es armónica en V0 y uniforme en S0, tiene que ser también uniforme en F0; d e otra forma alcanza su mayor valor, o el menor, en algún punto de VQ. 13. Cierto. Si la normal a S del gradiente de es 0 en todos los puntos de aquélla, el flujo d e &V& a través de S también es 0; resulta, entonces, des pués de usar (1.15) y (1.30), 0 = £ (&V&) • dA = j y»(& V & )dV = J (<Í>V24> + \V 0 f)jdV = ¡í}V 0\2d V Como en la expresión anterior el integrando es positivo, los puntos de V, y = F0[l + c/r + (r/a)cosé?] puede ser el potencial escalar eléctrico en el interior de una esfera dieléctrica,, descargada, de radio a y permitividad e. S o lu c io n e s , y 0 2, o la permeancia de un cilindro de alta per meabilidad, de sección arbitraria y limitada por el aire, entre dos superficies equipotenciales magnéticas, de potenciales 1Pm] y 0 m2- Las fórmulas respectivas son C h G h P h , se denomina potencia real, .(V0/ 0)/2, se llama poten cia aparente, y cos(0j - 02), factor de potencia. Cuando la fama es puramente resistiva, no hay desfase entre la corriente y el voltaje en aquélla, el coseno que aparece en (12.17) es igual a la unidad y la potencia media vale V I =V'2 I2 = Isd± ^ =RHl±. 2 . 2R 2 ; esta última expresión ratifica la proposición, ya que el transformador recibe,: al eliminar la onda reflejada en la línea principal, toda la potencia que viene del generador. 13. Falso. Como la carga es compleja, según (13.61) la impedancia caracte rística del transformador de A^4 resulta compleja también, y ello no es posi ble, ya que el transformador debe ser una línea sin pérdidas, de impedancia característica real. 14. Cierto. Como la admitancia de línea es imaginaria en todos los puntos de ésta, debido al tipo de carga, para eliminar la onda reflejada puede usarse como acoplador, por ejemplo, y ya que la solución no es única, un cabo de la línea original Cuya admitancia de carga es real, conectado en paralelo direc tamente a la carga, lo que hace 0 la longitud (véase figura 13.16). Las ecua ciones que se cumplen en el punto del acople, equivalentes a (13.62), son Yr - G 2¡¡ y 0 = Bu +B„o; que se reducen, al normalizarlas, a 1 = g2c y b2a = -bu. En la carta de Smith en coordenadas de admitancia se ubica el punto, acorde con los valores anteriores, que corresponde a la entrada de la línea acopladora, y se recorre hasta cortar el eje real, en dirección hacia la carga, la circunferencia de centro en el origen que pasa por aquel punto; el arco recorrido determina U, en fracciones de A/2 , en los limbos externos de la = - f Re\-E H * k r = dy 2 JV 1 ’ J 4 (újJt = Ve ~ d< U, > dz 2 d -= { w Y dz = = ^R- ' 2 4nr~ = = = J r _ ¿2/32¿ i [/f ÍX \ =4 < P>m 16tt4 |M|2 , D{9, (p) y Dmix se duplican, y esta última, entonces, es igual a 3,0. 28. Cierto, Como, de acuerdo con la proposición 16.6.11, el momento del dipolo virtual es igual y de sentido opuesto al real, el resultado es que la antena equivalente se anula, no hay radiación y la directividad es 0. 29. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición 16.6.26, la antena equivalente emite en la mitad del espacio y su longitud es A/2; por tanto, en la antena de la proposición, y con relación a las propiedades de la antena de = R ej|£ (F ,. x F * )» ckíj = R e jj£ (¿ ¿ 4 x F > ~ Rej^-g* ®J>(ii: x F, )dA [ = 0 donde, ya que la componente tangencial de E es continua en la interfaz, y los brazos del dipolo receptor se suponen perfectamente conductores, £n x F . = 0 en todos los puntos de S. =
es 0 en todos
14. Falso. La energía potencial eléctrica no alcanza un mínimo en el campo eléctrico, de acuerdo con el teorema de Earnshaw, y ese mínimo se requiere para que el equilibrio sea estable. Considérese, por ejemplo, una región del espacio donde el potencial escalar eléctrico, &, es armónico, y én un punto cualquiera se pone una carga puntual, q\ la energía potencial eléctrica de la carga es Uf = q
1 7 2 / Teoría electromagnética
16. Cierto. La expresión V2#(r) = 0, según la proposición 1.12.1, es válida en todos los sistemas de coordenadas; en cada uno, el laplaciano tiene la expresión que le corresponde de acuerdo con ( 1 .2 0 ). 17. Falso. Puede resolverse por separación de variables en 11 sistemas de coordenadas rectangulares tridimensionales y en numerosos sistemas de coordenadas cilindricas, pero no en todos los sistemas; en coordenadas biesféricas, por ejemplo, np es separable. Es posible determinar, con base en los factores de escala del sistema de coordenadas, las condiciones necesarias y suficientes para que en el sistema la ecuación de Laplace pueda separarse.
4.6 Armónicos cartesianos P r o p o s ic io n e s
1. Si las condiciones son estacionarias en medios lineales, homogéneos, isotrópicos y descargados, de parámetros e, g y ji, las componentes cartesianas de E son armónicas. 2. Si se supone que
Las tres constantes de separación que aparecen en los armónicos cartesia nos pueden ser iguales y diferentes de 0 . 7.
1/2
es armónica.
9.
# = sen/Jxsenh/3y es armónica.
12. # =3xyz + xsen2ysenh3z es armónica.
Potenciales electromagnéticos y Junciones armónicas; ... /
173
S o lu c io n e s
1. Cierto. De la información dada y (4.1) se concluye que JE es armónica; además, sus componentes cartesianas también son armónicas, porque en ese sistema de coordenadas el laplaciano de un vector es igual a la suma de los laplacianos de las componentes. 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Examínese X(x), por ejem plo; de (4.19) sale V2[*(x)] = ±(3*X(x) * 0 ; sin embargo, X(x) es armónica cuando su constante de separación es 0 . 3. Falso. Es un número real cuyo valor depende de las condiciones de fron tera de un problema dado. 4. Cierto. Se sigue de (4.19). 5. Falso. Si J3X= 0, entonces (4.19) se reduce a d 'X /d x 2 =0, que tiene solu ciones dependientes de x como confirma (4.23). 6.
Falso. Si son iguales y diferentes de 0 no satisfacen (4.20).
7. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Obsérvese que . 3 : / 2 +y , 2 +z : 2JV' \x
. 2 \3/2 (x +. y 2 + z ) 1
1
■ 3(x2+ y2+ z2) (x 2 +, -y2 + z 2 J5 ''2 .
/
N
En consecuencia,
Cierto. En efecto, V2(4x2 - 2 y 2 - 2 z 2) = 8 - 4 - 4 = 0.
9. Cierto. Basta observar que 0 está contenida en (4.22) y que las constantes de separación cumplen (4.20). 10. Falso. Como las constantes de separación en x, y y z toman, respectiva mente, los valores de 0, 0 y -/32, no satisfacen (4.20). 11. Cierto. Las constantes de separación en x, y y z toman, respectivamente, los valores de - ( 3 2 y 0, y satisfacen (4.20). 12. Falso. No es la combinación lineal de dos funciones armónicas porque el segundo término no lo es; en efecto, las constantes de separación de éste en x, y y z toman, respectivamente, los valores de 0, -4 y 9, y no cumplen (4.20).
1 7 4 / Teoría electromagnética
4.7 Armónicos cilindricos circulares P r o p o s ic io n e s
1. Si las condiciones son estacionarias en medios lineales, homogéneos, isotrópicos y sin corrientes, de parámetros ¡jl y e, las componentes cilindricas circulares de H son armónicas. 2. La constante de separación, jS^/eri coordenadas cilindricas circulares, puede tomar, para regiones no limitadas alrededor del eje Z, el valor de cualquier real. \ o;:\ ¡y ■ 3. Si un problema que admite solución por separación de variables en coor denadas Cilindricas circulares es independiente de z, entonces (3. = 0. 4. Si en un problema que admite solución por separación de variables en coordenadas cilindricas circulares, ¿6 . = 0 , entonces el problema es independiente de z. 5. La constante de separación, /3Z, en coordenadas cilindricas circulares, tiene que tomar valores enteros. 6.
Al resolver la ecuación de Laplace por separación de variables, en coorde nadas cilindricas circulares, resulta para la coordenada r la ecuación diferen cial de Béssel. 7. La función, R(r), que resulta al resolver por separación de variables la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas circulares, es armónica. 8.
Es inaceptable la función / 0(A r) en un armónico cilindrico circular, cuan do la región de un problema incluye el eje Z.
9.
= r 2sen2
11.
0 = / 2()8 r)gÍ 2sen2(¡3 es armónica.
12.
0 = z?-3cos3
13. 0 = K
,
, r a
9
a~coscp
\
1 + ln —+---- t-Z-
, donde a es una constante, es armónica.
Potenciales electromagnéticos y funciones arm ó n ica s;... / 1 7 5
S o lu c io n e s
1. Falso. De la información dada y (4.2) se deduce que H es armónica. Sin embargó, sólo la componente z de H es armónica; las otras componentes no, porque los versores respectivos, en el sistema de coordenadas cilindricas circulares, no son uniformes. 2. Falso. La constante de separación, /?,,, en esas circunstancias, soló puede ser de la forma - n2, donde n es un entero, para garantizar la obtención de funciones univaluadas de (p. 3. Cierto. Se confirma en (4.26). 4. Falso. Si /?. = 0, entonces (4.26) se reduce a diZ/dz~ = 0, que tiene solucio nes dependientes de z, como se advierte en (4.29). 5. Falso¿ Al resolver la ecuación de Laplace por separación de variables en el sistema de coordenadas cilindricas circulares,, éste no impone restricciones a la constante de separación /f, que puede tomar valores reales determinados por las condiciones de frontera. 6 . Cierto. Para esa coordenada resultan—ver (4.24)— las ecuaciones dife renciales de Bessel y de Bessel modificada, cuando /3, es diferente de 0; y la de Euler, cuando/3. es 0.
7. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. De (4.24) salé n 2Y d-R 1 dR V2i? = — - + - ± /3 /- — R * dr~ r d r . . .. r~
0
sin embargo, R(r) es armónica cuando ambas constantes de separación son nulas. 8.
Falso. Cuando la coordenada r tiende a 0, en el eje Z, la función tiende a 1; es inaceptable, en cambio, la presencia de la función K0, porque ésta es singular si r tiende a 0 . 9. Cierto. Es un armónico trivial —véase (4.30)-— que resulta cuando las constantes de separación, ¡3. y n, son nulas. 10. Falso. Las dependencias en r y z, dé esa í>, implican que la constante de separación, ±/3.2, toma al mismo tiempo, contradictoriamente, los valores de 0 y -4. 11. Cierto. Pertenece a (4.27), y las constantes de separación, ±(3Z2 y n, to man, respectivamente, los valores de ¡32 y 2 .
1 7 6 / Teoría electromagnética
12. Cierto. Pertenece a (4.29), y las constantes de separación, man, respectivamente, los valores de 0 y 3.
±/?22
y n, to
13. Falso. No es la combinación lineal de tres funciones armónicas porque el tercer término no es un armónico; en efecto, las dependencias en éste de r y (p, implican que la constante de separación, n, toma al mismo tiempo, con tradictoriamente, los valores de 1 y 2 .
4.8 Armónicos esféricos P r o p o s ic io n e s
1. Si las condiciones son estacionarias en medios lineales, homogéneos, isotrópicos y descargados, de parámetros e, g y pt, las componentes esféricas de H son armónicas. 2. La constante de separación, ¡3^,, de las coordenadas esféricas, solo puede tomar valores enteros. 3. Si un problema que admite solución por separación de variables en coor denadas esféricas es independiente de (p, entonces = 0. 4. Para que los armónicos esféricos obtenidos por separación de variables sean univaluados en regiones no limitadas alrededor del eje Z, es necesario que la constante de separación, ±/3,p2, se tome con el signo negativo. 5. La constante de separación, ± /3r2, de las coordenadas esféricas, puede ser igual a 8 . 6 . La constante de separación, ± )3r2, de las coordenadas esféricas, toma sólo números naturales como sus valores. 7. Los polinomios de Legendre tienden a 0, en 0 = 0. 8.
La función 0 ( 9 ) , que resulta al resolver por separación de variables la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, es armónica. 9. No hay valores de m y n, cuando m * n, para los cuales los polinomios asociados de Legendre cumplen P„ra(cos0) = P)"(cos0) 10. La función 0 (0 ), de los armónicos esféricos obtenidos por separación de variables, en regiones que no incluyen el eje Z puede ser una serie. 11. Al resolver la ecuación dé Laplace por separación de variables, en Coor denadas esféricas, resulta para la coordenada r la ecuación diferencial dé Legendre.
Potenciales electromagnéticos y funciones armónicas;
/177
12.
= [(cos^)/r3]p,'(cos0) es armónica.
14.
1. Falso. De la información dada y (4.2) se sigue que H es armónica. Sin em bargo, en el sistema de coordenadas esféricas el laplaciano de un vector no es igual a la suma de los laplacianos de las componentes, y ninguna de éstas es armónica; ello se debe a que en ese sistema los tres versores dependen de la posición. 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Esa constante toma, en ge neral, valores reales determinados por las condiciones de frontera de un problema dado, y las funciones que dependen de cp pueden ser circulares o hiperbólicas; sin embargo, en regiones no limitadas alrededor del eje Z, la constante de separación debe ser de la forma ± $v = -m s, donde m es un en tero, para garantizar la univaluación de las funciones de (p. 3. Cierto. Sé deduce de (4.33). 4. Cierto. Es necesario tomar el signo negativo para obtener funciones circu lares cuando se resuelve (4.33), las cuales, por tener un período igual á 2iz, pueden evitar la multivaluación que aparece en el armónico esférico al agre garle a la coordenada cp un múltiplo entero de 2n. Sin embargo, ello no es suficiente; se requiere, además, que la constante sea igual a un número entero: 5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Esa constante podría tomar el valor de 8 en algún problema cuya región de interés nó incluye el eje Z del sistema de coordenadas; sin embargo, si ese eje está contenido en la región, la constante sólo toma los valores dados por n(?z + 1 ), con n natural, lo cual descarta el 8 . ,6 . Falso. Si la región de interés no incluye el eje Z del sistema de coordena das, la constante puede tomar valores distintos a los números naturales, co mo números reales. 7. Falso. Todos los polinomios de Legendre son unitarios en 8.
8 =
Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. De (4.32), sale
0.
17 8. / Teoría electromagnética
V20 =
( sen0J —01 = ± fir r r sen0 dd v d9, A 1
—
2 ±
K
r sen20
\ 0*0
Sin embargo, 0(0) es armónica cuando ambas constantes de separación son nulas. 9. Cierto. Al resolver la ecuación diferencial asociada de Légendre sé deduce que F„ra(cos0 ) = O cuando m > n; por ¿arito m debe ser menor o a lo sumo igual a n. 10. Cierto. La ecuación diferencial asociada de Legendre que resulta para 0 ál resolver por separación de variables la ecuación de Laplace en coordena das esféricas —véase (4.32)— es lineal, de segundo orden y de coeficientes no uniformes; usando el método de Frobenius su solución se obtiene por series. Estas series son divergentes cuando 0 toma los valores de 0 o tt, que corresponden al eje Z en el sistema de coordenadas. 11. Falso. La ecuación diferencial de Legendre aparece en 0; para r, es la ecuación diferencial de Euler. 12. Cierto. Pertenece a (4.35), y las constantes de separación, m. y n, toman, respectivamente, los valores de 0 y 1 . 13. Cierto. Pertenece a (4.34), y las constantes de separación, m y n, toman, respectivamente, los valores de 1 y 2 . 14. Falso. Las dependencias de r y 0, en
Condiciones de frontera En este capítulo, a meiios que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen condiciones generales, sin simplificaciones, e interfaces entre cual quier par de medios materiales que soportan cargas y corrientes, pero no dipolos, superficiales.
5.0 Définiciones, considéraeiones generales
y
fprpiulas
1. Superficies de discontinuidades. Macroscópicamente conviene idealizar las densidades volumétricas en algunos casos, en la forma de densidades lineales y superficiales o, incluso, suponer fuentes puntuales; estas idealiza- . dones vuelven singulares las densidades volumétricas én algunos puntos, y producen discontinuidades y singularidades en las propiedades del campo eléctrico y del campo magnético. Guando se usan densidades superficiales de carga y de corriente, éstas quedan relegadas a las interfaces de las regiones de interés y crean allí superficies de discontinuidades (véase figura 5.1). Además, es común encontrar situaciones en las cuáles dos medios materiales se encuentran en úna interfaz, como ocurre cuando se ponen en contacto el aire y el agua, el aire y el vidrio o un aislante y un conductor; en estos casos, propiedades como la permitividad, la permeabilidad y. la conductividad, que son típicas de cada material y pueden ser radicalmente distintas, cambian abruptamente al cruzar la superficie de separación, que macroscópicamente constituye una superficie de discontinuidades (véase figura 5.1). 2. Condiciones de frontera para D, E, B, H y J. En una interfaz se encuen tran dos medios materiales, que se denominan 1 y 2 , separados por una su perficie geométrica, 2 , en la que pueden existir cargas y corrientes superfi ciales a y K. En cada punto, P, de la superficie, hay un vector i j normal a ésta y cuyo sentido se define como dirigido desde eí medio 2 hacia el 1 (véa se figura 5.2). Las discontinuidades de los vectores D, E, B, H y J, en un pun to arbitrario de una superficie de discontinuidades, se calculan con
1 80 / Teoría electromagnética
Figura 5.1 Interfaz entre los medios materiales 1 y 2, de propiedades diferentes. En (a) se gráfica la situación real; el cambio en las propiedades es rápido pero continuo y se da en una zona de transición de espesor despreciable, h, en la que pueden existir densidades volumétri cas de carga o de corriente, pyJ. En (b) se observa la situación idealizada, que supone sin. espesor la zona de transición entre los materiales, y brusco o discontinuo el cambio de las propiedades; la interfaz entre (os materiales es una superficie geométrica, cuyos puntos no pertenecen a alguno de aquéllos, que puede sostener densidades superficiales de carga o de corriente, a y K.
"V (5.1)
A l- " x í .* ( a
k .)
-
a
o
)= o
(5.2) ;
^ -
(5.3) (5.4) : (5‘5)
El segundo término en (5.5) es la divergencia bidimensional de K, calculada en la superficie de la interfaz, 2 . 3. Condición de frontera para 0. En cada punto de la interfaz entre cual quier par de medios materiales 1 y 2 (véase figura 5.1), en la qúe pueden existir cargas y corrientes superficiales, cry K, pero no distribuciones superfi-
Condiciones de frontera / 181
Figura 5.2 Superficie de discontinuidades X, entre dos regiones de propiedades distintas: los medios materiales 1 y 2. En la interfaz pueden existir densidades superficiales de carga y de corriente, a y K. Convencionalmente, el versor normal a la superficie en un punto P cualquie ra, /„, se define con un sentido que va del medio 2 al 1.
cíales de dipolos eléctricos, el potencial escalar eléctrico,
(5.7)
\
(5.8)
x (4
- ^ 2) = 0
••• A al= A m2
(5.9)
1 8 2 / Teoría electromagnética
<7 S
Figura 5.3 Descarga del interior de un conductor lineal, homo géneo e isotrópico. Un conductor, de conductividad g y permitividad e, en un instante inicial tiene una densidad volumétrica de carga, p0(r). Según las leyes del campo electromagnético, ésa densidad tiende a 0 con el paso del tiempo y la carga emigra hacia las interfaces del conductor dónde Se distribuye con den sidad o.
5. Condición de frontera para
Descarga dé un conductor. En un medio material lineal, homogéneo e isotrópico, de conductividad g y permitividad e (véase figura 5.3), no puede existir permanentemente una densidad volumétrica de carga libre, p; si en un instante inicial, t = 0 , en el medio hay una densidad volumétrica de car ga, p 0 (r,0 ), esta densidad decae exponencialmente en el tiempo en cada pun to de la región, independientemente de los campos externos existentes, de acuerdo con p (r,/)= P 0(r,0)é-//r
(5-11)
donde T es el tiempo de relajación. Cuando la densidad volumétrica de carga inicial es 0 , se mantiene igual a 0 en todo instante posterior; la corriente de conducción transporta carga por la región, pero la densidad neta de carga se mantiene nula, y la carga eléctrica libre, de existir en aquélla, reside en las interfaces de la región en la forma de una densidad superficial de carga. ?.. Tiempo de relajación en la descarga de un conductor. El tiempo de rela jación en la descarga, del interior de un material conductor es la versión, en un medio continuo, de la constante de tiempo para la descarga de un capaci tor en un circuito RC; se calcula con
Condiciones de frontera / 183
(5.12) Después de transcurrido un tiempo superior a 5 t, la densidad volumétrica inicial de carga es prácticamente 0 ; por ello, la magnitud del tiempo de rela jación permite estimar cuánto demora la descarga, En conductores como el cobre y la plata es del orden de 10-19 [s]; en el agua, del orden de 10 “'° [s]. En los aislantes, en cambio, ese tiempo es alto, del orden de horas y días; en el cuarzo fundido, por ejemplo, es del orden de 10 6 [s].
5.1 Intensidad del campo eléctrico, E P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos medios materiales: 1. La componente normal de £ es discontinua. 2. Si éstos son dieléctricos ideales, la componente normal de £ es continua. 3. Si las condiciones son estacionarias, uno de aquéllos es un conductor, de conductividad g, y el otro un dieléctrico ideal, la componente normal de £ es 0 . 4. Si éstos son conductores, de conductividades distintas g, y g2, Y la interfaz está descargada, la componente normal de E es continua. 5. Si éstos son dieléctricos, de permitividades distintas e, y e2, la componente normal de E es discontinua. 6.
La componente tangencial de E es discontinua.
7. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, la componente tangencial de £ es 0 . ■ 8 . Si uno de éstos es un conductor y las condiciones son estáticas, la compo nente tangencial de £ no es 0 .
9. Si uno de éstos es conductor, de conductividad g, y las condiciones son estacionarias, la componente tangencial de £ es 0 . 10. Si éstos son dieléctricos ideales, la componente tangencial de £ es 0. 11.
Si uno de éstos es un dieléctrico con polarización permanente, la com ponente tangencial de £ es continua. 12. £
es continua.
1 8 4 / Teoría electromagnética
13. Los ángulos que E hace con la interfaz en cada medio, 0, y 02, están rela cionados con £, tanfi, = £2 tan©2, si los materiales son dieléctricos, de permitividades e¡ y e2. S o lu c io n e s 1.
Cierto. De (2.20) y (5.1) resulta
iv
•(E l -
^
2. Falso. Ya que »(e ,- - E 2 ) = - £ Q~l i n • (/*, - P 2 )#0, según la proposición anterior, donde o es 0 , porque se trata de dieléctricos ideales. 3. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor y 2 el dieléctrico; tomo la conductividad del primero es ñnita y no hay dependen cia con respecto al tiempo, entonces K y da/dt en la interfaz son nulas y puede haber cr en ésta, además, J 2 no existe en el dieléctrico. Por tanto, de (5.5) y la proposición 5.1.1, se concluye que en los lados de la interfaz se cumplen t, • Et = g \ • 7, = 0 e i„ • E, = - P 2) - a ] ¿ 0. 4. Falso. Como la interfaz está descargada y son finitas las conductividades de los conductores, K y cr son nulas én aquélla; en consecuencia, con el uso de (5.5) se deduce \ • \Et - E 2) = iv íg^' - g t~% • / , ^0. 5. Cierto. Ya que • (.£, - £ 2)= - £2'‘Z)2)= (e,-1 - £2'' ) i r¡ según (2.21) y (5.1), pues en la interfaz de dieléctricos eres 0. 6.
• D x ± 0 ,
Falso. Se refuta con (5.2).
7. Cierto. Sea 1 el conductor, de conductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo eléctrico, se concluye de (5.2) que i„ x £ s = i n x JE, = 0. 8 . Falso. Sea 1 el conductor y 2 el otro material; como en el interior de un conductor en condiciones estáticas no hay campo eléctrico, se concluye de (5.2) que í, x E % = in x E ) = 0.
9. Falso. La componente tangencial de E es continua, según (5.2), y 0, ader más, si el material conductor es de conductividad infinita o las condiciones son estáticas, como sé demostró en las proposiciones 5.1.7 y 5.1.8; en el pre sente caso no es 0, y esa componente tangencial depende de lá J qué lléva el conductor, así: E T = J T/g. ... ... .. .............
Condiciones de frontera / 185
:fv i1!
-
:V-.- ■
t-.¡ :,y.
'P \ -^ r < r
\ ° r-
í
Figura 5.4 Interfaz entre dos medios materiales 1 y 2, de parámetros ¿i,, e,, g,, /¿g, e2 y g2/EI vector /?, una propiedad | del campo como £, J o H, hace con la interfaz, en el punto P, ángulos 0, y 02.
•10. Falso. La componente tangencial de E es continua en la interfaz, según (5.2); sin embargó, la proposición no aporta datos para decidir si esa com ponente es 0 . . 11. Cierto. Se sigue de (5.2), que se aplica a la interfaz de cualquier par de medios materiales. 12. Falso. La componente normal de E a la interfaz, según la proposición 5.1.1, no es continua. 13. Cierto. De (5.1), donde eres 0 en la interfaz de dieléctricos, y (5.2), resul tan (véase figura 5.4) 0 = in • ( / ) ,- D 2) = in • ( £ , £ , - e2£ 2) .-. elEísendl = £2E2sen92 : 0
= in 'x (e ¡- E2} .\ £,cos0 , = E2cos0 2
La proposición se confirma al dividir los resultados anteriores.
5.2 Densidad del flujo eléctrico, D P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos medios materiales: 1. La componente normal de D es continua. 2. Si éstos son dieléctricos ideales, la componente normal de D es continua.
1 8 6 / Teoría electromagnética
3. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, y la interfaz está descargada, la componente normal de D es 0. 4. Si uno de éstos es un conductor y las condiciones son estáticas, la compo nente normal de D es 0. 5. Si éstos son conductores, de conductividades gi y g2, la componente nor mal de D es continua. 6 . Si uno de éstos es un dieléctrico, con polarización permanente, y la inter faz está descargada, la componente normal de D es continua.
7. La componente tangencial de D es discontinua. 8 . Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, la componente tangencial de D es 0. 9. Si uño de éstos es ún conductor, de conductividad g, y las condiciones son estáticas, la componente tangencial de D es 0 . 10. Si éstos son dieléctricos ideales, de permitividades distintas £, y e2, la componente tangencial de D es 0. 11. Si. éstos son electretos, de polarizaciones P, y P 2, la componente tangen cial de D es continua. S o lu c io n e s
1. Falso. No lo es, de acuerdo con (5.1). 2. Cierto. Se deduce de (5.1), ya que, en este caso, los medios no soportan una o en su interfaz. 3. Cierto. Sea 1 el conductor, de conductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo eléctrico y, además, la interfaz está descargada, se deduce de (5.1) que i„ • Ds = •/), = 0. 4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor y 2 el otro material; como en condiciones estáticas el interior de Un. conductor es una región donde el campo eléctrico es nulo, al aplicar (5.1) se concluye que en los lados de la interfaz valen iv • D, = 0 e in • D2 = a T- 0. 5. Falso. Los materiales conductores pueden sostener una o en su interfaz; por tanto, según (5.1), la componente normal de D es discontinua en ésta. 6 . Cierto. En tanto la interfaz esté descargada, de acuerdo con (5 1 ), la componente normal de D es continua.
:
7. Cierto. De (2.20) y (5.2) resulta ¿„ x (d , - £>2) = in x
Condiciones de frontera / 187
- P2) * 0. :
8.
Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor, de con ductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior dél primero iio hay campo eléctrico, del resultado de la proposición anterior se concluye, para los lados de la interfaz, i,, x £>, = 0 e ¿„ x D2 = \X 'P2;* 0. Sin émbargo, si él material 2 es el vacío o un dieléctrico lineal e isotrópico, en ambos lados de la interfaz la componente tangencial de D sí es 0. 9. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Las soluciones de ésta y de la proposición anterior son iguales, puesto que en el interior de un conduc tor en condiciones estáticas no hay campo eléctrico. 10. Falso. Ya que in x (d , - D2)= in x (e, E x - e, £ 2 )= (e; - £ 2)i„ xjE, *0, des pués de usar (5.2). 11. Falso. Se refuta con el resultado obtenido en la proposición 5.2.7.
5.3 Polarización, P P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos medios materiales:
:
1. La componente normal d e P es discontinua. 2. Si éstos son dieléctricos ideales, de permitividades iguales a £, la componente normal de P es continua. ' 3. Si uno de éstos es conductor, de conductividad g. y las condiciones son, estáticas, la componente tangencial de P es 0. 4. La componente tangencial de P es continua. 5. Si uno de éstos es Un conductor, de conductividad infinita, la componente tangencial de P es 0 . 6.
Si éstos son dieléctricos, hay carga superficial de polarización.
S o lu c io n e s
L Cierto. De (2.20) y (5.1) resulta iv
~P2) = ^~£<¿,
*(^1
2. Cierto. Al usar (2.35) y (5.1) resulta in ®(i^ - P2) = (l - £u/c)iv ya que en la interfaz eres
0
porque los medios son dieléctricos.
-D ,j = 0,
188 /
Teoría electromagnética
3. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor y 2 el otro material; como en el interior de un conductor en condiciones estáticas no hay campo eléctrico, del resultado de la proposición 5.2,7 sé concluye, para los lados de la interfaz, i n xi* = 0 e i n x P2 = i n x D2 ^ 0. Sin embargo, si el medio 2 es el vacío o un dieléctrico lineal e isótrópico, en ambos lados de la interfaz la componente tangencial de P es 0. 4. Falso. De (2.20) y (5.2) resulta
x (P¡ -P 2) = i n *(■£>, -D ^ j* 0,
5. Cierto y falso. De ácüérdo con la explicación. Las soluciones de ésta y dela proposición 5.3.3 son iguales, puesto qué en el interior del conductor, de conductividad infinita, no hay campo eléctrico. ^ / 6.
Cierto. Existe dicha carga, según (2.34).
5.4 Densidad volumétrica de corriente, J P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos medios materiales: 1. Si éstos son conductores óhmicos, la componente normal de J es disconti nua. 2. Si éstos son conductores, de conductividades °° y g2, y las condiciones son estacionarias, la componente normal d e j es continua. 3. Si éstos son conductores, de conductividades g, y g2, y las condiciones son estacionarias, la componente normal de J es continua. 4. Si ühb de éstos es el vacío y el otro un conductor, de conductividad g, y las condiciones son estacionarias, la componente normal de J es 0 . 5. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, y las condicio nes son estáticas, la componente normal de J no es 0. 6 . Si éstos son conductores, de conductividades gi y g2, la componente tan gencial de J es discontinua.
7. Si éstos son conductores, de conductividades g, y g2, la componente tan gencial de J es 0. 8.
Si éstos son conductores, de conductividades y permitividades g 1; g2, e, y e2, y las condiciones son estacionarias, la densidad superficial de carga libré no es 0 .
Condiciones de frontera / 189
9. Si éstos son conductores, de conductividades y g2, y las condiciones son estacionarias, los ángulos q u e / hace con la interfaz en cada medio, 0 , y 0 2, están relacionados así: g,tan 0 , = g, tan 0 2. S o lu c io n e s
1. Cierto. Se deduce de (5.5); aunque en la interfaz no hay K, porque ambos conductores tienen conductividad finita,- sí hay o y ésta puede variar, en con diciones generales, con el tiempo. 2. Falso. En la interfaz puede existir K —observar (5.5)— ya que uno de los medios tiene conductividad infinita. 3. Cierto. Se deduce de (5.5), ya que K y do/dt son nulos en la interfaz. 4. Cierto. Sea 1 el conductor y 2 el vacío. Como la conductividad del conduc tor es finita y no hay dependencia con respecto al tiempo, K y do/dt son nu los en la interfaz, además , / 2 'no' existe en el vacío; por tanto, de (5,5) se concluye que = /, ® ,0 ...., i 5. Falso. En condiciones estáticas/ es 0: 6.
Cierto. Ya que x (/, ~ J 2)=i„x{g,E] -g?E,)=(g, se usaron (3.22) y (5.2).
* 0, donde
7. Falso. No tiene que ser 0 v tampoco continua; además, no se aportan da tos especiales para que esa componente sea 0. Es 0, por ejemplo, cuando la corriente circula en dirección normal a la interfaz entre los conductores. 8.
Cierto. De conductores de conductividad finita y en condiciones estacio narias, con (5.5) se deduce que la componente de / normal a la interfaz es continua; en ésta existe una <7 que se halla, con (2.21), (3.22), (5.1) y (5.5), así: u = ¿„ *(d , •.(gI' le J j - g 2",£J/ J = ( g I-,£; - g j 'e j i , , • / , * 0 . 9. Cierto. De (5.5)—donde K y do/dt son nulos, pues los conductores tienen conductividad finita y las condiciones son estacionarias—, (3,22) y (5,2) re sultan (véase figura 5.4) i
• (Ji ~ J t ) = 0
7,sen0 , = / , sen0 2
®'=*. X(£. - '£ 2)-*V x
. y. eos 6 ^ S\
§2
— eos 0 „ &
La proposición se confirma al dividir los resultados anteriores.
1 9 0 ¡ Teoría electromagnética
5.5 Potencial escalar eléctrico,
&
P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos medios materiales: 1. El potencial electrostático es continuo. 2. Si las condiciones son estacionarias, el potencial escalar eléctrico es dis continuo. ' 'v■ •■':! 3. Si en la interfaz hay corrientes superficiales, K, el potencial escalar eléctri co es discontinuo. 4. Si los medios son conductores y uno de ellos es de conductividad infinita, el potencial escalar eléctrico es continuo. S o lu c io n e s
1. Cierto. El potencial escalar eléctrico es continuo, con independencia de los materiales aledaños o de cómo depende del tiempo el campo eléctrico, en toda interfaz que no sostiene distribuciones superficiales de dipolos eléc tricos, las cuales constituyen un modelo matemático inexistente en la natura leza, debido a que la intensidad del campo eléctrico, E, no puede ser singu larmente interfaz/;. 2. Falso. Por las razones dadas en la proposición anterior. 3. Falso. Es continuo en toda interfaz que no sostiene distribuciones superfi ciales de dipolos. ■■ 4. Cierto. Por tes razones expuestas en 1a proposición 5.5.1.
5.6 Densidad del flujo magnético, i? P r o p o s ic io n e s
En 1a interfaz entre dos medios materiales: 1. La componente normal de fi es discontinua. 2. Si éstos tienen permeabilidades distintas, la componente normal de fi es continua. ---— -......... ....... -- — - — ----------- ...... 3. Si uno de éstos tiene permeabilidad infinita, 1a componente normal de fi es 0.
Condiciones de frontera / 191
4. La componente tangencial de B es discontinua. 5. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, la componente tangencial de B es 0. 6 . Si éstos tienen permeabilidades iguales y no hay corrientes superficiales, la componente tangencial de B es continua. S o lu c io n e s
.
; 1. Falso. Se sigue de (5.3). 2. Cierto. La continuidad de la componente de 15 normal a una interfaz es válida para cualquier par de materiales que se encuentren en aquélla. 3. Falso. Como en el interior del material de permeabilidad infinita H es 0 y B es finita, y no fluye corriente superficial K por la interfaz —porque ningu no de los materiales tiene conductividad infinita— la componente de H tan gencial a la interfaz es continua, según (5.4), e igual a 0, y B es normal a la interfaz en el material de permeabilidad finita; en consecuencia, la compo nente de B normal a la interfaz es continua, según (5.3), y no necesariamente nula. 4. Cierto. De (3.7) y (5.4) resulta in x (i?, - B ^ = n ^ K + in x
- M, ¿ Q.
5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor, de con ductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo magnético, del resultado de la proposición anterior se. deduce, para losJados de la interfaz, in x J5, = 0 e in x B2 = ¿i0(iBx Ms ¿ 0. 6.
Cierto. Ya que ' usar (3.8) y (5.4).
x {jBi—B2'j= fj,in x (h ¡ - H 2)= 0, puesto que K es 0, y al
5.7 Intensidad del campo magnético, H P r o p o s ic io n e s
En la interfaz entre dos inedios materiales: 1. La componente normal de H es continua. 2. Si uno de éstos tiene permeabilidad infinita, la componente normal de H es 0. 3. La componente normal de H puede ser continua.
192 / Teoría electromagnética
4. Si los medios son aire y agua, la componente normal de H es aproxima damente continua. 5. La componente tangencial de H es continua. 6.
Si éstos tienen conductividades finitas, la componente tangencial de H es continua. 7. Si éstos tienen permeabilidades distintas y no hay corrientes superficiales, la componente tangencial de H es continua. 8.
Si éstos son conductores y uno de ellos es de conductividad infinita, la componente tangencial de H es-O. -,-'',- ■■YY ■ 9. Si las condiciones son estáticas, la componente tangencial de H es continua. 10; Si éstos son dieléctricos ideales, la componente tangencial dé H es con tinua ' ' ' Y'."" 11. Si éstos no conducen corrientes libres y sus permeabilidades son jxv y /t2, los ángulos que H hace con la interfaz en cada medio, dl y 02>están relacio nados así: ^ ,ta n 0 , = jU2 tan#2. 12. Si éstos son diamagnéticos no superconductores, H es aproximadamente continua. S o lu c io n e s
1. Falso. Se deduce dé (3.7) y (5.3): i„ •
-H ^ j =
‘ (Ai, - M 2) * 0.
2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si í es el material de per meabilidad infinita y 2 el otro, del resultado de la proposición anterior y por las razones expuestas en la proposición 5.6.3 se deduce, para los lados de la interfaz, • H, = 0 e iv • H t = i f 2 = in(M , - M s)#0. 3. Cierto. Ya que cuando los materiales tienen permeabilidades iguales, in • (jH, - Hs) = i f 'i n • [B\ - ¿í2) = 0, como se deduce de (3.8) y (5.3); también se cumple, aproximadamente, cuando los materiales no son ferrómagñéticos y sus permeabilidades son casi iguales a ia del vacío. 4. Cierto. Sea el aire el medio 1 y el agua el 2, cuyas permeabilidades respec tivas son l,00000/i0 y 0,99999/z0; se concluye entonces de (3.8) y (5.3) que t • (« r- « ¡ H r • 5. Falso. Lo informa (5.4).
Condiciones de frontera / 193
6.
Cierto. Se sigue de (5.4), pues la interfaz no puede soportar una K.
7. Cierto. Se deduce de (5.4), pues K es 0. 8.
Cierto y falso. De acuerdo con la explicación; Sea 1 el conductor, de con ductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo magnético y su interfaz puede soportar una K, al aplicar (5.4) se concluye, para los lados de aquélla, in x H x = 0 e inx H s = - K 0. 9. Ciérto. Se sigue de (5.4), ya que en condiciones estáticas no hay corrientes libres. '■ 10. Cierto. Se deduce de (5.4), puesto que en dieléctricos ideales no hay co rrientes libres. 11. Cierto. De (3.8), (5.3) y (5.4) resultan (véase figura 5.4) ;
0
=
--B2) = i •(//,#,
.-. ¿u,Htsen0, - \x2H2sen02
0 = inx ( ^ i - i f 2) /. Hlcosdl =H2cosQ2 La proposición se verifica al dividir los resultados anteriores. 12. Cierto. La componente tangencial de H es continua, y la normal lo es aproximadamente, porque las susceptibilidades magnéticas de los materiales diamagnéticos son tan pequeñas, comparadas con la unidad, que sus per meabilidades son prácticamente iguales a la del vacío.
5.8 Magnetización, M P r o p o s ic io n e s
En la interfaz éntre dos medios materiales: 1. La componente normal de M es discontinua. 2. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, la componente normal de M es 0 . 3. Si éstos son aire y agua, la componente normal de M es aproximadamente continua. 4. Si éstos tienen iguales permeabilidades, la componente normal de M es continua. 5. La componente tangencial de M es continua.
1 9 4 / Teoría electromagnética
6.
Si éstos tienen iguales permeabilidades y las condiciones son estáticas, la componente tangencial de M es continua. 7. Si uno de éstos es un conductor, de conductividad infinita, la componente tangencial de M es 0. S o lu c io n e s
1. Cierto. Se verifica con (3.7) y (5.3): in • {Mx- i k f 2) = ~in • ( t í t - H2j * 0. 2. Cierto y faliso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor, de con ductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo magnético, al aplicar la proposición anterior resulta que en los lados de la interfaz se cumplen • M l = 0 e ¿n • M2 = -tn • H2 ¿ 0. 3. Cierto. Sea el aire el medio 1 y el agua el 2; con base en las razones ex puestas al solucionar la proposición 5.7.4, en (3.26) y (5.3), resulta ¿„ • (m , - M2) = in • - /i,"1)#, = 0. Además, en ambos me dios las susceptibilidades magnéticas son tan pequeñas comparadas con la unidad que las magnetizaciones respectivas son despreciables. 4. Cierto. De (3.26) y (5.3) resulta in »(m , - Af2) = (pi0'] - fi ')i„ • (Bl - B2) = 0. 5. Falso. De (3.7) y (5.4) se deduce ¿„ x ¡Ml - M2) =
x(j?, - B2) - K * 0.
6.
Cierto. Ya que í „ x (m , - M 2)= ~ f¿~' )»„ - í f 2.)=0, donde se usa ron (3.29) y (5.4). 7. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sea 1 el conductor, de con ductividad infinita, y 2 el otro material; como en el interior del primero no hay campo magnético y su interfaz puede soportar una K, al aplicar (5.4) y el resultado de la proposición 5.8.5 resulta que en los lados de la interfaz se cumpleni n x ill 2 = K + x -®2 Q e xM , = 0 .
5.9 Potenciales escalar y vectorial magnéticos, P r o p o s ic io n e s
En lá interfaz entre dos medios materiales: 1. El potencial escalar magnético es continuo.
&my A m
Condiciones de frontera / 195
2. En condiciones no estacionarias el potencial escalar magnético es continuo. 3. Si las condiciones son estacionarias y los medios no son conductores, el potencial escalar magnético es continuo. 4. Si las condiciones son estacionarias y los medios no son conductores, pero uno tiene magnetización permanente y uniforme, el potencial escalar mag nético es discontinuo. 5. La componente normal de.4,„ es continua. 6. La componente normal de A men condiciones estacionarias es discontinua. 7. La componente tangencial de Ames continua. 8. A mes continuo. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En interfaces donde no hay una corriente superficial, K, dicho potencial es continuo; en caso contrario, discontinuo.. 2. Falso. No tiene sentido hablar de la continuidad de una función que no existe, ya que H no es irrotacional cuando el campo magnético depende del tiempo. ■" 3. Cierto. Es continuo cuando la interfaz no sostiene una corriente K, y en este caso no la hay porque ningún medio material tiene conductividad infini ta. Conviene advertir, sin embargo, que no es continuo cuando K se usa co mo modelo para simular el arrollamiento de una bobina y estudiar su campo magnético, porque esa corriente superficial simulada se ubica en la interfaz de dos materiales que pueden no ser conductores. 4. Falso. Es continuo, sin importar cómo sea la magnetización, cuando la interfaz no sostiene una corriente K, y en este caso no la hay porque ningún medio tiene conductividad infinita. 5. Cierto. La continuidad de la componente normal de A,„ se demuestra a partir de la divergencia de éste, la cual puede definirse con las condiciones de Lorentz o de Coulomb sin que se afecte dicha continuidad. 6. Falso. Por lo expuesto en la anterior proposición, la continuidad de la componente normal de A,„ es independiente de si el campo magnético varía, o no, en el tiempo. 7. Cierto. La continuidad de la componente tangencial de A,„ se demuestra a partir del rotacional y la circulación de éste, que lo relacionan con B y el flujo magnético.
1 9 6 / Teoría electromagnética .
8. Cierto. Es continuo porque lo son sus componentes normal y tangencial a la interfaz, según las proposiciones 5.9.5 y 5.9.7.
5.10 Descarga dé un conductor P r o p o s ic io n e s
1. Si un material, de conductividad g y permitividad e, tiene una densidad inicial de carga, p(r), ésta no se mantiene constante. 2. Lá carga total que un material, de conductividad g y permitividad e, tiene en su interior, en todo momento es inversamente proporcional a la primera potencia del tiempo. 3. Después de un tiempo mayor que cinco veces el tiempo de relajación, en la práctica se cumple que p(r) es 0 dentro de todo conductor: 4. A la razón g/s se la llama tiempo de relajación. 5. El tiempo de relajación disminuye al aumentar la conductividad. S o lu c io n e s
1. Cierto. Esa densidad de carga se desvanece muy rápidamente en forma exponencial; la densidad instantánea cumple (5.11). 2. Falso. Lá carga total, instantánea, en el interior del material decae con el tiempo en forma exponencial, así: Q,(¿) = | p0(r,0)?~'/rdF = Q(0)s~‘/r. 3. Falso. En todos no, pero sí en los lineales, homogéneos e isotrópicos; en éstos* después de transcurrir ese tiempo la densidad volumétrica de carga en el interior es inferior al 0,7% de la inicial y puede considerarse, en la prácti- . ca, como 0. 4. Falso. El tiempo de relajación —ver (5.12)— se define con la razón inver sa y tiene dimensiones de tiempo. 5. Cierto. Esa relación inversa se advierte en (5.12).
6 _
Teorema de Poynting; acumulación y disipación de la energía en la materia e histéresis En este capítulo, a menos que, en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen condiciones generales sin simplificaciones.
6.0 Definiciones, considerációnés generales y fórmulas 1. Transmisión y almacenamiento de la energía electromagnética. La ex periencia demuestra, inequívocamente, que para crear un campo electro magnético se necesita usar energía y que, recíprocamente, cuando el campo desaparece, debe aparecer alguna forma de energía. Se sabe, también, que un capacitor cargado y ún inductor con corriente poseen energía potencial, capaz de hacer un trabajo. ¿Cómo se transmite y dónde se almacena esa energía? Con base en las ideas de la teoría del campo, que es parte de la teoría de la acción por contacto, se acepta que la energía electromagnética se transmite a través del campo electromagnético, por el espacio que rodea los cuerpos y no con los cables conductores; se almacena, además, en el mismo campo, en cada elemento de volumen y no en las cargas o corrientes (véase figura 6.1). Aunque es cierto que muchos dispositivos eléctricos sólo funcionan cuando un cable conductor los conecta a fuentes de energía, es de común ocurrencia la transmisión de energía electromagnética a grandes distancias, sin co nexiones, por radiación; esa energía se propaga sin que las cargas eléctricas mismas viajen por el espacio. 2. Teorema de Poynting. Una región del espacio, de volumen, V, está ence rrada por una superficie, S; en la región pueden existir fuentes de energía, vacío inmaterial, medios materiales de cualquier tipo, cargas y corrientes, y
1 9 8 / Teoría electromagnética
■v, (a)
Muy separados,
(b)
(c)
Figura 6.1 Energías potenciales eléctrica y magnética. Al cerrar el interruptor, en un instante inicial, empieza a circular una corriente por el circuito que, después de un cierto tiempo, se desvanece en (a), y se hace constante en (b), dejando al capacitor y al inductor con energías potenciales almacenadas, eléctrica o magnética, que provienen de las fuentes de energía. ¿Por dónde llega, y dónde y cómo se almacena esa energía? La respuesta mecanicista, basada en la teoría de circuitos, satisfactoria en principio para los circuitos de (a) y (b), no sirve para explicar la relación causa-efecto en los circuitos de (c), donde la corriente l2 no se debe a cargas que se desplazaron desde el otro circuito, sino a la inducción producida por la radiación electromagnética.
por 5 puede entrar o salir energía electromagnética (véase figura 6.2). La for ma-integral del teorema de Poynting, y la puntual en cada punto,de la región en el que las propiedades del campo electromagnético existen, son continuas y diferenciables, y suponiendo estáticos el volumen y los medios materiales, son V * S - E * J B= E * J + 1
( 6 . 1)
„
J
V\
•
or
.
o ivx
E • T + E • ——+ u .H • —— dV + J . d t 0 d t ) ; E|2 +^2-|H|2W ■ 2" /
■ (6.2) ( 6 -2 )
donde J B es la corriente libre que fluye, exclusivamente, por el interior de las fuentes de energía. 3. Vector de Poynting. El vector de Poynting, S, se define con
Teorema de Poynting; acum ulación y disipación... / 1 9 9
Fig u ra 6.2 Teorema de Poynting. Una superficie cerrada, S, de volumen V, tiene en su Ínter- , ior fuentes de energía, medios materiales de cualquier tipo; vacío inmaterial, cargas y corrien tes, y por ella cruza radiación electromagnética. Los diferentes tipos de potencia se equilibran en una ecuación, deducida directamente de las de Maxwell, llamada teorema de Poynting.
Por sus dimensiones y presencia en el prim er término de (6.2), el vector de Poynting puede interpretarse como la densidad de la potencia electromagnética,-, en un punto del campo indica la magnitud, dirección y sentido de esa densi dad. Su flujo a través de cualquier superficie cerrada informa de la potencia total que cruzó dicha superficie; si el flujo es positivo la región emite poten cia y si es negativo, la recibe (véase figura 6.2). 4. Potencia de las fuentes. El segundo término del miembro izquierdo de (6.2): (6.4) es la potencia que las fuentes de energía de la región intercambian con la misma; en aquéllas, se.transforma continuamente energía mecánica, química, térmica, etc., en energía electromagnética, y en esta última forma interviene en el teorema de Poynting. Cuando las fueptes aportan potencia a la región, el signo del término es positivo; si la extraen, es negativo (véase figura 6.3). 5. Potencia absorbida por las cargas en movimiento. La primera integral del miembro derecho de (6.2): '
/
r
(6.5)
es la potencia absorbida por el movimiento de las cargas eléctricas de la re gión. La expresión es aplicable a distribuciones de corriente libre, como las encontradas en gases ionizados, electrolitos, plasmas, tubos de descarga o
2 0 0 / Teoría electromagnética
Pila en descarga
.
,
Pila en carga
Figura 6.3 Energía de una pila. En (a) la pila se descarga, entrega su energía al circuito y hace circular |a corriente entre el terminal positivo y el negativo; dentro de la pila se invierte el sentido de la E, y, allí, JB y £ tienen sentidos opuestos. Cuando la pila se carga, en (b), la corriente circula al contrario por el circuito y ello hace que E y JB tengan el mismo sentido dentro de la pila.
conductores, dentro de la validez del modelo macroscópico de materia usa do. La potencia suministrada por el campo a las cargas en movimiento no se conserva mucho tiempo en forma mecánica. Cuando las corrientes son de conducción, por ejemplo, la potencia se transfiere, en los choques, a la red atómica, y la expresión representa la conversión irreversible de energía elec tromagnética en calor; este proceso se conoce como efecto joule. Si el conduc tor es lineal e isotrópico, de conductividad g, la potencia disipada es n -
.
. <6-6»
6. Potencia absorbida para establecer el campo eléctrico. Al reunir la se gunda y la cuarta integral del miembro derecho de (6.2), resulta = V
f
dp)
l
d t)
dV +— dt
(6.7)
que corresponde a la potencia suministrada para establecer el campo eléctri co en la región, ¡polarizando la materia existente en ésta. 7. Trabajo eléctrico y su densidad. AJ integrar (6.7) con respecto al tiempo, desde un instante inicial en el cual no hay campo eléctrico en la región, has ta un instante final, cuando el desplazamiento eléctrico llega al valor Df se obtiene el trabajo eléctrico realizado en la región, de volumen V, para esta blecer élcampo'eléctrico"allí, polarizando la'^materia existente: W '= ¡ £ f (E»dD)dV
(6.8)
Teorema de Poynting; acumulación y disipación.. . / 201
De (6.8) se obtiene la densidad del trabajo eléctrico en un punto del campo; es decir, el trabajo eléctrico por unidad de volumen: dWt rof „ w = -■- —= ' E • dD dV J°
(6.9)
Se dice trabajo y no energía, porque el primero se convierte en la segunda si en la región los materiales son univaluados y, por tanto, no se disipa energía en el proceso de polarizarlos. 8. Energía eléctrica y su densidad. Si en la región los dieléctricos son univaluados, el trabajo realizado para establecer el campo eléctrico en aquélla se convierte, totalmente, en energía potencial eléctrica y no hay disipación; cuando, además, son lineales, de permitividad e, (6.8) se reduce a U. = - f e\E IdV 2 Jv .
( 6 . 10 )
que corresponde a la energía potencial eléctrica acumulada en la región. De (6.10) se obtiene la densidad de la energía eléctrica en un punto del campo; es decir, la energía eléctrica por unidad de volumen dU, 1 u = — - = —e\E\ ‘ dV 2 1 1
( 6 . 11)
9. Potencia absorbida para establecer el campó magnético. Al reunir el tercer término y el quinto del miembro derecho de (6.2), resulta P. =
«i ni
"■
dM dV +— f Po \HYdV = dt dt J v Jy{
:\
dt
j
dV
(
6 . 12)
que corresponde a la potencia suministrada para establecer el campo magné tico en la región, magnetizando la materia existente en ésta. 10. Trabajo magnético y su densidad. Al integrar (6.12) con respecto al tiempOj desde un instante inicial, en el cual no hay campo magnético en la región, hasta un instante final, cuando la inducción magnética llega al valor B¡, se obtiene el trabajo magnético realizado en la región, de volumen V, para establecer el campo magnético allí, magnetizando la materia existente: (6.13) De (6.13) se obtiene la densidad del trabajo magnético en un puntó del cam po; es decir, el trabajo magnético por unidad de volumen
2 0 2 / Teoría electromagnética
w = ^ = - = \B‘ H »dB ■ dV Jo
,
(6.14)
Se dice trabajo y no energía, porque el primero se convierte en la segunda si en la región los materiales son univaluados y, por tanto, no se disipa energía en el proceso de magnetizarlos. . 11. Energía magnética y su densidad. Si en la región los materiales per meables son univaluados, el trabajo realizado para establecer el campo magnético en aquélla se convierte, totalmente, en energía potencial magné tica y no hay disipación; cuando, además, son lineales, de permeabilidad fi, (6.13) 'se reduce :a > . ',v¡V' - ‘ J !' M ''i '
" (6.15)
que corresponde a la energía potencial magnética acumulada en la región. De (6.15) se obtiene la densidad de la energía magnética en un punto del campo; es decir, la energía magnética por unidad de volumen . um= ^ = -pi\H \2
(6.16)
12. Ecuaciones constitutivas. La relación entre una cierta causa y su efecto en un material, que se conoce como ecuación constitutiva, es difícil de inferir teóricamente; no sólo porque las teorías atómicas aplicables son insuficientes y complicadas, sino porque en la realidad los materiales tienen impurezas e imperfecciones que invalidan los modelos teóricos. Para hallar relaciones prácticas no hay más camino que el de hacer mediciones de laboratorio sobre muestras representativas de los materiales, cuyos resultados suelen presen tarse gráficamente (véase figura 6.4). 13. Materiales univaluados. Un material es univáluado cuándo, en cada uno de sus puntos, para cada valor de la causa existe un valor, y sólo uno, del efecto; ello implica que deben ser idénticas las curvas obtenidas para repre sentar la relación cuando la causa aumenta de valor y cuando se desvanece (véase figura 6.4). 14. Materiales multivaluados. Un material es multivaluado cuando, en cada uno de sus puntos, para cada valor de la causa puede existir más de un valor del efecto; ello implica que son distintas las curvas obtenidas para representar la relación cuando la causa aumenta de valor y cuando se desvanece. En este tipo de materiales se presenta el fenómeno de la histéresis (véase figura 6.4).
F i g u r a 6 .4
R e l a c i ó n c o n s t it u t iv a . L a r e la c ió n c a u s a - e f e c t o e n u n m a t e r ia l s e o b t ie n e a l h a c e r
m e d i c i o n e s s i m u l t á n e a s d e la c a u s a y e l e f e c t o e n m u e s t r a s r e p r e s e n t a t i v a s d e l m is m o . E n el m a t e r ia l u n iv a lu a d o , ( a ) , la c u r v a o b t e n id a c u a n d o la c a u s a a u m e n t a o d is m in u y e e s la m is m a ; n o o c u r r e a s í e n e l m ü lt iv a lu a d o , ( b ) ,- d o n d e l a s c u r v a s d if ie r e n y a l c e s a r ia c a u s a s e r e t ie n e p a rte d e l e fe c to .
15= Anillo de Rowlaiíd. El comportamiento de un material bajo la influencia de campos magnéticos externos se deduce de su relación constitutiva, y ésta se obtiene mediante mediciones experimentales realizadas en muestras re presentativas del material. El anillo de Rowland es un dispositivo típico para hacer mediciones magnéticas; a la. muestra se le da forma toroidaí y sobre ésta se enrollan, apretada y uniformemente, las. espiras primarias; que con ducen la corriente magnetizante y controlan M, y las espiras secundarias, que detectan cambios en el flujo magnético y permiten calcular B. Para cada va lor: dé la corriente, en las espiras primarias, se hallan parejas de valores H y 5 que, al graficarse,: ofrecen una imagen y los valores relevantes de ia rela ción constitutiva del material (véase figura 6.4). 1 6 .Curva inicial de.magnetización.: Lá curva inicial de magnetización, (HB), dé un material ferrómagnético es la qué se obtiene, con el uso de disposi tivos como el anillo de Rowland, cuando a un material virgen o desmagneti zado se le aplica un campo magnético externo, cuyo í f es de magnitud cre ciente (véase figura 6.5). El estado virgen se obtiene al calentar la muestra por encima de la temperatura Curie y permitir luego el enfriamiento de aquélla en ausencia de campos magnéticos; el mismo resultado se logra si la muestra se somete a una intensa corriente alterna cuya amplitud se reduce paulatinamente hasta 0. 17. Histéresis. La histéresis es el fenómeno por el cual un efecto se retrasa con respecto a la causa que lo produce; en un momento dado, ese efecto depende de la causa y de la magnitud anterior de ésta.
