11/Noviembre/2011
Instituto Tecnológico de Morelia
Alu$no: 09120782 Ramos Albarrán Fernando
José María Morelos y Pavón
Asesor: Dr. Osvaldo Gutiérrez !nc"ez Control I
[REPORTE DE LA PRÁCTICA #8
!RESPUESTA EN EL TIEMPO DE SISTEMAS DE PRIMER " SEUNDO
&
ORDEN
%$ División de #studios #stu dios Proesionales: Ingeniería #léctrica
RESUMEN #ste #ste docu$e docu$ento nto %rete %retende nde analiz analizar ar có$o có$o ca$&ia ca$&ia la res%u res%uest esta a te$%or te$%oral al de siste$as de %ri$er y segundo orden seg'n se ca$&ien sus %ar!$etros( %ara eso se usan distintas "erra$ientas de MAT)A* y IM+)I,- %ara si$ular dic"os siste$as. Pri$ero se %resentan las dierentes salidas %ara entradas escalón( i$%ulso y ra$%a $ediante la unción step ( des%ués se $uestran dierentes e/e$%los e/e$%los variando variando los %ar!$etros %ar!$etros de sus unciones unciones de transerencia transerencia(( y %or 'lti$o 'lti$o se $uestra $uestra co$o o&tene o&tenerr una unció unción n de transe transere renci ncia a a %artir %artir de %ar!$etros conocidos.
INTRODUCCIÓN )as res%uestas transitorias 0tales co$o res%uesta al escalón( al i$%ulso y a la ra$%a1 son usadas recuente$ente %ara investigar las características en el do$inio del tie$%o de los siste$as de control.
)as carac caracter teríst ística icas s de res%ue res%uesta sta transi transitor toria( ia( tales tales co$o co$o ra%ide ra%idez( z( $!2i$o $!2i$o so&rei$%ulso( tie$%o de esta&leci$iento( error en estado estacionario %ueden ser deter$inadas a %artir de la res%uesta al escalón unitario. i se conoce el nu$erador y el deno$inador de la 3unción de Transerencia en lazo cerrado( entonces se %uede usar el co$ando step ( num,den ) O &ien step ( num,den,t )
)a cual genera los valores de la res%uesta al escalón unitario 0t se utiliza %ara es%eci4car el tie$%o1. Para un siste$a de control de4nido en varia&les de estado el co$ando step ( A , B , C , D)
Gene Genera ra la gr!4 gr!4ca ca de la res%u es%ues esta ta al esca escaló lón. n. #ste #ste vect vector or es gene genera rado do auto$!tica$ente cuando t no es incluido en el co$ando escalón. 5uando e2isten argu$entos a la iz6uierda del co$ando tales co$o
[ y , x , t ]= step ( num,den,t )
[ y , x , t ]= step ( A , B , C , D , iu) iu , t ) [ y , x , t ]= step ( A , B , C , D , iu,
5on este co$ando no se gra4ca en la %antalla( sino 6ue "ay 6ue usar el co$ando plot %ara ver las curvas de la res%uesta. )as $atrices y( 2 contienen la salida y la res%uesta de estado del siste$a res% res%ec ecti tiva va$e $ent nte e %ara %ara los los %unt %untos os del del inte interv rval alo o t( la sali salida da y tien tiene e tant tantas as colu$nas co$o salidas y un renglón %or cada ele$ento en t( 2 tiene tantas colu$nas co$o estados tenga el siste$a y un renglón %or cada ele$ento en t.
