EJERCICIOS SOBRE PROPOSICIONES Ejercicio 1 Averigüe qué proposiciones son verdaderas o falsas: 1.
La luna es cuadrada y mi perro tiene cuatro patas.
2.
Si
3. 4. 5. imagen.
O la derivada de es o la integral indefinida es . Todos los humanos nacieron en Ganímedes o en la Tierra. En Photoshop se edita documentos texto o en Office Word se edita
= , entonces
.
Solución: Proposición 1 : Naturalmente nos referimos a la Luna que orbita la tierra, esta Luna, es redonda y no cuadrada, en cuanto al perro, en efecto, tiene cuatro patas, tenemos:
y como son unidas por un conectivo conjuntivo, la proposición es:
naturalmente falsa. Sigamos con las siguientes proposiciones.
Proposición 2 :
La proposición es falsa.
Proposición 3 : Esta proposición es falsa porque se trata de una disyunción fuerte o exclusiva a pesar de que no existe contradicción en cada uno de los argumentos por separado. Sería verdadera su fuese una disyunción inclusiva.
Proposición 4 :
Esta es una disyunción débil o inclusiva, es verdadera ya que elegimos la proposición simple verdadera, esto es “todos los humanos nacieron en la tierra “.
Proposición 5 :
Y por ultimo, tenemos otra disyunción inclusiva, en este caso, la proposición es falsa.
Ejercicio 2 Diga cuales de las siguientes proposiciones o enunciados abiertos son atómicas y moleculares, expréselo simbólicamente luego de identificarlos correctamente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
La gallina pone huevos porque es hembra. El pavo será para mañana antes de las 12 de la noche. O Luis es buen jugador o es afortunado. Hoy esta lloviendo. Mi perro es bonito pero huele feo. Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa. Mi gato no quiere comer. Escribo con un lapicero si y sólo si tiene tinta. Los tiburones les gusta la carne. Puedes usar una dona de plata o una esfera de plata en tu pulsera de piedras.
Solución huevos porque es es hembra” se puede desdoblar así: 1. La proposición “La gallina pone huevos porque
:La gallina pone huevos. : La gallina es hembra.
¿Cual es la razón de que la gallina ponga huevos?, Que sea hembra, podemos escribir este enunciado así:
Si la gallina es hembra, entonces pondra huevos.
Por tanto, la simbolización esta proposición condicional es escribirlo es así:
. Aunque la manera correcta de
La gallina es hembra, por tanto, pone huevos.
Estes es una implicacion logica simbolizado así
.
2. Se puede separar en dos proposiciones diferentes:
:El pavo será para mañana. : El pavo es antes de las 12 de la noche.
Se podía haber escrito “El pavo será para mañana y antes de las 12 de la noche “. Para este caso, su esquema molecular es
.
3. igualmente
:Luis es buen jugador. : Luis es afortunado.
Por tanto, estamos tratando con una proposición conjuntiva por el conectivo “y” como en el caso anterior Por tanto, su esquema molecular es
.
4. La proposición “hoy está lloviendo ” indica que un juicio a un suceso, aquellas proposiciones de un solo juicio son proposiciones simples sin conectivos lógicos.
: hoy está lloviendo.
5. Aquí “Mi perro es bonito pero huele feo. “
: Mi perro es bonito.
: Mi perro huele feo.
El conectivo “ pero” representa al conectivo conjuntivo “ y “, su esquema molecular es
.
6. “Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa “, se puede separar así:
: Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil.
: Brasil se encuentra en américa.
Estas proposiciones están unidas por el conectivo “ y “, por tanto, su esquema molecular es
.
7. “Mi gato no quiere comer”, esta proposición es compuesta pero no un es un conectivo lógico, de aquí podemos extraer el siguiente enunciado:
: Mi gato quiere comer (Afirmación)
Como existe una negación “no” de simbolizado por “
“, la proposiciones debe escribirse así
.
8. “Escribiré con un lapicero si y sólo si tiene tinta“, esta proposición se puede separar así:
: Escribiré con un lapicero.
:El lapicero tiene tinta.
La conectiva “si y sólo si ” es una bicondicional, por tanto, la proposicion debe escribirse así
.
Los ejercicios 9 y 10 se los dejo a su criterio.
Ejercicio 3 Simbolizar el siguiente argumento detectando sus conectivas logicas escritos literalmente.
Si los cerdos vuelan y me hablan, creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.
Solución Para identificar cada una de los conectivos lógicos, vamos a colorearlo con color rojo y azul.
