La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo. Los conceptos básicos de la Lógica de Primer Orden son son:: Predicados Constantes de Individuos Variables de Individuos Cuantificadores Conectivas Argumentos
Un
predicado es una expresión lingüística que puede conectarse con una o varias otras expresiones para formar formar una oración. Por ejemplo, ejemplo, en la oración «Marte es un planeta», la la expresión expresión «es un planeta» planeta» es un predicado que se conecta con la expresión «Marte» para formar una oración. Cuando un predicado se conecta con una expresión, se dice que expresa una propiedad, y cuando se conecta con dos o más expresiones, se dice que expresa una relación. En la lógica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. funciones. Una función es un proceso que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve devuelve como resultado una única cosa. A las cosas que que entran a las funciones se las llama argumentos, y a las cosas que salen, salen, valores o imágenes. Considérese por ejemplo la siguiente función matemática: f(x) = 2x Esta función toma números como argumentos y devuelve más números números como valores. valores. Si toma el número número 1, devuelve devuelve el número número 2, y si toma el 5, devuelve devuelve el 10. 10. En la lógica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no sólo toman números números como argumentos, sino expresiones expresiones como «Marte», «Marte», etc. De este modo, la la oración «Marte es un planeta» puede transcribirse, siguiendo la notación propia de las funciones: Planeta(Marte) O P(m) En la matemática existen además funciones que toman varios argumentos. Por ejemplo: f(x,y) = x + y Esta función, función, si si toma los números números 1 y 2, devuel devuelve ve el número número 3, y si toma el -5 y el -3, devuelv devuelve e el -8. Siguiendo Siguiendo esta idea, la lógica de primer orden trata a los predicados que expresan relaciones, como funciones que toma toman n do doss o más más argu argume ment ntos os.. Por ejem ejempl plo o, la oraci oración ón «Caí «Caín n mató mató a Abel Abel» » pued puede e form formal aliz izar arse se así: así: Mató(Caín,Abel) o M(c,a). Este procedimiento puede extenderse para tratar con predicados que expresan relaciones entre muchas entidades. Por ejemplo, la oración «Ana está sentada entre Bruno y Carlos» puede formalizar formalizarse: se: S(a,b,c) S(a,b,c)
Una
constante de individuo es una expresión lingüística que refiere a una entidad. Por ejemplo «Marte», «Júpiter», «Caín» y «Abel» son constantes de individuo. También lo son las expresiones «1», «2», etc., que refieren a números. Una
entidad no tiene que existir para que se pueda hablar acerca de ella, de modo que la lógica de primer orden tampoco hace supuestos acerca de la existencia o no de las entidades a las que refieren sus constantes de individuo.
Además Además de las constantes constantes de individuo individuo que hacen referencia referencia a entidades entidades determinad determinadas, as, la la lógica lógica de primer orden cuenta con otras expresiones, las variables, cuya referencia no está determinada. Su función es similar a la de las expresiones expresiones del lenguaje lenguaje natural natural como «él», «ella», «ella», «esto», «esto», «eso» y «aquello», «aquello», cuyo referen referente te varía con el contexto. Las variables generalmente se representan con letras minúsculas cerca del final del alfabeto latino, latino, principalmen principalmente te la x, x, y, z. Del mismo modo, en la matemática, la x en la función f(x) = 2x no representa ningún número en particular, sino que es algo así como un espacio vacío donde pueden insertarse distintos números. En conclusión, podemos representar una expresión como «esto es antiguo» con la expresión: e xpresión: Antiguo(x) Antiguo(x) o A(x). Es evidente, evidente, sin embargo, embargo, que hasta que no se determine determine a qué refiere refiere la x, no es posible asignar asignar un valor de verdad a la expresión expresión «esto es antiguo», del mismo modo que hasta que no se determine un número para la x en la función f(x) = 2x, 2x, no será posible calcular ningún valor para la función. Por supuesto, al igual que con las constantes de individuo, las variables sirven también para formalizar relaciones. relaciones.Por Por ejemplo, ejemplo, la oración «esto es más grande que aquello» se formaliza: formaliza: G(x,y) Y también pueden combinarse constantes de individuo con variables. Por ejemplo en la oración «ella está sentada entre entre Bruno y Carlos»: S(x,b,c)
Considérese ahora la siguiente expresión matemática: x < 3. Esta expresión no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo será hasta que no reemplacemos a la x por algún número cualquiera. Sin embargo, también es posible dar un valor de verdad a la expresión si se le antepone un cuantificador. Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos. En la lógica clásica, los dos cuantificadores más estudiados estudiados son el cuantificador universal y el cuantificador cuantificador existencial. El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando, y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos. Por ejemplo, la expresión "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a "x < 3", produce: Para todo x, x < 3. Esta es una expresión con valor de verdad que resulta una expresión falsa, pues existen muchos números (muchos x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresión "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene: para al menos un x, x < 3. La cual resulta ser una expresión verdadera. Sin embargo, el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, cuantificador, se lo llama el dominio de discurso. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración oración puede traducir traducirse se así: Para todo x, x es amigable. amigable. Y una oración como "alguien está mintiendo" puede traducirse: Para al menos un x, x esta mintiendo. También es frecuente traducir esta última oración así: Existe al menos un x, tal que x está mintiendo. A continuación se formalizan formalizan ambas oraciones, introduciendo la notación notación especial para los cuantificadores: x A(x) Para todo todo x, x es amigable. amigable. A(x) x M(x) Existe al menos un x, tal que x está mintiendo. mintiendo.
La lógica de primer orden incorpora además las conectivas de la lógica proposicional. Combinando las conectivas con los predicados, constantes, variables y cuantificadores, es posible formalizar oraciones como las siguientes: Oración Sócrates es sabio y prudente. Si Sócrates es sabio, entonces también es prudente. Nadie es sabio y además prudente. Todos los sabios son prudentes. Conectivas Lógicas:
Formalización Ss P s Ss
P s
¬ x (S x Px ) x (S x Px )
Considérese el siguiente argumento clásico: - Todos los hombres son mortales. mor tales. - Sócrates es un hombre. - Por Por lo tanto, tanto, Sócrates es mortal. La tarea de la lógica de primer orden consiste en determinar por qué los argumentos como éste resultan válidos. Para eso, el primer paso es traducirlos a un lenguaje más preciso, que pueda ser analizado mediante métodos formales. Según lo visto más arriba, la formalización de este argumento es la siguiente: siguiente: x (Hx M x ) Hs Ms
Un
sistema f ormal ormal o un sistema ax axiomático es un artificio matemático compuesto de símbolos que se unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser manipuladas según reglas para producir otras cadenas. De esta manera, el sistema formal es capaz de representar representar cierto aspecto de la realidad.
El objetivo de un sistema formal es señalar como válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan denominan teoremas. teoremas. Para Para obtener obtener los teoremas se emplean emplean las reglas de producción producción que convierten convierten una cadena en otra. Hay Hay ciertos teoremas teoremas iniciales que no se obtienen obtienen de ninguna regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se convierten en el germen de producción de teoremas. Un
sistema formal matemático consiste en lo siguiente: - Un conjunto finito de símbolos que pueden ser usados para la construcción de fórmulas, llamado el alfabeto o vocabulario. - Una gramática formal o mecanismo para la construcción de fórmulas bien formadas. También debe proporcionarse un algoritmo de decisión de cisión para conocer si una determinada de terminada fórmula es bien formada o no. - Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas bien formadas. - Un conjunto de reglas de inferencia. - Un conjunto de teoremas. Este conjunto incluye todos los axiomas, más todas las fórmulas bien formadas que pueden ser derivadas de los axiomas o de otros teoremas por medio de las reglas de inferencia. La gramática no necesariamente garantiza la decidibilidad de si una fórmula es teorema o no.
Las propiedades de un Sistema Formal son: -Coherencia: El sistema formal es coherente si cada teorema al ser interpretado no corresponde a una decisión verdadera. -Compl -Completi etitud tud:: El sistem sistemaa formal formal es comple completo to si cada propo proposic sición ión ve verda rdader deraa puede puede ser repr represe esenta ntada da mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse. - Decidibilidad: Un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es.
El sistema de Peano es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término término "número" "número" designa designa a los números números naturales naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamen exclusivamente, te, y con "sucesor" "sucesor" de un número número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados que siguen: P1 0 es un núme númerro. P2 El sucesor de un número número es siempre siempre un número. número. P3 Dos números números nunca nunca tienen el mismo sucesor sucesor. P4 0 no no es el sucesor sucesor de númer número o alguno alguno.. P5 Si P es una una propiedad propiedad tal que (a) cero cero tiene tiene la la propiedad propiedad P, y (b) siempre siempre que que un número número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.
continuación
El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos diversos números números naturales naturales como como el sucesor de cero ( 0' ), el sucesor del sucesor sucesor de cero( cero( 0 ), y así hasta el infinito. Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor: (a) n + 0 = n; (b) n + k' = ( n + k)¶ Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros otros términos: términos: (a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n
El alfabeto L de la lógica de primer orden es un conjunto que contiene los siguientes tipos de símbolos: Sí mbolos mbolos de predicados o de relaciones n-arias: Son símbolos que corresponden a funciones (reciben argumentos) que 'predican' algo acerca de referentes. Corresponden a afirmaciones. Ej: C(x) abrevia 'x es calvo', y es una función unaria (recibe sólo una entrada); D(y, (y, z) abrevia 'y le debe dinero dinero a z' y es una función binaria; H(a,b,d) abrevia 'a y b se casaron en el lugar c' y es trinaria. En general, la relación R(X1, X2, ..., Xk) es una relación relación k-aria. Aquí, D, R y H se llaman símbolos de relación relación y estos símbolos símbolos son los elementos de L, no las funciones. Sí mbolos mbolos de Función n-aria: Son símbolos que corresponden a funciones que denotan cosas únicas, en función de sus argumentos. Note que difieren de los predicados ya que no simbolizan fórmulas, sino términos ('cosas'). Ej: P(w) abrevia 'el padre de w' ; D(v) abrevia 'la edad de v'. Note que H(x) (el hijo de x) no es función, ya que no precisa necesariamente un único único objeto determinado, sino que es ambiguo. ambiguo. ...(prin rincip cipalm alment ente). e). Se refiere refieren n a objetos objetos indeter indetermin minados ados.. Variables: x, y, z, w, x1, x2, ...(p refiere eren n a obje objetos tos determi determinad nados, os, particu particular lares es (p.ej (p.ej.,., n denot denotaa a Nicolás). Constantes: a, b, c, a1, a2, a3, ... Se refi (existe), ), (para (para todo). Cuantif Cuantif icadores icadores: (existe (implica) ca),, (equiv (equivale ale/si /si y solo si). Conectivos lógicos: (No), (o), (y), (impli Igualdad, Igualdad, comas y paréntesis: = , , , ( , ). Así, el conjunto conjunto A definido definido arriba arriba es de la forma: forma: A = { R1, R2, ..., f1, f2, ..., x, y, z, w, x1, x2, ..., a, b, c, a1, a2, ..., , ,,, ,,, =, (, )}, donde las R's son símbolos de relación, y los f's son símbolos de función. Al especificar un conjunto A, debe también especificarse la aridad de cada relación y de cada función.
Una
vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas fó rmulas bien formadas.
Las reglas del sistema L son: 1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas. 2.Si * es una fórmula bien formada de L, L, entonces
*
también lo es.
3.Si * y = son fórmulas bien formadas de L, entonces (*= ), (*=), (*p=) y (*m= ) también lo son. 4. Sólo las expresiones que pueden ser ser generadas mediante las cláusulas cláusulas 1 a 3 en un número finito finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.
Una
regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferenci inferenciaa es el modus ponens, el cual dice: Si A, entonces entonc es B A Por lo tanto, B Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser: Si está soleado, entonces es de día. Está soleado. Por lo tanto, es de día. Otro ejemplo sería Si Javier tiene rabia, es una nube. Javier tiene rabia. Por lo tanto, Javier es una nube. Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:
Los axiomas lógicos son parte del cálculo de predicados. Al formalizar teorías de primer orden particulares (aritmética de Peano) se agregan axiomas no-lógicos específicos, es decir axiomas que no se consideran verdades de la lógica pero sí verdades de una una teoría particular. particular. Cuando el conjunto de axiomas es infinito, infinito, se requiere requiere de un algoritmo algoritmo que pueda decidir decidir para una fórmula bien formada si es un axioma o no. Más aún, debería existir un algoritmo que pueda decidir dec idir si la aplicación de una regla de inferencia es correcta o no. El cálculo de predicados puede ser axiomatizado de varias formas diferentes. No existe estándar sobre los axiomas y reglas de inferencia dadas, pero cualquier formalización produce produce los mismos teoremas de la lógica. Los siguientes siguientes tres axiomas son heredados de la lógica proposici proposicional onal y se incorporan a la lógica lógica de primer orden. orden. Sean A, B y C fórmulas fórmulas bien bien formadas formadas de Q. Luego, Luego, los siguien siguientes tes son axiomas axiomas lógicos: lógicos: Ax1:A (B A) Ax2:(A (B C)) ((A B) (A C)) Ax3:(¬A ¬B) (B A) Los dos axiomas siguientes son característicos de la lógica de primer orden. Sean A y B fórmulas bien formadas de Q con como máximo una variable libre, x. Sea t un término cerrado y A(x/t) el resultado de reemplazar reemplazar toda toda aparición aparición de x en A por t. Luego, Luego, los siguientes siguientes son axiomas axiomas lógicos: lógicos: Ax4: x A A(x/t) Ax5: x (A B) (x A x B) Intuitivam Intuitivamente, ente, el cuarto axioma dice que lo que que vale para todos vale para cualquie cualquiera. ra. Por ejemplo: ejemplo: «Si todos son mortales, entonces Abel es mortal»; o también: «Si todos son mortales, entonces el padre de Mateo es mortal» El quinto axioma es análogo al axioma K de la lógica modal, y un caso particular particular del mismo podría podría ser: «Si todos los los humanos humanos son mortales, mortales, entonces, entonces, si todos son son humanos, humanos, todos son mortales. mortales.» »
Una
interpretación es un par , , donde D es un conjunto no vacío llamado el dominio de discurso e I es una función llamada la función de interpretación definida como sigue: - Si a es un nombre, entonces I le asigna un elemento del dominio. dominio. - Si f es un functor de aridad n, entonces I le asigna una función de n argumentos que toma elementos del dominio y devuelve elementos del dominio. - Si P es un predicado de aridad n, entonces I le asigna un conjunto de n-tuplas construidas a partir del dominio. Luego es posible definir la noción de verdad para una interpretación (para las oraciones de Q): 1. P(t1,...,tn) es verdadera para la interpretación M si y sólo si la n-tupla formada por las interpretaciones de t1,...,tn es un elemento e lemento de la interpretación de P. P. 2. ¬A es verdadera para la interpretación M si y sólo si si A es falsa bajo esa interpretación. 3. (A B) es verdadera para la interpretación M si y sólo si A es verdadera y B es verdadera bajo esa interpretación. 4. (A B) es verdadera para la interpretación M si y sólo si A es verdadera o B es verdadera bajo esa interpretación. 5. (A B) es verdadera para la interpretación M si y sólo si A es falsa o B es verdadera bajo esa interpretación. 6.(A B) es verdadera para la interpretación M si y sólo si A y B son ambas verdaderas o ambas falsas bajo esa interpretación.
continuación
Para dar las definiciones de verdad para fórmulas con la forma x A o x A, primero primero son necesarias necesarias algunas definiciones preliminares: Sea A(x/a) el resultado de reemplazar toda aparición de x en A por un nombre a (que no haya sido utilizado en la fórmula). Además, si M e M' son interpretaciones y a un nombre, entonces M' es una a-variante de M si y sólo si M' es idéntica a M o difiere sólo en el elemento del dominio que le asigna al nombre a. 7. x A es verdadera para M si y sólo si A(x/a) es verdadera verdadera para toda a-variante a-variante de M. 8. x A es verdadera para M si y sólo si A(x/a) es verdadera verdadera para para al menos una a-variante a-variante de M. Una
fórmula es f alsa alsa bajo una interpretación si y sólo si no es verdadera bajo esa interpretación.
A partir de esto pueden definirse varias otras nociones semánticas: - Una fórmula es una verdad lógica si y sólo si es verdadera para toda interpretación. - Una fórmula es una contradicción si y sólo si es falsa para toda interpretación. - Una fórmula es consistente si y sólo si existe al menos una interpretación que la haga verdadera. - Una fórmula A es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas si y sólo si no hay ninguna interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas en y falsa a A. Cuando A es una consecuencia semántica de en un lenguaje lenguaje Q, se escribe: escribe: - Una fórmula A es lógicament lógicamente e válida si y sólo si es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando A es una fórmula lógicamente lógicamente válida válida de un lenguaje Q, se escribe:
El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene; a estos objetos a veces se les denomina elementos del dominio.