DESARROLLO E'em()o%* Ob+e,er )- re.(e.+- -) e.-), ,i+-rio e) .i.+emC ( s ) = 2 25 R ( s ) s + 4 s + 25
#n MAT)A* usa$os
% respuesta del sistema a una entrada escalón unitario % función G(s) num=25; den=[1 4 25]; % comando para graficar step(num,den);grid title(!espuesta title(!espuesta al escalón unitario); unitario);
St epResponse 1. 4
1. 2
1
. 8 e0 d u t i l p m A0 . 6
0. 4
0. 2
0 0
0. 5
1
1. 5
2
2. 5
3
T i me( se c )
Re.(e.+- -) im().o% )a res%uesta al i$%ulso de
G ( s ) es la $is$a 6ue la res%uesta al escalón
sG ( s ) #/e$%lo( la res%uesta al i$%ulso unitario del siste$a
unitario de
C ( s )
1
R ( s )
s+ 1
= G (s )=
dado 6ue R ( s )=1 %ara una entrada i$%ulso( tene$os
(+)
C ( s )=
1
s
1
1
s
% "a respuesta al impulso unitario de G(s)=1#(s$1) % usando el comando de respuesta al escalón (step) % numerador denominador del sistema sG(s) num=[1 &]; den=[1 1]; % 'omando de la respuesta al escalón [,,t]=step(num,den);
figure(2) plot(,t, plot(,t,); ); grid on on; ; title(respuesta title(respuesta al impulso unitario de G(s)=1#(s$1)); G(s)=1#(s$1)); la*el(t la*el(t seg);la*el( seg);la*el(+mplitud +mplitud); ); r e sp ue st aali mp ul s ou ni t a r i odeG( G( s ) = 1/ ( s +1 )
6
5
4 d u t i l p 3 m A
2
1
0 0
0 . 1
0. 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5 ts eg
0 . 6
0 . 7
0. 8
0. 9
1
Re.(e.+- - ,- e,+r-- r-m(-% Para o&tener la res%uesta de una ra$%a de la unción de transerencia del siste$a G ( s ) , se divide G ( s ) %or
s y usa$os el co$ando de res%uesta al escalón.
#/e$%lo( el siste$a de lazo cerrado C ( s ) R ( s )
=
1
s
2
+ s +1
Para una entrada ra$%a(
C ( s )=
1 2
s
1
+ s +1 s
2
=
1
R ( s )=
1
s
2
se tiene
1
( s + s+ 1 ) s s 2
Para o&tener la res%uesta de una ra$%a en MAT)A* el nu$erador y deno$inador del siste$a se convierte en nu$789 9 9 ;< den78 9;<
5on lo cual se %uede utilizar u tilizar el co$ando %ara la res%uesta escalón 0ste%1 % !espuesta a la rampa es o*tenida como la respuesta al escalón de G(s)#s % numerador el denominador del sistema G(s)#s num=[& & & 1]; den=[1 1 1 &]; % specifica el tiempo de c-lculo (t=&.&/1.0) % el comando de respuesta al escalón t=&.&/1.0; c=step(num,den,t); % Grafica la respuesta la entrada de referencia % "a entrada de referencia es t figure() plot(t,c,o plot(t,c,o,t,t, ,t,t, ); ); grid on on; ; title(!espuesta title(!espuesta a una !ampa del sistema G(s)=1#(s32$s$1)); G(s)=1#(s32$s$1)); la*el(t la*el(t seg);la*el( seg);la*el(alida alida c); c);
2
7
Re s p ue s t aau n aRa mp mp ad els i s t e ma maG( G( s ) =1 / ( s+s+1)
6
5
4 c a d i l a S 3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
6
7
ts eg
)as =es%uestas de los siste$as ta$&ién se %ueden o&tener a %artir de la ecuación re%resentada en el tie$%o co$o se $uestra en los siguientes e/ercicios:
E'eriio C-))- 3 re(re.e,+- 4r56-me,+e )- re.(e.+- e , .i.+em- e 17 ore, o, ,- e,+r-- e, e.-), ,i+-rio% %!espuesta de un sistema de 1 orden con entrada en escalón unitario/ =input(6ntroduce =input(6ntroduce la ganancia del sistema.); sistema.); 7=input(6ntroduce 7=input(6ntroduce la constante de tiempo del sistema.); sistema.); t=&.&/1.2&; =8(ep((t)#7)); %9efinición de la ecuación de entrada en escalón unitario/ figure(4) plot(t,);
Introduce la ganancia del siste$a:>9 Introduce la constante de tie$%o del siste$a:?
