REALIZADO POR:
DIANA ANDRADE. JESSICA SINCHI. SINCHI. MAGDALENA PEÑA.
CATEDRA:
MATEMATICA MATEMATICA IV
TEMA:
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA DEFINIDA A LA ECONOMIA.
CICLO:
CM-04-03
2014-2015
Contenido I N T R O D U C C I Ó N .... ...... .... .... .... .... .... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....1 .1
C!".........................................................................................................2 I#$%&!......................................................................................................4 R & # " ' # ' ( ) # ' * + ( # ! , ' / % % ...... . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. 5 F%'()# & (')"'*...............................................................................10 E(&&#"& &* (#!,)% (#!,)%..11 ..11 E(&&#"& &* %,("% %,("% .13 .13 CONCLUSIONES6......................................................................................15 7)8*)$%'9:'6.............................................................................................1;
INTRODUCCIÓN
E# &* <8)" &(#)(= ,#' &%&!' %&>,)&%& &?'*,'% >,@ ('#")' &8& %,()% &* %&() & ?&#"' '%' 8"&#&% *' <)' &()&#()'6 &* (!" '%$)#'* :#)= &* )#$%&! <)B #! ,&!"%'# ( ?'%:'# &!"! 9'("%&!. M&)'#"& &* ,! & 9,#()#&! '"&<")('! & (!" & )#$%&! '%$)#'* %&#!)# '%$)#'* & (#!, '/%% !& ,&&# 8"&#&% &!")'()#&! '*)('# *' )#"&$%'()#. •
•
•
•
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1
Aplicaciones económicas de la integr integral all indefinida indefinida integra Costo. E* (!" &! ,# &!&8*! & )#&% >,& !& ,")*)' '%' *' )#?&%!)# & '"&%)' %)'= '# & 8%'= (!"! )#)%&("! & 9'8%)('()#= >,& &!"! !&%<# %&(,&%'! '* &#" & *' ?&#"' &* %,(". y = f ( ( x )
COSTO MARGINAL.
F,#()# (!" '%$)#'* &! )$,'* '6 dy ' =f ( x ) dx
E* (!" '%$)#'* &! *' %)&%' &%)?'' &%)?' ' & *' 9,#()# & (!". COSTO PROMEDIO % ,#)' &!6 dy f ( x ) = dx x
E#"#(&! &* COSTO TOTAL &! *' )#"&$%'* (# %&!&(" ' & *' 9,#()# &* (!" '%$)#'*.
∫
y = f ' ( x ) dx = f ( ( x )+ c
EJEMPLO
2
Función Función de costo. L' 9,#()# & (!" '%$)#'* '%' &* %,(" & ,# 9'8%)('#"& &!"< '' % dc 9 = √ q dq 10
√
3
0.04 q
4
+4
D#& ( &! &* (!" ""'* &# *'%&! (,'# !& %,(&# > ,#)'&!. L! ("! ! !# & 3;0.
a. Dete ete! !ine ine e" cost costo o !a# a#ina" ina" cuan uando se $odu oduce cen n %& unidades
