2011
Aplicaciones de los circuitos transitorios en Mecatrónica
PAULINA CAMPOVERDE ANDRES GUERRERO ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL EJÉRCITO 23/10/2011
TEMA: Aplicaciones de los circuitos transitorios de primero y segundo orden en Mecatrónica
OBJETIVOS:
Conocer las diferentes aplicaciones de los circuitos RL, RC y RLC en Mecatrónica. Conocer las ventajas y desventajas de los circuitos transitorios en la vida útil.
INTRODUCCIÓN Hablaremos sobres las diferentes aplicaciones de los circuitos transitorios desde un modelo para sistemas de suspensión de automóviles, un capacitor de descargar, un circuito para una luz de neón destellante, etc. Por ello debemos saber que un régimen transitorio es aquella respuesta de un circuito eléctrico que se extingue en el tiempo, en contraposición al régimen permanente, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la excitación del mismo. Dando como resultado respuesta completa en la cual se distingue dos términos:
Respuesta natural: tensión (o intensidad) debida a la energía almacenada en las bobinas y/o condensadores del circuito. Respuesta forzada: tensión (o intensidad) debida a las fuentes conectadas al circuito (respuesta en régimen permanente o estacionario).
Los transitorios son de gran importancia. Se producen en todos los circuitos (el encendido ya es un transitorio) y se suelen extinguir de forma natural sin causar problemas. También son útiles en temporizadores, multivibradores, osciladores de relajación, fuentes de alimentación conmutadas, etc. Además aquí se mostrara las diferentes aplicaciones en Macatrónica lo cual nos ayudara a comprender mejor el funcionamiento y comportamiento de los circuitos transitorios de primer y según orden, así como la utilidad en la vida diaria.
JUSTIFICACION La realización de este proyecto es conocer más acerca de los circuitos con elementos que almacenan energía (capacitor e inductor), ya sea de primer como de según orden, pero principalmente es asimilar la utilización de ellos con ejemplos prácticos en todos los diferentes casos que se puedan mostrar o aparecer. Su estudio ayudara a entender con más profundidad los cambios que se producen tanto en el voltaje como en la corriente, al momento de que estos se cargan o descargan, y cuando se usa una fuente continua, ya que crean diferentes características en la estabilidad de un circuito.
MARCO TEÓRICO Circuitos de primer orden RL y RC
Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1. Circuito RC (Resistor y Condensador) 2. Circuito RL (Resistor e Inductor)
Respuesta Los circuitos serie RL y RC tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensión, respectivamente. Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL, la bobina crea una fuerza electromotriz (f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contra electromotriz. Como consecuencia de ello, en el mismo instante de cerrar el interruptor (t0) la intensidad será nula e irá aumentando exponencialmente hasta alcanzar su valor máximo, Io = E / R (de t0 a t1). Si a continuación, en el mismo instante de abrir S (t2) se hará corto circuito en la red RL, el valor de Io no desaparecería instantáneamente, sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3). Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2), el condensador comienza a cargarse, aumentando su tensión exponencialmente hasta alcanzar su valor máximo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de la f.e.m. E de la fuente. Si a continuación, en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se hará corto circuito en la red RC, el valor de Eo no desaparecería instantáneamente, sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).
Régimen de Funcionamiento En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de régimen de funcionamiento (figura 2):
Transitorio: desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga). Permanente: desde t1 a t2.
