Sistemas de primer orden Escuela Politécnica Superior de Albacete. Universidad de Castilla-La Mancha, 200 CONTENIDOS
!ntroducci"n #espuesta natural Condiciones iniciales #espuesta co$pleta #espuesta a estado cero % a entrada cero #espuesta i$pulsional % respuesta al escal"n
Pr&ctica INTRODUCCION
Los ele$entos acu$uladores de ener'(a co$o condensadores e inductores, ta$bién lla$ados ele$entos reactivos, tienen una relaci"n entre tensi"n % corriente deter$inada por una e)presi"n di*erencial+ Inductor: vL = L di/dt
Condensador:
iC = C dv/dt
Si un circuito contiene cualuiera de estos ele$entos las ecuaciones ue se obtienen al aplicar los le$as de irchho** son ecuaciones di*erenciales ue de scriben el co$porta$iento del circuito en *unci"n del tie$po. Para obtener la e)presi"n e)pl(cita e )pl(cita de las $a'nitudes eléctricas del circuito en *unci"n del tie$po es necesario inte'rar las ecuaciones e cuaciones di*erenciales obtenidas. En los circuitos ue conten'an un s"lo ele$ento reactivo, las ecuaciones di*erenciales obtenidas ser&n de primer orden. orden . Ejemplo: En el circuito, obtén'ase la ecuaci"n di*erencial ue describa la tensi"n del nudo 2, 2 , v2t/.
Fuente de tensión tensión in independiente dependiente V1(t) = 0 | t < 0 3 | t >= 0 Aplicando la L Le$a de ensiones de irchho**/ se tiene, para t10+ i ! vC = 3 donde i = C dvC/dt
C dvC/dt ! vC = 3 dvC/dt ! 1/C vC = 3/C => dvC/dt ! " vC = 1" Esta ecuaci"n resultante ha% ue inte'rarla para obtener vC v2 en *unci"n del tie$po. RESPUESTA NATURAL Se deno$ina respuesta natural de natural de un circuito a la ue obtiene cuando las *uentes independientes aplicadas al $is$o tienen valor nulo. Suele decirse a $enudo ue la
respuesta natural se obtiene cuando las *uentes independientes est&n desconectadas3 pero esto es un error. Las ecuaciones di*erenciales resultantes cuando las entradas al siste$a son nulas reciben el no$bre de homogneas En el e4e$plo anterior, si la *uente 5 es nula, la ecuaci"n ho$o'énea resultante es+ dvC/dt ! " vC = 0 La soluci"n de esta ecuaci"n es la respuesta libre o natural del siste$a. La *or$a de la ecuaci"n nos indica ue la derivada dvC6dt % la *unci"n vC han de tener la $is$a *or$a de onda, pues en caso contrario no se podr(a anular la co$binaci"n lineal del pri$er $ie$bro de la ecuaci"n. Por e4e$plo, si vC *uera parab"lica, su derivada ser(a lineal % la ecuaci"n lineal no se podr(a veri*icar. Pero 7ué ocurrir(a si vc *uera e)ponencial8 vC = # e$p(st) % # & s constantes
=> dvC/dt = s # e$p(st) sustitu&endo en 'a ecuación oo*+nea: => s # e$p(st) ! " # e$p(st) = 0 => s ! " = 0 => s = ," 'ue*o 'a so'ución a 'a ecuación oo*+nea es: => vC(t) = # e$p(," t) Esta soluci"n es v&lida para cualuier valor de la constante A.
En la *i'ura se representa la ecuaci"n para A. Cuando t69 el valor de la tensi"n es+ vC(0) e$p(,1) = vC(0)/e = 0-3. vC(0) esto si'ni*ica ue es necesario ue transcurra un tie$po t69 para ue la tensi"n alcance el :;.<=> de su valor inicial. A este tie$po 69 en este e4e$plo/ se le lla$a !onstante de tiempo del !ir!uito . a$bién es ?til recordar ue la tan'ente a la curva para t0 corta al e4e hori@ontal precisa$ente en el valor de la constante de tie$po. cuación oo*+nea: dvC/dt ! " vC = 0 para t = 0: dvC/dt = , " vC(0)
L'aando 2 = ordenada en e' ori*en de 'a tan*ente = vC(0) = corte de 'a tan*ente con e' e4e ori5onta' se veri6ica: 2/ = , dvC/dt en t=0 => 2/ = " vC(0) => = 2/"vC(0) = 1/" Ejemplo: Calcular la corriente iLt/ en el circuito de la *i'ura+
Aplicando la L+ vL ! i (7 ! 7) = 0
=> 0-1 diL/dt ! 8 iL = 0 => diL/dt ! 80 iL = 0 iL(t) = # e$p(st) => s # e$p(st) ! 80 # e$p(st) = 0 => s = ,80 => iL(t) = # e$p(,80 t) La constante de tie$po es 60 CONDICIONES INICIALES La constante arbitraria A ue aparece al inte'rar la ecuaci"n ho$o'énea puede ser calculada si se conoce cualuier punto por el ue pase la *unci"n. Babitual$ente, el punto ue conoce$os es el instante inicial. Ejemplo: En el proble$a anterior se sabe ue para t0 el valor de iL es iL0/9. Calcular iLt/. iL(t) = # e$p(,80 t)% iL(0) = # e$p(,80 0)= # = "
=> iL(t) = " e$p(,80 t) Condi!iones ini!iales para t"t# En ocasiones las condiciones iniciales del circuito se conocen para tie$pos distintos de cero. La so'ución *enera' es: iL(t) = # e$p(,9 t)% Conoceos iL(t0) => iL(t0) = # e$p(,9 t0)% => # = iL(t0) e$p(9 t0) => iL(t) = iL(t0) e$p(,9 (t,t0)) RESPUESTA CO$PLETA La respuesta co$pleta de un siste$a lineal se calcula por el prin!ipio de superposi!i%n.
