L€gica de primer orden
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L€gica de primer orden La l€gica de primer orden, tambi•n llamada l€gica de predicados o c•lculo de predicados, es un sistema formal dise‚ado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan s€lo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son s€lo constantes o variables de individuo. La l€gica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prƒcticamente todas las matemƒticas.
Introducci€n Como el desarrollo hist€rico y las aplicaciones de la l€gica de primer orden estƒn muy ligados a la matemƒtica, en lo que sigue se harƒ una introducci€n que contemple e ilustre esta relaci€n, tomando ejemplos tanto de la matemƒtica como del lenguaje natural. Primero se introducen cada uno de los conceptos bƒsicos del sistema, y luego se muestra c€mo utilizarlos para analizar argumentos.
Predicados Un predicado es una expresi€n ling„…stica que puede conectarse con una o varias otras expresiones para formar una oraci€n. Por ejemplo, en la oraci€n †Marte es un planeta‡, la expresi€n †es un planeta‡ es un predicado que se conecta con la expresi€n †Marte‡ para formar una oraci€n. Y en la oraci€n †Jˆpiter es mƒs grande que Marte‡, la expresi€n †es mƒs grande que‡ es un predicado que se conecta con dos expresiones, †Jˆpiter‡ y †Marte‡, para formar una oraci€n.
una expresi€n, se dice que expresa una propiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o mƒs expresiones, se dice que expresa una relaci€n (como la relaci€n de ser m•s grande que ). La l€gica de primer orden no hace ningˆn supuesto, sin embargo, sobre si En l€gica matemƒtica, cuando un predicado se conecta con
existen o no las propiedades o las relaciones. S€lo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingˆisticas. En la l€gica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una funci€n es, metaf€ricamente
‚nica cosa. A y a las cosas que salen, valores o im•genes.
hablando, una mƒquina que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve como resultado una las cosas que entran a las funciones se las llama
[1]
argumentos,
Consid•rese por ejemplo la siguiente funci€n matemƒtica:
f ( x x) = 2 x Esta funci€n toma nˆmeros como argumentos y devuelve mƒs nˆmeros como valores. Por ejemplo, si toma el nˆmero 1, devuelve el nˆmero 2, y si toma el 5, devuelve el 10. En la l€gica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no s€lo toman nˆmeros como argumentos, sino expresiones como †Marte‡, †Mercurio‡ y otras que se verƒn mƒs adelante. De este modo, la oraci€n †Marte es un planeta‡ puede transcribirse, siguiendo la notaci€n propia de las funciones, de la siguiente manera:
Planeta( Marte Marte) O, mƒs abreviadamente:
P(m) En la matemƒtica existen ademƒs funciones que toman varios argumentos. Por ejemplo: , y) = x + y f ( x x y Esta funci€n, si toma los nˆmeros 1 y 2, devuelve el nˆmero 3, y si toma el -5 y el -3, devuelve el -8. Siguiendo esta idea, la l€gica de primer orden trata a los predicados que expresan relaciones, como funciones que toman argumentos. Por ejemplo, la oraci€n †Ca…n mat€ a Abel‡ puede formalizarse as…: , Abel) Mat€(Caƒn Abel
dos o mƒs
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O abreviando:
M (c,a) Este procedimiento puede extenderse para tratar con predicados que expresan relaciones entre muchas entidades. Por ejemplo, la oraci€n †Ana estƒ sentada entre Bruno y Carlos‡ puede formalizarse:
S (a,b,c) Constantes de individuo Una constante de individuo es una expresi€n ling„…stica que refiere a una entidad. Por ejemplo †Marte‡, †Jˆpiter‡, †Ca…n‡ y †Abel‡ son constantes de individuo. Tambi•n lo son las expresiones †1‡, †2‡, etc., que refieren a nˆmeros. Una entidad no tiene que existir para que se pueda hablar acerca de ella, de modo que la l€gica de primer orden tampoco hace supuestos acerca de la existencia o no de las entidades a las que refieren sus constantes de individuo.