La duración del régimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia, R, la capacidad, C, del condensador y de la auto inductancia, L de la bobina. El valor de esta duración se suele tomar como 5τ, donde τ es la denominada constante de tiempo, siendo su valor en cada circuito:
Si R está en ohmios, C en faradios y L en henrios , τ estará en segundos. Matemáticamente se pueden obtener las ecuaciones en régimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla: Carga en RL
Descarga en RL
Carga en RC
Descarga en RC
Circuitos de segundo orden El análisis correspondiente para los circuitos de segundo orden: Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo orden. En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar las dos formas de almacenamiento de energía. Y para poder determinarlas exige conocer la energía inicial o el + valor inicial de la variable, y la primera derivada de la variable en t = 0 . Si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito es necesario, lógicamente, la respuesta en el estado final, o de régimen. Analizaremos primero el caso del circuito en serie y considerando una malla constituida por una resistencia R, una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial E0. I0 R
L + C
i(t)
E0
Siendo una malla cerrada aplicamos la segunda ley de Kirchhoff eR + eL + eC = 0, que en función de la corriente i (t) quedará:
L
di dt
1
+ R i +
C
t
i dt = 0
[1]
Debe hacerse notar aquí que, si bien no está indicado en los circuitos como en los casos de primer orden, las polaridades de las tensiones están definidas conforme al sentido de la corriente i (t) del circuito. Si no fuera así los signos en las ecuaciones serían distintos. Diferenciando una vez obtenemos:
L
2 d i
di
+ R
2
dt
dt
+
1 C
i = 0
[2]
Los valores iniciales son: i(0) = I0
1
y
C
0
i dt = E
0
Si t = 0 en [1]:
L
di(0) dt
L
+ R i(0 ) +
di(0) dt
i C
0
i dt = 0
+ RI0 + E0 = 0
Por lo tanto: di(0) dt
= -
1 L
(R I0 + E0) = K
Esta primera derivada de la corriente puede tomar cualquier valor dependiendo del circuito y de la condición de carga inicial. Como necesitamos dos constantes arbitrarias intentamos una función consistente en la suma de dos soluciones de primer orden (nada impide que se aplique otro método):
p t p t itt = A1 e 1 + A2 e 2
ditt
Con:
dt
= A1 p1 ep1 t + A2 p2 ep2 t
2
d itt
Y:
[3]
2
2
= A1 p1 ep1 t + A2 p2 ep2 t
2
dt
Si la ecuación [3] satisface a la ecuación [2] entonces será:
2
L A 1 p1 e p1t
+
A1 e
p1t
1 C
Lp2 1
2
pt A 2 p2 e 2
+R
A1 e p1 t + A 2 e p2 t
+ R p1 +
1
C
pt pt A 1 p1 e 1 + A 2 p2 e 2
= 0
2
+ A 2 e p2t Lp2 + R p2 +
1
C
= 0
Ya que los productos de las constantes por las exponenciales no pueden ser nulas, porque se perdería la posibilidad de resolver el problema, deben serlo necesariamente las expresiones encerradas entre paréntesis. Las p 1 y p2 deben ser raíces de la ecuación:
2
p
+
R L
p +
1
= 0
LC
Con lo que:
p1,2 = -
R 2L
R
2
( ) 2L
1 LC
O: p1,2 = -
2 2 - 0
Si ponemos que:
=
R 2L
y
02 =
1 LC
El parámetro α se lo conoce como coeficiente de amortiguamiento , tiene la dimensión de 1/segundo, la inversa de una constante de tiempo que nos indica la velocidad de decrecimiento del transitorio en el tiempo. W 0, por su parte, tiene las mismas dimensiones y se denomina frecuencia angular natural , pulsación natural , o de resonancia , del circuito. Ambos dependen exclusivamente de los elementos y estructura de la red, y no de la excitación. En función de la expresión de p 1,2 se pueden deducir tres casos que dependen de la relación entre α y W0:
1er caso) Si α > W0, el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la pulsación natural, se dice que el circuito está sobreamortiguado, o tiene amortiguamiento hipercrítico . Los valores de p son reales, negativos y distintos, y la solución es la suma de dos exponenciales reales.
do
2 caso) Si α = W0, el coeficiente de amortiguamiento es igual a la pulsación natural, el circuito está críticamente amortiguado, o tiene amortiguamiento crítico . Los valores de p son reales, negativos e iguales, y la solución es la más complicada de resolver.
er
3 caso) Si α < W0, el coeficiente de amortiguamiento es menor que la pulsación natural, se dice que el circuito está subamortiguado, o tiene amortiguamiento subcrítico , o es oscilatorio armónico amortiguado . Los valores de p son complejos conjugados, y la solución es la suma de dos exponenciales complejas que llevan a una función de respuesta oscilatoria amortiguada.
4to caso) De interés teórico no realizable prácticamente, que se obtendría si el circuito no tuviese pérdidas. En tal caso α = 0, y se llegaría al caso oscilatorio libre o sin amortiguamiento .
APLICACIONES Circuitos RLC
Descripción del Uso de un capacitor de descarga (detonador slapper).
