2

(4 x + 1) 3 / 2

)dx =

= 0

−

1 2

13 3

cos( 2 x −

π

3

0

)

=

?

−π / 2

Teorema 2. Si f es continua en [a, b] y a < c < b. Entonces: b

∫ a

Para hallar I =

x − 2

=

f ( x)dx

=

c

∫ a

f ( x)dx

+

b

∫ f ( x)dx c

(4)

3

∫ x − 2 dx , sabiendo que 1

 x − 2 , x ≥ 2  2 − x , x < 2

Basándonos en la ecuación (4), podemos proceder como sigue: I =

3

∫ 1

(2 − x) dx

+

3

∫ (2 − x) dx = ... 1


Página 6

05.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I.

Para hallar áreas de regiones planas

1.

Sea f(x) = C, C es una constante. Observe que:

b

∫ a

f ( x)dx

=

b

∫ C dx = C (b − a) a

Dicho número representa el área de la región sombreada. 2.

Sea f(x) = x. Entonces: b

∫ a

f ( x)dx

=

b

∫ a

x dx

=

x 2

2

b

=

(b 2

a

−a

2

)

2

Observe que el resultado de la integral representa el área de la región sombreada que sigue.

Problema: ¿Cómo calcular el área de una región limitada por la gráfica de una función, cuando ésta no está delimitada por figuras conocidas?

Definición 3. Sea f una función continua en [a, b] tal que f(x) ≥ 0,

∀∈

[a, b] .

Entonces el área

de la región limitada por la grafica de f , el eje X y las rectas x = a y x = b, se designa por: b

∫ f ( x) dx a

Ejemplo 8.

Hallar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) =

sen(x), el eje de X y las rectas x = 0 y x = π .

∫ sen( x) dx = − cos( x) π

Area

=

0

π

0

= − cos(π ) − ( − cos( 0)) = 2

Ejemplo 9. Hallar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = x , el eje X y las rectas x = 1 y x = 4.

Area

=

4

∫ 1

x dx

=

2 x 3 / 2 3

4

= 0

14 3


Página 7

II.

Aplicación Física

Una partícula que sigue un movimiento rectilíneo con una velocidad v(t) en el instante t , después de partir de t = 0 al cabo de t segundos se encuentra a s(t ) =

t

∫ v(t )dt 0

Unidades de longitud del punto de partida.

Ejemplo 10. La velocidad en m/s de un móvil varía según la ecuación v(t) = 0.5t + 3. ¿qué espacio ha recorrido el móvil al cabo de los 6 segundos? s(t ) =

8

∫ 0

2

(0.5t + 3)dt = (0.25t

8

+ 3t )

= 0

40

Ejercicio 1. Para el móvil del ejemplo anterior ¿cuál es el espacio recorrido en los cuatro últimos de los seis segundos?

06.

I.

PROBLEMAS PROPUESTOS.

Hallar las siguientes i ntegrales indefinidas:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

II.

∫ x dx 2 x − 3 ∫ x dx ∫ (3 x − 2 x − 6) dx ∫ 3 cos(t ) − + 2) dt x ∫ (cos(2 x) − sen( 3 )) dt 2

3

2

sen( t ) 2 t

3 x − 1 )) dx 2 ( 3 x + 2 − 1 − 2 x )dx

∫ ∫

(2 sen(

Hallar las siguientes i ntegrales definidas: 1. 2.

1

∫ x dx ∫ (3 x − 2 x − 6) dx 3

2

0

1

2

−1


Página 8

/ 2

π

∫

4.

∫ (cos(2 x) − sen( 3 )) dx

0

π

5. III.

 1 − cos(t )    dt  2 

3.

x

0

2

∫ 1

3 x − 2 − x + 1) dx

Hallar el área de las regiones limitadas por: 1.

La función f(x) = x + 2, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.

2.

La función f(x) = x2 + 1, el eje X y las rectas x = -1 y x = 2.

3.

, − 2 ≤ x ≤ 1  x + 2  La función f ( x) =  − 3 , y el eje X. − < ≤ x x ( 3 ) , 1 3  2

4.

La parábola y = 2x y su lado recto.

2


Página 9

Antiderivadas y La Integral Definida

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