INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
LABORATORIO DE CONTROL I
PRÁCTICA 8: “RESPUESTA EN EL TIEMPO DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN”
PROFESOR Dr. Osvaldo Gutiérrez Sánchez
ALUMNO Diego Villegas Govea
MORELIA, MICHOACÁN
FECHA
11 de mayo de 2018
Contenido Resumen .................................................. ............................................................................ ................................................... .................................................. ............................... ...... 3 Introducción................................................... ............................................................................ .................................................. ................................................... ............................ 3 Desarrollo ................................................. ........................................................................... ................................................... .................................................. ............................... ...... 5 Respuesta al Impulso .................................................. ............................................................................ .................................................... ................................... ......... 5 Respuesta a una entrada rampa ........................................ ................................................................. .................................................. ............................... ...... 7 Ejercicio 1 ................................................. ........................................................................... ................................................... .................................................. ............................... ......9 Ejercicio 2 ................................................. ........................................................................... ................................................... .................................................. ............................. .... 11 Ejercicio 3 ................................................. ........................................................................... ................................................... .................................................. ............................. .... 13 Ejercicio................................................ ......................................................................... ................................................... ................................................... ................................. ........ 15 Ejercicio................................................ ......................................................................... ................................................... ................................................... ................................. ........ 16 Identificación Identificación de sistemas de segundo orden ........................................................... ............................................................................... .................... 31 Conclusiones Conclusiones .................................................. ........................................................................... .................................................. .................................................. ......................... 38 Bibliografía................................................ .......................................................................... ................................................... .................................................. ............................. .... 38
Resumen En esta práctica de laboratorio se pretende analizar cómo es que cambia la respuesta temporal de sistemas de primer primer y segundo orden, según se cambien cambien sus parámetros. parámetros. Para eso se usan distintas herramientas de MATLAB y SIMULINK para simular dichos sistemas. Primero se presentan las diferentes salidas para entradas escalón, escalón, impulso y rampa rampa mediante la función, después se muestran diferentes ejemplos variando los parámetros de sus funciones de transferencia, y por último se muestra como obtener una función de transferencia a partir de parámetros conocidos.
Introducción Las respuestas transitorias (tales como respuesta al escalón, escalón, al impulso y impulso y a la rampa) rampa) son usadas frecuentemente para investigar las características en el dominio del tiempo de los sistemas de control. Las características de respuesta transitoria, tales como rapidez, máximo sobre impulso, tiempo de establecimiento, error en estado estacionario pueden ser determinadas a partir de la respuesta al escalón unitario. Si se conoce el numerador y el denominador de la Función de Transferencia en lazo cerrado, entonces se puede usar el comando: step (num, den) O bien step (num, den, t) La cual genera los valores de la respuesta al escalón unitario (t se utiliza para especificar el tiempo). Cuando existen argumentos a la izquierda del comando tales como: [y,x,t]= step (num, den, t) Con este comando no se grafica en la pantalla, sino que hay que usar el comando para ver las curvas de la respuesta.
Las matrices y, x contienen la salida y la respuesta de estado del sistema respectivamente para los puntos del intervalo t, la salida y tiene tantas columnas como salidas y un renglón por cada elemento en t, x tiene tantas columnas como estados tenga el sistema y u n renglón por cada elemento en t.
Sistema de segundo orden
Desarrollo Ejemplo. - Obtener la respuesta al escalón unitario del sistema.
En Matlab usamos:
% respuesta del sistema a una entrada escalón unitario % función G(s) num=25; den= [1 4 25]; % comando para graficar step (num, den); grid title ('Respuesta al escalón unitario');
Respuesta al Impulso
La respuesta al impulso de G(s) es la misma que la respuesta al escalón unitario de sG(S). Ejemplo, la respuesta al impulso unitario del sistema:
dado que R(s)=1 para una entrada impulso, tenemos:
% La respuesta al impulso unitario de G(s)=1/(s+1) % usando el comando de respuesta al escalón (step) % numerador y denominador del sistema sG(s) num= [1 0]; den= [1 1]; % Comando de la respuesta al escalón [y,x,t]= step(num,den); figure(2) plot(y,t,'k'); grid on; title('respuesta al impulso unitario de G(s)=1/(s+1)'); xlabel('t seg');ylabel('Amplitud');
Respuesta a una entrada rampa
Para obtener la respuesta de una rampa de la función de transferencia del sistema G(s), se divide G(s) por s, y usamos u samos el comando de respuesta al escalón.