Variables de individuo Ademƒs de las constantes de individuo que hacen referencia a entidades determinadas, la l€gica de primer orden cuenta con otras expresiones, las
variables, cuya referencia no estƒ determinada. Su funci€n es similar a la de las
expresiones del lenguaje natural como †•l‡, †ella‡, †esto‡, †eso‡ y †aquello‡, cuyo referente var…a con el contexto. Las variables generalmente se representan con letras minˆsculas cerca del final del alfabeto latino, principalmente la
x, y y z. Del mismo modo, en la matemƒtica, la x en la funci€n f ( x) = 2 x no representa ningˆn nˆmero en particular, sino que es algo as… como un espacio vac…o donde pueden insertarse distintos nˆmeros. En conclusi€n, podemos representar una expresi€n como †esto es antiguo‡ con la expresi€n:
Antiguo( x) O abreviadamente:
A( x) Es evidente, sin embargo, que hasta que no se determine a qu• refiere la x, no es posible asignar un valor de verdad a la expresi€n †esto es antiguo‡, del mismo modo que hasta que no se determine un nˆmero para la x en la funci€n f ( x) = 2 x, no serƒ posible calcular ningˆn valor para la funci€n. Por supuesto, al igual que con las constantes de individuo, las variables sirven tambi•n para formalizar relaciones. Por ejemplo, la oraci€n †esto es mƒs grande que aquello‡ se formaliza:
G( x, y) Y tambi•n pueden combinarse constantes de individuo con variables. Por ejemplo en la oraci€n †ella estƒ sentada entre Bruno y Carlos‡:
S ( x,b,c) Cuantificadores Consid•rese ahora la siguiente expresi€n matemƒtica:
x > 3 Esta expresi€n no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo serƒ hasta que no reemplacemos a la
x por algˆn
nˆmero cualquiera. Sin embargo, tambi•n es posible dar un valor de verdad a la expresi€n si se le antepone un cuantificador. Un cuantificador es una expresi€n que afirma que una condici€n se cumple para un cierto nˆmero de individuos. En la l€gica clƒsica, los dos cuantificadores mƒs estudiados son el cuantificador universal y el
todos los individuos de los que se estƒ hablando, y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos. Por ejemplo, la expresi€n "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a " x < 3", produce: cuantificador existencial. El primero afirma que una condici€n se cumple para
Para todo x, x < 3
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Esta es una expresi€n con valor de verdad, en particular, una expresi€n falsa, pues existen muchos nˆmeros (muchos
x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresi€n "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene: Para al menos un x, x < 3 La cual resulta ser una expresi€n verdadera. Advi•rtase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qu• nˆmeros se est• hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se estƒ hablando s€lo de los nˆmeros negativos, por ejemplo, entonces la afirmaci€n es verdadera. Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se estƒ hablando solamente de los nˆmeros 3, 4 y 5, entonces la afirmaci€n es falsa. En l€gica, a aquello de lo que se estƒ hablando cuando se usa algˆn cuantificador, se lo llama el dominio de discurso. Esta maquinaria puede adaptarse fƒcilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. T€mese por caso la afirmaci€n "todos son amigables". Esta oraci€n puede traducirse as…: Para todo x, x es amigable. Y una oraci€n como "alguien estƒ mintiendo" puede traducirse: Para al menos un x, x estƒ mintiendo. Tambi•n es frecuente traducir esta ˆltima oraci€n as…: Existe al menos un x, tal que x estƒ mintiendo. A continuaci€n se formalizan ambas oraciones, intr oduciendo a la vez la notaci€n especial para los cuantificadores: Para todo x, x es amigable.
€ x A( x)
Existe al menos un x, tal que x estƒ mintiendo. • x M ( x)
Conectivas La l€gica de primer orden incorpora ademƒs las conectivas de la l€gica proposicional. Combinando las conectivas con los predicados, constantes, variables y cuantificadores, es posible formalizar oraciones como las siguientes: Oraci€n
Formalizaci€n
S€crates es sabio y prudente.
Ss ‚ Ps
Si S€crates es sabio, entonces tambi•n es prudente. Ss ƒ Ps Nadie es sabio y ademƒs prudente.
‰• x (Sx ‚ Px)
Todos los sabios son prudentes.
€ x (Sx ƒ Px)
Argumentos Consid•rese el siguiente argumento clƒsico: 1. Todos los hombres son mortales. 2. S€crates es un hombre. 3. Por lo tanto, S€crates es mortal. La tarea de la l€gica de primer orden consiste en determinar por qu• los argumentos como •ste resultan vƒlidos. Para eso, el primer paso es traducirlos a un lenguaje mƒs preciso, que pueda ser analizado mediante m•todos formales. Segˆn lo visto mƒs arriba, la formalizaci€n de este argumento es la siguiente: 1. € x ( Hx ƒ Mx)
Hs 3. „ Ms
2.