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Introduce la ganancia del siste$a:>9 Introduce la constante de tie$%o del siste$a:9.? 2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
1 0
12
14
1 6
18
20
E'eriio C-))- 3 re(re.e,+- 4r56-me,+e )- re.(e.+- e , .i.+em- e 17 ore, o, ,- e,+r-- im().o% %!espuesta de un sistema de 1 orden con entrada impulso/ =input(6ntroduce =input(6ntroduce la ganancia del sistema.); sistema.); 7=input(6ntroduce 7=input(6ntroduce la constante de tiempo del sistema.); sistema.); t=&.&/1.2&; %9efinición del inter:alo de representación del incremento/ =(#7)8ep((t)#7); %9efinición de la ecuación de 1 orden impulso/ plot(t,); %rden de di*u
Introduce la ganancia del siste$a:@ Introduce la constante de tie$%o del siste$a:>
4 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
E'eriio C-))- 3 re(re.e,+- 4r56-me,+e )- re.(e.+- e , .i.+em- e 17 ore, o, ,- e,+r-- e, r-m(-% %!espuesta de un sistema de 1 orden con entrada en rampa/ =input(6ntroduce =input(6ntroduce la ganancia del sistema.); sistema.); 7=input(6ntroduce 7=input(6ntroduce la constante de tiempo del sistema.); sistema.); t=&.&/1.2&; =8(t7)$878(ep((t)#7)); plot(t,);
Introduce la ganancia del siste$a: Introduce la constante de tie$%o del siste$a:B 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Otra or$a de introducir seCales de %rue&a a un siste$a es co$o se $uestra en el siguiente e/ercicio:
E'eriio i$u i$ula larr y re%r e%resen esenta tarr la res%u es%ues esta ta a una una entr entrad ada a seno senoid idal al conta$inada %or ruido( siendo: G ( s )=
C ( s ) R ( s )
=
2
+5 s +1 s +2 s +3
2s 2
#n este este caso( caso( ser! necesario necesario utiliz utilizar ar una unció unción n univer universal sal 6ue %ueda %ueda ser utilizada %ara todas las entradas y es lsi$ 0ver ayuda de lsi$1. A esta esta unció unción( n( "ay 6ue es%eci es%eci4ca 4carle rle la seCal seCal 6ue le esta$o esta$os s a%lic a%licand ando( o( $ediante la varia&le u 6ue( %or e/e$%lo( %ara el caso de la ra$%a sera u7t y %ara %ara el caso caso de una seCa seCall cont conta$ a$in inad ada a %or %or otra otra seno senoid idal al(( ser! ser!:: u7si u7sin0 n0t1 t1 rand0size0t11( donde se su$ar!n una seCal senoidal so&re el tie$%o t y otra seCal aleatoria so&re el $is$o tie$%o( lo 6ue dar! lugar a una seCal aleatoria 6ue %uede ser utilizada co$o ruido( %or6ue el ruido( en realidad( es eso( una seCal aleatoria. #n Matla& el %rogra$a 6uedaría: % ar-metros del sistema/ t=&.&/1.1&; u=sin(t)$randn(si>e(t)); num=[2 5 1]; den=[1 2 ]; lsim(num,den,u,t);
L i n ea rSi mu l a t i o nRe su l t s 10 8 6 4 2 e d u t i l p m A
0 2 4 6 8
10 0
1
2
3
4
5 Ti me(sec)
6
7
8
9
10
E'eriio
•
.. .. #l o&/e o&/eti tivo vo unda unda$e $ent ntal al es el de o&se o&serv rvar ar co$o co$o un siste siste$a $a de %ri$ %ri$er er orde orden n ca$& ca$&ia ia su res%u es%ues esta ta de acue acuerd rdo o al ca$& ca$&io io de %ar!$etros. .. .. An!l An!lis isis is de de res res%u %ues esta ta de&i de&ida da a ca$ ca$&i &ios os en en %ar! %ar!$e $etr tros os =ealizar un %rogra$a 0arc"ivo .$1 6ue calcule la res%uesta al escalón( τ i$% i$%ulsi ulsiva va y ra$% ra$%a a de un sist siste$ e$a a de %ri$e ri$err orde orden( n( dond donde e 0constante de tie$%o1 varía de 9 a 99 en %asos de 9 y los visualice en step’ una sola 4gura. Para ello utilice el co$ando ‘ step’