2 0 4 / Teoría electromagnética
F i g u r a 6 .5
C u r v a n o r m a l d e m a g n e t i z a c i ó n . A l p r in c ip io , la c u r v a e s e m p i n a d a y f á c i l la m a g
n e t i z a c i ó n ; lu e g o , s e a p l a n a y c o n v ie r t e e n r e c t a c u a n d o e l m a t e r ia l s e s a t u r a y e s d ifíc il la m a g n e tiz a c ió n . E n
la c u r v a In ic ia l s e d is t in g u e n c u a t r o z o n a s , d o n d e a q u é l l a s e a p r o x im a ,
r e s p e c t i v a m e n t e , a u n a p a r á b o l a , u n a r e c t a , u n a h ip é r b o la y u n a r e c t a d e p e n d ie n t e
¡1q.
18. Histéresis ferromagnética. Cuando un material virgen se magnetiza hasta un punto arbitrario de la curva inicial de magnetización y luego se reduce la H aplicada, se observa el fenómeno de la histéresis magnética. La curva dé desmagnetización no coincide con la curva inicial de magnetización porqué los dominios magnéticos se oponen a cambiar la orientación ya ad quirida, al no poder cruzar espontáneamente por direcciones de difícil mag netización; en consecuencia, M y B retienen valores superiores para una misma H de la etapa de magnetización-(-véase figura 6.6): Si H se lleva hasta 0, B no se anula; retiene un valor Br, que se llama inducción remanente o rema nencia. Para anular la inducción remanente hay que invertir el sentido de la corriente magnetizante y obtener una intensidad magnética negativa, -H c, que se conoce como fuerza coercitiva. 19. Curva normal de magnetización. Al aplicar un campo magnético alterno a una sustancia ferromagnética, después de unos cuantos ciclos la relación de 5 contra í f se estabiliza y puede graficarse en la forma de un bucle de histé resis simétrico. Con distintas amplitudes de la H aplicada se obtienen dife rentes bucles. El lugar geométrico que resulta al unir los vértices de los bu cles en el primer cuadrante del plano (Ií-B) es la curva normal de magneti zación del material. Esta curva es similar a la curva inicial de magnetización, pero ambas curvas no coinciden; es una gráfica importante y una caracterís-
m a g n e t iz a d o d e s d e e l e s t a d o v ir g e n h a s t a e l p u n to ( Hm,B m). A l d e s m a g n e t iz a r e l m a t e r ia l, la
B n la r e m a n e n c ia , c u a n d o H = 0 ; H y a p lic a r u n a -H c, d e n o m in a d a
c u r v a e s d is t in t a y s e r e t ie n e u n a
p a r a a n u la r la r e m a n e n c ia
h a y q u e in v e r t ir la d ir e c c ió n d e
f u e r z a c o e r c it iv a ; al c o n t i
n u a r d is m in u y e n d o
H,
h a s t a - H m, y lu e g o in v e r t ir n u e v a m e n t e la p o la r id a d p a r a h a c e r l a c r e
c e r h a s t a H m, s e o b t ie n e e l b u c le d e la fig u r a .
tica propia del material, que puede reproducirse en un laboratorio (véase figura 6.7). Cuando se dan las curvas (H-B) dé un material, sin más informa ción, se debe entender que son las normales. 20. Materiales ferromagnéticos “duros” y “blandos”. Un material ferromagnético “blando” se magnetiza fácilmente y con gran inducción; presenta elevadas permeabilidades máximas, que pueden ser hasta un millón de veces mayores que la del vacío; sus fuerzas coercitivas son bajas y el área encerrada por el bucle de histéresis de la saturación es pequeña, disipando poca ener-" gía por histéresis. Por sus características, son usados en núcleos de transfor madores. Los materiales ferromagnéticos “duros” tienen propiedades opues tas: baja permeabilidad, elevada pérdida por histéresis y alta fuerza coerciti va. Por su resistencia a la desmagnetización se les usa como imanes perma nentes (véase figura 6.8).
2 0 6 / Teoría electromagnética
F i g u r a 6 .7
C u r v a n o r m a l d e m a g n e t i z a c i ó n ..S e - o b t ié n e . a l u n ir lo s v é r t i c e s d é l o s .d i f e r e n t e s .,
b u c l e s d e h i s t é r e s i s e n e l p r im e r c u a d r a n t e d e l p la n o ( H - B ) ; e s s e m e j a n t e a la c u r v a in ic ia l, p e ro n o c o in c id e c o n é s t a .
P r o p o s ic io n e s
1. El vector de Poynting se define con S = E x B . 2. Las unidades del vector de Poynting en el SI son [kgs-3]. 3. El vector de Poynting, S, y el producto, E x J, tienen las mismas dimensiones. 4. El vector de Poynting es un verdadero vector. 5. Cada término en la forma puntual déT teorema de Poynting tiene dimen siones de potencia/área.
9. Si las condiciones son estacionarias, el vector de Poynting es solenoidal en todos los puntos de una región vacía del espació. 10. La radiación de potencia sólo existe cuando los campos eléctrico y mag nético dependen del tiempo. 11. Si en una región los fenómenos eléctricos y magnéticos son estacionarios, la potencia disipada en aquélla es igual a la suministrada por las baterías. '12. En una región del espacio, sin fuentes propias de energía, pueden existir corrientes libres. 13. Las expresiones R I 2y g E 2 tienen las mismas dimensiones.
2 0 8 / Teoría electromagnética
14. Si una superficie cerrada está llena de aire, las energías potenciales eléc trica y magnética tienen que ser constantes en ella. 15. Las energías eléctrica y magnética pueden almacenarse en el vacío. 16. Si se duplica la magnitud de E, lá energía potencial eléctrica se duplica. 17. Si se duplica la magnitud de H, la energía potencial magnética no se cuadruplica. 18. Si las condiciones son estacionarias, la energía potencial eléctrica es 0. 19. Las expresiones D»E y B » H tienen iguales dimensiones. 20. Las expresiones iiaH»d,H y £0E»dE tienen diferentes dimensiones. 21. Para sostener una corriente filamental y estacionaria, I, a través de un voltaje, V, se requiere una potencia VI. 22. En todo hilo conductor se cumple que P = VI. 23. Un alambre cilindrico circular, infinito y conductor, de radio a, lleva una corriente uniformemente distribuida en su sección recta, I. Si la conductivi dad del alambre es g, el valor absoluto del vector de Poynting sobre la super ficie lateral es |S| = / 2/(27tVg). 24. Un generador eléctrico mueve un motor, el cual, a su vez, mantiene fun cionando el generador, y la energía adicional procedente de éste se emplea en iluminación. 25. Un generador eléctrico convierte energía electromagnética en energía mecánica. 26. En un sistema energéticamente reversible las pérdidas de energía equiva len, con respecto a la energía total, al 0%. 27. La potencia que sale de un motor es menor que la que entra. 28. Lá expresión popular “En mi casa se consume mucha corriente eléctrica” es correcta. S o lu c io n e s
1. Falso. Esa expresión no tiene dimensiones de potencia por unidad de área; la definición correcta se da en (6.2). 2. Cierto. Las unidades del vector de Poynting pueden obtenerse, en el SI, como la razón entre las unidades de la potencia, medida en [m2kgs~3], y la unidad de área, medida en [m2].
Teorema de Poynting; acumulación y disipación...
/ 209
3. Falso. Las dimensiones del vector de Poynting son potencia/área; las del producto E x J son potencia/volumen. 4. Cierto. La suma del número de seudoperaciones* un producto vectorial, y del número de seudocantidades, H, es par. 5. Falso. Tiene dimensiones de potencia/volumen. 6. Falso. Tiene dimensiones de potencia.
'.
7. Falso. Informa, en un punto del campo, de la densidad de la potencia electromagnética radiada. 8. Cierto. Se deduce de (6.2), ya que en la región no hay corrientes ni varia ción con respecto al tiempo. 9. Cierto. Se desprende de (6.1), pues no hay variación con respecto al tiem po y en la región vacía no hay corrientes. 10. Falso. En condiciones estacionarias el flujo del vector de Poynting puede ser distinto de 0j como se; advierte en (6.2), si la región contiene, fuentes de energía o corrientes estacionarias; es el caso, por ejemplo, de un hilo con ductor que disipa energía por efecto Joule y al cual aquélla le llega a través de la superficie del hilo. 11. Falso. No necesariamente; a la reg ió n —-ver (6.2)— le puede ingresar potencia a través de la superficie. El ejemplo dado en la proposición anterior se aplica también en este caso. 12. Cierto. Y la potencia necesaria llega a través del campo —observar (6.2)— por la superficie de la región. 13. Falso. La primera tiene dimensiones de potencia y la segunda de poten cia por unidad de volumen. 14. Falso. No tienen que ser constantes —-ver (6.2), donde algunos términos se anulan en el aire— su suma puede disminuir de valor si la superficie emite energía, o incrementar cuando la recibe. 15. Cierto. Se almacenan allí en tanto exista campo electromagnético; pue den calcularse con (6.10) y (6.15), en las cuales se usan la permitividad y la permeabilidad del vacío. 16. Falso. La relación no es lineal, como se observa para los materiales linea les en (6.10). 17. Cierto. En general no se cuadruplica porque la relación no es cuadrática; se cuadruplica, sin embargo, cuando el material es lineal, como se deduce de (6.15).
2 1 0 / Teoría electromagnética
18. Falso. Esa energía existe, acumulada en cada una de las parcelas del campo, y en tanto exista campo eléctrico es constante porque las condiciones son estacionarias; es el caso del capacitor aislado y cargado. 19. Cierto. Tienen dimensiones de trabajo/volumen, como se advierte en (6.8)y (6.13). 20. Falso. Tienen dimensiones de energía/volumen, como se observa en (6.10) y (6.15). T, / '.;.rV. ._,/ ; 21. Cierto. (6.5) es la expresión de la potencia absorbida por las cargas éléctricas para establecer una corriente en una región, y se aplica al caso actual al sustituir JdV por Jds, dado que la corriente es filamental; además, si entre los puntos 1 y 2, por los que pasa la corriente filamental I, el voltaje es V,
J
entonces V = E»ds y Pr =
j)d V = £ £ • Ids•=
/J. E*ds = VI. I
sale de la
integral puesto que, por ser estacionaria, es también uniforme. 22. Falso. La relación se cúmple, exactamente, cuando la corriente es esta cionaria, y aproximadamente, si es cuasiestacionaria, porque cuando la co rriente depende del tiempo deja de ser uniforme a lo largo dél hilo; en tal caso existe, y debe tomarse en cuenta, la corriente de desplazamiento, como se desprende de (3.20) y (3.21). La que sí se cumple, aunque la corriente dependa del tiempo, es (6.5). 23. Cierto. Las intensidades de los campos eléctrico y magnético son ortogo nales entre sí en la superficie del alambre, y sus magnitudes y la del vector de Poynting valen E = J/g = lf{na'g}, H = l/(2na) y S = Í 2f(2n2a3gy 24. Falso. Se viola el principio de la conservación de la energía; el motor no puede entregar más energía de la que recibe del generador. 25. Falso. Al contrario; convierte energía mecánica de rotación, cuyo origen puede ser la presión de una corriente líquida o gaseosa, en energía electro magnética. 26. Cierto. En un sistema energéticamente reversible no hay perdidas de energía; si las hubiese, el sistema se detendría con el paso del tiempo. Los trabajos efectuados por las diferentes fuerzas que intervienen en el sistema se acumulan como energía potencial y pueden realizar un nuevo trabajo. 27. Cierto. A lo sumo es igual a la que recibe, y ello en motores ideales, por que el motor tiene pérdidas. 28. Falso. Es incorrecta porque la corriente, o la carga eléctrica, no se con sume; el uso de la energía electromagnética en los diferentes dispositivos
Teorema de Poynting; acum ulación y disipación... / 211
electrodomésticos la degrada y convierte, total o parcialmente, en formas irrecuperables, como el calor.
6.2 Materiales univaluados y materiales multivaluados P r o p o s ic io n e s
1. Se mantiene una corriente estacionaria en todo conductor filamental, si se utiliza una potencia P = R I2. 2. La potencia disipada por unidad de volumen es, en todo tipo de conduc tores dP/dF = g|jB|’v 3. La energía disipada en un resistor, conectado mediante hilos conductores ideales a una batería, no le llega a través de los hilos. 4. El cobre es un conductor univaluado. 5. Un capacitor disipa más energía que un resistor. 6. La energía almacenada por unidad de volumen en el campo eléctrico es dU'/dV = s \e \2/ 2 7. La ecuación d ljjd V = e |£ |2/2 puede usarse en dieléctricos lineales, isotrópicos y heterogéneos. 8. En un dieléctrico no lineal y univaluado, el trabajo para polarizarlo se convierte en energía. 9. Al aumentar la polarización de un dieléctrico univaluado, la fuente que produce el cambio disipa energía. 10. A magnitudes iguales de la densidad del flujo eléctrico, se acumula más energía eléctrica por unidad de volumen en un dieléctrico lineal e isotrópico que en el vacío. 11. Si se duplica la magnitud de E, en un dieléctrico lineal e isotrópico, se duplica la densidad de la energía eléctrica. 12. En un dieléctrico univaluado no hay histéresis. 13. El trabajo neto por ciclo desarrollado para polarizar un dieléctrico multivaluado, se convierte totalmente en calor. 14. El trabajo desarrollado para polarizar un dieléctrico multivaluado, lle vando a D desdé 0 hasta D¡ en cada punto del mismo, se convierte totalmente en calor.
212/
Teoría electromagnética
15. La energía almacenada por unidad de volumen en él campo magnético es dU JdV = |J5(123/(2//). 16. La ecuación dUm/dV =\B\2/(2pi), puede usarse en materiales lineales, isotrópicos y heterogéneos. 17. Al magnetizar un material, no se disipa energía. 18. Si un material no lineal es univaluado, el trabajo hecho para magnetizar lo se conserva como energía potencial. 19. En un material lineal, el trabajo hecho para establecer el campo magné tico se convierte parcialmente en calor. 20 . Si un material tiene permeabilidad, f¿, que es independiente de H, parte del trabajo usado para magnetizarlo se convierte en calor.
21. A magnitudes iguales de la intensidad del campo magnético, se acumula más energía magnética por unidad de volumen en el vacío que en un mate rial diamagnético, lineal e isotrópico. 22. A magnitudes iguales de la densidad del flujo magnético, y si los materia les son lineales e isotrópicos, se acumula más energía por unidad dé volumen en un material paramagnético que en uno diamagnético. 23. El trabajo por unidad de volumen que debe hacerse para llevar la induc ción magnética desde 0 hasta Bf, es mayor en el vacío que en un material paramagnético, lineal e isotrópico. S o lu c io n e s
i
1. Cierto. Si la corriente es estacionaria, en todos los conductores filamentales se cumple que V = RI, donde V y R son el voltaje y la resistencia eléctrica entre dos puntos del hilo. La fórmula es la definición de la resistencia eléc trica y coincide con la ley de Ohm cuando aquélla no depende del voltaje o de la corriente; sustituirla en la expresión para la potencia obtenida en la proposición 6.1.21 permite ratificar la presénte. 2. Falso. La potencia disipada por unidad de volumen en un conductor, de ducida de (6.5), es dP/dV = E* J; sin embargo, la proposición es cierta—ver (6.6)— en conductores lineales e isotrópicos. 3. Cierto. De acuerdo con los postulados de la teoría del campo y el teorema de Poynting, la energía que el resistor disipa le llega a través de su superficie lateral, aportada pior el vector de Poynting—revísese la proposición 6.1.23— y no, como sostiene la teoría de circuitos, por medio de los hilos conductores.
Teorema de Poynting; acumulación y disipación... / 2 1 3
4. Cierto. El cobre es un conductor lineal y, por tanto, univaluado, que satis face la ley de Ohm en un intervalo muy amplió de valores de 2s; esa ley se cumple, sin que cambie la conductividad g, tanto cuando E aumenta como cuando disminuye. 5. Falso. El capacitor almacena energía potencial eléctrica y el resistor la '■disipa. 6. Falso. Esa expresión es válida sólo en materiales lineales e isotrópicos; una más general, deducida de (6.9) cuando los materiales son univaluados, es u = & = [D' E»dD .1
(6.17)
7. Cierto. Esa ecuación se cumple en cada punto de una región donde los di eléctricos son lineales e isotrópicos; si el material es inhomogéneo, la permitividad puede cambiar de punto a punto sin afectar la validez de la ecuación. 8. Cierto. Si el material es univaluado, el trabajo hecho por el campo eléctri co para polarizarlo.se convierte en energía potencial y puede recuperarse; la magnitud de ésta se calcula con (6.17). 9: Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Aun cuando la:energía que la fuente suministra para aumentar la polarización del dieléctrico univaluado se conserva y. almacena en éste como energía potencial eléctrica; es posible que se disipe internamente energía en la fuente, según que éste sea ideal o no, en el proceso de aportarla para la polarización del material. 10. Falso. Al llevar (2.21) a (6.11), resulta dUJdV = |D| V(2e); por tanto, sé almacena más energía en el vacío que en el dieléctrico porque la permitividad de éste es mayor. 11. Falso. De (6.11) se deduce que esa energía se cuadruplica. 12. Cierto. No hay histéresis porque en estos materiales la, relación entre la causa y el efecto es única y no se presenta un retraso cuando la causa dismi nuye. 13. Cierto. Ese trabajo se convierte en calor en el proceso de contrarrestar las fuerzas internas del material, de tipo friccional, que se oponen a su pola rización y despolarización; el área encerrada por el bucle de histéresis,we = J ■E*dD, es la cantidad de trabajo por unidad de volumen que se disi pa, en cada ciclo, dentro del material. 1,4. Falso. El área limitada por la curva de despolarización y el eje D, en la curva (E-D) del material, representa la parte del trabajo desarrollado al pola
214/
Teoría electromagnética
rizarlo que se acumula como energía por unidad dé volumen en el material; ésta se recupera luego al despolarizarlo. La parte que no se recupera hace parte del bucle de histéresis. 15. Falso. Esa expresión es válida sólo en materiales lineales e isotrópicos; una más general, obtenida de (6.14) cuando los materiales son univaluados, es u =d lL =
: 1- '
(
6
.
1
8
)
16. Cierto. Esa ecuación se cumple en cada punto de una región donde los materiales permeables son lineales e isotrópicos; si el material es heterogé neo, la permeabilidad puede cambiar de punto a punto sin afectar la validez de la ecuación. 'v.i')v. 17. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En la magnetización de materiales multivaluados, como los ferromagnéticos, parte del trabajo reali zado se convierte en calor en el proceso de contrarrestar fuerzas internas del material, de tipo friccional, que se oponen a esa magnetización; otra parte se acumula como energía potencial y es recuperable. En la magnetización de materiales univaluados, en cambio, el trabajo se acumula como energía y no hay disipación. 18. Cierto. Si el material es univalüado, el trabajo hecho por el campo mag nético para magnetizarlo se convierte en energía potencial y puede recupe rarse; la magnitud de ésta se calcula con (6.18). 19. Falso. En el material lineal la relación entre la causa y el efecto es única. Dicha relación puede graficarse como una línea recta, y se observa que al duplicar la causa el efecto se duplica; por esas particularidades un material lineal es univaluado, y el trabajo efectuado para establecer el campo magné tico en éste se acumula, íntegramente, cómo energía potencial. 20. Falso. Ese material es lineal y, por tanto, univaluado; en consecuencia, el trabajo efectuado para magnetizarlo se acumula, íntegramente, como ener gía potencial. 21. Cierto. Se confirma en (6.16), ya que la permeabilidad de un material diamagnético es menor que la del vacío. 22. Falso. De (3.8) y (6.16), resulta dUJdV = \b \ 2/ ( 2fij; por tanto, se alma cena más energía en el material diamagnético que en el paramagnético por qué la permeabilidad de éste es mayor. 23. Cierto. Como el trabajo realizado se convierte en energía potencial mag nética, ya que los medios son univaluados, puede aplicarse la expresión de la
Teorema de Poynting; acumulación y disipación... /
215
proposición anterior; en consecuencia, es mayor el trabajo realizado en el vacío que en el material paramagnético porque la permeabilidad de éste es ■' mayor. ■ /,
6.3 Histéresis; histéresis ferromagriética P r o p o s ic io n e s
1. La curva inicial de magnetización para los materiales ferrorriagnéticos, (H-B), es una línea recta. 2. Si se llega a la saturación en la curva inicial de magnetización' para un material ferromagnético, (H-B), aquélla no se convierte en una recta paralela al eje H: 3. En los materiales ferromagnéticos la relación entre M y H es funcional. 4. En el estado de saturación, la magnetización de una sustancia ferromagnética es mayor que la de una sustancia paramagnética. 5. La saturación de un material ferromagnético ocurre cuando £ alcanza su máximo valor. 6. En la curva de magnetización de un material ferromagnético, (H-B), se llama retentividad al intercepto sobre el eje H del bucle de histéresis corres pondiente a la saturación, . 7. En la curva de magnetización de un material ferromagnético, (H-B), se llama remanencia al intercepto sobre el eje £ positivo de cualquier bucle de histéresis... 8. En la curva de magnetización de un material ferromagnético, (H-B), se llama fuerza coercitiva al intercepto sobre el eje H positivo de cualquier bu cle de histéresis. 9. En la curva de magnetización de un material ferromagnético, (H-B), se denomina relación de cuadratura a la razón entre la retentividad del mate rial y el £ correspondiente a la saturación. 10. Si se duplica la corriente estacionaria que transporta una bobina toroidal, de arrollamiento delgado y apretado, y cuyo núcleo es un material fe rromagnético homogéneo, sé duplica H. 11. Si sé duplica la corriente estacionaria que transporta una bobina toroidal, de arrollamiento délgado y apretado, y cuyo núcleo es un material fe rromagnético homogéneo, se duplica B.
216/
Teoría electromagnética
12. En un material ferromagnético “blando”, la permeabilidad es relativa mente alta y las pérdidas por histéresis relativamente bajas. 13. El hierro puro es ferromagnéticamente “duro”. 14. La coercitividad de un material ferromagnético “duro” es mayor que la de uno “blando”. 15. Un material ferromagnético “duro” tiene alta capacidad para mantener su magnetización. 16. Las pérdidas de energía por histéresis son mayores en un material fe rromagnético “blando” que en uno “duro”. 17. Los materiales ferromagnéticós “blandos” son preferibles a los duros”, como núcleos de transformadores. ; 18. Los materiales ferromagnéticos “blandos” son apropiados para fabricar imanes permanentes. 19. En los materiales ferromagnéticos corrientes, el valor de B que corres ponde a la saturación se encuentra usualmente en el intervalo de 10 a 20 [T]. 20. Un trozo magnetizado de material ferromagnético puede desmagnetizar se con corriente eléctrica directa. 21. Un trozo magnetizado de material ferromagnético puede desmagnetizar se con corriente eléctrica alterna. 22. No se puede invertir la dirección del magnetismo de la aguja de una brújula: 23. La histéresis es exclusiva de los materiales ferromagnéticos. 24. Las unidades del área del bucle de histéresis ferromagnética en el SI son [m~1kgs_2] ; 25. Todo el trabajo realizado para magnetizar un material ferromagnético, llevando a B desde 0 hasta Bf en cada punto del mismo, se convierte en calor. 26. La fórmula Wm= '(l/2)J (H • B)dV es válida en un material ferromagnético. 27. Si el material del núcleo de un transformador es lineal, no hay pérdidas por histéresis. 28. El trabajo neto por ciclo desarrollado para magnetizar un material fe rromagnético es igual al área encerrada por el bucle de histéresis, (H-B). 29. La energía disipada, en un tiempo í, por la histéresis de un trozo ferromagnético, de volumen V, sometido a un campo magnético uniforme y cuyo
Teorema de Poynting; acumulación y d i s i p a c i ó n / 2 1 7
bucle de histéresis, (H-B), encierra un área S es, a la frecuencia de funciona m iento,/, igual a VSft. 30. Si la magnitud de H crece, el área encerrada por los bucles de histéresis aumenta sin límite. '. . 31. Si un. clavo de acero es atraído por un imán, la energía cinética que ad quiere el clavo antes de adherirse al imán proviene de los rayos cósmicos. 32. Los materiales ferromagnéticos interesan al ingeniero por su capacidad para disipar energía por histéresis. S o lu c io n e s
1. Falso. Esos materiales no son lineales, su curva inicial de magnetización es complicada y en ella pueden reconocerse cuatro zonas. La primera, cerca del origen, es aproximadamente parabólica; la segunda es aproximadamente recta y en ella la curva tiene la mayor pendiente; la tercera presenta un codo, llamado de saturación, y obedece aproximadamente a una ley hiperbólica; en la última zona, después de la saturación, la curva se aproxima a úna línea recta de pendiente igual a/¿o (véase figura 6.5). 2. Cierto. En el material saturado la magnetización alcanza un valor que poco cambia cuando incrementa H; por ello, de (3.7) se deduce que B ~ ¡XqH + C, donde C es una constante. La ecuación corresponde a la de una línea recta cuya pendiente es /t0; sin embargo, aquélla es aproximadamente paralela al eje H porque la permeabilidad del vacío es muy pequeña. 3. Falso. Esos materiales son multivaluados; en efecto, para un mismo valor de H pueden existir diversos valores de M que dependen de la historia de magnetización del material, y la curva (M-H) también presenta histéresis. 4: Cierto. En la saturación, los dipolos magnéticos atómicos o moleculares están alineados en la misma dirección y M alcanza su mayor, valor; éste es más grande en los materiales ferromagnéticos que en los paramagnéticos, porque los momentos de los dipolos magnéticos intrínsecos son también mayores. 5. Falso. Ocurre cuando M alcanza su mayor valor; B puede seguir creciendo con H : 6. Falso. La retentividad és el valor de la remanencia, o intercepto sobre el eje B, en el bucle de histéresis correspondiente a la saturación del material. 7. Cierto. La curva de desmagnetización de un material ferromagnético no coincide con la curva inicial de magnetización, porque los dominios magné
2 1 8 / Teoría electromagnética
ticos tratan de conservar la orientación ya adquirida. En consecuencia, si H se lleva hasta la anulación, B no se hace 0, retiene un valor, B„ que se llama inducción remanente o remanencia. 8. Falso. Si sé quiere anular la inducción remanente que puede conservar un material ferrómagnético después de haber sido magnetizado, hay que inver tir el sentido de la corriente magnetizante para obtener una intensidad magnética negativa, ~HC, que se denomina fuerza, coercitiva. 9. Cierto. Ésa es la definición de la relación de cuadratura, donde la retentividad es el valor de la remanencia en el bucle de saturación del material; el parámetro es útil para establecer qué tan intensa es la magnetización rema nente en el bucle principal de un material, o bucle de la saturación, y la apti tud de éste para servir como imán permanente. 10. Cierto. Por la simetría circular del sistema y su independencia con res pecto al tiempo, la linealidad éntre I y H se verifica al aplicar (3.11) a una circunferencia, de radio r, contenida en un plano perpendicular al eje del toroide, concéntrica con éste y ubicada dentro del núcleo; resulta H = Ní/focr), donde N es el núméro de espiras de la bobina. 11. Falso. Pese al resultado obtenido en la proposición anterior, B no se duplica porque en un material ferromagnético la relación (H-B) no es lineal; esta alinealidad la introduce la magnetización del material. 12. Cierto. La “blandura” ferromagnética es una propiedad que poseen al gunos materiales ferromagnéticos, por la cual se les magnetiza fácilmente hasta obtener valores muy elévados de Ai y B, y con igual facilidad se les desmagnetiza, ya que tienen muy bajas fuerzas coercitivas. En comparación con los materialés “duros”, la curva inicial de magnetización de los “blandos” es más empinada; por tanto, tienen elevadas permeabilidades máximas, y el área encerrada por él bucle de histéresis de la saturación, que mide la pérdi da de energía por ciclo y por unidad de volumen, es menor. 13. Falso. Los elementos ferromagnéticos puros son muy “blandos”; la com binación con otros elementos introduce “impurezas” que restringen la movi lidad y el alineamiento de los dipolos y de los dominios magnéticos, lo cual contribuye a incrementar la “dureza”. 14. Cierto. La coercitividad de los materiales ferromagnéticos “blandos” es pequeña, retienen poco la magnetización y pueden desmagnetizarse con facilidad, bajo la influencia de golpes o de la temperatura ambiente. En los “duros”, en cambio, la coercitividad es mucho mayor; en estos materiales la “dureza” aumenta cuando tienen una estructura cristalina fina sometida a
Teorema de Poynting; acumulación y disipación... / 2 1 9
elevadas tensiones internas o se fabrican con polvos finos que, con un agluti nante apropiado, se prensan en caliente. 15. Cierto. El material ferromagnético “duro” es.difícil de magnetizar y des magnetizar, y su coercitividad es elevada; por tanto, tiene la propiedad de retener la magnetización y servir como imán permanente. 16. Falso. El área encerrada en el bucle de histéresis de la saturación es muy grande en los materiales “duros” si se la compara con la de los materiales “blandos”; por tanto, mayor es la pérdida por histéresis en aquéllos. 17. Cierto. Se prefieren los materiales “blandos” porque tienen permeabili dades, magnéticas mayores que los, “duros”, lo que permite densidades y flu jos magnéticos mayores para corrientes de magnetización iguales, y sus pér didas por histéresis son menores al encerrar en los bücles respectivos un área menor. 18. Falso. Esos materiales se desmagnetizan con facilidad, no retienen la inducción magnética y su fuerza coercitiva es pequeña; no son apropiados para fabricar imanes permanentes porque la principal característica de éstos es la de retener por largo tiempo la magnetización. 19. Falso. La inducción magnética, Bs, alcanzada cuando se llega a la satura ción de un material ferromagnético depende, fundamentalmente, de la mag netización Aís obtenida; ésta es una cantidad que cambia poco en los materia les ferromagnéticos y, en consecuencia, no es posible una amplia variación de Bs, cuyo valor típico es de 1 [T] y fluctúa, üsuálmente, entre 0,5 y 2 [T], Valores inferiores a 0,5 [T] se alcanzan con materiales ferrimagnéticos. Por otra parte, el intervalo de valores para B incluido en la proposición es exageradamente alto; para que sirva de comparación, nótese que la induc ción magnética de la Tierra es del orden de 5 x ÍCT3 [T]. 20. Falso. Para desmagnetizar el trozo y llevarlo al estado virgen, es necesa rio invertir el sentido de la circulación de la corriente eléctrica; por tanto, una corriente directa no sirve porque no cambia de sentido. 21. Cierto. El trozo puede llevarse al estado virgen, al someterlo a una co rriente alterna cuya amplitud se reduce paulatinamente hasta 0; de esta ma nera la magnetización del material recorre un conjunto de bucles de histére sis de área decreciente, hasta desvanecerse. 22. Falso. Basta someterla a la influencia de un campo magnetizante, H, de magnitud y sentido apropiados. 23. Falso. Se presenta, por ejemplo, en algunos dieléctricos conocidos como ferroeléctricos, o en el interior de materiales sometidos a fuerzas alternas; en éstos se llama histéresis mecánica.
2 2 0 / Teoría electromagnética
24. Cierto. Las unidades del área del bucle de histéresis ferrómagnéticá pue den obtenerse, en el SI, como la razón entre las unidades de la energía, me dida en [m2kgs“2], y la unidad de volumen, medido en [m3], 25. Falso. El área limitada por la curva de desmagnetización y el eje B, en la curva (H-B) del material, representa la parte del trabajo desarrollado al magnetizarlo qué se acumula como energía por unidad de volumen en el material; ésta se recupera luegó al desmagnetizarlo. La parte que no se re cupera hace parte del"bucle de histéresis. 26. Falso. Esa expresión es válida en materiales lineales, en los que se cumple (3.8); en materiales ferromagnéticos debe usarse (6.13), que es más general. 27. Cierto. En este casó el material es univaluado, ya que es lineal, y las pér didas por histéresis son típicas de los materiales multivaluados. 28. Falso. El área encerrada por el bucle de histéresis, wn = j> H • dB, es la cantidad de trabajo por unidad de volumen que se disipa, en cada ciclo, den tro del material. Este trabajó se convierte en calor en el proceso de reorien tar los dominios magnéticos del material, que tienden a conservar la orienta ción adquirida. 29. Cierto. El área encerrada por el bucle es la energía disipada en el mate rial, en cada ciclo y por unidad de volumen, como consecuencia de la histé resis. El producto VSf representa, entonces, la potencia disipada, y al multi plicarlo por t se encuentra la energía total disipada durante ese tiempo. 30. Falso; Cuando H crece, el área del bucle de histéresis incrementa y tien de a un límite que corresponde al área del bucle principal o bucle de satura ción del material. ■■ '..ó.i:’! ./..I.....-.,..::..,,.; L —. 31. Falso. La energía cinética adquirida por el clavo proviene de la energía potencial magnética acumulada en el campo. 32. Cierto. La generación de calor, por efecto de la histéresis, és utilizada pata fundir el hierro en los hornos de inducción; sin embargo, esos materia les interesan al ingeniero por múltiples razones, como su uso en imanes permanentes, y la habilidad que tienen para conducir el flujo magnético y de generar intensos valores de la inducción magnética.
Campó électrostatiGo, Fuerza eléctrica. Polarizaciónde la materia. Capacitores En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios materiales descargados, lineales, homogéneos, isotrópicos, de parámetros £ y p, y condiciones estáticas.
7¿0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Atomo gramo. El átomo gramo de una susta.ncia es un conjunto de sus átomos cuya masa total, medida en gramos, és numéricamente igual al peso atómico de la sustancia. -v ■■■■ 2. Número de Avogadró. El número de Avogadro es el número de átomos que hay en el átomo gramo de una sustancia; es el mismo para todos los ele mentos y su valor es igual, aproximadamente, a 6,025 x 1023. , 3. Condiciones electrostáticas. En condiciones electrostáticas no hay depen dencia del tiempo y las corrientes eléctricas macroscópicas son 0. Estas con diciones se dan, por ejemplo, en un conductor aislado, al que no puede en trar o salir carga, cuando no está sometido a fuerzas eléctromotrices varia bles en el tiempo (véase figura 7.1). •; 4. Propiedades de un conductor en coñdiciónés electrostáticas. En el artículo 5.0.6 se informaron algunas propiedades de los conductores lineales, homogéneos e isotrópicos, de conductividad gvy permitividad e. Si las condi ciones son electrostáticas aquéllos tienen propiedades adicionales (véase figura 7.1), que muestran su importancia cuando las ecuaciones de Maxwell se usan para calcular el campo electrostático; son las siguientes: a. La densidad volumétrica de carga libre, p, es 0 dentro del conductor.
2 2 2 / Teoría electromagnética
Figura 7.1 Conductor electrostático. En condicio nes electrostáticas no hay corrientes macroscópi cas libres, y dentro de los conductores no hay campo eléctrico. En consecuencia, en el interior de los conductores, E, D, P y p son nulos, y & uni forme; la superficie del conductor es equipoten cial, allí reside la carga libre y las líneas de fuerza de Eson perpendiculares a aquélla.
b. El campo eléctrico y, en consecuencia, E, D y P son nulos dentro del con ductor. c. El conductor es equipotencial. d. Si el conductor está cargado, la carga reside en sus interfaces como una distribución superficial de carga libre, cr. e. La superficie del conductor es equipotencial. f. La componente de E tangencial a la interfaz del conductor es 0. g. Si el conductor está inmerso en un medio dieléctrico, de permitividad £, en éste la componente de E normal a la interfaz del conductor vale ... ,
=^
.
y
..
.
(7.1)
5. Fuerza eléctrica sobre un conductor a partir de la ley de Lorentz. La fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre un conductor aislado y rodeado por un medio dieléctrico, de permitividad £, calculada a partir de la ley de Lorentz, tomando en cuenta que la carga de un conductor se encuentra dis tribuida en la superficie, es
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 2 3
6. Energía potencial del campo electrostático. En el artículo 6.0.7 se inclu yeron fórmulas para calcular, en función de E y D, el trabajo realizado en una región, de volumen V, para establecer el campo eléctrico y polarizar la materia existente allí; y en el 6.0.8, cuando los dieléctricos son univaluados y lineales, de permitividad £, se presentaron lás fórmulas de la energía poten cial eléctrica acumulada en la región. A partir de esas expresiones, y exten diendo la integral a todo el espacio, se halla la energía potencial eléctrica asociada a un sistema finito de cargas inmerso en un dieléctrico lineal, en función de la distribución de éstas y del potencial eléctrico con respecto al infinito que producen, con.
donde V y 5 incluyen todos los volúmenes y superficies cargados existentes en el espacio, y el potencial eléctrico,
donde
-ÍS'-l ¿ ¡=]
O-5)
donde Q¡ y &¡ son la carga y el potencial eléctrico con respecto al infinito del conductor i. 9. Fuerza eléctrica sobre un conductor a p artir de la energía potencial. Si en un sistema electrostático, formado por N conductores que están inmersos
224 / Teoría electromagnética
Figura 7.2 Fuerza eléctrica sobre un conductor. Un sistema electrostático está formado por N conductores inmersos en dieléctricos lineales, en donde el conductor i tiene carga Q¡ y potencial con respecto al infinito V¡. Al conductor k$e Je-da'un pequeño desplazamiento vir tual, ds, el cual modifica la energía del sistema y puede cambiar en los conductores, según las restricciones que cada uno tenga, la carga y el potencial.
en diéléctricos lineales, se considera la energía potencial como una función escalar de los parámetros del sistema, puede calcularse la fuerza eléctrica que actúa sobre uno de los conductores al usar e\ principio de la conservación de la energía y el' método del trabajo virtual, el cual emplea desplazamientos infinitesimales de carácter virtual o ficticio (véase figura 7.2). Cuando los conductores del sistema electrostático están aislados, durante el desplaza miento virtual de uno de aquéllos las cargas de todos se mantienen constan tes, pero el potencial eléctrico no, y la fuerza eléctrica que actúa sobre el que sufre ese desplazamiento se calcula con
f =-(vc,.)a
<7-6>
donde él subíndice Q indica que, durante el desplazamiento virtual del cuer po, la carga de todos los conductores se mantiene constante. Si los conductores del sistema están conectados a baterías, durante el despla zamiento virtual de uno de aquéllos él potencial de todos se mantiene cons-
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
225
de momento p, en un punto arbitrario del espacio, definido por su vector posición r.
tánte pero la carga no, y la fuerza eléctrica que actúa sobre el que sufre ese desplazamiento se calcula con :
(7.7):
donde el subíndice V informa que, durante el desplazamiento virtual del cuerpo, el potencial de todos los conductores se mantiene constante. 10. Potencial e intensidad del campo eléctrico de una cargá puntual. El potencial eléctrico con respecto al infinito y la intensidad del campo eléctri co en un punto del espacio, debidos a una carga puntual, q, rodeada por un dieléctrico de permitividad s, y donde r es la distancia a la carga, son 0 =
Aner
y E = ir
Aner~
(7-8)
11. Potencial e intensidad del campo eléctrico en la superficie de una es fera conductora. El potencial eléctrico con respecto al infinito, y la intensi dad del campo eléctrico en la superficie de una esfera conductora, de radio R y carga Q, rodeada por un medio dieléctrico de permitividad e, valen O Q 0 =— ~ — y E =i AneR AneR2
(7.9)
12. Diferencia de- potencial ;eléctrico entre dos puntos. La diferencia de. potencial eléctrico entre dos puntos del espacio, A y B, está dada por Gab ^ V b - ^
a
= -¡ B A E »ds
(7.10)
y es independiente de la trayectoria seguida para integrar entre A y B; por tanto, es una m agnitud física.
2 2 6 / Teoría electromagnética
Figura 7.4 Fuerza y momento del campo sobre un dipolo eléctrico. La posición de la carga
-q, con respecto al origen O, es r, y de +q es r + dr. El dipolo está inmerso en un campo eléctrico de intensidad E(r), la cual cambia, en el dr, en la cantidad dE = dr »VE = [dr •v)E . La fuerza sobre las cargas se calcula con la ley de Lorentz, y luego se toma el límite.
13; Potencial e intensidad del campo eléctrico de un dipolo eléctrico pun tual. El potencial con. respecto al infinito y la intensidad del campo en un punto del espació, debidos a un dipolo eléctrico puntual, de momento p, rodeado por- un -dieléctrico-de -permitividad y donde r es el vector de posi ción con respecto al punto donde está el dipolo (véase figura 7.3), son 3 ( p • r )r
4n e r
~P
(7.11)
14. Fuerza y momento del campó eléctrico sobre un dipolo eléctrico pun tual. La fuerza y el momento con respecto a un punto O, que el campo eléc trico ejerce sobre un dipolo eléctrico puntual (véase figura: 7.4), son F = (p • V)jE y M0 = r x F + p x E
(7.12)
donde r es el vector de posición del dipolo con respecto a O. Cuando la fuerza que obra sobre el dipolo es 0, lo que ocurre cuando E es uniforme, el campo desarrolla sobre el dipolo un par, cuyo momento es M = pxE
(7.13)
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
(a)
(b)
/ 227
(c)
Figura 7.5 Tipos de equilibrio. En la cima de la colina— ver (a)— la esfera está en equilibrio inestable; en (b), sobre una superficie horizontal, el equilibrio es indiferente; en (c), la esfera está en la sima del valle y su equilibrio es estable.
15. Energía potencial dé ún dipolo eléctrico puntual colocado en un cam po eléctrico. Un dipolo eléctrico puntual, colocado en un campo eléctrico, tiene uña energía potencial asociada, dada por
16. Sistemas en equilibrio. Un sistema, formado por partículas o cuerpos, se encuentra en equilibrio cuando la suma de las fuerzas externas que obran sobre aquél y la suma de sus momentos con respecto a cualquier punto son 0 ; es decir, simultáneamente se Cumplen en cualquier punto O F = f JF¡ = 0 .y M o = X r ¡x F i = 0 , ; i=l i=l ,
(7.15)
donde íy es una de las N fuerzas externas que actúan sobre el sistema, y r¡ el vector de posición de aquélla con respecto al punto arbitrario O. El equili brio del sistema puede ser estable, inestable o indiferente. En el primer casó, la energía potencial del sistema es mínima y: éste regresa a la posición de equilibrio cuando se le separa ligeramente de allí; en el segundo, la energía potencial del sistema es máxima y éste no retorna a la posición de equilibrio cuando se le separa ligeramente; en el último, el sistema se mantiene en la posición a la que se le lleva cuando se le separa ligeramente de la de equili brio (véase figura 7.5). Los pequeños desplazamientos de las cargas ligadas, en los materiales dieléc tricos, debidos a la influencia de un campo eléctrico externo, son responsa bles de la polarización del material y de la aparición en éste de distribucio
2 2 8 / Teoría electromagnética
nes superficiales y volumétricas de carga de polarización, las cuales, a su vez, son fuentes del campo eléctrico. Conviene subrayar, además, que la división estricta entre materiales conductores o dieléctricos es ideal, puesto que todos los materiales, en mayor o menor grado —y ello se refleja en las respectivas conductividades-—presentan efectos de polarización y de conducción. 17. Dieléctricos. Sé recomienda repasar los artículos 2.0.48 y 2.0.49 y 2.0.50, donde se definieron las cargas libres, las ligadas y las de polarización, y los materiales conductores y dieléctricos de acuerdo con la existencia de las 'p rim eras.','18. Cargas de polarización. Bajo la influencia de un campo eléctrico exter no, un dieléctrico se polariza y aparecen en éste distribuciones superficiales y volumétricas de carga de polarización, las cuales están dadas por pp = - V P y ( 7 p =i„*P
(7.16)
y son, a su vez, fuentes del campo eléctrico; en (7.16) el versor in emerge del dieléctrico. 19. Intensidad del campo eléctrico de un dieléctrico polarizado. Si un di eléctrico está polarizado, no tiene cargas libres y se caracteriza por una pola rización, P, que depende de la posición, la cual induce distribuciones super ficiales y volumétricas de carga de polarización, dadas por (7.16). Entonces la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio, producida por ese tipo de carga, es r E(r)=. 47 T £ „
J v'
r p'dV' + O J
(7-17)
S’
donde r y r ' son los vectores de posición con respecto a un origen arbitrario, O, respectivamente, del punto donde se calcula E y del elemento de integra ción del dieléctrico (véase figura 7.6). • . 20. Ecuaciones de la intensidad, dé la densidad dél flujo y del potencial eléctricos. Cuando las condiciones son estáticas en dieléctricos lineales* ho mogéneos'é isotrópicos, las ecuaciones de Maxwell, en formas integral y pun tual, se reducen a §D»dA = Q y V • D = 0 • ds = 0 y V.x£ = 0
(7.18) -
(7.19)
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
229
Figura 7.6 E de un dieléctrico polarizado. Un dieléctrico polarizado tiene cargas superficiales y volumétricas de polarización, a'p y p'p, las cuales producen un campo eléctrico cuya intensi dad puede hallarse al integrar los aportes de los diferenciales de carga; cr'pdA'y p'pdV'. Con respecto a un origen arbitrario de coordenadas, O, r y r ’ son los vectores de posición, respec tivamente, del plinto de observación y del elemento diferencial de carga.
donde p se hizo igual a y E es ■
0
porque la región es dieléctrica; la relación entre D
D -sE
■
. . (7.20)
la definición del potencial eléctrico es E = -V
(7.21)
cial eléctricos son V5<2>= 0
(7.22)
V2¿? = 0
•;
(7.23)
21. Intensidad del campo eléctrico debido a cargas estáticas. La intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio, debida a un conjunto estático de cuerpos que tienen cargas libre y de polarización, es r)-
4nen
(r - r') / Jir, r— j t p . d v +
( r - r ) / 1A, f -----jfc rt dA + r- r '
(1.24)
2 3 0 / Teoría electromagnética
cuya intensidad puede calcularse al Integrar sobre las fuentes. En la figura, r y r' son los vectores de posición del punto de observación y del elemento de Integración, con respecto al origen O.
donde r y r' son los vectores de posición con respecto a un origen arbitrario, O, respectivamente, del plinto donde se calcula E y del elemento de integra ción del cuerpo (véase figura 7.7). 22. Principio de superposición. El efecto producido por un conjunto de causas cuando áctúáñTÍmurtaneáme_nte sobre_un sistema cualquiera, es igual a la combinación lineal de los efectos que las causas producen sobre el siste ma al actuar por separado. El principio se cumple en sistemas donde la rela ción entre la causa y el efecto es lineal, y permite descomponer un sistema complejo, en el cual intervienen muchas causas, en un conjunto de sistemas simples, donde cada causa obra por separado (véase figura 7.8). 23. Esfera conductora, descargada, inmersa en campo eléctrico uniforme. Una esfera conductora, descargada y aislada, de radio a, se coloca en un macizo dieléctrico infinito, de permitividad e, en el cual había un campo eléctrico uniforme, de intensidad E 0 (véase figura 7.9). Después de elegir un sistema de coordenadas esféricas, de origen en él centro de la esfera y cuyo eje Z coincide con la dirección de E0, resolver la ecuación de Laplace para el
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
231
Figura 7.8 Principio de superposición. Una causa c, produce un efecto eh que le es propor cional en un sistema lineal. Cuando las causas c,, c2, ... cN actúan simultáneamente sobre el mismo sistema, el efecto total producido es ja combinación de los efectos debidos a las dife rentes causas cuando obran por separado. :
potencial escalar eléctrico y usar las condiciones de frontera respectivas, sé encuentra
*
" £
iz + ~ ( ¿ r2 cos0 + igsend) , para r > a 0 , p arar
(7.25)
24. Esfera dieléctrica inmersa en un campo eléctrico uniforme* Una esfera dieléctrica, de radio a y permitividad e2, se coloca en un macizo dieléctrico infinito, de permitividad £,, en el cual había un campo eléctrico uniforme, de intensidad E0 (véase figura 7.10). Después de escoger un sistema de coordénadas esféricas, de origen en el centro de la esfera y cuyo eje Z coincide con la dirección de Eó, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las condiciones de frontera respectivas, resulta
2 3 2 / Teoría electromagnética
Figura 7.9 Esfera conductora en campo eléctrico uniforme. Ai insertar la esfera en el campo, éste se distorsiona; lejos de la esfera el campo sigue siendo uniforme, pero en las cercanías de aquélla las líneas de fuerza de E inciden normalmente sobre la superficie e inducen cargas superficiales allí, por lo cual la esfera se comporta como un dipolo eléctrico. Se adoptan las coordenadas esféricas, el origen es el centro de la esfera y el eje Zcoincide con la dirección y sentido de E0.
D
= En
1+ 2
—p Y 2e, + e2
cosd - L
1-
f . C2 e - eC1 ^ 2f
+ e2
sen 9 -, para r > a
E —= e2
(i cosd - L sené>) = i —£l^ — para r < a ... : . -. ’ 1 2e, + e2 K ....
2e, + e2 v
.■
;
(7.26)
Con base en (7.26) pueden estudiarse diversos casos particulares e, incluso, casos extremos, como una esfera vacía o una esfera en el vacío. 25. Esfera uniformemente polarizada. LJna esfera, de radio a, está inmersa en el vacío y uniformemente polarizada, con una polarización PQ(véase figu ra 7.11). Después de escoger un sistema de coordenadas esféricas, de origen en el centro de la esfera y cuyo eje Z coincide con la dirección de P0, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las condicio nes de^Frontera respectivas, resulta --
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
Figura 7.10
/ 233
E s f e r a d i e l é c t r i c a e n c a m p o e l é c t r i c o u n if o rm e . L a e s f e r a d i e l é c t r i c a d is t o r s io n a
e l c a m p o e l é c t r i c o , in ic ia lm e n t e u n if o rm e , e n s u s c e r c a n í a s , p e r o le jo s , a q u é l n o c a m b ia . L a s l í n e a s d é f u e r z a d e E in c id e n s o b r e la e s f e r a d e m a n e r a q u e la c o m p o n e n t e t a n g e n c ia l s e a c o n t in u a ; e n e| in te rio r s o n p a r a l e la s a
E0. A
la r e g ió n e s f é r i c a s e le a s i g n a e l s u b ín d ic e 2 , y aj
m a c i z o in fin ito él 1; e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s e l c e n t r o d e la e s f e r a , y e l e je Z c o in c id e c o n la d i r e c c i ó n y s e n t id o d e
E0.
~~ ^ a e 0 3£0r
cos0 + iflsenfl), para r> a (7.27)
■E £o
(i eosG- L sen 0 ) = -1 para r < a 3£„W J 3e0
En (7.27) se observa que E tiene un efecto despolarizante dentro de la esfera, ya que su sentido es opuesto a los de P y D. 26. Factor de despolarización. Cuando un dieléctrico tiene una polarización espontánea y uniforme, P, dentro de aquél la densidad volumétrica de carga de polarización, Pp, es 0 , y en la superficie se induce una densidad superficial de carga de polarización, ap, que, a su vez, produce un campo eléctrico des polarizante cuya E es opuesta a P. Se define el factor de despolarizacióri, kei, en un punto interior del dieléctrico, con respecto a una dirección arbitraria, i¡, de un sistema de coordenadas, mediante
234 / Teoría electromagnética
Fig u ra 7.11 E l e c t r e t o e s f é r i c o d e p o l a r i z a c i ó n u n if o r m e , P0, in m e r s o e n e l v a c í o . E n la s u p e r f ic ie e s f é r i c a s e in d u c e n c a r g a s d e p o l a r i z a c i ó n ,
ap,
y la e s f e r a s e c o m p o r t a c o m o u n d ip o lo
e l é c t r i c o . E l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s e l c e n t r o d e la e s f e r a y . e l e j e Z c o i n c i d e C o n l a d i r e c c i ó n y s e n t id o d e
E, = -
P0.
(7.28)
y
ceJ
donde kei es un número positivo. La suma de los factores de despolarización con respecto a tres ejes mutuamente ortogonales, en cualquier punto interior de un cuerpo polarizado uniforme y espontáneamente, es igual a la unidad. 27. Coeficientes de capacitancia y de inducción. Si se tiene un sistema de N conductores, en condiciones estáticas, inmersos en un dieléctrico lineal, ho mogéneo e isotrópico,. de permitividad £, y en el conductor j la carga y el potencial con respecto al infinito son y (véase figura 7.12), entonces la carga en el conductor i puede expresarse como una combinación lineal de los potenciales de los N conductores:
&=
f-i
para ¿= 1, 2,... N
(7.29)
donde los términos c„ y c¡j son, respectivamente, los coeficientes de capacitancia y de inducción eléctricos; estos coeficientes cumplen que c9 = c y dependen, exclusivamente, dé la geometría del sistema y de la perm itividad del dieléc trico............... ......... ......... ..................~~ r'~:_... ..-...— •
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
Figura 7.12
P o t e n c ia l d e
N co n d u cto re s
ca rg a d o s. E n
t ie n e n W c o n d u c t o r e s c a r g a d o s , t a le s q u e e n e l
i la
/ 235
u n d ie lé c t r ic o , d e p e rm itiv id a d e, s e
ca rg a e s
Q¡,
y e l p o t e n c ia l, c o n r e s p e c t o a l
in fin ito , e s cP,-. E n c u a lq u ie r p u n to d e l d ie lé c t r ic o , in c lu s o e n la s u p e r f ic ie d e lo s c o n d u c t o r e s , e l p o t e n c ia l, ^ ( r ) , e s u n a c o m b in a c ió n lin e a l d e lo s p o t e n c ia le s p ro d u c id o s p o r c a d a c o n d u c t o r .
28. Coéficientes de potencial. Si se invierte el sistema de N ecuaciones lineales definido por (7.29), para expresar los potenciales de cada conductor en función de las cargas respectivas, se obtiene • 'V A --iiP ijQ j >
*=1>2, - N •
(7.30) :
donde los p¡j se llaman coeficientes de potencial, estos coeficientes cumplen que p¡j = p~,. y dependen, exclusivamente, de la geometría del sistema y de la permitividad del dieléctrico. 29. Capacitores. Los capacitores son dispositivos diseñados para acumular carga y, en consecuencia, energía eléctrica; su principal característica es la capacitancia y se construyen con dos conductores, llamados armaduras, sepa rados por un dieléctrico, buscando confinar el campo eléctrico en el interior, para minimizar la influencia de cuerpos vecinos. Estrictamente, el capacitor
2 3 6 / Teoría electromagnética
Figura 7.13 Capacitor ideal. Se tiene un sistema de N conductores inmersos en un dieléctri co, de permitividad c e n tre aquéllos, los conductores 1 y 2 forman un capacitor, puesto que el voltaje entre éstos es independiente de la carga que pueden tener los demás conductores. Cuando el conductor / está cargado y los demás no, en el interior dé 2, E = 0, y por ello el potencial en 1 y 2 es el mismo. En consecuencia, p,. = p2. , para i > 3.
ideal está formado por dos conductores estáticos, separados por un dieléctri co lineal, que almacenan cargas constantes e iguales en magnitud y de signos opuestos, y entre -los cuales el voltaje e,s independiente de la presencia de otras cargas que pueden existir en las vecindades (véase figura 7.13). 30. Capacitancia. La magnitud de la carga, £>, almacenada en cada armadura del capacitor ideal es proporcional al voltaje entré éstas, V. La constante de proporcionalidad, . C =Q
v
■
.
.
.
..■ ■ ■ ■
(7.31) ■■
que en el SI se mide en faradios, define la capacitancia del capacitor y consti tuye una medida dé la habilidad del mismo para almacenar carga en sus ar maduras. Con los requisitos impuestos al capacitor ideal, su capacitancia de pende sólo de la geometría y del dieléctrico usado en éste, y no de la carga o el voltaje entre las armaduras. En la práctica, sin embargo, rio se dan todas las condiciones y la capacitancia definida por (7.31) resulta ser, a menudo, una
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/ 237
buena aproximación; es lo que ocurre en baja frecuencia, por ejemplo, cuando la carga varía periódica y lentamente con el tiempo. Si el dieléctrico rio es lineal, la capacitancia definida con (7.31) depende del voltaje éntre las armaduras. 31. Capacitancia absoluta. Cuando un conductor está aislado y se electrifica al llevarle carga desde algún punto alejado, se produce un campo eléctrico cuyas líneas de fuerza se inician en el conductor y se extienden hasta el infi nito, donde está localizada la carga neutralizadora. Si el conductor está in merso en un dieléctrico ideal, a ja razón entre la. carga almacenada en el conductor y el voltaje entre un punto de su superficie y el infinito se la llama capacitancia absoluta. 32. Capacitor de placas paralelas. Si un capacitor de placas paralelas está formado por dos armaduras, de área A, separadas por un dieléctrico, de permitividad £ y espesor d, conectadas a una batería que produce entre aqué llas un voltaje, V, y se desprecian los efectos de borde, entonces la magnitud de la E producida entre las armaduras, la carga y la densidad superficial de carga en cada una, y la capacitancia de¡ capacitor, están dadas, respectiva mente, por V E =— d
a
(7.32) .
eAV ~ T yG
C =— a
eV_ d
...