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Sistema formal A continuaci€n se define un lenguaje formal, Q, y luego se definen axiomas y reglas de inferencia sobre ese lenguaje que dan como resultado el sistema l€gico SQ.
Sintaxis El alfabeto del lenguaje formal Q consta de los siguientes s…mbolos:
a x f P * ' ‰ ‚ … ƒ † € • ( ) A partir de estos s…mbolos, se definen las siguientes nociones: Un nombre (o constante de individuo) es una
a seguida de una o mƒs comillas. Por ejemplo, a', a'' y a'''''' son
nombres. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del comienzo del alfabeto latino, con o sin sub…ndices, para distinguir nombres distintos: a, b, c, d , e, a , a , c , etc. 1
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Una variable (o variable de individuo) es una x seguida de una o mƒs comillas. Por ejemplo, x', x'' y x'''''' son variables. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del final del alfabeto latino, con o sin sub…ndices, para distinguir variables distintas: x, y, z, x , x , z , etc. 1
3
9
Un functor es una f seguida de uno o mƒs asteriscos, y luego de una o mƒs comillas. Por ejemplo, f *', f **'''' y
f ****'' son functores. El nˆmero de asteriscos indica la aridad del functor. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras del alfabeto latino cerca de la f , con o sin sub…ndices, para distinguir functores distintos: f , g, h, f , f , h , etc. 1 3 9 Un predicado es una P seguida de uno o mƒs asteriscos, y luego de una o mƒs comillas. Por ejemplo, P *', P **'''' y
P ****'' son predicados. El nˆmero de asteriscos indica la aridad del predicado. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras en mayˆscula a lo largo del alfabeto latino para distinguir predicados distintos: P, A, B, C , S , T , etc. La noci€n de t‚rmino se define recursivamente mediante las siguientes clƒusulas: 1. Todos los nombres son t•rminos. 2. Todas las variables son t•rminos. 3. Si f es un functor de aridad n ‡ 1 y t ,...,t son t•rminos, entonces f (t ,...,t ) es un t•rmino. n n 1 1 4. Nada mƒs es un t•rmino. Segˆn esta definici€n, las siguientes cadenas de caracteres son t•rminos: Cadena
Simplificaci€n
Posible interpreta ci€ n
a'
a
Arist€teles
x'''''
y
f *'''(a''')
h(c)
f *''( f *''( f *''(a'))) f ( f ( f (b)))
El hermano de Ca…n El padre del padre del padre de Beatriz
Y en cambio, las siguientes cadenas de caracteres no son t•rminos:
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Cadena
Error
a
Faltan comillas.
x*'''
Sobra el asterisco.
f '
Faltan asteriscos y argumentos.
f * *
Faltan comillas y argumentos.
f *'( f *')
Falta el argumento del functor mƒs anidado.
f *'(a',a'') El functor es de aridad 1 pero tiene dos argumentos.
La noci€n de f€rmula bien formada de Q se define a trav•s de las siguientes clƒusulas: 1. Si P es un predicado de aridad n ‡ 1 y t ,...,t son t•rminos, entonces P(t ,...,t ) es una f€rmula bien formada. n n 1 1 2. Si A es una f€rmula bien formada, entonces ‰A tambi•n lo es. 3. Si A y B son f€rmulas bien formadas, entonces (A ‚ B), (A … B), (A ƒ B) y (A † B) tambi•n lo son. 4. Si A es una f€rmula bien formada y x es una variable, entonces € x A y • x A son f€rmulas bien formadas. 5. Nada mƒs es una f€rmula bien formada. Segˆn esta definici€n, las siguientes cadenas de caracteres son f€rmulas bien formadas: Cadena
Simplificaci€n
Posible interpretaci€n
P *'(a')
Pa
Abel es pastor.
P **''''(a'',a''')
Aae
Abelardo ama a Elo…sa.
‰ P *'( f *'(a'))
‰ P(h(a))
El hermano de Abel no es pastor.
( P *'''(a'') ƒ ‰ P *'''''(a'')) Pv ƒ ‰ Ev
Si Venus es un planeta, entonces no es una estrella.
€ x'' P *'''( x'')
€ x Mx
Todos son mentirosos.
