Practica 3. Respuesta de Sistemas Segundo Orden

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN AUTOMATIZACIÓN

PRACTICA NO. 3 “RESPUESTA DE SISTEMAS DE 2DO. ORDEN”

TEORÍA DEL CONTROL I

Grupo 5AM4 E$u%&' ( I!"#r$!"%: M)rt*+, G)rc*) Ab+r -'. Ort%, M+) D)+%0 Ort%, Ort%, D)+%0

PROFESOR: RICARDO HURTADO RANGEL 29/Octubr/2!"#

O1-ETIO E0 )0u3+' r.'04r5 .%.t3). 6 .7u+6' 'r6+ 8 )+)0%,)r) .u. 7r)c)r) )+t u+) +tr)6) 6 &rub): &r)ct%c)r) 0'. c'3)+6'. &)r) 0). ;u+c%'+. 6 tr)+.;r+c%).: r.'04r5 0),'. 6 c'+tr'0 )b%rt'. 8 crr)6'. ) tr)4. 6 .%3u0%+< 8 c'3&)r)r) 0). 7r5c). 6 0'. .%.t3). r)0%,)6'.=

MARCO TEÓRICO R.&u.t) .c)0>+ 6 .%.t3). 6 .7u+6' 'r6+= L) ;u+c%>+ 6 tr)+.;r+c%) + 0),' crr)6' .? C ( s ) K  = 2  R ( s ) Js + Bs + K 

@("B

u &u6 r.cr%b%r. c'3'

 K 

( ) =  R ( s ) C  s

J 

⌊ s+

B 2 J 

+

√(

B 2 J 

)

2

 K 

[

−  ⌋ s + J 

B 2 J 

+

√(

B 2 J 

)

2

−  K  J 

]

@(2B

L'. &'0'. + 0),' crr)6' .'+ c'3&0'. .% B2 – 4JK<0,  8 .'+ r)0. .% B2 – 4JK ≥ 0 = E+ 0 )+50%.%. 6 0) r.&u.t) tr)+.%t'r%): . c'+4+%+t .cr%b%r  K  J 

=

2

ωn

 B J 

2 λ ω n=2 σ 

=

D'+6  . 6+'3%+) )t+u)c%>+F  +: ;rcu+c%) +)tur)0 +' )3'rt%7u)6): 8 : ;)ct'r 6 )3'rt%7u)3%+t' r0)t%4' 60 .%.t3)= E0 ;)ct'r 6 )3'rt%7u)3%+t' r0)t%4'  . 0 c'c%+t +tr 0 )3'rt%7u)3%+t' r)0 1 8 0 )3'rt%7u)3%+t' cr*t%c' 1c J2 √ JK  ' b%+ ζ =

 B B = Bc 2 √ JK 

#

Sistema de Segundo Orden.

Curvas de respuesta a escaln unitario de un sistema de segundo orden variando ζ   .

D+%c%'+. 6 0). .&c%c)c%'+. 6 r.&u.t) tr)+.%t'r%)= E+ 3ucK'. c).'. &r5ct%c'.: 0). c)r)ctr*.t%c). 6 6.3&' 6.)6). 60 .%.t3) 6 c'+tr'0 . .&c%c)+ + tr3%+'. 6 c)+t%6)6. + 0 6'3%+%' 60 t%3&'= L'. .%.t3). $u &u6+ )03)c+)r +r7*) +' r.&'+6+ %+.t)+t5+)3+t 8 K%b+ r.&u.t). tr)+.%t'r%). c)6) 4, $u .t5+ .ut'. ) +tr)6). ' &rturb)c%'+.= C'+ ;rcu+c%): 0). c)r)ctr*.t%c). 6 6.3&' 6 u+ .%.t3) 6 c'+tr'0 . .&c%c)+ + tr3%+'. 6 0) r.&u.t) tr)+.%t'r%) &)r) u+) +tr)6) .c)0>+ u+%t)r%': 6)6' $u .t) . ;5c%0 6 7+r)r 8 . .uc%+t3+t 6r5.t%c)= @S% . c'+'c 0) r.&u.t) ) u+) +tr)6) .c)0>+: . 3)t35t%c)3+t &'.%b0 c)0cu0)r 0) r.&u.t) &)r) cu)0$u%r +tr)6)=B L) r.&u.t) tr)+.%t'r%) 6 u+ .%.t3) &)r) u+) +tr)6) .c)0>+ u+%t)r%' 6&+6 6 0). c'+6%c%'+. %+%c%)0.= P'r c'+4+%+c%) )0 c'3&)r)r r.&u.t). tr)+.%t'r%). 6 4)r%'. .%.t3).: . u+) &r5ct%c) c'3+ u.)r 0) c'+6%c%>+ %+%c%)0 .t5+6)r 6 $u 0 .%.t3) .t5 + r&'.' )0 %+%c%': &'r 0' cu)0 0) .)0%6) 8 t'6). 0). 6r%4)6). c'+ r.&ct' )0 t%3&' .'+ cr'= D .t 3'6': 0). c)r)ctr*.t%c). 6 r.&u.t) . c'3&)r)+ c'+ ;)c%0%6)6= L) r.&u.t) tr)+.%t'r%) 6 u+ .%.t3) 6 c'+tr'0 &r5ct%c' K%b c'+ ;rcu+c%) '.c%0)c%'+. )3'rt%7u)6). )+t. 6 )0c)+,)r 0 .t)6' .t)b0= A0 .&c%c)r 0). c)r)ctr*.t%c). 6 0) r.&u.t) tr)+.%t'r%) 6 u+ .%.t3) 6 c'+tr'0 &)r) u+) +tr)6) .c)0>+ u+%t)r%': . c'3+ .&c%c)r 0' .%7u%+t? "= T%3&' 6 rt)r6': td  2= T%3&' 6 04)+t)3%+t': tr  (= T%3&' &%c': tp #

