RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DEL SISTEMA ESTÁNDAR DE PRIMER ORDEN En la gráfica se muestra el diagrama de bloques del sistema de control estándar de primer orden: R(s)
+
E(s)
-
C(s)
1 Ts
Se puede observar que se trata de un sistema de control con realimentación unitaria, en donde las señales involucradas son: R(s): Referencia C(s): Variable controlada E(s): Error. Además, al parámetro T se le conoce como “constante de tiempo del sistema”. Al reducirse este diagrama de bloques se obtiene que la función de transferencia en cadena cerrada es:
O, en términos de diagramas de bloques: bloque s: R(s)
1 Ts + 1
C(s)
A partir de su función de transferencia se concluye que:
Ecuación que utilizaremos a continuación para evaluar la señal c(t) cuando la entrada toma valores típicos: el impulso unitario, el escalón unidad, la rampa unidad y aceleración (o parabólica) unidad.
Entrada impulso unitario: En este caso R(s) = 1 y C(s) C (s) será:
por lo que, al obtener su transformada de Laplace inversa, resulta:
para t ≥ 0. Se trata, pues, de una exponencial decreciente, cuyo valor inicial es c(t = 0) = 1/T. Para esta entrada, como siempre, puede decirse que el sistema tiene una respuesta de régimen transitorio (exponencial decreciente) y una respuesta de régimen permanente que, en este caso, es igual a cero. Se observa que, al cabo de cuatro constantes de tiempo (t = 4 T), la salida del sistema es muy pequeña; de hecho,
lo cual significa que, en t = 4 T, a la respuesta c(t) le falta menos del 2 % para alcanzar su valor de régimen permanente (c (t → ∞) = 0), por lo cual, para la mayoría de fines prácticos, puede decirse que, para ese momento, la respuesta transitoria del sistema ya desapareció. A continuación se muestra la gráfica de c(t) vs t, cuando T = 2: Sist ema de primer orden 0.5 0.45 0.4 0.35 a 0.3 d i l a s e 0.25 d l a ñ e 0.2 S
0.15 0.1 0.05 0
0
2
4
6 Tiempo
8
10
12
Se observa que, en t = 8 (es decir, t = 4 T), la respuesta está muy cerca del valor de régimen permanente, de acuerdo con lo comentado anteriormente.
Entrada escalón unidad: Ahora,
y se tiene que:
de donde resulta:
para t ≥ 0. Para esta nueva entrada, el sistema de nuevo (y como tiene que ser) responde con una respuesta de régimen transitorio (una exponencial decreciente) y una respuesta de régimen permanente (una constante igual a uno). La duración del transitorio o tiempo de asentamiento sigue siendo el mismo de antes: ts = 4 T, ya que la exponencial involucrada es la misma. En la siguiente gráfica puede observarse la respuesta de un sistema de este tipo, en el cual T = 2. Sist ema de primer orden 1 0.9 0.8 0.7 a 0.6 d i l a s e 0.5 d l a ñ e 0.4 S
0.3 0.2 0.1 0
0
2
4
6 Tiempo
8
10
12
Nuevamente, se observa que, en t = 8 (es decir, t = 4T), a la salida le falta menos del 2 % para alcanzar el valor de régimen permanente.
Entrada rampa unitaria: La transformada de Laplace de la rampa unitaria es:
y la transformada de la salida será:
de donde se obtiene:
para t ≥ 0. En este caso, la respuesta transitoria viene dada por la exponencial decreciente, mientras que la respuesta de régimen permanente está integrada por una rampa y un escalón de magnitud – T. De nuevo, tal como se ha comprobado en los casos anteriores, la duración del transitorio sigue siendo ts = 4 T. En la siguiente gráfica se muestra la respuesta del sistema para ent rada rampa unitaria, cuando T = 2. Se ha representado también la entrada, de forma que se vea cómo la respuesta de régimen permanente del sistema nunca se iguala con la entrada en rampa. De hecho, se ve claramente que la separación entre la entrada y la respuesta de régimen permanente es constante e igual a 2 (o, lo que es lo mismo, es igual a T).
Entrada aceleración o parabólica: 2
La nueva entrada es r(t) = t y su transformada de Laplace es:
La correspondiente salida vendrá dada por:
cuya transformada inversa proporciona:
para t ≥ 0. La respuesta transitoria viene dada por la expo nencial decreciente, mientras que la permanente la integran los otros tres elementos de c(t): una parábola, una rampa y una constante. Una vez más, la duración del transitorio es ts = 4 T. En la gráfica se muestra la respuesta de un sistema de este tipo con T = 2, junto con la entrada parabólica.
Con este tipo de entrada, la separación entre las señales de entrada y de salida no es constante (como ocurrió en el caso anterior), sino que aumenta indefinidamente, tal como
se evidencia en la siguiente gráfica, correspondiente al sistema estándar de primer orden con T = 2.
Conclusiones: En todos los casos, la respuesta de régimen transitorio tiene la misma forma: una exponencial decreciente con constante de tiempo T. Varía la amplitud de la exponencial, pero su forma básica es siempre la misma. En otras palabras, no se ve influenciada por la entrada aplicada, sino que viene determinada por el único polo de la función de transferencia, la cual viene determinada por el propio sistema. Al contrario, las respuestas de régimen permanente fueron todas diferentes, evidenciando que sí dependen de la entrada aplicada.