€ x'' • x'''' P **'( x'', x'''')
€ x • y Axy
Todos aman a alguien.
• x'' € x'''' P **'( x'', x'''')
• x € y Axy
Alguien ama a todos.
Y en cambio, las siguientes cadenas de caracteres no son f€rmulas bien formadas: Cadena
Error
P *'
El predicado es de aridad 1 pero no tiene argumentos.
P ***'(a')
El predicado es de ar id ad 3 pero tiene un s€lo arg umento .
P *'(a') ƒ P *'(a''') Faltan los par•ntesis externos. ( P *'(a'))
Sobran los par•ntesis externos.
€a' P *'(a')
El cuantificador estƒ seguido de un nombre en vez de una variable.
a R b en vez de R(a,b). Por ejemplo, se escribe 2 > 1 en vez de >(2,1), y 4 = 4 en vez de =(4,4). Anƒlogamente, si f es un functor de aridad 2, a veces se escribe a f b en vez de f (a,b). Por ejemplo, se escribe 1 + 2 en vez de +(1,2). Para ciertos predicados muy utilizados, la notaci€n estƒndar puede tener la forma
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Observaciones ‹ El s…mbolo de identidad a veces se incluye entre los s…mbolos primitivos del alfabeto y se comporta sintƒcticamente como un predicado binario. A una l€gica de primer orden que incluye el s…mbolo de identidad se la llama, justamente,
l€gica de primer orden con identidad .
‹ Los nombres pueden ser definidos como functores de aridad 0, de modo que es posible omtir a la a de entre los s…mbolos primitivos. ‹ En la definici€n anterior se requiere que los predicados tengan aridad mayor o igual que 1. Es posible permitir predicados de aridad 0, considerƒndolos como variables proposicionales de la l€gica proposicional.
f P * ' ˆ € ( ) ‹ Hay diferentes convenciones acerca de d€nde poner los par•ntesis. Por ejemplo, algunos escriben (€ x) en vez de € x. A veces se usan dos puntos (:) o un punto (.) en vez de par•ntesis para desambiguar f€rmulas. Una notaci€n ‹ Es posible reducir el nˆmero de s…mbolos primitivos hasta quedarse con s€lo nueve: x
interesante pero poco usual es la notaci€n polaca, donde se omiten todos los par•ntesis y se escribe ‚, …, delante de los argumentos en vez de entre ellos. La notaci€n polaca es compacta pero poco comˆn por ser dif…cil para ser le…da por los humanos. ‹ Una observaci€n t•cnica es que si existe un s…mbolo de funci€n de aridad 2 representando el par ordenado (o s…mbolo de predicado de aridad 2 representando la relaci€n) no se necesitan funciones y predicados de aridad mayor que 2. ‹ Usualmente se considera que el conjunto de constantes, funciones y relaciones forman un
lenguaje, mientras que
las variables, los operadores l€gicos y cuantificadores se los considera pertenecientes a la l€gica. Por ejemplo, el lenguaje de la teor…a de grupos consiste de una constante (el elemento identidad), una funci€n de aridad 1 (la inversa), una funci€n de aridad 2 (el producto), y una relaci€n de aridad 2 (la igualdad), omitida por los autores que incluyen la igualdad en la l€gica subyacente.
Substituci€n de variables libres Las nociones de variable libre y variable ligada se introducen para evitar un posible error en el proceso de substituci€n. Supongamos por un momento la f€rmula
. Intuitivamente, esta f€rmula dice que para todo
x, x es menor o igual que y (es decir, que y es mƒximo). En esta f€rmula, y es una variable libre, o sea que no estƒ bajo el alcance de ningˆn cuantificador. Si substituimos y por cualquier otro t•rmino t , entonces la f€rmula pasarƒ a decir que t es mƒximo. Pero supongamos ahora que substituimos a y por x mismo (a fin de cuentas, x es un t•rmino). En ese caso, y pasa a estar ligada por un cuantificador universal, porque la nueva f€rmula es: . Pero esta f€rmula ya no dice de un t•rmino que es mƒximo, sino algo muy distinto. Para evitar este tipo de desplazamiento de significado, convenimos que al substituir una variable libre por un t•rmino cualquiera, hay que evitar que las variables libres en el nuevo t•rmino queden ligadas por algˆn cuantificador. Es decir, que permanezcan libres. Dicho de una manera mƒs general, si una variable libre, entonces
t es un t•rmino y
es una f€rmula que posiblemente contiene a x como
es el resultado de substituir todas las apariciones libres de x por t ,
suponiendo que
ninguna variable libre en t se vuelva ligada en este proceso. Si alguna variable libre de t se volviera ligada, entonces para substituir t por x se necesita cambiar los nombres de las variables ligadas de por otros que no coincidan con las variables libres de t .