= S'br&).' 35%3': Mp #= T%3&' 6 ).+t)3%+t': ts E.t). .&c%c)c%'+. . 6++ +.7u%6) 8 )&)rc+ + ;'r3) 7r5c) + 0) !gura "#$= "= T%3&' 6 rt)r6': td ? 0 t%3&' 6 rt)r6' . 0 t%3&' r$ur%6' &)r) $u 0) r.&u.t) )0c)+c 0) &r%3r) 4, 0) 3%t)6 60 4)0'r +)0= 2= T%3&' 6 04)+t)3%+t': tr ? 0 t%3&' 6 04)+t)3%+t' . 0 t%3&' r$ur%6' &)r) $u 0) r.&u.t) &). 60 "! )0 9!: 60 # )0 9# ' 60 ! )0 "!! 6 .u 4)0'r +)0= P)r) .%.t3). .ub)3'rt%7u)6'. 6 .7u+6' 'r6+: &'r 0' c'3+ . u.) 0 t%3&' 6 04)+t)3%+t' 6 ! ) "!!= P)r) .%.t3). .'br)3'rt%7u)6'.: .u0 u.)r. 0 t%3&' 6 04)+t)3%+t' 6 "! ) 9!=

%igura "#$. Curva de respuesta escaln unitario en la &ue se muestran td ,tr ,tp,mp,ts.

(= T%3&' &%c': tp? 0 t%3&' &%c' . 0 t%3&' r$ur%6' &)r) $u 0) r.&u.t) )0c)+c 0 &r%3r &%c' 60 .'br&).'= = S'br&).' 35%3' @&'rc+t)B: Mp 0 .'br&).' 35%3' . 0 4)0'r &%c' 35%3' 6 0) cur4) 6 r.&u.t): 36%6' ) &)rt%r 6 0) u+%6)6= S% 0 4)0'r +)0 + .t)6' .t)b0 6 0) r.&u.t) . 6%;r+t 6 0) u+%6)6: . c'3+ u.)r 0 &'rc+t) 6 .'br&).' 35%3'= S 6+ 36%)+t P'rc+t) 6 .'br&).' 35%3'  J

c ( tp )−c ( ∞) c ( ∞)

  "!!

L) c)+t%6)6 6 .'br&).' 35%3' @+ &'rc+t)B %+6%c) 6 3)+r) 6%rct) 0) .t)b%0%6)6 r0)t%4) 60 .%.t3)= #=  T%3&' 6 ).+t)3%+t': ts? 0 t%3&' 6 ).+t)3%+t' . 0 t%3&' $u .

r$u%r &)r) $u 0) cur4) 6 r.&u.t) )0c)+c u+ r)+7' )0r66'r 60 4)0'r +)0 60 t)3)' .&c%c)6' &'r 0 &'rc+t) )b.'0ut' 60 4)0'r +)0 @&'r 0' 7+r)0: 6 2 ) #B 8 &r3)+,c) 6+tr' 6 0= E0 t%3&' 6 ).+t)3%+t' . r0)c%'+) c'+

#

0) 3)8'r c'+.t)+t 6 t%3&' 60 .%.t3) 6 c'+tr'0= L'. 'bt%4'. 60 6%.' 60 .%.t3) + cu.t%>+ 6tr3%+)+ cu50 cr%tr%' 6 rr'r + &'rc+t) u.)r = L'. .%.t3). 6 .7u+6' 'r6+ c'+t%+u'. .'+ )$u00'. $u r.&'+6+ ) u+) cu)c%>+ 6%;r+c%)0 0*+) 6 .7u+6' 'r6+ a0

d 2 c (t )

+

2

dt 

a1

dc(t )

+

dt 

a2 c(t ) = b0

d 2 r (t )

+

2

dt 

b1

dr (t ) dt 

+

b2 r (t )

S%+ &r6%6) 6 7+r)0%6)6 . )+)0%,)r5 u+ c).' 3u8 c'3+ 6'+6? a0

=

1, a1

=

 p, a2

=

b2

=

 K , b0

=

b1

=

0.

u c'rr.&'+6 )0 .%7u%+t .%.t3) 6 .7u+6' 'r6+

D'+6 Q . u+) c'+.t)+t $u r&r.+t) u+) 7)+)+c%)= P . u+) c'+.t)+t r)0 $u r&r.+t) )0 &'0' 60 .%.t3)

• •

Su ;u+c%>+ 6 tr)+.;r+c%) 6 0),' crr)6' . C ( s)  R ( s)

C ( s)  R ( s )

=

=

 K   s

2

+

 ps +  K 

 K 

   p  s + +  2  

 p 2 4

    p  − K      s + 2 −   

 p 2 4

  − K       

#

 p 2 4

>

 K 

 p 2 4

<

 K 

 p 2 4

=

 K 

C'3' . )&rc%): 0'. &'0'. 6 0),' crr)6' &u6+ .r 6 tr. t%&'. R)0. 6%;r+t. .%

: 2= R)0. %7u)0. .%?