Ejemplo, el sistema de lazo cerrado:
Para una entrada rampa, R(s)= 1/ s^2 se tiene:
Para obtener la respuesta de una rampa en Matlab el numerador y denominador del sistema se convierte en:
num= [0 0 0 1]; den= [1 1 1 0];
Con lo cual se puede utilizar el comando para la respuesta escalón (step).
% Respuesta a la rampa es obtenida como la respuesta al escalón de G(s)/s % numerador y el denominador del sistema G(s)/s num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0]; % Especifica el tiempo de cálculo (t=0:0.1:7) % y el comando de respuesta al escalón t=0:0.1:7; c=step(num,den,t); % Grafica la respuesta y la entrada de referencia % La entrada de referencia es t figure(3) plot(t,c,'ko',t,t,'k-'); grid on; title('Respuesta a una Rampa del sistema G(s)=1/(s^2+s+1)'); xlabel('t seg');ylabel('Salida c');
Las Respuestas de los sistemas también se pueden obtener a partir de la ecuación representada en el tiempo como se muestra en los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1 Calcula y representa gráficamente la respuesta de un sistema de 1º orden con una entrada en escalón unitario.
%Respuesta de un sistema de 1º orden con entrada en escalón unitario. k=input('Introduce la ganancia del sistema:'); T=input('Introduce la constante de tiempo del sistema:'); t=0:0.1:20; y=k-k*(exp((-t)/T)); %Definición de la ecuación de entrada en escalón unitario. figure(4) plot(t,y);
Figura 2
Figura 1 Conclusiones para ambos casos: A partir de la respuesta temporal de un sistema de primer orden ante ante una excitación escalón untaría: para la figura 2.
− () = (1 )
Se analizará esta respuesta variando los parámetros (ganancia del sistema) y (constante de tiempo del sistema) . Nótese en esta figura 1, que si el módulo de la ganancia, ||, es mayor que la unidad, el sistema amplifica, en el caso de que la ganancia sea menor que la unidad la salida, es más pequeña que la entrada (el sistema atenúa). Otro criterio sobre la ganancia , es que la salida alcanzará, en el régimen permanente, el nivel de la ganancia estática del sistema como se ob serva en esta figura 1. En cuanto a la constante de tiempo del sistema , se define como la rapidez del sistema. Se observa en la figura 1 que si es pequeña, el tiempo requerido para que el sistema adquiera diferentes valores en porcentaje de su valor final será mayor que si es grande.
Ejercicio 2 Calcula y representa gráficamente la respuesta de un sistema de 1º orden con una entrada impulso.
%Respuesta de un sistema de 1º orden con entrada impulso. k=input('Introduce la ganancia del sistema:'); T=input('Introduce la constante de tiempo del sistema:'); t=0:0.1:20; %Definición del intervalo de representación y del incremento. y=(k/T)*exp((-t)/T); %Definición de la ecuación de 1º orden impulso. plot(t,y); %Orden de dibujo de la gráfica.
Figura 3
Figura 4 Conclusiones para ambos casos: A partir de la respuesta temporal de un sistema de primer orden ante ante una excitación impulso unitario: de la figura 3. () =
−
Se analiza la respuesta del sistema al excitar con una entrada impulso unitario. Es de importancia señalar que ante esta excitación (impulso unitario) ya se tiene un valor en el tiempo t=0, dicha respuesta es instantánea, la cual tiende a un valor cero una vez que transcurre el tiempo. Ya que la amplitud está dada por /; se observa en la figura 3 que variando el parámetro (constante de tiempo del sistema) mientras menor sea el valor de éste parámetro, la respuesta se extinguirá más rápidamente y que a su vez tendrá mayor amplitud, cuando adquiere valores más grandes, la respuesta tarda menos tiempo en extinguirse pero con una menor amplitud, esto ocurre teniendo constante el valor . Ahora teniendo constante el valor de en la figura la figura 4 se observa que a mayor valor de la amplitud será mayor y el tiempo de extinción de la respuesta es ligeramente también mayor.
Ejercicio 3 Calcula y representa gráficamente la respuesta de un sistema de 1º orden con una entrada en rampa.
%Respuesta de un sistema de 1º orden con entrada en rampa. k=input('Introduce la ganancia del sistema:'); T=input('Introduce la constante de tiempo del sistema:'); t=0:0.1:20; y=k*(t-T)+k*T*(exp((-t)/T)); plot(t,y);
Figura 5
Figura 6 Conclusiones para ambos casos: A partir de la respuesta temporal de un sistema de primer orden ante ante una excitación rampa untaría: Para la figura 5.