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Identidad Hay varias maneras diferentes de introducir la noci€n de identidad en la l€gica de primer orden, pero todas con esencialmente las mismas consecuencias. Esta secci€n resume las principales: ‹ La manera mƒs comˆn de introducir a la identidad es incluyendo al s…mbolo entre los primitivos, y agregando axiomas que definan el comportamiento del mismo. Estos son:
‹ Otra manera es incluir al s…mbolo de identidad como una de las relaciones de la teor…a y agregar los axiomas de identidad a la teor…a. En la prƒctica esta convenci€n es casi indistinguible de la anterior, salvo en el caso inusual de las teor…as sin noci€n de identidad. Los axiomas son los mismos. La ˆnica diferencia es que unos se llaman axiomas l€gicos y los otros axiomas de la teor…a. ‹ En las teor…as sin funciones y con un nˆmero finito de relaciones, es posible definir la identidad en t•rminos de las relaciones. Esto se hace definiendo que dos t•rminos
a y b son iguales si y s€lo si ninguna relaci€n presenta
cambios reemplazando a por b en cualquier argumento. Por ejemplo, en teor…a de conjuntos con una relaci€n de pertenencia (‰), definir…amos a = b como una abreviaci€n para € x [(a ‰ x) † (b ‰ x)] ‚ [( x ‰ a) † ( x ‰ b)]. Esta definici€n de identidad automƒticamente satisface los axiomas de identidad. ‹ En algunas teor…as es posible dar definiciones ad hoc para la identidad. Por ejemplo, en una teor…a de €rdenes parciales con una relaci€n de menor o igual (Š) podr…amos definir a = b como una abreviaci€n para (a Š b) ‚ (b Š
a).
Reglas de inferencia La l€gica de primer orden tiene dos reglas de inferencia. La primera es el modus ponens, heredada de la l€gica proposicional. La segunda es la regla de
Generalizaci€n universal, que es caracter…stica de la l€gica de primer orden.
La misma dice:
O en la notaci€n del cƒlculo de secuentes:
Es decir: a partir de A es posible concluir que € x A. N€tese que la regla de generalizaci€n universal es anƒloga a la regla de Necesitaci€n de la l€gica modal.
Axiomas l€gicos los cuales son parte del cƒlculo de predicados. Al formalizar teor…as de primer orden particulares (como la aritm•tica de Peano) se agregan axiomas no-l€gicos espec…ficos, es Los axiomas considerados aqu… son los axiomas
decir axiomas que no se consideran verdades de la l€gica pero s… verdades de una teor…a particular. Cuando el conjunto de axiomas es infinito, se requiere de un algoritmo que pueda decidir para una f€rmula bien formada si es un axioma o no. Mƒs aˆn, deber…a existir un algoritmo que pueda decidir si la aplicaci€n de una regla de inferencia es correcta o no. Es importante notar que el cƒlculo de predicados puede ser axiomatizado de varias formas diferentes. No existe nada can€nico sobre los axiomas y reglas de inferencia aqu… dadas, pero cualquier formalizaci€n produce los mismos teoremas de la l€gica (y permite deducir los mismos teoremas de cualquier conjunto de axiomas no-l€gicos).