%!espuesta al escalon unitario =input(6ntroduce =input(6ntroduce la ganancia del sistema.); sistema.); for 7=&/1.1&.1&&/1 for 7=&/1.1&.1&&/1 %?ar@a el :alor de 7au de &/1 a 1&&/1 en pasos de 1& [,,t]=step([& ],[7 1]);%'omando 1]);%'omando de la respuesta escalón figure(1) %Aantiene la figura en pantalla Bold on %ara sostener todas graficas en una misma figura plot(t,);grid on %Grafica la respuesta al escalón title(!espuesta title(!espuesta al escalón unitario); unitario); %7@tulo de la gr-fica end Bold off G1=tf([& ],[7 1])%'rea 1])%'rea una función de tranferencia para una %respuesta escalón con el Cltimo :alor de tau r=[& 2&& & 4]; %9efine los l@mites para gr-ficar %!espuesta al impulso unitario for 7=&/1.1&.1&&/1 for 7=&/1.1&.1&&/1 [,,t]=step([ &],[7 1]); %'omando de la respuesta impulso figure(2); ais(r);%Aantiene ais(r);%Aantiene la figura en pantalla con sus l@mites Bold on plot(t,);grid on %Grafica la respuesta al impulso title(!espuesta title(!espuesta al impulso unitario); unitario); end Bold off G2=tf([ &],[7 1])%'rea 1])%'rea una función de tranferencia para una %respuesta impulso con el Cltimo :alor de tau %!espuesta a la rampa unitaria s=[& 1& & 5]; for 7=&/1.1&.1&&/1 for 7=&/1.1&.1&&/1 [,,t]=step([& & 1],[7 1 &]); %'omando de la respuesta rampa figure() ais(s); Bold on plot(t,);grid on %Grafica la respuesta a la rampa title(!espuesta title(!espuesta a la rampa unitaria); unitaria); end Bold off G=tf([& & 1],[7 1 &])%'rea &])%'rea una función de tranferencia para una %respuesta rampa con el Cltimo :alor de tau
#n la ventana de co$andos de MAT)A* MAT)A* nos %ide la ganancia del siste$a: Introduce la ganancia del siste$a:?9 Transer T ranser unction: unction: ?9 EEEEEEEEEEE 99. s
Transer T ranser unction: unction: ?9 s EEEEEEEEEEE 99. s Transer unction: EEEEEEEEEEEEE 99. sF> s
luego se gra4can las res%uestas res%uestas a cada una de las las entradas. Re sp ue st aal e sc al ó nu ni t a r i o
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0
100
200
300
400
500
600
Re sp u es t aa li mp ul s ou n i t a r i o
4 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0
20
40
60
80
100
120
14 0
160
18 0
200
8
9
10
Re s pu es t aal ar a mp au ni t a r i a
5 4. 5 4 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0
•
1
2
3
4
5
6
7
=eal ealizar izar un %ro %rogra$ gra$a a 6ue calc calcul ule e el tie$%o e$%o de su&i su&ida da esta&leci esta&leci$ient $iento o
( Tr ) y
( Ts) utilizando los datos generados %or la unción
’ step’ step’ . % 'alcule el tiempo de su*ida (7r), esta*lecimiento (7s) % error de posición utili>ando los datos generados por la función DstepD/ % !eali>ar una gr-fica del 7r :s/7 7s :s/ 7/ =input(6ntroduce =input(6ntroduce la ganancia del sistema.); sistema.); for 7=1&.1&.1&& for 7=1&.1&.1&& [,,t]=step([& ],[7 1]); tr((7#1&))=2/1E87; 71((7#1&))=7; 7s((7#1&))=/E187; end disp(7iempo disp(7iempo de u*ida F7rF) F7rF) tr disp(7iempo disp(7iempo de sta*lecimiento F7sF) F7sF) 7s
figure(1) plot(tr,71);grid on title(Grafica title(Grafica 7r :s 7); 7); figure(2) plot(7s,71); grid on title(Grafica title(Grafica 7s :s 7); 7);