Solución
Un dispositivo conocido como unidad de descarga capacitiva (CDU) se diseña para producir potencia muy alta .Una aplicación práctica del CDU es su uso como lo que se llama detonador slapper. El mismo se muestra en la figura 8.22a que consiste en una sustancia aislante pulida, la cual es cubierta está cubierta selectivamente de cobre en la forma de un mono o corbata de lazo. Sobre el centro de moño se coloca un material polimido llamado bólido. El dispositivo se posiciona cerca de un perdigón explosivo. Cuando una corriente grande se descarga a través del moño, la hoja se calienta tan rápido que explota y la presión producida por la presión impulsa la delgada pieza de polimido hacia arriba a velocidades de 3 a 7 Km/s. Cuando el bólido se impacta con el perdigón explosivo, la energía cinética del bólido se difunde al perdigón y resulta una detonación.
El CDU se modela como se muestra en la figura 8.22b. La resistencia representa la región del moño, la bobina representa la inductancia en el circuito, el interruptor es típicamente una chispa, y el capacitor cargado es la fuente de energía. Los valores típicos de los componentes se muestran en la figura. Una gráfica de corriente como función del tiempo que sigue al cierre del conmutador se muestra en la figura 8.23. Un valor aproximado de l a potencia promedio entregada por el dispositivo puede obtenerse dividiendo la energía total almacenada en el condensador entre el tiempo total de descarga. La energía total almacenada en el capacitor es aproximadamente de 1 J y, como se muestra en la figura 8.23, la energía es descargada alrededor de un us y 1J/1us es un megawatt.
Esquema experimental para un disparador de riel
El mismo que se muestra en la figura 8.24. Con el interruptor sw-2 abierto, el interruptor sw-1 está cerrado y el suministro de potencia se carga al banco de los capacitores a 10KV. Entonces el interruptor sw-1 se abre. El disparador de riel se dispara cerrando el conmutador sw-2. Cuando el capacitor se descarga, la corriente hace que la hoja final del disparador explote; creando un plasma caliente que se acelera hacia la parte inferior del tubo. La caída del voltaje al vaporizador la hoja insignificante y por tanto más del 95% de la energía permanece disponible para acelerar el plasma. El flujo de corriente establece un campo magnético y la fuerza sobre el plasma causada por el campo magnético, que es proporcional al cuadrado de la corriente en cualquier instante de tiempo, acelera el plasma. Cuanto más alto sea el voltaje inicial, más grande es la aceleración.
El diagrama del circuito para el circuito de descarga se muestra en la figura 8.25. La resistencia de la línea (conductor pesado) incluye la resistencia del interruptor. La resistencia de la hoja y del plasma resultante es insignificante, y, por tanto, la corriente que fluye entre el conductor superior y el inferior depende de los componentes restantes del circuito en la trayectoria cerrada que se especifica en la figura 8.24. La ecuación diferencial para la respuesta natural de la corriente es: 2
d i (t ) 2
dt
Rbus di(t ) Lbus dt
1
LbusC
0
Solución
Para describir la forma de onda de la corriente a través de la Ec. Característica. Usando los valores del circuito, la ecuación característica es: S 2 37.5 10 4 S 5.83 1010 0
Y las raíces de la ecuación son: S1, S2= (-18.75 j 74) 104 y por tanto la red esta subamortiguada.
Las raíces de la ecuación característica ilustran que la frecuencia resonante amortiguada es: W d 740 Krad / s Por tanto,
f d 118KHz T
1
f d
8.5us
Una gráfica real de la corriente se muestra en la figura 8.26, y esta grafica verifica que el periodo de la respuesta amortiguada es realmente 8.5us.
Dos aplicaciones adicionales de los CDU son las bolsas de aire de los automóviles y los cerrojos explosivos utilizados en la NASA para proporcionar separaciones de etapas seguras en un coche multietapa. En la aplicación de la bolsa de aire, un alambre delgado se solda entre dos puntas. El alambre está rodeado por una mezcla pirotécnica. En el impacto, una corriente pasa a través del alambre vía las puntas. Cuando el alambre se calienta lo suficiente para encender la mezcla, un gran volumen de gas frio se produce y la bolsa se expande. La NASA emplea un número de cerrojos, que están eléctricamente aislados del cohete, para proporcionar el soporte mecánico necesario para mantener dos etapas unidas. Cada cerrojo es la carga resistiva en un CDU. Al tiempo de la separación, una señal común de control de fuego se manda a los conmutadores en el CDU y la energía en el capacitor se descarga a través del cerrojo, haciendo que este se vaporice. Todos los cerrojos explotan de forma simultánea y ocurre la separación de la etapa.