Pri$ero se calcula la respuesta natural del siste$a ue es la ue se produce cuando todas las e)citaciones son nulas/ % después se calcula la respuesta a cada una de las e)citaciones independiente$ente. Por el principio de superposici"n ue veri*ican los siste$as lineales, la respuesta total se obtiene su$ando las respuestas parciales. El circuito puede ser considerado como sistema lineal si la ecuación que lo describe es lineal ; en caso contrario, no; por supuesto. odos los circuitos *or$ados por condensadores, inductores, resistores, *uentes independientes de tensi"n % corriente % *uentes dependientes lineales, son lineales. Ejemplo: Escribir la ecuaci"n di*erencial para vCt/ en este circuito.
#p'icando 'a LC en e' nudo 3: (v3 , .)/10 ! iC ! v3 / " = 0 donde
iC = C dv3/dt
operando se o;tiene:
dv3/dt ! 3/70 v3 = 3/10 para t > 0
Esta ecuaci"n no es homognea porue tiene una e)citaci"n no nula de valor :60/ en el se'undo $ie$bro. Pode$os suponer ue la *uente de entrada est& *or$ada por la su$a de una *uente nula % la *uente de ;5. Aplicando el principio de superposici"n calculare$os la respuesta natural del circuito anulando la *uente de entrada. espués calculare$os la respuesta *o@ada por la *uente de ;5 % obtendre$os la respuesta co$pleta su$ando a$bas. La ecuación oo*+nea es: dv3/dt ! 3/70 v3 = 0% & su so'ución: v3(t) = # e$p(,3/70 t)
#ora de;eos a''ar una respuesta particu'ar para 'a e$citación particu'ar: dv3/dt ! 3/70 v3 = 3/10 La b?sueda se hace por el siste$a de prueba % error. ro;eos con v3(t) = 9% => dv3(t)/dt = 0%
ustitu&endo en 'a ecuación: => 9 = 7%
0 ! 3/70 9 = 3/10
La so'ución cop'eta es 'a sua de a;as so'uciones parcia'es: v3(t) = # e$p(,3/70 t) ! 7 ' va'or de 'a constante # se o;tiene uti'i5ando 'as condiciones inicia'es: ara t=0:
v3(0) = # e$p(,3/70 0) ! 7 = 0 => # = ,7 => v3(t) = ,7 e$p(,3/70 t) ! 7 = 7 (1 , e$p(,3/70 t)) para t > 0 =0 pata t =< 0
sta e$presión se puede sip'i6icar ediante 'a 6unción esca'ón u(t) ue va'e:
u(t) = 1 para t > 0 = 0 en cua'uier otro caso #s? ueda:
v3(t) = 7 (1 , e$p(,3/70 t)) u(t) para todo t
RESPUESTA A ESTADO CERO & A ENTRADA CERO En el partado anterior se ha visto ue la respuesta co$pleta de un siste$a es la su$a de la respuesta natural % la respuesta *or@ada. e otra *or$a, ta$bién se puede obtener la respuesta co$pleta co$o su$a de dos co$ponentes di*erentes+ Respuesta a entrada !ero ue es la respuesta co$pleta debida a un estado inicial no cero pero con entradas anuladas Respuesta a estado !ero debida a las entradas activas % condiciones iniciales anuladas
Ejemplo: En el circuito de la *i'ura+ a. Dbtener la respuesta co$pleta para v2t/ b. esco$poner la respuesta co$pleta en las co$ponentes a estado cero % a entrada cero.
#p'icando 'a L@:
i ! v7 = 7 t
para t > 0
=> C dv7/dt ! v7 = 7t% => dv7/dt ! 1/C v7 = 7t / C sustitu&endo:
dv7dt ! 1/17 v7 = t/.