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Los siguientes tres axiomas son heredados de la l€gica proposicional y se incorporan a la l€gica de primer orden. Sean A, B y C f€rmulas bien formadas de Q. Luego, los siguientes son axiomas l€gicos: Ax1: A ƒ (B ƒ A) Ax2: (A ƒ (B ƒ C)) ƒ ((A ƒ B) ƒ (A ƒ C)) Ax3: (‰A ƒ ‰B) ƒ (B ƒ A) Los dos axiomas siguientes son caracter…sticos de la l€gica de primer orden. Sean A y B f€rmulas bien formadas de Q con como m•ximo una variable libre, x. Sea t un t•rmino cerrado y A( x/t ) el resultado de reemplazar toda aparici€n de x en A por t . Luego, los siguientes son axiomas l€gicos: Ax4: € x A ƒ A( x/t ) Ax5: € x (A ƒ B) ƒ (€ x A ƒ € x B) Intuitivamente, el cuarto axioma dice que lo que vale para todos vale para cualquiera. Por ejemplo, un caso particular del axioma podr…a ser: †Si todos son mortales, entonces Abel es mortal‡; o tambi•n: †Si todos son mortales, entonces el padre de Mateo es mortal‡ El quinto axioma es anƒlogo al axioma K de la l€gica modal, y un caso particular del mismo podr…a ser: †Si todos los humanos son mortales, entonces, si todos son humanos, todos son mortales.‡
Sem•ntica Una interpretaci€n es un par , donde D es un conjunto no vac…o llamado el dominio de discurso e I es una funci€n llamada la funci€n de interpretaci€n definida como sigue: 1. Si a es un nombre, entonces I le asigna un elemento del dominio. 2. Si f es un functor de aridad n, entonces I le asigna una funci€n de n argumentos que toma elementos del dominio y devuelve elementos del dominio. 3. Si P es un predicado de aridad n, entonces I le asigna un conjunto de n-tuplas construidas a partir del dominio. [2]
Luego es posible definir la noci€n de verdad para una interpretaci€n (para las oraciones de Q): 1.
P(t 1,...,t n) es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si la n-tupla formada por las interpretaciones de t 1,...,t n es un elemento de la interpretaci€n de P.
2. ‰A es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si A es falsa bajo esa interpretaci€n. 3. (A ‚ B) es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si A es verdadera y B es verdadera bajo esa interpretaci€n. 4. (A … B) es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si A es verdadera o B es verdadera bajo esa interpretaci€n. 5. (A ƒ B) es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si A es falsa o B es verdadera bajo esa interpretaci€n. 6. (A † B) es verdadera para la interpretaci€n M si y s€lo si A y B son ambas verdaderas o ambas falsas bajo esa interpretaci€n. Para dar las definiciones de verdad para f€rmulas con la forma € x A o • x A, primero son necesarias algunas definiciones preliminares: Sea A( x/a) el resultado de reemplazar toda aparici€n de x en A por un nombre
a (que no
a un nombre, entonces M' es una a-variante de M si y s€lo si M' es id•ntica a M o difiere s€lo en el elemento del dominio que le asigna al nombre a.[3] haya sido utilizado en la f€rmula). Ademƒs, si M y M' son interpretaciones y
1. € x A es verdadera para M si y s€lo si A( x/a) es verdadera para toda a-variante de M. 2. • x A es verdadera para M si y s€lo si A( x/a) es verdadera para al menos una a-variante de M. Una f€rmula es falsa bajo una interpretaci€n si y s€lo si no es verdadera bajo esa interpretaci€n. A partir de esto pueden definirse varias otras nociones semƒnticas: ‹ Una f€rmula es una verdad l€gica si y s€lo si es verdadera para toda interpretaci€n. ‹ Una f€rmula es una contradicci€n si y s€lo si es falsa para toda interpretaci€n. ‹ Una f€rmula es consistente si y s€lo si existe al menos una interpretaci€n que la haga verdadera. ‹ Una f€rmula A es una consecuencia sem•ntica de un conjunto de f€rmulas interpretaci€n que haga verdaderas a todas las f€rmulas en
si y s€lo si no hay ninguna
y falsa a A. Cuando A es una consecuencia
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semƒntica de en un lenguaje Q, se escribe: ‹ Una f€rmula A es l€gicamente v•lida si y s€lo si es una consecuencia semƒntica del conjunto vac…o. Cuando A es una f€rmula l€gicamente vƒlida de un lenguaje Q, se escribe:
Metal€gica La l€gica de primer orden es uno de los sistemas l€gicos con propiedades metal€gicas mejor conocidas. A continuaci€n se introducen algunas de las mƒs importantes.
Completitud El teorema de completitud de GŒdel, demostrado por Kurt GŒdel en 1929, establece que existen sistemas de primer orden en los que todas las f€rmulas l€gicamente vƒlidas son demostrables. Esto quiere decir que dado un lenguaje de primer orden Q, es posible seleccionar algunas f€rmulas como axiomas, y algunas reglas de inferencia, de modo tal que todas las f€rmulas l€gicamente vƒlidas (verdaderas bajo cualquier interpretaci€n) sean demostrables a partir de los axiomas y las reglas de inferencia. Un ejemplo de axiomas y reglas de inferencia que permiten demostrar completitud son los que se dieron mƒs arriba en este art…culo.