− () = ∗ ( ) + ∗ ∗
La salida, en el régimen permanente, sigue a la de mando con un error dado por la ganancia y la constante de tiempo del sistema. Para el caso de tener una ganancia estática unitaria en el sistema, k = 1, el error coincide con la constante de tiempo del sistema. ( ) =
Al variar y aumentar aumentar el parámetro T se observa como el error en estado estacionario aumenta. En la figura 6, se observa que al variar el parametro k y proporcionar valores pequeños, el error de estado estacionario se vuelve mucho mayor con respecto a la señal de mando; conforme aumenta k el error de estado estacionario disminuye con respecto a la señal de mando.
Otra forma de introducir señales de prueba a un sistema es como se muestra en el siguiente ejercicio:
Ejercicio Simular y representar la respuesta a una entrada senoidal contaminada por ruido, siendo:
En este caso, será necesario utilizar una función universal que pueda ser utilizada para todas las entradas y es lsim (ver ayuda de lsim). A esta función, hay que especificarle la señal que le estamos estamos aplicando, mediante la variable variable u que, por ejemplo, para el caso de la rampa será u=t y u=t y para el caso de una señal contaminada por otra senoidal, será: u=sin(t)+rand(size(t)) u=sin(t)+rand(size(t)),, donde se sumarán una señal senoidal sobre el tiempo t y otra señal aleatoria sobre el mismo tiempo, lo que dará lugar a una señal aleatoria que puede ser utilizada como ruido, porque el ruido, en realidad, es eso, una señal aleatoria.
En Matlab el programa quedaría: % Parámetros del sistema. t=0:0.1:10; u=sin(t)+randn(size(t)); num=[2 5 1]; den=[1 2 3]; lsim(num,den,u,t);
Ejercicio 1. El objetivo fundamental es el de observar como un sistema de primer orden cambia su respuesta de acuerdo al cambio de parámetros. 1.1. Análisis de respuesta debida a cambios en parámetros Realizar un programa (archivo .m) que calcule la respuesta al escalón, impulsiva y rampa de un sistema de primer orden, donde (constante de tiempo) varía de 0 a 100 en pasos de 10 y los visualice en una sola figura. Para ello utilice el comando “step”. comando “step”.
%Respuesta al escalón unitario k=input('Introduce la ganancia del sistema:'); for T=0.1:10:100.1 %Varía el valor de Tau de 0.1 a 100.1 en pasos de 10 [y,x,t]=step([0 k],[T 1]);%Comando de la respuesta escalón figure(1) %Mantiene la figura en pantalla hold on %Para sostener todas graficas en una misma figura plot(t,y);grid on %Grafica la respuesta al escalón title('Respuesta al escalón unitario'); %Título de la gráfica end hold off G1=tf([0 k],[T 1])%Crea una función de transferencia para una %respuesta escalón con el último valor de tau r=[0 200 0 4]; %Define los límites para graficar %Respuesta al impulso unitario for T=0.1:10:100.1 [y,x,t]=step([k 0],[T 1]); %Comando de la respuesta impulso figure(2); axis(r);%Mantiene la figura en pantalla con sus límites hold on plot(t,y);grid on %Grafica la respuesta al impulso title('Respuesta al impulso unitario'); end hold off G2=tf([k 0],[T 1])%Crea una función de transferencia para una %respuesta impulso con el último valor de tau
%Respuesta a la rampa unitaria s=[0 10 0 5]; for T=0.1:10:100.1 [y,x,t]=step([0 0 1],[T 1 0]); %Comando figure(3) axis(s); hold on plot(t,y);grid on %Grafica la respuesta title('Respuesta a la rampa unitaria'); end hold off G3=tf([0 0 1],[T 1 0])%Crea una función %respuesta rampa con el último valor de
de la respuesta rampa
a la rampa
de transferencia para una tau
En la ventana de comandos de MATLAB nos pide la ganancia del sistema : Introduce la ganancia del sistema:50 Transfer function: 50 ----------100.1 s + 1 Transfer function: 50 s ----------100.1 s + 1 Transfer function: 1 ------------100.1 s^2 + s
luego se grafican las respuestas a cada una de las entradas.
Realizar un programa que calcule el tiempo de subida (Tr), establecimiento (Ts) y utilizando error de posicion utilizando los datos generados por la función “step”. % Calcule el tiempo de subida (Tr), establecimiento (Ts) y % error de posición utilizando los datos generados por la función ’step’.