La respuesta natura' es: v7(t) = # e$p(,1/17 t) ara 'a respuesta particu'ar pro;aos:
v7(t) = 91 t ! 97
=> dv7/dt = 91% sustitu&endo en 'a ecuación: de donde resu'ta:
91 ! 1/17 (91 t ! 97) = t/.% 91 = 7% 97 = ,78%
La respuesta particu'ar es:
v7(t) = 7 t , 78%
2 'a respuesta cop'eta:
v7(t) = # e$p(,1/17 t) ! 7t , 78%
' va'or de # se ca'cu'a ediante 'as condiciones inicia'es: v7(0,) = " = # ,78 => # = 7%
=> v7(t) = 7 e$p(,1/17 t) ! 7t , 78% A@# # B@## CD (5ero input): Cuando 'a entrada es nu'aE 'a ecuación di6erencia' ue se o;tiene a' ap'icar 'a L@ es: dv7/dt ! 1/17 v7 = 0 cu&a so'ución es:
v7(t) = # e$p(,1/17 t)
&E para 'as condiciones inicia'es especi6icadas: v7(t) = " e$p(,1/17 t)% (5ero input) A@# # @#D CD (5ero state): ' va'or de 'a constante # de 'a respuesta cop'eta se ca'cu'a con 'a condición de estado cero: v7(0) = # e$p(,1/17 0) ! 70 , 78 = 0% => # = 78 => v7(t) = 78 e$p(,1/17 t) ! 7t , 78% (5ero state) DGV#CIDB 1: La sua de 'as respuestas a estado cero & a entrada cero es i*ua' a 'a respuesta cop'etaor tantoE conocida 'a respuesta cop'eta & 'a respuesta a estado cero se puede ca'cu'ar 6Hci'ente 'a respuesta a entrada cero ediante una resta (& viceversa)DGV#CIDB 7: a& una di6erencia entre 'as respuestas a entrada cero & estado cero & 'as respuestas natura' & 6or5adan e' caso de 'a superposición de 'a respuesta natura' & 'a respuesta 6or5adaE a;as respuestas se ca'cu'an sin tener en cuenta 'as condiciones inicia'es & 'as constantes se ca'cu'an posteriorente ap'icando a 'a respuesta cop'eta 'as condiciones inicia'esn e' caso de 'a superposición de 'as respuestas a entrada & estado ceroE 'a respuesta a estado cero se ca'cu'a con condiciones inicia'es nu'asE ientras ue 'a respuesta a entrada cero se ca'cu'a con 'as condiciones inicia'es ue correspondan- La respuesta cop'eta se ca'cu'a ediante 'a superposición de a;as-
RESPUESTA I$PULSIONAL & RESPUESTA AL ESCALON 'un!i%n impulso La *unci"n i$pulso se de*ine por sus propiedades+ de'ta(t) = 0 para todo t <> 0%
/ !9 | de'ta(t) dt = 1% (La inte*ra' de6inida en cua'uier interva'o ue conten*a a 0 | va'e 1) / ,9
Se puede pensar ue la *unci"n i$pulso vale sie$pre cero e)cepto para t 0 donde vale in*inito3 siendo el area encerrada por la curva i'ual a . Esta *unci"n de valor in*inito se apro)i$a en los circuitos reales $ediante un i$pulso $u% breve cu%a &rea vale la unidad. Respuesta impulsional La respuesta i$pulsional de un circuito es su respuesta a estado cero cuando la entrada es un i$pulso. La respuesta i$pulsional se suele representar por ht/. Ejemplo: Dbtener la respuesta i$pulsional ht/ para la tensi"n v2t/ de este circuito+
C&lculo si$b"lico de la respuesta natural de este circuito+ 1 1 L@: v = i ! ,,, i% v7 = ,,, i Cp Cp
=> i = C p v7% de'ta(t) = C p v7 ! v7 => (C p ! 1) v7 = 0 para t>0 La so'ución a esta ecuación es: ,3/7 t v7 = # e sta so'ución es vH'ida para t>o% sin e;ar*oE a& ue ca'cu'ar e' va'or de v7(0!) teniendo en cuenta ue en t=0 se ap'ica e' ipu'soara t=0E vc(0)=0 &E por tanto: i(0) = de'ta(t)/ La tensión en e' condensador se ca'cu'a inte*rando esta corriente: v(0!) = i(0)/Cp = u(0!)/C = 1/(71/3) = 3/7 Ca'cu'ando e' va'or de 'a constante # se o;tiene 'a respuesta ipu'siona': ,3/7 t (t) = v7(t) = 3/7 e Respuesta al es!al%n Puesto ue un siste$a lineal est& caracteri@ado por su *unci"n de trans*erencia Bp/+ salida Bp/ entrada Si conoce$os la respuesta i$pulsional del siste$a, es *&cil calcular la respuesta al escal"n+ (t) = (p) de'ta(t)% Inte*rando: (t) de'ta(t) ,,,, = (p) ,,,,,,,, = (p) u(t) p p
Por tanto, la respuesta al es!al%n de un !ir!uito lineal es la integral de la respuesta impulsional( En el circuito anterior, la respuesta al escal"n es+ /t | J(t) = | (t) dt % / ,in6
Coo (t)=0 para t<0: /t | 3 ,3/7 t ,3/7 t J(t) = | ,e dt = 1 , e / 0 7 PRACTICA An&lisis si$b"lico % si$ulaci"n de un circuito de pri$er orden
K 2001, Pedro J. Morales
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