(7.33) (7-34)
.
33. Capacitor de placas paralelas con dos dieléctricos. Si un capacitor de placas paralelas está formado por dos armaduras, de área A, separadas.por dos dieléctricos, uno de permitividad £, y espesor b, y el otro de permitividad e2 y espesor d - b, conectadas a una batería que produce entre aquéllas un voltaje, V, y se desprecian los efectos de borde (véase figura 7-14), entonces las magnitudes de la E producida entre las armaduras —calculadas después de resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las condiciones de borde respectivas— y la capacitancia del dispositivo, son e V E, = ------- 7--------r, en el dieléctrico de permitividad £, d E , - b ( £ , - E 2)
1
2 3 8 / Teoría electromagnética
w - b -> w -d -í> -M
0 =v
0=0
Figura 7.14 Capacitor con dieléctrico heterogéneo. Un capacitor de placas paralelas, de á rea A,'tiene dos dieléctricos, de permitividades £, y e2, separados por una interfaz plana, y entre las placas el voltaje es V y |a distancia d.
dex-í»(e, - £ 2) ’ C=
en el dieléctrico de permitividad
£,g;d
£2
(7.35)
dex- b ( s x- e 2)
Esta última expresión es idéntica a la capacitancia equivalente de dos capaci tores de placas paralelas en serie, úno de permitividad y espesor b y el otro de permitividad £2 y espesor d -b . 34. Capacitor de armaduras coaxiales. Si se establece un voltaje, V, entre el conductor interior, dé radio a, y el conductor exterior, de radió b, dé un capacitor de armaduras coaxiales, rectas e infinitas, con dieléctrico de permi tividad £, entonces en un segmento del capacitor, de longitud l, las magnitu des de la densidad y la intensidad del campo eléctrico en un punto del di eléctrico —calculadas con base en la simetría del sistema y (7.18)— y la capa citancia, son D
a 2nrl
- _ 2nel O— ln(b/a)
a 2nsrl
(7.36)
(7.37)
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
t-T '
239
. T t / :■--z=> ce = V :L; cN = .
;■ (a)"-. ■ ;
(b)
.
v
Figura 7.15 Capacitores en serie o en paralelo. Capacitancia equivalente, Ce, dé W capacito res conectados a un voltaje, V; en paralelo, como se observa en (a), o en serie, como se ¡lustra en (b).
donde r es la distancia al eje del capacitor y ¡2 , 1a carga total en cualquiera de las armaduras del segmento del mismo. ' 35. Capacitor de armaduras concéntricas. Si se establece un voltaje. V, entre el conductor interior, de radio a, y el conductor exterior, de radio b, de un capacitor de armaduras, esféricas concéntricas, con dieléctrico de permitividad £. entonces las magnitudes de la densidad y, la intensidad del campo eléctricos en un punto del dieléctrico —calculadas con base en la simetría del sistema y (7.18)— y la capacitancia, son . ' O An e r
D
C
4neab b -a
(7.39)
donde r es la distancia al centro del capacitor y £Ha carga total en cualquiera de las armaduras. 36. Capacitores en serie o en paralelo. La capacitancia' equivalente, Ce) de. un sistema de N capacitores (véase figura 7.15), cuyas capacitancias son C¡, Cq, ... C,y> es
cuando están conectados en paralelo, y
2 4 0 / Teoría electromagnética
c.
_1_ c.
(7.41)
si están conectados en serie. 37. Energía potencial de un capacitor cargado. La energía potencial eléctrica de un capacitor, de capacitancia C, carga Q, y voltaje V, deducida de (7.5), es U. _= QV _ Q2 _ cy2
2c
(7.42)
7.1 Conductores y conductores aislados P r o p o s ic io n e s
1. En un átomo, en condiciones normales, el número de electrones y el de neutrones son diferentes. 2. E.1 átomo de un material conductor tiene completamente llena de electro nes su última órbita. 3. Los electrones que libera fácilmente ün átomo están más cerca del núcleo; 4. El número de Avogadro de una sustancia gaseosa no es igual al número de moléculas que hay en cada litro de ésta. 5. No hay campo eléctrico dentro de un conductor aislado. 6 . E no puede ser 0 en la vecindad de cargas eléctricas. 7 . D es 0 dentro de un conductor aislado. 8 . Si una esfera metálica, descargada, se cuelga de un hilo aislante en medio de un campo eléctrico, la E en el interior de la esfera es igual a la externa.
9. El potencial eléctrico es nulo dentro de un conductor aislado. 10. En todo conductor, aislado y cargado, la carga eléctrica está uniforme mente distribuida en la superficie. 11. Las líneas de fuerza de E no pueden cortarse entre sí en puntos de la superficie de un conductor aislado. .., ... _ 12. Las líneas de fuerza de la D creada por un conductor, cargado y aislado, son cerradas.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/ 241
13. En la interfaz de un conductor aislado y un dieléctrico, de permitividad e, la componente tangencial de D es 0. 14. Si una esfera conductora y aislada se pone en un campo eléctrico, las líneas de fuerza de É son tangenciales a la superficie de aquélla. 15. La superficie de un conductor aislado que está sometido a la influencia de un campo eléctrico, de intensidad E, no es isóbara. 16. Un conductor aislado sólo puede tener carga neta negativa. 17. En la superficie de un conductor aislado, cuya Carga superficial es a, y que está inmerso en el vacío, la magnitud de £ es ct/£o, y su dirección es nor mal a aquélla. 18. Si el potencial eléctrico de un conductor aislado es 0, su carga neta tam bién es 0 . 19. Si un conductor aislado está cargado, su potencial con respecto al infinito puede ser 0 . 20. Si se sabe que la carga neta del planeta Tierra es distinta de 0, es inacep table asignar a la tierra el potencial 0 . 21. Si el potencial eléctrico de una persona parada sobre una silla aislada se eleva hasta 10.000 [V] con respecto a la tierra, la persona se electrocuta. 22. El potencial eléctrico de un conductor, aislado y cargado positivamente, no tiene que ser positivo. 23. Es posible verificar si una varilla aislada está cargada eléctricamente. 24. Si una persona parada en un banquillo aislado toca un conductor, carga do y aislado, éste se descarga completamente. 25. Si una varilla de vidrio, cargada, se acerca a un extremo de una metálica, descargada, los electrones fluyen indefinidamente hacia ese extremo. 26. Si dos esferas metálicas, descargadas, están montadas en soportes aisla dos y conectadas entre sí con un hilo metálico, al acercar un conductor car gado a una de las esferas y cortar luego la conexión entre éstas, ambas que dan cargadas. 27. Dos esferas conductoras, del mismo material, de radios iguales a 2 [m] y 1 [m], la menor descargada y la mayor con una carga de 3 [C], están muy separadas. Si se ponen en contacto mediante un hilo conductor, muy delga do, la menor adquiere una carga dé 1 [C]. 28. Si un conductor aislado y hueco tiene una carga neta, Qh y en su cavidad interior se coloca una carga puntual, Qj>, la carga total que se acumula en la superficie exterior del conductor es igual a Qj.
2 4 2 / Teoría electromagnética
29. Si una jaula de Faradayjdeñmda como una gran esfera metálica y aislada, que puede cargarse con un generador electrostático poderoso) tiene 2 [m] de radio, un espesor de 1 x 10 _3[m], y en la superficie el potencial con respecto al infinito es de un millón de voltios, entonces la magnitud de E en un punto situado a 1 [m] del centro de la jaula es de 2 x 106 [V/m]. 30. Ün cascarón esférico, conductor y aislado, está cargado eléctricamente. Si un objeto metálico tiene una carga eléctrica, dé igual magnitud y signo opuesto a la del cascarón, y sé coloca en contacto con la superficie interior de éste, el cascarón queda descargado. .. ;..r :;v 31. Cuando una concha esférica, conductora, descargada y aislada está some tida a un campo eléctrico externo, la a que aparece en la superficie interior es igual y de signo contrario a la cr que aparece en la superficie exterior. 32. Si en la cavidad interior de una concha conductora, descargada y aislada, se colocan cargas puntuales qu q2, ... qN, en la superficie exterior de la concha la carga neta inducida es q, + q2 + ... qN. 33. Si en la cavidad interior de una concha conductora, descargada y aislada, se colocan cargas puntuales qx, q2, ... qN, en las superficies interna y externa de la concha se inducen cr iguales en valor absoluto. 34. Una esferá tiene una carga total, y se coloca en la cavidad de un con ductor hueco, descargado y aislado, sin tocar las paredes. Si la superficie exterior del conductor se conecta a tierra y luego se desconecta, en ausencia de otras fuentes del campo eléctrico la carga neta sobre esa superficie és 0 . 35. Una esfera tiene una carga total, Q y se coloca en la cavidad de un con ductor hueco, descargado y aislado, sin tocar las paredes. Si la superficie exterior del conductor se conecta a tierra, luego se desconecta y la esfera interior se retira de la cavidad, en ausencia de otras fuentes del campo eléc trico la carga neta sobre la superficie exterior del conductor es 0 . 36. Si dos conductores aislados tienen cargas iguales, en ausencia de otros cuerpos cargados el voltaje entre aquéllos es 0 . 37. Para que una esfera metálica, aislada, de radió a y en el vacío, adquiera un potencial V0 con respecto al infinito, se necesita comunicarle una carga de 4neoV0: 38. Un conductor cargado atrae a un conductor descargado. 39. La fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre un conductor descargado es n u la ........................ ...........r~...:......-..................................... .... ....... ..... 40. Un conductor, aislado y cargado, tiene energía potencial electrostática.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
243
41. La energía electrostática de un conductor, aislado y cargado, es positiva. 42. La energía electrostática de N conductores; aislados y cargados, es c, 43. La energía electrostática de un conductor, aislado y cargado, es igual a su energía cinética interna. S o lu c io n e s
1. Cierto. Los átomos son neutros, en condiciones normales, y tienen tantos electrones como protones; esa cantidad define el número atómico del átomo. El número de protones usualmente es distinto al de neutrones, y la suma define el número de masa del átomo. El átomo de hidrógeno, por ejemplo, tiene un electrón y no tiene neutrones; y hay elementos que presentan isóto pos, los cuales tienen el mismo número atómico y diferente número de neu trones.,. ; 2. Falso. Los materiales conductores son los que tienen cargas eléctricas ca paces de moverse libremente y en los cuales la órbita exterior del átomo respectivo está incompleta; los electrones libres están asociados a esta órbita. 3. Falso. Sobre esos electrones la fuerza de ligadura es más intensa, y ésta los ata, firmemente, a la estructura atómica. 4. Cierto. En condiciones de presión y temperatura normales, el volumen que ocupa una sustancia gaseosa que tiene un número de moléculas igual al de Avogadro es, aproximadamente, igual a 22,4 litros. 5. Cierto. Si en el interior del conductor aislado existe un campo eléctrico, la E de éste somete los portadores de la carga a una fuerza, crea una corriente y los mueve hacia la superficie donde, a su vez, producen una E opuesta a la interior, que aumenta con el tiempo. Al terminar ese proceso, que ocurre en un lapso muy pequeño, dentro del conductor desaparece el campo eléctrico y las corrientes se anulan, y se establecen condiciones electrostáticas. 6.
Falso. Puede ser 0, si la vecindad se entiende en términos macroscópicos; por ejemplo, hay cargas en la superficie de un conductor cargado y aislado, pero J5 es 0 en el interior de éste. 7. Cierto. En el interior de ese conductor no hay campo eléctrico, y D es una de sus propiedades. 8 . Falso. La E inducida en el interior de la esfera es 0, porque ésta es con ductora y aislada; en efecto, el campo eléctrico obra sobre los electrones li
2 4 4 / Teoría electromagnética
bres de la esfera, los redistribuye, y carga la superficie de la misma hasta que se anula el campo eléctrico interno. 9. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En el interior de un con ductor aislado, el potencial eléctrico es uniforme y puede ser nulo si se toma ese interior como nivel de referencia; en caso contrario, no. 10. Falso. La carga eléctrica está distribuida, como una carga superficial cr, en las interfaces del conductor, pero aquélla no tiene que ser uniforme. Es lo que ocurre, por ejemplo, en un plano conductor conectado a tierra y frente . al cual se coloca una carga puntual. , 11. Cierto. De acuerdo con la definición de línea de fuerza —véase la propo sición 2 . 1 0 .2 0 —:una de éstas no puede cortarse con otra en algún punto; de hacerlo, en ese punto E tendría, simultáneamente, dos direcciones distintas. Conviene mencionar, sin embargo, que algunas líneas de fuerza parecen concurrir en puntos del campo eléctrico donde E es 0 , debido a que el vector cero tiene todas las direcciones, pero aquellos puntos no hacen parte de las líneas de fuerza. 12. Falso. Son abiertas; emergen de las cargas positivas y entran a las negativas. 13. Cierto. En el interior del conductor no hay campo eléctrico, la compo nente de E tangencial a toda interfaz es continua y en el dieléctrico existe, de acuerdo con la proposición, una relación lineal entre D y £. 14. Falso. Son normales a la superficie, porque la componente tangencial de E a la superficie de un conductor aislado es 0 . 15. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La tensión en un punto cualquiera de la superficie de un conductor aislado, definida como la fuerza por unidad de área, deducida de (7.2), esdF/dA = E '/ (2e). Como una superfi cie es isóbara cuando en todos sus puntos está sometida a igual tensión, la del conductor lo es cuando la magnitud de E es uniforme en aquélla; en caso contrario, no. 16. Falso. De acuerdo con el sentido que tenga la E utilizada para cargar el conductor, los electrones libres pueden entrar o salir de aquél; en el primer caso, la carga neta del conductor es negativa, en el segundo, positiva. 17. Cierto. E es normal a la superficie del conductor porque és 0 dentro de éste y su componente tangencial es continua; la magnitud se deduce de (2.20) y (5.1). 18. Falso. No necesariamente; el nivel de referencia para medir el potencial eléctrico se asigna arbitrariamente y puede elegirse, por ejemplo, en la su perficie del conductor. Sin embargo, la carga de un conductor aislado y su
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245
potencial eléctrico con respecto al infinito no pueden asignarse simultánea e independientemente; conocer uno de ellos permite determinar el otro. 19. Cierto. Si el conductor cargado es la única fuente del campo eléctrico, su potencial con respecto al infinito no puede ser Ó, ya que las líneas de fuerza de la E van de los mayores a los menores potenciales. Sin embargo, ése po tencial sí puede ser nulo cuándo el campo eléctrico tiene otra fuente distinta al conductor, con carga de signo opuesto a la de éste. r 20. Falso. La asignación del potencial eléctrico de referencia es arbitraria. 21. Falso. La electrocución se produce por el paso, a través del cuerpo, de una corriente eléctrica, y ésta no puede darse, en este caso, porque la perso na está aislada. ; • ./22. Cierto. Puede ser negativo, 0 o positivo, de acuerdo con el nivel de refe rencia elegido; sin embargo, cuando el nivel de referencia está en el infinito y la única fuente del campo eléctrico es el conductor cargado positivamente, el potencial en éste sí es positivo porque las líneas de fuerza de E, que seña lan en qué sentido disminuye el potencial eléctrico, emergen de lá superficie del conductor y terminan en el infinito. 23. Cierto. Se puede hacer al detectar los efectos eléctricos que produce; por ejemplo, con un electroscopio. 24. Falso. El conductor entrega parte de su carga a la persona, de manera que el potencial de ambos sea igual. 25. Falso. Por definición, la electrificación del vidrio es positiva y por ello atrae electrones; el flujo de éstos termina cuando la redistribución de la car ga eléctrica sobre la superficie de la varilla metálica logra anular el campo eléctrico en el interior. 26. Cierto. El conductor que se aproxima a una de las esferas induce en ésta una carga de signo opuesto y provoca una redistribución de la carga en ambas, hasta que el potencial eléctrico en las esferas se iguala; al cortar la conexión, las esferas quedan con cargas iguales en magnitud y de signos opuestos. 27. Cierto. Como-las esferas están muy separadas y el hilo es delgado, el potencial eléctrico en cada una con respecto al infinito puede calcularse con (7.9): Al poner en contacto las esferas, la carga de 3 [C] se redistribuye entre; ambas, en forma proporcional a los radios respectivos, para qüe los potencia les se igualen; en ese momento, la mayor queda con una carga de 2 [C] y la menor con una de 1 [C]. 28. Falso. Es igual a la suma de Q,i y y en la superficie interior del conduc tor se induce una carga total igual a -q2. En efecto, como D es 0 en un con
2 4 6 / Teoría electromagnética
ductor aislado y la carga reside en su superficie, la carga encerrada por cual quier superficie cerrada ubicada dentro del conductor, según la ley de.Co.ulomb-Gauss, es 0; por tanto, al poner la carga puntual en la cavidad del con ductor, de la superficie interior de éste se desplaza una carga igual a q2 hacia la superficie exterior. 29. Falso. El punto en cuestión está dentro de la jaula y allí la magnitud de E es 0 ; en los puntos exteriores, la magnitud decrece con el cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 30. Cierto. Y el objeto también; en efecto, al poner éste en contacto con la superficie interior del cascarón, el potencial en ambos cuerpos se hace igual, aquél se descarga y su carga eléctrica pasa al cascarón donde neutraliza la de éste. . '-. 31. Falso. En la superficie interior de la concha la carga eléctrica neta y a son 0 , porque no hay campo eléctrico en el interior de la concha; en la su perficie exterior la carga neta es 0 también, pero a depende de la magnitud de la E normal a aquélla. 32. Cierto. Como D es 0 dentro de un conductor aislado, la carga encerrada por cualquier superficie cerrada ubicada en el interior de aquél, según la ley de Coulomb-Gauss, es 0; por tanto, ál poner una carga total, +qí +...qN,en la cavidad del conductor, de la superficie interior de éste se desplaza una carga igual a la anterior hacia la superficie exterior. 33. Falso. En las superficies interna y externa de la concha, las cargas eléc tricas netas inducidas son iguales en magnitud y de signos opuestos —ver la proposición anterior— sin embargo, rio necesariamente las cr tienen magni tudes iguales en valor absoluto, porque éstas, en general, no sori uniformes y dependen de la intensidad del campo eléctrico. 34. Cierto. Al colocar la esfera en. la cavidad del conductor, de la superficie interior dé éste se desplaza una carga igual a £5 hacia la superficie exterior, y aquélla queda, en todo caso, con una carga neta igual a -Q. Cómo rio hay otros cuerpos cargados, la superficie exterior del conductor se descarga cuando se la conecta a tierra, para anular la diferencia de potencial eléctrico entre ésta y aquélla, y en la región externa al conductor el campo eléctrico se anula. Si hay otros cuerpos cargados en la región exterior, la superficie exte rior de la esfera no queda descargada porque esos cuerpos le inducen carga. 35. Falso. Es igual a -Q. En efecto, en ausencia de otras cargas, la superficie exterior del conductor se descarga al conectarla a tierra y la esfera cargada colocada en la cavidad de éste induce en la superficie interior una carga neta igual a -Q; al retirar la esfera de la cavidad, la carga acumulada en la super
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ficie interior del conductor se traslada, para satisfacer la ley de CoulombGauss, a la superficie exterior. 36. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si los conductores son geométricamente iguales, de la simetría del sistema se sigue qué éstos tienen el mismo potencial eléctrico con respecto al infinito y su voltaje es 0. Cuando las geometrías son distintas, hay voltaje; es lo que ocurre, por ejemplo, si los conductores son dos conchas esféricas concéntricas. 37. Falso. De (7.9) se deduce que la expresión correcta es 4m£0V0. 38. Cierto. El campo eléctrico producido por el conductor cargado polariza al otro, al obrar sobre los electrones de éste, y le induce una distribución superficial de carga cuya suma algebraica sigue siendo 0 ; la fuerza que el conductor cargado desarrolla sobre la carga repartida en la porción más cercana del otro es de atracción, y mayor que la ejercida sobre la zona más distante, que es de repulsión. 39. Falso. No es nula, puede calcularse con (7.2), y es atractiva. 40. Cierto. En su entorno 1hay un campo eléctrico y para establecer éste es necesario realizar un trabajo —ver (6 . 10 }— que se convierte íntegramente en energía potencial; dicha energía se calcula con (7.3). 41: Cierto. La energía se calcula con (6.10), cuyo integrando es una cantidad siempre positiva, y la integración se extiende a todo el espacio. 42. Falso. Esa expresión no tiene dimensiones de energía; la correcta es (7.4). 43. Falso. Nótese que la energía electrostática del conductor es 0, Cuando éste está descargado, mientras que la energía cinética interna, que es un con cepto microscópico asociado al movimiento de las partículas que forman los átomos y las moléculas, no lo es.
7.2 Cargas puntuales y distribuciones de carga P r o p o s ic io n e s
1. Las superficies equipotenciales de una carga eléctrica puntual son elipsoides. 2. La E de una carga puntual positiva emerge de ésta. 3. Si dos cargas puntuales están separadas por la distancia d y se sabe que la E generada por cada una es infinita en su misma posición, entonces la fuerza eléctrica que actúa sobre aquéllas es infinita también. 4. La magnitud de E puede ser infinita.
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5. Si la £ producida por dos cargas puntuales, de signos desconocidos y se paradas la distancia d, es 0 en un punto situado entre aquéllas y sobre la línea que las une, entonces las cargas tienen el mismo signo. 6 . La magnitud de la £ producida por un plano infinito, uniformemente cargado, es mayor cerca del plano.
7. Un alambre recto, infinito y con una densidad de carga A, produce en el vacío, a una distancia r, una £ de magnitud |£¡ = |A|/(2 rce0 r 2). 8 . La diferencia de potencial entre los puntos A y B, ubicados a las distancias rA y rB de un alambre recto e infinito que tiene una carga A y está en el vacío, ' es
9. £ es 0 en el interior de un globo de hule metalizado, de forma esférica, cargado eléctricamente y con la carga distribuida uniformemente en la su perficie. 10. Una esfera, de radio i?, cargada uniformemente en el volumen, con una carga total £5, produce en su exterior una £ de la form a£ - irk/r, donde k es una constante. 11. Si una esfera, de radio R, tiene uría densidad volumétrica de carga eléc trica que sólo depende de la distancia al centro, el valor máximo de la mag nitud de £, en la región exterior, se encuentra en la superficie de la esfera. 12. Dos esferas tienen iguales el radio y la carga eléctrica total; en uña, la carga está repartida uniformemente en el volumen, y en la otra, la densidad volumétrica sólo depende de la distancia al centro y es más intensa cerca de éste que de la superficie. La £ de la primera, en puntos externos, es menor que la de la segunda. 13. En el centro de una esfera, de radio R, que tiene una carga Q, unifor memente repartida en el volumen, el potencial eléctrico con respecto al infi nito es
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17. Si se coloca una carga eléctrica puntual en las vecindades de un conduc tor. cargado, la E que éste produce en un punto del espacio se altera. 18. Si una carga puntual se coloca en el centro de una esfera, que tiene una carga uniformemente repartida en el volumen, sobre aquélla actúa una fuer za infinita. ' 19. Si se tienen dos esferas cargadas, de radios R y 2R, cuyas densidades volumétricas de carga son iguales entre sí, la fuerza qué la segunda ejerce sobre una carga puntual, q, colocada en su superficie, es el doble de la que ejerce la primera en igual caso. 20. Una carga negativa, puntual, se acelera en el sentido en que disminuye el potencial eléctrico. 21. No se realiza un trabajo al llevar una carga puntual desde el infinito has ta el punto medio, M, entre dos cargas puntuales de iguales magnitudes y signos opuestos. 22. Si en una región del espacio, donde el potencial eléctrico es uniforme, se lanza una partícula, de carga q y masa m, la energía cinética de aquélla se mantiene uniforme. 23. Cuando una partícula, con carga positiva, pasa de un potencial mayor a uno menor, pierde energía cinética. 24. La energía potencial de una sola carga puntual es 0. 25. La energía potencial, en el vacío, de las cargas puntuales qx, q2 y q¡, es 1
? l? 2 U. = ■ Sne,0V ')2
|
? l? 3 #13
|
(?2?3 23
)
26. La expresión Ur = (l/2 )£ lqi
2 5 0 / Teoría electromagnética
S o lu c io n e s
1. Falso. Son esferas con centro en la carga, como se deduce de (7.8). 2. Cierto. En (7.8) se observa que E tiene el mismo sentido de ir, el cual, por definición, está dirigido hacia fuera. 3. Falso. Aunque en cualquier punto del espacio la JE se debe a ambas cargas, la fuerza sobre cada una proviene de la E de la otra; recuérdese quejas fuer zas sobre un objeto las ejercen los demás. 4. Cierto. En el ámbito macroscópico se aceptan idealizaciones: como las cargas puntuales; y en la posición de una de éstas, como se sigue de (7.8), E tiende a infinito. 5. Cierto. En tal caso, en el punto mencionado, los sentidos de las E produ cidas por las cargas son opuestos y la E resultante puede ser 0. 6. Falso. La E del plano cargado es uniforme; su magnitud, deducida de la ley de Coulomb-Gauss, es \e \ = jcr| / (2e). 7. Falso. Las dimensiones de la expresión son incorrectas. La E del alambre cargado, deducida de la ley de Coulomb-Gauss, es E 8.
(7.43)
' 2ne0r
Cierto. De (7.43) y (7.10) resulta P Mr A . r. --------- ----- -ln— r 27tenr 2ne0 rB
9. Cierto. Se demuestra al aplicar la ley de Coulomb-Gauss a una superficie esférica, concéntrica e interior al globo, y tomar en cuenta que la E creada por la distribución de carga, debido a la simetría, es radial y depende sólo de la distancia al centro del mismo. 10. Falso. La expresión correcta, calculada al usar la ley de Coulomb-Gauss, es E = i .- Q ' 4ner
(7.44)
donde se observa que la esfera se comporta en puntos exteriores como una carga puntual.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/ 251
11. Cierto. Se deduce de (7.44), aplicable en la región exterior ante la sime tría de la distribución de carga, ya que r toma en la superficie de la esfera el valor mínimo de R. 12. Falso. Cuando la distribución de carga en una esfera sólo depende de la distancia al centro, la E en puntos exteriores, sin importar cómo esté distri buida la carga, está dada por (7.44). 13. Cierto. La E en el interior de la esfera, hallada con la ley de CoulombGauss, es ' E =i
m = i. Qr 4ner2 AneR3
(7.45)
donde Q(r) es la carga total encerrada en una esfera de radio r. El potencial eléctrico en el interior de la esfera, se deduce de (7.45) y (7.10); es #=^ _ Í3 -4 V 8 neR{ R2)
■
:
donde la constante de integración se calculó con base en el valor del poten cial en la superficie de la esfera. La proposición sé verifica al anular r en la anterior ecuación. 14. Falso. Disminuye y tiende a 0; sé sigue de (7.45). 15. Cierto. Sean £7, R y V la carga, el radio y el potencial con respecto al in finito en la superficie de las gotas de agua; ese potencial, al estar muy sepa radas las gotas y aceptándolas como conductoras, está dado por (7.9). Las cargas y volúmenes de las gotas se suman para formar la gota resultante; en ésta, la carga, Q^, el radio, Rr, y el potencial eléctrico con respecto al infini to, VH, son :.Q*
2Q, Rr ={2)'/3R y VR
a* _ a 4 neRR 2(2)mneR
(2)V3V * 2 V
16. Falso. En el interior de la esfera, incluyendo la cavidad, el potencial eléc trico es uniforme, su valor con respecto al infinito es el mismo de la superfi cie y está dado por (7.9). 17. Cierto. La carga eléctrica puntual induce, en la superficie del conductor, redistribuciones de carga, y, por ello, la E que éste produce en un punto del espacio cambia. 18. Falso. La fuerza es 0 porque, de acuerdo con (7.45), en el centro de la esfera, E es nulo.
252 /
Teoría electromagnética
19. Cierto. La magnitud de la fuerza entre una esfera, de radio R, cargada en el volumen con una densidad uniforme, p, y una carga puntual, q, puesta en su superficie, es |F| = |gfí| = |^£)|/(4 :TCft!2)= |p 9 |fi!/(3 £),donde se usó (7.9); en consecuencia, al duplicar el radio de la esfera la fuerza sobre la carga se du' plica. ''■■■• 20. Falso. De acuerdo con (2.4) y (7.10), una carga negativa y puntual se acelera en sentido opuesto al de E, y el sentido positivo de E se dirige de potenciales mayores a menores. 21. Cierto. El trabajo efectuado contra la fuerza eléctrica para llevar una carga puntual desde el infinito hasta cualquier punto, P, en el campo, después de usar (2.4) y (7.10), y suponer en el infinito el nivel de referencia pára el po tencial, es W' = - J Fc • ds = -q J E»ds = q^
punto informado, M, el potencial con respecto al infinito de la pareja de cargas es 0 y, por tanto, también lo es el trabajo realizado para llevar la car ga puntual desde el infinito hasta allí. 22. Cierto. La energía total de la partícula, potencial más cinética, se conser va en el campo electrostático; por tanto, cuando la partícula pasa del punto A al B, se cumple m u2
,
,
m u2
q®A+ - j - = q®B+ - ¿ L-
.
(7.46)
Como el potencial es uniforme, también lo son la energía cinética y la rapi dez de la partícula. 23. Falso. De (7.46) se sigue que gana energía cinética. 24. Cierto. De (7.4) se deduce que la energía electrostática de una soiapartícula es 0 , ya que las demás, y por tanto el potencial de éstas sobre la prime ra, no existen; sin embargo, el resultado es infinito si se incluye la autoenergía de la partícula puntual, debido a la singularidad que ésta introduce en el campo eléctrico. 25. Falso. Se deduce de (7.4) que es U
—
_L _
47t£ 0 Vri2
|
|
^13
^23 ,
26. Cierto. Aunque la permitividad no aparece, está implícita en los poten ciales; además, esa ecuación supone que los dieléctricos son lineales.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia^ Capacitores / 25'3 ;
27. Cierto. La energía electrostática de una distribución de carga es igual al trabajo realizado contra la fuerza eléctrica para ensamblarla y puede calcu larse con (7.3); Esa ecuación se deduce, aplicando ideas de la teoría de la acción por contacto, a partir del campo eléctrico establecido en todo el espa cio, o, usando conceptos de la teoría de la acción a distancia, estudiando la forma como se ensambló la distribución de carga. 28. Falso. Cuando la energía potencial es negativa, la distribución está some tida a fuerzas internas que tienden a contraería; puede expandirse si la ener gía potencial es positiva. 29. Cierto. Coincide con (7.3), que puede deducirse por dos caminos, como se explicó en la proposición 7.2.27.
7.3 Dipolo eléctrico P r o p o s ic io n e s
1. Un arreglo de dos cargas puntuales, iguales y de signos opuestos, no es, estrictamente, un dipolo eléctrico puntual. 2. Las cargas de las partículas de un dipolo eléctrico puntual tienden, en el límite, a infinito. 3. El momento de dipolo eléctrico sólo se define para cargas iguales y de signos opuestos. 4. El momento de dipolo eléctrico de una distribución continua de carga no depende del punto con respecto al cual se calcula. 5. El potencial eléctrico de un dipolo eléctrico puntual es inversamente propor cional al cuadrado de la distancia entre el dipolo y el punto de observación. 6.
La JE de un dipolo eléctrico puntual es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia entre el dipolo y el punto de observación. 7. La componente radial de la E de un dipolo eléctrico puntual ubicado en el origen de coordenadas y dirigido en el sentido positivo del eje Z, en el sis tema de coordenadas esféricas, es Er - 2pcosdj{4neriY 8.
La fuerza del campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico puntual es F = 2(p»V)E.
9. La fuerza que un campo eléctrico no uniforme ejerce sobre un dipolo eléc trico puntual no es 0 .
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Teoría electromagnética
10. Un dipolo eléctrico puntual, orientado paralelamente a la E de un cam po eléctrico no uniforme, tiende a moverse hacia puntos donde la £ decrece. 11. El momento del par que un campo eléctrico ejerce sobre un dipolo eléc trico puntual es máximo cuando E y p son paralelos. 12. El momento del par que un campo eléctrico desarrolla sobre un dipolo eléctrico puntual tiende a orientarlo en la dirección de E. 13. Una barra aislante, de longitud pequeña, tiene una carga positiva en un extremo, una negativa en el otro y ambas son de igual magnitud. Cuando la barra se coloca en un campo eléctrico uniforme, cuya E es perpendicular a aquélla, el centroide de la misma se mueve perpendicularménte a £. : 14. Si el momento de un dipolo eléctrico puntual es paralelo y tiene él mis mo sentido de la E de un campo eléctrico uniforme que actúa sobre aquél, el dipolo está en equilibrio estable. 15. La energía potencial de Un dipolo eléctrico puntual, colocado en un campo eléctrico, es máxima cuando E y p son antiparalelos. 16. Una distribución volumétrica de carga, de densidad p, que sólo depende de la coordenada r de un sistema de coordenadas esféricas, tiene momento dipolar con respecto al origen de coordenadas. S o lu c io n e s
1. Cierto. Estrictamente, no. Coloquialmente, y atendiendo sólo al sentido gramatical, el arreglo propuesto puede llamarse dipolo eléctrico e, inclusive, si la distancia entre las cargas es pequeña, constituir una buena aproxima ción; sin embargo, la definición precisa del dipolo eléctrico puntual, y de su momento, se dio en el artículo 2.0.40,-é- incluye un límite en .el cual la mag nitud de la carga de las partículas tiende a infinito y la distancia entre éstas a . 0 , mientras el producto se mantiene finito. 2. Cierto. La definición del momento de dipólo eléctrico puntual —ver (2.18)— incluye un límite, en el cual la magnitud de la carga de las partículas tiende a infinito y la distancia entre éstas a 0 , mientras el producto se man tiene finito. 3. Falso. Los momentos multipolares eléctricos, y en particular el dipolar, son propiedades de las distribuciones de carga eléctrica; para una distribu ción continua de carga eléctrica, por ejemplo, el momento de dipolo eléctri co con respecto a un punto, Ó, se calcula con -- ~ ~ -
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 5 5
p , - \ r¿q
;
:
a« )
donde r 0 es el vector de posición dél elemento de integración con respecto al punto O. ¡ 4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Los momentos de dipolo eléctrico de una distribución de carga, con respecto a los puntos O y A, cal culados con (7.47), son pA = J rAdq =J^(rA0 + r0)dq = QrA0 + p0, donde rA0 es el vector que va de A a O, y Q. la carga neta de la distribución. En consecuencia, ese momento depende, en general, del punto con respecto al cual se calcula; sin embargo, es independiente cuando la carga neta de la distribución es 0 . 5. Cierto. Se confirma en (7.11). 6.
Falso. Se refuta la proposición al observar la segunda de las ecuaciones (7.11).
7. Cierto. La componente radial en el sistema de coordenadas esféricas, de la E dada por (7.11), cuando d es el ángulo entre los vectores p y r, es E = E »i = < 4 ner
3 [p o r)r
~P
. _ 2pcos6 4 ner3
8 . Falso. La expresión correcta, obtenida al llevar al límite la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre el par de cargas de signo opuesto e igual mag nitud que forman el dipolo, está dada por (7.12).
9. Cierto. Se deduce de (7.12) que la fuerza es 0 sólo cuando el campo eléc trico es uniforme."^ 1 10. Falso. Si ix es la dirección común del dipolo y de la E, entonces la fuerza que obra sobre el dipolo, obtenida de la primera de las ecuáciones (7.12), es F = ixpdE/dx. En consecuencia, el dipolo se mueve en el sentido en el cual E crece porque, en tal caso, la derivada de E con respecto a x es positiva. 11. Falso. Es máximo —ver (7.13)— cuando el ángulo entre E y p es de 90°. 12. Cierto. El momento del par obra sobre el dipolo, según (7.13) y la regla de la mano derecha, de manera que se reduzca el ángulo entre E y p\ el mo mento es nulo cuando ese ángulo es 0 y los vectores son paralelos. 13. Falso. El campo eléctrico desarrolla, sobre las cargas de los extremos de la varilla, fuerzas iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opues tos; sobre la varilla la fuerza neta es 0 y obra un torque que trata de colocarla en la dirección de £. En consecuencia, el centroide de la varilla se mantiene en reposo.
256 /
Teoría electromagnética
14. Cierto. El dipolo está en equilibrio porque, de acuerdo con (7.12) y (7.13), la fuerza y el momento que el campo eléctrico le ejerce son 0 ; además, ese equilibrio es estable, ya que la energía potencial —ver (7.14)— es mínima. 15. Cierto. El valor máximo de esa energía es pE, según (7.14), y este valor resulta cuando el ángulo entre E y p es de 180°. 16. Falso. Ese momento dipolar, deducido de (7.47), vale p = j f'pdV, donde r es el vector de posición del elemento de carga; la integral se anula debido a la simetría de la distribución de carga, puesto que dos puntos simétricos con respecto al origen tienen vectores de posición de magnitudes iguales y senti dos opuestos. ■; ■ ' ¡■v'
7.4 Dieléctricos P r o p o s ic io n e s
1. En un dieléctrico ideal hay electrones libres. 2. Dentro de un dieléctrico defectuoso puede haber carga libre. 3. El forro aislante de un conductor es un dieléctrico. 4. La polarizabilidad atómica es una constante que se relaciona con el mo mento de dipolo magnético del átomo. 5. Las unidades de la polarizabilidad atómica en el SI son [kg_1s4A2]. 6.
El momento de dipolo eléctrico de todos los átomos, en ausencia de cam pos externos, no es nulo, 7. Una molécula es polar cuándo tiene momento de dipolo eléctrico perma nente. 8 . La resistencia dieléctrica de un material es el máximo vajor del potencial eléctrico que éste puede soportar, sin que se produzca su ruptura eléctrica. 9. La resistencia dieléctrica de los gases es mayor que la de los sólidos. 10. Si la resistencia dieléctrica del aire vale 3 x 10" [V/m], una esfera conduc tora, de 5 [cm] de radio, no puede sostener una carga de 2 x 10-3 [C] en el aire, pues se produce una descarga. 11. Una varilla de vidrio, cargada, atrae pedacitos de polvo de corcho seco; éstos, después de tocar la varilla, quedan adheridos. 7 12. Los medios materiales influencian los resultados de los experimentos electrostáticos.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
257
13. La fuerza de Coulomb que obra sobre partículas cargadas disminuye por la presencia de un medio dieléctrico. 14. No hay campo eléctrico dentro de un dieléctrico ideal. 15. La constante dieléctrica de un conductor aislado puede considerarse infinita."' 16. En la polarización de un dieléctrico sólo influye el campo eléctrico ex terno y no el propio. 17. Los dieléctricos son atraídos por cuerpos cargados eléctricamente. 18. E es normal a la superficie de todo dieléctrico. 19. La E, en puntos externos a un dieléctrico polarizado, es E(r) =
471£„
iz L l
K
donde r y r'so n , respectivamente, los vectores de posición con respecto a un origen arbitrario, O, del punto donde se calcula E y del elemento de integra ción del dieléctrico, y dqp' es el diferencial de carga de polarización en ese elemento. 20. Las densidades superficial y volumétrica de carga de polarización en un ' dieléctrico pueden calcularse con cr^ = |p x¿n| y p p = |V xP¡. 21. Si la polarización de un dieléctrico es uniforme, en su. interior la intensi dad del campo eléctrico no es nula. 22. Si una barra cilindrica es coaxial con el eje X, se extiende desde x = 0 hasta x = l, el área de la sección recta es A y su polarización es P = ix(ax2+ b^j, donde a y b son constantes, entonces el valor de la carga de polarización interna es -al2A. 23. Si al aplicar un campo eléctrico a un dieléctrico se inducen en éste distri buciones superficiales y volumétricas de carga de polarización, la carga total de polarización del dieléctrico es distinta de 0 . 24. Si P es uniforme en un dieléctrico, de volumen V y superficie S, la carga total de polarización acumulada sobre esa superficie es 0 . 25. Si en la superficie de un dieléctrico polarizado se inducen cargas de po larización, que engendran un campo eléctrico despolarizante, éste no puede anular la E interior.
2 5 8 / Teoría electromagnética
26. Si en la superficie de un conductor aislado se inducen cargas libres que engendran un campo eléctrico despolarizante, éste no puede anular la E interior. 27. Dentro de un material ferroeléctrico, uniformemente polarizado, el po tencial escalar eléctrico es uniforme. S o lu c io n e s
1. Falso. Los electrones libres son típicos de los conductores; el dieléctrico ideal se caracteriza, precisamente, por no tenerlos y no conducir la corriente 'eléctrica.: ■’ 2. Cierto. Y puede conducir corriente eléctrica. Ante un campo eléctrico externo, e} dieléctrico defectuoso se polariza y conduce; tiene permitividad e y conductividad g. 3. Cierto. Se aproxima a un dieléctrico ideal. En efecto, un aislante es un material que se caracteriza por tener una conductividad muy baja, sus cargas libres son prácticamente inexistentes y conduce muy poco la corriente eléc trica; ésta es, precisamente, la cualidad determinante de un buen aislador eléctrico. Las conductividades del caucho duro, la parafina, la porcelana y la mica, por ejemplo, son del orden de 1 x lO- ’3 [S/m], mientras que la del co bre es del orden de 6 x 107 [S/m]. 4. Falso. Si se acepta como modelo que un átomo típico está formado por un núcleo positivo circundado por una nube esférica de electrones cuyo centro coincide con el del núcleo, entonces la carga neta y el momento de dipolo eléctrico del átomo son nulos. Al someter el átomo á un campo eléctrico, aquél tiende a mover su carga positiva en el sentido de :1a E, y la negativa en el sentido opuesto, ocasionando un ligero desplazamiento entre los centroi des de la nube electrónica y el núcleo positivo; en consecuencia, E induce un dipolo en el átomo, y la relación entre éstos, suponiendo que ae es la polarizabilidad atómica, es p=C('E
(7.48) .
5. Cierto. Las unidades de la polárizabilidad atómica pueden obtenerse en el S I—ver (7.48)— como la razón entre las unidades del momento de dipolo eléctrico, medido en [msA], y las de la intensidad del campo eléctrico, medi da en [mkgs~3A~‘]...........^.._:__ : .... ■__ _ 6 . Falso. Es nulo; los centroides de las distribuciones de carga, positiva del núcleo y negativa de la nube electrónica, coinciden sin la influencia de cam pos externos.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 5 9
7. Cierto. Las moléculas de algunos líquidos y gases, enlazadas iónicamente o hidrogenadas, debido a sus estructuras internas tienen momentos de dipo lo eléctrico permanentes y pueden rotar ante la influencia de un campo eléc trico externo; esas moléculas se llaman poZarw, y un ejemplo de ellas es la molécula del agua. 8. Falso. En el artículo 2.0.45 se definió la resistencia dieléctrica de un mate rial como el máximo valor de la magnitud de E que éste puede soportar sin que se produzca su ruptura eléctrica. 9. Falso. Se refuta la proposición con unos contraejemplos. Las resistencias dieléctricas del hidrógeno, el aire y el bióxido de carbono son del orden de 3 x 106 [V/m]; las del teflón, el polietileno y el cuarzo sólido, en cambio, son del orden de 50 x 106 [V/m], ;1,/ 10. Cierto. La esfera no puede sostener esa carga porque, en tal caso, la magnitud de la E en su superficie es veinticuatro veces superior a la resisten cia dieléctrica del aire; en efecto, al calcular esa magnitud con el uso de (7.9), resulta |f | = ¡2/(4jre0i?2) = 72xl06' [V/m], donde se supuso que la permitividad eléctrica del aire es aproximadamente igual a l / ( 3 6 7 t l 0 9) [F/m]. 11. Falso. La varilla de vidrio, cargada por frotamiento, tiene una carga po sitiva y atrae los pedacitos de corcho seco, porque los polariza; al tocarlos, éstos adquieren carga positiva y, en consecuencia, la varilla los repele. 12. Cierto. El campo electrostático interactúa con los átomos y moléculas que forman los diversos medios materiales, y puede provocar un movimiento de cargas o la polarización de éstos; este movimiento, o la polarización, a su vez, son fuente de campo eléctrico, modifican el campo externo y, por tanto, influyen en los resultados experimentales. Por ejemplo, al calcular la fuerza de Coulumb que obra sobre una partícula cargada es necesario usar la per mitividad del medio en el cual está inmersa, y no la del vacío. 13. Cierto. La fuerza que obra entre dos partículas cargadas, por ejemplo, inmersas en un dieléctrico lineal, homogéneo e isotrópico, de permitividad £, es F2. = i^q^q 2/(47i£rl22), y es menor que en el vacío, ya que la permitivi dad de todos los dieléctricos es mayor que la del vacío. 14. Falso. Bajo la influencia de un campo eléctrico externo el dieléctrico sepolariza y ello disminuye la intensidad del campo eléctrico dentro del mate rial; pero no se anula, como ocurre dentro de un conductor en condiciones estáticas. 15. Cierto. Como la constante dieléctrica es la razón entre la permitividad eléctrica de un material y la del vacío, y en el interior de un conductor aisla
2 6 0 / Teoría electromagnética
do E es 0, si se supone qué (2.21) es aplicable, entonces la permitividad y la constante dieléctrica del conductor son infinitas. 16. Falso. El campo eléctrico que polariza los átomos y moléculas del mate rial, y los reorienta, es el campo local; es decir, el que hay en el punto donde éstos se encuentran. Este campo está influenciado por la polarización del dieléctrico, la cual es támbién fuente del campo eléctrico. 17. Cierto. El campo eléctrico del cuerpo cargado polariza el dieléctrico y en éste se desarrolla una P debida al ordenamiento de sus dipolos eléctricos; sobre un dipolo, de acuerdo con (7.12), el campo eléctrico desarrolla una fuerza qué lo mueve hacia la región donde la magnitud de la intensidad de aquél es mayor. En consecuencia, el dieléctrico tiende a moverse hacia el cuerpo cargado. 18. Falso. En condiciones estáticas no hay campo eléctrico dentro de un conductor y, por tanto, E es normal a su superficie; en el interior de un di eléctrico, en cambio, el campo eléctrico en. general existe, y como en su su perficie la componente tangencial de E es continua, ésta no tiene que ser 0. 19. Falso. La expresión coincide cón (7.17), que permite calcularíais debida sólo a la polarización del dieléctrico; sin embargo, no incluye los efectos de otras fuentes del campo eléctrico, como las responsables de la polarización del dieléctrico mismo, las cuales también contribuyen a la E total. 2.0^ Falso. Esas densidades pueden ser negativas y las expresiones propuestas no lo permiten; las expresiones correctas están en (7.16). 21. Cierto. En ese dieléctrico pp es 0, según (7.16), pero no ap ni E; ésta puede calcularse con E = P /(s - £„) • 22. Cierto. Ya que Qf =\vPtdV =
(V *P)dV= -2aAjxdx = - al2A, carga que
se calcula, a partir de (7.16). 23. Falso. Puesto que Qp = J p pdV +Jurada = -J,(V • P) dV+
*<£4=0, donde
V y S son el volumen y la superficie de cualquier dieléctrico, y se usaron (7.16) y el teorema de la divergencia. 24. Cierto. Obsérvese que Qf = §afda = £p • dA = | (V • P) dV= 0. 25. Cierto. La polarización del dieléctrico tiene un efecto despolarizante que disminuye E dentro de éste; sin embargó, no alcanza a anularla puesto que E = D/e; para ello, sería necesario que el dieléctrico tuviese una permitivi dad infinita.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/
261
26. Falso. Puede anularlo, y por ello en el interior de un conductor aislado no hay campo eléctrico. En el conductor existen cargas libres que, en tanto E sea diferente de 0 en su interior, se mueven hacia la superficie del mismo e incrementan paulatinamente el campo despolarizante hasta que éste termina por neutralizar el polarizante. • . * 27. Falso. En el caso de una esfera dieléctrica, espontánea y uniformemente polarizada, por ejemplo, el campo eléctrico es uniforme en el interior y allí, por tanto, el potencial escalar eléctrico depende de la posición.
7.5 Cuerpos cargados y condiciones de frontera P r o p o s ic io n e s
1. Si se conoce la distribución superficial de carga eléctrica, en los conducto res de un sistema electrostático, no es necesario utilizar la ecuación de Laplace para determinar el campo eléctrico. 2. Si se desconoce la distribución de carga libre en los conductores de un sistema electrostático, no puede determinarse el campo eléctrico. 3. El mayor valor dé la magnitud de E, sobre la superficie equipotencial de un conductor, se encuentra en el punto donde la densidad superficial de carga es máxima. 4. Si en una región descargada del espacio la dirección de E es uniforme, E también es uniforme. 5. E es tangente a una superficie equipotencial eléctrica. 6. Si 0 = 0, en x = 0, en un campo eléctrico uniforme de intensidad E = ixEu, entonces 0 = -E 0x. 7. Un plano conductor, conectado a tierra, no puede estar cargado. 8. Si cuatro placas conductoras se unen para formar un prisma cuadrado, en una placa el potencial eléctrico es V0, y 0 en las restantes, entonces el poten cial eléctrico en el eje de simetría del prisma es F0/4. 9. Si cuatro placas conductoras se unen para formar un prisma cuadrado, de lado a, el potencial es 0 en lás placas x = 0, x = a y y = 0, y en la placa y = a el potencial vale F0, entonces las funciones armónicas con cuya combinación lineal se determina el potencial eléctrico dentro del prisma son de la forma 0 N = Ax cosfíx senhfiy.
2 6 2 / Teoría electromagnética
10. Si las funciones armónicas con las que se determina el potencial eléctrico dentro de un prisma rectangular, limitado por láminas conductoras, son de la forma
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 6 3
22. Si una esfera dieléctrica, de permitividad £ y radio R, se coloca en el va cío en medio de un campo eléctrico uniforme, el campo que se induce en el interior de la esfera es uniforme también. 23. Si en una superficie esférica y conductora, de radio R, el potencial eléc trico es
2 6 4 / Teoría electromagnética
36. La fuerza eléctrica que obra sobre uno de los elementos de un sistema electrostático puede calcularse con el gradiente de una función escalar. 37. Es válida la ecuación F = -VUt, en un sistema electrostático donde algu nos conductores están conectados a baterías. 38. Si la energía electrostática de un sistema aislado está dada, en coordena das cartesianas, por Uc = 4ax2, donde a es una constante, la fuerza eléctrica que obra sobre un conductor, colocado en x = 1, es igual a -ix8a. S o lu c io n e s
1. Cierto. Por lo menos en principio, porque E puede calcularse directamen te de (7.24); sin embargo, la integración puede ser complicada. Una alterna tiva más sencilla, en cambio, es resolver la ecuación de Laplace cuándo la geometría del problema se acomoda a la simetría de algún sistema de coor denadas. 2. Falso. Puede determinarse a partir de la solución de las ecüaciones de Maxwell, especialmente de la ecuación de Laplace resultante para el poten cial escalar eléctrico, si se conocen las condiciones de frontera; determinado el campo eléctrico, se calcula la distribución desconocida de carga. 3. Cierto. Ya que la componente tangencial de E á la superficie del conduc tor es 0, y de (7.1) se deduce que en ese punto la componente normal de E es máxima. 4. Cierto. Si se supone que la dirección de E es la del eje X, en un sistema de coordenadas cartesianas, de (7.18) y (7.19) resultan 0 = V • £ = dEx /dx y 0 = V x E = iydEx /dz - izdEx /dy. En consecuencia, E es uniforme porque sus derivadas con respecto a las tres coordenadas cartesianas son 0. 5. Falso. Como la diferencia de potencial eléctrico entre cualquier par de puntos de la superficie es 0, se deduce que 0 = d
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
265
8. Cierto. Cuando las cuatro placas tienen el mismo potencial, V0, en la re gión prismática éncerrada el potencial es uniforme, también vale V0 y éste es el potencial en el eje de simetría. El sistema definido por la región prismáti ca rodeada por cuatro placas, que tienen potenciales iguales a Vq puede, apli cando él principio de superposición, separarse en cuatro sistemas como el descrito en la proposición, cada uno de los cuales origina en el eje del prisma, por la simetría, igual potencial; en consecuencia, el potencial indivi dual vale F0/4. \ 9. Falso. Obsérvese que, aunque armónica, la función enunciada no es 0 en x = 0. 10. Cierto. Sólo puede tomar los valores que permiten satisfacer las condi ciones de frontera en las interfaces de la región prismática. 11. Falso. El conjunto se comporta como un capacitor, en el cual una arma dura es la placa de potencial V0 y la otra está formada por las tres placas restantes; en consecuencia, la carga por unidad de longitud almacenada en la placa de potencial V0 es igual y de signo contrario a la almacenada, en total, por las otras tres. 12. Cierto. La explicación se dio al contestar la proposición anterior. 13¿ Falso. Con argumentos basados en la simetría y el principio de superpo sición, semejantes a los usados en la proposición 7.5.8, se concluye que el potencial en el centro del cubo vale Va/6. 14. Cierto. La expresión para <í>, en coordenadas cilindricas circulares, es
2 6 6 / Teoría electromagnética
centro de la esfera; la £ producida por la inducción en la esfera es equivalen te a la de un dipolo eléctrico puntual colocado en el centro de ésta. 17. Falso. De (7.25) se sigue que en la superficie de la esfera
E
= ir3£ocos0.
18. Cierto. La E en un punto de la cavidad de la esfera es la superposición de la producida directamente por el dipolo —que varía con el cubo de la distancia a éste, según, (7.11)— y fa debida a la. distribución de cargas indu cidas en la superficie interior de la esfera por el dipolo mismo. En conclu sión, en un punto cercano al centro de la esfera domina la. JÉ producida por el dipolo eléctrico, y la £ total tiende a infinito cuando aquél punto se acerca al origen. 19. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como la fuente del campo eléctrico es finita (un dipolo eléctrico y un conductor cargado) en el infinitó el potencial eléctrico es finito. En consecuencia, éste es 0 si se elige el infini to como nivel de referencia; en caso contrario, no. 20. Cierto. La intensidad y el potencial eléctricos en puntos externos a la concha esférica, obtenidos después de resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las condiciones de frontera respectivas, son iguales a los producidos por una carga puntual, Q, colocada en el centro de la concha; por tanto, E tiende a 0 en el infinito. 21. Falso. Son esferas, de acuerdo con la proposición anterior. 22. Cierto. Se sigue de (7.26); la E respectiva puede calcularse al sustituir, en la ecuación citada, £, por £0, y e2 por £. .23. Falso. Cuando en toda la superficie esférica el potencial es uniforme y vale V0, en la región encerrada el potencial también es. uniforme, vale V0 y éste es el potencial en el centro. El sistema definido por la esfera, que tiene potencial igual a V0, puede, aplicando el principio de superposición, separar se en dos sistemas iguales; en éstos, en uno de los hemisferios el potencial es V0, y en el otro, 0, y se produce en el centro de la esfera, por la simetría, igual potencial, de valor F0/2. Por tanto, al tomar en cuenta la anterior ex plicación y los valores del potencial en los hemisferios de la esfera de la proposición, el potencial en el centro de la misma es nulo. 24. Falso. Sé deduce de (7.27) que el campo eléctrico en puntos exteriores a la esfera es semejante al de un dipolo eléctrico puntual, colocado en el cen tro de aquélla y cuya magnitud es 4naiP0/3. 25. Cierto. El campo eléctrico en el interior de la esfera sí es uniformé, cómo se advierte en (7.27); por tanto, en esa región el potencial escalar eléctrico es
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/ 267
directamente proporcional a la coordenada z del sistema de coordenadas cartesiano. \>v 26. Falso. Ese factor —obsérvese (7.28)— se define para cada dirección es pacial; por tanto, en cada una de éstas debe tomarse la razón entré las res pectivas componentes de los vectores citados. ■ 27. Cierto. Se comprueba al aplicar (7.28) a (7.27); el resultado puede anti ciparse, además, ante la simetría de la esfera y dado que la suma de los tres factores de despolarización es igual a la unidad. 28. Falso. La suma de los tres factores es igual a la unidad. 29. Cierto. En las caras paralelas de la placa aparecen cargas de polariza ción, de densidades superficiales iguales a ±P0, según (7.16), y en el interior de aquélla se induce un campo eléctrico cuya intensidad, calculada como en un capacitor de placas paralelas, es igual a -P0/e0; por tanto, al aplicar (7.28), el coeficiente de despolarización resulta ser igual a la unidad. 30. Cierto. Si se supone que el cilindro tiene una polarización uniforme y espontánea, P0, dirigida a lo largo del eje del mismo, y que el área de su sección recta es A, el campo eléctrico despolarizante se debe a las cargas de polarización, de valores iguales a ±P0A, inducidas en las bases del cilindro, que están localizadas en ±°°; la intensidad de ese campo y la del correspon diente factor de despolarización son, entonces, iguales a 0. Por la simetría transversal del cilindro, y ya que la suma de los tres factores de despolariza ción es igual a la unidad, los transversales tienen un valor de 0,5. 31. Cierto. El cuerpo puede estar polarizado y generar un campo eléctrico en el espacio; éste, de acuerdo con lo explicado en el artículo 6.0.8, lleva asociada una energía potencial. 32. Falso. Dicha energía puede calcularse con (6.10), cuyo integrando es una cantidad siempre positiva y donde la integración se extiende a todo el espacio. 33. Cierto. Es igual al trabajo hecho contra la fuerza eléctrica al ensamblar la carga; puede calcularse con (7.3). 34. Falso. Depende únicamente de los valores finales de las cargas, como se observa en (7.3), y no del procedimiento u orden para llegar a éstas. Convie ne subrayar, sin embargo, que la independencia predicada en la explicación anterior no es válida cuando los dieléctricos son alineales. 35. Falso. Si no se disipa energía es porque se trata de un material Univaluado; estos materiales no son, necesariamente, homogéneos.