Si los cerdos vuelan y me hablan , creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.
En este argumento, vemos una proposición del tipo condicional de la forma “Si … , entonces …“, en este caso, el “entonces” se sobreentiende, significa que la proposicion es una condicional con símbolo “ que es una es una conectiva de mayor jerarquía, lo podemos escribir así:
Los cerdos vuelan y me hablan
” esto indica
creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.
El conectivo “ y ” de color azul es una conjunción lógica simbolizado por “ “, nuestro argumento se puede escribir así (sin olvidar la jerarquía de la condicional):
(Los cerdos vuelan
me hablan)
(creerían que estoy loco
me meterian en el
manicomio) De aquí podemos identificar las siguientes proposiciones simples dentro de este argumento y son:
: Los cerdos vuelan.
: los cerdos me hablan.
: Creerian que estoy loco.
: Me meterían preso.
Finalmente, nuestro argumento queda formalmente simbolizado de la siguiente manera:
(
)
(
)
Ejercicio 4 De los siguientes enunciados: 1.
Descansa en paz.
2. 3. 4.
Él está cojo. Que alegria.
5.
–
Cual de las alternativas siguientes son correctas: a. b. c. d.
2 de ellas son proposiciones 3 son enunciados abiertos 3 son enunciados declarativos 1 de ellas no son proposiciones ni enunciados abiertos
Solución: Describamos rápidamente cada uno de los enunciados.
1. declarativo.
Descansa en paz : es un mandato, por tanto, no es un enunciado
2. de es 3. refiriendo. 4. declarativo.
es
una proposición ya
que
la
integral
definida
.
Él está cojo, es un enunciado abierto, ya que no se sabe a quien se esta Que alegria, es una expresión emocional y no es un enunciado
5. es – , es imposible que – sea mayor que , por lo que, – estamos tratando con una proposición falsa. De aquí, contabilizamos los tipos de enunciados que podamos encontrarnos: Hay 3 enunciados declarativos, esta son la 2, 3 y 5. Hay 2 proposiciones y son la 2 y la 5. También encontramos 2 enunciados no declarativos, nos referimos a la 1 y la 4, es decir, no son proposiciones ni enunciados abiertos. Encontramos también un único enunciado abierto, el enunciado número 3
por tanto, sólo las alternativas a. y c. son correctas.
Ejercicio 5 Describir formalmente la siguiente proposición gramatical. Si no entendistes lo que quise decir, mej or te lo digo de esta manera “transforma la siguiente oración en
términos , , junto con símbolos conectivos de la siguiente proposición”:
Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más, por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagaran menos o mas.
Solución: Vamos a trazar con color amarillo tanto enunciados abiertos simples como proposiciones simples de la proposición original que estamos planteando.
Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más.
De aquí, podemos simbolizar con letras minúsculas a las proposiciones simples como enunciados abiertos simples tenga la proposición matriz. = Renato va a trabajar tarde
= le pagaran menos
= le pagarán más
Pero también encontramos otras premisas tiene relación a las premisas p, q y r:
no va a trabajar tarde es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (
)
va a trabajar tarde es lo mismo que Renato va a trabajar tarde ( ) no es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (
)
más es lo mismo que le pagaran mas ( )
Como se habrán dado cuenta, tan solo son variantes de y , pero ninguna en . La proposición inicial se puede separar en dos partes, lo podemos hacer desde el punto aparte,quedando así:
Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más 2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más. 1.
en el primer fragmento de la proposición hemos marcado el conjuntivo “ y” de color rosa como mayor jerarquía porque une dos proposiciones condicionales. Lo podemos escribir así: 1. Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos
si no va a trabajar
tarde, le pagarán más donde simbólicamente encontramos que:
Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos =
Si no va a trabajar tarde, le pagarán más =
el primer fragmento quedaría así: 1.
(
)
(
)
En el segundo fragmento, encontramos una coma significa para este caso el conjuntivo “y”, lo podemos escribir de la siguiente manera: 2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no
le pagarán menos o más.
donde simbólicamente también encontramos que:
si va a trabajar tarde o no = le pagarán menos o más =
nuestro segundo fragmento quedaría así: 2. Por tanto, (
)
(
)
Luego, vemos que en el segundo fragmento encontramos un “Por tanto“. En la entrada de la condicional explicamos que la implicación “Por tanto” es diferente a la condicional “Si … entonces..”. Para diferenciarlo simbólicamente (ya que no lo hice
en dicha entrada), debemos de representarlo así “
“
El “por tanto” significa que el primer fragmento ( antecedente del segundo fragmento ( sin el “ por tanto“
)
(
)
(
) es el
) que es el consecuente pero
Finalmente, nuestra proposición original quedaría así: [(
)
(
)]
[(
)
(
)]
Ejercicio 6 Formalizar simbólicamente el siguiente argumento.
Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. Luego, si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.
Solución Si leemos detenidamente este argumento, resulta ser una implicacion lógica, vea por usted mismo.
Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta , llegará antes de la 5 pm. Luego , si viene corriendo o con bicicleta , llegará antes de la 5 pm.
En este caso, la palabra “ luego” es lo mismo que “ por tanto ” y se encuentra simbolizado por una flecha de este tipo “ “, en la sección la condicional material puedes encontrar la diferencia con la implicacion lógica. Nuestro argumento lo podemos escribir así:
pm
Si viene corriendo , llegará antes de la 5 pm ; si viene con bicicleta , llegará antes de la 5 siviene corriendo o con bicicleta , llegará antes de la 5 pm.
Note también que encontramos un total de 3 condicionales lógicas en este argumento y son:
Si viene corriendo , llegará antes de la 5 pm. (
Si viene con bicicleta , llegará antes de la 5 pm. (
Si viene corriendo o con bicicleta , llegará antes de la 5 pm. ((
) )
)
)
) y ( ), representa en este caso a El punto y coma “ ;” que se encuentra entre las esquemas ( una conjunción lógica. Por tanto, nuestro argumento queda representado así:
(
)
(
)
(
)
EJERCICIOS DE VALORES DE VERDAD Antes de comenzar con los ejercicios, comenzaré a definir unas anotaciones que debí resaltarlo en entradas anteriores y es el definir los valores de verdad de las proposiciones, esta son: 1.
( )=
, indica que la proposición
es verdadera.
2.
( )=
, indica que la proposición
es falsa.
3. ( ) = { , } indica que la proposición puede ser tanto verdadera o como también falsa pero no ambas a la vez. 4.
(
)={ ,
} indica que las proposiciones
una de ellas o verdaderas o falsas donde
( )
( ).
y
pueden ser cada
5.
( = ) ={ ,
verdaderas o falsas tal que
} indica que las proposiciones
( )
y
puede ser
( ).
Con la nueva notación, comencemos con los ejercicios resueltos (conste que el siguiente problema será un poco largo e interesante):
Ejercicio 7 Tenemos 3 variables proposicionales , y donde de verdad de los siguientes esquemas moleculares:
1.
(
2.
)
(
(
4.
,
( )=
,
( )=
. Determine el valor
)
(
3.
( )=
(
) )
)
(
)
Solución Esquema 1: {
(
)} = ( )
(
Reemplazando los valores de verdad de {
(
)} =
,
[
)= ( ) y
[ ( )
( )]
dados, tenemos:
]=
=
.
Realizando lo mismo con el resto de los esquemas:
Esquema 2: { (
)]
(
)=
) [ ( )
Reemplazando valores:
(
)} = { ( ( )]
[ ( )
)} ( )]
(
)} =
[ (
{ (
]=
)
(
)} =
[
]
[
] =
[
=
Esquema 3: {
(
)} =
(
)} =
( )
(
)=
( )
[
( )
(
)] Remplazando, tenemos: {
[
]=
[
]=
=
Esquema 4: { (
)
( )]
[
)
( )
(
)} =
(
)
(
) =
[ (
( )]
Como en los casos anteriores, reemplazando valores, tenemos: { (
]
[
)
]=
=
(
)} =
[
]
[
] =
[
(
)]
.
Ejercicio 8 Si la siguiente proposición es Falsa: {[(
)
(
)]
[(
)
,
y .
