CONTROL
PATIÑO ESCOGIDO DIEGO ALBERTO
SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
2013
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
La función de transferencia sin ceros (los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que ocasiona que la función de transferencia se convierta en cero) de un sistema de primer orden puede ser descrito por la función que se muestra en la figura 1.
() ()()
() Figura 1 función de transferencia.
Una vez conocida la función de transferencia (figura 1), se puede obtener la respuesta en el tiempo. En la figura 2 es representada la función en el tiempo.
() () () Figura 2 función en el tiempo.
Las especificaciones para el desempeño de una respuesta en un sistema de primer orden, son tres; la constante de tiempo, tiempo de levantamiento y tiempo de asentamiento. La constante de tiempo, de la respuesta de un sistema de primer orden, hace referencia a la expresión 1/a y se puede describir como el tiempo en que en que , de la figura 2, decaiga en un 37% de su valor inicial. De manera alterna, de la ecuación de la figura 1, la constante del tiempo es el tiempo que toma la respuesta de escalón para alcanzar el 63% de su valor final. El parámetro a podemos llamarle frecuencia exponencial. Como la derivada de es –a cuando t=0, a es la rapidez de cambio inicial de la exponencial en t=0. En pocas palabras, la constante del tiempo determina la velocidad de respuesta de un sistema de primer orden. El tiempo de levantamiento ( ) se define como el tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 a 0.9 de su valor final. Para calcular el tiempo de de levantamiento que se muestra en la figura 3 está dada por.
Figura 3 tiempo de levantamiento.
El tiempo de asentamiento es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el 2% alrededor de su valor final y permanezca en ese valor y está dado por (figura 4).
Figura 4 tiempo de asentamiento.
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La ubicación de los polos está localizado en el reciproco de la constante de tiempo a, y cuando más alejado se encuentre el polo del eje imaginario, más rápida es la respuesta transitoria, esto quiere decir que la posición del polo, es otro parámetro que altera la velocidad de respuesta transitoria de un sistema de segundo orden. EJEMPLOS. Los siguientes ejemplos que se analizaran, fueron simulados en el programa Matlab. Dichos ejemplos se les modificara los parámetros que afectan su velocidad de respuesta y los resultados son analizados de manera matemática y grafica (la grafica fue producida por la simulación de Matlab). 1.1
En este ejemplo se puede observar que la función de transferencia (figura 5.a), no es como la función de transferencia general (figura 1), por eso es necesario acomodarla de la siguiente manera como se muestra en la figura 5.b.
) ()
) ()
⁄
Figura 5 funciones de transferencia.
Para la figura 6 es la estructura en bloques de la función de transferencia y en la grafica 7 se muestra la grafica de la misma.
Figura 6 funciones de transferencia.
Figura 7 grafica de la función de transferencia.
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Para la figura 8 se muestra el cálculo de tiempo de asentamiento, cuya respuesta son de seis segundos, y esta información se puede corroborar en la grafica donde se puede ubicar, que en los seis segundos la respuesta transitoria se está estabilizando.
Figura 8 tiempo de asentamiento.
1.2
Para el segundo ejemplo se modifico a con un valor de 8 y esto ocasiono que su estabilización sea más rápido tal y como se muestra en la grafica 9.
Figura 9 grafica de la función de transferencia.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
A comparación de un sistema de primer orden que solo contienen una sola respuesta transitoria, los sistemas de segundo orden tiene una amplia variedad de respuestas que deben ser analizadas y descritas. Los parámetros de respuesta transitoria no solo afectan su velocidad también modifican la forma de la respuesta. La forma general de cualquier sistema de segundo orden, como se observa en la figura 10, para una entrada de señal de tipo escalón.
()
Figura 10 función de transferencia.
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Los parámetros que afectan la ganancia y velocidad de respuesta se pueden calcular mediante la siguiente expresión (figura 11);
Donde:
Figura 11 amortiguamiento.
= amortiguamiento. =factor de amortiguamiento relativo. = frecuencia natural no amortiguada. En la tabla 12 se muestran las diferentes respuestas de los sistemas de segundo orden. Tipo de respuesta
Sobremortiguado
Polos
Dos en:
complejos
Función en el tiempo
Grafica
()
Subamortiguado
Dos en:
complejos
() ( )
No amortiguado
Dos en:
imaginarios
() ( )
Críticamente amortiguado
Dos polos reales en:
()
Figura 11 Tabla de las respuestas de segundo orden.
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EJEMPLOS. 2.1 respuesta sobreamortiguada:
Figura 13 función de transferencia con respuesta tipo sobreamortiguada.
Figura 14 respuesta tipo subamortiguada.
2.2 respuesta Subamortiguada:
Figura 15 función de transferencia con respuesta tipo subamortiguada.
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Figura 16 respuesta subamortiguada.
2.3 No amortiguado:
Figura 17 función de transferencia con respuesta tipo no amortiguada.
Figura 18 respuesta no amortiguada.
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2.4 Respuesta críticamente amortiguada:
Figura 19 función de transferencia con respuesta críticamente amortiguada.
Figura 20 respuesta críticamente amortiguada.
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