268 / Teoría electromagnética
36. Cierto. En efecto, y como se explica en el artículo 7.0.9, esa función es la energía electrostática del sistema. La deducción, que relaciona la fuerza eléc trica con la energía, se basa en el principio de la conservación de la energía y en el método del trabajo virtual. 37. Falso. Sobra el signo menos. La ecuación propuesta corresponde a ún sistema electrostático, donde todos los conductores están aislados y la carga sobre cada uno se mantiene constante durante el desplazamiento virtual de 'alguno.' . 38. Cierto. Ya que F = -VUe= -V(4ax2)|iriI= -ix8a, donde se usó (7.6), ya que el sistema está aislado.
7.6 Coeficientes dé potencial y coeficientes de capacitancia P r o p o s ic io n e s
1. El coeficiente de potencial, p¡j, en un sistema de N conductores, es la carga del conductor i ocasionada por un potencial unitario en e\j. 2. En un sistema de N conductores se cumple que
= pjr
3. En un sistema de N conductores se cumple que pb < 0. 4. En un sistema de N conductores se cumple que pb > p,r 5. El coeficiente de inducción, c¡j, en un sistema de N conductores, es la carga del conductor i cuando el j tiene un potencial unitario y los demás están co nectados a tierra. 6. En un sistema de N conductores se cumple que c.. * c~. 7. En un sistema de N conductores se cumple que c.. >0. 8. En un sistema de N conductores se cumple que c. < cr 9. En un sistema de N conductores se cumple que c.. > 0. 10. En un sistema de nulos.
conductores los coeficientes de inducción pueden ser
11. Si el conductor j, de un sistema de N conductores, queda con una carga cuando-el f se lleva- á un potencial ^ormientras-los demás conductores de-1 sistema se mantienen en un potencial 0, entonces la carga dél conductor ¿ es
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores /
269
O*,, cuando el potencial del conductor y es
1. Falso. En (7.30) se observa que el coeficiente p¡j es el potencial del conduc tor ¿ cuando eiy tiene una carga unitaria y los demás están descargados. 2. Cierto. Si se expresan en forma de matriz columna las cargas, Qi, y los potenciales con respecto al infinito, 0¡, de los diferentes conductores del sistema, respectivamente Q y Y, y en forma de una matriz cuadrada, P, los coeficientes de potencial del mismo, entonces de (7.5) y (7.30) resultan
V. = \* Í M = \< rV '? \1 i ro y; V - K Al sustituir la segunda de las ecuaciones anteriores en la primera y usar pro piedades de las matrices, se encuentra QrPQ = QTY = V TQ = QrP TQ .-. P = P T
p¡j = pj¡
2 7 0 / Teoría electromagnética
3. Falso. Si se supone que el conductor i tiene una carga unitaria mientras los demás están descargados, la energía del sistema, que según (6.10) es una cantidad positiva, calculada con (7.5) y (7.30), es U¡ = p¡¡ / 2; por tanto, pK> 0. 4. Cierto. Si se supone que el conductor i tiene una carga unitaria mientras los demás están descargados, el potencial de cada conductor cumple, según (7.30), &j = p¡¡, para j = 1,2,3...iV. Además, el potencial con respecto al infi nito, en un punto del espacio debido a un conductor cargado, disminuye al aumentar la distancia entre éste y aquél, salvo que el punto se encuentre dentro del conductor, en cuyo caso el potencial es uniforme. Por tanto, entre los potenciales de los N conductores del sistema se cumple que
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores
/ 271
10. Cierto. Guando uno de los conductores está encerrado por otro, los co eficientes de inducción entre los demás conductores y el encerrado son nu los; ello se debe al efecto de apantallamiento, o blindaje, que el conductor encerrador ejerce sobre el confinado. 11. Cierto. De (7.29) y la información dada en la primera parte de la propo sición, se sigúe que Qj = Qa = cJ¡
7.7 Capacitores o s ic io n e s
1. Las unidades de la capacitancia en el SI son [kg_1m"2s4A2]. 2. El voltaje entre las armaduras de un capacitor es igual al producto de la magnitud de la carga almacenada en una de las armaduras de éste por la capacitancia del mismo.
2 7 2 / Teoría electromagnética
3. La capacitancia puede definirse para conductores aislados. 4. La capacitancia es urt parámetro útil, en la práctica, sólo para capacitores de placas paralelas. 5. En el capacitor ideal, una armadura debe encerrar la otra. 6. Si se conecta un capacitor, cuyas armaduras tienen diferentes áreas, a las terminales de una batería, cada armadura adquiere una carga de igual magnitud. 7. Las densidades superficiales de carga en las armaduras de un capacitor son iguales en magnitud y de signos opuestos. : 8. Cuando las placas de un capacitor de placas paralelas se conectan a una batería, las cargas qué aquéllas adquieren, debido a que el campo eléctrico no es uniforme en los bordes dé las placas* no son exactamente iguales en valor absoluto. 9. La capacitancia de un capacitor es mayor cuando entre las placas hay un dieléctrico que cuando hay aire. ... 10. La carga que almacena un capacitor cuando hay un dieléctrico entre sus armaduras es menor, para un voltaje constante, que cuando hay aire. 11. Si se duplica la carga almacenada por un capacitor, su capacitancia se duplica. 12. Si el potencial con respecto al infinito de la superficie de un conductor se duplica, la capacitancia absoluta no se duplica. 13. Si entre las armaduras de un capacitor de placas paralelas, conectado a una batería, inicialmente hay aire y se cambia luego por un dieléctrico, el voltaje entre las armaduras disminuye. 14. Si entre las armaduras de un capacitor de placas paralelas, conectado a una batería, inicialmente hay aire y se cambia luego por un dieléctrico, la carga acumulada en las armaduras aumenta. 15. Si entre las armaduras de un capacitor de placas paralelas, conectado a una batería, inicialménte hay aire y se cambia luego por un dieléctrico, la E se mantiene igual. 16. Si un capacitor de placas paralelas se carga al conectarlo a una batería, y después de desconectarlo de ésta se duplica la separación de las armaduras, la E entre éstas se duplica. 17. Si un capacitor de placas paralelas está conectado a una batería, y se du plica la separación entre las armaduras sin desconectarlo, entonces la £ entre ellas se reduce a la mitad.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 7 3
18. Si un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo, y después de desconectarlo se acercan las placas del capacitor a la mitad de la distancia inicial y en vez de aire se usa un di eléctrico de constante dieléctrica igual a 2, la carga de las placas sé cuadru plica. 19. Si un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo, y después de desconectarlo se acercan las placas del capacitor a la mitad de la distancia inicial y en vez de aire se usa un di eléctrico de constante dieléctrica igual a 2, el voltaje entre las placas se redu ce a la cuarta parte. 20. Si un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo, y después de..desconectarlo se acercan las placas del capacitor a la mitad de la distancia inicial y en vez de aire sé usa un di eléctrico de constante dieléctrica igual a 2, 1á E entre las placas se duplica. 21. Si se coloca una lámina metálica, de espesor despreciable, entre las ar maduras de un capacitor de placas paralelas, paralela a éstas y sin tocarlas, cuando el dispositivo está conectado a una batería y tiene aire como dieléc trico, la capacitancia del mismo aumenta. 22. Si se coloca una lámina metálica, de espesor despreciable, entre las ar maduras de un capacitor de placas paralelas, paralela a éstas y conectada a una de ellas, cuando éldispositivo está conectado a una batería y tiene aire como dieléctrico, la capacitancia del dispositivo aumenta. 23. Si se coloca una placa metálica, de espesor b, entre las armaduras de un capacitor de placas paralelas, paralela a éstas y sin tocarlas, cuando él dispo sitivo está conectado a una batería y tiene aire como dieléctrico, la capacitan cia del dispositivo aumenta. 24. Si se coloca una placa dieléctrica, de permitividad ey espesor b, entre las armaduras de un capacitor de placas paralelas, paralela a éstas y adosada a una de ellas, cuando el dispositivo está conectado a una batería y tiene aire como dieléctrico, la capacitancia disminuye. 25. Si todas las dimensiones de un capacitor de placas paralelas se multipli can por K, la capacitancia queda multiplicada por K 2. 26. Si todas las dimensiones de un capacitor de placas paralelas se multipli can por K, el voltaje de ruptura queda multiplicado por i£. 27. Si una batería de 6 [V] está conectada a un capacitor de placas paralelas, la distancia entre éstas es de 2 [cm] para que la magnitud de E sea 300 [N/C],.
2 7 4 / Teoría electromagnética
28. La magnitud de E es 4 x 106 [N/C] si, en un capacitor de placas paralelas, A = 0,1 [m2], e = 4e0 y Q = 177 xlO'7 [C]. 29. La carga superficial de polarización es 7,5 x 1CT5 [C/m2] si, en un capaci tor de placas paralelas, A = 0,1 [m2], £ = 4e0 y Q = 177x.10"7 [C]. 30. La capacitancia por unidad de longitud de un capacitor formado por dos cilindros coaxiales, de radios a y b, con b > a ,y dieléctrico de permitividad e, es 27ieb/\n(b/a,y ■ '— 31. La capacitancia por unidad de longitud de un capacitor de cilindros co axiales, de radios a y b, con b > a, y dieléctrico de permitividad e, no cambia cuando todas las dimensiones del capacitor se multiplican por K. 32. La capacitancia de un capacitor de esferas concéntricas, de radios a y b, con b > a, y dieléctrico de permitividad e, se duplica cuando b se duplica, 33. La capacitancia absoluta de un conductor de forma elipsoidal y semiejes a, b y e, que está inmerso en el vacío, es C = 4neQ(a2+ b2+ c2)/(a6 + bc + ac), 34. La capacitancia equivalente de un sistema de N capacitores, de capaci tancias Cu C2, ... CN, es mayor cuando están en paralelo que cuando están en serie. ' • 35. La capacitancia equivalente de un sistema de N capacitores iguales, en serie, es (N - 1)C, donde C es la capacitancia común. 36. La capacitancia equivalente de un sistema de N capacitores iguales, en paralelo, es NC, donde C es la capacitancia común. 37. Si dos capacitores idénticos, con aire como dieléctrico, se conectan en serie á una batería, y, mientras están conectados, se llena con un dieléctrico, de permitividad e, la región entre las armaduras de uno de aquéllos, la carga almacenada en las armaduras de los capacitores disminuye. S o lu c io n e s
1. Cierto. Las unidades de la capacitancia pueden obtenerse, en el SI, como la razón entre las unidades de la carga, medida en [sA], y las unidades del potencial eléctrico, medido en [kgm2s~3A-1]. 2. Falso. Se refuta con la definición dada en (7.31). 3. Cierto. Gomo la eapaeitaneia es una medida de la habilidad de un conduc tor para almacenar carga, puede definirse para un conductor asilado; én efecto, si el conductor está inmerso en un dieléctrico ideal, a la razón entre
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores I '¿ I b
la carga almacenada en el conductor y el voltaje éntre su superficie.y el infinito se la llama capacitancia absoluta. 4. Falso. Es un parámetro útil en la teoría de circuitos y aplicable a capacito res de cualquier forma; en los diagramas circuitales el capacitor se represen ta con dos líneas paralelas, pero ello no quiere significar que sólo se usan capacitores de placas paralelas. 1 5. Cierto. Exigir que la diferencia de potencial entre las armaduras del capa citor sea independiente de la presencia de otros conductores, implica que una de aquéllas debe estar encerrada por la otra; así, el aporte que las cargas : exteriores hacen al potencial eléctrico de cada armadura es el mismo y se anula al obtener la diferencia de potencial. Considérese, por ejemplo; ún sistema de tres conductores inmersos en un dieléctrico lineal, en el cual la carga del 1 es Q, la del 2 es -Q y la del 3 es q; el potencial en los conductores ■ 1 y 2, según (7.30), es
2 7 6 / Teoría electromagnética
Iadas en las armaduras cercanas y, a su vez, atraen más cargas libres hacia esas armaduras, incrementando la capacidad del capacitor. Obsérvese, ade más, que la capacitaricia de un capacitor es directamente proporcional a la permitividad del dieléctrico colocado entre las armaduras, y aquélla, en to dos los materiales, es mayor que la del vacío. 10. Falso. Cuando el voltaje es constante, la carga almacenada, según (7.31), es directamente proporcional a la capacitancia; ésta, de acuerdo con la pro posición anterior, es mayor en presencia de un dieléctrico. ^ 11. Falso. En los capacitores ideales, la capacitancia es un parámetro que sólo depende de la geometría del dispositivo y del material usado como di eléctrico; no depende de la carga o del voltaje entre las armaduras. Si se duplica la carga almacenada es porque se duplicó el voltaje entre las arma duras, y, por tanto, la razón se mantiene constante. 12. Cierto. La capacitancia absoluta del conductor, por las razones expuestas al solucionar la proposición anterior, no cambia. 13. Falso. Como el capacitor está conectado a una batería, el voltaje entre las armaduras no cambia. 14. Cierto. Como el voltaje no cambia y al introducir el dieléctrico la capaci tancia del capacitor aumenta, entonces la carga acumulada, de acuerdo con (7.31), incrementa. 15. Cierto. Se confirma en (7.32), puesto que la distancia y el voltaje entre las armaduras no cambia. 16. Falso. Al desconectar el capacitor de la batería, el dispositivo queda ais lado y las cargas e;n las armaduras permanecen constantes; por tanto, se de duce de (7.34), (7.31) y (7.32) que, al duplicar las separación entre las arma duras, la capacitancia dél capacitor se reduce a la mitad, el voltaje entre las mismas se duplica y la magnitud de E se mantiene constante. 17. Cierto. Se sigue de (7.32), puesto que se duplica la distancia que separa las armaduras, y el voltaje entre las mismas no cambia. 18. Falso. Al desconectar el capacitor de la batería, el dispositivo queda ais lado y la carga en las armaduras permanece constante. 19. Cierto. Como las cargas en las armaduras permanecen constantes, se de duce de (7.34) y (7.31) que, al reducir a la mitad la separación entre las arma duras y duplicar la permitividad del dieléctrico, la capacitancia del capacitor se cuadruplica y el voltaje entre las mismas se reduce a la cuarta parte. 20. Falso. E)e los consideraciones hechas al solucionar la proposición ante rior y (7.32), se concluye que la magnitud de E se reduce a la mitad.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización de la materia. Capacitores / 2 7 7
21. Falso. El campo eléctrico entre las armaduras del capacitor, que se supo nen separadas la distancia d, induce cargas iguales en magnitud y de sentidos opuestos en las superficies de la lámina conductora, y si ésta se coloca a una distancia t dé una de las armaduras, queda a la distancia (d - t) de la otra por tener un espesor despreciable. Por tanto, el capacitor original se transforma en dos capacitores de placas paralelas, conectados en serie, cuyas capacitan cias y la equivalente, según (7.34) y (7.41), son r _eA_ r
1
c ,cs
ea
í ’ ~ d-ty '
_ ea
C, +C 2
: ■;
En consecuencia, no cambia la capacitancia Original. 22. Cierto. Al conectar la lámina a una de las armaduras, éstas y la región qué las separa se vuelven equipotenciales, y toda la carga almacenada en la armadura original pasa a la lámina metálica, que se convierte en la nueva armadura; en consecuencia, como la distancia entre las armaduras del dispo sitivo se reduce, de acuerdo con (7.34) la capacitancia aumenta, 23. Cierto. Si se coloca la placa a una distancia t. de una de las armaduras, que se suponen separadas la distancia d, por tener aquélla un espesor b que da a la distancia (d - t - b) dé la otra; por tanto, y de acuerdo con la proposi ción 7.7.21, el capacitor original se transforma en dos capacitores de placas paralelas, conectados en serie, cuyas capacitancias y la equivalente son r =— r M — r - C'C* ^ eA . 1 t 1 - d - t - b y ' . C, +C 2 d - b En consecuencia, la capacitancia resultante es mayor que la original. 24. Falso. Aunque sea parcialmente, el aire es sustituido por un dieléctrico y ello hace aumentar la capacitancia del dispositivo; en efecto, si las armaduras están separadas la distancia d, la capacitancia del elemento, calculada con (7.35), es C
ds-I^E -
Y] EqA ,1----b r 1---£n 2> d d £ -
Obsérvese que la cantidad encerrada en el corchete es menor que la unidad. 25. Falso. Como se multiplica el área por K 2, y la distancia entre las armadu ras; por K, se deduce de (7.34) que la capacitancia del dispositivo queda mul tiplicada por K.
2 7 8 / Teoría electromagnética
26. Cierto. De acuerdo con (7.32), en un capacitor de placas paralelas el voltaje de ruptura, VR, es VR = dER, donde ER es la resistencia dieléctrica del material. En conclusión, como ÉR es una propiedad del material y d se mul tiplica por K, el voltaje de ruptura queda multiplicado por K. 27. Cierto. Se deduce de (7.32): á = V/E = 2x10 2 [m] 28. Falso. Se sigue de (7.32) y (7.33): E = Q/(eÁ) = 5 x l0 6 [V/m]. 29. Cierto. Ya que
Resultado que confirma la proposición, ya que las capacitancias equivalentes del sistema, en paralelo o en serie, están dadas por (7.40) y (7.41). 35. Falso. De (7.41) se deduce que la capacitancia equivalente es C/N; los capacitores en serie se comportan como resistencias en paralelo. 36. Cierto. Se confirma con (7.40); los capacitores en paralelo se comportan como resistencias en serie. 37. Falso. Si C0 es la capacitancia inicial de los capacitores, la equivalente de la pareja es C0/2. Al introducir el dieléctrico entre las armaduras de uno de
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279
los capacitores, la capacitancia de éste incrementa en el factor £/£„, y la equi valente, calculada con (7.41), es Q W _cJ 2 >& 2 (l + e/£0) 2 |_l + £0/e donde se toma en cuenta qué la permisividad de los dieléctricos es mayor que la del vacío. En conclusión, como la capacitancia equivalente incrementa y el voltaje se mantiene constante, la carga almacenada en las armaduras, de acuerdo con (7.31), aumenta.
7.8 Energía en capacitores P r o p o s ic io n e s
1. La unidad para la energía potencial eléctrica de un capacitor en el SI es el voltio. 2. Un capacitor es un elemento circuital que almacena energía. 3. Para cargar un capacitor hay que suministrarle energía en una cantidad proporcional al cuadrado de su capacitancia. 4. La energía potencial de un capacitor puede calcularse con Uc = F2/(2C). 5. Si un capacitor de placas paralelas se carga al conectarlo a una batería, y después de desconectarlo de éste se duplica la separación entre las armadu ras, la energía electrostática de aquél se duplica. 6. Si un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo, y luego, sin desconectarlo, en vez de aire se usa un dieléctrico de constante dieléctrica igual a 2, la energía electrostática del capacitor se duplica. 7. Si un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se carga al conectarlo a una batería, y después de desconectarlo se duplica la separación entre las placas y en vez de aire se usa un dieléctrico de constante dieléctrica igual a 4, la energía electrostática del capacitor se duplica. 8. La energía almacenada en un capacitor, para un voltaje constante, es ma yor si la región entre las armaduras se llena con un dieléctrico en vez de aire. 9. La energía potencial de un capacitor cargado es independiente de la pre sencia de otros cuerpos cargados en las cercanías.
2 8 0 / Teoría electromagnética
10. La energía total acumulada en tres capacitores conectados en serie a una batería depende de las posiciones relativas de aquéllos. 11. Si tres capacitores se conectan a una batería, la energía total almacenada en aquéllos es máxima cuando se colocan en paralelo. 12. Si dos capacitores, con aire como dieléctrico, sé conectan en paralelo a una batería, y luego, mientras la batería está conectada, en uno de los capaci tores se sustituye el aire por un dieléctrico, la energía total de la pareja au menta. 13. Si.un capacitor de placas paralelas, con aire como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo y después se desconecta, al introducir por un extre mo de las armaduras una placa dieléctrica, ésta es atraída hacia el interior. 14. Si un capacitor de placas paralelas, con aire Como dieléctrico, se conecta a una batería para cargarlo y se mantiene conectado, al introducir por un ex tremo de las armaduras una placa dieléctrica ésta es repelida hacia el exterior. 15. Si un capacitor cargado, de placas paralelas, está aislado y tiene un blo que dieléctrico entre aquéllas, para retirar el bloque del capacitor y dejar el aire entre las placas, debe hacerse un trabajo positivo. 16. Si un capacitor de placas paralelas, conectado a una batería, tiene un bloque dieléctrico entre las placas, para retirar el bloque del capacitor y de jar el aire entre las placas, debe hacerse un trabajo negativo. S o lu c io n e s
1. Falso. La unidad para la energía en el SI es el julio. 2. Cierto. Un capacitor ideal es un dispositivo circüital que acumula carga y energía potencial eléctrica; y no la disipa. Sin embargo, en el proceso de cargar un capacitor real se disipa energía, puesto que las armaduras de aquél son conductores reales; también se disipa, por la misma razón, en un capaci tor real sometido a un voltaje alterno. 3. Falso. Se refuta la proposición al observar (7.42). 4. Falso. La expresión es incorrecta dimensionalmente. 5. Cierto. Como las cargas en las armaduras permanecen constantes, se de duce de (7.34) y (7.42) que, al duplicar la separación entre las armaduras, la capacitancia del capacitor se reduce a la mitad y la energía se duplica. 6. Cierto. Como el voltaje no cambia, se deduce de (7.34) y (7.42) que, al duplicar la permitividád del dieléctrico, se duplican la capacitancia del capa citor y la energía.
Campo electrostático. Fuerza eléctrica. Polarización dé la materia. Capacitores i 281
7. Falso. Al desconectar el capacitor de la batería el dispositivo queda aislado y las cargas en las armaduras permanecen constantes; por tanto, se deduce de (7.34) y .(7.42) que, al duplicar la separación entre las armaduras y cua druplicar la permitividad del dieléctrico, se duplica la capacitancia del capa citor y su energía se reduce á la mitad. 8. Cierto. Con el dieléctrico la capacitancia del capacitor es mayor; por tan to, se deduce de (7.42) que si el voltaje es constante la energía es mayor. 9. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Se demostró en la proposi ción 7-7.5 que la diferencia de potencial entre las armaduras del capacitor es independiente de la presencia de otros conductores cuando una de aquéllas está encerrada por la otra; de otra manera, el aporte que las cargas exterio res hacen al potencial eléctrico de cada armadura no es igual y no se anula al calcular la diferencia de potencial. En conclusión, la energía potencial del capacitor cargado, dada por (7.42), es independiente de la presencia de otros cuerpos cargados si una armadura está dentro de la otra; en caso con trario, estrictamente, ni siquiera se tendría un capacitor. Sin embargo, aun que una armadura no encierre la otra puede ignorarse la presencia de otros conductores, como solución aproximada, cuando éstos estén alejados o las armaduras del capacitor están muy cercanas entre sí y la permitividad del dieléctrico es alta comparada con la del aire. 10. Falso. Si Cj, C2 y C3 son las capacitancias respectivas de los capacitores, y ya que acumulan la misma carga, Q., por estar conectados en serie, la energía total del conjunto es
yP'-Llk
Q? ;_C,VS 2Ct 2
(7.49)
donde Fes el voltaje de la batería y Ce la capacitancia equivalente del conjun to, la cúal no depende de las posiciones relativas de ios capacitores, y se usa ron (7.5), (7.41) y (7.42). En conclusión, la energía total es independiente de las posiciones relativas de los capacitores conectados en serie. 11. Cierto. La energía total del sistema conectado a la batería es U, - C eV2/ 2, donde Ce es la capacitancia equivalente del mismo; ésta es máxima —se de mostró en la proposición 7.7.34— cuando los capacitores se conectan en paralelo. , 12. Cierto. La capacitancia del capacitor incrementa donde el aire se sustitu ye por un dieléctrico, de acuerdo con la proposición 7.7.9; aumentan, tam
2 8 2 / Teoría electromagnética
bién, la capacitancia equivalente del sistema y la energía total del mismo, dados por (7.40) y U, =C,V2/2. 13. Cierto. Al introducir la placa dieléctrica en el capacitor aislado, la capaci tancia de éste aumenta, la carga en las armaduras se mantiene constante y la energía fin a l—obsérvese (7.42}— disminuye. Como el cambio de energía potencial eléctrica es negativo, la fuerza eléctrica qué actúa sobre la placa debe tener, según (7.6), el mismo sentido del movimiento de ésta; es decir, es una fuerza de atracción. 14. Falso. Al insertar la placa dieléctrica en el capacitor conectado a la bate ría, la capacitancia de éste aumenta, el voltaje éntre las armaduras se man tiene constante y la energía final —observar (7.42)— aumenta. Como el cambio de enérgía potencial eléctrica es positivo, la fuerza eléctrica que ac túa sobre la placa debe tener, según (7.7), el mismo sentido del movimiento de ésta; es decir, es una fuerza de atracción. 15. Ciertp. En la proposición 7.8.13 se explicó que sobre el dieléctrico actúa una fuerza eléctrica que tiende a moverlo hacia el interior del capacitor. Si se quiere retirar el bloque dieléctrico debe contrarrestarse la fuerza eléctrica con otra, que actúa hacia el exterior, la cual, por tanto, hace un trabajo positivo. 16. Falso. En la proposición 7.8,14 se explicó que sobre el dieléctrico actúa una fuerza eléctrica que tiende a moverlo hacia el interior del capacitor. Si se quiere retirar el bloque dieléctrico debe contrarrestarse la fuerza eléctrica con otra, que actúa hacia el exterior, la cüal, por tanto, hace un trabajo positivo.
y m
v :X :l ; ; : -
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios materiales descargados, lineales, homogéneos, isotrópicos, de parámetros e, g y ¡i, y condiciones estacionarias.
8.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Condiciones estacionarias. Condiciones estacionarias son las que existen cuando todas las corrientes eléctricas macroscópicas son constantes. Estas condiciones se dan, por ejemplo, en un conductor óhmico, conectado a fuentes de energía que no varían en el tiempo. 2. Electrólisis. La electrólisis, cuyas leyes fueron.descubiertas por Faraday, es la descomposición química de compuestos líquidos, ocasionada por el paso de una corriente directa a través de éstos; se funda en la propiedad que tienen ciertas sustancias, llamadas electrolitos, de descomponerse o separarse en iones con cargas de signos opuestos cuando los atraviesa una corriente eléctrica. La corriente se produce entre dos electrodos inmersos en el elec trolito: el positivo, llamado ánodo, por donde ingresa la corriente, y el nega tivo, o cátodo, por donde la corriente sale; los iones, que se mueven hacia el electrodo positivo tienen carga negativa y se llaman aniones, los que se mue ven hacia el cátodo tienen carga positiva y se llaman cationes (véase figura 8.1). Las leyes de la electrólisis permiten predecir las cantidades totales del electrolito, qué se descompone al paso de la corriente, y del elemento, que se deposita en un electrodo. ,
2 8 4 / Teoría electromagnética
Figura 8.1 Electrólisis. El electrolito se descompone en iones al paso.de la corriente eléctri ca, y aquéllos se mueven, bajo la acción del campo eléctrico, hacia los electrodos cargados; los aniones, de carga negativa, van hacia el ánodo, y los cationes, de carga positiva, se diri gen al cátodo.
3. Constante de Faraday. La constante de Faraday es una constante univer sal que representa la carga de una mole de iones de valencia unitaria. Su valor, medido experimentalmente, es F = 9,6487 xlO4 [C/mole], 4. Resistencia y conductancia eléctricas. El flujo de la carga eléctrica en un conductor experimenta una oposición, semejante a la fricción mecánica que se opone al movimiento de un cuerpo en una superficie áspera, que convier te energía eléctrica en calor debida al efecto Joule. Esta oposición al paso de la corriente eléctrica se llam aresistencia eléctrica del conductor y se define como la razón del voltaje eléctrico éntre los puntos por donde entra y sale la co rriente del mismo, y esta corriente; es decir, . . v R =J
'
( 8 . 1)
La unidad de medida de la resistencia eléctrica en el Sistema Internacional es el ohmio (véase figura 8.2). La conductancia eléctrica se define con la ra zón inversa de la anterior: ..... ...... G =y ...........................................
y en el Sistema Internacional su unidad de medida es el siemensio.
( 8 . 2)
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia / 285: :
Figura 8.2 Resistencia eléctrica. Los electrones libres se mueven a través de la red atómica perdiendo energía; el efecto colectivo es una oposición al paso de la corriente eléctrica, y la resistencia eléctrica es su medida. En (b) se observa un resistor cilindrico, de longitud / y área de la sección recta A¡ que lleva una corriente, /, cuando entre sus extremos eí voltaje es V. En los planos de los circuitos los resis tores se representan con una línea quebrada, en forma de diente de sierra.
—véase figura (a)— y chocan con los núcleos positivos,
5. Resistor y ley de Ohm. El resistor es un dispositivo circuital caracterizado por una resistencia eléctrica relativamente alta; se esquematiza con una línea que tiene forma de diente de sierra (véase figura 8.2). La palabra ‘conductor’ se reserva, en los circuitos eléctricos, para un elemento cuya resistencia es nula o mínima, tolerada por razones prácticas. Cuando el resistor está elabo rado con un material lineal, homogéneo e isotrópico, y la temperatura se mantiene constante, la resistencia y la conductancia de aquél son constantes; dependen, exclusivamente, de la geometría del elemento y el material usado. Es decir, en este caso el voltaje es directamente proporcional a la corriente que circula, y (8.1) y (8.2) se convierten en formas escalares de la ley de Ohm. Si la corriente depende del tiempo, se presenta un fenómeno nuevo, conocido como efecto piel, por el cual aquélla tiende a concentrarse en la su perficie exterior del resistor y, en tal caso, ya no es cierto que la resistencia sólo depende del material y de la geometría; cuando la corriente varía pe riódicamente con el tiempo, por ejemplo, la resistencia también depende de la frecuencia. 6. Resistencia y tem peratura. La resistencia incrementa al crecer la tempe ratura, en los conductores, porque aumenta la vibración molecular y se difi culta el flujo de carga. En muchos materiales conductores, como la plata, el cobre, el óro y el aluminio, la relación entre la resistencia y la temperatura
2 8 6 / Teoría electromagnética
medida en grados centígrados, para un intervalo amplio de temperatura, puede aproximarse a R = R 0+C0T
'
(8.3)
donde R 0 y C0 son valores típicos de cada material. 7. Resistencia filamental. Si las dimensiones transversales son pequeñas, comparadas con la longitud, y la corriente y la temperatura se mantienen constantes, la resistencia dé un hilo, de longitud Zy sección recta de área 4, formado por un conductor lineal, homogéneo e isotrópico, de conductividad g (véase figura 8.2), es (8.4):
R gA
8. Superconductores. Los superconductores son sustancias que¿ a tempera turas muy bajas, tienen la propiedad de que su conductividad se vuelve infi nita y la resistencia eléctrica desaparece; ello permite sostener, indefinidamente, una corriente eléctrica en aquéllos sin pérdidas de energía por el efecto Joule. La superconductividad fue descubierta en 1911 por Onnes, al enfriar una muestra de mercurio, y el efecto lo muestran numerosos elementos, sus aleaciones y compuestos. Curiosamente, el cobre, uno de los mejores conductores metálicos a la temperatura ambiente, no es superconductor, y hay materiales cerámicos que presentan el efecto y, sin embargo, son aisladores a la temperatura ambiente. La superconductividad tiene causas microscópicas y su explicación exige superar el ámbito de aplicación de la teoría electromagnética, pará pasar al de la física cuántica. En el estado superconductor la. conductividad es infinita, y en el interior del material, descontando una pequeña región superficial, no hay E ni B, y pue de suponerse que tampoco hay campo eléctrico ni campo magnético; por tanto, también son nulas otras propiedades de éstos, como P, D, M y H. Cuando esos materiales conducen corriente, la sostienen mediante distribu ciones superficiales, de densidad K, y no por medio de corrientes volumétri cas/9. Peligro de la corriente eléctrica. La corriente eléctrica es peligrosa por su tensión, intensidad y frecuencia. Las de alta tensión actúan sobre el bulbo raquídeo y pueden matar por asfixia. Las de baja tensión e intensidad, espe cialmente cuandoatraviesan el corazón, pueden provocar fibrilaciones en éste, las cuales interrumpen sus contracciones; el accidente es más gráve cuando la frecuencia de la corriente es de 60 [Hz] —porque coincide con uña
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia / 2 8 7
de las frecuencias fundamentales del ritmo cardíaco— que cuando la corrien te es directa. Las de alta frecuencia son peligrosas porque calientan los teji dos, los cuales pueden verse sometidos a un efecto similar al del horno de microondas. El contacto con una de las líneas de una toma domiciliaria de 115 [V], sin que exista paso de la corriente a la tierra por el cuerpo, no suele ser peligroso; se percibe una sacudida en el momento en que aumenta el potencial del cuerpo para igualar el del conductor. Pero si la piel está moja da, la resistencia de ésta disminuye radicalmente y el paso de la corriente por el cuerpo puede electrocutarlo, porque la intensidad de aquélla se hace muy alta. 10. Ecuaciones de la intensidad del campo y del potencial eléctricos. Cuando las condiciones son estacionarias' en regiones con corriente eléctrica, donde los materiales son lineales, homogéneos e isotrópicos, las ecuaciones de Maxwell aplicables al campo eléctrico, tomadas del artículo 3.0.15, la relación e n tr e / y E, la definición del potencial escalar eléctrico y las ecua ciones puntuales que satisfacen la intensidad y el potencial escalar eléctricos, obtenidas de los artículos 4.0.1 y 4.0.3, son §E °ds = 0 y V x £ = 0
(8.5)
£ / » cL4 = 0 y V®/ = 0
(8.6)
J = gE
(8.7)
E = -Ví>
(8.8)
V20 = O
(8.9)
V2£ = 0
.
(8,10)
Es conveniente subrayar que los conductores lineales, homogéneos e isotró picos no soportan una densidad volumétrica de carga, p. 11. Tubo cilindrico conductor, que lleva una corriente transversal. Si se establece un voltaje, V, entre la superficie interior, de radio a, y la superficie exterior, de radio b, de un tubo conductor recto e infinito, de conductividad g (véase figura 8.3), entonces las magnitudes de E y J en un punto dentro de un segmento de longitud l del tubo—calculadas con base en la simetría del sistema, (8.6) y (8.7)— y la resistencia eléctrica transversal, son
2 8 8 / Teoría electromagnética
(a) ; Figura
8 .3
(b)
R e s i s t e n c i a t r a n s v e r s a l . U n t u b o c ilin d r ic o , in fin ito , d e r a d io in t e r io r a y e x t e r io r
t ie n e c o n d u c t iv id a d
g;
e n t r e la s u p e r f i c i e in t e r io r y l a e x t e r io r h a y u n v o lt a je ,
V,
b,
q u e p ro d u ce
u n a c o r r ie n t e r a d ia l. E n u n t r a m o d e t u b o , d e lo n g it u d /, s e d e s a r r o l l a u n a r e s i s t e n c i a e l é c t r i c a t r a n s v e r s a l,
R.
R =- t — ln 2 ngl a ............
(8.12)
donde r es la distancia al eje del tubo e I es la corriente transversal total en el segmento del mismo. 12. Cilindro conductor inmerso en una corriente transversal uniforme. Un cilindro circular, de radio a y conductividad g2, se pone en un macizo infinito de conductividad g u en el cual había una distribución volumétrica de co rriente uniforme, J 0, de manera que el eje de aquél sea perpendicular a la dirección que la corriente tenía (véase figura 8.4). Después de escoger un sistema de coordenadas cilindrico circulares, cuyo eje Z coincide cón el eje del cilindro y el F con la dirección de J Q, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las Condiciones de frontera respectivas, resulta
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia / 2 8 9
Figura 8.4
C ilin d r o
co n d u cto r en
m a c iz o
c o n d u c t o r . U n c ilin d r o c o n d u c t o r , d e r a d ió a y c o n d u c t iv id a d
g2,
e stá
in m e r s o e n u n m a
c i z o in fin ito , d e c o n d u c t iv id a d
gu
d o n d e , in i
c i a l m e n t e , h a b ía u n a c o r r ie n t e u n ifo rm e , d e d e n s i d a d v o lu m é t r ic a
J 0.
S e u s a un s i s t e m a
d e c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s , e n e l c u a l e l e je
Z
e s e l e je d e l c ilin d r o y e l
d ir e c c ió n d e
&.
gi
Y
s e o r ie n t a e n la
J 0.
gl - g2 a1' semp + iv 1+ r ¿Ti ~g2^ a2 cosip ,para r> a i 1[g> + £ 2 J r [ gl + g2 J r
E — = —(¿r sen
(8.13)
Con base en (8.13) pueden estudiarse diversos casos particulares e, incluso, casos extremos, como un cilindro vacío o uno dieléctrico; sin embargo, la ecuación no es aplicable al cálculo de J 2 cuando el cilindro es superconductor porque, en tal caso, la componente de J normal a la interfaz ya no es conti nua, al existir allí una densidad superficial de corriente, K. 13. Esfera conductora hueca, que lleva una corriente radial. Si se establece un voltaje, V, entre la superficie interior, de radio a, y la superficie exterior, de radio b, de una esfera conductora hueca, de conductividad g (véase figura 8.5),
290 /
Teoría electromagnética
0= 0
Figura 8.5 R e s i s t o r e s f é r i c o . U n a c o n c h a e s f é r i c a b, t ie n e c o n d u c t iv id a d g. E n t r e i a s s u p e r f i c i e s
e x t e r io r
c o n d u c t o r a , d e r a d io in t e r io r a y : r a d io in te rio r y e x te rio r, h a y u n v o lt a je ;
V,
que
s o s t i e n e u n a c o r r ie n t e r a d ia l, y u n a r e s i s t e n c i a e l é c t r i c a .
entonces las magnitudes de £ y J en un punto dentro de la concha esférica —calculadas con base en la simetría del sistema, (8.6) y (8.7)— y la resistencia eléctrica transversal, son
14 1/1 = 4 nr R=
y ÍÉÍ = — W
(8.14)
b -a
(8.15)
donde r es la distancia al centro de la esfera e I es la corriente radial total. 14. Esfera conductora inmersa en una corriente uniforme. Una esfera, de radio a y conductividad g2, se coloca en un macizo infinito, de conductividad g ,, en el cual había una distribución volumétrica de corriente uniforme, J 0 (véase figura 8.6). Después de escoger un sistema de coordenadas esféricas, cuyo eje Z coincide con la dirección de J 0, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar eléctrico y usar las condiciones de frontera respecti vas, resulta ' í \ 3 a3 J\ Jo iT 1+ 2 gí ál a eos 6 - i e 1sen# , para r > a r J • r— gl g> _ [ 2 g + g2 E=
J
— —— — (ircos0 ^¿esenQ) = ipara r < i & 2g, + g 2 2g,+g2
(8-16)..
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados¡ corriente y resistencia / 2 9 1
¡(r'0)' ñ
Figura 8.6 Esfera conductora en macizo infinito. Una esfera conductora, de radio a y conductividad g2, está inmersa en uri macizo infinito, de conductividad gh donde, inidalmente, había una corriente uniforme, de densidad volumétrica JQ. Se usan coordenadas esfé ricas, con el origen en el céntro de la esfera y el eje Z en la dirección y con el sentido de J0.
Con base en (8.16) pueden estudiarse diversos casos particulares e, incluso, casos extremos; por ejemplo, una esfera vacía o una dieléctrica. Sin em bargo, la ecuación no es aplicable al cálculo de / 2 cuando la esfera es un su perconductor porque, en tal caso, la componente de /n o rm a l a la interfaz ya no es continua, al existir allí una densidad superficial de corriente, K. 15. Velocidad de arrastre de los electrones. La velocidad de arrastre de los electrones en un conductor es la velocidad media de aquéllos, promediada eri cualquier instante en un elemento de volumen y sobre un número grande de partículas, N, así: .
r
(8-17)
Esta velocidad es 0 cuando los electrones sólo están sometidos a la agitación térmica; en este caso, los electrones libres constituyen una nube de carga qúe, en promedio, mantiene una posición fija dentro de la red atómica. Cuando un campo eléctrico externo se aplica al conductor, los electrones
292
¡ Teoría electromagnética
adquieren una velocidad adicional —que se superpone a la térmica en virtud de la fuerza de Lorentz—; la posición media de los electrones tiende a mover se en la dirección de £ y la velocidad de arrastre deja de ser 0; la velocidad de arrastre límite, o estacionaria, de un electrón, de carga -e y masa me>es va = - — E
(8.18)
dónde r es el tiempo de relajación. El válor numérico del coeficiente de E en la ecuación anterior es, en el SI, del orden de 1 x l O-3, puesto que la razón entre la carga y la masa del elec trón es del orden de 1 x 10n, y el tiempo de relajación en los conductores metálicos, cuando se toma en cuenta que la conductividad depende de la frecuencia, es del orden de 1 x 10~H; en consecuencia, la velocidad de arras tre de los electrones es pequeña en los conductores y no debe confundirse con la velocidad a la que se mueven las perturbaciones del campo electro magnético en estos materiales, la cual es bastante grande y puede ser compa rable con la de la luz. 16. Conductividad eléctrica. Si n es la cantidad promedia de electrones por unidad de volumen, entonces Pc =~ne y J = Prva = ^ - E
(8.19)
m'.............
/ ne2x S = Er = ----m.
( 8 . 20 )
Como regla práctica, puede decirse que al aumentar la temperatura incre mentan la agitación de la red atómica y n, y disminuye t. Sin embargo, en muchos conductores metálicos, n alcanza un valor de saturación a tempera turas bajas, cercanas al 0 absoluto, y tiende a permanecer estable cuando la temperatüra incrementa; en consecuencia, la conductividad de los metales tiende a disminuir cuando lá temperatura crece. En materiales aislantes, en los cuales, con respecto a los conductores, n y g son pequeños a la tempera tura ambiente, el incremento de n con la temperatura supera la disminución de r, y la conductividad de aquéllos incrementa con ia temperatura. 17. Tiempo de relajación en un conductor metálico. Cuando una corriente eléctrica fluye por un conductor metálico, los electrones libres se aceleran un corto tiempo antes de chocar con uno de los átomos de la red y reducir su velocidad de arrastre. El tiempo de relajación, t, puede interpretarse como
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia
0=0
/ 2 93
0 = V0
M-------- d
Cátodo
Ánodo
Figu ra 8.7 Diodo de vacío. En un tubo cerrado y vacío hay dos placas conductoras y parale
las, separadas la distancia d. Una, el cátodo, se calienta, emite electrones y tiene potencial 0; la otra, el ánodo, tiene un potencial positivo, V0, y recibe los electrones. Se usan coordenadas cartesianas, con el eje X perpendicular a las placas y origen en el cátodo.
e\ tiempo libre medio éntre las colisiones de los electrones en un elemento de volumen y calcularse con (8.20): ( 8.21 )
18. Efecto Edison; El efecto Edison, o efecto termoiónico, es la emisión de elec trones desde una superficie conductora, excitada térmicamente, que se en cuentra inmersa en una región donde se ha hecho el vacío y cerca de un fi lamento calentado por el paso de la corriente eléctrica. 19. Diodo de vacío. El dispositivo llamado diodo de vacío es un tubo cerrado donde se ha hecho el vacío y que contiene dos electrodos. Uno de los elec trodos, llamado cátodo, se mantiene caliente y está elaborado con un material capaz de emitir electrones térmicamente; el otro, denominado Ánodo, se mantiene frío y con un potencial eléctrico positivo con respecto al cátodo; los electrodos están conectados por alambres a la fuente de energía. Los elec trones emitidos termoiónicamente por el cátodo caliente se aceleran hacia el ánodo, bajo la acción del campo eléctrico, y forman en la región vacía una corriente electrónica (véase figura 8.7). 20. Relación entre el voltaje y la corriente en. el diodo de vacío. Si se. supo ne que los electrodos del diodo de vacío son superficies planas y paralelas separadas por una distancia d, pequeña con respecto a las dimensiones transversales, y se desprecian los efectos de borde; que el origen de coordenadás está en el cátodo y el eje X es perpendicular a ambos electrodos y se dirige hacia el ánodo; que el ánodo se mantiene a un potencial constante, V0,
2 9 4 / Teoría electromagnética
y el potencial del cátodo es 0; que en el cátodo la rapidez de los electrones emitidos y la intensidad del campo eléctrico son nulas y que la corriente en el diodo no está limitada por la temperatura del cátodo sino que aquélla crece al aumentar V0, entonces en cualquier punto de la región interelectródica los valores de
{d
,
I/3 " : ' 4e0 í x ~ ) 4V E = ~ix i. y J - ~ix 1 3d . ^ / 9d2í( w2él . J
4Ke0 d) P=9ds xj
.
K3
( n2eVn m V/2/ V2'3 x.
2/3
y » = *,
m.
{d
( 8 . 22)
(8.23)
Cuándo el área de las placas electródicas es A, la corriente total que circula entre éstas es 4 e 2e I = A ^ co 9 d- \ m'J
1/2
v:
(8.24)
Resultado que se conoce como ley de Child-Langmuir y és válido sólo cuando los electrones se emiten con rapideces despreciables en el diodo de placas paralelas. La ley anterior muestra una relación no lineal entre la corriente y el voltaje del diodo, y, en consecuencia, el dispositivo no cumple la ley de Ohm.
8.1 Cóndiictóres y corriente P r o p o s ic io n e s
1. La constante de Faraday representa la carga de una mole de cualquier clase de iones. 2. Los cationes de un electrolito tienen carga positiva. • 1 3. Las reacciones químicas son causadas por la interácción gravitacional en tre átomos y moléculas. 4. Los experimentos electrostáticos salen mal en los días húmedos.
__"
5. Guando un campo eléctrico actúa sobre un electrolito, los iones positivos y negativos de éste se mueven en el mismo sentido.
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia / 2 9 5
6. Un dieléctrico ideal transporta corriente libre. 7. En un alambre de plata, a temperatura ambiente y sin FEM externas, los electrones se mueven desordenadamente. 8. Si se aplica un voltaje a un hilo conductor, los protone? se dirigen hacia las zonas de menor potencial. 9. Los electrones tienden a moverse, en un hilo conductor, hacia regiones de mayor potencial. 10. Hay corriente en un conductor cuando existe movimiento de electrones en éste. 11. Guando un alambré lleva corriente, / tiene la dirección de la normal al alambre. 12. La densidad longitudinal de carga neta, A, es nula en todos los puntos interiores de un hilo conductor que transporta una corriente. S o lu c io n e s
1. Falso. La constante de Faraday, definida con F = NAe, donde NA es el númera de Avogadro y e la carga del electrón; representa la carga de una mole de iones de valencia unitaria. 2. Cierto. Al romperse la molécula del electrolito, én la cuba electrolítica resultan iones con cargas positivas o negativas; el que tiene carga positiva se dirige al cátodo y por ello, se llama catión. 3. Falso. La fuerza gravitacional es muy débil para explicar esas interaccio nes; las reacciones químicas, y en general los enlaces entre electrones y pro tones para formar átomos y entre éstos para construir moléculas, se deben a las interacciones eléctricas. 4. Cierto. Eri esos experimentos es necesario que los cuerpos cargados estén aislados para que mantengan la carga; sin embargo, cuando hay humedad en el ambiente, éste se vuelve un medio conductor, el vapor de agua se ioniza y los iones neutralizan la carga de los cuerpos. 5. Falso. Se mueven en sentidos opuestos bajo la influencia de la fuerza eléc trica: los positivos —cationes— hacia el cátodo y los negativos —aniones— hacia el ánodo. 6. Falso. El dieléctrico ideal es un aislante y no transporta corriente libre porque la estructura de los átomos que lo forman no admite la existencia de cargas libres; sin embargo, presenta corrientes de desplazamiento cuando el campo eléctrico varía con el tiempo.
2 9 6 / Teoría electromagnética
7. Cierto. Los electrones se mueven caóticamente en el material, con una rapidez que depende de la temperatura absoluta; el movimiento es desorde nado y al azar y, por ello, no constituye una corriente macroscópica. 8. Falso. Los portadores de carga que se mueven son, en un hilo conductor, los electrones libres; los protones hacen parte de los núcleos atómicos y éstos se mantienen estáticos, en términos macroscópicos, debido a la cohesión del material.. ^ .-i' 9. Cierto. Se mueven en sentido opuesto al de E, y el de éste va de mayores a menores potenciales. 10. Falso. Para que haya una corriente macroscópica en un conductor no es suficiente que éste tenga electrones en movimiento; es necesario que ese movimiento tenga un orden que se imponga al deambular caótico y de ori gen térmico de las cargas libres. El orden lo introduce la E de un campo eléctrico que se aplique al conductor. 11. Falso. El alambre se idealiza con una línea, y J tiene la dirección de la tangente a ésta, en cada punto, la cual coincide con la dirección de la veloci dad promedia de los electrones que forman la corriente. 12. Cierto. Aunque es el movimiento ordenado de los electrones lo que pro duce la corriente en el alambre, la densidad lineal de carga neta en éste se mantiene nula; en promedio, cuando un átomo entrega un electrón, al mis mo tiempo está recibiendo otro.
8.2 Resistencia y ley de Ohm P r o p o s ic io n e s
..
■
1. Un conductor es óhmico cuando tiene resistencia. 2. Las unidades de la resistencia en el SI son [m2kgs-3A-2]. 3. La relación V = IR es válida sólo en conductores óhmicos. 4. Si se duplica la corriente que pasa por un resistor, se duplica el voltaje entre sus terminales. 5. La resistencia no depende de la temperatura en un conductor óhmico. '6. Si se duplica, la temperatura, medida en grados centígrados, no se duplica la resistencia de un resistor. 7. Para comprobar si el filamento de una bombilla eléctrica obedece la ley de Ohm, basta con medir valores del voltaje y la corriente.
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados , corriente.y resistencia / 297.,
8. Si al frotar un peine de bolsillo con una tela de lana se establece un voltaje de 10.000 [V] entre el peine y la tela, ese voltaje es más peligroso que el de 110 [V] de una toma eléctrica domiciliaria. 9. La ley de Ohm para una corriente superficial es E = g.K, donde gs es la conductividad superficial. 10. En un material superconductor la resistencia es 0. .11. E es 0 dentro de un conductor no aislado. 12. En un superconductor que lleva una corriente, E es nula. 13. En un superconductor que lleva una corriente, P no es 0. 14. En un superconductor qué lleva una corriente, J es nula. S o lu c io n e s
1. Falso. Es óhmico cuando cumple la ley de Ohm; es decir, cuando la rela ción éntre el voltaje y la cornente es lineal. 2. Cierto. Las unidades de la resistencia pueden obtenerse, en el SI, como la razón entre las unidades del voltaje, medido en [m2kgs_3A“'], y la unidad de corriente, medida en [A]. 3. Falso. Es válida, en cualquier conductor y corresponde a la definición de resistencia; sin embargo, la expresión es la ley de Ohm cuando R no depen de de V o de 7. : V- : 4. Cierto. Es una consecuencia de la ley de Ohm; sin embargo, tal relación no sé cumple cuando el dispositivo no es óhmico, como en el caso de un j conductor no lineal. 5. Falso. En un conductor óhmico la resistencia crece con la temperatura, porque ésta incrementa la vibración de los electrones y sus choques con los núcleos atómicos. 6. Cierto. Se comprueba con (8.3); obsérvese que la gráfica de esta ecuación no pasa por el origen de coordenadas. 7. Falso. No es suficiente, ya que la resistencia eléctrica depende de la tem peratura; al variar ésta, lo que ocurre debido a un cambio en la potencia de la bombilla producido por una variación del voltaje, la resisténcia del fila- : mentó cambia. La comprobación puede hacerse si la temperatura sé mantie ne constante. 8. Falso. La descarga del peine produce una corriente directa, de baja inten sidad y corta duración, porque la capacidad de aquél para almacenar carga y
2 9 8 / Teoría electromagnética
energía eléctricas es reducida; al tocarlo puede sentirse una punzada mien tras el potencial del cuerpo y el del peine se igualan. La corriente qüe la toma domiciliaria trasmite al tocarla es potencialmente más peligrosa, espe cialmente cuando la piel está'húm eda y se reduce su resistencia eléctrica, pues la intensidad y duración de la corriente, y la energía eléctrica disponi ble, son mayores; además, si la corriente atraviesa el corazón puede provocar fibrilaciones en éste, las cuales confunden sus contracciones; este último riesgo se acentúa debido a que la corriente domiciliaria tiene una frecuencia de 60 [Hz] y ésta coincide con una de las frecuencias fundamentales del rit mo cardíaco. En consecuencia, la toma domiciliaria es más peligrosa. 9. Falso. La expresión correcta e s K = gsE, d o n d e gs e s la conductividad su perficial. 10. Cierto. Es 0 si la temperatura es lo suficientemente baja para que el efec to superconductor esté presente. 11. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. És 0 dentro de un super conductor, cuando ese efecto está presente, y rio lo es en los demás conduc tores; en éstos, E y J están relacionados con J = gE. 12. Cierto. En él interior de un superconductor no hay campo eléctrico y, por tanto, son nulas las propiedades de éste, como E. En (8.7), además, se observa que cuando g crece indefinidamente, ¿ decrece y tiende a 0. 13. Falso. Es 0 por las razones expuestas en la proposición anterior; también D es 0. ' • 14. Cierto. Este tipo de conductores transporta corriente mediante distribu ciones superficiales, de densidad K.
8.3 Resistencias filamentales P r o p o s ic io n e s
1. Si se duplica la longitud de un hilo conductor, se reduce a la mitad su resistencia. 2. Si se duplica el voltaje aplicado entre los extremos de un hilo conductor, así como el área del mismo, manteniendo igual lo demás, la corriente se cuadruplica. ... ...... ........... ... ....... ... . ..... ....._____,__
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia
/ 299
3. Si el alambre A tiene el doble de longitud que el alambre B y la mitad de su área, es del mismo material y entre sus extremos hay él mismo voltaje, entonces B conduce dos veces más corriente que A. 4. Si el alambre B es la mitad de largo que el alambre A, su diámetro es 2/3 el de éste y ambos son del mismo material, la resistencia de A es 8/9 la de B. 5. Si se duplica la longitud de un alambre, manteniéndolo cilindrico circular, y conservando constantes su masa y densidad, la resistencia del mismo se duplica. 6. Si se duplica la corriente que conduce un resistor, la resistencia del mismo se reduce a la mitad. 7. Si todas las dimensiones de un resistor filamental conectado a un voltaje, V, se multiplican porX , la corriente que circula por aquél queda multiplica da por X S o lu c io n e s
1. Falso. Se duplica, según (8.4). 2. Cierto. í)e (8.1) y (8.4), resulta I=M
(8.25)
Expresión qué confirma la proposición: 3. Falso. Al usar (8.25) resulta lA = 2lB, AÁ = AB, gA = gB y VA = VB, por tanto, .
4. Cierto. Al utilizar (8.4) resulta que lA = 2lB, A a = 9AB/ 4, gA = gB, por tanto, R, = I J ( s A < )= ® b/(9g„AB) = 8R b/9. 5. Falso. Al mantener constantes la masa y densidad del alambre, su volu men se conserva; por tanto, cuando se duplica la longitud, el área de la sec ción recta, del alambre se reduce a la mitad, y la resistencia, según (8.4), se cuadruplica. 6. Falso. La resistencia del resistor no cambia, y si se duplica la corriente en el resistor es porque se. duplica el voltaje entre sus terminales, 7. Cierto. Se multiplica por K 2 e\ área y por K la longitud; en conclusión, se observa en (8.4) y (8.1) que la resistencia del dispositivo queda dividida por K, y la corriente multiplicada por K.
3 0 0 / Teoría electromagnética
8.4 Ecuación de Laplace en conductores no aislados P r o p o s ic io n e s
1. J es conservativa. 2. En regiones conductoras, el potencial escalar eléctrico satisface la ecuación de Poisson. ■ 3. En regiones de conductividad uniforme y permitividad no uniforme, el potencial escalar eléctrico satisface la ecuación de Laplace.. 4. En regiones de conductividad no uniforme y permitividad uniforme, el potencial escalar eléctrico satisface la ecuación de Laplace. 5. En un superconductor, el potencial escalar eléctrico es uniforme. 6. La superficie de un superconductor es equipotencial. 7. Si se establece un voltaje, V, entre la superficie interior, de radio a, y la superficie exterior, de radio b, de un tubo conductor recto e infinito, de con ductividad g, y se multiplica por 4 la magnitud del radio exterior, en un seg mento del tubo de longitud l la resistencia transversal se duplica. 8. Si se establece un voltaje, V, entre la superficie interior, de radio a, y la superficie exterior, de radío b, de un tubo conductor recto e infinito, de con ductividad g, y se multiplican por K todas las dimensiones, no cambia la con ductancia transversal del tubo por unidad de longitud. 9. Si un cilindro circular infinito, de conductividad g2, se coloca en una re gión, de conductividad g,, en la cual había una distribución uniformé de corriente./ru de manera que el eje del cilindro sea perpendicular a la dirección que la corriente tenía, en el cilindro se establece una J uniforme. 10. Si un cilindro circular infinito, de conductividad g2> se coloca en una re gión, de conductividad gj, en la cual había una distribución uniforme de co rriente, Jo. de manera que el eje del cilindro sea perpendicular a la dirección que la corriente tenía, en el cilindro el potencial escalar eléctrico es uniforme. 11. Si se establece un voltaje, V, entre la superficie interior, de radio a, y la superficie exterior, de radio b, de una esfera hueca, de conductividad g, y se multiplica por 2 el radio exterior, la resistencia transversal de la esfera no se duplica. 12. Si una esfera conductora, de conductividad g2, se coloca en uná región, de conductividad g u en la cual había una distribución unifórme de corriente, J 0, dentro de la esfera E es uniforme.