determinar el valor de verdad de
(
)]}
[(
)
Solución: Tomando el único dato que tenemos y resaltando en color rojo el conectivo de mayor jerarquía, tenemos: {[(
)
(
)]
[(
Por la propiedad de la condicional:
)
(
)]}
[(
)
(
)]
{[(
)
[(
)
(
(
)]
[(
)
(
)] =
si una bicondicional es verdadera, por ejemplo ( que
(
= ) = { ,
)]} =
)=
}, en caso contrario, si (
) =
entonces deducimos , entonces se cumple
que ( ) = { , }. Con estas nuevas notaciones explicadas al inicio de la de publicación, podemos escribir las proposiciones anteriores de la siguiente maner: Usando la notación 5 para la bicondicional y nombrando estas ultimas proposiciones, tenemos. {[( [(
) )
(
(
)] = [(
)
(
)]} = { ,
} …… (I)
} …………………………………………….. (II)
)] = { ,
comencemos con la proposición (I), Por ser una bicondicional, los fragmentos proposicionales entre corchetes [( ) ( )] y [( son verdaderas o son falsas. Lo dividiremos en dos casos:
)
(
)] o
Remplazando valores:
Caso 1: cuando [(
)
(
)] = [(
)
(
)] …… (III)
Tomando el lado izquierdo de la igualdad: [(
)
(
)] =
……. (IV)
de aquí, encontramos tres posibles combinaciones de valores de verdad que cumple (IV), consideremos que (
)=
, de la proposición (IV).
encontramos que
y
son verdaderas, de esta misma proposición notamos una
disyunción inclusiva resaltando sus 2 posibles valores de verdad y es (
)={
, }, aquí no hay mucho que investigar ya que no importa que valor de verdad tenga este fragmento proposicional, aunque resulta ser verdadera por los valores de y como primera combinación, se descarta la segunda combinación, esto es, cuando es falsa ya que no existe valores para ella. Esto indica que nos falta una tercera y última combinación, pero esto lo veremos luego. Como ya sabemos que ( ) = y ( ) = , para calcular el valor de , analicemos el lado derecho de la igualdad de la proposición (III), esto es: [(
)
(
)] =
si reemplazamos los valores de verdad de contradicción, veámoslo en el siguiente esquema:
…… (V) y
en (V), encontramos una
lo cual resulta ser contradictorio, este fragmento de proposición no puede ser verdadero o falso simultáneamente. Esta opción queda descartada, volvamos a escribir la ecuación numero (IV): [(
)
(
)] =
……. (IV)
nos falta la tercera posibilidad, la proposición (IV) también es valida cuando: (
)= (
de (VI) y (VII) deducimos que (V) para calcular
tenemos:
( )=
)=
…… (VI) …… (VII)
y ( )=
, reemplazando en la proposición
( )={ ,
}
por lo visto, no encontramos el valor de , pero tenemos la proposición (II), lo escribiremos de nuevo aquí. [(
)
(
)] = { ,
aquí solo podemos remplazar el valor de verdad de valor de
y es ( ) =
} …… (II) , de esta manera encontramos el
. Por lo tanto, los valores de ,
y
son:
( )= ( )= ( )=
Caso 2: cuando [( (IV)
)
(
)] = [(
)
(
)] =
……
vamos a separarlo en dos partes, tenemos: [(
)
(
)] =
y [(
)
(
)] =
por la propiedad de la condicional del lado izquierdo del esquema molecular y enumerando las proposiciones, resulta: (
………………………. (VIII)
)=
(
)=
[(
)
Fijense que la proposición “ [(
…………………………….. (IX) (
)] = { , )
(
} …… (X) )] =
” es lo mismo que la
proposición [( ) ( )] = { , }. Volviendo al asunto, de las proposiciones (VIII) y (IX) encontramos dos posibilidades y esta son:
Posibilidad 1: si ( ) =
entonces ( ) =
Posibilidad 2: Si ( ) =
entonces ( ) =
si reemplazamos los valores de la posibilidad 1 en la proposición (X), se logra hallar el valor de , su valor es: ( )= a primera vista, parece ser que no encontramos contradicción alguna, pero los valores de
,
y
contradicen a la proposición (II), lo escribiremos de nuevo: [(
)
(
} …… (II)
)] = { ,
lo escribiremos de nuevo como una bicondicional: [(
)
(
)] =
…… (XI)
si reemplazamos estos nuevos valores, resulta que la proposición (XI) es verdadera. Por tanto, la posibilidad 1 queda descartada. Vayamos con la posibilidad 2 donde asumiremos que: ( )=
y ( ) =
reemplazando en la proposición (X) para hallar el valor de
resulta que:
( ) = pero de nuevo encontramos contradicción al reemplazar los nuevos valores de en la proposición (XI), ya que volvemos a encontrar que dicha proposición es verdadera contradiciendo a (XI). Por lo visto, ya no nos queda mas posibilidades, finalmente, los valores que cumplen la proposición original: {[(
)
(
)]
[(
)
(
)]}
[(
son los valores del caso (I) de la tercera posibilidad, esto es:
( )= ( ) = ( ) =
)
(
)]
Problema resuelto.