dc 9 = √ q dq 10
√
3
0.04 q
4
√
+4
3
dc 9 4 = √ 25 25 0.04 ( 25 ) + 4 dq 10 dc 9 25 √ 4.45 4.45 = √ 25 dq 10 dc =9.49 dq
E* (" '%$)#'* & %,()% 25 ,#)'&! &! & .4 '. Encuente Encuente e" costo costo tota" de $oduci $oduci %& unidades unidades 9
∫ 10 √ q
c=
3/ 4
u= 0.04 q
√
3
0.04 q
+ 4 dq
+4
−1 / 4
du =0.03 q
4
dq
3
3
0.04 q 4 + 4
¿ ¿
c=
9 10
∫(q )
1 2
¿
q =0 C =360
(
)
3
3 2
C =10 0.04 q 4 + 4 + c 3
=10 ( 4 ) + c 2
360
360
=280 + c
360−280 =c 80
=c
q =25 c =280
(
3 4
)
3 2
CT =10 0.04 q + 4 + c 25
¿ ¿ 3 0.04 ( ¿ + 4 ¿ ) 4
¿
4.45
¿ ¿ ¿ CT =10 ¿ CT = $ 373,87
R E* (!" ""'* & %,()% 25 ,#)'&! &! 33= 4
c. Use Use "os "os esu esu"t "tad ados os de "as "as $at $ates es (a) (a) * (' (')) * di+e di+e, ,nc ncia ia"a "as s $aa esti!a e" cotos tota" de $oduci %- unidades
q =23 q =25 dq =−2 23 =(25 −2)
CT =373,87 Cmg =9.49 CT =373,87 + 9,49 (−2 ) =354,89
E* (" ""'* & %,()% 23 ,#)'&! &! & 354= In#eso. L! )#$%&!! !# %&(,%!! >,& 8")&#& &* )#)?),= % &* ,! & !, "%'8' /,'# (,'*>,)&% "% ")? >,& )#(%&&#"& !, '"%)#). y = f ( x )
E* )#$%&! ""'* R &! &* %,(" & . R= xy = x . f ( ( x )
INGRESO MARGINAL. dR = R' ( x ) dx
E* I#$%&! ""'* &! *' )#"&$%'* & *' 9,#()# & )#$%&! '%$)#'*. R=∫ R ' ( x ) dx
∫ R ( x x ) dx = R ( x ) +c '
EJEMPLO Función unción In#eso. In#eso. L' 9,#()# )#$%&! '%$)#'* '%' &* %,(" & ,# 9'8%)('#"& &!"< '' %
5
dr 3 = q dq e + 2
D#& % &! &* )#$%&! ""'* %&()8) +&# *'%&! (,'# !& %,(&# ?&#&# > ,#)'&!. E#(,&#"%& *' 9,#()# & &'#' &%@!&*' &# *' 9%' 9+>. S,$&%&#()' S,$&%&#()' &!(%)8' #,&?'&#"& %> '* ,*")*)('% ,*")*)('% −q #,&%'% &#)#'% % e −q
−q
3 3e 3e dr = q = q −q = −q dq e + 2 ( e + 2) e 1+ 2e −q
3e
−q dq
1 +2 e
=¿
3
1 ( − ) dq = 3 ∈ ( 1 +2 e− ) +c ∫ − −2 e 2 1+ e 2 r =∫ ¿ q
q
q
r = 0 q= 0
0=
3 2
∈ [ 1+ 2 ( e 0)] + c
3
c = ∈( 3 ) 2
3
c = ∈( 3 ) 2
−q
1 +2 e
3
3
2
2
+ ∈( 3 )= ∈
3 −q
1+2 e
3
r = ∈¿ 2
3 3 r p= = ∈ q 2 q 1 + 2 e−q
R L' 9,#()# & *' &'#' &!
3 r 3 p= = ∈ q 2 q 1 + 2 e−q
;
Renta naciona" (consu!o * aoo) Renta Naciona".
E! ,# )#$%&! )#$%&! &(#)( & ,# ':! % *'! %&(','()#& %&(','()#&!! &* %,(" %,(" )#"&%# 8%,"= !& ' &* %&!,*"' & ,#' !,' & * >,& !& /' $'!"'= )#$%&!' %,(). %,(). E! &()% &!"& %,8% +%&#"' %&%&!&#"'%' %&%&!&#"'%' ,# '$ '%' ,#! ,# )#$%&! '%' "%!. PROPEN/ION MAR0INAL CON/UMO 1 A2ORRO FUNCION CONSUMO6
(K+
