Moisés Villena Muñoz
4 4.1 4.2 4.1 4.3 4.4 4.5
INTRODUCCIÓN. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN LINEALES Y HOMOGÉNEAS. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINÁMICA
Se pretende que el estudiante: • Encuentre soluciones de Ecuaciones en Diferencias de Segundo orden y de orden superior • Determine Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente.
1
Moisés Villena Muñoz
4.1 INTRODUCCION Una diferencia de primer orden fue definida de la siguiente manera Δ yt = yt +1 − yt . Una diferencia de segundo orden sería:
Δ2 yt = Δ(Δ yt ) = Δ( yt +1 − yt ) = Δ yt +1 − Δ yt = yt +2 − yt +1 − ( yt +1 − yt ) Δ2 yt = yt +2 − 2 yt +1 + yt
4.2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN LINEALES Y HOMOGÉNEAS Una ecuación en diferencia de segundo orden homogénea con coeficientes constantes es de la forma ayt + 2 + byt +1 + cyt = 0 donde a, b, c ∈ IR ∧ a ≠ 0
= k (r )t , igual t + 2 y yt + 2 = k (r )
Su solución será de la forma yt lineales. Entonces yt +1
= k (r )t +1
que todas las ecuaciones
Ahora reemplazando y simplificando tenemos:
ayt + 2
+ byt +1 + cyt = 0 t + 2
+ bk (r )t +1 + ck (r )t = 0 t kr (ar 2 + br + c ) = 0 ak (r )
2
De la última expresión se tiene ar auxiliar.
+ br + c = 0 . La cual llamamos Ecuación
La ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática que tiene tres casos de soluciones.
CASO I. Raíces r 1 , r 2 reales y diferentes. En tal caso yt = k 1 (r 1 ) + k 2 (r 2 ) t
t
CASO II. Raíces r 1 = r 2 = r reales e iguales. En tal caso yt = k 1 (r ) + k 2 t (r ) t
t
CASO III. Raíces r 1 = λ + μi, r 2 = λ − μi complejas conjugadas. En tal caso yt
= k 1 (r 1 )t + k 2 (r 2 )t = k 1 (λ + μi )t + k 2 (λ − μi )t
Por teoría de los números complejos
λ + μi = R cos θ + ( R sen θ ) i λ − μi = R cos θ − ( R sen θ ) i 2
Moisés Villena Muñoz
donde R =
λ2 + μ 2
y
μ ⎞ θ = arct ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠
. Observe la figura.
Entonces:
yt = k 1 (λ + μi )
t
+ k 2 (λ − μi )t
= k 1 ( R cos θ + R sen θi )t + k 2 ( R cos θ − R sen θi )t = k 1 R t (cos θ + sen θi )t + k 2 R t (cos θ − sen θi )t = k 1 R t e iθt + k 2 R t e −iθt = k 1 R t [cos θt + i sen θt ] + k 2 R t [cos θt − i sen θt ] ⎡ ⎤ t = R ⎢( k 1 + k 2 )cos θt + (k 1i − k 2 i )sen θt ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ k k 1
2
En definitiva, la última expresión puede quedar de la forma:
yt donde R = λ2 + μ 2
= R t [k 1 cos θt + k 2 sen θt ] ⎛ μ ⎞ ⎝ λ ⎠
y θ = arct ⎜ ⎟
4.3 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS La solución de la ecuación no homogénea ayt + 2 + byt +1 + cyt = g t es de la forma:
yt
= yt C + yt P
3
Moisés Villena Muñoz C
Donde la solución complementaria yt C
ay +
t 2
satisface la ecuación homogénea
+ by C + cy C = 0 t +1
t
Por tanto, la solución complementaria se la obtiene de la manera anteriormente descrita. La P
ay +
t 2
P
solución particular
yt
satisface
+ by P + cy P = g t y depende de t +1
la
Por ejemplo. Analicemos el caso para cuando g t P
P
= A
homogénea
= d . Como es una constante
= A . Ahora debemos encontrar el valor de
Para lo cual yt +1
no
g t .
t
entonces yt
ecuación
A .