C'3&0'. .%

P)r) ;)c%0%t)r 0 )+50%.%. . r)0%,) 0 .%7u%+t c)3b%' 6 4)r%)b0.  p = 2ζω n

=

2

2σ   K  = ω n

ω n2 =  R ( s )  s 2 + 2ζω n s + ω n2 C ( s)

For&$ "%!'($r (") %*%!"&$ (" %"#u(o or(".

6'+6 . 0) ;rcu+c%) +)tur)0 +' )3'rt%7u)6): . 6+'3%+) )t+u)c%>+: . 0 ;)ct'r 6 )3'rt%7u)3%+t'= AK'r) 0 c'3&'rt)3%+t' 6%+53%c' 60 .%.t3) 6 .7u+6' 'r6+ . 6.cr%b + tr3%+'. 6 0'. &)r53tr'. 8 S )+)0%,)r5 0) r.&u.t) tr)+.%t'r%) )+t u+) +tr)6) .c)0>+ u+%t)r%'?

C ( s )  R ( s )

=

ω n2 ( s + ζω n

+  jω d  )( s + ζω n −  jω d  ) C ( s)  R(s) (0 < ζ  < 1)

.ub)3'rt%7u)6'

 R( s) ω d 

=

? + .t c).'

@"B C).'

. .cr%b

ω n 1 − ζ  2

ω n2 C ( s ) = 2 ( s + 2ζω n s + ω n2 ) s donde

se denomina fracuencia natural amortiguada. Si

. u+) +tr)6) .c)0>+: +t'+c.

Se obtiene la salida en el tiempo

#

  c(t ) = 1 −  sen ω d t  + tan −1  1 − ζ  2 e

−ζω nt 

1 − ζ  2    

 

ζ 

(t  ≥ 0)

(ζ  = 1) 2) Caso de amortiguamiento crítico

ω n2 C ( s ) = 2 ( s + ω n )  s en este caso se tienen dos polos reales iguales y C(s) ante un escalón es

c(t ) = 1 − e

−ω nt 

(1 + ω nt )

(t  ≥ 0)

(ζ  > 1) () Caso sobreamortiguado

C ( s ) =

!

ω n2 ( s + ζω n

+

ω n ζ  2 − 1)( s + ζω n − ω n ζ  2 − 1) s en este caso se tienen dos polos reales negati"os y

diferentes. #ara una entrada escalón, es

$a transformada in"ersa de $aplace de la ecuación anterior es

c (t ) = 1 + −

1 2 ζ  2 − 1(ζ  + ζ  2 − 1) 1

2 ζ  2 − 1(ζ  − ζ  2 − 1)

e−

e

−

(ζ  + ζ 

2

1)ω nt 

−

(ζ  + ζ  2 −1)ω nt 

#

ζ 

= 0 .2

ζ 

=0

= 0 .4 ζ  = 0.% ζ 

ζ  ζ 

=1

ca

> 1  sa

&igura. 'espuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.

Sistemas de Orden superior  R"%pu"%!$ !r$%*!or*$ (" )o% %*%!"&$% (" or(" %up"r*or. $a función de transferencia en lao cerrado es

+G8 s C ( s ) G ( s ) = H ( S )¿ ¿  R ( s ) 1

 

(*1)

+n general, (s) y -(s) se obtienen como cocientes de polinomios en s, o bien,

 P ( s ) (s)  q ( s )

n( s) -(s)  d ( s )

en dondep(s), q(s),n(s) y d(s) son polinomios en s. / continuación, la función de transferencia en lao cerrado obtenida con la ecuación (*1) se escribe como

figura *22 sistema de control

#

S% t'6'. 0'. &'0'. + 0),' crr)6' . +cu+tr)+ + 0 .3%&0)+' %,$u%r6' 60 &0)+' .: 0). 3)7+%tu6. r0)t%4). 6 0'. r.%6u'. 6tr3%+)+ 0) %3&'rt)+c%) r0)t%4) 6 0'. c'3&'++t. + 0) ;'r3) &)+6%6) 6 [email protected]= S% K)8 u+ cr' + 0),' crr)6' crc) 6 u+ &'0' + 0),' crr)6': 0 r.%6u' + .t &'0' . &$u' 8 0 c'c%+t 60 tr3%+' 6 r.&u.t) tr)+.%t'r%) $u c'rr.&'+6 ) .t &'0' . 4u04 &$u'= U+ &)r &'0'cr'

#