Ejercicio 9 Si el siguiente esquema molecular es falso: [(
)
(
)]
(
)
Resolver el valor de verdad de la siguiente proposición: {(
)
[
(
)]
}
(
)
Solución Tenemos como dato: [(
)
(
)]
(
)=
donde: [(
)
(
(
)=
)] =
…… (I)
…………………… (II)
de (I), podemos deducir que: (
)=
…… (III)
(
)=
…… (IV)
y aquí viene lo bueno, analizaremos tanto la proposición (III) como la proposición (II) simultáneamente, encontramos los siguientes resultados Caso 1: si ( ) =
entonces ( ) =
y
Caso 2: si ( ) =
entonces ( ) =
y ( )=
notamos que es decir:
tiene valores de verdad iguales, pero estas dos son contrarias a ,
y
( )= ( )
( )=
( ) ……… (V)
Ahora, resolveremos la proposición planteada del ejercicio, escribamos de nuevo la proposición con el nombre
:
= {(
)
[
(
)]
}
(
)
donde: ( ) = {{(
)
[
(
)]}
(
)}
si se han dado cuenta, he cambiado el orden de algunas proposiciones de
(
)] en ( ) esto lo expliqué en la última parte de la entrada llamada signos de agrupación en lógica proposicional, le sugiero la lectura de estos últimos párrafos para su mejor comprensión. De la proposición , lo separaremos en diferentes valores de verdad como sigue: ( ) = { {(
)
( ) = { {(
[
)
[ (
( )
)]} (
(
)]}
)} (
)}
EL pequeño fragmento de color púrpura es igual al esquema de la proposición (IV), es decir, una proposición verdadera, remplazando este valor y coloreando convenientemente de color marrón, tenemos: ( ) = { {(
)
[
(
)]}
(
)}
el fragmento sombreado en color marrón, es para resaltar el disyuntivo inclusivo, donde si por lo menos una de sus proposiciones es verdadera, entonces la disyunción inclusiva es verdadera, nos quedaría: ( )={ (
)
}
(
)
cada vez nuestra ejercicio se va acortando, volvamos a escribir la igualdad (V): ( )= ( ) examinando la proposición saber los valores de
, (
( ) …… (V)
con la condición (V), podemos deducir sin necesidad de
y , veamos: )=
porque ( )
( ) ……… (VI)
no importa que valor de verdad exacto tengan y , siempre existirá entre ellos dos una verdad, es por eso que la proposición de color verde siempre sera verdadera por ser una disyunción inclusiva. Regresando a la forma final de la proposición , examinaremos el fragmento proposicional de color azul, podemos deducir fácilmente que: (
)=
porque ( ) = ( ) ……… (VII)
si dos proposiciones son son o verdaderas o falsas, entonces la disyunción exclusiva que las une siempre sera falsa. Volviendo a escribir la proposición : ( )={ (
)
}
(
)
de aquí, reemplazamos los valores de verdad de (VI) y (VII), tenemos: ( )={ finalmente, el valor de
}
es: ( )=
Problema resuelto
Ejercicio 10 Si el siguiente esquema molecular: [(
)
]
(
)
es falsa, calcular el valor de verdad de la siguiente proposición: [
(
)]
[(
)
(
)]
Solución: Este ejercicio es sencillo, quise bajar el nivel porque tuve problemas editando el problema número 4, bueno, tenemos como dato que: {[(
)
]
(
)} =
Una disyunción exclusiva es falsa cuando las proposiciones que la une o son falsas o son verdaderas, usando la notación que explicamos al inicio de esta publicación, podemos escribirlo así: {[(
)
]=(
)} = { ,
}
de aquí, podemos encontrar dos posibles casos, y esta son: {[(
)
]=(
)} =
…… (I)
{[(
)
]=(
)} =
…… (II)
CASO I: Del esquema molecular (I), deducimos que: [( (
)
]=
……… (III)
………………………. (IV)
)} =
de (IV) por ser una conjunción, inferimos que: ( )= ( )= si reemplazamos estos valores en (III), no encontramos contradicción y también deducimos el valor de
y es: ( )=
Vayamos al caso 2 por si encontramos otros posibles valores. CASO II: Lo volvemos a escribir de nuevo: {[(
)
]=(
)} =
…… (II)
lo escribiremos de la siguiente manera: [(
)
]=
……… (V)
(
………………………… (VI)
)=
en la proposición (V), una disyunción es falsa cuando sus proposiciones que las componen son también falsas, de (V) tenemos: (
de aquí deducimos los valores de
,
)= (
)=
y
y son: ( )= ( )= ( )=
sin embargo, estos valores contradicen a la proposición (VI), por lo visto, el CASO II queda descartado. Tomando los valores de verdad del CASO I, lo volvemos a escribir: ( )= ( )= ( )= estos valores de verdad lo reemplazamos en nuestra proposición que queremos resolver, resultando finalmente: [
(
)]
[(
)
Problema resuelto.