% Realizar una gráfica del Tr vs.T y Ts vs. T. k=input('Introduce la ganancia del sistema:'); for T=10:10:100 [y,x,t]=step([0 k],[T 1]); tr((T/10))=2.19*T; T1((T/10))=T; Ts((T/10))=3.91*T; end disp('Tiempo de Subida "Tr"') tr disp('Tiempo de Establecimiento "Ts"') Ts figure(1) plot(tr,T1);grid on title('Grafica Tr vs T'); figure(2) plot(Ts,T1); grid on title('Grafica Ts vs T');
En la ventana de comandos de Matlab introducimos in troducimos la ganancia del sistema. Introduce la ganancia del d el sistema:25 Tiempo de Subida "Tr" tr = Columns 1 through 8 21.9000 43.8000 65.7000 87.6000 109.5000 131.4000 153.3000 175.2000 Columns 9 through 10 197.1000 219.0000 Tiempo de Establecimiento Establecimiento "Ts" Ts = Columns 1 through 8 39.1000 78.2000 117.3000 156.4000 195.5000 234.6000 273.7000 312.8000 Columns 9 through 10 351.9000 391.0000
Las gráficas de Tr vs. tao y Ts vs. tao son las siguientes:
Utilice el LTIVIEW para comprobar los resultados (use help LTIVIEW para ver cómo funciona). >> LTIVIEW
Luego de teclear LTIVIEW nos aparece la siguiente ventana, vamos al menú archivo y damos clic en importar.
Seleccionamos cada una de las funciones de transferencia creadas en el programa :
Y obtenemos las siguientes siguientes respuestas para para cada una de las entradas. entradas.
1.2. Análisis en SIMULINK Implemente el siguiente sistema de primer orden en SIMULINK
Utilizando como entrada una señal escalón y colocando c olocando un integrador y un derivador a la salida, simule el modelo.
Utilizando como entrada una señal escalón y colocando un integrador y un derivador a la salida por separado.
Como se puede ver la derivada del escalón es un impulso (azul) y la integral de este mismo es una rampa (amarilla).
Analice las respuestas respuestas y compárelas con los los resultados del ejercicio anterior.
Comparando los resultados del modelo con los del ejercicio anterior se puede observar que las respuestas a las entradas en ambos casos son muy similares ya que tratan de alcanzar el valor de la ganancia.
2. Simulación de sistemas de segundo orden 2.1. Análisis de respuesta debida a cambios de parámetros Implemente un programa que muestre la respuesta de un sistema de segundo orden con Wn=1 y donde shi (factor de amortiguamiento) varié desde 0 hasta 1.0 en pasos de 0.2.
%Muestra la respuesta de un sistema de segundo orden con Wn=1 y %donde shi(factor de amortiguamiento) varía desde 0 hasta 1.0 %en pasos de 0.2. wn=1; for E=0.2:0.2:1 %Varía E de 0.2 a 1 en pasos de 0.2 [y,x,t]=step([0 0 wn],[1 2*E*wn wn]); %Respuesta de un sistema de %2do. orden hold on plot(t,y);grid on %Grafica la salida end hold off G=tf([0 0 wn],[1 2*E*wn wn]) %Muestra la función de transferencia %para =1
Se simula, y en la l a ventana de comandos de Matlab se muestra lo siguiente. sigui ente.
Transfer function: 1 -------------
s^2 + 2 s + 1
Escriba un programa que le permita calcular el Mp y el tiempo de establecimiento en función de los valores de los parámetros.
%Calculo de Mp en porcentaje y del tiempo de establecimiento E=input('Introduzca el factor de amortiguamiento: '); wn=input('Introduzca la frecuencia natural no amortiguada: '); disp('Máximo sobreimpulso "Mp" en porcentaje') Mpseg=100*exp((-E*pi)/(sqrt(1-E^2))) disp('Tiempo de establecimiento "Ts" para el 2%') ts=4/(E*wn)
Introduzca el factor de amortiguamiento: 3/8 Introduzca la frecuencia natural no amortiguada: 12 Máximo sobre impulso "Mp" en porcentaje
Haga un gráfico de Ts vs. El Mp, para valores de shi y Wn entre 0 y 1.0
%Grafica Ts vs. Mp para valores de y n entre 0 y 1.0 for E=0:0.2:1 for Wn=0:0.2:1.0 ts=4/(E*wn) %Calcula ts con error del 2 por ciento Mp=100*exp((-E*pi)/(sqrt(1-E^2))) %Cacula Mp en porcentaje hold on plot(ts,Mp,'rO');grid on %Grafica la respuesta title('grafica ts vs Mp'); %Título de la gráfica end end hold off
Utilice LTIVIEW para comprobar sus programas.