= A . Reemplazando y simplificando, tenemos:
P
y yt + 2
+ by P + cy P = d aA + bA + cA = d P
ay +
t +1
t 2
t
d
A = P
Por tanto yt
=
d a+b+c
a+b+c
si a + b + c ≠ 0
Para el caso de que a + b + c = 0 tenemos yt
P
P
Bien, entonces yt +1
= At
= A(t + 1) y yt P+2 = A(t + 2)
Reemplazando y simplificando
+ by P+ + cy P = d aA(t + 2) + bA(t + 1) + cAt = d P
ay t + 2
A = A = A = A = P
Por tanto yt
=
d
2a + b
t 1
t
d a (t + 2) + b(t + 1) + ct d at + 2a + bt + b + ct d
(a + b + c )t + 2a + b d
2a + b
t si 2a + b ≠ 0 y
a+b+c=0
4
Moisés Villena Muñoz
2a + b = 0 y a + b + c = 0 . Es decir, como b = −2a
Para el caso de que tenemos:
a+b+c=0 a − 2a + c = 0 c=a P
La solución particular será de la forma yt P
yt + 2
= At 2
P
entonces yt +1
= A(t + 1)2
y
= A(t + 2 )2
Reemplazando y simplificando tenemos: P
ay +
t 2
+ by P + cy P = d t +1
t
aA(t + 2 )
2
A = A =
+ bA(t + 1)2 + cAt 2 = d d a (t + 2 )
+ b(t + 1)2 + ct 2
2
d a (t
2
+ 4t + 4) + b(t 2 + 2t + 1) + ct 2 d
A =
(a + b + c )t 2 + 2(2a + b )t + 4a + b En la última expresión reemplazando a + b + c = 0 y b = −2a A = P
Por tanto yt
=
d
2a
resulta
d
2a
t 2 cuando
a+b+c=0
y b = −2 a
EN RESUMEN
La solución de la ecuación a, b, c ∈ IR ∧ a ≠ 0 es:
P
ay +
t 2
+ by P + cy P = d , t +1
1. Si a + b + c = 0 y b = −2a entonces yt = yt C + 2.Si yt = yt
C
+
a+b+c=0 d t 2a + b
y
b ≠ −2a
t
d
2a
2
t
entonces
5
Moisés Villena Muñoz
d
3.Si a + b + c ≠ 0 entonces yt = yt C + Hallar y t para y t + 2 + y t +1 − 2 y t = 12 ;
y 0
a+b+c
= 4 , y1 = 5
SOLUCIÓN: La solución general es de la forma y t
= y t C + y t P
Primero: La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y t C + 2
+ y t C +1 − 2 y t C = 0
Su ecuación auxiliar es r 2
+ r − 2 = 0
Factorizando tenemos (r + 2)(r − 1) = 0 entonces r 1 Por tanto y t C
= −2 y
r 2
=1
= k 1 (− 2)t + k 2 (1)t = k 1 (− 2)t + k 2
Segundo: Ahora hallamos la solución particular Aquí a = 1 , b = 1 , c = −2 y d = 12 Como a + b + c = 0 y b ≠ −2a entonces P
y t
Por lo tanto : y t
d
2a + b
12 2(1) + 1
t =
12 3
t = 4t
= 4 , y1 = 5 hallamos los valores los valores de
0
= 4 = k 1 (− 2) + k 2 + 4(0) y 4 = k 1 + k 2
Resolviendo el sistema Finalmente y t
t =
= k 1 (− 2)t + k 2 + 4t
Ahora con las condiciones y 0 y 0
=
⎧ k 1 + k 2 = 4 ⎨ ⎩− 2k 1 + k 2 = 1
y1
k 1 y k 2 .
= 5 = k 1 (− 2)1 + k 2 + 4(1) 5 = −2k 1 + k 2 + 4 1 = −2k 1 + k 2
resulta k 1
=1
y k 2
=3
= (− 2)t + 3 + 4t
Note que no es dinámicamente estable debido a que lim y t t →∞
= y ∞ = (− 2)∞ + 3 + 4(∞ ) = ∞
Hallar y t para y t +2 + 6 y t +1 + 9 y t = 4 . SOLUCIÓN: Primero: La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y t C + 2
+ 6 y t C +1 + 9 y t C = 0
6
Moisés Villena Muñoz Su ecuación auxiliar es r 2
+ 6r + 9 = 0
Factorizando tenemos (r + 3)(r + 3) = 0 entonces r 1
= r 2 = −3
= k 1 (− 3)t + k 2 t (− 3)t
Por tanto y t C
Segundo: Ahora hallamos la solución particular Aquí a = 1 , b = 6 , c = 9 y d = 4 Como a + b + c ≠ 0 entonces y t P
Finalmente: y t
d
=
a+b+c
=
4 1+ 6 + 9
=
4 16
=
1 4
= k 1 (− 3)t + k 2 t (− 3)t + 14
Note que no es dinámicamente estable
Hallar y t para y t +2 − 4 y t +1 + 16 y t = 2 . SOLUCIÓN: Primero: La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y t C + 2
− 4 y t C +1 + 16 y t C = 0
Su ecuación auxiliar es r 2
− 4r + 16 = 0 r 1 , r 2
= =
Empleando la formula general
= r 1 , r 2
− (− 4) ±
16 − 4(1)(16 ) 2
4 ± 16[1 − 4] 2 4±4
−3
2
= 2±2
3i
En este caso yt C = Rt [k 1 cos θt + k 2 sen θt ] donde R =
Como
λ=2 y μ=2 R =
μ ⎞ y θ = arct ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠
3 entonces
(2)2 + (2
3
)2
=
⎛ 2 3 ⎞ ⎟ = arctg θ = arct ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Por tanto y t C
λ2 + μ 2
4 + 12
=4
3⇒θ=
π 3
= 4 t k 1 cos π3 t + k 2 sen π3 t
Segundo: Ahora hallamos la solución particular Aquí a = 1 , b = −4 , c = 16 y d = 2 Como a + b + c ≠ 0 entonces 7
Moisés Villena Muñoz
y t P
Finalmente: y t
=
d a +b+c
=
2 1 − 4 + 16
=
2 13
= 4 t [k 1 cos π3 t + k 2 sen π3 t ]+ 132 Note que no es dinámicamente estable
Hallar y t para y t + 2 + 5 y t +1 + 6 y t = 7 t SOLUCIÓN: Primero: La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y t C + 2
+ 5 y t C +1 + 6 y t C = 0
Su ecuación auxiliar es r 2
+ 5r + 6 = 0
Factorizando tenemos (r + 3)(r + 2 ) = 0 entonces r 1 Por tanto y t C
= −3 y
r 2
= −2
= k 1 (− 3)t + k 2 (− 2)t
Segundo: Ahora hallamos la solución particular Como g t
= 7 t entonces
y t P
= A(7 )t .