Claramente, todos los cerrojos deben soltarse simultáneamente para evitar un accidente catastrófico. Circuitos de primer orden (RL Y RC)
Se modela el circuito para una luz de neón destellante.
El capacitor carga hacia la fuente de voltaje de 9V, a través de la resistencia. La luz de neón está diseñada para encenderse cuando el voltaje del capacitor alcanza 8V. Cuando la luz se enciende, descarga completamente el capacitor, se apaga y el ciclo c omienza nuevamente. Esta es una forma de lo que se llama un Osciloscopio de relajación. Si C=10uF, encontraremos R de modo que la luz destelle una vez por segundo. Solución
Primero debemos encontrar una expresión para el volteje del capacitor si suponemos que la luz nunca se enciende. El volteje en el capacitor es:
V c (t ) V s V e t / RC 9 9e t / RC S
En t=1 segundo, el voltaje del capacitor debe ser 8V.Por tanto, V (1) 8 9 9e 1 / RC
Si resolvemos para RC, se contiene RC=0.455 S Finalmente, R=0.455/C=45.5KΩ
El circuito de un marcapasos
Se muestra en la figura 7.31.81 SCR (rectificador controlado de silicio) es un dispositivo de estado sólido que tiene dos modos distintos de operación. Cuando el voltaje a través del SCR se incrementa pero es menor que 5 V, el SCR se comporta como un circuito abierto según se muestra en la figura 1 .32a. Una vez que el voltaje a través del SCR alcanza 5 V el dispositivo funciona como una fuente de corriente, tal como se muestra en la figura 7.32b. Este comportamiento continuará mientras el voltaje del SCR se mantenga por arriba de los 0.2 V. En este voltaje, el SCR se apaga y de nuevo es un circuito abierto.
Suponga Que t=0, Vc (t) es 0 volts y el capacitor de I uF comienza a cargar hacia la fuente de voltaje de 6 v. Encuentre el valor de la resistencia tal que Vc (t) sea igual a 5 V (el voltaje de encendido del CR) en 1 segundo. En t=1 segundo, el SCR se enciende y comienza a descargar al capacitor. Encuentre e1 tiempo requerido para que Vc (t) caiga de 5 V a 0.2 V. Finalmente, graficamos Vc (t) para los tres ciclos.
Solución Para t<1 segundo, el circuito equivalente para el marcapaso se muestra en la figura 7.33 el voltaje del capacitor tiene la forma
() Un voltaje de 0.2V ocurre en t1=0.034RC Mientras un voltaje de 5V ocurre a t2=1.792RC
Deseamos que t2-t1= 1 segundo. Por lo tanto, T2-t1= 1s Por lo tanto T2-t1=1.758RC =1s
7.33 Red equivalente de marcapasos durante el ciclo de carga de capacitor.
7.34 Red equivalente de marcapasos durante el ciclo de descarga de capacitor.
En t=1 segundo, el SCR se enciende y el marcapasos es modelado por el circuito de la figura 7.34. La forma de la onda de descarga es V (t)=K1+K2 () El término (t-1) aparece en el exponencial para correr la función 1 segundo, ya que durante ese tiempo el capacitor se está cargando. Justo después de que el SCR se enciende en t=1 segundo, Vc (t) es aun 5V, mientras a t= ∞. Vc (t)=6-IR. Por lo tanto,
Nuestra solución es entonces de la forma
() ( ) () Sea T el tiempo necesario más allá de 1 segundo para que v(t) caiga a 0.2V. Escribimos
( ) ( ) Si sustituimos para 1. R y C, encontramos
T=0.11 segundos
Circuito para una fuente luminosa intermitente
Ahora ya estamos en disposición de analizar el circuito de una fuente luminosa intermitente presentado al principio de este capítulo y que se muestra en la Figura 7.45.La bombilla de este circuito comienza a conducir cuando la tensión entre sus terminales alcanza un valor Vmax. Durante el tiempo en que la bombilla conduce, puede modelarse como una resistencia de valor Rl. La bombilla continuará conduciendo hasta que la tensión entre sus terminales caiga al valor Vmin. Cuando la bombilla no está conduciendo, se comporta como un circuito abierto. Antes de desarrollar las expresiones analíticas que describen el comportamiento del circuito, veamos cómo funciona éste realizando algunas observaciones. En primer lugar, cuando la bombilla se comporte como un circuito abierto, la fuente de tensión continua cargará el condensador a través de la resistencia R hacia un valor de v, voltios. Sin embargo, una vez que la tensión entre los terminales de la bombilla alcanza el valor Vmax, comienza a conducir y el condensador empieza a descargarse hacia la tensión de Thévenin vista desde los terminales del condensador. Pero una vez que la tensión del condensador alcance la tensión de corte de la bombilla (Vmin), la bombilla actuará como un circuito abierto y el condensador comenzará de nuevo a recargarse. Este ciclo de carga y descarga del condensador se resume en él dibujo mostrado en la Figura 7 .46. Al dibujar la Figura 7.46, hemos elegido t= 0 en el instante en que el condensador comienza a cargarse. El instante to representa el momento en que la bombilla comienza a conducir, mientras que tc.