Podemos ver que el gráfico mostrado corresponde para un valor de shi=1 del primer ejemplo del ejercicio 2.1
3. Utilizando los análisis expuestos en los ejercicios anteriores llegue a conclusiones específicas sobre el comportamiento de los sistemas de segundo y primer orden. Presente un reporte completo que incluya además los programas y gráficos realizados. En un sistema de segundo orden, en el caso subamortiguado se observó que para un valor de shi=1 el valor máximo de la respuesta va disminuyendo disminu yendo y el periodo del transitorio aumenta. Para sistemas de primer orden se observó que para un valor grande de d e tao la respuesta alcanza más rápido su valor máximo, por lo tanto, el tiempo del transitorio disminuye. El valor de estado estable de los sistemas de primer orden y de segundo orden es el producto de la ganancia y de la magnitud del escalón.
Identificación de sistemas de segundo orden a) El gráfico siguiente, muestra la respuesta a escalón unitario de un sistema de segundo orden desconocido.
Se pide:
Determinar la función de transferencia el sistema a partir de los valores que se muestran en el gráfico. Simular un sistema con esa función de transferencia para comprobar que los cálculos realizados son correctos.
De acuerdo a la gráfica dada, se obtienen los siguientes valores: Valor de estado estable= Vss=5 Valor máximo= Vp=6 Vp=6 Tp= 1s
A partir de la siguiente ecuación: ecuación:
Donde:
Si se despeja shi, obtenemos:
E= magnitud del escalón unitario
Si se aplica en la entrada del sistema un escalón unitario y observando que la respuesta tiende a 5, se deduce que la ganancia del sistema es 5, se evalúa la función con los valores encontrados:
Se introducen los datos a Matlab para comprobar resultados: num= (62.23); den= [1 3.2103 12.446]; % Comando de la respuesta al escalón step(num, den,'b-');
Se puede apreciar que se obtuvo la l a misma gráfica dada.
En este caso se muestra la respuesta a escalón de valor 0.5 para un sistema de segundo orden desconocido.
Se pide: Determinar la función de transferencia del sistema a partir de los valores que se muestran en el gráfico. Simular un sistema con esa función de transferencia para comprobar que los cálculos realizados son correctos (el escalón debe tener valor final 0.5). De acuerdo a la gráfica dada, se obtienen los siguientes valores: Valor de estado estable Vss= Vss= -2 Valor máximo Vp= Vp= -3.15 Ts= 12 s (con un criterio del 5%)
Tenemos ahora la siguiente ecuación:
Se introducen los datos a Matlab para comprobar resultados:
num=(-6.112); den=[1 0.5 3.055]; figure (2) % Comando de la respuesta al escalón step(num,den,'b-');
Se puede observar que ambas graficas son iguales, la segunda es una aproximación debido a los valores por redondeo.
Conclusiones El uso de la computadora y las herramientas tecnológicas para la comprensión de los conceptos vistos en clase, es muy importante porque nos brinda una forma sencilla de visualizar temas que de otra forma sería imposible observar en la realidad. Un sistema dinámico de primer orden describe su comportamiento y su tendencia o estabilidad mediante los dos factores (tao y K), la constante del tiempo y la ganancia del sistema, los cuales nos indicarán en que tiempo y momento serán estables o si no lo serán. Los sistemas siempre se comportarán dependiendo de la perturbación a la cual sea sometida, y esta misma dará a conocer si es estable o no lo es, con el simple hecho de ya conocer el tipo de grafico que dará el sistema se puede dar cuenta mucho antes de graficar el tipo de comportamiento y su tendencia a seguir, y por conclusión si el sistema es estable y si nos conviene su estudio o no, dicho comportamiento estable es el que nos n os servirá para entender el sistema y saber si es seguro. En un sistema de segundo orden, en el caso subamortiguado se observó que para un valor de shi=1 el valor máximo de la respuesta va disminuyendo y el periodo del transitorio aumenta. Para sistemas de primer orden se observó que para un valor grande de tao la respuesta alcanza más rápido su valor máximo, por lo tanto, el tiempo del transitorio disminuye. Esto se observó claramente al hacer variar dichos parámetros en los ejercicios a lo largo de la práctica, de la misma forma se puede hacer variar otros tipos de parámetros y observar el comportamiento de la respuesta del sistema, esta es sólo una de las ventajas que se obtienen a partir de una simulación.
Bibliografía [1] Manual de prácticas del Dr. Osvaldo Gutiérrez Sánchez.