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia
/ 301
13. Si una esfera conductora, de conductividad g2, se coloca en una región, de conductividad g,, en la cual había una distribución uniforme de corriente, Jo, la E externa a la esfera sigue siendo uniforme. 14. Si sé abre un hueco esférico, de radio a, en una región, de conductivi dad g,, en la cual había una distribución uniforme de corriente, J ó, en el hueco £ es 0. 15. Si se abre un hueco esférico, de radio a, en una región, de conductividad gi, en la cual había una distribución uniforme de corriente, J 0,e n la superfi cie esférica el potencial escalar eléctrico es uniforme. 16. Si una esfera superconductora se coloca en una región, de conductividad g\; en la cual había una distribución uniforme de corriente, Jo, en la superfi cie esférica que sirve de interfaz a los materiales el potencial escalar eléctrico es uniforme. S o lu c io n e s
1. Cierto. Se verifica al llevar (8.7) a (8.5): j>J »ds =.gj> E*ds = 0. 2. Falso. Satisface la ecuación de Laplace; en efecto, de (8.6), (8.7) y (8.8), resulta 0 = gV • E = -gV2cP. 3. Cierto. Las razones dadas en la proposición anterior se sostienen, aunque la permitividad no sea uniforme. La falta de uniformidad de la permitividad tiene como consecuencia que la densidad volumétrica de carga no tiene que ser, necesariamente, igual a 0. 4. Falso. Ya que 0 = V • J = gV • E + E • Vg = -gV 2
3 0 2 / Teoría electromagnética
9. Cierto. Dentro del cilindro, J 2 es uniforme, de acuerdo con (8.13), y tiene la misma dirección y sentido de l a / 0 original. 10. Falso. Se deduce de (8.8) y (8.13) que ese potencial depende linealmente de la coordenada y. 11. Cierto. Se observa en (8.15) que la resistencia transversal de la esfera no depende linealmente de b. . 12. Cierto. La uniformidad de E dentro de la esfera se advierte en (8.16). 13. Falso. La esfera provoca una perturbación local en el campo eléctrico, originalmente uniforme, y lo distorsiona. La intensidad de E en el exterior de la esfera está dada por (8.16) y se observa que, en puntos alejados de la esfera, el campo recupera su uniformidad. : V 14. Falso. Aunque la corriente eléctrica evita el hueco y fluye a su alrededor, como lo hace el agua al encontrar un obstáculo en su camino, y dentro de aquél la corriente es 0, el campo eléctrico no lo es porque en la interfaz debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial de E. El hueco esféri co se comporta como un aislador, de g2 = 0, y al llevar este valor á (8.16) se deduce que, en el agujero, £, = t, ■ ■ ‘ 2£>
(8.26)
15. Falso. Se deduce de (8.26)7 (8.8) y de la continuidad del potencial escalar eléctrico en toda interfaz, que dentro de la cavidad, y en su superficie, ese potencial depende linealmente de la coordenada z. 16. Cierto. Dentro de un superconductor, E es 0, como se confirma en (8.16) al hacer- g2 infinitar en-consecuencia, de acuerdo con (8.8) y la continuidad del potencial escalar eléctrico en toda interfaz, dentro del superconductor y en su interfaz el potencial escalar eléctrico es uniforme.
8.5 Velocidad de arrastre de los electrones en un conductor P r o p o s ic io n e s
1. La velocidad de arrastre de los electrones en los conductores es compara ble con la de la luz.
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia /' 3 0 3
2. Si se cierra un interruptor y al otro lado del mundo una bombilla se ilu mina, casi instantáneamente, ello demuestra que la velocidad de arrastre de los electrones en los conductores es muy alta. 3. Si se aplica un voltaje, V, entre los extremos de un alambre de cobre, de diámetro d y longitud l, y se duplica V, se duplica la velocidad de arrastre de los electrones. 4. Si se aplica un voltaje, V, entre los extremos de un alambre de cobre, de diámetro d y longitud l, y se duplica d, se duplica la velocidad de arrastre de los electrones. 5. Si se aplica un voltaje, V, entre los extremos de un alambré de cobre, de diámetro d y longitud l, y se duplica l, se reduce a la mitad la velocidad de arrastre de los electrones. 6. Si se eleva la temperatura en un alambre conductor, manteniendo cons tante el voltaje aplicado entre sus extremos, se incrementa la velocidad de arrastre de los electrones. S o lu c io n e s
1. Falso. Esa velocidad, de acuerdo con (8.18), es proporciona] a E y el coefi ciente respectivo, en unidades del SI, cuando se toma, en cuenta que la con ductividad depende de la frecuencia, es del orden de 1 x 10-3 en los conduc tores metálicos; sin tomar en cuenta el efecto de la frecuencia, el coeficiente es mucho menor. En consecuencia, la velocidad de arrastre es pequeña en estos materiales. 2. Falso. Esa velocidad no es grande en los conductores, y no debe confundirse con la velocidad a la que se mueven las perturbaciones del campo electromag nético en dichos materiales, la cual puede ser comparable con la de la luz. 3. Cierto. E es uniforme en el alambre y se relaciona con el voltaje de acuer do con |f | = V/l; por tanto, E se duplica al duplicar V, y lo mismo ocurre, según (8.18), con la velocidad de arrastre. 4. Falso. Se sigue de (8.18), donde E se mantiene igual, que la velocidad de arrastre de los electrones no depende del diámetro del alambre conductor. 5. Cierto. Al duplicar la longitud del alambre, se reduce a la mitad la E; en consecuencia, de acuerdo con (8.18), la velocidad de arrastre de los electro nes también se reduce a la mitad. 6. Falso. Al aumentar la temperatura a la que está sometido el alambre, cre cen la agitación de la red atómica y de los electrones, así como el número de
3 0 4 / Teoría electromagnética
choques de éstos con los núcleos positivos; por tanto, disminuyen r y, según (8.18), la velocidad de arrastre de los electrones.
8.6 Diodo de vacío P r o p o s ic io n e s
1. En un diodo de vacío que conduce corriente eléctrica, el potencial del ánodo es mayor que el del cátodo. 2. Cuando el potencial en el cátodo es mayor que en el ánodo, el diodo de vacío no conduce. 3. Los electrones tienen rapidez nula en el cátodo de un diodo de vacío. 4. Los electrones tienen mayor rapidez en el ánodo que en el cátodo de un diodo de vacío. 5. En un diodo de vacío hay fuerzas debidas al campo magnético. 6. E es solenoidal en un diodo de vacío. 7. E es uniforme en un diodo de vacío. 8. / es solenoidal en un diodo de vacío.
:
9. J es mayor en el cátodo que en el ánodo de un diodo de vacío. 10 . p es uniforme en un diodo de vacío.
11. Si se duplica el voltaje entre las placas en un diodo de vacío, la corriente se duplica.: S o lu c io n e s
y.y ;/y;y
v-
.■■y;'-” yyy.-. y, y—-yy . ,.‘ry
1. Cierto. Cuando el diodo de vacío conduce corriente eléctrica, el potencial del ánodo debe ser mayor que el del cátodo, para que el campo eléctrico establecido en la región interelectródica acelere lós électrones emitidos en el cátodo hacia el ánodo, contrarrestando la fuerza de la carga imagen que trata de retornarlo a la placa de donde salió. 2. Cierto. Si el potencial en él cátodo es mayor que en el ánodo, el campo eléctrico resultante contribuye a reforzar la tendencia de los electrones emi tidos en el cátodo por el efecto Édison a retornar a éste y, por tanto, el diodo no conduce; esta circunstancia convierte al diodo de vacío en un dispositivo capaz de rectificar una corriente eléctrica alterna.
Campo eléctrico estacionario; conductores no aislados, corriente y resistencia / 3 0 5
3. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Una de las hipótesis que permiten deducir (8.22) y (8.23) es que en el cátodo de un diodo de vacío los electrones emitidos por éste tienen rapidez nula; la hipótesis no es comple tamente cierta, sin embargo, ya que los electrones adquieren una rapidez inicial pequeña, debida a la temperatura del cátodo, que se desprecia para simplificar la solución del problema. 4. Cierto. Se sigue de (8.23) que la rapidez de los electrones es máxima en el ánodo, donde toda la energía potencial inicial de los electrones emitidos por el cátodo se convierte en cinética. 5. Cierto. La corriente en el diodo produce un campo magnético cuya B trans versal actúa sobre los electrones en movimiento y les ejerce, de acuerdo con la ley de Lorentz, una fuerza transversal de carácter centrífugo; sin embargo, está fuerza es muy pequeña y se desprecia al deducir las ecuaciones del diodo. 6. Falso. En la región interelectródica hay una densidad volumétrica de car ga, p, dada por (8.23); por tanto, la divergencia de E no es 0. 7. Falso. Se sigue de (8.22) que E no es uniforme; su magnitud crece al acer carse al ánodo. 8. Cierto. El análisis del. diodo de vacío, con base en el cual se deducen (8.22) y (8.23), supone condiciones estacionarias; en consecuencia, / es solenoidal según (8.6). 9. Falso. Se sigue de (8.22) que la magnitud de j es uniforme en un diodo de vacío./; 10. Falso. No lo es, de acuerdo con (8.23); su magnitud decrece al acercarse al ánodo. 11. Falso. La relación (V-I) no es lineal en un diodo dé vacío, como se obser va en (8.24).
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, magnetización de la materia e inductores^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios materiales descargados, lineales, homogéneos e isotrópicos, de parámetros g y /t, y condiciones estacionarias.
9.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Ley de Ampére para la fuerza entre corrientes cerradas. Dos corrientes filamentales, cerradas y estacionarias, 7, e J2, de curvas cerradas, c-¡ y c2, están en reposo y en el vacío. La fuerza magnética que la corriente 1 ejerce sobre la 2 es
4n
0 O
{l2ds2)x[{ltdst ) (r, - rt)]
.(9.1)
donde r, y r 2 son los vectores de posición, con respecto a un origen arbitra rio de coordenadas, O, de los elementos de integración de las corrientes, l j dsj e I 3ds2>y jll0 es la permeabilidad del vacío (véase figura 9.1). Obsérvese que la fuerza es inverso cuadrática; además, con el uso de identidades vecto riales se demuestra que satisface la tercera ley de Newton. 2. Ley de Biot-Savart. La inducción magnética en el vacío debida a una co rriente filamental, cerrada y estacionaria, /, cuya curva cerrada es c, es
!¿0 í /'d s'x (r-r') B(r) = —2-0 w 4 r-r S
(9.2)
donde r y r's o n los vectores de posición, con respecto a un origen arbitrario de coordenadas, O, del punto del espacio donde se calcula B y del elemento de integración, /ds, de la corriente; la ecuación se conoce como ley de BiotSavart y puede integrarse en forma exacta sólo para algunas formas geomé tricas simples (véase figura 9.2). Para distribuciones superficiales o volumétricas de corriente, (9.2) se trans forma en
4n
•
y? —
r
tcTT.
K' x ( r - r ) , V ’ dA r-r
(9.3)
3. Inducción magnética de una corriente rectilínea. La inducción magnéti ca en el vacío debida a una corriente filamental y estacionaria, I, rectilínea y de longitud infinita, es (9.4) donde r e i v corresponden a un sistema de coordenadas cilindricas circula res, cuyo eje Z coincide con el alambre y se orienta en el mismo sentido de la corriente (véase figura 9.3).
3 0 8 / Teoría electromagnética
Figura 9.2 Inducción magnética en un punto arbitrário del espacio, P, debida a una corriente filamentai cerrada, /'. Con respecto a un origen arbitrario de coordenadas, O, los vectores de posición del diferencial de corriente, l'ds', y de P, son r 'y r.
4. Inducción magnética en el eje de una corriente circular. La inducción magnética en el vacío debida a una corriente filamentai y estacionaria, I, circular y de radio a, en los puntos del eje ortogonal de simetría es B
Poté 2(a2+ z2)3/2
(9.5)
donde z e iz corresponden a un sistema de coordenadas cilindricas circulares, cuyos eje Z y origen coinciden, respectivamente, con el eje dé simetría y cen tro de la espira; además, la corriente circula por ésta en Sentido contrario al de las manecillas del reloj (véase figura 9.4). El cálculo de la B producida por la espira en puntos que no están sobre su eje de simetría es más elaborado y conduce a integrales elípticas. : —7 5. Fuerza que el campo magnético ejerce sobre una corriente. A partir de la ley de Lorentz se encuentran fórmulas para calcular la fuerza que el cam po magnético ejerce sobre una corriente filamentai, vólumétricá o superficial, ellas son F =ljd s x B B)dV y F = \s(KxB)dA
(9.6) (9.7)
6. -El-efecto Hall-.-Guando una eorriente-eléetriea-es perpendiGular a-la B de un campo magnético, las cargas eléctricas se desvían transversalmente debi do a la fuerza de Lorentz y pueden generar una intensidad y un voltaje eléc-
(a) se usan coordenadas cilindricas circulares, cuyo eje Z coincide con la corriente; en (b) se observan las líneas de fuerza de B, éstas son circunferencias concéntricas con la corriente.
tríeos en esta dirección. La polaridad del voltaje depende del signo de las cargas en movimiento, y la magnitud, de la densidad de los portadores de la carga; en consecuencia, la medida experimental del voltaje transversal per mite identificar en la corriente el tipo de portadores de carga y su concen tración. Este efecto fue descubierto por Edwin H. Hall. 7. Voltaje Hall. Si un conductor con forma de barra recta de sección rectan gular, de lado h en dirección del eje F, y lado l en dirección del eje Z, lleva una corriente eléctrica, /, en el sentido del eje X, y se coloca en un campo magnético uniforme, cuya B tiene el sentido del eje F, entonces los portado res de la carga, cuya velocidad de arrastre es vx, experimentan una fuerza de Lorentz en la dirección del eje Z, que los lleva hacia uno de los bordes de la barra, donde se acumulan y producen un déficit de carga, del signo contra rio, en el borde opuesto; por tanto, aparece una componente de E orientada en la dirección del eje Z, que aumenta paulatinamente de magnitud hasta que la fuerza transversal sobre los portadores de la carga se anula y producé un voltaje, V¡¡, entre los costados de la barra perpendiculares al eje Z, dado por V„=lvxBy
(9.8)
conocido como voltaje H all, el cual puede medirse con un voltím etro conec tado entre esos costados (véase figura 9.5). La polaridad del voltaje, que de pende del signo de v x, determ ina el signo de los portadores de la carga.
3 1 0 / Teoría electromagnética
8. Densidad de los portadores de la carga. En las condiciones descritas en él numeral anterior, y al tomar en cuenta que la carga de los portadores en los conductores metálicos y en los semiconductores es igual, en magnitud, a la del electrón, la velocidad de arrastre de los portadores de la carga es nélh
(9.9)
donde n es la cantidad promedia dé los portadores por unidad de volumen. De (9.8) y (9.9) resulta ... n = ± - IB> ehVH
(9.10)
En consecuencia, si los portadores de la carga son de un solo tipo, es posible calcular su concentración mediante medidas experimentales basadas en el efecto Hall. Estas medidas son aplicables, especialmente, a los semiconducto res; én los conductores, debido a la gran concentración de portadores, la velocidad de arrastre y el voltaje Hall son poco detectables. 9. Área vectorial limitada por una curva cerrada. Las magnitudes de las componentes del vector área, A, en el sistema de coordenadas cartesianas, correspondiente a una curva cerrada cualquiera, c, son las tres áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos del sistema de coordenadas; el
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 311,
Figura 9.5 Efecto Hall para portadores de carga positivos. Al fluir una corriente eléctrica en éí sentido de X, dentro de una barra prismática de sección rectangular, en presencia de una B con él sentido de Y, en la barra se induce un voltaje eléctrico entre las caras perpendiculares al eje Z; la polaridad de ese voltaje determina el signo de los portadores de la carga.
sentido de A se relaciona con el usado al recorrer la curva, según la regla de la mano derecha (Véase figura 9.6). Así definido, dicho vector se calcula con ■’
9»f
(9.11) '
Conviene revisar, sobré el tema del vector A, las explicaciones dadas en la proposición 1.5.10. 10. Momento de dipolo magnético de una corriente filamental. El momen to de dipolo magnético de un hilo cerrado cualquiera, c, no necesariamente plano, que lleva una corriente, I, calculado a partir de (3.5) y (9.11), es m =IA = ^ § rx d s
(9.12)
donde A es el área vectorial limitada por la curva c. 11. ;.Intensidad'y potencíales escalar y vectorial magnéticos: de un; dipolo magnético puntual. Los potenciales escalar y vectorial, y la intensidad del campo magnético de un dipolo magnético puntual, de momento m, rodeado por un material de permeabilidad pt, en un punto del espacio, P, son
3 1 2 / Teoría electromagnética
Figura por
9 .6
una
Á r e a v e c t o r ia l lim it a d a cu rv a
ce rra d a ,
c.
Las
co m p o n e n te s del v e cto r á r e a so n
A = ix Ax + iy Ay + iz Az
la s á r e a s d e la s p r o y e c c io n e s s o b re lo s p la n o s d e l s is t e m a d e c o o rd e n a d a s c a r t e s ia n a s .
iim x r / \ 1 [3(m• r)r - — — y H(r) = ----- —— —L- - m A n r
(9.13)
A n r
donde r es el vector de posición de P con respecto al punto donde está el dipolo puntual (véase figura 9.7). 12. Fuerza y momento del campo magnético sobre un dipolo magnético puntual. La fuerza y el momento con respecto a un punto, O, que el campo magnético ejerce sobre un dipolo magnético puntual (véase figura 9.8), son F.= (m*V)B
y
M 0 = r x F +m x B
(9.14)
donde r es el vector posición del dipolo con respecto a Ó. Si la fuerza que obra sobre el dipolo es 0, y ocurre cuando B es uniforme, el campo desarro lla sobre el dipolo un par de momento M = mxB
. ■(9.15)
13. Energía potencial de un dipolo magnético puntual colocado en un campo magnético. Un dipolo magnético puntual tiene, en un campo magné tico, una energía potencial asociada; ésta vale Um= m • B
(9.16)
Campo magnético estacionario; fu erza magnética,
/ 313
P(r,e) ~ S F (7 i ■t
"ii
. . . . .
.
:
Figura 9.7 Dipolo magnético puntual. El campo magnético de este dipolo es seme jante al del dipolo eléctrico.
14. Campo magnético terrestre. El campo magnético en la superficie y la atmósfera terrestres se comporta, en primera aproximación, como si la Tie rra fuese una esfera uniformemente magnetizada, y es semejante al de un dipolo magnético puntual colocado en el centro del planeta; la dirección del momento de ese dipolo no coincide con la del eje polar, con el cual hace un ángulo cercano a los ,15°, y su sentido se dirige hacia el hemisferio sur. En el ecuador magnético la B es horizontal y su magnitud es del orden de 0,3 x 10~4 [T]; en los polos la B es vertical y su magnitud es del orden de 0,6 x 10-4 [T] (véase figura 9.9). Gauss comprobó, en la primera parte del. siglo dieci nueve, que puede obtenerse una mejor representación del campo magnético terrestre si se supone excéntrico el dipolo, aunque cerca del centro del pla neta. En realidad, sin embargo, el campo magnético terrestre tiene una es tructura más compleja y no es constante; varía en el tiempo, con cambios cíclicos de gran período y otros más cortos, de variación diaria. 15. Inclinación magnética. La inclinación magnética es el ángulo entre la dirección de la B del campo magnético terrestre, en un puntó cualquiera de la superficie del planeta, y }a horizontal en ese mismo punto; ese ángulo es 0 en el ecuador magnético y de 90° en los polos. Los puntos de igual inclina ción magnética en el planeta forman unas curvas denominadas isoclinas, las cuales no son del todo paralelas entre sí ni con los paralelos geográficos; la isoclina de valor 0° es llamada aclínica, constituye el ecuador magnético y sigue aproximadamente el ecuador geográfico, del que se separa en algunos puntos hasta en 12° de latitud. Si se supone que los ecuadores geográfico y magnético coinciden y que el campo magnético terrestre es dipolar, la incli nación magnética, 0, y la colatitud geográficá, 6, quedan relacionadas con tan0 = 2cot0
(9.17)
Expresión que se deduce de (9.18) (véase figura 9.9); de acuerdo con (9.17), 0 es positiva en el hemisferio norte, y negativa e.n el sur.
3 1 4 / Teoría electromagnética
(a)
: Figura 9.8 Fuerza y momento sobre un dipolo magnético puntual. Un dipolo magnético puntual, m, inmerso en un campo magnético, de inducción B, experimenta uria fuerza y un momento; el momento trata de alinearlo en la dirección de la B,
16. Declinación magnética. La declinación magnética es el ángulo entre la dirección de la B del campo magnético terrestre, en un punto cualquiera de la superficie del planeta, y el meridiano que pasa por ese. mismo punto; ese ángulo se debe a que los polos geográficos y magnéticos de la Tierra no co inciden. Los puntos de igual declinación magnética forman sobre el planeta unas curvas denominadas isógonas, cuya determinación es fundamental para lá navegación, las cuales tienen un contorno sinuoso debido a las perturba ciones locales provocadas por los yacimientos minerales. Las líneas isógonas de declinación nula se llaman agónicas, y sólo existen tres. Los registros de observaciones hechas en los últimos 300 años muestran que las líneas isógo nas experimentan un corrimiento permanente sobre la superficie terrestre y deben actualizarse en intervalos de pocos años. .'T ' 17. Origen del campo magnético terrestre. El campo magnético de la Tierra tiene diversas causas; unas son permanentes, otras son ocasionales y otras periódicas, lo cuál explica las variaciones de ese campo en el tiempo. La es tructura fundamentalmente dipolar del campo puede explicarse, en princi pio, si se acepta que el planeta es una esfera uniformemente magnetizada; sin embargo, ello no es acertado, no sólo por el achatamiento que la Tierra tiene en los polos, sino porque el núcleo metálico está sometido a tan eleva das temperaturas —del orden de los 5.000 [°C], superiores a la temperatura Curie— que no puede tener propiedades ferromagnéticas y sostener una magnetización permanente. La explicación más admitida es que la parte fundamental del campo magnético terrestre depende de las corrientes eléc tricas convectivas que hay en ese núcleo metálico y pastoso, las cuales se
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 31,5
z
Figura 9.9 La Tierra cpmo. uh.imán esférico. Líneas de fuerza de la inducción magnética si se supone que la Tierra es una esfera, de radio R, uniformemente magnetizada en la direc ción del eje polar, elegido como eje Z, con una magnetización, /M0, orientada hacia el polo sur; en la superficie terrestre, <¡>corresponde a la inclinación magnética. En la realidad, los ejes polares magnético y geográfico no coinciden, y ello da lugara la declinación magnética. : '
mantienen por un mecanismo semejante al de una dínamo autoexcitada. Las variaciones ocasionales y diarias se deben a las corrientes que circulan en la atmósfera, inducidas por la actividad solar, como las del viento y las tormen tas solares, y por la variación entre el día y la noche. Estos cambios afectan, especialmente, la magnetosfera. 18. La Tierra como una esfera uniformemente magnetizada. Si se supone que la Tierra es una esfera, de radio R, inmersa en el vacío, uniformemente magnetizada con una magnetización uniforme, M0, paralela a la dirección del; eje polar y orientada hacia el. polo sur, y se elige un sistema, de coorde nadas esféricas, de origen en el centro del planeta y cuyo eje Z coincide con el eje polar, al resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar mag nético y usar las condiciones dé frontera respectivas, resultan
3 1 6 / Teoría electromagnética
S M. R s — = ---- (tr2cos0 + iBsend), para r > R H
(9.18) — - M 0 = ^ ( ¿ rcos0~iesen0) = ¿1^ >p arar
donde M0 = -i.M 0 (véase figura 9.9). En (9.18) se observa qué B y H tienen el mismo sentido en puntos exteriores a la esfera; y tienen sentidos opuestos en puntos interiores. 19. Materiales magnetizables. Se recomienda repasar los artículos 3,0.9 y 3.0.10, donde se definieron las corrientes libres y las de magnetización, y los artículos 3.0.16, 3.0.17 y 3.0.18, en los cuáles se clasificaron los materiales magnetizables en diamagnéticos, paramagnéucos y ferromagnéticos, de acuerdo con la existencia o no de dipolos magnéticos y de magnetización permanente en aquéllos. En los materiales diamagnéticos, la inducción de dipolos magnéticos atómicos, y el ordenamiento de estos dipolos, en todos los materiales —fenómenos desarrollados bajo la influencia de un campo magnético externo— son los responsables de la magnetización de los mate riales y de la aparición en éstos de distribuciones superficiales y volumétricas de corriente de magnetización, las cuales, a su vez, son fuentes del campo magnéticolmacfd^Ópico^’ r ■ ■ r 20. Corrientes de magnetización. Las densidades volumétricas y superficia les de corriente de magnetización, inducidas en un material magnetizado, están dadas por = v xm Km-M-xi„
'
(9.20)
En (9.20) el sentido positivo de i„ es hacia fuera del material. 21. Cargas de magnetización. Aunque en el artículo 3.0.4 se discutió la inexis tencia tanto de la carga magnética como de los monopolos magnéticos, operacionalmente pueden definirse las densidades volumétrica y superficial de carga magnética con pm= -V • Af
(9.21)
cr„ = i » M
(9.22)
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 3 1 7
donde el sentido de in es hacia fuera del material. Esas cargas son ficticias y constituyen modelos matemáticos apropiados para estudiar algunos sistemas especiales, como los imanes permanentes y los medios materiales magnetiza dos, que son regiones del espacio donde la densidad volumétrica de corrien te libre puede ser 0. En esas regiones puede considerarse que las cargas de magnetización desempeñan el papel de fuentes del campo magnético, como las cargas eléctricas lo son del campo eléctrico; en tales condiciones, él cam po magnético es matemáticamente equivalente al eléctrico y puede estudiar se a partir del potencial escalar magnético. 22. Ecuaciones de la inducción y la intensidad del campo magnético. En regiones con corriente eléctrica estacionaria, dónde los materiales son linea les, homogéneos e isotrópicos, las ecuaciones de Maxwell aplicables al campo magnético—tomadas del artículo 3.0.15—, la relación entre B y H, la defini ción del potencial vectorial magnético y las ecuaciones puntuales que satisfa cen la intensidad y el potencial vectorial magnéticos— obtenidas de los artí culos 4.0.1 y 4.0.3—, son §B»dA = 0 yV«i? = 0 \H*ds = I y V x H = J
(9.23) ,
(9.24)
B = fiH
(9.25)
B =V x A m
(9.26)
V2/ / = 0
(9.27) (9.28)
Cuando J = 0, en la región existe un potencial escalar magnético, cuya defi nición y ecuación local que satisface —tomadas de los artículos 4.0.5 y 4.0.6—, son H =
(9.29)
V2
(9.30)
23. Solesioide recto muy largo. Al devanar apretadamente un cilindro muy largo, de radio R y permeabilidad pi, con un alambre delgado, de radio b, de manera que se forme una hélice de paso 2b, el ángulo de inclinación de las espiras con respecto al plano de la sección recta del cilindro, a, y el número
3 1 8 / Teoría electromagnética
►z
Figura 9.10 Solenoide recto e infinito. El devanado es una hélice de paso 2b, inclinada el ángulo a, que, por ser delgado y apretado, equivale a una corriente superficial: |k | = l/{2b), inclinada, también, el ángulo a, según se observa en las figuras.
resultante de las espiras por unidad de longitud del solenoide, n, son tana = b¡(nR) y n = dN/dz = cosa/(2b), donde se elige como eje Z el dél cilin dro, y cuyo sentido positivo se relaciona con la corriente por medio de la regla de la mano derecha (véase figura 9.10). Cuando el hilo lleva una co rriente, /, ésta es equivalente, aproximadamente, a una densidad superficial de corriente, K, dada por K c o s a -i2sena)/(2¿) = tana). Al resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar magnético y usar las condiciones de frontera respectivas, se encuentra H en todo el espacio debida a la corriente del solenoide; en el interior es uniforme, y vale H = iznl, para 0 <: r < R
(9.31)
La expresión puede deducirse, también, si se supone que H es uniforme de ntro del solenoide y 0 fuera de éste, como se hace en los textos de física, al aplicar a una curva rectangular, dos de cuyos lados son paralelos al eje del sole noide pero uno está fuera del mismo, la ley de Ampére. En el exterior, H es H = ~ia
nr
Para R < r< °°
(9.32)
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ...
/: 319:
Figura 9.11 Solenoide corto. Inducción magnética en el eje de un solenoide cilindrico corto, dé radio R y jongitud /, que tiene N espiras. El ángulo 9 se mide a partir del sentido positivo del eje Z.
Resultado equivalente al producido por una corriente rectilínea, ubicada en ¿1 eje del cilindro y de magnitud 2bnl, que suele despreciarse cuando la ra zón, (b/R), es pequeña. 24. Solenoide recto corto. Si el solenoide descrito en el artículo anterior es corto, de longitud l, la inducción magnética en un punto, P, del eje de sime tría, puede hallarse al considerar que aquél está formado por TVespiras circu lares que llevan una corriente, I, y aplicar la ley de Biot-Savart (véase figura 9.11); entonces resulta B = iI ^—j—{cos9i +cosd2)
(9-33)
donde Qx y 02 son los semiángulos de los conos de vértices en el puntó P, medidos desde el eje Z, y cuyas bases son las secciones de los extremos del solenoide. 25. Cilindro uniformemente magnetizado. Un cilindro circular, de radio i?, inmerso en él aire, tiene una magnetización uniforme, M 0, que es perpendi cular al eje de aquél. Después de escoger un sistema de coordenadas cilindri cas circulares, cuyo eje Z coincide cón el eje del cilindro y el eje X con la dirección de M0, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar magnético y usar las condiciones de frontera respectivas (véase figura 9.12), se encuentra
3 2 0 / Teoría electromagnética
Figura 9.12 Imán cilindrico. Cilindro, de radio R, uniformemente magnetizado con M0 parale la al eje X, e inmerso en el aire. En (b) se muestran, esquemáticamente, algunas líneas de fuerza de la inducción magnética del sistema.
B _ M0R 2 (¿r eos(p +. iy sen
H= B
M, M 0 (. ^ - M 0 = - ^ ( i cos
donde M0 = ix M0. En (9.34) se observa que dentro del cilindro H tiene un efecto desmagnetizante, ya que su sentido es opuesto al de M. 26. Bobina toroidal. Un toroide de sección recta arbitraria, de permeabili dad ju e inmerso en el aire, se devana apretadamente con un alambre delga do de manera que el número total de espiras sea N, y se escoge un sistema de coordenadas cilindricas circulares de origen en el centro del toro y cuyo eje Z coincide con el eje de simetría rotacional de éste (véase figura 9.13). Cuando el alambre conduce una corriente, I, se produce un campo magnéti co cuya intensidad en el interior del toroide, deducida de la simetría y de la ley de Arripére, tiene la siguiente magnitud:
Campo magnético estacionario; fu e rz a magnética, ..... / 321
Figura 9.13 Bobina toroidal. Toroide dé sección ar bitraria y N espiras, que llevan una comenté, V, don de el eje Z es el eje de simetría rotacional del toro.
(9.35)
27tr
donde r es la distancia al eje del toroide; fuera de la bobina, la intensidad del campo magnético producida por ésta es nula. 27. Bobina esférica. Una esfera, de radio a, permeabilidad ¡x e inmersa en el aire, se devana apretadamente con un alambre delgado de manera que el número de espiras por unidad de longitud del diámetro de aquélla sea uni forme, y se escoge un sistema de coordenadas esféricas, de origen en el cen tro de la esfera y cuyo eje Z pasa por los centroides de las espiras (véase figu ra 9.14). Cuando la bobina tiene N espiras y el alambre conduce una corrien te, I, en el sentido del versor i ^ puede aproximarse a una densidad superfi cial de corriente, K, dada por üT = iv (iV7sen0y(2a). Al resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar magnético y usar las condiciones de fronte ra respectivas, se encuentra B ¡xINa2 /. • „ . v — = ------- ——r- (*, 2cosé? + 1 „señé?), para r > a ¡X, 2(2fx0+¡x)r3U : H=
(9.36) B /x0IN /. . \ . /x0IN — = — -----—(ir cosé? - iBseñé? )= iz ----- — —, para r < a M (?úo +ú)a
(2ú0 + V ) a
3 2 2 / Teoría electromagnética
28. Esfera magnetizable en un campo magnético uniforme. Una esfera magnetizable, de radio a y permeabilidad ¿u2, se sumerge en un macizo infi¿ nito, de permeabilidad /i,, en el cual había un campó magnético uniforme, de intensidad if,j (véase figura 9.15). Después de escoger un sistema de.coordenadas esféricas, cuyo eje Z coincide con la dirección de H0, resolver la ecuación de Laplace para el potencial escalar magnético y usar las condicio nes de frontera respectivas, se encuentra — = H0 i, i +9T 2/i, + /V
\
a8' , r*
COS0 -
i„
a8.: sen# , para r> a 1 - ( ■ M 2-TVI y[ 2/i, +
J
H= — = ^
2^,+AV
(¿r cos9 - ie señé? ) ~ i l
—
2//, + f i 2
, para r e a
(9.37)
Con base en (9.37) pueden estudiarse diversos casos particulares e, incluso, casos extremos, como una esfera vacía o una esfera en el vacío. 29. Factor de desmagnetización. Cuando un material magnetizable tiene una magnetización espontánea y uniforme, M, en su interior la densidad volumétrica de carga de magnetización es 0 y en la superficie hay tina densi-
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ...
/ 323
Figura 9.15 Esfera magnetizable. Una esfera magnetizable, de radio a, está inmersa en un campo magnético uniforme, de intensidad H0. La esfera perturba localmente el campo, pero la alteración se desvanece con el cubo de la distancia.
dad superficial de carga de magnetización; ésta, a su vez, produce un campo magnético desmagnetizante, que se opone al efecto de M. Se define el factor de desmagnetización, kmi, en un punto del material, con respecto a una di rección arbitraria, de un sistema de coordenadas, mediante (9.38):. donde kmi es positivo. La suma de los factores de desmagnetización, con res pecto a tres ejes mutuamente ortogonales, en cualquier punto de un cuerpo magnetizado uniforme y espontáneamente, es igual a la unidad. De (7.28) y (9.38) se sigue que los factores de despolarización y desmagnetización son iguales para cuerpos de formas geométricamente semejantes; es decir, cuer pos cuyas dimensiones homologas son proporcionales. 30. Coeficientes de imductancia.y de imituainductancia. Si se tiene un sis tema de N hilos conductores cerrados, de sección recta despreciable, que conducen corrientes estacionarias, inmersos en un macizo magnetizable li neal, homogéneo e isotrópico, de permeabilidad pi, y en el conductor j, cuya curva cerrada es Cy, la corriente transportada es (véase figura 9.16), enton ces el flujo magnético enlazado por el conductor i, de curva cerrada c¡, puede expresarse como una combinación lineal de las corrientes de todos los hilos conductores presentes X,
y a p a ra í = 1,2,...77
(9.39)
324 / Teoría electromagnética
Figura 9.16 Sistema de N hilos cerrados que llevan co rrientes estacionarias. El hilo /' conduce una corriente /,, y la curva c¡, que lo determina, enlaza un flujo magnético, *Fm/, debido a las N corrientes presentes.
donde los términos M¡j se llaman coeficientes de autoinductancia, o inductancia a secas, cuando i y /s o n iguales, y de mutuainductancia, en caso con trario. .... 31. Fórmulá de Neumann. Los términos M¡j pueden interpretarse (véase figura 9.16) como el flujo magnético enlazado por él circuito i, de curva ce rrada c„ cuando el circuito/ de curva cerrada c-, lleva una corriente unitaria, y los demás hilos llevan corriente 0. Dichos términos pueden calcularse con la fórmula de Neumann: ds. • ds.
M = J L ()() ,J 4n i r. - r . r c¡ I ’ /I
(9.40)
Los coeficientes de mutuainductancia son positivos cuando los flujos en el circuito i, debidos a la corriente propia y a la que lleva el circuito/ tienen el mismo signo; son negativos, cuando los flujos anteriores tienen signos opues tos. Invertir la circulación de las corrientes I¡ o / cambia el signo de la mu tuainductancia. Estos coeficientes cumplen que M,. = MjV, y dependen, exclu sivamente, de la geometría del sistema y de la permeabilidad del material.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ...
/ 325
32. Inductores. Aunque una espira cerrada que lleva una corriente es un inductor, en el lenguaje popular esta, palabra se usa para denominar las bo binas o solenoides que están formados por muchas espiráis arrolladas alrede dor de un núcleo. Esos dispositivos están diseñados para producir campos magnéticos intensos en su núcleo, con magnitudes elevadas de H y B, y acu mular allí, en consecuencia, energía potencial magnética; su principal carac terística es la inductancia. 33. Inductancia. Se define la inductancia de un inductor como la razón en tre el flujo magnético total enlazado por el inductor y la corriente estaciona ria que fluye por éste y produce aquél; es decir, £ =y
(9.4i) ■■■
que constituye una medida de la habilidad del dispositivo para almacenar energía magnética; en el SI dicha propiedad se mide en henrios. En (9.41) se usa el símbolo A para representar el flujo magnético total enlazado por el inductor; éste es diferente de lFmcuando se consideran inductores formados por varias espiras o no se desprecia el espesor de los hilos, lo que lleva a considerar enlaces parciales de flujo. Cuando los materiales son lineales, homogéneos e isotrópicos, y el inductor lleva una corriente estacionaria, la inductancia depende sólo de la geometría del sistema y de los materiales usados, y no de la corriente o el flujo magnético enlazado por aquél. En la práctica, sin embargo, no se dan todas las condiciones anteriores y la induc tancia definida en (9.41) resulta ser, a menudo, una buena aproximación; es lo que ocurre, por ejemplo, en baja frecuencia, cuando la corriente varía periódica y lentamente con el tiempo. A diferencia de la capacitancia del capacitor ideal y puesto que, de acuerdo con la geometría del inductor, no siempre es posible evitar que en el interior de éste aparezca la influencia del campo magnético inducido en materiales externos por la propia corriente del dispositivo, la inductancia del inductor puede depender también de la presencia de materiales o cuerpos externos. 34. Mutuamductancia. Se define la mutuainductancia entre dos inductores, i y j, cuyos flujos magnéticos se concatenan mutuamente, como la razón entre el flujo magnético total enlazado por el inductor i, producido por la corriente estacionaria Ij que circula por el inductorj, y esta misma corriente; es decir, .
. 'My = Y
(9A2)
326 / Teoría electromagnética
F ig u ra 9.17 Flujos parciales enlazados. El conductor cerrado lleva una corriente, /, repartida en su sección recta según una densidad, J, que produce un campo magnético, de inducción B; algunas líneas de fuerza de B, como la 1 y la 2 en las figuras (a) y (b), están por fuera del con ductor y enlazan toda la corriente. Otras, como la 3, sé extienden dentro del conductor y enlazan parte dé la corriente; a esta última situación se refiere la idea de flujo parcial enlazado.
que en el SI se mide en henrios. Cuando los materiales son lineales, homor gáneos e isotrópicos, se cumple la relación de reciprocidad M¡. = Mjr 35. Flujos magnéticos parciales enlazados. Los flujos magnéticos parciales enlazados se presentan cuando el flujo magnético atraviesa regiones con corriente, de forma que algunas líneas de fuerza de B enlazan sólo una parte de la corriente total. Si sé considera un conductor en forma de lazo cerrado, de sección arbitraria, que transporta una corriente estacionaria distribuida en ésta, por ejemplo, se observa que algunas de las líneas de fuerza de la B producida por la corriente se extienden por fuera del conductor y enlazan toda la corriente que éste transporta, mientras que otras están dentro del conductor y concatenan sólo una parte de la corriente; los tubos de flujo magnético asociados con estas últimas enlazan parcialmente la corriente, y a esta situación se refiere el presente artículo (véase figura 9.17). Los flujos parciales enlazados deben calcularse cuando se quiere hallar la inductancia de un inductor mediante (9.41), por cuanto hacen parte del flujo total enlazado por éste; la expresión respectiva es 7 'r ...L =j
=j>
..................:.... ...........................................
(9-43)
donde d i es la corriente elemental en un filamento típico dentro del induc tor, y *Fmes el flujo magnético enlazado por ese filamento. El flujo magnético
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, . . . /
527
parcial enlazado por el filamento de corriente, di, dentro del inductor que lleva una corriente, I, repartida en la sección recta, es el resultado de multi plicar el flujo magnético total enlazado por ese filamento y la fracción dl/I. El cálculo puede eludirse, sin embargo, cuando la inductancia se determina a partir de la energía potencial magnética acumulada en todo el espacio. ': 36. Inductancia de un solenoide recto muy largo. La inductancia en un tramo, de longitud l, del solenoide descrito en el artículo 9.0.23, desprecian do la inductancia interna, es (véase figura 9.10): r lm J
—
finR2Nl
(9.44)
donde N es el número total de espiras en el tramo. 37. Inductancia dé un tóroide circular. La inductancia de una bobina toroidal como la descrita en el artículo 9.0.26 (véase figura 9.13), de sección recta circular y radio a, permeabilidad /i, N espiras, y cuyo, radio en la línea media es b, despreciando la inductancia interna, es :í ^ L = p N ^ - ( b - - a lY ' \
(9.45)
38. Inductancia de una bobina esférica; La inductancia de la bobina esférica descrita en el artículo 9.0.27 (véase figura 9.14), despreciando la inductancia interna, es ^ _ 2n¡j.fx0aN2 . ■3(2/z0+ //)
(9.46)
39. Energía potencial del campo magnético. En el artículo 6.Ó. 10 Hay fór mulas con las que se calcula, en función de H y B, el trabajo realizado en una región, de volumen V, para establecer allí el campo magnético y magnetizar los medios materiales existentes; y en el artículo 6.0.11, cuando los materia les son univaluados y lineales, de permeabilidad ¡u, se presentan las fórmulas de la energía potencial magnética acumulada en la región. A partir de esas expresiones, y extendiendo la integral a todo el espacio, sé halla la energía potencial asociada a un sistema finito de corrientes estacionarias, inmerso en un material magnetizable lineal, en función de la distribución de aquéllas y del potencial vectorial magnético que producen, con u . = \ [ .( A „ * j) iV + j\Í A ,.K ) d A
(9.47)
3 2 8 / Teoría electromagnética
donde V y S incluyen todos los volúmenes y superficies del espacio que tie nen corrientes, y el potencial vectorial magnético, An, es producido por esas mismas densidades de corriente. 40. Energía potencial magnética de un conjunto de corrientes filamentales cerradas. Si él sistema de corrientes está formado por N hilos conductores, cerrados y de espesor despreciable, que llevan corrientes filamentales esta cionarias (véase figura 9.16), la energía potencial magnética asociada se cal cula con '■ r,
:
donde ^ es el flujo magnético enlazado por el hilo que lleva la corriente producido por los (N - 1) hilos restantes; por tanto, no incluye el flujo debi do a esa corriente. Se hace esta exclusión debido a que por ser filamental la corriente el autoflujo de ésta es infinito. Con la anterior salvedad, (9.48) corresponde a la energía potencial magnética de interacción entre las N co rrientes filamentales y no incluye las autoenergías de cada una; al sustituir (9.39) en (9.48), resulta <9-«> V
i - y ;= l i*j.
donde se excluye la igualdad entre i y j para tomar en cuenta la salvedad. 41. Energía potencial magnética de un conjunto de inductores. Si el siste ma de corrientes está formado por N inductores finitos, que llevan corrientes estacionarias, la energía potencial magnética de aquél se calcula con :
^ ‘ V^../
i'-'-™
donde A¡ es el flujo magnético total producido por las corrientes que llevan todos los inductores, incluida la del i, enlazado por el inductor i. El resultado es semejante en forma al de (9.48), pero ahora no se desprecia el espesor de los hilos y se incluyen los autoflujos. El flujo magnético total enlazado por el inductor i es igual, de acuerdo con el principio de superposición, a la suma de los flujos producidos en aquél por cada uno de los N inductores del sis tema; por tanto, al tomar en cuenta (9.42) y (9.50), resultan
Campo magnético estacionario; fu erza magnética, ... /
Jv^-1
F i g u r a 9 .1 8
S i s t e m a ríg id o d e
329
/¿' A?
N
c ir c u it o s , q u e lle v a n c o r r i e n t e s e s t a c i o n a r i a s , in m e r s o s e n
m a t e r i a l e s l i n e a l e s . E l c ir c u it o / 'c o n d u c e u n a c o r r ie n t e , /,, y e n l a z a u n flu jo m a g n é t ic o to ta l; A l c ir c u it o
i
s e le d a u n p e q u e ñ o d e s p la z a m ie n t o v ir t u a l,
ds, q u e
Á¡.
c a m b i a lig e r a m e n t e la e n e r
g ía d e l s i s t e m a y p u e d e a lt e r a r e n lo s c ir c u it o s , d e a c u e r d o c o n l a s c o n d i c i o n e s i m p u e s t a s a c a d a u n o , s u s c o r r i e n t e s y f lu jo s e n l a z a d o s .
Ai = f JM¡jIJ, p ^ a i= l,2 >...N y U m= ^ f ^ M ijI J j ! p ^ i J = l X ...N
(9.51)
42. índucíancia de un inductor a partir de la energía potencial magnética. Si en un sistema de N inductores finitos, uno lleva la corriente estacionaria, ■ /, mientras los demás no tienen corriente, la energía de aquél, obtenida de (9.51), es (9.52, donde L es la inductancia del inductor. De (9.52) y (6.15), donde la integral se extiende a todo el espacio, se calcula la inductancia del inductor con
'
~
-y
i
<
9-B3>
3 3 0 / Teoría electromagnética
Esta ecuación es, a menudo, más fácil de aplicar para determinar la inductancia que (9.41), la cual exige el cálculo de los flujos magnéticos parciales enlazados. 43. Fuerza magnética sobre un inductor a partir dé la energía potencial. Si en ún sistema formado por N inductores rígidos, que llevan corrientes esta cionarias, inmersos en materiales lineales (véase figura 9.18), se desprecian las pérdidas de energía por el efecto Joule asociadas a las resistencias eléctri cas de los conductores y se supone conservativo el sistema, puede considerarse la energía potencial como una función escalar de los parámetros de éste y cal cularse la fuerza magnética que obra sobre uno de los inductores mediante el principio de la conservación de la energía y el método del trabajo virtual. Cuando las corrientes de todos los inductores del sistema permanecen igua les —durante el desplazamiento virtual de uno de aquéllos— manipulando apropiadamente las fuentes de energía externa, pero los flujos magnéticos enlazados cambian, la fuerza magnética que actúa sobre el que sufre el des plazamiento puede calcularse con .
F = {VUm)l
(9.54)
donde se agrega el subíndice / para indicar que, durante el desplazamiento virtual del cuerpo, todas las corrientes se mantienen constantes. Si se manipulan las corrientes de cada uno de los inductores del sistema —durante el desplazamiento virtual de uno de aquéllos— de manera que no cambien los flujos magnéticos enlazados por todos, la fuerza magnética que actúa sobre el que sufre el desplazamiento puede calcularse con , ; > = -(VU„y
.
(9.55)
donde el subíndice A se incluye para informar que, durante el desplazamien to virtual del cuerpo, todos los flujos magnéticos enlazados se mantienen constantes. Él valor obtenido para la fuerza es único, con independencia dél procedimiento o fórmula usados, ya que aquélla tiene un valor preciso en un sistema lineal donde las corrientes poseen valores específicos.
9.1 La B de corrientes filamentales; ley de Biot-Savart P r o p o s ic io n e s
1. Un haz de protones de alta energía, que sale de un acelerador de partícu las, produce un campo magnético.
Campo magnético estacionario; fu erza magnética, ... / 331
2. Los neutrones en movimiento producen campo magnético. 3. Una corriente rectilínea que fluye por un cilindro conductor, óhmico, produce campos eléctrico y magnético. 4. Si la carga neta por unidad de longitud, de un alambre recto, infinito y conductor, es nula, pero éste conduce electrones que se mueven con veloci dad, v, un observador que está en reposo con respectó al alambre no detecta campo magnético. "V ''■''y'"'-- ' 5. Si la carga neta por unidad de longitud, de un alambre recto, infinito y conductor, es nula, pero éste conduce electrones que se mueven con veloci dad, v, un observador que se mueve con respecto al alambre con velocidad v nota un campo magnético. 6. Con la expresión conocida como ley de Biot-Savart para filamentos sólo puede hallarse la B de corrientes cerradas. 7. La ley de Biot-Savart no puede usarse para calcular la B producida por corrientes abiertas. 8. La magnitud de H en el vacío debida a un alambre infinito y rectilíneo, que conduce una corriente, I, es |íí| - jU0|/|/(2tt?-), donde r es la distancia al alambre. / 9. El potencial escalar magnético de un hilo infinito y rectilíneo, que lleva una corriente, /, es independiente de r. 10. Si dos alambres rectos, paralelos e infinitos, llevan corrientes iguales y en el mismo sentido, la B producida por ambos en el plano mediatriz a éstos no es 0. 11. Si se trenzan entre sí alambres que llevan corrientes iguales pero de sen tidos contrarios, sus efectos magnéticos se incrementan. 12. La magnitud de la B en el centro de una espira circular, de radio rí, que lleva una corriente, /, es ¡1?| = ¡ití \l\j(2a). 13. La expresión |jB| = /¿0|/|a2(a2 +z2) '/2 , es la magnitud de la B en los pun tos del eje de simetría de una espira circular, de radio a, inmersa en el vacío y que lleva una corriente, I. 14. Si una espira circular llevá una corriente, /, su B es uniforme en los pun tos del círculo encerrado por aquélla. 15. Dos hilos rectos, paralelos y semiinfinitos están unidos en sus extremos por uno semicircular, de radio a, y el conjunto lleva una corriente, I; la mag nitud de la B en el centro del semicírculo es |l?| = pt0|/|(7T'' + 2 - w -
3 3 2 / Teoría electromagnética
S o lu c io n e s
1. Cierto. El haz de protones en movimiento es una corriente filamentaí que produce campo magnético; la inducción de éste, en cualquier punto del es pacio, se calcula con (9.4). Además, los protones tienen momento de dipolo magnético, que también es fuente del campo magnético 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. El neutrón es una partícula subatómica, eléctricamente neutra, que junto con el protón constituye el núcleo del átomo; tiene un espín igual a 0,5 y momento de dipolo magnético de sentido opuesto a éste. Al ser el neutrón una partícula microscópica, sus interacciones locales escapan al ámbito de explicación de la teoría electro magnética de Maxwell. La proposición es cierta, entonces, si se toma en cuenta que el momento de dipolo magnético del neutrón es fuente de un campo magnético local y de interacciones magnéticas én ese nivel; es falsa, al observar que el movimiento de los neutrones descargados no constituye una corriente eléctrica y que sus momentos de dipolo magnético se ordenan al azar y cancelan mutuamente sus aportes, por lo cual, aquéllos no son fuente de un campo magnético macroscópico. 3. Cierto. Produce un campo magnético, cuya B en cualquier punto exterior al cilindro se calcula con (9.4), y un campo eléctrico, cuya 2? dentro del cilin dro puede hallarse con (3.22). 4. Falso. Si la carga por unidad de longitud, de los electrones que se mueven con velocidad v, es Xe, entonces el alambre lleva una corriente filamentaí, I, cuyo valor es ke\v | ; en consecuencia, el observador detecta un campo magné tico ortogonal al alambre, cuya B se da en (9.4). 5. Cierto. La carga neta por unidad de longitud del alambre es nula porque las cargas totales por unidad de longitud, Xe, dé los electrones que se mueven con velocidad, v, y de los núcleos positivos en reposo, Xp, son iguales y de signos opuestos. El observador que se mueve con respecto al alambre, con velocidad v, nota que los electrones están eri reposo y los núcleos positivos se mueven con velocidad, - v; en consecuencia, este observador detecta un campo magnético producido por el movimiento de esos núcleos con respecto a él. 6. Falso. Con (9.2) puede calcularse, en tanto la corriente sea estacionaria, la B debida a cualquier segmento de una corriente filamentaí. 7. Cierto. La ley de Biot-Savart se deduce directamente de la de Ampére para el cálculo de la fuerza entre dos- corrientes; ésta^ a su vez, es válida- e n tanto las corrientes sean estacionarias. En un circuito donde la corriente libre es abierta, como el circuito de carga de un capacitor o una antena, la
Campo magnético estacionario; fuerza/m agnética, ... / 3 3 3
... oo 2a
00
±
Figura 9.19
S o l u c i ó n d e la p r o p o s ic ió n 9 .1 .1 5 .
corriente varía con el tiempo y, por tanto, no puede usarse (9.2) para calcu lar la B del campo magnético producido. 8. Falso. Las dimensiones son incorrectas; la expresión correcta, obtenida de (3.11) o (9.4), es \H\ = \l\/(2nr). 9. Cierto. Con respecto a un sistema de coordenadas cilindricas circulares, cuyo eje Z coincide con el hilo y tiene el mismo sentido de la corriente que éste transporta, se deduce de (9.4) y (9.29) que iv l/( 2 n / = -iv{]jr^d0w/d(p. Por tanto, <í>„ = - l(p/(27t) + C, donde C es una constante arbitraria. 10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Esa B, calculada para cada alambre con (9.4), resulta ser un vector no nulo perpendicular al plano mediatriz; sin embargo, por la simetría, B es 0 en los puntos donde el plano mediatriz interseca al plano de los alambres. 11. Falso. Los efectos magnéticos producidos por los hilos se contrarrestan, y el cable trenzado, en puntos externos, se comporta como si llevase una co rriente nula. 12. Cierto. Se deduce de (9.5), al igualar z a 0. 13. Falso. Las dimensiones son incorrectas; la fórmula correcta es la (9.5). 14. Falso. Al integrar (9.2), para hallar la i? de la espira en un punto del círculo ubicado a una distancia r del centro del mismo, se encuentra que aquélla es perpendicular al círculo y de magnitud no uniforme. Por ejemplo, en puntos cercanos al centro de la espira, la magnitud de esa B es : Ijl _ /to|7|fl2(2ffl2+ a r - r ) ’ 4(a + ry
.
15. Cierto. Se confirma al aplicar, aprovechando la simetría del sistema, (9.4) y (9.5) (véase figura 9.19).
3 3 4 / Teoría electromagnética
9.2 Fuerza magnética sobre corrientes filamentales P r o p o s ic io n e s
1. Si un conductor filamental lleva una corriente, I, y su carga neta es 0, la fuerza que el campo magnético ejerce sobre aquél es nula. 2. Puesto que B = ¡i^Ij(2nr) , sugiere que hay una B intensa en puntos cer canos a un alambre recto e infinito, que lleva una corriente, debe; haber una fuerza neta que obra sobre el alambre. 3. La fuerza magnética que obra sobre un alambre que lleva una corriente rectilínea se duplica cuando se duplica esta corriente. 4. Si un alambre recto, que es perpendicular a una B uniforme de magnitud igual a l [T], experimenta una fuerza de 10 [N] cuando lleva una corriente de 10 [A], la longitud del alambre es de 1 [m]. 5. Si se duplicá la longitud de un alambre recto que lleva una corriente, I, la fuerza magnética que una B no uniforme ejerce sobre aquél se duplica. 6. Alambres paralelos y rectos que llevan corrientes en el mismo sentido, se atraen.: 7. Si se duplica la distancia éntre dos alambres rectos y paralelos, que llevan corrientes iguales, la magnitud de la fuerza entre aquéllos se reduce a la cuarta parte. "' 8. Amperio es la corriente que cuando circula por dos alambres rectos y para lelos, separados 1 [m], produce una fuerza de atracción mutua cuya magni tud es igual a 2x 10~'[N/m]. 9. La razón entre la constante eléctrica, Ke, y la constante magnética, Km, es 1/c2. 10. Si una corriente eléctrica recorre un resorte vertical, cuyo extremo infe rior soporta un objeto pesado, aquél se estira cuando la corriente empieza a "■pasar. ' 11. Si un alambre recto, que conduce una corriente, está rígidamente apoya do sobre una superficie plana, y sobre aquél “flota” otro alambre recto, que también lleva corriente, sostenido por la fuerza de repulsión magnética, en el plano vertical definido por ambos alambres el equilibrio del “flotante” es estable. 12. Si un alambre recto, que conduce una corriente, está rígidamente apoya do sobre una superficie plana, y debajo de aquél “flota” otro alambre recto, que también lleva corriente, sostenido por la fuerza de atracción magnética,
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 3 3 5
Figura 9.20 Atracción entre corrientes. Dos corrientes rectas, paralelas y que tienen el mismo sentido, se atraen. . .. . .
en el plano vertical definido por ambos alambres/'el'equilibrio del “flotante” es estable. 13. Si una espira rectangular, que lleva una corriente, 7, se coloca en un pla no vertical, de manera que su lado menor sea horizontal, en medio de un campo magnético cuya B es uniforme y horizontal, el momento producido por el campo sobre la espira no cambia, ál colocarla con el lado menor en dirección vertical. 14. Si una espira rectangular, que lleva una corriente, se coloca en un campo magnético uniforme, el equilibrio de la espira es indiferente cuando el ángu lo entré JS y la normal al plano de la espira es de 0o. 15. El funcionamiento dél motor eléctrico se basa en que cuando un alambre conductor, que lleva corriente, se coloca en un campo magnético; aquél que da sometido a una fuerza perpendicular. 16. Si una espira rectangular, de área. A, lleva una corriente, 7, y se coloca en un campo magnético uniforme, de. manera que entre la normal al plano de aquélla y B..el ángulo es a, al rotar la espira media vuelta, alrededor de un eje de simetría perpendicular a su plano, el trabajo efectuado por el campo magnético es WK = Al\B\. 17. Si una espira rectangular, de área A, lleva una corriente, 7, y se coloca en un campo magnético uniforme, de manera que entre la normal al plano de aquélla y B el ángulo es a, al rotar la espira media vuelta, alrededor de un eje de simetría contenido en su plano, el cual es perpendicular a B, el trabajo efectuado por el campo magnético es Wm= 2AI\B\cosa.