Marca el fin de un ciclo completo. También conviene señalar que, al construir la Figura 7.46, hemos asumido que el circuito ha alcanzado la etapa repetitiva de su operación. Nuestro diseño del circuito de la fuente luminosa intermitente requiere que desarrollemos la ecuación correspondiente a Vl (t) en función de Vmax, Vmín, Vs R, C y Rl para los intervalos comprendidos entre 0 y to y entre to y t, para comenzar el análisis, asumimos que el circuito ha estado en operación durante un largo período de tiempo. Sea t= 0 el instante en el que la bombilla deja de conducir. Por tanto, en t=0, la bombilla puede modelarse como un circuito abierto y la caída de tensión entre sus terminales es Vmín, como se muestra en la Figura 7.47. A partir del circuito de dicha figura, vemos que Vl (∞)=Vs Vl (0)=Vmin τ=RC Por lo tanto, cuando la bombilla no está conduciendo,
() ( )
¿Cuánto tarda la bombilla en estar de nuevo lista para conducir? Podemos calcular dicho tiempo igualando la expresión de Vl (t) a Vmax y despejando el tiempo t. Si llamamos a este valor to, entonces
Cuando la bombilla comience a conducir, puede modelarse como una resistencia Rl, como se muestra en la Figura 7.48. Para calcular la ecuación correspondiente a la caída de tensión
entre los terminales del condensador en este circuito, necesitamos hallar el equivalente de Thévenin visto por el condensador.
() ( )
Podemos determinar durante cuánto tiempo conduce la bombilla igualando la expresión anterior de () a y despejando ( ), lo que nos da
CONCLUSIONES Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la energía del sistema, como sucede con los transitorios. Como el suministro o la disipación de energía no pueden realizarse con amplitud infinita este cambio requiere un tiempo determinado, el cual desestabilizara el circuito por un determinado tiempo regresándolo luego a la estabilidad. Para todo circuito con almacenadores de energía para conocer su funcionalidad después que se cargan o descargan debemos necesariamente conocer su comportamiento anterior del
transitorio, o sea sus condiciones iniciales, ya que su resultado dependerá de la estabilidad que lo precedía. Al trabajar con este tipo de circuitos en la mayoría de casos vamos a tener dos tipos de respuestas como son la natural y la forzada, siendo la forzada dependiente del tipo de fuente que actúa en dicho circuito, solo en casos muy explícitos como cuando se aplican circuitos integrados así como los amplificadores operacionales donde solo aparece un tipo de respuesta.
RECOMENDACIONES Al trabajar con elementos que almacenan energía hay que tener en cuenta que se pueda volver inestable el circuito haciendo que falle y pueda dañarse. Mientras varíen los valores del capacitor e inductor su tipo de onda también cambiara así que antes de diseñar un circuito se debe tomar en cuenta un análisis previo.
Bibliografía
J., David Irwin: Análisis básico de circuitos de Ingeniería, 5ta Edición, Ed. PrenticeHall, México. EGON BRENNER, D.E.E: Análisis de circuitos eléctricos, Ed. Mc Graw Hill, España, 1956. NILSON, James W., RIEDEL, Susan A.: Circuitos eléctricos, 7ta Edición, Ed. PrenticeHall, Madrid, 2005. HAY T., William H., KEMMERLY, Jack E., DURBIN, Stewen M.: Análisis de circuitos en Ingeniería, Ed. Mc Graw Hill, México, 2007. Teoría de los circuitos 1; Jorge María Buccella ELECTRONICA FUNDAMENTAL PARA CIENTIFICOS; JJ Brophy; editorial reverté; segunda edición.