#n la ventana ven tana de co$andos de MAT)A* MAT)A* introduci$os la ganancia del siste$a. Introduce la ganancia del siste$a:>? Tie$%o de u&ida HTrH HTrH tr 7 5olu$ns t"roug" t"roug" @ >.999 B.@999 ?.K999 @K.999 9.?999 .B999 ?.999 K?.>999 5olu$ns t"roug" t"roug" 9 K.999 >.9999 Tie$%o de #sta&leci$i #sta&leci$iento ento HTsH HTsH Ts T s7 5olu$ns t"roug" t"roug" @ .999 K@.>999 K.999 ?.B999 ?.B999 ?.?999 ?.?999 >B.999 >B.999 >K.K999 >.@999 5olu$ns t"roug" t"roug" 9 ?.999 .9999 •
Tr vs. τ y Ts vs. τ son las siguientes:
)as gr!4cas de
Gr aficaTsvsT
Gr a fi caTrvsT 100
100
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10 20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
10 0
50
100
150
200
250
300
350
400
•
+tilice el )TILI# )TILI# %ara co$%ro&ar los resultados 0use
help )TILI#
%ara ver có$o unciona1. NN )TILI#
)uego de teclear )TILI# )TILI# nos a%arece la siguiente ventana( va$os al $en' arc"ivo y da$os clic en i$%ortar
elecciona$os cada una de las unciones de transerencia creadas en el %rogra$a
o&tene$os las siguientes res%uestas res%uestas %ara cada una de las las entradas.
.>. .>. An!lis An!lisis is en IM+)I IM+)I,- ,- I$%le$ente el siguiente siste$a de %ri$er orden en IM+)I,- C ( s ) 2 =G ( s )= R ( s ) 0.5 s + 1
•
+tilizando co$o entrada una seCal escalón y colocando un integrador y un derivador a la salida( si$ule el $odelo.
•
+tilizando co$o entrada una seCal escalón y colocando un integrador y un derivador a la salida %or se%arado
i i
5o$o 5o$o se %ued %uede e ver ver la deri deriva vada da del del esca escaló lón n es un i$%u i$%uls lso o 0$or 0$orad ado1 o1 y la integral de este $is$o es una ra$%a 0a$arilla1. •
Analic Analice e las res%u res%uest estas as y co$%!r co$%!rela elas s con los result resultado ados s del e/erc e/ercici icio o anterior. 5o$%arando los resultados del $odelo con los del e/ercicio anterior se %uede o&servar 6ue las res%uestas a las entradas en a$&os casos son $uy si$ilares ya 6ue tratan de alcanzar el valor de la ganancia
>. i$ulació i$ulación n de siste$as siste$as de de segundo segundo orden orden >.. >.. An!lis An!lisis is de res% res%uest uesta a de&id de&ida a a ca$&i ca$&ios os de %ar!$e %ar!$etro tros s I$%le$ente un %rogra$a 6ue $uestre la res%uesta de un siste$a de •
ωn
segundo segundo orden con con
7 y donde
ξ 0actor de a$ortigua$iento1
varié desde 9 "asta .9 en %asos de 9.>. %Auestra la respuesta de un sistema de segundo orden con %donde
ξ
ω
n=1
(factor de amortiguamiento) :ar@a desde & Basta 1/&
%en pasos de &/2/ n=1; for =&/2.&/2.1 for =&/2.&/2.1 %?ar@a de &/2 a 1 en pasos de &/2 [,,t]=step([& & n],[1 288n n]); %!espuesta de un sistema de %2do/ orden Bold on plot(t,);grid on %Grafica la salida end Bold off G=tf([& & n],[1 288n n]) %Auestra la función de transferencia
%para
ξ
=1
e si$ula( y en la ventana de co$andos de MAT)A* se $uestra lo siguiente. Transer T ranser unction: EEEEEEEEEEEEE sF> > s 1 . 6 1 . 4 1 . 2 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 0
•
5
10
15
2 0
25
#scri& #scri&a a un %rogr %rogra$a a$a 6ue le %er$ita %er$ita calcul calcular ar el
30
Mp ( el tie$%o de
esta&leci$iento en unción de los valores de los %ar!$etros.