Ejercicio 11 Presentamos el siguiente esquema molecular: Resolver el valor de verdad de:
(
)] =
Solución Calculemos : ( ) = {(
)
{
[
(
)
(
)
]}}
donde: ( )= ( ( )= (
) )
{ { ( )
[
( [
) (
( )
) (
]} )
]}
aquí podemos hacer algo interesante, primero sombrearé de color verde para indicar mi intención: ( )= (
)
{ ( )
[
(
)
(
)
]}
en este fragmento coloreado de color verde, podemos ver 3 proposiciones unidas por disyuntivos inclusivos. Como ya explique al final de esta entrada donde el orden de las proposiciones que la componen de ciertos conectivos lógicos, no altera el valor de verdad de la proposición matriz, podemos ordenarlo de la siguiente manera: ( )= (
)
{ ( )
[
(
)
(
)]}
pero como una disyunción siempre es verdadera si por lo menos unos de sus proposiciones componentes es verdadera, como aquí:
entonces, el fragmento de color verde del esquema molecular de la proposición verdadera, quedando: ( )= (
)
{ ( )
es
}
el fragmento rosado es una condicional, vemos que su consecuente es verdadero, por tanto, la condicional de color verde es también verdadero: ( )= (
)
esto también es una condicional con consecuente verdadero, por fin, tenemos: ( )= para nuestro problema:
como es una disyunción inclusiva donde es:
es verdadera, finalmente el valor de verdad
(
)=
también verdadera
Problema resuelto
EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD Ejercicio 12 Calcular la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, es decir, del ejercicio 4.
Solución: Volvamos a escribir la proposición del ejercicio 4: {[(
)
(
)]
[(
)
(
)]}
[(
)
(
)]
De aquí, tenemos que sacar todos los valores de verdad en una tabla de verdad, veamos:
Esta sería la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, los números indican que conectivo lógico se resuelve primero, lo he diferenciado con colores para que sea más visual a la vista, por ejemplo, el número 1 indica son los primeros conectivos lógicos a resolverse, el 2 indica que son los siguientes a resolverse, así sigue la secuencia hasta llegar a la quinta columna. La quinta columna representa al conectivo rojo de mayor jerarquía, si notamos detenidamente su valores de verdad, vemos que existe un único valor falso para el esquema molecular del ejercicio anterior, este resultado depende de los valores de verdad de , y y resulta ser lo mismos resultados de la respuesta del ejercicio anterior confirmando nuestros resultados.
Problema resuelto.
Ejercicio 13 Definamos un nuevo conectivo lógico
de dos proposiciones
y , tal que:
Cuales son todas las posibilidades del valor de verdad de la siguiente proposición: {
[[
(
)]
(
)]}
Solución Por lo visto, tenemos a , , ,
y ; con estas
proposiciones, tendríamos una
combinación de = posibles combinaciones en cuando la validez de nuestra proposición que a primera vista parece descomunal si intentamos realizar una tabla de verdad. Sin embargo, es más fácil de lo que crees, para que lo veas mucho mejor, haremos la siguiente tabla de verdad con el siguiente esquema molecular: ( y es:
) …… (I)
si tomamos el fragmento de color rosado del esquema molecular de (I), me refiero a
este “ ” y lo reemplazamos por ejemplo por “ “, el resultado es lo mismo. Desde la tabla podemos darnos cuenta que se cumple lo siguiente: (
)=
y no importa si puede tomar otras formas como: (
)=
[( [(
) )
(
]= )] =
el resultado siempre sera el mismo y sin importar cuantas proposiciones componentes tenga nuestro esquema molecular, porque de la tabla de verdad del conectivo deducimos que:
,
Dos proposiciones
y
los valores de verdad de
unidas por el conectivo es falsa y falsa si
resultando
, es verdadera si
es verdadera. Entonces:
= Por tanto, la proposición que queremos resolver resulta ser opuesta a {
[[
(
)]
(
Problema resuelto
)]} =
, es decir:
