Respuesta en El Dominio Del Tiempo

Capítulo 3. ANALISIS TRANSITORIO DE SISTEMAS DE CONTROL Estado transitorio y estado estable / Análisis de respuesta transitoria para sistemas de primer orden / Análisis de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden /Análisis de respuesta transitoria para sistemas de orden superior / Análisis de respuesta estacionaria / Error en estado estacionario, coeficientes estáticos de error / Rechazo a perturbaciones / Sensibilidad / Aplicaciones de diseño y simulaciones aplicando software especializado.

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

R (s ) +

G (s )

Y (s)

-

H (s ) Función de transferencia lazo cerrado

Y ( s) G( s )  R( s ) 1  G ( s ) H ( s ) Salida del sistema:

  G( s ) Y ( s)   R( s )  1  G ( s ) H ( s )  Dependiendo del orden del denominador de la función de transferencia de Lazo cerrado, diremos que el sistema es de primer orden, segundo orden o de orden superior (al segundo).

“La forma de la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema de control, ante una entrada R(s), típicamente del tipo Escalón, nos permite juzgar su comportamiento dinámico y estacionario. Sabremos si el sistema tiene una respuesta lenta o veloz, si tiene buena precisión estática o no, etc.”

Sistemas de primer orden

Los sistemas de primer orden responden a una ecuación diferencial de primer orden dy(t )  a0 y (t )  b0 r (t ) dt

Cuya función de transferencia es:

Y ( s) b  0 R( s ) s  a0 reacomodando términos: Y ( s) K  R( s ) s  1

Donde:

K

b0 , Ganancia estática a0



1 , Constante de tiempo del sistema. a0

s  a0  

1



, Polo de lazo cerrado.

Respuesta de un sistemas de primer orden a una entrada escalón de magnitud A La salida es

b Y ( s )  0 R( s ) s  a0

La transformada inversa de Laplace es

La salida en el tiempo es

y(t )  AK (1  e a0t )

A R( s)  s

t 0



respuesta al escalón

y(t )

0

0.632120 AK

2 0.864664 AK 3 0.950212 AK 4 0.981684 AK

AK 0.981684 AK

0.632120 AK



4

t

•La constante de tiempo (  ) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63.212% del valor final. •La salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en un tiempo finito. Para fines prácticos se considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4 ) y el del 95% (5 ).

Observaciones: 1. Con la función de transferencia y conociendo la entrada, se puede obtener la salida. 2. A partir de una gráfica (o datos) de la salida se puede obtener la función de transferencia. Ejemplo: Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.

1 I ( s) L  V (s) s  R

L

Determinar la corriente i (t ) cuando se aplica una entrada escalón de 1volt Solución: No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:

1 I (s) R  V (s) L s  1 R

1 K R L  R

Ganancia en estado estable Constante de tiempo

Se obtiene la ecuación:

1 R R  t 1 i (t )  (1  e L ) R

L R

L 2 R

L 3 R

L 4 R

t

Ejemplo: Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica de 127 volts. Alcanza una temperatura estable de 325°C y demora 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determinar la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta. Solución: Se define la ganancia en estado estable:

K

Temperatura en estado estable 325   2.559 Voltaje de entrada 127

Se determina la constante de tiempo: Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo.

130   32.5 4

Finalmente, se sustituye valores en la función de transferencia de la forma:

G( s) 

K s  1

La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es

T (s) 2.559  V ( s ) 32.5 s  1 T (s) 0.078738  V ( s ) s  0.30769

Sistemas de segundo orden

Consideremos el sistema de control de 2° orden, cuya función de transferencia en lazo cerrado es:

Y ( s) Kn2  2 R( s ) s  2n s  n2

Donde: K : Ganancia estática ξ : Relación de amortiguamiento. n : Frecuencia natural de oscilación del sistema.

Las raíces del denominador de la función de transferencia son: y(t)

s  2n s    0 2

2 n

s1  n   n   1 ; 2

2K

K

s2  n   n  2  1 Las raíces s1 y s2 dependen de la relación de amortiguamiento ξ; por lo tanto la respuesta y(t) dependerá de ξ

Caso I. Sistema sobreamortiguado (ξ > 1) El sistema presenta dos raíces reales negativas:

s1   n   n  2  1 ; s 2   n   n  2  1

Las raíces se ubican en el plano S como sigue:

jω

×

×

s2

s1

La función de transferencia del sistema quedará:

 n2 Y (s)  R( s) ( s  s1 )(s  s 2 )

σ

Respuesta al escalón unitario, R(s) = 1/s. Para este caso la salida del sistema es:

Y ( s) 

( s   n  n

Kn2 1  2  1) ( s    n   n  2  1) s

- (    2 1 )  n t - (    2 1 )  n t   n  e e  ] ; para t  0 y (t)  K [1  2 2 2 2   1  (    1) n (    1) n 

Gráficamente: K

0

En el dominio de Laplace.

En el dominio del tiempo.

Caso II. Sistema críticamente amortiguado (ξ = 1) El sistema presenta dos raíces reales negativas e iguales:

s1   n ; s 2   n Las raíces se ubican en el plano S como sigue:

jω

×× s1, s2


Y ( s) Kn2  R( s ) ( s   n ) 2

σ


Kn2 1 Y ( s)  ( s  n )2 s


y (t)  K [1 - e-  n t (1   n t )] ; para t  0

Gráficamente: K

0


Caso III. Sistema subamortiguado (0< ξ < 1) El sistema presenta dos raíces complejas conjugadas con parte reales negativa:

s1  n  j n 1   2 ; s2  n  j n 1   2 O que es lo mismo:

s1    jd ; s2    jd

  n ; d  n 1   2

Donde: ωd : Frecuencia de oscilación amortiguada Factor de amortiguamiento;

jω s1 ×

jωd

Las raíces se ubican en el plano S como sigue: σ

-σ s2 ×


Y ( s) n2 n2   R( s ) ( s  n )2  (n 1   2 )2 ( s   )2  d2

-jωd


Y ( s) 

Kn2

1 ( s   )2  d2 s

y (t )  K [1 

e  t 1- 

2


send t   ] ; para t  0.

  n ; d  n 1   2 ;   atan(

1-  2




)  acos

Gráficamente: K

0

“Cuanto menor es la relación de amortiguamiento, el sistema subamortiguado es más oscilante.”

Caso IV. Sistema oscilante (ξ = 0) El sistema presenta dos raíces imaginarias conjugadas:

s1  j n ; s 2   j n Las raíces se ubican en el plano S como sigue:

jω

× jωn σ

× -jωn La función de transferencia del sistema quedará:

Y ( s) K n2  2 R( s ) s   n2


Kn2 1 Y ( s)  2 s  n2 s

y (t )  K [1  cos(nt )] ; para


t  0.


Gráficamente: 2K

K

Sistemas de orden superior

Sistema de Tercer orden

La respuesta transitoria a una señal escalón Es prácticamente la respuesta de un sistema De segundo orden subamortiguado.

a) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados Dominantes. b) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados con un polo real mas dominante. c) Respuesta correspondiente a un par de polos complejos conjugados que se superpone con otro par de polos complejos conjugados menos dominantes.

Especificaciones de funcionamiento en el dominio del tiempo Las especificaciones de funcionamiento son las restricciones matemáticas que se le impone al funcionamiento de un sistema de control. Tr y Tr: Tiempo de subida. Tp: Tiempo de pico. Ts: Tiempo de Asentamiento o Estabilización.

SP: Sobre Paso u OP

ess: Error de estado estable.

Determinación de las Especificaciones de Funcionamiento en el Dominio del Tiempo. Se toma como base la respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden en el dominio del tiempo, cuya función de transferencia de lazo cerrado es:

Y ( s) Kn2  2 R( s ) s  2n s  n2

Donde: K=1 R(s)= 1/S ; Escalón unitario

(I)

(II)

o

Nota.- Una expresión aproximada para el tiempo de subida Tr1, mostrada en la página 286 del texto de Modern Control Systems, de R. Dorf y R. Bishop (11ava. Edición) está dada por:

Válida para

𝜔𝑛 𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑇𝑝

1 − 𝜉2

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 1 − 𝜉 2 𝑇𝑝 = 0

El primer máximo se produce en el primer período

o

Sobre Paso(SP) y Máximo Pico (Mpt)

o Entonces, el Máximo Pico estará dado por:

Nota 1.- El sobre paso porcentual está dado por:

En términos generales el sobre paso está dado por:



ln 2 ( SP) ln 2 ( SP)   2

Sabemos que el sobre paso esta dado por: Entonces se puede construir una curva envolvente de sobrepasos Dada por: Que es una curva exponencial tal que:

Si se acepta que el transitorio de y(t) esta a menos de del 2% del valor final para el tiempo

y(t)

Entonces:

PROBLEMA Para el sistema mostrado, halle los valores de KP, KI y KD, si se desea que el sistema completo responda exactamente como un sistema de segundo orden, tal que a una entrada en escalón unitario, responda con las siguientes características: ess = 0 , SP = 10% y Ts = 1 seg. planta

acción PI R(s) +

E(s)

1 KP  KI s

+

5

U(s)

Y(s)

( s 2  6s  25)

acción D

KDs

Solución La FT de Lazo Cerrado es:

Y ( s) 5( K P s  K I )  3 R( s ) s  (5K D  6) s 2  (5K P  25) s  5K I

(1)

El sistema de 3° orden y se pide que responda exactamente como uno de 2° orden:

KI ) Y ( s) 5( K P s  K I ) 5K P KP    R( s ) ( s  p ) ( s 2  2  wn s  wn 2 ) ( s  p ) ( s 2  2  wn s  wn 2 ) ( s 2  2  wn s  wn 2 ) 5K P ( s 

(2)

De (2) se deduce que:

KI p KP

(3)

wn  5 K P

(4)

2

( s  p ) ( s 2  2  wn s  wn )  s 3  ( p  2  wn ) s 2  ( wn  2  wn p ) s  wn p 2

2

2

(5)

De (1) y (5):

5 K D  6  p  2 wn

(6)

5 K P  25  wn  2  wn p

(7)

5 K I  wn p

(8)

2

2

Luego de las especificaciones de funcionamiento de estado transitorio:

SP  0.1 Ts 

ln 2 (0.1)   0.59 ln 2 (0.1)   2



4  1seg  wn



wn 

4



 6.77 rad / seg

2

De (4)

w KP  n  9 5

(9)

5 K P  25  wn p 3 2  wn 2

De (7):

p  2  wn  6 1 5

De (6)

KD 

De (8)

w p K I  n  27.5 5

2

Por lo tanto, de (09), (11) y (12), la respuesta es:

KP = 9

(10)

(11)

(12)

PROBLEMA Identificar la función de transferencia que describe el comportamiento de un sistema frente a cambios en la entrada. Para ello, utilícese la Figura 1; donde la entrada es u(t), la salida es y(t). Téngase en cuenta que el sistema en cuestión es de tercer orden, pero se comporta como uno de segundo orden, sin ceros, y donde el polo real es de magnitud 20 veces superior a la parte real de los polos complejos conjugados. 2.6 2.4

y(t)

2.2 2 1.8 1.6 1.4

u(t)

1.2 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4 segundos

Figura 1.

0.5

0.6

0.7

0.8

Verificación:

>> n=[111132]; >> d=[1 231 4851 92610]; >> sys=tf(n,d) Step Response 1.4 System: sys Time (seconds): 0.175 Amplitude: 1.39

1.2

System: sys Time (seconds): 0.584 Amplitude: 1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Time (seconds)

Tp= 0.175 seg.

Mp= 1.16666 K = 1.3999

Y() = K = 1.2 ojo SP= 1/6 = 0.16666

PROBLEMA

Para el sistema de segundo orden de la Figura 3, ¿Es posible asignar valores a b para que la respuesta del sistema, ante un escalón de entrada, sea de diferentes tipos (respuesta subamortiguada, respuesta oscilante, etc.)?

R(S )









10 (S  1)

b

Figura 3

1 S

Y (S)

Respuesta en El Dominio Del Tiempo

Recommend Documents