C (#!, #'()#'* ""'* %&#"' #'()#'* ""'*
D' )(/' &*)('()# !& ,&& &()% & ()% >,& '%' !'('% *' %&#!)# %&#!)# '%$)#'* ' (#!,)% &! &* %&!,*"' >,& &! *' &%)?'' & *' 9,#()# (#!, (# %&!&(" ' . PMC =
dc = f ´ ( x x ) dx
PROPENSION MARGINAL AL AHORRO
34 )#$%&! '%$)#'* /4 AHORRO
34(! /( ds ds =1 − dx dx
FUNCION A2ORRO ds ds =1 − dx dx
E#" E#"#( #(&! &! '%' '%' %&'*) &'*)' '%% *' )#"& )#"&$% $%'* '* '*) '*)(' ('' ' '* '/% '/%%% !&%) !&%)' ' >,& >,& &* (#! (#!, , #'( #'()#' )#'** &! )$,'* )$,'* ' *' )#"&$ #"&$%' %'** (# (# %&!& &!&(" (" ' & *' %&#!)# '%$)#'* ' (#!,)%
∫ f ´ ( ( x x )
c=
d54 F(5) 6C
EJEMPLO
EJERCICIO DE AHORRO.L' %&#!)# '%$)#'* '* '/%% &# ()&%" ':! &!"< ' %6 5 ds = dI ( I + 2 )2
D#& S & I %&%&!&#"' &* '/%% &* )#$%&! ""'* #'()#'*= %&!&(")?'&#"&= &!"<# &)! &# )*&! & )**#&! & *'%&!. S) &* (#!, ""'* #'()#'* &! & .5 )* )**#&! (,'# &* )#$%&! #'()#'* &! & )**#&! '%' >,@ ?'*% ?'*%&! & I &* '/%% ""'* #'()#'* &! )$,'* ' 0
5 ∫ ( I + +2)
S
)
2
S 5
∫ (i+2 )
−2
(i + 2)−1 )5. −1 + C
5
S (l +2) C S) C &! &* (#!, ""'* #'()#'* "&#&! >,&6 I CS CI-S T&#&! >,&6 5
C I ( l +2) −C C,'# I Y C .5 D&()! >,&6 5
.5 ( l +2) −C 1
.5
2
−c
S) C1 T&#&! >,& S 1−
0
1−
5
(l + 2 ) !) S0
5
(l +2 )
5
( l + 2) 1
5 I2 I2-5 I 3
EJERCICIO DEL CONSUMO L' %&#!)# '%$)#'* '* '/%% &# ()&%" ':! &!"< ' %6 ds 1 1.8 = −3 2 dI 2 √ 3i
D#& S& I %&%&!&#"' &* '/%% &* )#$%&! ""'*&! #'()#'*&! %&!&(")?'&#"&= &!"<# &)! &# )*&! & )**#&! & *'%&!. ' D&"&%)#& D&"&%)#& *' %&#!)# %&#!)# '%$)#'* '%$)#'* '* (#!, (#!, (,'# &* )#$%&! )#$%&! ""'* #'()#'* &! & 1 )* )**#&! 1 1.8 ds dc =1 − =1 −( − 3 2 ) dI di 2 √ 3 i
1 1.8 dc =1 −( − 3 ) 2 di √ 3 ( 81) ²
dc 1 1.8 =1 −( − ) 2 27 di
dc 17 = di 30
8 D&"&%)#& D&"&%)#& *' 9,#()# 9,#()# & (#!, (#!, !) &* '/%% '/%% &! & 3 )**#&! (,'# &* )#$%&! ""'* #'()#'* &! & 24 )* )**#&!
S
ds di d i=¿ di
∫ 12 − 1.8 3i √ 3
2
∫ 12 − 1.8 3i
di =
√ 3
∫¿
− 2/ 3
2
i
1
1.8 i 3
i
i
5.4
− 3 2 . +c = − 3 . √ i+ c 2 √ 3 S 2 √ 3i 1 3
3
S) S
i 2
−5.4 .
√ 3
I 3
C
10
di
Cuando i4 %7 * s4- tene!os:
3 12-5.4 √ 8 +c 3
C 1. T&#&! T&#&! >,& S
i 2
−5.4 .
√ 3
I 3
1. !) C &! &* (#!,# #'()#'* ""'*
"&#%:'! >,& ICS P% * "'#" #! '%<6 i
C I-S I -
2
−5.4 .
√ 3
I 3
1.
( U!& &* %&!,*"' %&!,*"' & *' '%"& 8 '%' '%' !"%'% !"%'% >,& &* (#!, (#!, &! & 54. )* )**#&! (,'# &* )#$%&! ""'* &! & 1 )* )**#&! C
81 2
5.4 .