336 / Teoría electromagnética S o lu c io n e s
1. Falso. La carga neta en el interior de los conductores lineales homogéneos e isotrópicos es 0 y ello no influye en la fuerza que el campo magnético les ejerce cuando transportan corriente; ésta no es 0 y puede calcularse con (9-6). . ' . . ' 2. Falso. La inducción magnética, B, se debe a la corriente que lleva el mis mo alambre y un cuerpo no puede desarrollar una fuerza neta que obre en sí mismo; sobre un cuerpo sólo ejercen fuerzas los demás. En un elemento de corriente del alambre actúa una fuerza debida al campo magnético del mis mo alambre que, aunque produce tensiones y deformaciones en éste, se can cela mutuamente con las de los demás. 3. Cierto. Se observa en (9.6) que la fuerza es directamente proporcional a la corriente que el alambre conduce. 4. Cierto. De (9.6) resulta |F| = 7|Z||f | = 10 x 1x ¿ = 10 [N]. 5. Falso. De (9.6) se sigue qué cuando el campo magnético no es uniforme, B no puede extraerse de la integral; por tanto, no hay una relación lineal entre la fuerza y la longitud del alambre. 6. Cierto. Y se repelen si los sentidos de las corrientes son opuestos (véase figura 9.20); ambos resultados se verifican al sustituir (9.4) en (9.6). 7. Falso. De (9.4) y (9.6) se deduce que la magnitud de la fuerza mutua, por unidad de longitud, entre dos alambres rectos y paralelos, separados la dis tancia d y que llevan corrientes iguales, es dF_ ds
2n d
2 x l0 '7
d
(9.56)
donde se usó el valor de lá permeabilidad del vacío. En consecuencia, al du plicar la distancia entre los alambres, la fuerza se reduce a la mitad. 8. Cierto. Se ratifica con (9.56); además, ésa es la definición de la unidad dé corriente en el SI. La fuerza se mide con una balanza de corrientes. 9. Falso. Las constantes mencionadas son de proporcionalidad en las leyes de Coulomb y de Ampére —ver (2.22) y (9.1)—-; permiten calcular, respecti vamente, la fuerza éntre cargas eléctricas y entre corrientes eléctricas. En función de la permitividad y la permeabilidad del vacío, esas constantes y su razón-valen" --— ---- - ----------------- -----— ---- ———
Campo magnético estacionario; fuerza magnética,
K, = — , Km= - ^ y ^ - = — = c2 4^e0 4rc Km ii0s0
. / 337
;■■
10. Falso. Se contrae en el instante inicial; en efecto, la corriente circula con el mismo sentido por las espiras paralelas del resorte, y la fuerza entre ese tipo de corrientes es de atracción. 11. Cierto. Como la fuerza magnética entre los.alambres —observar (9.56)— es inversamente proporcional a su distancia, el equilibrio del “flotante” es estable en el plano vertical, porque al acercarlo o separarlo ligeramente del rígido, en ese plano, aquél retorna a la posición de equilibrio. En efecto, al acercarlo, la fuerza magnética aumenta y la repulsión tiende a elevarlo; cuando se alejaren cambio, la fuerza magnética disminuye y el peso propio tiende a bajarlo. 12. Falso. Como la fuerza magnética entre los alambres, según (9.56), es inversamente proporcional a su distancia, el equilibrio del alambre “flotante” es inestable en el plano vertical, porque al acercarlo o separarlo ligeramente . del rígido, en ese plano, aquél no retorna a la posición de equilibrio. En efecto, al acercarlo, la fuerza magnética aumenta y la atracción tiende a ele varlo más; cuando se aleja, en cambio,, la fuerza magnética disminuye y el peso propio tiende a bajarlo más. 13. Cierto. El campo magnético uniforme en el que está inmersa la espira con corriente, la cual equivale a un dipolo magnético, le produce un momen to dado por M = m xB = IA xB
(9.57)
donde A es el vector área de la espira; expresión que no cambia al conmutar los lados de la espira. 14. Falso. La fuerza total que el campo magnético presente ejerce sobre la espira es 0, al ser esté campo uniforme; y es nulo también el momento que obra sobre aquélla, como se deduce de (9.57), puesto que el ángulo entre A y B es 0. En conclusión, la espira está en equilibrio; este equilibrio es estable porque la espira, bajo la acción recuperadora del momento, retorna a la po sición de equilibrio cuando se la retira ligeramente de ésta. 15. Cierto. En el motor eléctrico se hace pasar una corriente por un conjunto de espiras co>nductoras inmersas en un campo magnético; éste campo, al actuar sobre cada elemento de corriente de las espiras, produce fuerzas per pendiculares a éstas. El sistema resultante de fuerzas distribuidas a lo largo de las espiras es equivalente a un par cuyo momento las hace rotar alrededor de un eje; esta rotación es la que se aprovecha en el motor.
3 3 8 / Teoría electromagnética
16. Falso. Al rotar la espira alrededor de un eje perpendicular a su plaño, el ángulo entre la normal a ese plano y B no cambia-, en consecuencia, el mo mento que el campo magnético ejerce sobre la espira, dado en (9.57), no realiza trabajo. 17. Cierto. Si el ángulo instantáneo entre la normal al plano de la espira y B es 9, la magnitud del momento del par que el campo magnético ejerce sobre la espira, deducido de (9.57), es |M| = |/plBsen0. Él trabajo realizado al girar la espira media vuelta, alrededor de un eje que es paralelo a M, se calcula Í
i*a+7r■.
Md9 = I
ÍABsenOdd =2IABcosa. :■
9.3 Efecto Hall P r o p o s ic io n e s
1. El efecto Hall permite averiguar el signo de ios portadores de la carga en una corriente eléctrica. 2. El efecto Hall perrnite averiguar el signo de los portadores de la carga en un conductor metálico. 3. El voltaje Hall incrementa con la densidad de los portadores de la carga. 4. El voltaje Hall incrementa cuando disminuye la dimensión de la barra que es paralela a la dirección de la B aplicada. 5. Sólo existe el efecto Hall negativo. 6. El efecto Hall negativo én los conductores se explica por él movimiento de los electrones. .. 7. El efecto Hall positivo en los conductores se explica por el movimiento de los protones. 8. Si se supone que la valencia del cobre es igual a la unidad, la densidad por átomo de portadores de la corriente en el cobre es también igual a la unidad. 9. Cuando una corriente electrónica se mueve a lo largo de una barra con ductora, en dirección perpendicular a la B de un campo magnético, sobre la red atómica obra una fuerza neta. S o lu c io n e s
1. Cierto. El signo de los portadores de la carga, en una corriente eléctrica que fluye por una barra en dirección transversal a la B de un campo magné-
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ...
/ 339
tico, puede averiguarse con el efecto Hall al establecer la polaridad del volta je eléctrico. inducido entre dos caras opuestas de la barra. Esta polaridad depende —ver (9.8)— del signo de la velocidad de los portadores de la car ga; cuando éstos llevan carga positiva, su velocidad de arrastre es positiva y tiene el mismo sentido de la corriente, en caso contrario, es negativa y tiene sentido opuesto al de la corriente. Es difícil determinar en la práctica el sig no, sin embargo, cuando los portadores de la carga son de diferentes tipos o si su densidad es muy pequeña, la corriente no está confinada o las dimensio nes transversales de la barra son tan grandes —ver (9.8) y (9.9)— que la velo cidad de arrastre de los portadores y el voltaje Hall son imperceptibles. 2. Cierto. Puede determinarse ese signo, de acuerdo con la explicación que se dio en la proposición anterior, en tanto se dé al material una forma apro- : piada, compatible con el experimento. Conviene subrayar, además, que en los conductores metálicos la densidad de portadores de la carga es alta y ello contribuye a un voltaje Hall pequeño, 3. Falso. Disminuye, como se advierte en (9.10). 4. Cierto; Se concluye de (9.10). 5. Falso. De manera convencional, cuándo los portadores dé la carga son positivos, el voltaje de Hall se define como positivo, y es negativo en caso contrario; este último se conoce también como efecto Hall normal y lo exhiben muchos metales conductores, como el cobre, la plata y el platino. Sin embar go, otros conductores como el plomo, el zinc y el hierro, o los semiconducto res, presentan el efecto Hall positivo. 6. Cierto. La corriente eléctrica que circula por muchos conductores metáli cos se debe a que los portadores de la carga en éstos son electrones; en tales casos, el efecto Hall resultante es conocido como negativo. 7. Falso. El efecto Hall positivo se debe al movimiento de cargas positivas; pero éstas no son protones, que están ligados a los núcleos de la red atómica del material por fuerzas muy fuertes, sino huecos de electrón, que se compor tan como cargas positivas. En efecto, en la estructura atómica de algunos materiales hay posiciones donde normalmente debe estar presente un elec trón; sin embargo, por defectos de la misma, el electrón está ausente y existe un hueco de electrón. Cuando un electrón vecino llena ese hueco, bajo la influencia de un campo eléctrico externo, se produce otro hueco en su posi ción inicial y, al repetirse el proceso, los huecos se desplazan en el mismo sentido del campo eléctrico aplicado; por tanto, los huecos se comportan como cargas positivas.
3 4 0 / Teoría electromagnética
8. Falso. Al medir, mediante el efecto Hall, la concentración de portadores de la carga en una lámina de cobre, resulta ser igual a 0,73 electrones por átomo. Por tanto, el electrón de valencia del cobre no es totalmente libre: es casi libre, y el modelo de conducción que se basa en la teoría del gas electró nico muestra imperfecciones. 9. Cierto. Suponiendo que cada átomo tiene, en promedio, un electrón libre, sobre éstos, que se mueven con velocidad media, v, actúa la fuerza de Lorentz, que desplaza el conjunto hacia uno de los bordes de la barra —donde se forma uña carga superficial móvil— y se produce un déficit de carga del signo contrarió en el borde opuesto; en consecuencia, apárece una compo nente transversal de E, perpendicular a la corriente, que aumenta; paulati namente de magnitud hasta que la fuerza transversal sobre los electrones de conducción interiores, en movimiento ordenado, se anula. Esa fuerza se cal cula con Ff = -e{Et +z>xi?)= 0; por tanto, Et = -v x B , y aparece, simultánea mente, entonces, una fuerza eléctrica que obra sobre la red atómica en repo so, cuya carga neta es positiva, de valor ,F =eE, - -ev xfi. En consecuencia, la red atómica experimenta una fuerza eléctrica idéntica a la fuerza magnética que actúa sobre los electrones en movimiento.
9.4 Dipolo magnético simunes:
1. Un dipolo magnético está formado por dos cargas magnéticas iguales y de signo contrario. ■2. El momento de dipolo magnético de una corriente filamental cerrada se halla con m =
r • ds.
3. Si se duplica el radio de una espira circular, que transporta una corriente, I, se duplica su momento de dipolo magnético. 4. Para una espira no coplanar, c, que lleva una corriente, I, puede calcularse el momento de dipolo magnético. 5. Sólo las corrientes filaméntales tienen momento de dipolo magnético. 6. El momento de dipolo magnético de una distribución uniforme de co rriente superficial, A, es un vector ortogonal a K. 7. Una esfera, conductora y cargada, que rota alrededor de un diámetro con la velocidad angular, tú, tiene momento de dipolo magnético.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 341
8. Una distribución volumétrica de corriente,/, no tiene momento de dipolo magnético. 9. El potencial escalar magnético de un dipolo magnético puntual, en puntos distantes, es una función inverso cuadrática de la posición. 10. Si un dipoló magnético puntual está inmerso en un campo magnético no uniforme, la fuerza que el campo desarrolla sobre el dipolo es 0. 11. Si un dipolo magnético puntual está inmerso én un campo magnético uniforme, el momento que el campo ejerce sobre el dipolo no es 0. 12. Si un dipolo magnético puntual está inmerso en un campo magnético uniforme, se encuentra en equilibrio inestable cuando el ángulo entre m y B es de 0o. 13. Si un dipolo magnético puntual está inmerso en un campo magnético no uniforme, y el ángulo entre m y B es 180°, el dipolo no está en equilibrio. 14. La energía potenciar de un dipólo magnético puntual, inmerso en un campo magnético, es mínima cuando m y 2? son antiparalelos. 15. Si 8 es el ángulo entre m y B, en un campo magnético uniforme, e ini cialmente 8 = 90°, el trabajo requerido para girar el dipolo hasta 8 - 270°, es de 2mB. S o lu c io n e s
1. Falso. Las cargas magnéticas no existen; el dipolo magnético puntual se definió en el artículo 3.0.5 como formado por una corriente filamental, 7, que encierra un área plana, A, tomados en el límite, cuando 7—»°° y >4-^0, mientras el producto, 74, se mantiene finito. 2. Falso. El miembro derecho de la expresión es un escalar, cuando el mo mento de dipolo magnético es un vector; lá expresión correcta es la (9.12). 3. Falso. Se cuadruplica, puesto que el momento de dipolo magnético de la espira es proporcional al área enlazada. 4. Cierto. Se subdivide una superficie arbitraria, cuya curva perimetral es c, en un conjunto de elementos diferenciales de superficie, cada uno limitado por una pequeña curva qué transporta, imaginariamente, una corriente, 7, y a los que en el límite se aplica (3.5); dichas corrientes no cambian el proble ma, pues los elementos diferenciales contiguos cancelan mutuamente las que circulan en sentidos opuestos, y las corrientes quedan intactas sólo en el pe rímetro externo, que coincide con la curva c. El momento de dipolo magné tico de la espira no coplanar es la suma de los momentos de dipolo de los
3 4 2 / Teoría electromagnética
diferentes elementos diferenciales; de esta manera resulta, finalmente, (9.12). 5. Falso. A partir de (9.12), por ejemplo, cambiando Ids por KdA, puede calcularse el momento de dipolo magnético de una distribución de corriente superficial, K, con m = j ¡ s{rxK)dA
(9.58)
6. Cierto. El momento, en efecto, es perpendicular a K, ya qué si K es uni forme, de (9.58) resulta m = ÍÍ/^^rx K )d A = -(¿'/2)x jrdÁ. 7. Cierto. La carga de la esfera conductora está distribuida en su superficie, porque no hay carga dentro de un conductor. Cuando la esfera rota, ese movimiento origina el equivalente de una corriente superficial, K\ ésta tiene momento de dipolo magnético y puede calcularse con (9.58). 8. Falso. A partir de (9.12), cambiando Ids por JdV, puede calcularse el momen to de dipolo magnético de una distribución de corriente volumétrica,/, con m =± l ( r x j ) dv
(9.59)
9. Cierto. Se sigue de (9.13); las propiedades de ese dipolo son semejantes a las del dipolo eléctrico. 10. Falso. El campo magnético desarrolla una fuerza sobre el dipolo magné tico puntual, que puede calcularse con (9.14), la cual tiende a moverlo hacia la región donde el campo es más intenso. 11. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si tn y B no son paralelos, el campo magnético desarrolla un momento sobre el dipolo magnético pun tual, que puede calcularse con (9.15), el cual tiende a rotarlo; si son parale los, el momento es 0. 12. Falso. Se deduce de (9.14) que el dipolo magnético está en equilibrio; este equilibrio es estable, ya que si se retira ligeramente el dipolo de esa po sición de equilibrio, el momento que el campo le produce lo regresa a ésta. Además, en la sitiiación informada, la energía del dipolo, según (9.16), es mínima y vale -mB. 13. Cierto. De acuerdo con (9.14), aunque el momento que obra sobre el dipolo es- Oren -la posición -infor:mada.r éste- no está- en -equilibrio ya que el campo le ejerce una fuerza.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 3 4 3
14. Falso. Cuando el ángulo entre m y B es de 180°, la energía potencial del dipolo, según (9.16), es máxima e igual a mB. ; 15. Falso. El trabajo requerido para girar el dipolo contra la acción del camr37r/2
rfff/2
po magnético, usando (9.15), es Wm= -J ^ Mdd - - j /2 mBsenddO =0.
9.5 Campo magnético de la Tierra P r o p o s ic io n e s
1. La B del campo magnético terrestre puede medirse con un galvanómetro de tangentes. 2. Los grandes yacimientos de mineral de hierro son la principal fuente del campó magnético terrestre. 3. La inducción magnética del campo terrestre es del orden de 0,5 [T]. 4. Las brújulas no apuntan exactamente hacia el polo norte geográfico de la Tierra.; 5. El polo norte geográfico de la Tierra es, aproximadamente, un polo norte magnético. 6. Si el magnetismo terrestre se debe a cargas eléctricas superficiales que rotan con la Tierra, esas cargas deben ser negativas para explicar el tipo de momento de dipolo magnético que aquélla tiene. 7. La B de la Tierra es mayor en Alaska que en Colombia. 8. Las líneas de fuerza de la B terrestre son tangentes a la superficie del pla neta. ■ ' 9. Si la Tierra se considera como una esfera uniformemente magnetizada, en el hemisferio norte las líneas de fuerza de la H terrestre inciden sobre la superficie del planeta. 10. Cuando incrementa la latitud geográfica, la H del campo magnético te rrestre disminuye. 11. Si se supone que el campo magnético de la Tierra es dipolar y que los polos geográficos y magnéticos coinciden, la inclinación magnética no coin cide con la latitud geográfica. . 12. La inclinación magnética máxima se presenta en los polos magnéticos del planeta.
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13. La declinación magnética es el ángulo entre la dirección indicada por una brújula y los paralelos geográficos. 14. La declinación magnética es mayor cerca de los polos que del ecuador 'terrestre. ... /.y ..... 15. La inclinación y la declinación magnéticas son constantes. 16. El campo magnético del planeta, en un punto de la atmósfera, es dife rente de día y de noche. 17. La fuerza que el campo magnético de la Tierra desarrolla sobre el plane ta mismo, es máxima cuando éste se encuentra más cerca del Sol. 18. Si un alambre lleva un chorro de electrones en el sentido de occidente a oriente, y está colocado a lo largo del ecuador terrestre, la Tierra lo atrae por la acción del campo magnético de ésta. 19. Si un avión vuela hacia el norte, su ala oriental tiene mayor potencial eléctrico que la occidental. 20. Cuando un alambre se tiende a lo largo de un paralelo terrestre, y por aquél se hace pasar una intensa corriente eléctrica, puede determinarse, sin ningún instrumento, el sentido de esa corriente. S o lu c io n e s
1. Cierto. El galvanómetro de tangentes, o de aguja, consiste en una bobina plana en cuyo centro está suspendida la aguja de una brújula que indica la dirección del meridiano magnético y la declinación locales. Guando se hace pasar por la bobina una corriente dada y se la gira un ángulo de 90°, que induce una B conocida en dirección perpendicular a la del campo terrestre, la desviación de la brújula permite calcular la magnitud d e ja B del campo magnético local. 2. Falso. Si fuese cierto, el campo magnético terrestre no tendría los cam bios seculares en el tiempo que, efectivamente, presenta. /Medidas de la orientación del campo magnético terrestre realizadas en depósitos lacustres estratificados, por ejemplo, han permitido establecer que eri los últimos 12.000 años la declinación magnética ha variado secularmente entre 30° ál oriente y 30° al occidente del polo norte geográfico. 3. Falso. En los polos, donde la magnitud de la inducción magnética del campo terrestre es mayor, ésta es del orden de 0,6 x 10"4 [T]. 4. Cierto. Las brújulas se orientan en la dirección del meridiano magnético local y éste no coincide con el geográfico, en general, debido a la influencia
Campo magnético estacionario; fuerza,magnética, ... /
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de fuentes locales del campo magnético y a que los polos geográficos y mag néticos son distintos. 5. Falso. Aproximadamente, es un polo sur magnético; las líneas de fuerza de la inducción magnética terrestre emergen del hemisferio austral e ingresan al boreal. 6. Cierto. Como el planeta rota de occidente a oriente y el campo magnético terrestre es semejante, aproximadamente, al de un dipolo magnético pun tual, ubicado en el centro de la Tierra y dirigido hacia el hemisferio austral, si ese campo se debe a la rotación de cargas eléctricas superficiales, éstas deben ser negativas. / : \ 7. Cierto. En los polos magnéticos del planeta, donde Concurren las líneas de fuerza de laÍB terrestre, la magnitud de ésta es mayor, del orden de 0,6x 10~4 [T], y Alaska está más cerca de uno de esos polos que Colombia. 8. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. No son tangentes a la su perficie terrestre, en general, y por ello en ésta existe la inclinación magnéti ca (véase figura 9.9); sin embargo, sí son tangentes a lo largo del ecuador magnético. 9. Cierto. Én el exterior del planeta, y de acuerdo con la hipótesis propuesta —examinar (9.18)— la B y la H del campo magnético terrestre tienen el mismo sentido; en consecuencia, en el hemisferio norte las líneas de fuerza de H entran a la Superficie de la Tierra. Conviene subrayar que, debido a la magnetización supuesta, en el interior del planeta B y H tienen sentidos opuestos. 10. Falso. En las cercanías de los polos magnéticos, cuando la latitud geográ fica aumenta, las líneas de fuerza del campo magnético convergen y allí la magnitud de H toma el mayor valor. 11. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si se. designa con 0* la latitud geográfica, entonces 0 y 0* son ángulos complementarios; por tanto, de (9.17) se deduce que, en general,
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14. Cierto. La declinación magnética es mayor cerca de los polos magnéti cos, donde hay curvas isógonas que corresponden a declinaciones tan altas como 150°, y disminuye cuando la distancia a aquellos incrementa. 15. Falso. La configuración geográfica del campo magnético terrestre varía con el tiempo: presenta cambios cíclicos de gran período, llamados seculares, otros más cortos, de variación diaria, y cambios ocasionales producidos por las tormentas solares. 16. Cierto. El campo magnético del planeta está muy influenciado, en la atmósfera terrestre, por la actividad solar, y su estructura no muestra sime tría entre la región iluminada por el Sol y la que se encuentra en la sombra;; , en esta última, las líneas de fuerza del campo se alargan hasta distancias superiores a la que hay hasta la Luna, y 'el planeta presenta una cola magné tica provocada por el viento solar, semejante a la de los cometas. 17. Falso. Un cuerpo no desarrolla una fuerza neta sobre sí mismo. 18. Cierto. Al aplicar (9.6) al alambre, tomando en cuenta el sentido de la B del campo magnético terrestre en el ecuador, y que el, sentido de la corriente convencional es opuesto al del movimiento de los electrones, se deduce que la fuerza resultante sobre el alambre está orientada hacia el centro del planeta. 19. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como en el hemisferio nor te la inclinación magnética es positiva—-observar (9.17)— y si se supone que el avión vuela a una altura uniforme y el campo magnético terrestre es dipolar, entonces, y dado el movimiento del avión, la fuerza de Lorentz que obra sobre los electrones de la estructura metálica de aquél tiende a llevarlos hacia el ala Oriental, la cual queda con un potencial eléctrico menor que el del ala occiden tal; en el hemisferio sur, en cambio, la inclinación magnética es negativa y el ala oriental del avión queda con un potencial eléctrico mayor. 20. Cierto. Si el alambre sube, al paso de la corriente, es porque ésta, to rnando en cuenta el sentido de la B del campo magnético terrestre y (9.6), circula de occidente a oriente; si baja, va de oriente a occidente.
9.6 Campos magnéticos en la materia P r o p o s ic io n e s
1. .ff es una función multivaluada de la posición. 2. La ecuación B - iiH es válida sólo en máteriales paramágnéticós o éñ diamagnéticos.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 3 4 7
3. En los materiales ferromagnéticos se cumple V »H = 0. 4. Dentro de un conductor el campo magnético no es nulo. 5. Dentro de un conductor ordinario, Cargado, aislado y en condiciones está ticas, H es nula. v ’ 6. B es tangencial a la superficie de un conductor. 7. La corriente superficial de magnetización es 0 cuando M es normal a la superficie. 8. Si la magnetización de una barra es uniforme, dentro de ésta no hay co rrientes volumétricas de magnetización. ;9. “Polo magnético” es cualquier punto de un material magnetizado. 10. Las unidades de la carga magnética en el Si són [mA]. 11. Las unidades de la densidad volumétrica de carga magnética en el siste ma MKSC son [m_2sC]. '■ 12. Las unidades de la densidad superficial de carga magnética en el SI son [m_1A]. Í Á ;;:;-'" ' ■ '-j': ' 13. Si la magnetización de un cuerpo no es uniforme, la suma de las cargas totales de magnetización en el volumen y en la superficie es diferente de 0. 14. Sida magnetización de un material es uniforme, la densidad volumétrica de carga magnética es 0. 15. Una corriente eléctrica mueve una brújula.
.
16. Si dos barras de hierro tienen aspecto idéntico, pero una está magnetiza da uniformemente a lo largo de su eje y la otra no está imantada, es imposi ble distinguirlas mediante interacciones mutuas. 17. Si se tienen dos varillas cilindricas, de radios despreciables, de magneti zación longitudinal uniformé y cercanas entre sí, la fuerza magnética que obra sobre el extremo de una de las varillas depende de los inversos de los cuadrados de las distancias existentes entre ese extremo y los otros tres. 18. El período de la aguja de una brújula, de momento de inercia con res pecto a su baricentro, /, y momento de dipolo magnético, m, que efectúa pequeñas oscilaciones con respecto a la dirección de la B del campo magné tico terrestre, és T = 2n(mB/iy~. 19. Si una barra de hierro recta, corta y delgada, no es un imán permanente y sé coloca en un campo magnético no uniforme, sobre aquélla obran una fuerza y un par.
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20. Si una barra de hierro recta es un imán permanente y se coloca en un campo magnético uniforme, sobre aquélla obran una fuerza y un par. 21. Si se duplica el volumen de un cuerpo conductor, que conduce una J uniforme en un campo magnético también uniforme, la fuerza magnética que actúa sobre aquél se duplica. S o lu c io n e s
1. Falso. La intensidad del campo magnético satisface las ecuaciones de Maxwell y es una función de la posición: es decir, en cada punto tiene un único valor; el potencial escalar magnético, en cámbio, puede tener múlti ples valores en el mismo punto del espacio. 2. Cierto. Cuando se aclara que el material es lineal —y se advierte de manera general al principio del presente capítulo-^- la ecuación expresa una rela ción entre B y H en la cual la permeabilidad no depende de la magnitud de H y es aplicable, entonces, a materiales diamagnéticos o paramagnéticos que tienen esa propiedad. Sin embargo, cuando no se da ninguna información sobre el tipo de material, la permeabilidad que aparece en la expresión es una permeabilidad secante, aplicable a cualquiera; cuando el material no es lineal, la permeabilidad depende de la magnitud de H. 3. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. De (3.7) y (3.19) sale V * i/ = -V*M . Por tanto, cuando el material ferromágnético está magneti zado uniformemente o es aproximadamente lineal, H es solenoidal; en caso contrario, no. 4. Cierto y falso. De acuerdo con lá explicación, En condiciones estaciona rias, dentro de conductores ordinarios, como el hierro cuando se encuentra magnetizado permanentemente, o el cobre si conduce una corriente eléctri ca, hay campos magnéticos que se determinan con las ecuaciones de Max well; sin embargo, en los superconductores la 5 del campo magnético inter no sí es nula y puede suponerse que en éstos no hay campo magnético; y en los conductores ordinarios, cuando la frecuencia es muy elevada, el campo magnético tiende a concentrarse en una capa superficial de los mismos —efecto conocido como piel—, y a desaparecér en el interior. 5. Falso. Es posible, por ejemplo, disponer de un imán de hierro (material conductor, cargado eléctricamente, aislado y en condiciones estáticas), en cuyo interior hay un campo magnético, caracterizado por B, H y.M no nulos. 6. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como la componente nor mal de 5 a toda interfaz es continua, si se trata de un superconductor, en
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cuyo interior B es nula, aquella componente es 0 y, por tanto, B es tangencial a la interfaz; en el caso de un conductor ordinario, no lo es. 7. Cierto. Cuando M y el versor normal a la superficie son paralelos; su pro ducto vectorial es 0; en consecuencia, se sigue de (9.20) que Kmes 0. 8. Cierto. Se concluye de (9.19). 9. Falso. El polo magnético es el punto o región de la superficie de una sus tancia magnetizada donde parece concentrarse, la carga magnética y donde la fuerza magnética es máxima. 10. Cierto. En el SI, según (9.22), las unidades de la carga magnética pueden obtenerse como el producto entre las unidades de la magnetización, medida en [m_1A], y la unidad dé área, medida en [m2] 11. Falso. En el sistema MKSC, según (9.21), las unidades de la densidad volumétrica de carga magnética pueden obtenerse como la razón entre las unidades de la magnetización, medida en [m-1s_1C], y la unidad de longitud, medida en [m]. 12. Cierto. En el SI, de acuerdo con (9.22), las unidades de la densidad su perficial de carga magnética son las mismas de la magnetización, medida en [m-1A]. : 13. Falso. La carga total de magnetización en Cualquier cuerpo, de volumen V y superficie S, es 0; en efecto, al usar (9.21), (9.22) y el teorema de la di vergencia, resulta Qt„= j ¡ p mdV + £<7,nda - -j\(V » M) cLV+j>M» dA = 0. 14. Cierto. Se deduce de (9.21). 15. Cierto. Ése fue el descubrimiento de Oersted. La corriente eléctrica pro duce un campo magnético que actúa sobre los dipolos magnéticos dé la brú jula y desarrolla un momento en ésta que la hace girar; en consecuencia, lá brújula tiende a orientarse en la dirección de la B de aquél. 16. Falso. En la barra uniformemente magnetizada, los polos magnéticos aparecen en los extremos, donde la fuerza de atracción es mayor, y en las cercanías del centro de la misma la fuerza de atracción es 0. Puede identifi carse Ja barra imantada, por tanteo, cuando al recorrer su longitud con uno de los extremos de la otra, se observa que la fuerza de atracción disminuye hacia el centro. 17. Cierto. La información dada permite concluir, de acuerdo con (9.21) y (9.22), que las hipotéticas cargas magnéticas se concentran en los extremos de las varillas y se comportan allí, al ser despreciables los radios de éstas, como puntuales, interaccionando entre sí como lo hacen las cargas eléctricas;
3 5 0 / Teoría electromagnética
por tanto, la. fuerza magnética que obra sobre cualquiera de estas cargas magnéticas puntuales depende del inverso del cuadrado de la distancia entre la carga y cada una de las demás. 18. Falso. La expresión es dimensionalmente incorrecta. Al usar (9.15) y suponer que las oscilaciones son pequeñas, la ecuación diferencial del movi miento es d 2d /d t2 + mB&/I~0; de donde,T = 2n(mB/l) ' 2. 19. Cierto. El campo magnético en el que se coloca la barra de hierro re orienta los dipolos magnéticos de ésta, le incrementa su magnetización y la convierte en un imán; en consecuencia, sobre la barra se desarrolla un mo mento y una fuerza que tienden, respectivamente, a orientarla en la direc ción de B y llevarla a la región donde el campo es más intenso. 20. Falso. De acuerdo con (9.14), sobre la barra se desarrolla un momento —que tiende a orientarla en la dirección de B— y no una fuerza. 21. Cierto. La fuerza que obra sobre el cuerpo es F = ( j x-B)V, según (9.7), y resulta proporcional al volumen.
9.7 Campos magnéticos y condiciones de frontera P r o p o s ic io n e s
1. Si un tubo cilindrico circular conduce una corriente, 7, uniformemente repartida en la sección recta, en la cavidad del tubo la H producida por la corriente es 0. 2. La magnitud de la B en el interior de un cilindro macizo, de radio a, que conduce una corriente, 7, uniformemente repartida en la sección recta, es |B | = / t o | / | r 7 ( 2 ^ 3) .
3. La expresión H = ni, válida en puntos interiores de solenoides cilindricos circulares, donde n es el numero de espiras por Unidad de longitud, es apli cable cuándo la sección del solenoide es rectangular. 4. Si se duplica el número de espiras por unidad de longitud de un solenoidé cilindrico circular, que conduce una corriente, 7, no se duplica B en el inter ior de aquél. 5. La H e n el exterior de un solenoide cilindrico circular, que lleva una co m eóte, no puede ser 0, pues allí las espiras, por su forma helicoidal, produ cen una H semejante a la de un alambre recto colocado á lo largo del eje del solenoide.
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6. La magnitud de la B de un solenoide cilindrico circular, de longitud l y radio R, que lleva una corriente, I, es mayor cerca de los extremos que del centro de aquél, . 7. Si una barra conductora, con la forma de un prisma cuadrado de lado a, conduce una corriente uniformemente repartida en la sección recta, en el eje del prisma H es 0. 8. Si un cilindro circular, de conductividad g2, se pone en una región, de conductividad g1; en donde había una corriente de densidad volumétrica uniform e,/0, de manera que el eje de aquél sea perpendicular a la dirección que ésta tenía, en todo el espacio se cumple que £ ®i / = 0. 9. Dentro de un conductor óhmico, que lleva una corriente estacionaria, se cumple que entre E y la H inducida E ®H = 0. 10. Dos bobinas circulares de diferente número de vueltas, denominadas 1 y 2, en las que el diámetro de la bobina 1 es el doble del de la 2, se forman con sendos alambres de longitudes iguales a l. Si una corriente, 72, produce en el centro de la 2 un cierto valor de B, la corriente que induce en el centro de la 1 el mismo valor de B es 4/2. 11. Una bobina lleva una corriente, I, y se construye al enrollar apretada mente sobre una esfera un alambre conductor y delgado, de manera que el número de espiras por unidad de longitud del diámetro sea uniforme; en el interior de aquélla la B es directamente proporcional a la distancia al centro. 12. Si se tiene una bobina como la descrita en la proposición 11, en la región exterior la H producida es semejante a la de un dipolo magnético colocado en el centro de la esfera. 13. Si se tiene una bobina como la descrita en la proposición 11 y se duplica el número de sus espiras, se cuadruplica la magnitud de H. 14. Si se tiene una bobina como la descrita en la proposición 11, en el inter ior de la esfera el potencial escalar magnético es uniforme. 15. Dentro de una bobina toroidal de N. vueltas, que lleva una corriente, I, la magnitud de H es mayor cerca del borde interior que del exterior. 16. Si se tienen, inmersos en el aire, una barra cilindrica circular, de magne tización longitudinal uniforme, M0, y un solenoide cilindrico circular, con las mismas dimensiones de la barra, y que transporta una corriente, I, las B ge neradas por ambos sistemas dentro y fuera de los cilindros tienen estructuras similares. 17. Si se tienen, inmersos en el aire, una barra cilindrica circular, de magne tización longitudinal uniforme, M 0, y un solenoide cilindrico circular, con las
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mismas dimensiones de la barra, y que transporta una corriente, I, las H generadas por ambos sistemas dentro y fuera de los cilindros tienen estruc turas similares. 18. Si un cilindro circular infinito, inmerso en el aire, tiene una magnetiza ción uniforme, M 0, perpendicular a su eje, en el interior de aquél H dismi nuye con la distancia al eje. 19. Si un cilindro circular infinito, inmerso en el aire, tiene una magnetiza ción uniforme, M0, perpendicular a su eje, en el interior de aquél el poten cial escalar magnético es directamente proporcional a la distancia al eje. 20. Si un cilindro circular infinito, inmerso én eí aire, tiene una magnetiza ción uniforme, M0, perpendicular a su eje, en la superficie de aquél el poten cial escalar magnético es uniforme. ! 21. Si un cilindro circular infinito, inmerso en el aire, tiene una magnetiza ción uniforme, M0, perpendicular a su eje, en la superficie de aquél se induce una carga superficial nó uniforme de magnetización. 22. Si una esfera, de permeabilidad ju, se pone en el aire, en una región en la que existía un campo magnético uniforme, de intensidad H0, la M inducida en la esfera no es uniforme. 23. Si una esfera, de permeabilidad ¡i, se pone en el aire, en una región en la que existía un campo magnético uniforme, de intensidad H 0, en la superficie de la esfera se inducen corrientes de magnetización. 24. Si una esfera, de permeabilidad ¡n, se pone en el aire, en una región en la que existía un campo magnético uniforme, de intensidad H0, la esfera se magnetiza y produce en el exterior un campo dipolar. 25. Él potencial escalar magnético es uniforme dentro de una esfera unifor memente magnetizada. 26. El potencial escalar magnético es multivaluado dentro de una esfera uni formemente magnetizada. 27. Dentro de un imán permanente, uniformemente magnetizado, H y M tienen sentidos opuestos. 28. El factor de desmagnetización para un imán permanente, uniformemen te magnetizado, se obtiene al tomar el valor absoluto de la razón entre las magnitudes de H y M. 29. En un imán permanente, uniformemente magnetizado, la suma de los factores de desmagnetización en un punto del mismo, correspondientes a tres direcciones mutuamente ortogonales, es igual a -1.
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30. El factor de desmagnetización de un cuerpo con forma de cilindro circu lar infinito, magnetizado uniformemente en dirección perpendicular al eje de simetría, en la dirección de la magnetización es igual a 0,5. 31. Los tres factores de desmagnetización en cualquier punto de un imán esférico, uniformemente magnetizado, son iguales a 1/3. S o lu c io n e s
1. Cierto. Al aplicar (9.24), aprovechando la simetría, a una circunferencia centrada en el eje del tubo, ortogonal a éste y contenida en la cavidad, resul ta = H^Lnt = / = 0; por tanto, H = ipHv(r) = 0. 2. Falso. La expresión correcta, deducida al aplicar (9.24), aprovechando la simetría, a una circunferencia contenida en el plano de la sección recta del cilindro y centrada en el eje de éste, es |¿j| = ij\l\rj{2nar'}. 3. Cierto. El resultado es aplicable a solenoides de cualquier sección recta y deducible con la ley de Ampére —revisar el artículo 9.0.23— ya que el cam po magnético en el interior de aquéllos, dado por (9.31), es uniforme y tiene la dirección del eje del solenoide; en el exterior, es i g u a l al que produce un filamento con corriente ubicado en el eje del solenoide. 4. Falso. Hay una relación lineal entre B y H, y, según (9.31), entre este úl timo y el número de espiras por unidad de longitud. 5. Cierto. Por la forma helicoidal de las espiras arrolladas al solenoide, en el exterior de éste hay un campo magnético, cuya intensidad se da en (9.32), ef cual es equivalente al de una corriente filamental colocada en el eje del ci lindro, de magnitud 2bnl\ este resultado puede despreciarse cuando el alam bre es delgado. 6. Falso. Al calcular con (9.33) la magnitud de la B en el centro y en uno de los extremos del solenoide, resulta B
m ,i/2 y 2(/ü2 + 0,25/2)'
UNI 2{R°-+l2)wi
(9.60)
7. Cierto. De las simetrías longitudinal y transversal de la barra, se deduce quedas líneas de fuerza de la i f generada por ja corriente deben estar conte nidas en el plano de la sección recta y rodear el eje de aquélla; además, de ben tender a convertirse en pequeñas circunferencias con centro en ese eje. Al aplicar a dichas circunferencias la ley de Ampére, la magnitud de H cerca del eje de la barra se aproxima a H ~ í/(2 n r ) = Ir/(2a2), donde /", la corrien
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te encerrada por la circunferencia de radio r, es directamente proporcional al área del círculo respectivo. En conclusión, H es 0 en el eje del prisma. 8. Cierto. En (8.13) se observa que la J resultante en todo el espacio, para el problema descrito en la proposición, es paralela a E y sólo tiene componen tes en las direcciones iT e i# del sistema de coordenadas; además, en ese mismo problema, el vector de posición de un punto del espacio sólo tiene componentes en las direcciones iTe iq,. En conclusión, se deduce de (9.3) que las B y H resultantes en todo el espacio tienen la dirección del eje Z, y son perpendiculares a J y a £. 9. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. El producto escalar entre E y H no es 0, en general, en un conductor óhmico, como se verifica al efectuar ■el producto • !v v)'. ;
S E »H = S
. dH. dy
dH v dH H. + dz dz
í d H x dH . dH- \ H. dy d x H, + d x
donde se usaron (8.7) y (9.24). Sin embargo, E y H pueden ser perpendicula res en algunos casos particulares; por ejemplo, cuando H tiene una sola componente, como ocurrió en la proposición anterior. 10. Cierto. Si D y N son el diámetro y el número de espiras de una bobina cual quiera, entonces l = nN lDl = nN iDi y D, =2D 2; por tanto, 'N.z = 2/Vj. Al usar (9.5), donde z se hace igual a 0, para calcular, aproximadamente, la magnitud de la B en el centro de cada bobina, resultan B = (zNt7,/jD, = ptNi h/Di e 7, = D]N J 2/(D^Ní ) = 4I„.
11. Falso. Se sigue de (9.36) que dentro de la bobina esférica B es uniforme. 12. Cierto. En efecto, de (9.13), desarrollada en el sistema de coordenadas esféricas, y (9:36), se deduce que la H producida por la bobina esférica en su exterior es idéntica a la de un dipolo magnético puntual colocado en el cen tro dé la esfera, orientado en el sentido del eje Z y cuyo momento dipolar vale m = i.2ni¿NIa2/(2piB+ fi). 13. Falso. Se observa en (9-36) que H es directamente proporcional al núme ro de espiras de la bobina.
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355
14. Falso. Al integrar (9.29), ya que según (9.36) dentro de la esfera H es uniforme y tiene la dirección del eje Z, el potencial resulta dependiente de z. 15. Cierto. Porque la magnitud de H, según (9.35), es inversamente propor cional a la distancia al eje del toroide. 16. Cierto. La fuente del campo magnético en la barra es la magnetización uniforme, M0, y en la barra el campo tiene una B cuyas líneas de fuerza son cerradas; paralelas a M0, dentro de la barra, las líneas de fuerza emergen de uña de las bases, ingresan al aire exterior y rodean la barra para penetrarla por la otra base. La dirección y el sentido de la H del campo magnético son iguales a los de la 2?, en el exterior de la barra, pero de sentido opuesto en el interior, debido al efecto desmagnetizante típico de los cuerpos imantados. El efecto desmagnetizante y la orientación de H se comprenden mejor al observar que, de acuerdo con (9.21) y (9.22), dentro de la barra pm=0, y en las bases o m=±M a, y que el sentido de H va de las cargas de magnetización positiva hacia las negativas. Nótese, además, que la componente normal de B a las bases es continua y no lo es la de H, debido a la carga superficial de magnetización. La fuente del campo magnético) en el solenoide es la corrien te que circula por las espiras, la cual puede aproximarse a una densidad su perficial de corriente, y el campo tiene una B cuyas líneas de fuerza son ce rradas y semejantes a las de la barra magnetizada; longitudinales, en el inter ior, las líneas de fuerza salen por uno de los extremos del solenoide, lo ro dean e ingresan por el otro extremo. La dirección y el sentido de la H del campo magnético coinciden con los de la B en el interior y el exterior del solenoide, debido a que en esas regiones hay aire. Nótese que en este caso la . componente normal de H no tiene discontinuidades. 17. Falso. De las explicaciones dadas en la anterior solución se concluye que, en el exterior, las H generadas por ambos sistemas son semejantes, pera no lo son en el interior de la barra, donde tienen sentidos opuestos. 18. Falso. Se observa en (9.34) que H es uniforme dentro del cilindro, y su sentido es desmagnetizante; es decir, opuesto al de M0. 19. Falso. Al integrar (9.34), para obtener el potencial escalar magnético, resulta una expresión directamente proporcional a * y no a r, que es la dis tancia al eje del cilindro. 20. Falso. De la anterior solución se sigue que el interior del cilindro no es una región equipotencial magnética, y tampoco lo es la superficie, donde el potencial escalar magnético es continuo puesto que no hay allí una K.
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21. Cierto. Si se usa un sistema de coordenadas cilindricas circulares, cuyo eje Z coincide con el eje del cilindro y el eje X con la dirección de M 0, se deduce de (9.22) que a m- i„ »M0 = Macos(p. 22, Falso. Es uniforme; su valor, deducido con base en (3.7), (3.8) y (9.37), es M
Po
2/t0+//
(9.61)
23. Cierto. Al usar un sistema de coordenadas esféricas, de origen en el cen tro de la esfera y cuyo eje Z coincide con la dirección de H 0, se sigue de (9.20) y (9.61) que en la superficie esférica Kn = - i a3(fJ.~ f¿0)(2/f0 + p)~' sen8. 24. Cierto. La H fuera de la esfera, obtenida de (9.37), es : H = H0 + 7^ - ^ H o4 ft2 c o s 0 + iosen0) donde él segundo término corresponde a la perturbación que la esfera pro duce en el campo magnético originalmente uniforme; esa perturbación es idéntica, como se deduce de (9.13) cuando se desarrolla en el sistema de coordenadas esféricas, a la H de un dipolo magnético puntual colocado en él centro de la esfera, orientado en el sentido del eje Z y cuyo momento dipolar vale m = i, - fi0){2p0 + fJ.) ' a3H0. 25. Falso. Al integrar (9.18), para obtener el potencial escalar magnético, resulta una expresión directamente proporcional a z, o, lo que es igual, a rcosd. ' ■ . 26. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La multivaluación del po tencial escalar magnético en un punto, una vez elegido un nivel de referen cia, proviene de la existencia de corrientes libres en alguna región, que im piden a H ser irrotacional en todo el espacio. En consecuencia, si además de la esfera imantada hay corrientes libres, el potencial escalar magnético es multivaluado; en caso contrario, es univaluado. 27. Cierto. En el interior del imán, según (9.21), p n = 0, y en la superficie, de acuerdo con (9.22), crm¿ 0; esta última es responsable de producir un campo desmagnetizante, cuya H se opone a M. Obsérvense, por ejemplo, (9.18) y (9.34). : 28. Falso. El factor de despolarización—véase (9.38)— se define para cada dirección espacial; por tanto, para cada una de éstas debe tomarse la razón entre las respectivas componentes de los vectores citados.
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29. Falso. Los factores de desmagnetización son números positivos y su suma no puede ser negativa; esa suma, además, es igual a la unidad 30. Cierto. Se verifica al llevar (9.38) a (9;34). 31. Cierto. Se comprueba al aplicar (9.38) en (9.18); el resultado puede anti ciparse, además, ante la simetría dei cuerpo y dado que la suma de los tres factores de desmagnetización es igual a la unidad.
9.8 Flujo magnético. Inductancia y mutuainductancia P r o p o s ic io n e s
1. El weber es una unidad para medir la B. 2. Las unidades del flujo magnético en el SI son [m2kgs-2A-1]. 3. Si una espira de alambre tiene forma cuadrada, de lado 2b, y se coloca coplanarmente a un alambre recto e infinito, que lleva una corriente, /, con un la.do paralelo a éste y a una distancia b del mismo, el flujo magnético que enlaza la espira es = (^¿71n3)/(2^). 4. Si un toroide de material ferromagnético tiene un arrollamiento de N espiras, simétricamente repartido y que lleva una corriente, /, y se dobla la corriente, no se duplica el flujo magnético enlazado por la bobina. : 5. Si se duplica la corriente en una bobina toroidal, se duplica el flujo mag nético total que ésta enlaza. 6. El flujo magnético total enlazado por, una bobina, de N espiras, es igual a N veces el flujo magnético enlazado por una de éstas. . 7. Es mejor un electroimán con núcleo de hierro que de otro material no ferromagnético. •’ v ■■ 8. Las unidades de la inductancia en el SI son [m2kgs-2Á-2];
;
9. La inductancia diferencial y la incremental tienen iguales definiciones. 10. Si se calcula la inductancia de una espira filamental con la fórmula de Neumann, se obtiene un valor singular. 11. La inductancia de un inductor depende de su orientación espacial. 12. La inductancia de un inductor no depende de la corriente que circula por el mismo. . . ' •. . . 13. La inductancia de un inductor es mayor con núcleo diamagnético que con núcleo paramagnético.
358 / Teoría electromagnética
14. La inductancia de un inductor es mayor con núcleo de hierro que con núcleo de madera. 15. La inductancia interna por unidad de longitud, de un alambre conduc tor, recto, infinito y de radio a, que lleva una corriente /, es dL/ds = n/(4n). 16. Si se duplica el número de espiras de un solenoide recto muy largo, se cuadruplica su inductancia. 17. Si se duplica el número de espiras de un toroide de sección circular y N espiras, se duplica su inductancia. 18. Si se duplica el flujo que enlaza un inductor ideal, no se duplica su in ductancia. 19. Si se reduce a la mitad la longitud de la línea media, y se duplica el nú mero de espiras de un toroide de sección circular, permanece igual la induc tancia. 20. En un solenoide recto y corto, la inductancia por unidad de longitud es mayor en el centro que cerca de los extremos. 21. Si dos solenoides rectos muy largos, A y B, formados con una sola capa de espiras muy juntas, tienen igual radio, pero el A usa un alambre delgado mientras el B .usa uno grueso, entonces, en un tramo de igual longitud, la inductancia del solenoide B es mayor que la del A. 22. Las unidades de la mutuainductancia en el SI son [m2kgs-2A-2]. 23. La mutuainductancia entre los inductores 1 y 2 puede definirse como la razón entre la corriente eléctrica que circula por el 1 y el flujo magnético, producido por esa corriente, que enlaza el 2. 24. Si una corriente de 2 [A], en el inductor 1, produce en el inductor 2 un flujo magnético de 10 [Wb], entonces una corriente de 3 [A], en el 2, produ ce un flujo de 15 [Wb] en el 1. 25. La mutuainductancia entre dos inductores depende de la orientación espacial de los mismos. 26. La mutuainductancia entre dos bobinas toroidales, de secciones circula res y similar geometría, pero una incluida en la otra, es inversamente pro porcional al producto de los números de espiras respectivas. 27. Si dos bobinas coaxiales son solenoides rectos muy largos, de similar geometría, pero una incluida en la otra, y se duplica el número de espiras en una de aquéllas, la mutua inductancia entre ambas se duplica. -------- — —
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ...
/ 359
S o lu c io n e s
1. Falso. El weber es la unidad del flujo magnético en el SI. 2. Cierto. Las unidades del flujo magnético pueden obtenerse, en el SI* co mo el producto entre la unidad de área, medida en [m2], y las unidades de la inducción magnética, medida en [kgs-2A-1]. :■ 3. Falso. De (9.4) se sigue que el flujo magnético es W =. J.V f B*dA =
^ 2bdr = 2nr
71
ln3
4. Cierto. Al duplicar la corriente, se duplica H, de acuerdo con la ley de Ampére, pero no se duplica B, ya que no hay una relación lineal entre H y B en un material ferromágnético; en consecuencia, tampoco se duplica el flujo magnético enlazado por la bobina. 5. Cierto. Al duplicar la corriente, se duplica H, de acuerdo con la ley de Ampére; además se duplica B, y, en consecuencia, el flujo magnético total enlazado por la bobina. No es cierta la proposición cuando el núcleo de la bobina es un material no lineal. 6. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto cuando la bobina tiene una simetría tal, en su devanado y en el material, que cada espira enla za el mismo flujo magnético, como es el caso de una bobina toroidal o de un solenoide cilindrico; falso, en caso contrario, como ocurre en una bobina esférica. 7. Cierto y falso. De acuerdo con el tipo de aplicación. Puesto que el hierro tiene una permeabilidad mucho mayor que la de los materiales no ferromagnéticos, un electroimán cuyo núcleo es de aquel material puede desarro llar allí, para iguales valores de la corriente eléctrica, mayores magnitudes de B, de la energía y del flujo magnético; en consecuencia, la proposición es cierta cuando este tipo de efectos se busca. Pero el hierro tiene defectos: no es un material lineal y presenta histéresis y corrientes de Foucault cuando está sometido a corrientes alternas; por tanto, la proposición es falsa cuando los efectos mencionados son indeseables, y debe recurrirse a otro material. 8. Cierto. Las unidades de la inductancia pueden obtenerse con base en (9.41), en el SI, como la razón entre las unidades del flujo magnético, medi do en [m2kgs_2A_1], y la unidad de la corriente eléctrica, medida en [A], 9. Falso. La inductancia definida en (9.41) se conoce como estacionaria; de pende de la corriente cuando el material es ferromágnético. En aplicaciones para las que se emplean materiales no lineales o circuitos en movimiento,
3 6 0 / Teoría electromagnética
por ejemplo, conviene usar la inductancia diferencial o la incremental, cuyas definiciones, respectivamente, son _ dA Ldif ~ J l Y
_ AA inc~ ~ Á l
(9.62)
10. Cierto. En este caso, la integral doble de (9.40) se toma dos veces sobre el mismo circuito, y los diferenciales dsi y dsj son dos elementos separados de la misma curva c; cuando los diferenciales coinciden, lá distancia entre éstos es 0 y la integral diverge. La razón física es que cerca de un hilo la magnitud de B decrece con el inverso de la distancia, y aquélla tiende a infinito cuando ésta tiende a 0, llevando el flujo enlazado a infinito. En filamentos reales, que tienen espesor, la corriente está distribuida en la sección recta. 11. Cierto y falso. Según la explicación. De acuerdo con las geometrías del inductor y de la región en la que está inmerso, es posible que dentro de aquél aparezca la influencia del campo magnético inducido en materiales externos por la propia corriente del dispositivo, y que la inductancia del dispositivo dependa, también, de la presencia de materiales o cuerpos exter nos. Cuando el inductor es un toroide, por ejemplo, cuyo núcleo es un mate rial lineal, homogéneo e isotrópico, y tiene un devanado delgado, apretado, que cubre toda la superficie, la inductancia sólo depende de la geometría del toro y del material del núcleo, y no influye en aquélla la posición relativa u orientación espacial del dispositivo con respecto a otros cuerpos; en tal caso, la proposición es falsa. Pero si el inductor es un solenoide recto y corto, por ejemplo, que se encuentra inmerso en el aire y cerca de la interfaz plana con un material dé alta permeabilidad, la inductancia del dispositivo también depende de la permeabilidad de los materiales externos y de la orientación espacial del mismo con respecto a la interfaz, pues de estas particularidades dependen el campo y el flujo magnético que enlaza el inductor; en tal caso, la proposición es cierta. 12. Cierto. Guando el inductor está inmerso y tiene en el núcleo materiales lineales, homogéneos e isotrópicos, y lleva una corriente estacionaria, la inductáncia depende sólo de la geometría del sistema y de los materiales usa dos, y no de la corriente o el flujo magnético enlazado por aquél. 13. Falso. Como la permeabilidad magnética de los materiales paramagnéti cos es mayor que la de los diamagnéticos, para valores iguales de la corriente en el inductor se tienen dentro de aquéllos mayores valores de la magnitud de B, del flujo magnético enlazado y, en eonseeuenciay de la inductancia.....
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ....
/ 361
14. Cierto. Puesto que la permeabilidad magnética del hierro es mayor que la de la madera. Tórnense en cuenta, también, las razones expuestas en la solución anterior. 15. Falso. La inductancia del alambre está formada por la suma de la inductancia externa, que toma en cuenta el flujo magnético enlazado por fuera del mismo, y la interna, que incluye los enlaces parciales de flujo. A la expresión de la proposición se llega al calcular la inductancia, sin incluir los flujos mag néticos parciales enlazados por el alambre, mediante (9.41); la ecuación co rrecta, que no depende del radio del alambre, obtenida cuando esos flujos se toman en cuenta, es dljds = ¿¿/(8tt). . 16. Cierto. La B producida dentro del solenoide al paso de la corriente y el flujo que una sola espira enlaza son proporcionales a Ar; por tanto, y lo con firma (9.44), la inductancia de la bobina es proporcional al cuadrado del número de espiras. 17. Falso. Se refuta con (9.45) o con las razones expuestas en la solución anterior. 18. Cierto. En el inductor ideal la inductancia no depende del flujo enlaza do; si éste se duplica, es porque la corriente se dobla también, y la razón entre ambos se mantiene igual. 19. Falso. Se observa en (9.45) que, al hacer los cambios indicados, crece la inductancia de la bobina toroidal. 20. Cierto. En el centro del solenoide la magnitud de B es mayor que en los extremos, como lo confirma (9.60), porque en éstos el campo magnético tiende a dispersarse y aquella magnitud disminuye; en consecuencia, el flujo magnético enlazado por las espiras y la inductancia por unidad de longitud son mayores en el centro del solenoide. 21. Falso. Como el solenoide A tiene más espiras por unidad de longitud que el B, ya que usa un alambre más delgado, la inductancia de aquél, según (9.44), es mayor. 22. Cierto. Los coeficientes de mutuainductancia y de inductancia, de acuer do con (9.39), tienen las mismas dimensiones, y las unidades dé estos últimos en el SI fueron establecidas en la proposición 9.8.8. 23. Falso. La mutuainductancia entre los inductores 1 y 2 se define como la razón entre el flujo magnético total producido por una corriente eléctrica esta cionaria que circula por el 1 y enlaza el inductor 2, y esta misma corriente.