%'alculo de Ap en porcentaca =input(6ntrodu>ca el factor de amortiguamiento. ); ); n=input(6ntrodu>ca n=input(6ntrodu>ca la frecuencia natural no amortiguada. ); ); disp(A-imo disp(A-imo so*reimpulso FApF en porcenta
Introduzca el actor de a$ortigua$iento: @ Introduzca la recuencia natural no a$ortiguada: > M!2i$o so&rei$%ulso HM%H en %orcenta/e M%seg 7 >@.9?K Tie$%o de de esta&leci$iento HTsH %ara el >Q ts 7 9.@@@ •
Raga un gr!4co de
Ts vs. #l Mp ( %ara valores de
ξ y ωn
entre 9 y
.9 %Grafica 7s :s/ Ap para :alores de
ξ
ω
n entre & 1/&
for =&.&/2.1 for =&.&/2.1 for In=&.&/2.1/& for In=&.&/2.1/& ts=4#(8n) %'alcula ts con error del 2 por ciento Ap=1&&8ep((8pi)#(sHrt(132))) %'acula Ap en porcenta
0. 4
0. 6
0. 8
1
1. 2
1. 4
1 . 6
1. 8
•
+tilice )TILI# %ara co$%ro&ar sus %rogra$as.
Pode$os ver 6ue el gr!4co $ostrado corres%onde %ara un valor de
ξ =1 del
%ri$er e/e$%lo del e/ercicio >. . +tiliz +tilizand ando o los an!lisis an!lisis e2%uesto e2%uestos s en los e/ercic e/ercicios ios anterior anteriores es llegue llegue a conclusiones es%ecí4cas so&re el co$%orta$iento de los siste$as de segundo segundo y %ri$er %ri$er orden orden.. Presen Presente te un re%or re%orte te co$%le co$%leto to 6ue incluy incluya a ade$!s los %rogra$as y gr!4cos realizados. •
#n un siste$a de segundo orden( en el caso su&a$ortiguado se o&servó 6ue %ara un valor
•
d e ξ 1 el
valo valorr $!2i $!2i$o $o de la res%u es%ues esta ta va
dis$inuyendo y el %eriodo del transitorio au$enta. Para siste$as de %ri$er orden se o&servó 6ue %ara un valor grande de τ la res%uesta alcanza $!s r!%ido su valor $!2i$o( %or lo tanto el
•
tie$%o del transitorio dis$inuye. #l valor de estado esta&le de los siste$as de %ri$er orden y de segundo orden es el %roducto de la ganancia y de la $agnitud del escalón.