Ahora debemos encontrar el valor de A , para lo cual y t P+1
= A(7 )t +1 y y t P+ 2 = A(7 )t + 2 .
Reemplazando tenemos: P
+ 5 y t P+1 + 6 y t P = 7 t
y t + 2
t + 2
A(7 ) A = A = A =
Entonces y t P Finalmente y t
+ 5 A(7 )t +1 + 6 A(7 )t = 7 t
7 t 7 t + 2 + 5 7 t +1
( )+ 6(7 ) t
7 t
(
7 t 7 2
+ 5(71 )+ 6)
1 49 + 35 + 6
=
1 90
1 (7 )t = 90 1 (7 t = k 1 (− 3)t + k 2 (− 2 )t + 90
Note que no es dinámicamente estable
Encuentre yt para: 1. 2. 3. 4. 5.
+ 3 yt +1 − 74 yt = 9 ; y 0 = 6, y1 = 3 yt + 2 − 2 yt +1 + 2 yt = 1 ; y 0 = 3, y1 = 4 yt + 2 − yt +1 + 1 yt = 2 ; y 0 = 4, y1 = 7 4 yt + 2 − 4 yt +1 + 16 y t = 1 ; y 0 = 3 , y1 = 4 2 yt + 2 − 10 yt +1 + 12 yt = 5 yt + 2
8
Moisés Villena Muñoz 6.
y t + 2
+ 2 yt +1 + y t = 3t
7.
yt + 2
− 5 yt +1 − 6 yt = 2(6 t )
+ 9 yt = 3(4 t ) 9. y t + 2 − 2 yt +1 + 5 y t = t 10. y t + 2 − 2 y t +1 + 5 y t = 4 + 2t 8.
3 yt + 2
11. y t + 2
+ 5 yt +1 + 2 yt = 18 + 6t + 8t 2
12. y t − 5 y t −1
4.4
+ 6 y t −2 = 3t
13. y t + 2
+ y t +1 + y t = 3t 2
14. y t + 2
− 5 y t +1 + 6 y t = 4 t + t 2 + 3
15. y t + 2
− 3 y t +1 + 2 y t = 3(5 t ) + sen π2 t
ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Para encontrar las soluciones de ecuaciones en diferencias lineales de orden mayor a dos, se emplea la misma técnica que se emplea para ecuaciones en diferencia de primer orden y segundo orden.
Hallar y t para 32 y t +3 − 28 y t + 2 + 4 y t +1 + y t = 288 SOLUCIÓN: La solución general es de la forma y t
= y t C + y t P
Primero: La solución complementaria satisface la ecuación homogénea 32 y t C +3
− 28 y t C + 2 + 4 y t C +1 + y t C = 0
Su ecuación auxiliar es 32r 3
− 28r 2 + 4r + 1 = 0
Factorizando tenemos (2r − 1)(2r − 1)(8r + 1) = 0 (Revise la división sintética para factorizar) entonces r 1
= 12 ,
Por tanto y t C
r 2
= 12 y
r 3
= − 18
= k 1 (12 ) + k 2 t (12 ) + k 3 (− 18 ) t
t
t
Segundo: Ahora hallamos la solución particular Como g t
= 288 entonces
y t P
= A .