3 6 2 / Teoría electromagnética
24. Cierto. De acuerdo con los datos de la proposición y (9.42), resulta que Mt2 = 5 [H] y M21 = 5 [H]; en conclusión, la proposición es cierta, porque las mutuas inductancias cumplen la relación de reciprocidad Ml2 = M2I. 25. Cierto. Porque al calcular el flujo magnético total que uno de los induc tores enlaza, debido a la corriente que circula por el otro, hay que tener en cuenta que la B que actúa sobre aquél es función de la posición y orientación espacial relativas entre ambos. 26. Falso. Cuando la bobina interior lleva una corriente eléctrica, la B del campo magnético de ésta es directamente proporcional al número de espiras de la bobina, y el flujo magnético total que la bobina exterior enlaza es pro porcional al número de sus propias espiras; en consecuencia, la mutüainductaricia entre las bobinas es directamente proporcional al producto de los números de espiras respectivas. 27. Cierto. De acuerdo con las explicaciones dadas en la anterior solución, aplicables á la presente, la mutuainductancia entre las bobinas es directa mente proporcional al producto de los números de espiras respectivas; en consecuencia, al duplicar el número de espiras de una de las bobinas, se du plica la mutuainductancia entre ambas.
9.9 Energía en inductores P r o p o s ic io n e s
1. Si en un cuerpo hay corrientes eléctricas, éste tiene asociada una energía potencial magnética. 2. La energía magnética almacenada en una región del espacio depende del orden en el que se establecen las corrientes que producen el campo. 3. El inductor acumula energía. 4. La energía magnética asociada a un inductor puede ser negativa. 5. Con Um= LI*72 puede calcularse la energía magnética asociada a un in ductor. 6. La energía magnética asociada a un inductor es independiente de la pre sencia de otros inductores. 7. La energía"magñéticirasociada a un inductor es mayor cuando' tiene- nú cleo paramagnético que si lo tiene diamagnético.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... /
363
8. Si se duplica la corriente qué circula por una bobina, se duplica la energía magnética asociada. 9. Si un solenoide recto muy largo lleva una corriente, I, y se duplica el nú mero, dé espiras por unidad de longitud, manteniendo igual lo demás, la energía magnética asociada se duplica. 10. Si se duplica la corriente que circula por una bobina toroidal, en cuyo núcleo hay un material ferromagnético, no sé cuadruplica la energía magné tica asociada. 11. Si una bobina toroidal dé sección circular, de radio interior a y radio exterior 3a, tiene N espiras y lleva una corriente, /, y r se mide desde el eje de simetría de toroide, entonces la energía magnética por unidad de volu men es máxima en r = 5a. 12. Si se duplican el número de espiras y la permeabilidad del material del núcleo, de una bobina esférica.que lleva una corriente, /., manteniendo igual lo demás, la energía magnética asociada no se octuplica. 13. Al calcular la inductancia de una bobina a partir de la energía magnética, se toma en cuenta, únicamente, la energía almacenada dentro de aquélla. 14. En un sistema formado por N hilos conductores cerrados, que llevan /=A’ corriente, la energía magnética asociada es Um^= 15. Um= (L,/,2+ M,,/,/; + L ,//)/2 es la energía magnética asociada a .uri-sis tema formado por los inductores 1 y 2. 16. La energía magnética asociada a un sistema formado por dos inductores que llevan sendas corrientes, /, e no se cuadruplica cuando se duplica/], 17. Cuando la mutuainductancia entre dos inductores es negativa, su valor absoluto es menor qué la media aritmética de las inductancias. 18. Cuando la mutuainductancia entre dos inductores es negativa, su valor absoluto es mayor qué la media geométrica de sus inductancias. 19. Si dos inductores cercanos, con aire en el núcleo, se conectan a sendas baterías, y luego, sin desconectarlos, se usa un material diamagnético como núcleo de uno de aquéllos, la energía magnética asociada con la pareja dis minuye. 20. Si tres inductores se conectan en serie y a una batería, y se desprecian las mutuas inductancias, la energía magnética asociada al sistema depende de las posiciones relativas de aquéllos.
3 6 4 / Teoría electromagnética
21. La energía magnética acumulada en una región, de volumen V, donde no hay corrientes superficiales, no puede calcularse con Un - (l'/2)J (/4m• J)dV. 22. Para calcular la energía magnética de una distribución arbitraria de co rriente, puede hallarse el trabajo realizado para crearla. 23. Si un resistor de 10 [£2] y un inductor de 1 [H] se conectan en serie a una batería de 10 [V], la energía magnética asociada al inductor es de 1 |J]. 24. Si se conecta una batería a un circuito serie, en el cual hay un resistor y un inductor, no toda la energía aportada por la batería se transforma en calor por el efecto Joule. 25. Si se conoce la energía magnética total, Um, asociada a un sistema de inductores conectados a baterías, la fuerza sobre uno de aquéllos puede cal cularse con F = -Vi/,,. 26. Si la energía magnética de un sistema de inductores conectados a baterí as es Um= k(xy +z2), donde las coordenadas cartesianas x, y y z determinan la posición de uno de aquéllos y k es una constante, la fuerza que actúa sobre ese inductor cuando se encuentra en el punto (1, 1, 1) es F —k\ix +i. +¿.2) 27. Para retirar el núcleo paramagnético de Una bobina conectada a una batería y dejar el aire, debe hacerse un trabajo positivo. 28. Al introducir un material diamagnético por el extremo de una bobina con núcleo de airé, conectada a una batería, aquél es atraído hacia el interior. S o lu c io n e s
1. Cierto. Si hay corriente eléctrica, existe campo magnético y, asociada con éste, una energía potencial magnética que puede calcularse con (9.47); el cuerpo donde hay corrientes eléctricas puede efectuar un trabajo. 2. Falso. Si los materiales son lineales, la energía magnética tiene un valor único; depende de los valores finales de las corrientes y no del orden en el cual éstas se establecen. 3. Cierto. El inductor es un dispositivo circuital diseñado para producir un campo magnético intenso y acumular energía potencial magnética; ideal mente, no disipa energía. 4. Falso. La energía potencial asociada a un inductor es una cantidad ppsiti-, va, como se observa en (9.52) y (9.53), porque es una función cuadrática de la intensidad del campo magnético producido o de la corriente que circula por aquél.
Campo magnético estacionario; fuerza magnética, ... / 3 6 5
5. Cierto. Esa fórmula se deduce de acuerdo con los principios de la teoría de circuitos, o de la acción a distancia, y es equivalente a (6.15), aportada por la teoría de campos, o de la acción por contacto. Conviene subrayar, sin embargo, que la igualdad rio se mantiene cuando la corriente varía muy rá pidamente con el tiempo. 6. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación; véase, además, la proposi ción 9.8.11. Cuando la geometría del inductor garantiza que el campo mag nético producido por la corriente que lleva el dispositivo, y su energía, que dan confinados dentro del núcleo del mismo, la proposición es cierta; es el caso de un toroide, por ejemplo, cuyo devanado es delgado, apretado y cu bre toda la superficie. Es falsa, cuando la geometría del inductor no cumple el anterior requisito porque, entonces, el campo magnético producido por la corriente que lleva él dispositivo, y la energía asociada, quedan distribuidos por todo el espacio y son modificados por la presencia dé otros cuerpos que se magnetizan; es el caso de un solenoide recto y corto que se encuentra cer ca de materiales de alta permeabilidad. 7. Cierto. Se deduce de (9.52) y de la proposición 9.8.13; para valores igua les de la corriente en el inductor, la inductancia es mayor con núcleo paramagnético que con núcleo diamagnético. 8. Falso. Se cuadruplica, de acuerdo con (9.52). 9. Falso. Se deduce de (9.44) y (9.52) qüe la energía magnética asociada se cuadruplica. 10. Cierto. Al duplicar la corriente que circula por la bobina, se duplica H, de acuerdo con la ley de Ampére, pero no se duplica B, porque el material no es lineal; además, no todo el trabajo efectuado para magnetizar el mate rial, el erial puede calcularse con (6.13), se convierte en energía potencial ya que el material también es multivaluado. 11. Falso. La densidad de energía magnética es directamente proporcional al cuadrado de H, según (6.16), y ésta, a su vez, de acuerdo con la ley de Ampére, es inversamente proporcionaba r; por tanto, la densidad de energía magnética es máxima cuando r es mínimo, en r = a. 12. Cierto. Al examinar (9.46) se advierte que la inductanciq de la bobina se cuadruplica al duplicar el número de espiras, pero no se duplica al duplicar la permeabilidad, porque en esa expresión aquélla rio es directamente pro porcional a la permeabilidad del material del núcleo; en consecuencia, sé sigue de (9.52) que la energía magnética asociada a la bobina no se octuplica. 13. Falso. Se debe tomar en cuenta la energía magnética almacenada en todo el espacio.
3 6 6 / Teoría electromagnética
14. Falso. Esa expresión representa el doble de la energía, según (9.48). 15. Falso. La expresión correcta, obtenida de (9.51), es : " ü
.
-jWTwjfc*!#,’)'
'
, ' :
;
:
( S -6 4 >
16. Cierto. La energía magnética asociada al sistema está dada en (9.64); esa expresión no es directamente proporcional al cuadrado de Ij. 17. Cierto. Si las corrientes de los inductores, /, e / 2, se hacen iguales a I, se reemplazan en (9.64) y se recuerda que la energía potencial magnética del sistema es una cantidad positiva, por ser una función cuadrática de H, resul ta Um= / 2(l , + 2MI2 + L2)/2 > 0; por tanto, |M12| < (l , + L2)/2 . 18. Falso. Si las corrientes de los inductores, y se sustituyen en (9.64), se obtiene
um= ( i ± r
e / 2, cumplen l xL 'n = 72L2I/2,
- / 2l 2,/2Í / 2 +( l i1/2l 2,/2 + m I2> ,/2 = /,2(l i / l 2) /2(l ,,/2l 2i/2 +;m 12)> o
por tanto, |M)2|
Campo magnético estacionario; fuerza, magnética, ... / 3 6 7
22. Cierto. La energía magnética asociada a una distribución de corriente es igual al trabajo realizado contra la fuerza magnética para crearla y puede calcularse con (9.47); esta ecuación se deduce, aplicando ideas de la teoría de la acción por contacto, a partir del campo magnético establecido en todo el espacio, o, usando conceptos de la teoría de la acción a distancia, calculando el trabajo realizado para establecer, en un cierto orden, la distribución de corriente. 23. Falso. La corriente estacionaria del circuito serie descrito, deducida con la ley de Ohm una vez concluida la etapa transitoria, es de 1 [A]; en conse cuencia, de (9.52) se deduce que Um= 0,5 [J]. 24. Cierto. Al conectar la batería al circuito, la corriente crece en éste desde 0 hasta un valor estacionario final; parte de la energía aportada por la bate ría durante ese proceso se disipa en forma de calor en el resistor y el resto se acumula como energía potencial magnética. 25. Falso. A la expresión le sobra el signo menos; corresponde a un sistema de inductores cuyas corrientes se manipulan, apropiadamente, para que du rante el desplazamiento virtual de alguno no cambien los flujos magnéticos enlazados por todos. 26. Cierto. Ya que F = (V [/J( = v[&(xy-i- z2)](1
= k(ix + ir + i.2), donde se usó
(9.54) pues el sistema está conectado a baterías que mantienen invariables las corrientes. 27. Cierto. Al retirar el núcleo paramagnético dé la bobina conectada a la batería y dejar el aire, la inductancia de aquélla disminuye ■—porque la per meabilidad del aire és menor—, la corriente que lleva se mantiene constante y la energía final —obsérvese (9.52)-—disminuye. Como el cambio de ener gía potencial magnética és negativo, la fuerza magnética que obra sobre el núcleo debe tener, según (9.54), el sentido opuesto al del movimiento de éste . y, para retirarlo, debe contrarrestarse esa fuerza con otra qüe actúa hacia el exterior, la cual, por tanto, hace un trabajo positivo. 28. Falso. Al introducir el material diamagnético en la bobina, conectada a la batería, se sustituye aire, la inductancia de aquélla disminuye porque la per meabilidad del material es menor, la corriente que lleva se mantiene cons tante y la energía final —obsérvese (9.52)— disminuye. Como el cambio de energía potencial magnética es negativo, la fuerza magnética que actúa sobre el material debe tener, según (9.54), él sentido opuesto al del movimiento de éste; es decir, es de repulsión. Recuérdese qué los materiales diamagnéticos son repelidos por el campo magnético.
En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios materiales descargados, lineales, homogéneos e isotrópicos, de parámetros e, g yji, y condiciones estacionarias.
10.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Método de las imágenes. La solución de las ecuaciones del campo elec tromagnético estacionario en presencia de interfaces de geometrías simples, como planos, esferas y cilindros circulares, y cuando hay fuentes puntúales del campo como cargas eléctricas, dipolos eléctricos o magnéticos y filamen tos con cargas o corrientes, las cuales originan singularidades en las propie dades del campo, puede obtenerse por el método de las imágenes; éste sim plifica, mediante una conjetura, la solución. La conjetura permite diseñar un problema distinto, ficticio, cuya solución es la misma del problema real en la región de interés. Con aquélla se busca sustituir la influencia sobre el campo electromagnético de las interfaces entre dos medios materiales, por fuentes puntuales o distribuidas del campo, de magnitudes y posiciones conocidas; esas ,fuentes se ubican como imágenes especulares, con respecto a las interfa ces, de las fuentes reales del campo, y deben estar colocadas por fuera de la región de interés, para no introducir singularidades nuevas. La solución se válida, puesto que para cada problema real es única, si cumple las condicio nes de frontera, dél problema real y las ecuaciones de Maxwell. 2. Interfaz plana de conductor y dieléctrico. Cuando el problema real con siste en cargas puntuales o distribuidas, de posiciones y magnitudes conoci das frente a un plano conductor conectado a tierra, el problema ficticio que da definido por las mismas cargas reales y las imágenes especulares de éstas con respecto al plano, que se supone un espejo (véase figura 10.1).
Imágenes / 3 6 9
z =O
Conductor
(a)
.
Problema real
(b)
Problema ficticio
Figura 10.1 Interfaz plana entre un conductor y el aire. En (a) se observa una carga puntual frente a. la interfaz plana de un conductor conéctado a tierra y el aire; en (b) aparece el pro blema ficticio, cuya solución, en z > 0¡ es la misma del problema real. La carga virtual, -q, es la Imagen especular de la carga real, g.
3. Carga puntual frente a la interfaz plana de dos dieléctricos. Cuando dos macizos dieléctricos semiinfinitos, de permitividades er y e2, se encuentran en una interfaz plana, que se hace coincidir con el plano XY, y una carga pun tu a l,q, se coloca en el dieléctrico de permitividad eu en el punto (0, 0, d), el potencial eléctrico con respecto al infinito, en un punto cualquiera del di eléctrico de permitividad et (véase figura 10.2), es
1 + . £' _ e * 4ns,
( £ I "*■
, para 0 < z < <»
( 10 . 1)
^ 2 )*2
donde r, y r2 son las distancias, respectivamente, entre el punto arbitrario y los puntos (0, 0, d) y (0, 0, -d); ese potencial es idéntico al de dos cargas pun tuales,# y #[, inmersas en un dieléctrico de permitividad £, y colocadas, res pectivamente, en los puntos (0, 0, d) y (0, 0, -d), donde #, = #(e, - e 2)/(e, + e2). El potencial eléctrico con respecto al infinito, en un punto cualquiera del dieléctrico de permitividad e2 es 2 q 0 = — t------ r —, para - °° < z < 0
4s(£, + e,)r, P
(10.2)
y es idéntico al de una carga puntual, #2, inmersá en un dieléctrico de permi tividad e2 y colocada en el punto (0, 0, d), donde q2 = 2qs2/(e ] + £2).
3 7 0 / Teoría electromagnética
(a )
(b)
Problema real
Problema ficticio dieléctrico e,
(c)
Problema ficticio dieléctrico %
Figura 10.2 Interfaz plana entre dieléctricos. En (a) se observa una carga puntual frente a la interfaz plana de dos dieléctricos; en (b) y (c) aparecen sendos problemas ficticios, en los que el dieléctrico respectivo es homogéneo, de modo que al superponer sus soluciones se obtiene la del problema real. Las cargas virtuales, g, y q2, se ubican si se supone que la interfaz es un espejo imperfecto que refleja y refracta a la vez, y sus magnitudes se deducen al aplicar las condiciones de frontera en z = 0.
4. Corriente filamental frente a la interfaz plana de dos materiales per meables. Cuando dos macizos magnetizables semiinfinitos, de; permeabilida des ju, y jUg, se encuentran en una interfaz plana, que se hace coincidir con el plano YZ, y una corriente filamental, /, colocada en el material de permeabi lidad H\> Pasa Por punto (d, 0) del plano XY y está orientada en el sentido del eje Z, la intensidad magnética en un punto cualquiera del material de permeabilidad [ix (véase figura 10.3), es
2lt
Ir.
, para 0 < x < °°
(10.3)
donde r¡ y r2 son las distancias, respectivamente, entre el punto arbitrario y los puntos (d, 0) y (-d, 0) del plano XY; esa intensidad es idéntica a la de dos corrientes filamentales, I e I lt paralelas, que fluyen en el sentido del eje Z, inmersas en un medio de permeabilidad /i, y que pasan, respectivamente, por los puntos (d, 0) y {-d, 0), donde /, = /(/¿2 +ju2). La intensidad magnética en un punto cualquiera del material de permeabilidad ¡1%es H
2/¿,7 f^xr, . para 2^(/i¡ +>2) r,2:
oo < x < 0
(10-4)
(a)
.
Problema real
(b)
(c)
Problema ficticio materia! ¡j..
■
Problema ficticio materia!^
Figura 10.3 Interfaz plana entre medios permeables. En (a) se representa una corriente rectilínea frente a la interfaz plana de dos materiales permeables; en (b) y (c) se muestran sendos problemas ficticios, en los que el material respectivo es homogéneo, de modo que al superponer sus soluciones se obtiene la del problema real. Para ubicar las corrientes virtua les, 7, e /2, la interfaz se trata como un espejo imperfecto que refleja y refracta a la vez, y sus magnitudes se calculan con el uso de las condiciones de frontera en z = 0.
y es idéntica a la de una corriente fílamental, I2, que fluye en el sentido del eje Z, inmersa en un material de permeabilidad ^ y que pasa por el punto (d, 0) del plano XY, donde / 2 = 2//¿1/(/¿1+ /¿2). 5. Interfaces esféricas. Cuando el problema real consiste en una esfera con ductora, de radio a, conectada a tierra, y una carga puntual, q, colocada fren te a aquélla, a una distancia d del centro, el problema ficticio queda definido por la misma carga real y una carga virtual, qu colocada a una distancia ¿ del centro de la esfera (véase figura 10.4); la superficie equipotencial de poten cial 0 se hace coincidir, en el problema ficticio, con la superficie esférica del problema real. Los valores de qx y b son ?. = ~ | ? y b = Y
( 10-5)
Si la esfera conductora está aislada y su potencial eléctrico con respecto al infinito es V0, al problema ficticio definido en el párrafo anterior debe agre garse una carga, q2, colocada en el centro de la esfera, de valor q2 = 4nsaV0
(10.6)
para garantizar que, en el problema ficticio, la superficie equipotencial de potencial V0 coincida con la superficie esférica del problema real; la carga
3 7 2 / Teoría electromagnética
(a) Problema real
(b> ' Problema ficticio
Figura 10.4
interfaz esférica entre un conductor y él aire. En (a) se ilustra el problema de una carga puntual frente a un conductor esférico conectado a tierra; en (b) se muestra ej problema ficticio cuya solución, en r > a, es ja misma del problema real. La magnitud y la posición de la carga virtual, qu se deducen al hacer &{a,6) =0.
total, O, acumulada en la esfera Conductora, es igual a la suma de las cargas virtuales de su interior: (¿ = ?i + ?,
(10.7)
Cuando la esfera conductora está aislada y su carga total es Q, el problema ficticio sigue formado por las cargas q, q¡ y q2, pero el valor de la última y el potencial eléctrico con respecto al infinito de la esíerá conductora son A* = Q.~
(
10 - 8 )
(iO-9)
6. Potencial e intensidad del campo eléctrico de un hilo cargado. El poten cial y la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio, de un hilo recto e infinito, uniformemente cargado, con una densidad longitudinal dé carga, 71, y rodeado por un dieléctrico, de permitividad £, son 0
A ---- lnr + C y E —i 2Jte . 2ner
( 10 . 10 )
donde r es la distancia al hilo y C una constante arbitraria, y se adoptó un sistema de coordenadas cilindricas circulares, cuyo eje Z coincide con el hilo (véase figura 10.5).
Figura 10.5 Hilo recto, cargado uniformemente con A. El eje Z coincide con el hilo. Con la ley de Gáuss, por la simetría, se calcula £, y luego se integra para hallar
7. Interfaces cilindricas. El potencial eléctrico en un punto del espacio, debido a dos hilos rectos y paralelos, separados la distancia 2d, cargados con densidades de carga ±A e inmersos en un dieléctrico de permitividad £, es 0 = — — ln — 2ne ?;
(10.11)
donde r, y r2 son las distancias del punto a los hilos de carga +A y -A, respec tivamente, y se supone que el potencial eléctrico es 0 en el plano mediatriz a los hilos (véase figura 10.6). La familia de superficies equipotenciales del par de hilos cargados está formada por cilindros circulares; con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas en el cual los hilos dé carga +A y -A pa san, respectivamente, por los puntos (0,0) y (-2d,0) del plano XY, el paráme tro de la familia que determina cada cilindro, M, las coordenadas del punto en el plano XY por donde pasa el eje de cada uno, xe y ye, y su radio, i?, son M =^ 2dM2 X' = I - M i’ y y‘ “ °
■
(10.12)
■■■•"■ (10.13)
dos hilos rectos, paralelos, separados la distancia 2 d y cargados uniformemente con +A y -A. Las líneas son circunferencias nó concéntricas, cuyo centro está sobre el eje X. El origen de coordenadas se ubica en el hilo cargado con +A, y el nivel de referencia para el potencial nulo, se ubica en el plano mediatriz de los hilos.
' 2dM para 0
(10.14)
Cuando el problema real está formado por dos cilindros conductores parale los, los hilos de carga ±A constituyen el problema ficticio; pero es necesario hacer coincidir dos de las superficies equipotenciales de este último con las superficies de los cilindros del primero, para determinar geométricamente el ficticio. 8. Dos cilindros conductores y paralelos. Si se establece un voltaje, V0, en tre dos cilindros conductores, paralelos, de radios Rj y R^, separados entre ejes por la distancia c e inmersos en un dieléctrico lineal, homogéneo e isotrópico, de permitividad e, el potencial y la intensidad del campo eléctrico en un punto del dieléctrico, calculados con base en el problema ficticio equi-
Im ágenes
Problema real
/ 37 5
. Problema ficticio
(a)
•' - : '
(b)
Fig u ra 10.7 Capacitor formado por dos cilindros conductores y paralelos, sometidos al volta je V0, El problema ficticio está formado por dos hilos paralelos, separados la distancia 2cf y cargados con +A y -X.
ro
valente, formado por dos hilos rectos, paralelos e infinitos que tienen cargas ±A, y están sumergidos en el mismo dieléctrico (véase figura 10.7), son ( ^ Á . r. r, A (10.15)
2ne M M,
(10.16)
en la que M vy M2 son los parámetros para determinar, en el problema ficti cio, las superficies equipotenciales que coinciden con las de los cilindros conductores, de radios, respectivamente, i?, y R 2. Los valores de M, y M2 son M,
R 2- R 2+c‘ 2cRl
2 •" 1/2 ( R 2- R 22+ c2') -1 2cR. \ ’ J ■
M2
R 2- R 2+c2 —+ 2cR,
•
-|l/2
R 2 - R 2 +c' \ 2 2cR9
R.
(10.17)
3 7 6 / Teoría electromagnética
10.1 Método P r o p o s ic io n e s
1. Las líneas de fuerza de una función vectorial son perpendiculares, en cada: punto del espacio, a la dirección de ésta en ese mismo punto 2. Las líneas de fuerza de una función vectorial sé alejan, donde ésta es más intensa.' ■ 3. Dos líneas de fuerza pueden cortarse. 4. En los puntos de una superficie equipotencial la respectiva función de potencial es constante. 5. Las superficies equipotenciales no pueden cortarse. 6. Las líneas de fuerza de una función vectorial, R(r), y las superficies equi potenciales de su respectivo potencial escalar^ cuando existe, se cortan ortogonalmente. 7. El método de las imágenes sólo puede aplicarse a problemas electrostáticos. 8. Con él método de las imágenes se obtienen funciones armónicas. 9. Las líneas de fuerza de E en el problema ficticio no coinciden, en el méto do de las imágen«es, con las del problema real. 10. Las condiciones de frontera del problema real se satisfacen con las fun ciones halladas en el problema ficticio. 11. Dos problemas electromagnéticos, físicamente distintos, no pueden te ner, en la misma región, iguales soluciones. S o lu c io n e s
1. Falso. La dirección de la función vectorial es tangente en cada punto, por definición, a la línea de fuerza que pasa por allí. 2. Falso. Al dibujar en una región del espacio las líneas de fuerza de una función vectorial, se obtiene una imagen de la estructura de ésta allí; las tan gentes a las líneas señalan la dirección de la función en cada punto, donde las líneas se acercan la magnitud de la función es mayor, y donde se separan, menor. •/ 3. Falso. En el punto común, si se cortan dos líneas de fuerza, la función vectorial respectiva tendría, simultáneamente, dos direcciones diferentes, lo que es imposible. Conviene mencionar, sin embargo, que aparentemente
Im ágenes / 3 7 7
concurren varias líneas de fuerza a los puntos donde la función vectorial es 0, puesto que el vector 0 tiene todas las direcciones. 4. Falso. En los puntos de una superficie equipotencial, por definición, la respectiva función de potencial es uniforme, es decir, no depende de la posición. 5. Cierto. En la línea común, si se cortan dos superficies equipotenciales distintas, la función de potencial.respectiva tendría, simultáneamente,,dos valores diferentes, lo que no es posible. 6. Cierto. Existe un potencial escalar en una región del espacio si la respecti va función vectorial es irrotacional allí; cuando éste es el caso, ambas funcio nes están relacionadas con R = -V<í%, y en cualquier dirección, ds, entre dos puntos muy cercanos de una superficie equipotencial, se cumple que 0 = d
378 /
Teoría electromagnética
10.2 Planos P r o p o s ic io n e s
1. La solución por imágenes está restringida, en problemas con interfaces planas, a que las fuentes del campo sean puntuales o lineales. 2. Si una caíga puntual, q, inmersa en el aire, se coloca a una distancia b de un plano conductor conectado a tierra, la carga atrae al plano con una fuerza cuya magnitud es |.F| = £2/(l67r£062). ■> 3. Si una carga puntual, q, inmersa en el aire, se coloca a una distancia b de un plano conductor conectado a tierra, en el plano se induce uña carga total igual a q. .'■‘V; 4. Si en x = 0 hay un plano conductor conectado a tierra, si hay aire en la región x > 0 , y cargas puntuales, q, en (a, 0, 0) y (2a, 0, 0), ía magnitud de la fuerza que obra sobre ía carga en (2a, 0, 0) es \F\ = 119^2/(576^£0a 2). 5. Si en x = 0 hay un plano conductor conectado a tierra, si hay aire en la región x>0, y cargas puntuales, q, en (a, 0, 0) y (a, 0, a), la magnitud de la. fuerza que estas cargas ejercen sobre el plano es |.F| = 13q2/(40ft£0a 2). 6. La energía potencial de un sistema formado por una carga puntual, q, colocada en el aire a la distancia d de un plano conductor conectado a tierra, y el plano, es Ue = - q 2/{87t£0dj. 7. La energía potencial de un sistema formado por una carga puntual, q, colocada en el aire a la distancia d, de un plano conductor conectado a tierra, y el plano, se reduce a la cuarta- parte cuando la separación entre la carga y el plano se duplica. 8. Si dos semiplanos conductores conectados a tierra se cortan ortogonal mente, y en un punto del semiplano bisectriz se pone una carga puntual, q, sobre ésta obra uña fuerza atractiva. 9. Si dos semiplanos conductores conectados a tierra se cortan ortogonal mente, y en el semiplano bisectriz se pone una carga puntual, q, inmersa en el aire y a la distancia, b, de cada uno, la magnitud de la fuerza que obra sobre la carga puntual es |.F| = #2(2I/2-l)/(327r£0¿>2). 10. Para resolver, por el método de las imágenes, el problema de una carga puntual colocada entre dos semiplanos conductores, conectados a tierra y que se cortan en un ángulo diedro de 20°, se necesitan 17 cargas imagen.
. Im ágenes / 3 7 9
11. Para resolver, por el método de las imágenes, el problema de una carga puntual colocada entre dos semiplanos conductores, conectados a tierra y que se cortan en un ángulo diedro de 37°, se necesitan 10 cargas puntuales. 12. Si a una distancia, d, de un plano conductor conectado a tierra, se coloca un hilo cargado uniformemente con A, inmerso en el aire, el plano lo atrae con una fuerza por unidad de longitud de magnitud |
3 8 0 / Teoría electromagnética
S o lu c io n e s
1. Falso. Pueden resolverse problemas que también involucran fuentes, del campo eléctrico o del magnético, distribuidas en superficies o volúmenes; por ejemplo, el cálculo de la fuerza de atracción entre una esfera conductora cargada y un plano conductor conectado a tierra. 2. Cierto. El problema ficticio está formado por dos cargas puntuales, de signos opuestos y magnitudes iguales a q, inmersas en el aire y separadas por la distancia 2b. La fuerza con la que la carga real atrae al plano es igual a la que se desarrolla entre las cargas puntuales del problema ficticio, la cual, al calcularla con la ley de Coulomb, ratifica la proposición. / ^ 3. Falso. La carga total inducida en el plano es -q; este valor corresponde a la carga imagen que, en el problema ficticio, sustituye al plano. 4. Cierto. El problema ficticio está formado por cargas puntuales iguales a q, q, -q y -q, inmersas en el aire y ubicadas, respectivamente, en (a, 0, 0), (2a, 0, 0), (■-a, 0, 0) y (—2a, 0, 0). La fuerza que obra sobre la carga del punto (2a, 0, 0) es igual a la que ejercen sobre ésta, en el problema ficticio, las otras tres cargas, y se calcula con la ley de Coulomb; su magnitud vale |jF| = 119q2/{576ne0a2^. 5. Falso. El problerrta ficticio está formado por las cargas puntuales q, q, -q y - ^ inmersas en el aire y ubicadas, respectivamente, en (a, 0, 0), (a, 0, a), (-a, 0, 0) y (-a, 0, a). La fuerza que las cargas reales de (a, 0, 0) y (a, 0, a) ejercen sobre el plano conductor es igual a la suma de las que aquéllas des arrollan, en. el problema .ficticio, sobre, las cargas virtuales de los puntos (~a, 0, 0) y .(-a, 0, a), y se calcula con la ley de Coulomb; su magnitud vale |F| = (8 + 53/2y / ( 4 0 x 5 ,/3 x7T£0a2). - - l . . ' ... ■ .......... ;........ ... 6. Cierto. Como el plano conductor, donde la carga real induce una distri bución superficial de carga, está conectado a tierra, en la cual se supone 0 el potencial eléctrico, y el problema ficticio equivalente está formado por dos cargas puntuales de signos opuestos y magnitudes iguales a q, inmersas en el aire y separadas la distancia 2d, entonces la energía potencial del sistema real, calculada al aplicar (7.4) al problema ficticio, coincide con la presenta da en la proposición. 7. Falso. Esa energía, de acuerdo con la anterior proposición, es inversamente proporcional a la distancia entre la carga y el plano.
Imágenes / 381
Pioblema real
,
: r v ( a ) ::; ; : . 0 : T
Problema ficticio (b)
Figura 10.8 Diedro recto de semiplanos conductores. Una carga puntual equidista, en el problema real, de dos semiplanos conductores conectados a tierra y que se cortan ortogonalmente. El problema ficticio está formado por cuatro cargas ¡guales, de signos alternos, colocadas en los vértices de un cuadrado de lado 2b.
8. Cierto. La carga real induce cargas iguales a -q /2 en cada semiplano con ductor conectado a tierra, con las que desarrolla una fuerza de atracción (véase figura 10.8). 9. Falso. Si se hacen coincidir los semiplanos conductores con los semiplanos XZ y YZ, de un sistema de coordenadas cartesianas, el problema ficticio que da definido con cargas puntuales iguales a q, -q , q y -q , inmersas en el aire y ubicadas, respectivamente, en (b, b, 0), (-b, b, 0), (-b, -b, 0) y (b, -b, 0) (véase figura 10.8). La fuerza que obra sobre la carga del punto (b, b, 0) es igual a la que ejercen sobre ésta, en el problema ficticio, las otras tres cargas, y se cal cula con la ley de Coulomb; ésta fuerza es de atracción, como se explicó en la proposición anterior. La fuerza y su magnitud son >1/2 A F =~ L
1Qnenb‘
(J
+.í,)y í i - ' - ' " 0 * 32 ne0b2
10. Cierto. El número de cargas puntuales que tiene el problema ficticio equivalente se determina al dividir 360° por 20°; por tanto, se requieren 17 cargas imagen.
3 8 2 / Teoría electromagnética
11. Falso. Para resolver por el método de las imágenes un problema como el propuesto, es necesario que el ángulo diedro formado por los semiplanos conductores sea un submúltiplo de 180°, y en este caso no es así; el problema descrito en la proposición puede resolverse con el uso de una transformación conforme en el plano complejo. 12. Cierto. El problema ficticio está formado por dos hilos rectos y paralelos, separados la distancia 2d, cargados con densidades de carga ±A e inmersos en el aire. La fuerza con la que el plano atrae al hilo real es igual a la que se desarrolla entre los hilos del problema ficticio, y se calcula con (10.10) y la ley de Lorentz; su magnitud es |<¿F/ds| = A|f | = A2/(4^e0d). 13. Falso. El problema ficticio está formado por cuatro hilos, con cargas iguales a A, -A, A y -A, paralelos al eje Z, inmersos en el aire y que pasan, respectivamente, por los puntos (-2a, 0), (-a, 0), (a, 0) y (2a, 0) del plano XY. La fuerza que obra sobre el hiló real del punto (2a, 0) es igual a la que ejer cen sobre éste, en el problema ficticio, los otros tres hilos, y se calcula con (10.10) y la ley de Lorentz; su magnitud es |dF/<¿z| - 11 A2/(247t£0a) . 14. Cierto. El número de hilos cargados que tiene el problema ficticio se determina al dividir 360° por 30°, lo que da 12. 15. Falso. Pueden resolverse por el método de las imágenes, por ejemplo, el problema de una carga puntual colocada entre dos planos conductores para lelos, cónectados-a-tie-r-ra,-y-el-de-dos-e-sferas-Gonductoras-Gargadas;-en ambos.. aparecen series: infinitas de imágenes. Estas series pueden manipularse apropiadamente al usar ecuaciones en diferencias. - r . 16. Cierto. Si se supone que la interfaz plana entré el aire y el dieléctrico es un espejo imperfecto que refleja y refracta a la vez, un observador, ubicado en un punto arbitrario del aire, puede percibir la carga, q, y su imagen, qu reflejada por el espejo; otro observador, situado en un punto arbitrario del dieléctrico, percibe la carga puntual a través de la interfaz, pero como q2. Las magnitudes de qx y q2 son distintas a la real ya que el espejo es defectuoso y distorsiona. El potencial eléctrico en el aire, se debe a la carga real, q, y a la virtual, qu que actúan como si todo el espacio tuviese permitividad £0; y en el dieléctrico es igual al de la carga virtual, q2, que obra como si todo el espacio tuviese permitividad £. Los potenciales respectivos pueden obtenerse de (10.1) y (10.2). 17. Falso. La carga puntual,
Imágenes / 3 8 3
gas q y del problema ficticio propuesto en la proposición anterior; su magnitud es ■ipi '
n 4n£0(2af
_
.(£ - g° y l6neQ(E + e0)a'
donde se usó la ley de Coulomb y el valor de la carga virtual, q]} del artículo 10.0.3. 18. Falso. Esa expresión proviene de aplicar la ley de Coulomb entre las cargas puntuales e ignora que en la interfaz plana de los dos dieléctricos se induce una carga superficial de polarización, la cual también interactúa con la carga en cuestión; sería válida, si todo el espacio tuviese una permitividad igual a e2. La expresión correcta puede determinarse abusar la información consignada en el artículo 10.0.3. 19. Cierto. La fuerza que obra sobre la corriente filamental, I, se puede cal cular, después de deducir con (10.3) la inducción magnética que actúa sobre ésta, al aplicar (9.6). Esa fuerza es idéntica a la que sobre la corriente real ejerce la corriente virtual, /¡, colocada a una distancia 2a y cuya magnitud, en este caso, resulta ser igual a I; la magnitud de la corriente virtual se dedu ce de los resultados consignados en el artículo 10.0.4, al sustituir ¿t, por /i0, y por 00. Cuando se calcula la fuerza respectiva, con (9.6), se confirma la proposición.
10.3 Esferas P r o p o s ic io n e s
1. Si se tienen una esfera conductora y una carga puntual fuera de ésta, el método de las imágenes permite calcular el potencial eléctrico dentro de la esfera. 2. Si se tienen una esfera conductora y una carga puntual fuera de ésta, para cualquier posición de la carga su imagen está dentro de la esfera. 3. Si se tienen una esfera conductora y una carga puntual fuera de ésta, la magnitud de la carga virtual es mayor que la de la carga real. 4. Si un conductor aislado tiene potencial eléctrico nulo, su carga neta tam bién es 0.
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5. Si el potencial eléctrico con respecto al infinito de un conductor aislado es 0, su carga neta no necesariamente es 0. 6. Si una carga puntual se coloca frente a una esfera conductora, cuyo poten cial con respecto al infinito es 0, la esfera tiene que estar cargada. 7. Si se tienen una esfera conductora, aislada, descargada y de radio a, y una carga puntual, q, a una distancia ba del centro de aquélla, inmersas en el aire, con referencia a un sistema de coordenadas esféricas, de origen en el centro de la esfera y cuyo eje Z pasa por la carga puntual, el valor máximo de la magnitud de cr sobre la esfera aparece en 6 = 45°. , 8. Si se tienen una esfera conductora, conectada a tierra y de radio R, y, fue ra de ésta, una superficie esférica de radio a, cuyo centro se encuentra a la distancia h del centro de la otra y posee una distribución superficial de carga, cr, la imagen de esta distribución con respecto a la esfera conductora es otra esfera. . 9. Si se coloca en el aire una carga puntual, q, a una distancia, d, del centro de una esfera conductora cargada, aislada y de radio a, con d > a, entonces la magnitud de E en el centro de la esfera es [e | = \q\j{4ne<¡d2^. 10. Si en el centro de una esfera conductora y hueca hay una carga puntual, el potencial eléctrico no es uniforme dentro de la superficie esférica. 11. Si en la cavidad de una concha esférica conductora, descargada y aislada hay cargas puntuales: qu q<¿, ... qN, repartidas asimétricamente, la E en el ex terior de la esfera debida a aquéllas es proporcional a 1/r2. 12. Si se tienen Una esfera conductora, aislada, descargada y de radio a, y una carga puntual, q, a una distancia 2a del centro dé aquélla, inmersas en el aire, la magnitud de la fuerza que obra sobre la caíga es |.F| = 7g,2/(l44TZE0a2). 13. Si se tienen una esfera conductora, aislada y descargada, y una carga puntual, q, fuera de aquélla, inmersas en el aire, la fuerza entre ambas y para todas las posiciones relativas es de atracción. 14. Si se tienen una esfera conductora aislada, cuya carga neta, Q, es negativa, y uña carga puntual y positiva, q, fuera de aquélla, inmersas eri el aire, para todas las posiciones relativas entre ambos objetos la fuerza es dé atracción. 15. Si se tienen una esfera conductora aislada, cuya carga neta, (¿, es positiva, y una carga puntual y positiva, q, fuera de aquélla, inmersas en el aire, para todas las-posiciones relativas entre ambos-objetos-la-fuerza es-de-repulsión.:. — 16. Si un sistema electrostático está formado por dos cuerpos y éstos sé repe len eléctricamente, necesariamente ambos están cargados.
Im ágenes / 3 8 5
17. Si las cargas netas de dos objetos son negativas, éstos no necesariamente se repelen. 18. Si en un sistema electrostático formado por dos conductores cargados hay atracción entre éstos, sus cargas netas son de signos contrarios. 19. Dos esferas conductoras, de cargas, +Q, y -Q, radios iguales, inmersas en el aire y entre cuyos centros la distancia es d, se atraen con una fuerza cuya magnitud es |f | = Q”/(47T£0d 2>) . 20. Si dentro de una concha esférica conductora, descargada y hueca hay una carga puntual, la fuerza sobre ésta es 0. 21. Si dentro de una concha esférica conductora, de radio interior a, vacía y descargada, hay dos partículas puntuales, con cargas, g, separadas entre sí la distancia a, ubicadas sobre el mismo diámetro y simétricamente con respecto al centro, la magnitud de la fuerza que obra sobre una de las partículas es
|f | = 35397 ( 900^
og2)-
'
22. Una carga puntual, q, en el centro de una concha esférica conductora, descargada y aislada, está en equilibrio estable. 23. Si se tienen una esfera conductora, de radio a y conectada a tierra, y una carga puntual, q, fuera de aquélla, a una distancia d de su centro, inmersas en el aire, al duplicar la distancia entre la carga y el centro de la esfera, la energía potencial del sistema se reduce a la mitad. S o lu c io n e s
1. Falso. Con el método de las imágenes se calcula el potencial eléctrico fue ra de la esfera, en la misma región donde se encuentra la carga puntual; dentro de la esfera conductora no hay campo eléctrico y el potencial eléctri co es uniforme. 2. Cierto. La posición de la carga virtual se calcula con (10.5); de ésta, cuan do d > a, por estar la carga real fuera de la esfera, se concluye que b < a, y la cai'ga virtual queda dentro de la esfera. Si, en cambio, la carga real está den tro de la esfera, la carga virtual queda fuera. 3. Falso. La magnitud de la carga virtual se calcula con (10.5); de ésta, cuan do d > a, por estar la carga real fuera de la esfera, se concluye que k.| < kl- si, en cambio, la carga real está dentro de la esfera, la magnitud de la carga virtual es mayor.
B86 / Teoría electromagnética
4. Falso. No necesariamente; el nivel de referencia para medir el potencial eléctrico se define arbitrariamente y puede elegirse en la superficie del con ductor, por ejemplo, sin importar la carga que éste acumule. 5. Cierto. La carga de un conductor aislado y su potencial eléctrico con res pecto al infinito no pueden asignarse simultánea e independientemente; conocer uno de ellos permite determinar el otro. Si la carga neta del conduc tor no es 0 y su potencial con respectó al infinito sí lo es, ello implica que el campo eléctrico tiene fuentes adicionales, con cargas de signo opuesto a la del conductor. 6. Cierto. La esfera conductora tiene una carga de signo opuesto al de la carga puntual; está dada en (10.5). 7. Falso. La carga puntual induce una distribución superficial de carga sobre la esfera conductora, pero su carga neta sigue siendo 0; por la simetría, sin necesidad de recurrir a la expresión general, puede concluirse que el valor máximo de <7sobre la esfera aparece cuando 0 = 0, que corresponde al punto de aquélla más próximo a la carga puntual. 8. Cierto. Con referencia a un sistema de coordenadas esféricas, de origen en el centro de la esfera conductora y cuyo eje Z pasa por el centro dé la distribución superficial de cargá, si r y 0 son las coordenadas de un punto arbitrario de esta última, la ecuación que las relaciona y representa la super ficie, deducida con la ley del coseno, es ?-2- 2/ircos0 + (A2 - a2) = 0
(10.18)
Cada punto, cargado, de la anterior superficie, tiene una imagen con respec to a la esfera conductora, cuya distancia r, al origen de coordenadas, según (10.5), está relacionada con r así: rr, = i?2, y al sustituir en (10.18) resulta 2hR2 ■ - r - ¿ r ]c°se + h ~a expresión que corresponde, cúando se compara con (10.18), a la ecuación de una esfera. 9. Falso. En el centro y én todos los puntos interiores de la esfera río hay campo eléctrico; el conductor forma un blindaje que no permite al campo eléctrico externo atravesar la superficie. 2
ri
10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En la cavidad del conduc tor el potencial eléctrico no es uniforme, debido a la presencia de la carga puntual; es uniforme, en cambio, dentro del material conductor, por ser éste electrostático.
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11. Cierto. Como D es 0 dentro de un conductor aislado, la carga encerrada por cualquier superficie cerrada ubicada en el interior de aquél, según la ley de Coulomb-Gauss, es 0; por tanto, si en la cavidad del conductor hay una carga total, + q2 + ... qÑ, de la superficie interior de éste se desplaza una carga igual a la anterior hacia la superficie exterior, donde es fuente del campo eléctrico externo. En la cavidad, el campo puede determinarse por el método de las imágenes, y en el exterior, por separación de variables; una región influye sobre la otra sólo mediante el aporte de una constante a la función del potencial eléctrico, pues están separadas por el conductor. De las explicaciones anteriores y las condiciones de frontera fuera de la concha, se deduce que en el exterior |^ | = |?i + q2+ ••• #w|/(4;r£0?'2)> donde r e sla distancia.al centro de la concha. En el resultado se observa que la concha descar gada se comporta como si toda la carga repartida en la cavidad estuviese : acumulada en el centro. , 12. Falso. El problema ficticio está formado por las cargas puntuales q, ql y q2, inmersas en el aire y ubicadas, respectivamente, a las distancias d, b y 0 del centro, de la esfera. Las cargas del problema ficticio y sus posiciones, determinadas con los datos, (10.5) y (10.8), son d = 2a,. b = a/2i q] - - q / 2 y, q2 =—qr = q/2. La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga puntual es igual a la que desarrollan sobre ésta las cargas virtuales en el problema ficticio; su magnitud es |f | = 7^2/ (288tt£0a2), donde se usó la ley de Coulomb. 13. Cierto. Tomando en cuenta la proposición anterior, se deduce que, para todas las posiciones relativas de la carga puntual, q, las magnitudes de ql y q2 son iguales; por tanto, y ya que q y q¡ están más cercanas, la fuerza de atrac ción entre éstas supera la de repulsión entre q y q2. 14. Cierto. El problema ficticio está formado por las cargas puntuales q, q} y q2l inmersas en el aire y ubicadas, respectivamente, a las distancias d, b y 0 del centro de la esfera. Cuando la carga real está muy cerca de la superficie de la esfera, b y ¿ tienden a ser iguales al radio de aquélla, según (10.5), y la fuerza entre q y qu que tienen signos opuestos, es de atracción y tiende a infinito. Cuando la carga real está muy lejos de la esfera, ésta tiende a com portarse como una carga negativa puntual, y la fuerza entre ambas es de atracción y tiende a 0. Para otras posiciones, entre los extremos menciona dos, la fuerza éntre carga y esfera es también de atracción, y la magnitud varía entre 0 e infinito. Obsérvese que, para todas las posiciones relativas de la carga real, la virtual, qu tiene signo negativo y su valor máximo es j^fj, de acuerdo con (10.5); además, la carga virtual, q2, sólo puede ser positiva, se
388 / Teoría electromagnética
gún (10.8), cuando |Qj < |#,|, pero en tal caso su magnitud no puede superar la de q, y la fuerza de repulsión que ejerce sobre lá carga real es menor que la de atracción que se desarrolla entre q y qx. 15. Falso. Con base en la solución anterior, puede concluirse que la fuerza entre la esfera y la carga puntual es de atracción, aunque ambos objetos ten gan cargas de signo positivo, cuando la carga puntual está muy cerca de la superficie de aquélla, porque, en tal caso, la fuerza de atracción entre q y qx supera la de repulsión entre q y q^. 16. Cierto. Cuando el sistema está formado solamente por dos cuerpos y éstos se repelen eléctricamente, ambos deben tener cargas netas diferentes de 0. En efecto, si los dos cuerpos están descargados no hay interacción eléc trica entre ambos; si sólo lino está cargado, el otro se polariza y entre los objetos se desarrolla una fuerza de atracción. Sin embargo, en el caso de no excluir cuerpos polarizados espontáneamente, que son alineales y escasos, el sistema puede estar formado por dos electretos polarizados que se repelen y cuyas cargas, netas son nulas. 17. Cierto. Por ejemplo, de la proposición 10.3.15 se concluye que cuando la esfera conductora y la carga puntual tienen cargas netas del mismo signo, y la puntual se encuentra muy cerca de la superficie de la esfera, se desarrolla una fuerza de atracción entre ambos objetos. 18. Falso. No necesariamente, pueden ser del mismo signo; la proposición se refuta con un contraejemplo, al tomar en cuenta las explicaciones dadas en la proposición anterior. Entre dos esferas conductoras y de cargas iguales, una de radio despreciable, casi una carga puntual con respecto a la otra, y muy próximas entre sí, se desarrolla una fuerza de atracción. 19. Falso. La expresión es incorrecta y corresponde a la fuerza eléctrica en-_ tre dos cargas puntuales, mientras que la premisa de la proposición habla de dos cuerpos conductores; en éstos, la carga es móvil y puede redistribuirse en la superficie. La fuerza entre dos esferas conductoras cargadas puede averiguarse con el método de las imágenes e involucra series infinitas de cargas virtuales. 20. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La carga puntual induce en la superficie interior de la esfera conductora una distribución superficial de carga, la cual desarrolla sobre aquélla una fuerza que es 0, por la simetría del sistema, cuando la carga puntual está en el centro de la esfera; en caso contrario, no es 0, y la-fuerza que obra sobre la carga puntual tiende a. mo^ verla hacia el punto más cercano de la superficie interior del conductor.
Imágenes / 3 8 9
21. Cierto. Con referencia a un sistema de coordenadas rectangulares, de origen en el centro de la esfera y cuyo eje Z pasa por las cargas puntuales, el problema ficticio, determinado de acuerdo con la proposición y (10.5), está formado por las cargas puntuales q, -2 q, qy -2 q, inmersas en el aire y ubica das, respectivamente, en (0, 0, a/2), (0, 0, 2a), (0, 0, -al2) y (0, 0, - 2a). La fuerza que actúa sobre la carga real del punto (0, 0, a/2) es igual a la que ejercen sobre ésta las demás del problema ficticio; calculada con la ley de Coulomb, la magnitud de dicha fuerza vale |jp| = 353^2/(900^£0ü2). 22. Falso. De acuerdo con la proposición 10.3.20, esa carga está en equili brio inestable; en efecto, si se la retira del centro, sobre la carga puntual actúa una fuerza que tiende a moverla hacia el punto más próximo de la superficie interior de la concha. 23. Falso. Como la esfera conductora —donde la carga puntúal, q, induce una distribución superficial de carga— está conectada a tierra, y el problema ficticio está formado por las Cargas puntuales q y q\ —inmersas en el aire y distantes d, y b, respectivamente, del centro de la esfera— la energía poten cial del sistema real, calculada con (7.4), es U ~ ^ ~ f Ü ' 47te0(d-b) 4tz£0(d2 - a2) donde se usó (10.5). La expresión anterior refuta la proposición.
10.4 Cilindros circulares P r o p o s ic io n e s
1. Las superficies equipotenciales de dos cargas rectilíneas, paralelas, iguales en magnitud y de signos opuestos, son cilindros circulares cuyos ejes están en el plano mediatriz de aquéllas. 2. Las superficies equipotenciales de dos cargas rectilíneas, paralelas, iguales en magnitud y de signos opuestos, son cilindros circulares coaxiales. 3. Las superficies equipotenciales de dos cargas rectilíneas, paralelas, iguales en magnitud y de signos opuestos, rodean la línea de carga, +A, cuando el M que las determina es menor que la unidad. 4. M puede ser negativo.
S90 / Teoría electromagnética
5. El radio, i?, de cualquiera de las superficies equipotenciales de dos cargas rectilínéas, paralelas, iguales éri magnitud y de signos opuestos, que están separadas entre sí la distancia r á , es igual a la media geométrica de las dis tancias entre el eje de aquella superficie y el par de cargas. 6. La E de dos cargas rectilíneas, paralelas, iguales en magnitud y de signos opuestos, es 0 en el plano mediatriz de aquéllas. 7. Dos cargas rectilíneas, paralelas, iguales en magnitud a A y de signos opuestos, separadas entre sí la distancia d, e inmersas en el aire, sé atraen con una fuerza por unidad de longitud cuya magnitud es \dF/ds\= A.~'/(2n:¿0:d ).: 8. Si frente a un cilindro conductor, de carga A y radio Í2,, se coloca un hilo recto, de caíga -A, paralelo a aquél y a una distancia D de su eje, la imagen del hilo se encuentra dentro del cilindro. 9. Para resolver por el método de las imágenes el problema de dos cilindros circulares, conductores, no coaxiales y de ejes paralelos, sometidos a un vol taje. V0, el problema ficticio requiere, para cumplir las condiciones de fronte ra y la ecuación de Laplace, más de dos hilos cargados. 10. Para resolver por el método de las imágenes el problema de un hilo recto que tiene una distribución longitudinal de carga, A, colocado paralelamente frente a un cilindro conductor, descargado y de radio R, y a una distancia D de su eje, el problema ficticio requiere, para cumplir las condiciones de fron tera y la ecuación de Laplace, más de dos hilos cargados. 11. Si se tienen dos cilindros circulares, conductores, externos entre sí y de ejes paralelos, sometidos a un voltaje, VQ, los valores de M, que determinan las superficies equipotenciales del problema ficticio que coinciden con aqué llos,, son, en ambos cilindros, mayores o menores que la unidad. 12. Si se duplica el voltaje entre dos cilindros circulares, infinitos, conducto res y de ejes paralelos, se duplica la carga longitudinal que cada uno tiene. 13. Si se duplica la carga én un capacitor formado por dos cilindros conduc tores, paralelos e infinitos, la capacitancia por Unidad de longitud se duplica. 14. Si un capacitor está formado por dos cilindros circulares, conductores y paralelos, sometidos a un voltaje, V0, y se duplican las longitudes transversa les del mismo, su capacitancia por unidad de longitud se mantiene igual. 15. Si un hilo, de carga -A, se coloca paralelamente a un cilindro conductor, de radio R y carga A, a una distancia~2-f?- de su- eje-e-inmerso-en el-aire, lamagnitud de la fuerza por unidad de longitud que obra sobre el hilo es |ájF/ás| = A2/(27T£0R).
Imágenes / 391
16. Entre dos cilindros circulares, conductores, externos entre sí y de ejes paralelos, sometidos a un voltaje, V0, la fuerza es de atracción para todas las posiciones relativas de aquéllos. 17. Si en el interior de un tubo cilindrico circular, conductor y descargado, hay un hilo cargado, paralelo al eje del tubo pero sin coincidir con éste, la fuerza sobre el hilo es 0. : 18. Si en el eje de un tubo cilindrico circular, conductor y descargado, hay un hilo cargado, éste se encuentra en equilibrio inestable. 19. La dirección radial es normal, en el sistema de coordenadas bipolares, a los cilindros circulares para los cuales la razón de las distancias a los polos es una cantidad uniforme. S o lu c io n e s
1. Falso. Son cilindros circulares cuyos ejes están en el plano definido por los hilos; en el plano mediatriz de éstos, en cambió, se encuentran los centros de las líneas de fuerza de la intensidad eléctrica, que son circunferencias, debi das a las densidades de carga que aquéllos tienen. 2. Falso. Sort cilindros circulares pero no coaxiales, puesto que las posiciones de sus ejes varían con M. ■ 3. Cierto. La superficie equipotencial cuyo M es menor que la unidad encie rra el origen de coordenadas, con respecto a un sistema de coordenadas car tesianas én el cual los hilos de carga, +A y -A, pasan, respectivamente, por los puntos (0, 0) y (-2d, 0) del plano XY, porque el radio de aquélla es mayor que la distancia entre su eje y el origen; en efecto, de (10.13) y (10.14), resulta 2dM _ 2dM2 _ _2iM_>() 1- M 2 l - M 2 ~ l +M ~ 4. Falso. Es siempre: positivo porque, de acuerdo con (10.12), es la razón entre dos distancias. 5. Cierto. Si se supone que esa superficie rodea +A, y que b y D son las dis tancias desde el eje de aquélla hasta, respectivamente, los hilos de cargas, +A y -A, de (10.13) y (10.14) se deducen b'=-x. =
2dM2d 2dM 'S2 D = x. +2d = • y j? 2 = = bD l-M 2 1 -M 2 ’ l-M 2
La demostración es similar cuando la superficie rodéa la carga—A.