√
3
81
-1.40.51;.2-1. 54. &! &()% &()% >,& &*
3
(#!, &! & 54= (,'# &* )#$%&! &! & 1 )* )**#&! & *'%&!. U!& )9&%&#()'* )9&%&#()'*&! &! *! %&!,*"'! %&!,*"'! & *'! '%"&! '%"&! ' 8 '%' &!")'% &* (#!, (,'# &* )#$%&! #'()#'* ""'* &! & )* )**#&! & *'%&!. F +I) 9+)(9+)
dc di di
I 1 )-3 &#"#(&! 9+9+1-3
+-3 F+1
54.
dc di 17 30
)1
(−3 )=53.2 &! &* ?'*% '%)' &* (#!, (,'# &* &*
)#$%&! #'()#'* ""'* &! & )* )**#&!
11
Fo!ación de ca$ita" S& %&&%& '* )#(%&&#" >,& !& ,&& "&#&% '(&%(' & *' ('#")' '(,,*'' & *! 8)&#&! & (')"'*= '%' >,& !& ,&' )#(%&&#"'% )(/ (')"'* !& &8& '% ,#' ()&%"' "'!' (# %&!&" '* ")& +"6 Tasa de +o!ación de ca$ita":
I ( t )= )=
F"u8o de In9esión Neta: Función de Ca$ita":
k ´ ( t )=
∫
dk dt
dk dt
∫
k ( ( t )= k ´ ( t ) dt = I ( (t ) dt
EJEMPLO
F,#()# F,#()# & 9%'()# & (')"'*. E* Q, & )#?&%!)# #&"' &!"< ' % /
I ( t )= 40 t
4 11
C,'# " 0 &* (')"'* + &! 4. D&"&%)#& *' 9,#()# >,& %&%&!&#"& '* (')"'*
∫
k ( ( t )= I ( t ) dt
t =0 k =47
∫ 40 t /
4 11
k ( ( t )=
∫ 40 t
4 / 11
k ( ( t )=
dt 15/ 11
dt =
40 t
/
15 11
15 / 11
+ c =29 t
+c
C 4 k ( ( t )=29
/
15 11
+ 47
R L' 9,#()# 9,#()# >,& %&%&!&#"' %&%&!&#"' '* (')"'* &!
12
15 / 11
k ( t )=29
+ 47
Aplicaciones económicas de la integr al definida integral definida E5cedente de" consu!ido L' 9,#()# & *' &'#' %&%&!&#"' *' ('#")' & ,# 8)&# !&%?)() >,& ,# (#!,)% &!"< )!,&!" ' '>,)%)% &# ,# &%) & ")&. E* %&() &# &* &%(' &!"< %&%&!&#"' % 0 *' ('#")' &'#' &# &* &%(' % >0= '>,&**! (#!,)%&! >,& &!"@# )!,&!" ' '$'% ,# %&() '% ' * >,& &!"< &# &* &%(' $'#'# ' >,& &* %&() &! !*'&#"& B % * "'#" &* &(&&#"& &* (#!,)% &! *' ('#")' <)' >,& &* (%'% &!"< )!,&!" ' '$'% % ,# 8)&# !&%?)() !&%?)() )& *' %)>,&' &(#)(' &!& &* *' &* (#!,)%. (#!,)%.
E5cedente de" Consu!ido
13
F%,*'6 q0
∫ f ( ( q ) dq −q p
Excedente del consumidor=
0
0
0
p0=¿ q0
E! *' ?'%)'8*& &&#)&#"&. +V'*%&! +V'*%&! &
E! *' ?'%)'8*& )#&&#)&#"&= &! &()% &!"< &# 9,#()# & .
+?'*%&! & E8e!$"o: 2 L' 9,#()# & &'#' & ,#' &%&!' )#,!"%)'* &! p=q −8 q +72 =
/'**'% &* &(&&#"& &* (#!,)%. (#!,)%. C,'#6 ' !) > 4 8 !) 0 5.