Decidibilidad Un sistema es decidible cuando existe al menos un m•todo efectivo (un algoritmo) para decidir si una f€rmula cualquiera del lenguaje del sistema es l€gicamente vƒlida o no. Por ejemplo, en la l€gica proposicional, la evaluaci€n de las f€rmulas mediante tablas de verdad es un m•todo efectivo para decidir si una f€rmula cualquiera es l€gicamente vƒlida (una tautolog…a). En este sentido, la l€gica de primer orden es indecidible, siempre y cuando tenga al menos un predicado de aridad 2 o mƒs (distinto de la identidad). Este resultado fue alcanzado de manera independiente por Alonzo Church en 1936 y por Alan Turing en 1937, dando as… una respuesta negativa al Entscheidungsproblem planteado por David Hilbert en 1928. Por otra parte, la l€gica de primer orden monƒdica (con o sin identidad) es decidible, como lo demostr€ Leopold LŒwenheim en 1915.
El teorema de L„wenheim-Skolem El teorema de LŒwenheim-Skolem establece que si una teor…a de primer orden numerable tiene un modelo infinito, entonces para cualquier nˆmero cardinal K, la teor…a tiene un modelo de cardinalidad K. En este contexto, una teor…a de primer orden es simplemente un conjunto de f€rmulas en un lenguaje de primer orden. Una teor…a es numerable si sus f€rmulas pueden ser puestas en correspondencia biun…voca con algˆn subconjunto (finito o infinito) de los nˆmeros naturales. Y una teor…a tiene un modelo infinto si tiene al menos una interpretaci€n con un dominio infinito que hace verdaderas a todas las f€rmulas de la teor…a. Lo que el teorema de LŒwenheim-Skolem afirma, entonces, es que si una teor…a tiene una interpretaci€n con un dominio infinito que hace verdaderas a todas las f€rmulas de la teor…a, entonces tambi•n tiene interpretaciones con dominios de
cualquier
cardinalidad que hacen verdaderas a todas las f€rmulas de la teor…a. Esto significa que las l€gicas de primer orden son incapaces de controlar la cardinalidad de sus modelos infinitos: si una teor…a tiene un modelo infinito, entonces tambi•n tiene modelos infinitos de todas las cardinalidades. Una consecuencia de esto es que por ejemplo, la aritm•tica de Peano, que es una teor…a de primer orden, tendrƒ como modelo no s€lo al conjunto de los nˆmeros naturales (que ser…a lo deseable), sino tambi•n al conjunto de los nˆmeros reales e infinitos otros conjuntos de mayor cardinalidad.
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El teorema de compacidad El teorema de compacidad afirma que un conjunto de f€rmulas de primer orden tiene un modelo si y s€lo si todo subconjunto finito de ese conjunto tiene un modelo. Esto implica que si una f€rmula es una consecuencia l€gica de un conjunto infinito de axiomas, entonces es una consecuencia l€gica de algˆn subconjunto finito de ellos. El teorema fue demostrado por primera vez por Kurt GŒdel como una consecuencia del teorema de completitud, pero con el tiempo se han encontrado varias demostraciones adicionales. El teorema es una herramienta central en teor…a de modelos, ya que provee un m•todo fundamental para construir modelos.
El teorema de Lindstr„m El teorema de LindstrŒm establece que la l€gica de primer orden es el sistema l€gico mƒs fuerte que cumple con el teorema de compacidad y el teorema descendente de LŒwenheim-Skolem. Esto significa que el cumplimiento de esos dos teoremas
caracteriza a la l€gica de primer orden. Fue demostrado por Per LindstrŒm, quien tambi•n defini€
la clase de los sistemas l€gicos abstractos, permitiendo as… la comparaci€n entre sistemas.