B. Identi4cac Identi4cación ión de de siste$as siste$as de de segundo segundo orden orden B.. B.. #l gr!4c gr!4co o siguie siguiente nte $uest $uestra ra la res% res%ues uesta ta a escaló escalón n unitari unitario o de un siste$a de segundo orden desconocido:
e %ide deter$inar deter$inar la unción de transerencia transerencia el siste$a a %artir %artir de los valores 6ue se $uestran en el gr!4co. i$ular un siste$a con esa unción de transerencia %ara co$%ro&ar 6ue los c!lculos realizados son correctos. De acuerdo a la gr!4ca dada( se o&tienen los siguientes valores: !"lor de est"doest"#le=! ss =5 !"lor m$ximo=!p =6 Tp=1 s
A %artir de la siguiente ecuación: ! % =! ss ( 1+ M p )
Dónde:
( −) M =e √ −
ξ&
1
ξ
2
p
ξ , o&tene$os:
i se des%e/a ln ( Mp ) =
−ξ & √ 1− ξ
2
( 1− ξ ) ln ( Mp ) =ξ 2
2
ln ( Mp )
2
−ξ
ln ( Mp )
2
=ξ & + ξ
ln
2
2
2
&
ln ( Mp )
2
2
2
2
2
2
=ξ &
ln ( Mp )
2
( Mp ) =ξ ( & + ln ( Mp ) ) 2
2
ln ( Mp )
2
2
Mp ) ) ( & + ln ( Mp 2
2
ξ =∓
√(
2
=ξ
2
ln ( Mp )
2
2
& + ln ( Mp Mp )
2
)
=∓
ln ( Mp )
Mp ) ) √ ( & + ln ( Mp 2
2
Del cual solo se to$a el valor %ositivo ya 6ue no e2isten recuencias negativas. ξ=
ln ( Mp )
Mp ) ) √ ( & + ln ( Mp 2
2
Mp
#valuando el valor de ξ =0.455
)uego se usa la siguiente ecuación: T p =
& ωn √ 1 −ξ
2
ωn
Para des%e/ar ω n=
& T p √ 1 −ξ
5onociendo
2
=
&
√
2
1 1 −0.455
ξ y
transerencia:
( lo 6ue da co$o resultado:
ωn
=3.5279
se %ueden sustituir en la siguiente unción de
G ( s )=
! ss ωn s
2
2
+ 2 ξ ωn s + ω n
2
Dónde: ! ss= '( ' =)"n"n*i )"n"n*i" " del sistem sistem" " (= m")nitud m")nitud del es*"l+n es*"l+nunit" unit"rio rio
i se a%lica en la entrada del siste$a un escalón unitario y o&servando 6ue la res%uesta tiende a ?( se deduce 6ue la ganancia del siste$a es ?( se eval'a la unción con los valores encontrados: 2
( 5 ) ( 3.5279 ) 62.23 G ( s )= = s + 3.2103 s + 12.446 s + 2 ( 0.455 ) ( 3.5279 ) s + ( 3.5279 ) 2
2
2
e introducen los datos a MAT)A* MAT)A* %ara co$%ro&ar resultados: num=(J2/2); den=[1 /21& 12/44J]; % 'omando de la respuesta al escalón step(num,den,* step(num,den,*); );
St epRe Response 7
6
5
e4 d u t i l p m A3
2
1
0 0
0. 5
1
1. 5
2
2. 5
3
Ti me(sec)
e %uede a%reciar 6ue se o&tuvo la $is$a gr!4ca dada.
3. 5
B.>. B.>. #n est este e caso caso se se $ues $uestr tra a la res% res%ue uesta sta a esca escaló lón n de val valor or 9.? 9.? %ar %ara a un siste$a de segundo orden desconocido.
•
•
e %ide Deter$inar la unción de transerencia del siste$a a %artir de los valores 6ue se $uestran en el gr!4co. i$ular un siste$a con esa unción de transerencia %ara co$%ro&ar 6ue los c!lculos realizados son correctos 0el escalón de&e tener valor 4nal 9.?1.