q0
∫ f ( ( q ) dq −q p
EC =
0
0 qo = 4
0
4
4
∫ ( q − 8 q +72) dq −(( 4 ) ( 56 ) )=∫ ( q −8 q +72 ) dq+224 2
EC =
2
0
EC =
[
0
q
3
3
2
]
−4 q + 72 x + 224
14
EC =
EC =
EC =
{[
4
3
3
64 3
] } {[
2
−4 ( 4 ) +72 ( 4 ) +224 −
0
3
3
2
] }
−4 ( 0 ) +72 ( 0) + 224
−64 +288 + 224− 224
−736 3
=245.33
q0
∫ f ( ( q ) dq −q p
EC =
0 po =57
0
0
5
( q −8 q +72 ) dq−( (5 ) ( 57 ) )=∫ ( q −8 q + 72 ) dq +285 2
2
0
¿
5
∫
EC = ¿ 0
EC =
[
EC =
{[
EC =
EC =
q
]
3
−4 q2 + 72 x + 285
3
3
5
3
125 3
2
3
0
3
2
] }
− 4 ( 0 ) + 72 ( 0 ) + 352
−100 + 360 + 352−352
−905 3
] } {[
− 4 ( 5 ) + 72 ( 5 ) + 352 −
=301.67
E(&&#"& '%' &* %,("% L' 9,#()# & 9&%"' &! *' ('#")' & ,# 8)&# !&%?)() >,& *'! &#")'&! &!"<# )!,&!"'! ' %,()% ?&#&% ' )9&%&#"&! %&()! ,%'#"& ,# &%) & ")&. E)!"&# '*$,#! %,("%&! >,& 9%&(&# 15
!,! %,( %,("! "! '* %&() %&() & &%(' &%(' %,( %,("% "%&! &! >,& 9%&(&# 9%&(&# &!& )! %,(" ' ,# %&() &#% '* &* &%('= (#!&(,&#"&&#"& *' )9&%&#( )9&%&#()' )' >,& &)!"& &)!"& &#"%& &#"%& &* %&() %&() >,& &%()8& &%()8& &* %,(" %,("% % &* %&( %&() ) >,& >,& &!"< &!"< )! )!,& ,&!" !" ' 9% 9%&(&% &(&% % % &* 8)&# 8)&# !&%? !&%?)( )() ) &! ,# &(&&#"& '%' &* %,("% &! &()% &* &(&&#"& &* %,("% )& &* 8)&#&!"'% &(#)( % &* *' &* %,("%. %,("%.
Fo!u"a: q0
∫ f ( ( q ) dq
Excedente Excedente del Produc Produc t ∨¿ q0 p 0−
0
p0=¿ q0
E! *' ?'%)'8*& &&#)&#"&. +V'*%&! +V'*%&! &
E! *' ?'%)'8*& )#&&#)&#"&= &! &()% &!"< &# 9,#()# & .
+?'*%&! &
E8e!$"o:
S) *' &(,'() &(,'()# # & 9&%"' 9&%"' &! /'**'% 0aca
&*
2
p=q + 6 q + 9
&(&&#"&
1;
&* %&() !& ' &# >0 4 &*
%,("%.
q0
∫
EP=q 0 p0 − f ( ( q ) dq p ₁ =4 0
5
∫
EP=( 5)( 4 )− f ( ( q −6 q + 9 ) dq 2
0
5
∫
EP=( 20)− f ( ( q −6 q + 9 ) dq 2
0
EP=( 20)−(
q
3 2
3
−3 q + 9 q )
5
¿ ¿ ¿3 0
¿ ¿ ¿3 ¿ 20 −¿ ¿−¿ 20 −¿ EP=¿
(
EP= 20−
EP=20 −
125 3
125 3
)
+ 75− 45 −20
+75− 45 −20=¿
1
EP=
−35 3
=−11.6
CONCLU/IONE/: D&!,@! & &!'%%**'% &!"& "%'8' & )#?&!")$'()# !8%& *'! )#"&$%'*&! )#&#)'!= /&! **&$' ' *' (#(*,!)# & >,&6 •
L' )#"&$%'* &#)' & *' 9,#()# &! 9 ,#' 9,#()# F "'* >,& ' ' F ( x )=f ( x ) = &# 9%' &>,)?'*&#"&= &# *' #"'()# )9&%&#()'* dF = f ( ( x ) dx
•
•
. S* (# *' %<(")(' !)!"&<")(' !& %< **&$'% ' &#"&#&% %&!*?&% &&%()()! & )#"&$%'*&! )#&#)'!. ,& &* &!",) & *'! )#"&$%'*&! )#&#)'! !# )%"'#"&! '%' *' '*)('()# %&!*,()# &# *' &(#:'.
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1