Ahora debemos encontrar el valor de A , para lo cual y t P+1
= A , y t P+ 2 = A y y t P+3 = A
Reemplazando tenemos:
9
Moisés Villena Muñoz 32 y t P+3
− 28 y t P+ 2 + 4 y t P+1 + y t P = 288 32 A − 28 A + 4 A + A = 288 A =
288 32 − 28 + 4 + 1
Por tanto y t P
=
288 9
= 32
= 32 .
Finalmente y t
= k 1 (12 ) + k 2 t (12 ) + k 3 (− 18 ) + 32 t
t
t
Note que es Dinámicamente estable. Debido a que y ∞
∞
∞
∞
= k 1 (12 ) + k 2 t (12 ) + k 3 (− 18 ) + 32
Converge a y = 32
Encuentre yt para: 1.
yt +3
2. y t +3
− 12 y t + 2 − yt +1 + 12 yt = 0
− 2 y t + 2 + 54 yt +1 − 14 yt = 1
Observe que las trayectorias son convergente si r < 1 . Determinar yt puede resultar un trabajo engorroso. Para evitar este trabajo disponemos de un análisis cualitativo que permite determinar si las raíces son menores que 1 o no, sin necesidad de hallar yt .
4.5 ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINÁMICA. TEOREMA DE SCHUR
Las raíces de la ecuación polinómica de grado "n" n
a0 r
+ a1r n−1 + + an−1r + an = 0
serán todas menores que 1 si y sólo si los " n " determinantes siguientes son todos positivos:
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Moisés Villena Muñoz
Δ1 =
a0
an
an
a0
; Δ2 =
a0
0
0
an
an −1
a1
a1
a0
0
0
an
a2
an − 2 a0 0 0
0 a0
0 a1
an an −1
0
0
a0
a0
0
an
an −1
a1
a0
0
an
an
0
a0
a1
an −1 an
an
0
an −1
; ...; Δ n =
a0
Determine cualitativamente si
an −1
an
an − 2
a1
a2
an
0
0
a0
es dinámicamente estable para:
y t
− 28 y + + 4 y + + y = 0
32 y t + 3
t 2
t 1
t
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de Schur. Aquí a0
Δ1 =
= 32 , a0
a3
a3
a0
Δ2 =
= −28 ,
a1
=
= 4 y a =1
a2
32
1
1
32
3
= (32)2 − 1 > 0
a0
0
a3
a2
a1
a0
0
a3
a3
0
a0
a1
a2
a3
0
a0
Δ3 =
=
32
0
1
4
− 28
32
0
1
1
0
32
− 28
4
1
0
32
>0
a0
0
0
a3
a2
a1
32
0
0
1
4
− 28
a1
a0
0
0
a3
a2
− 28
32
0
0
1
4
a2
a1
a0
0
0
a3
4
− 28
32
0
0
1
a3
0
0
a0
a1
a2
1
0
0
32
− 28
4
a2
a3
0
0
a0
a1
4
1
0
0
32
− 28
a1
a2
a3
0
0
a0
− 28
4
1
0
0
32
=
>0
Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raices son menores que 1 y por tanto y t
es una trayectoria dinámicamente estable.
Determine cualitativamente si 1. 2.
y t
es dinámicamente estable para:
+ 12 yt +1 − 12 yt = 3 y t + 2 − 12 y t = 1 y t + 2
11
Moisés Villena Muñoz
1. Encuentre la solución yt de las siguientes ecuaciones en diferencia: a) 4 y t − 4 y t −1 + y t − 2
− 8 = 0;
y 0
= 4,
y1
=7
b) y t + 2 −2 yt +1 + 5 yt = 3 − 2t ; y0 = 4, y1 = 7 c) yt + 2 − 2 yt +1 + 2 yt = et ; y0 = 3, y1 = 4 d) 2 y t + 2 − 5 y t +1 = t + 1 e) 2 y t + 2
− 4 y t +1 + 4 y t = 2
; y 0
= 3;
y1
=4
f) yt + 2 + 3 yt +1 + 2 y t = 4e t 2. Sea: 4 y t + 2 + 6 y t +1 + 9 y t = 2t + 5 t a) Encuentre la solución complementaria y determine si es convergente o divergente. b) Encuentre la solución General. 3. Sean la demanda y la oferta: Qdt = 9 − Pt + Pt +1 + 3Pt + 2
y
Qst
= −1 + 4 Pt − Pt +1 + 5 Pt + 2
a)
Hallar la trayectoria del precio, suponiendo que: Pt +1 = Pt − 0.4(Qst − Qdt )
b)
Determinar si es convergente.
4. El modelo de J. RHICKS usa la siguiente ecuación en diferencias: y t + 2
− (b + k ) y t +1 + ky t = a (1 + g )t donde
a , b, g , k son constantes reales
a) Hallar la solución general, asumiendo el caso de que las raíces de la solución complementaria sean reales y distintas. b) Dar condiciones para que la ecuación característica tenga raíces complejas.
12