De acuerdo a la gr!4ca dada( se o&tienen los siguientes valores: !"lor "lor de est"doest"# est"doest"#le le ! ss=−2 !"lor m$ximo m$ximo !p =−3.15 Ts=12 s (*onun*riteriodel 5 )
Tene$os Tene$os a"ora la siguiente ecuación: ecuación: ! % =! ss ( 1+ M p )
Dónde:
( −) M =e √ ξ &
−
1
ξ
2
p
ξ y se tiene:
e des%e/a ξ =0.1430
)uego con la siguiente ecuación: T s=
3
ξ ωn ωn
e des%e/a
y o&tene$os:
ω n=1.7482
5onociendo los valores del siste$a se %ueden sustituir en la siguiente ecuación: G ( s )=
! ss ωn s
2
2
+ 2 ξ ωn s + ω n
2
Dónde( se o&serva 6ue: (l v"lor de est"do est"#le es−2 " m")nitud del es*"l+nes es*"l+n es :0.5 " )"n"n*i" del sistem" ' =− =−4
Por lo 6ue la unción de transerencia se eval'a de la siguiente $anera: G ( s )=
(0.5 )(−4 )( 3.056 ) −6.112 = s + 0.5 s + 3.056 s +0.5 s + 3.056 2
2
e introducen los datos a MAT)A* MAT)A* %ara co$%ro&ar resultados: num=(J/112); den=[1 &/5 /&55];
figure(2) % 'omando de la respuesta al escalón step(num,den,* step(num,den,*); ); St epResponse 0
0 . 5
1
S ys t e m: m:s y s Ti me( s e c) : 1 1. 5 Amp l i t u de :1 . 9 3
1 . 5 e d u t i l p m A 2
2 . 5
3
3 . 5 0
S ys t e m: m:s y s Ti me( s e c) : 1 . 8 9 Amp l i t u de :3 . 2 5
5
10
15
20
25
Ti me(sec)
e %ued %uede e o&se o&serv rvar ar 6ue 6ue a$&a a$&as s gra4 gra4ca cas s son son igua iguale les( s( la segu segund nda a es una una a%ro2i$ación a%ro2i$ación de&ido a los valores %or redondeo
CONCLUSIONES #n un siste$a de segundo orden( en el caso su&a$ortiguado se o&servó 6ue %ara %ara un valor valor d e ξ 1 el valor $!2i$o de la res%uesta va dis$inuyendo y el %eriodo del transitorio au$enta. Para siste$as de %ri$er orden se o&servó 6ue %ara un valor grande de τ la res%uesta alcanza $!s r!%ido su valor $!2i$o( %or lo tanto el tie$%o del transitorio dis$inuye. #sto se o&servó clara$ente al "acer variar dic"os %ar!$etros en los e/ercicios a los largo de la %r!ctica( de la $is$a or$a or$a se %uede "acer "acer variar otros otros ti%os de %ar!$etr %ar!$etros os y o&servar el co$%orta$ co$%orta$iento iento de la res%uesta res%uesta del siste$a( esta es sólo una de las venta/as venta/as 6ue se o&tienen a %artir de una si$ulación.
ILIORA9:A Tecnológico de Morelia( [1& Dr. Osvaldo Gutiérrez !nc"ez( S5ontrol I( Instituto Tecnológico De%arta$ento de Ingeniería #léctrica.
[2& David David *!ez *!ez )ó%ez )ó%ez(( SMAT)A* SMAT)A* con A%lica A%licacio ciones nes a la Ingeni Ingenierí ería( a( 3ísic 3ísica a y 3inanzas( ra. #dición( #ditorial Alao$ega( se%tie$&re >99.
[;& Javier García de Jalón( José Ignacio =odríguez( Alonso *raz!lez( SA%renda Matla& Matla& ?. co$o si estuvi estuviera era en %ri$er %ri$ero o(( Pertenec ertenecien iente te a la colecci colección: ón: SA%rendaU( co$o si estuviera en %ri$ero( %ri$ero( an e&asti!n( Agosto .