Historia D€nde ubicar los or…genes de la l€gica de primer orden depende de lo que se entienda por l€gica de primer orden. Si se entiende cualquier sistema l€gico en torno a la cuantificaci€n sobre individuos, entonces la l€gica de primer orden es tan antigua como la l€gica misma, y sus or…genes se remontan al
„rganon de Arist€teles. Arist€teles realiz€ una
gran cantidad de observaciones y contribuciones acerca del comportamiento de los cuantificadores †todos‡, †algunos‡, †ningˆn‡, etc. Construy€, por ejemplo, el famoso cuadro de oposici€n de los juicios, y ofreci€ una influyente clasificaci€n para los distintos juicios con cuantificadores. Sin embargo, si por l€gica de primer orden se entiende un sistema l€gico similar al expuesto en este art…culo, entonces los or…genes de la l€gica de primer orden deben buscarse reci•n e n el siglo XIX, en la obra de Gottlob Frege. En 1879, Frege public€ su
Conceptografƒa (Begriffsschrift), donde present€ el primer sistema de l€gica de
predicados tal como lo entendemos hoy (aunque con una notaci€n muy diferente a la actual). Luego lo refinar…a en un trabajo de 1893 (y reeditado en 1903) titulado Los fundamentos
de la aritm…tica (Grundgesetze der Arithmetik).
Sin embargo, la notaci€n de Frege era dif…cil de entender, y sus revolucionarias contribuciones permanecieron desconocidas por varios a‚os. Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron Principia Mathematica, una monumental obra directamente influida por los trabajos de Frege. Con ella la l€gica de predicados en general, y la l€gica de primer orden en particular, cobraron una forma mƒs familiar y alcanzaron una mayor audiencia. Luego de Principia Mathematica comenz€ una f•rtil •poca de resultados metal€gicos para la l€gica de primer orden (y otras). En 1915, Leopold LŒwenheim demostr€ la consistencia, completitud semƒntica y decidibilidad de la l€gica de primer orden monƒdica. En 1928, David Hilbert y Wilhelm Ackermann demostraron la consistencia de la l€gica de primer orden. En 1929, Kurt GŒdel demostr€ la completitud semƒntica de la l€gica de primer orden. Y en 1936, Alonzo Church y Alan Turing demostraron, de manera independiente, la indecibilidad de la l€gica de primer orden (no monƒdica). En 1933, Alfred Tarski abri€ otro cap…tulo en la historia de la l€gica de primer orden (y de la l€gica en general), con la publicaci€n de sus definiciones de verdad para lenguajes formales. Las mismas permitieron el surgimiento de la teor…a de modelos. En su trabajo, Tarski ofreci€ una definici€n de verdad para el lenguaje de la l€gica de primer orden (entre otros) que todav…a se utiliza. Dicha definici€n permiti€ refinar las demostraciones de consistencia y completitud semƒntica para la l€gica de primer orden. En 1934-1935, Gerhard Gentzen public€ Investigaciones
sobre la inferencia l€gica (Untersuchungen †ber das
logische Schliessen), donde introdujo una alternativa a la construcci€n axiomƒtica de los sistemas l€gicos (incluyendo la l€gica de primer orden), conocida como la deducci€n natural.
[4]
Gentzen pronto desarrollar…a la
L€gica de primer orden
deducci€n natural hasta llegar al cƒlculo de secuentes, y con la demostraci€n del teorema de corte-eliminaci€n (cut-elimination theorem), provey€ una nueva aproximaci€n a la teor…a de la demostraci€n.
Notas y referencias [1] No deben confundirse con los argumentos que estudia la l€gica. [2] Esta definici€n de verdad s€lo sirve para las f€rmulas bien formadas cerradas (oraciones) de Q. Es posible dar una definici€n para todas las f€rmulas bien formadas, pero dicha definici€n involucra muchas complicaciones que no convienen a este art…culo. Para la definici€n mƒs general, v•ase [3] Esta estrategia estƒ tomada de [4] V•ase la secci€n †Natural deduction and sequent calculus‡ en
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Fuentes y contribuyentes del art…culo
Fuentes y contribuyentes del art…culo L€gica de primer orden Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72390215 Contribuyentes: .Sergio, 4lex, Acratta, Airunp, Alakasam, Antonio92, Azevedo bandeira, Bernardo Bola‚os, Davius, Diegusjaimes, Drake 81, Drowne, Elwikipedista, GabiAPF, HUB, IIM 78, Julian Mendez, JulianMendez, Luis Felipe Schenone, MONIMINO, Marianov, Matdrodes, Nicop, Omerta-ve, PabloCastellano, Panypeces, Rodrigo.ros, Saloca, SantiagoMB, Technopat, Unificacion, Vitorres, Vivero, Wedrey, Zlayne, 119 ediciones an€nimas
Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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