(10.19)
3 9 2 / Teoría electromagnética
6. Falso. En el plano médiatriz es 0 el potencial eléctrico, debido a que ese plano se elige como nivel de referencia, pero no E\ ésta es perpendicular al plano. 7. Cierto. Esa fuerza es de atracción porque las cargas de los hilos son de signos opuestos, y la magnitud de la fuerza por unidad de longitud que obra sobre el hilo con +A, calculada con la ley de Lorentz y (10.10), es — = a|je| = — ds 1 1 2ns0d
( 1 0 .2 0 )
8. Cierto. Las imágenes que hacen parte, del problema ficticio deben quedar fuera de la región de interés, porque, de lo contrario producen singularida des en ésta; por tanto, para el caso de la proposición, la imagen del hilo real es otro que lleva una carga:+ A y debe quedar ubicada dentro del cilindro conductor. Se confirma, además, porque si la distancia del hilo imagen al céntro del cilindro es b, de acuerdo con (10.19) resulta b = R2/D < R. 9. Falso. El problema ficticio, cuyas soluciones satisfacen la ecuación de Láplace y las condiciones de frontera del problema real descrito en la proposi ción, está formado por dos hilos rectos, infinitos, paralelos, separados la distancia 2d y que llevan cargas, ± A. En el problema ficticio, la magnitud de A, así como 2d y las distancias entre los hilos imagen y los ejes de las superfi cies equipotenciales que coinciden con los cilindros reales, son incógnitas iniciales que se averiguan en función de los radios de los cilindros conducto res del problema real y la distancia entre sus ejes. 10. Cierto. El problema ficticio, cuyas soluciones satisfacen la ecuación de Laplacé y las condiciones de frontera del problema real descrito en la propo sición, está formado por tres hilos rectos, infinitos y paralelos. Uno coincide con el hilo real y tiene una carga A; otro tiene una carga -A y se encuentra a una distancia b del eje del cilindro real, la que se calcula con (10.19), para garantizar que una de las superficies equipotenciales de la pareja de hilos coincida con la del cilindro real; y el tercero, que tiene una carga +A, coinci de con el eje del cilindro real para garantizar la equipotencialidad de la su perficie de éste y su estado de carga. 11. Falso. Como los cilindros sort externos entre sí, en el problema ficticio uno rodea a -l-A y el otro a -A; por tanto, el M del primero debe ser menor que la unidad, y el del segundo, mayor. 12. Cierto. La capacitancia por Unidad de longitud del capacitor descrito, dada por (10.16), no cambia; por tanto, al duplicar el voltaje entre los cilin dros conductores se duplica la carga longitudinal de cada uno.
Imágenes /
393
13. Falso. En un capacitor ideal la capacitancia no depende de la carga o del voltaje entre las armaduras. 14. Cierto. Se deduce de (10.17) que los Ai, y M2 no cambian al duplicar las longitudes transversales del sistema; por tanto, de (10.16) se sigue que tam poco varía la capacitancia por unidad de longitud del capacitor. 15. Falso. El problema ficticio está formado por hilos paralelos, de cargas, +A y -A, inmersos en el aire y ubicados, respectivamente, a las distancias b y D del eje del cilindro; las posiciones de los hilos de ese problema, determi nadas de acuerdo con (10.19), son b = R / 2 y D = 2R. La fuerza por unidad dé longitud que el cilindro ejerce sobre el hilo es igual a la que desarrolla sobre éste, en el problema ficticio, el hilo virtual; calculada con (10.20), la magnitud de dicha fuerza es |dF/(¿5| = A2/(37te0i?). 16. Cierto. Como el problema ficticio está formado por hilos paralelos, con cargas ±A e inmersos en el aire, la fuerza por unidad de longitud que se de sarrolla entre los cilindros es igual a la que se ejerce entre aquéllos; esta fuerza es de atracción para todas las posiciones relativas de los cilindros, porque los hilos tienen cargas de signos opuestos, y su magnitud está dada por (10.20). 17. Falso. El hilo cargado induce en la superficie interior del tubo conductor una distribución superficial de carga, cuyo valor total por unidad de longitud es igual y de signo contrario al del hilo, la cual desarrolla sobre aquél una fuerza que no es 0 y tiende a moverlo hacia el punto más próximo de la su perficie interior del tubo. 18. Cierto, El hilo cargado está en equilibrio en el eje del tubo conductor, porque la distribución superficial de carga que éste induce en la superficie interior del conductor le ejerce, debido a la simetría del sistema, una fuerza nula. Sin embargo, ese equilibrio es inestable, ya que, como se explicó en la proposición anterior, si el hilo se retira del eje, inmediatamente actúa una fuerza sobre aquél. 19. Falso. Las coordenadas bipolares son coordenadas cilindricas que se extienden a lo largo del eje Z, cuyas superficies de coordenadas paralelas a ese eje coinciden con las superficies equipotenciales y de líneas de fuerza qué resultan en el sistema formado por dos hilos paralelos que tienen distribu ciones filamentales de carga, ±A; los dos polos coinciden con los puntos del plano XY por donde pasan los hilos. En ese sistema, la dirección radial pasa por el origen de coordenadas, el cual se encuentra en el punto medio de la línea que une los polos, en tanto que la dirección normal a los cilindros cir-
3 9 4 / Teoría electromagnética
ciliares, para los cuales la razón de las distancias a los polos es una cantidad uniforme, pasa por los ejes de aquéllos.
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplacé En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios materiales descargados, lineales, homogéneos e isotrópicos, deparám etros£,gy/i,ycondicionesestacionarias. ^: ;
11.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas lv Métodos aproximados; Los métodos analíticos, usados para hallar las pro piedades de los campos electromagnéticos que satisfacen las ecuaciones de Maxwell, aunque directos, elegantes y hasta ingeniosos, conllevan las compli caciones inherentes al tratamiento matemático riguroso y, a menudo, no se adaptan a las geometrías dé muchos sistemas prácticos. Para sortear las difi cultades matemáticas y resolver aquellos problemas donde la solución exacta no puede hallarse, se idearon los.métodos aproximados. Con estos métodos se obtienen, mediante mediciones o por aproximaciones sucesivas, funciones discretas y aproximadas de la posición, en vez de funciones exactas y continuas, tan precisas como se requiera, que son soluciones de las ecuaciones locales que satisfacen las propiedades del campo; además, tales funciones permiten visualizar la estructura del campo y verificar las soluciones exactas, cuando se conocen. De acuerdo con el método aproximado elegido se requiere de equipo especial, como tanque electrolítico, medidores: de flujo, papel resisti vo, membranas de caucho, computadoras digitales, etc., o de elementos sim ples, como mesa de dibujo, papel, lápiz y borrador. 2. Métodos experimentales. Los campos electromagnéticos son abstractos e intangibles, y sus intensidades no pueden apreciarse directamente; se obtie nen indirectamente, midiendo efectos, como fuerzas, diferencias de poten cial o corrientes. Pero los instrumentos de medida son finitos y perturban
396 / Teoría electromagnética
localmente el campo que se quiere determinar; con ellos se obtienen valores promedios en una región pequeña, más que valores puntuales, los cuales deben ser corregidos y depurados de los efectos del instrumento mismo. La intensidad del campo eléctrico en una región dieléctrica bidimensional, de bida a conductores estáticos cargados, por ejemplo, puede averiguarse como una función discreta de la posición a partir del potencial eléctrico, que puede medirse en diversos puntos del dieléctrico con una sonda, después de haber trazado un mapa de líneas de fuerza y líneas equipotenciales, mediante
donde A
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace /
■Conductores y medio : dieléctrico
397
Electrodos y medio conductor
. ■ (a) ■■■
" v '
Figura 11.1 Sistemas análogos bidimensionales. De idéntica geometría, tienen iguales líneas de fuerza y equipotenciales, y el mismo potencial en éstas. En. (a) se muestra un sistema ; electrostático dé dos conductores inmersos en un dieléctrico; en (b), un sistema estacionario de electrodos perfectos inmersos en un medio conductor.
las mismas, de acuerdo con el teorema de la unicidad las soluciones para el potencial son también iguales (véase figura 11.1). Al emplear como sonda una pequeña aguja conectada a un voltímetro, apropiadamente dispuesto, se puede medir el potencial eléctrico en cualquier punto del sistema de corrien tes; este potencial es el mismo que hay, prácticamente, en el punto homólo go del sistema electrostático. Entre los sistemas analógicos más comunes que emplean corrientes, se destacan los que usan un papel delgado y resistivo, cíe conductividad superficial uniforme, o tanques electrolíticos. 6. Analogía con una membrana elástica. Un procedimiento eficaz y sencillo para simular campos electromagnéticos bidimensionales, capaz de resolver problemas de geometría complicada, es el de la membrana elástica tensiona da; la base del método es la ecuación diferencial de la membrana: d 2z dx2
1+
f.d z) \
d y J)
2"
2" +
d 2z óf
1+ \
d x
J
d 2z d z d z d x d y d x dy
( 11 . 2 )
en donde z representa la deflexión de 1¿ membrana con respecto al plano horizontal. Si las pendientes de la membrana son pequeñas, la ecuación se reduce a
398 / Teoría, electromagnética
d h d 2z dx2 + d f
(11.3)
que corresponde a la ecuación bidimensional de Laplace. Las pendientes de la membrana se consideran pequeñas cuando el plaño tangente, en cualquier punto de aquélla, forma con el horizontal un ángulo menor de 15°; ello exi ge modelos anchos y con pequeñas diferencias de altura. En (11.3), cuando las condiciones de frontera y la geometría son semejantes, se basa la analogía de la membrana tensionada y, por ejemplo, un sistema electrostático bidimensional; la altura de un punto arbitrario de la membrana, con respecto al plano horizontal tomado como referencia, es proporcional al potencial escalar eléctrico en un punto homólogo del sistema electrostático. Para que la analogía se sostenga, es necesario garantizar un contacto completo entre la membrana y los bordes. 7. Método de mapeo. Aunque los modelos espolvoreados dan una imagen rápida y cualitativa de los campos eléctricos o magnéticos bidimensionales, el método gráfico, conocido como mapeo, resulta más sencillo y barato para obtener una información cuantitativa. El método se basa en que cuando en una región del espacio una función vectorial, de intensidad R, es solenoidal, irrotacional y uniforme a lo largo de un eje rectilíneo, que se elige como Z, en esa región existe un potencial escalar,
R = -V
...... (11.4)
que satisface la ecuación de Laplace. Además, en cualquier plano ortogonal al eje Z las líneas de fuerza de R y las equipotenciales de
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace . /
399
Mapa de campo. Porción de un mapa tridimensional de campo formado por la Intersección ortogonal.de líneas equipotenciales y de fuerza, que se trazan dejando, entre las primeras, ¡guales diferencias de potencial, A
largó del mapa entre dos líneas de fuerza consecutivas. A los tubos de flujo se les da ese nombre porque en ellos, cómo en una tubería que lleva agua, el flujo de R es uniforme. 9. Condiciones para el dibujo dé un mapa, El trazado de las líneas de fuerza y equipotenciales que forman un mapa de campo es arbitrario y se hace por conveniencia. Es común imponer para el dibujo las siguientes condiciones: a. La diferencia de potencial, A
400 /
Teoría electromagnética
U
■ 2h
Figura 11.3 Capacitor de placas paralelas. Mapa parcial de un capacitor de placas paralelas con el cual puede calcularse la capacitancia del dispositivo sin despreciar los efectos del borde.''.
c.
flA
(11.5)
y se reduce a un cuadrado cuando al subdividir, reiteradamente, las cantida des, A
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace
/ 401
segmentos de línea de fuerza.; Para esa porción de mapa, tomando en cuenta las condiciones impuestas al dibujo y (11.5), se define p
; J\R »dA _ s
_
•‘V ° 1 r _
N
^
i (n .6 )
donde L es un parámetro general, a partir del cual, según sea el caso, puede obtenerse la capacitancia, la conductancia o la permeancia del sistema; N yes el numero de tubos de flujo, y N 0 el de celdas de campo, en serie, que hay en la porción delimitada del mapa de campo. No hay'restricción para aplicar a todo el mapa, cuando convenga, la fórmula anterior. 12. Cálculo, mediante un mapa, de la capacitancia, la conductancia o la permeancia. Con base en el mapa del campo respectivo puede calcularse, ; por upidad de profundidad, la capacitancia de un capacitor formado por dos cilindros conductores, de geometrías arbitrarias; separados por un dieléctri co y sometidos a una diferencia de potencial eléctrica, A
Q. hA0
I \ hA0
s i É » ¿LA E e N*: h J" E * ds h 1 £ “ N< p -
\s E»dA _g g J r h J E • ds h 1 E
K, _ M| hA0m
H»dA
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Mr* h H
N0 , Ny MN0
(11-7)
(
11 - 8 )
(11.9)
La expresión (11.7) permite asociar a cada celda del campo de un capacitor bidimensional, independientemente de la forma o tamaño de aquélla, una capacitancia por unidad de profundidad idéntica para; todas e igual a £, y considerar el mapa, en su conjunto, como una malla de N y N 0 capacitores, conectados en serie o en paralelo, todos de igual capacitancia unitaria. Para la conductancia y la permeancia caben las mismas conclusiones.
4 0 2 / Teoría electromagnética
13. Reluctancia y permeancia. Al aplicar a u n circuito magnético una fuente de fuerza magnetomotriz, FMM, en aquél se establecen un campo y un flujo magnéticos; la FMM puede ser, por ejemplo, una bobina que lleva corriente eléctrica. La reluctancia de un elemento del circuito se define como la razón del amperaje entre dos secciones rectas de aquél, por las cuales entra o sale el flujo magnético, y el flujo mismo; es decir, ( 11 , 10 )
La permeancia se define con la razón inversa de la anterior: P=
(
■Vi.
11 - 11)
y en el SI la unidad de medida es el henrio. Cuando el elemento del circuito magnético está forjado con un material ferromagnético, la reluctancia y la permeancia definidas no son una propiedad de aquél y dependen, también, del amperaje, ya. que en esos materiales no hay una relación lineal entre el flujo y el amperaje; precisamente, por ésa falta, de linealidad, la permeabili dad, ¡i, es función de H. 14. Métodos numéricos. Los métodos numéricos para resolver ecuaciones en derivadas parciales fueron ideados hace siglos, pero sus aplicaciones estuvie ron limitadas por lo engorroso de los cálculos; el desarrollo de las computa doras digitales de alta capacidad y rapidez, y de las computadoras persona les, puso esos métodos al alcance de todos, puesto que se ejecutan con base en procedimientos repetitivos de fácil programación, y los convirtió en po derosas herramientas para el análisis de los fenómenos electromagnéticos. Los métodos numéricos son una alternativa viable y barata, entre los aproximados, y los únicos capaces de dar solución a problemas tridimensio nales con fronteras arbitrarias. 15. Serie bidimensional de Taylor. Cuando una función continua y diferen ciadle,
P(x,y) =
dx Jo
X y - y 0j 2
d ^p f d*' + ( y - y 0) dy + j ( * - * o)2 d x2 JO
f d 2& ) \
ó y J
Jo
? d 2(p ^ d x d y JO
+ 2 ( x - x 0) ( y - y 0)
+
Figura 11.4 Región bidimensional en la que 0 es armónica. Con referencia a un sistema de ejes XY, se ubican los puntos 0, 1, 2, 3 y 4, de manera qué las distancias /?,, h2, h3 y h4 sean pequeñas; en el punto 0 se escribe la ecuación de Laplace en diferencias finitas.
donde el subíndice indica que debe calcularse la función y sus derivadas en el punto 0. 16. Diferencias finitas: ecuaciones. Se tiene una región bidimensional del espació donde uña función escalar arbitraria, 0, es continua, diferenciable y satisface la ecuación de Laplace, y en cuyas fronteras la función es conocida (véase figura 11.4); si en esa región se ubican los puntos 0, 1, 2, 3 y 4, de manera que el primero coincide con el origen de un sistema de coordenadas cartesianas planas, de ejes XY, y los demás se ubican, respectivamente, sobre los ejes X, Y, -X y -Y, a las distancias h¡, h2,h 3 y h4 del origen, que se suponen pequeñas, al sustituir la ecuación de Laplace para 0 en el punto 0 por una ecuación en diferencias finitas, se obtiene f -+■ v.__
^ 0.
v
, v> nA
'í i i * A
'*'2 ' íi 1 v t j l ; *>*lj
(i A V
0 , ^*3 “ Í . + A A ] ir 1 1 [ KK, \K )
(11.13)
donde ^o, 0 U 0 2, 0¡ y 0 4 son los valores de 0 en los puntos mencionados antes. La expresión se reduce, cuando el punto 0 equidista de sus cuatro vecinos inmediatos, a 0 o = j ( ^ ¡+ ^ 2 + ^ + ^ )
(11,14)
4 0 4 / Teoría electromagnética
Figura 11.5 Malla cuadrada, de lado h, trazada en la región de interés. Para cada nodo de la malla se escribe una ecuación en diferencias finitas y resultan N ecuaciones con N incógni tas; en la frontera se conoce &. Nodos de la malla, como A, equidistan de sus vecinos inme diatos; oíros, como B, cercanos a la frontera, no equidistan de sus vecinos.
Resultado lógico y esperable como caso particular del teorema del valor me dio, anotado en el artículo 4.0.11. 17. Diferencias finitas: procedimiento. Para obtener en una región del es pacio la solución numérica, discreta y aproximada de la ecuación bidimensional de Laplace, aquélla debe cuadricularse; es decir, .se inscribe en }a re gión una malla cuadrada, a escala, de líneas mutuamente ortogonales e igualmente espaciadas, que definen un número finito de intersecciones lla mados nodos (véase figura 11.5). El valor aproximado de la función descono cida,
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace
/ 405
r0 + 0 + 0 + 0 - 4 0
:0 + $ 5 + 0
+ .'
0/2“ 40
Figura 11.6 Malla cuadrada, de lado ft, trazada en la reglón de Interés. El residuo en el nodo típico, 0, se puede anular al modificar
18....Método iterativo. El método iterativo de punto fijo, de Gauss-Seidel, consiste en actualizar ordenadamente el valor de la función desconocida, 4>, en cada uno de los nodos de la cuadrícula trazada en la región de interés, recorriendo primero las filas y luego las columnas, con base en los últimos valores calculados en los nodos adyacentes y el uso, según sea el caso, de (11.13) o de (11.14). Él proceso se repite hasta que la variación de
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canos son los. nodos 1, 2, 3 y 4, representa el error cometido en el nodo durante el proceso de aproximaciones sucesivas al valor definitivo, y se define con R0 =&l +&! +
(11.15)
donde la malla de cálculo se supone cuadrada. Cuando el residuo es 0 en todos los nodos de la malla de cálculo, (11.14) se satisface en cada uno y se tiene la solución definitiva. El residuo, R0, se puede anular al agregarle una cantidad apropiada, AR0, que se obtiene al cambiar el valor de &Qen dí>0, sin alterar los valores de la función desconocida en los nodos vecinos, así: 0 = fí0 + ZLR0 = fl0-4M >0
=
(11-16)
Como, según (11.15), el valor de
j
± =^ -
(11.17)
Cuando un nodo de la malla de cálculo no equidista de sus vecinos inmedia tos, en aquél puede definirse el residuo, la forma de anularlo y los cambios que deben hacerse en los valores del 4> en el. mismo nodo y de los residuos de los nodos vecinos, con base en (11.13).
11.1 Métodos experimentales P r o p o s ic io n e s
1. Los instrumentos con los que se busca medir una propiedad del campo electromagnético en un punto, alteran el campo. 2. Los métodos experimentales permiten medir directamente la intensidad del campo eléctrico en un punto. 3. El potencial eléctrico puede medirse directamente, con respecto a algún nivel de referencia, en un punto del dieléctrico de un sistema electrostático. 4. Si en una región del espacio el potencial eléctrico se conoce como una función discreta de la posición, con esa información no puede hallarse E allí.
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace / 4 0 7
5. Si el potencial eléctrico se conoce como una función discreta de la posi ción en la región existente entre dos conductores cargados* con esa informa ción puede averiguarse la distribución superficial de carga en éstos. 6. Las líneas de fuerza de la intensidad eléctrica no pueden visualizarse en una región del espacio. 7. La inducción magnética puede averiguarse, en un punto del aire que ro dea un imán permanente, con el auxilio de un galvanómetro balístico. 8. Las líneas de fuerza de la intensidad magnética pueden visualizarse: en una región del espacio. 9. Dos sistemas reales, de magnitudes físicas diferentes, no pueden ser análogos. 10. No pueden ser análogos un sistema electrostático y uno de corrientes estacionarias. . '■ 11. Una de las condiciones necesarias para la analogía entre un sistema elec trostático y otro de corrientes estacionarias es que los electrodos del segundo sean conductores perfectos. 12. Cuando un sistema electrostático y otro de corrientes estacionarias son análogos, hay una relación lineal entre las cargas que se acumulan en los conductores del primero y las corrientes que atraviesan los electrodos homó logos del segundo. 13. Cuando son análogos un sistema electrostático y uno de corrientes esta cionarias, formados por dos conductores o dos electrodos sometidos a un voltaje, Pq, no hay relación entre la capacitancia del primero y la resistencia del segundo. 14. Dos sistemas electromagnéticos de geometría semejante, pero no. igual, pueden ser análogos. 15. Si un sistema electrostático y otro de corrientes estacionarias son análo gos, y las longitudes y los potenciales eléctricos con respecto al infinito del primero son; respectivamenté, m y n veces los equivalentes del segundo, en puntos homólogos de las regiones respectivas las intensidades Ee y Éc del campo eléctrico de los dos sistemas cumplen Er = mEr /n. 16. La estructura del campo eléctrico entre dos cilindros conductores, infini tos, paralelos, inmersos en un dieléctrico y sometidos a un voltaje conocido, puede determinarse con el auxilio de una simulación que usa un papel resis tivo y delgado, por el cual circulan corrientes eléctricas superficiales. 17. La estructura de un campo electrostático bidimensional no puede simu larse con una membrana elástica tensionada.
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18. Hay restricciones al simular con una membrana elástica tensionada un campo electrostático bidimensional. 19. Cuando se simula con una membrana elástica tensionada un problema electrostático, las curvas de nivel de aquélla representan las líneas de fuerza de la E de éste. . S o lu c io n e s
1. Cierto. Los instrumentos son finitos y no pueden medir una propiedad local en, estrictamente, un punto; con ellos se obtienen valores promedios en una región pequeña, más que valores puntuales. Además, perturban local mente el campo que se quiere determinar, por lo cual los valores obtenidos deben depurarse de los efectos del instrumento mismo. Las puntas de un voltímetro pueden cargarse por inducción en un dieléctrico, por ejemplo, o sustraer parte de la'corriente en un medio conductor, con lo cual modifican la propiedad del campo que se quiere medir. 2. Falso. Los campos eléctricos son abstractos e intangibles, y su intensidad no puede apreciarse directamente; se obtiene indirectamente a partir de la medición de efectos, como fuerzas o voltajes! En una región dieléctrica, por ejemplo, JE puede averiguarse como una función discreta de la posición con (11.1) , a partir del potencial eléctrico medido en diversos puntos del dieléc trico con una sonda apropiada. 3. Cierto. Por ejemplo, si entre dos conductores hay un dieléctrico y el volta je es VQ, en un punto del dieléctrico, P, el potencial eléctrico con respecto al conductor positivo puede averiguarse, en principio, colocando en P una pe queña esfera conductora y descargada, como sonda, la cual se convierte, por inducción, en un dipolo real; en aquélla el potencial es, aproximadamente, el mismo que existía antes de la inserción. Este potencial puede medirse con un voltímetro, conectado al conductor positivo, manipulado de manera que la sonda se mantenga descargada para evitar, en caso contrario, una modifi cación severa del potencial eléctrico original. 4. Falso. La magnitud de E püede hallarse con (11.1), aproximadamente, como función discreta de la posición. Si el sistema electromagnético es plano o puede representarse bidimensionalmente, por ejemplo, pueden dibujarse las líneas equipotenciales por interpolación y, luego, las de fuerza de É; en cada uno de los nodos del mapa dibujado, la magnitud de E se halla con (11.1) y su dirección coincide con la tangente a la línea de fuerza que pasa por aquél.
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace / 4 0 9
5¿ Cierto. Como se explicó al solucionar la proposición anterior, con (11.1) puede calcularse aproximadamente la magnitud de la E normal a la superfi cie de los conductores, y luego, con (7.1), la densidad superficial de carga eléctrica; los valores obtenidos pueden mejorarse si se disminuye As. 6. Falso. Es relativamente sencillo obtener una imagen de las líneas de fuer za de E en geometrías bidimensionales, mediante modelos espolvoreados. Basta con armar un modelo a escala, por ejemplo, donde los conductores se recortan de una lámina de hojalata, se adhieren a una hoja de papel y luego se espolvorean cristales de yeso recién molido sobre ésta; sacudiendo suave mente, después de aplicar uri voltaje a los conductores, los cristales de yeso se agrupan en la dirección de las líneas de fuerza de E, En una cuba electro lítica, por otrá parte, las líneas de fuerza de E pueden visualizarse, al agregar al electrolito hilos de seda que adoptan la forma de las líneas de fuerza.. 7. Cierto. La inducción magnética puede medirse en ese punto con una pe queña bobina exploradóra, conectada a un galvanómetro balístico mediante dos cables entorchados para no enlazar flujos magnéticos que afecten la me dida. Cuando la bobina se pasa rápidamente desde el punto donde se quiere averiguar ÍÍ hasta otro donde la inducción magnética es despreciable, el gal vanómetro mide la carga eléctrica total que circula por el circuito debido a la inducción electromagnética; esta carga es proporcional a la componente de la B desconocida que es normal al plano de la bobina. 8. Cierto. Como en el caso eléctrico, descrito en la proposición 11.1.6, para sistemas de geometría bidimensional se puede construir un modelo a escala, en el que se incluyen los imanes que intervienen, y se espolvorean limaduras de hierro sobre un papel, que simula la región de interés; las limaduras se agrupan en la dirección de las líneas de fuerza de B. 9. Falso. Dos sistemas reales son análogos cuando sus magnitudes físicas están regidas por el mismo tipo de ecuaciones en derivadas parciales y.some tidas a condiciones de frontera semejantes. Cuando las geometrías y las condiciones de frontera son iguales, los potenciales eléctricos en un dieléctrico homogéneo y en un conductor óhmico, por ejemplo, son iguales. 10. Falso. Pueden serlo; las condiciones para la analogía se explicaron en la proposición anterior. 11. Cierto. Para que las soluciones de ambos sistemas sean semejantes, es necesario que lo sean las condiciones de frontera, y dado que en el sistema electrostático los conductores son equipotenciales, en el sistema de corrien tes estacionarias las interfaces también tienen que ser equipotenciales; en consecuencia, de acuerdo con la proposición 8.4.6, los electrodos deben te ner conductividad infinita para garantizar la equipotencialidad. Esta restric-
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ción, en la práctica, se reduce a usar electrodos de conductividad mucho mayor que la del medio conductor; en efecto, puesto que la componente normal de J a la interfaz entre el medio conductor y el electrodo es continua, se tiene 0 = g E t - geE¿; por tanto, Er = gcEJgt, donde los subíndices e y e denotan, respectivamente, el electrodo y el medio conductor. La expresión anterior, en la cual la razón de las conductividades es mucho menor que la unidad, permite concluir que la intensidad del campo eléctrico dentro del electrodo es despreciable y que su interior y la superficie pueden considerar se, aproximadamente, como regiones equipotenciales. 12. Cierto. Supóngase que las superficies homologas de los conductores o electrodos de los sistemas análogos tienen el mismo potencial con respecto al infinito y están inmersas-, respectivamente, en regiones dieléctricas o conductoras. En ambos sistemas, por la analogía de los mismos y la igualdad de las condiciones de frontera, los valores del potencial y la intensidad del campo eléctricos en puntos homólogos de las regiones respectivas son idénticos; por tanto,
y-;, £ ■
/
g -
,
/
y
y.;;'
donde los subíndices e y c denotan, respectivamente, el sistema electrostático y el sistema de corrientes estacionarias. Al integrar miembro a miembro la igualdad anterior, en cada sistema, en una superficie que encierra un con ductor o un electrodo homólogos, resulta ^ . -& Dt » d A = - í J t »dAy Q = £ JS g JS S
-.r:,
: ' (11.19) -
donde Q es la carga acumulada en el conductor del sistema electrostático e I es la corriente que cruza la superficie del electrodo del sistema de corrientes estacionarias. ■ ■' ■ 13. Falso. Al dividir (11.19) por el voltaje, V0, miembro a miembro, se obtie ne Q/(£V)= I/(gV0)', por tanto, RC = s/g, donde Cy R son la capacitancia y la resistencia de los sistemas respectivos. La expresión anterior permite calcu lar, por simulación, la cápacitancia de un sistema electrostático. 14. Cierto. Pueden ser análogos si se cumplen las condiciones explicadas en la proposición 11.1.9, y como consecuencia de la analogía las magnitudes físicas de uno son proporcionales a las homologas del otro. Obsérvese que de la mera semejanza géométrica se desprende quedas longitudes homólogas de -■ambos sistemas son proporcionales.
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace / 4 1 1
15. Falso. Según la información, V( = y
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11.2 Mapas de campo P r o p o s ic io n e s
1. El método de mapeo no es aplicable a sistemas dependientes del tiempo. 2. El método de mapeo sólo es aplicable a sistemas electrostáticos. 3. El método de mapeo no puede aplicarse a sistemas tridimensionales don de él campo depende de las tres coordenadas de posición. 4. El método de mapeo sólo puede emplearse cuando los medios materiales son lineales, homogéneos e isotrópicos. 5. El potencial escalar respectivo, a lo largo de uno de los tubos de flujo en un mapa de campo, es uniforme. 6. Las líneas de fuerza se trazan, en un mapa de Campo, con el criterio de que entre las líneas consecutivas exista la misma diferencia de potencial. 7. Las líneas de fuerza se cortan ortogonalmente, en un mapa de campo, con las líneas equipotenciales del potencial escalar respectivo, 8. El número de líneas de fuerza y dé líneas equipotenciales, en un mapa de campo, es el mismo. 9. Las líneas equipotenciales son paralelas entre sí en un mapa de campo. 10. Los cuádriláféro's curvilíriéos tiéñery cuatro lados'’igúales_en ü ú ’m apadé: campo. 11. Los cuadriláteros curvilíneos no son, en un mapa dé campo, figuras geométricamente semejantes. 12. Los cuadriláteros curvilíneos pueden ser, en algún mapa de campo, rec tángulos. 13. Un mapa de campo está dibujado exactamente cuando al subdividir re iteradamente alguno de sus cuadriláteros curvilíneos, dividiendo los lados por dos, van resultando figuras que tienden a transformarse en rectángulos. S o lu c io n e s
1. Cierto. El método está restringido a sistemas estacionarios, en los cuales la intensidad del campo respectivo es solenoidal e irrotacional.
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2. Falso. En tanto se cumplan las restricciones anotadas en la proposición anterior, el método es aplicable a diferentes sistemas, como magnetostáticos, de corrientes eléctricas estacionarias, de fluidos o termodinámicos. 3. Cierto. El método se basa en el dibujo de un mapa plano, que representa la estructura del campo; ello exige que el campo dependa de dos coordena das planas y sea uniforme con respecto a la tercera. 4. Cierto. El método de mapeo, tal como fue definido en el artículo 11.0.7 y cuyos mapas tienen cuadriláteros curvilíneos con las propiedades anotadas en el artículo 11.0.10, exige que los medios materiales sean lineales, homo géneos e isotrópicos. En caso contrario, la intensidad del campo respectivo no eS, simultáneamente, solenoidal e irrotacional, el potencial escalar aso ciado a esa intensidad no cumple la ecuación de Laplace,y aunque se forman cuadriláteros curvilíneos con cuatro ángulos rectos, debido a la intersección ortogonal de las líneas de fuerza y las equipotenciales, esas figuras no tienen las demás propiedades descritas en el artículo 11.0.10; propiedades necesa rias para desarrollar el tanteo que conduce al dibujo del mapa y el cumpli miento de ecuaciones como (11.6), (11.7), (11.8) y (11.9). 5. Falso; Como consecuencia del carácter solenoidal de la intensidad del campo respectivo en la región de interés, el flujo de aquélla es,uniforme a lo largó de un tubo de flujo; además, el flujo va de los mayores potenciales ha cia los menores. 6; Falso. La líneas de fuerza se trazan con el criterio de que, entre las líneas consecutivas, el flujo de la intensidad del campo respectivo sea igual. 7. Cierto. Las razones fueron expuestas en la proposición 10.1.6; aquéllas se deducen de (11.4), que es la relación entre la intensidad del campo y el po tencial escalar respectivo. 8. Falso. No hay relación —ni razón para que la haya— entre ambos núme ros; en los mapas de campo es común, por ejemplo, que el número de tubos de flujo y el de celdas de campo en serie sean diferentes. 9. Falso. En general, no; son líneas curvas que cortan ortogonalmente las líneas de fuerza para definir los cuadriláteros curvilíneos. Sin embargo, por la simetría, las líneas equipotenciales pueden ser paralelas en algunos casos particulares; por ejemplo, las de un capacitor cargado, de armaduras planas, paralelas e infinitas. 10. Falso. Los cuadriláteros curvilíneos de un mapa de campo, dibujados con base en las propiedades establecidas en el artículo 11.0.10, tienen, obligato riamente, dos lados contiguos iguales y las demás propiedades anotadas en el artículo mencionado. En algún caso particular, sin embargo, debido a la sime-
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tríá, los cuadriláteros curvilíneos pueden ser cuadrados; es lo que ocurre en el mapa de un capacitor cargado, de armaduras planas, paralelas e infinitas. 11. Cierto. Figuras geométricamente semejantes son las que tienen todos los ángulos iguales y lados homólogos proporcionales. El segundo requisito no lo cumplen, obligatoriamente, los cuadriláteros curvilíneos; en éstos, dos de los lados homólogos son proporcionales, pero los otros dos no tienen, nece sariamente, esa propiedad. En algún caso particular, sin embargo, debido a la simetría, los cuadriláteros curvilíneos pueden ser geométricamente seme jantes; es lo que ocurre en el mapa de un capacitor cargado, de armaduras planas* paralelas e infinitas. 12. Cierto. En el mapa de un capacitor cargado, de armaduras planas, parar lelas e infinitas, los cuadriláteros curvilíneos son cuadrados, caso particular del rectángulo. En general, sin embargo, los cuadriláteros curvilíneos dibu jados con base en las propiedades establecidas en el artículo 11.0.10 no pue den ser rectángulos, ya que no son polígonos y tienen dos lados contiguos iguales. : 13. Falso. Los cuadriláteros curvilíneos dibujados con base en las propieda des establecidas en el artículo 11.0.10 se reducen a cuadrados cuando las longitudes dé los lados se subdividen reiteradamente.
11.3 Aplicación de los mapas de campo P r o p o s ic io n e s
1. La carga eléctrica en la región entre dos líneas equipotenciales consecuti vas, en el mapa de un campo electrostático, puede ser diferente de 0. 2. Las líneas de fuerza cortan ortogonalmente, en el mapa de un campo elec trostático, las superficies de los conductores. 3. A lo largo de una línea equipotencial, en el mapa de un campo electrostá tico, la magnitud de E es uniforme. 4. Los tubos consecutivos de flujo delimitan, al interceptar los conductores, en el mapa de un campo electrostático, cargas eléctricas superficiales, AQ, iguales en magnitud. 5. Las líneas de fuerza consecutivas delimitan, al interceptar los conductores, en él mapa de ffnxa^rnpo electrostáticorlongitudesrá/riguales entre 'sí. — ~
Métodos aproximados p a r a resolver la ecuación de Laplace / 4 1 5
6. Los tubos consecutivos de flujo delimitan, al interceptar los conductores, en él mapa de un campo electrostático, densidades superficiales de carga, a, cuyas magnitudes promedias son diferentes. 7. Con base en el mapa de un campo electrostático no puede hallarse JE. 8. La magnitud promedia de E, en los cuadriláteros curvilíneos del mapa dé un campo electrostático, es inversamente proporcional a la distancia, medida a lo largo de una línea equipotencial, entre dos líneas de fuerza. 9. En el mapa de campo del dieléctrico de un capacitor, cada celda del cam po puede considerarse como un pequeño capacitor. 10. En el mapa de un campo electrostático, la capacitancia por unidad de profundidad de cada celda del campo es igual a 1/e. 11. En el mapa de un campo electrostático, la energía potencial por unidad de volumen es aproximadamente la misma en todas las celdas del campo. 12. En el mapa de un campo electrostático, la energía potencial por unidad de profundidad es aproximadamente igual en todas las celdas del campo. 13. Si se calcula, con el método de mapeo, la capacitancia por unidad de longitud entre dos conductores cilindricos, infinitos, paralelos e incluido uno en él otro, y se duplica el número de tubos de flujo del mapa, N<¡>, no se du plica esa capacitancia. 14. Si sé calcula, con el método de mapeo, la capacitancia por unidad de longitud entre dos conductores cilindricos, infinitos, paralelos e incluido uno en el otro, y se duplicada carga acumulada en aquéllos, se duplica el número de tubos de flujo del mapa, Ny. : 15. Las líneas de fuerza dentro de un capacitor cargado están igualmente espaciadas. . 16. Entré líneas de fuerza consecutivas, en el mapa del campo eléctrico de un sistema de corrientes de conducción, hay la misma cantidad de corriente. 17. En el mapa del campo eléctrico de un sistema de corrientes de conduc ción, las líneas de fuerza son normales a las interfaces que bordean la región conductora. 18. La magnitud promedia de / , en los cuadriláteros curvilíneos del mapa dél campo eléctrico ,de un sistema de corrientes de conducción, es directa mente proporcional a la distancia, medida a lo largo de una línea equipoten cial, entre dos líneas de fuerza. 19. Todas las celdas, en el mapa del campo eléctrico de un sistema de corrien tes de conducción, tienen igual conductancia por unidad de profundidad.
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20. La resistencia de cada celda, en el mapa del campo eléctrico de un siste ma de corrientes de conducción, es igual a l /gh, dónde h es la profundidad de la celda. 21. Con base en el método de mapeo puede calcularse la resistencia de un resistor. 22. En el mapa del campo eléctrico de un sistema de corrientes de conduc ción, la potencia disipada por unidad de volumen es aproximadamente igual en todas las celdas del campo. : 23. En el mapa del campo eléctrico de un sistema de corrientes de conduc ción, la potencia disipada por unidad de profundidad es aproximadamente igual en todas las celdas del campo. 24. En el mapa de un campo magnetostático, los tubos consecutivos de flujo delimitan, al interceptar las interfaces de la región de interés, cargas magné ticas superficiales, AQ^, iguales en magnitud. 25. A lo largo de una línea equipotencial, en el mapa de un campo magne tostático, la magnitud de H es uniforme. 26. La magnitud promedia de H, en los cuadriláteros curvilíneos del mapa de un campo magnetostático, es inversamente proporcional a la distancia, medida a lo largo de una línea de fuerza, entre dos líneas equipotenciales. 27. En. el mapa del campo magnetostático correspondiente a una región de baja permeabilidad, en; ausencia de corrientes libres, las líneas de fuerza de H son tangentes a las interfaces de esa región con otras de alta permeabilidad. 28. En el mapa del campo magnetostático correspondiente a un entrehierro lleno de aire, en ausencia de corrientes libres, las líneas de fuerza de B son normales a las interfaces del aire y el hierro. '■ 29. En el mapa del campo magnetostático correspondiente a un entrehierro lleno de aire, en ausencia de corrientes libres, las interfaces entre el aire y él hierro pueden considerarse, aproximadamente, cómo líneas de fuerza mag néticas. 30. La permeancia por unidad de profundidad de cada celda del campo, en el mapa de un campo magnetostático, es igual a fi. 31. El producto de la reluctancia de una celda del campo por la profundidad h de la misma, en el mapa de un campo magnetostá.tico, es igual a /i. 32. La energía potencial por unidad de volumen es diferente, en el mapa de un campo magnetostático, en todas las celdas del campo.
Métodos aproximados p a ra resolver la ecuación de Laplace / 4 1 7
33. La energía potencial por unidad de profundidad es diferente* en el mapa de un campo magnetostático, en todas las celdas del campo. 34. Si se calcula, con el método de mapeo, la permeancia de un elemento en un circuito magnético, y se duplica el número de tubos de flujo del mapa, N*?, se duplica la permeancia. S o lu c io n e s
1. Falso. Entre dos líneas equipotenciales consecutivas, del mapa de un campo electrostático dibujado según las restricciones anotadas en el artículo 11.0.7, no puede haber carga eléctrica, de acuerdo con (3.17), puesto que en todos los puntos de esa región la intensidad del campo eléctrico es solenoidal. 2. Cierto. Las superficies de los conductores son equipotenciales, en un campo electrostático, y en todo mapa de campo las líneas de fuerza se cortan ortogonalmente con las líneas equipotenciales. 3. Falso. Puesto que a lo largo de una línea equipotencial la magnitud de JE puede calcularse, aproximadamente, con , i A
»—
(11.20)
donde A lx es la distancia, en general no uniforme, medida a lo largo de una línea de fuerza entre dos equipotenciales consecutivas. Puede ser uniforme, sin embargo, en algún caso particular, cuando las líneas equipotenciales son paralelas; es lo que ocurre en el mapa de un capacitor cargado, de armadu ras infinitas, planas y paralelas. : 4. Cierto. La carga superficial, AQj que un tubo de flujo delimita sobre la superficie de un conductor, al interceptar ésta, se calcula con (3.17), así: AQ= e¡E»dA = eAxVE
(11.21)
donde AS es la porción interceptada de la superficie del conductor y AWE es el flujo de la intensidad del campo eléctrico que lleva el tubo. La expresión anterior ratifica la proposición, puesto que en el mapa de un campo electros tático, dibujado con base en las condiciones establecidas en el artículo 11.0.9, los tubos de flujo consecutivos tienen igual flujo, AWE. 5. Falso. En general, no. La forma como las líneas de fuerza inciden y se distribuyen sobre las superficies de los conductores, en el mapa de un campo electrostático, sólo depende del desarrollo de las condiciones impuestas en el artículo 11.0.9 para realizar el dibujo; de éstas se deduce como propiedad,
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según se explicó en la proposición anterior, que las líneas de fuerza delimi tan sobre los conductores cargas iguales en magnitud. Pueden ser iguales las longitudes interceptadas, sin embargo, en algún caso particular; es lo que ocurre en el mapa de un capacitor cargado, de armaduras infinitas, planas y paralelas. 6. Cierto. La magnitud de la densidad promedia de carga superficial, delimi tada por un tubo de flujo al interceptar un conductor del mapa, es |
Métodos aproximados p a r a resolver la ecuación de Laplace / 4 1 9
11. Falso. La energía potencial por unidad de volumen en una celda del cam pó electrostático, obtenida a partir de (6.11), aproximadamente se puede calcular con AUJAV ~ e|£| /2, y |£ | varía de celda en celda, como se deduce de (11.20). Puede ser la misma en algún caso particular, sin embargo; es lo que ocurre en el mapa de un capacitor cargado, de armaduras infinitas, planas y parálelas. ■ 12. Cierto. La energía potencial por unidad de profundidad en una celda del campo, obtenida de la proposición anterior y (11.20), aproximadamente es AUe/h = eAl,Al2jE¡2/2 = e(A0)s/2, donde, en la celda, A Z, es la distancia entre las líneas equipotenciales, medida a lo largo de una línea de fuerza, A l2 es la distancia entre las líneas de fuerza, medida a lo largo de una línea equipotencial, y se tomó en cuenta que A y A l2 son iguales. La expresión anterior ratifica la proposición, puesto que e y A
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17. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Las líneas de fuerza son normales a las interfaces equipotenciales de la región de interés con los elec trodos, que se suponen conductores perfectos, y tangenciales a las interfaces de la misma región con dieléctricos. 18. Falso. Con báse en el flujo uniforme, AWE, que lleva un tubo de flujo típico, la magnitud promedia de J puede hallarse aproximadamente, en un cuadrilátero curvilíneo, con ;;
donde A l2 es la distancia, en general no uniforme, medida a lo largo de una línea equipotencial entre dos líneas de fuerza consecutivas, y h es la prbfundidad. La expresión obtenida refuta la proposición. 19. Cierto. Si se supone que una celda de campo equivale a una pequeña barra resistora de conductividad g, longitud A lu sección transversal de pro fundidad h y ancho A l2, y se usa (8.4) para calcular aproximadamente la con ductancia por unidad de profundidad, resulta G/h ~ l/(hR) = gAl2/Alt = g, donde se tomó en cuenta la igualdad de los lados contiguos de un cuadriláte ro curvilíneo, dibujado según las condiciones anotadas en el artículo 11.0.9. La expresión anterior permite asociar a cada celda de campo, independien temente de su forma o tamaño, una conductancia por unidad de longitud idéntica para todas e igual a g, y considerar el mápa en su conjunto como la : conexión en serie de N& conjuntos de resistores formados, cada uno, por N
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23. Cierto. La potencia disipada por unidad de profundidad en una celda del campo, obtenida a partir de la proposición anterior y (11.22), aproxima damente es AP/h ~ gAltAl2\Ef = g(A'FEf / h \ donde, en la celda, A l, es la distancia entre las líneas equipotenciales, medida a lo largo de una línea de fuerza, A l2 es la distancia entre las líneas de fuerza, medida a lo largo de una línea equipotencial, y se tomó en cuenta que A lx y A í2 son iguales. La expre sión anterior ratifica la proposición, puesto que g, h y AWE son iguales en todas las celdas del campo. 24. Cierto. La carga superficial, AQj„, que un tubo de flujo delimita sobre la interfaz de la región de interés, al interceptar ésta, se calcula con (9.22) y (3.29), así: : o AWU /V
>0
donde AS es la porción interceptada de la interfaz de la región de interés y AWh es el flujo de la intensidad del campo magnético que lleva él tubo. La expresión anterior ratifica la proposición, puesto que en el mapa de un cam po magnetostático dibujado con base en las condiciones establecidas en el artículo 11.0.9, los tubos de flujo consecutivos tienen igual flujo, AWH. 25. Falso. Con base en el flujo uniforme, AW^, que lleva un tubo de flujo típico, la magnitud promedia de H puede hallarse aproximadamente, en un nodo del mapa, con |i/|.*=\ÁYH\/(hAl^, donde A l2 es la distancia, en general no uniforme, medida a lo largo de una línea equipotencial entre dos líneas de fuerza consecutivas, y h es la profundidad. La expresión obtenida refuta la proposición. 26. Cierto. Con base en el amperaje uniforme, A
4 2 2 / Teoría electromagnética
consecuencia, por el lado de la región de baja permeabilidad, las líneas dé fuerza de H son normales a las interfaces. 28. Cierto. El aire es un medio de bajá permeabilidad, aproximadamente igual a la del vacío, donde B y H son paralelos, y el hierro tiene permeabili dad alta; en consecuencia, y tomando en cuenta las razones expuestas en la proposición anterior, por el lado del aire las líneas de fuerza de B y de H coinciden y son normales a las interfaces con el hierro. 29. Falso. Se consideran equipotenciales; y por ello, de acuerdo con las ex plicaciones dadas en las dos proposiciones anteriores, las líneas de fuerza de B y H son normales a esas interfaces por el lado del entrehierro. La razón fundamental para considerar equipotenciales esas superficies es que en un material de alta permeabilidad, como el hierro, la H es mucho menor que en el aire, y el interior de aquél puede considerarse, aproximadamente, como una región donde el potencial escalar magnético es uniforme. 30. Cierto. Si se supone que una celda de campo equivale a una pequeña barra magnetizada, de permeabilidad ¡x, longitud Al¡, sección transversal de profundidad h y ancho A l2, y se usa la analogía entre circuitos eléctricos y magnéticos, la permeancia por unidad de profundidad de la celda resulta ser, aproximadamente, P /h ~ fiAl2/Al¡ = ¡i, donde se tomó en, cuenta la igualdad de los lados contiguos de un cuadrilátero curvilíneo, dibujado según las pro piedades anotadas en él artículo 11.0.10. La expresión antérior permité aso ciar a cada celda de campo, independientemente de su forma o tamaño, una permeancia por unidad de longitud idéntica para todas e igual a ¡i, y consi derar él mapa en su conjunto como la Conexión en serie de ~N<¿ conjuntos de barras magnetizadas formados, cada uno, por 'A/y barras magnetizadas conec tadas en paralelo, todas con la misma conductancia Unitaria. 31. Falso. Las dimensiones son incorrectas; de acuerdo con la solución ante rior, en una celda del mapa se cumple R = VP = l/(¿t/i). ’ 32. Cierto. La energía potencial por unidad de volumen en una celda del campó magnetostático, obtenida a partir de (6.16), aproximadamente.es AUJAV = ii\Hf/2,y \H\ varía de celda en célda, como se deduce de (11.23). Puede ser la misma, sin embargo, en algún caso particular; es lo que ocurre en el mapa de un entrehierro de paredes infinitas; planas y paralelas. 33. Falso. La energía potencial por unidad de profundidad en una celda del campo; obtenida-de la proposición anterior y-(l l-.-23), aproximadamente es AUm/h = flAl]Al2\H\2/2 = fJ,{A0mf/2 , donde, en la celda, Alx es la distancia entre las líneas equipotencialés, medida a lo largo de una línea de fuerza, A l2
Métodos aproximados p a ra resolver la ecuación de Laplace / 4 2 3
es la distancia entre las líneas de fuerza, medida a lo largo de una línea equipotencial, y se tomó en cuenta que Alx y AU son iguales. La expresión anterior refuta la proposición, puesto que /J. y A
11.4 Diferencias finitas P r o p o s ic io n e s
1. Con los métodos numéricos se encuentran funciones discretas de la posición. 2. Los métodos numéricos siempre convergen. 3. Las soluciones que se obtienen con los métodos numéricos son exactas en cada nodo de una»malla de cálculo. 4. Si 1, 0 y 2 son tres puntos muy próximos y consecutivos del eje X, la pri mera derivada con respecto a x de una función continua y diferenciable, í>, se calcula en el punto 0, aproximadamente, al usar el método de las diferen cias finitas, como la razón entre la diferencia de los valores de la función en los puntos 2 y 1, y la distancia que separa a éstos. 5. Si 1, 0 y 2 son tres puntos muy próximos y consecutivos del eje X, la se gunda derivada con respecto a x de una función continua y diferenciable,
-síCl -sf
1
, dxs , 0 [ Ax2)
donde
4 2 4 / Teoría electromagnética
9. Con el método de las diferencias finitas puede resolverse la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas circulares. 10. Las líneas de la malla de cálculo empleada en el método dé las diferen cias finitas para resolver el problema de un campo estacionario bidimensional, coinciden con líneas de fuerza y equipotenciales del mapa del campo. 11. Las líneas consecutivas de la malla de cálculo empleada en el método de las diferencias finitas para resolver el problema de un campo electrostático bidimensiónal, cuando tocan los conductores que hay en éste, limitan, allí, cargas eléctricas superficiales, AQ^ que son desiguales en magnitud. 12. Si se resuelve la ecuación bidimensiónal de Laplace por el método de las diferencias finitas, el .valor de la función 0 en un nodo es igual a la media : geométrica de los valores de la misma función en los nodos vecinos. 13. Si se resuelve la ecuación de Laplace por el método de las diferencias finitas, resultan más incógnitas que ecuaciones. S o lu c io n e s
1. Cierto. Los métodos numéricos permiten hallar soluciones discretas y aproximadas de una ecuación en derivadas parciales; son discretas porque se refieren a un número finito de puntos de la región de interés. Los métodos analíticos, en cambio, hallan soluciones continuas y exactas. 2. Falso. No siempre convergen. Los métodos numéricos tienen múltiples aplicaciones, por ejemplo: hallar soluciones de ecuaciones algebraicas o transcendentes, así como de integrales definidas y ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales: en cada caso, de acuerdo con el tipo de problema, las condiciones iniciales o de frontera y el procedimiento de cálculo usado, debe investigarse cuándo la solución existe y es única, y el método converge hacia ésta. Sin embargo, en el caso de la solución de la ecuación de Laplace por medio de ecuaciones en diferencias finitas, se observa én (11.13) y (11.14) que las magnitudes de los coeficientes de la función desconocida en el nodo típico y en los vecinos inmediatos de éste son, respectivamente, igual a la unidad y menores que ésta. Tal particularidad conduce a que la matriz aso ciada al sistema de N ecuaciones y N incógnitas sea diagonalmente dominan te; es decir, a que en cada fila el término de la diagonal principal sea mayor en valor absoluto que los demás. En este tipo de sistemas de ecuaciones li neales, el proceso de solución de las_mismas. basado en aproximaciones suce sivas siempre converge. 3. Falso. Los métodos numéricos permiten encontrar soluciones discretas y aproximadas de una ecuación en derivadas parciales; dichas soluciones son
Métodos aproximados p a r a resolver la ecuación de Láplace / 4 2 5
aproximadas ya que las derivadas se igualan a razones entre cantidades fini tas y no infinitesimales. Cuando el espaciamiento de la cuadrícula dé cálculó disminuye, aumenta la exactitud de la solución obtenida. 4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sean h\ y h2l respectivamen te, las.distancias entre el punto 0 y los otros dos. Al aplicar (11.12) en los puntos 1 y 2, y despreciar los términos con potencias de grado superior ál segundo en las distancias, resultan
+ -.hi V; ( dx A 2 Vdx
1
' A&' 'd £ . dx /Ü 7 Ax 'o
I
j
y
1 r /i, + h2
fd & 1 + o dx n ^ h K i,A \ - h ¡ +■
d2
En conclusión, la proposición: es cierta si el punto 0 equidista de los otros dos; falsa, en caso contrario. 5. Falso. Ya que la ecuación correcta, deducida de las expresiones (11.24) (véase figura 11.4), es d20 dx2 Jo
f A2
9 -
-<í> hth2
( i 1.25)
6. Cierto. En tal caso, debe cubicarse la región; es decir, inscribir en ésta, a escala, tres conjuntos de planos mutuamente ortogonales e igualmente dis tanciados en cada dirección, que definen un número finito de nodos, Cada uno de los cuales tiene otros seis como vecinos inmediatos. En cada nodo puede sustituirse la ecuación de Laplace por una ecuación en diferencias finitas, deducida con base en (11.25); cuando el nodo en cuestión equidista de sus vecinos inmediatos, la ecuación se reduce a 00 = q (0¡ + 0 ’- + 0 *+ 0 <+ 0 o+ 0 o)
(11.26)
7. Falso. El método puede usarse para hallar soluciones numéricas, discretas y aproximadas, de la ecuación de Poisson; en un problema bidimensional, por ejemplo, se cuadricula la región y en cada nodo se sustituye la ecuación de Poisson por otra en diferencias finitas, cuya forma puede deducirse a par tir del resultado (11.25), para conseguir un sistema de N ecuaciones lineales y N incógnitas. 8. Falso. El proceso de cálculo se facilita cuando la malla es cuadrada, pero puede ser rectangular, por ejemplo; en tal caso se usa (11.13) para definir el sistema de N ecuaciones.
426 / Teoría electromagnética
9. Cierto. En tal caso, la malla de cálculo tridimensional está formada por líneas radiales concurrentes, cuyas aperturas subtienden el mismo ángulo, 4cp, y circunferencias concéntricas, cuyos radios difieren en la cantidad Ar (la que por conveniencia se hace igual a rAqj) que se cortan ortogonalmente con las anteriores; con base en esa malla de cálculo se deduce, usando el respec tivo desarrollo en serie de Taylor, la ecuación en diferencias finitas que reem plaza en cada nodo la de Laplace. Obsérvese que la malla de cálculo, de acuerdo con las definiciones dadas, está formada por cuadriláteros curvilíneos. 10. Falso. No hay razón, física o matemática, para que en un problema arbi trario esa coincidencia ocurra; a partir del valor calculado para la función desconocida én cada nodo de la malla de cálculo, averiguados con el uso del método, es posible determinar las líneas equipotenciales y de fuerza del cam po respectivo. v 11. Cierto. Si son iguales las cargas eléctricas superficiales limitadas, AQ —revísese la proposición 11.3.4— las líneas consecutivas de la malla de cál culo que tocan los conductores son líneas de fuerza del campo electrostático, y ello, como se discutió en la proposición anterior, en general no ocurre. 12. Falso. En general —obsérvese (11.13)— el valor de la función 0 en un nodo; es una combinación lineal de los valores de la misma función en los nodós vecinos; esa combinación se convierte en la media aritmética cuando el nodo equidista de sus vecinos inmediatos. 13. Falso. En cada nodo de la malla de cálculo utilizada se ignora el valor respectivo de la función, 0, y puede escribirse una ecuación deducida de (11.13); es decir, coincide el número de ecuaciones y de incógnitas.
.11í5 Iteraciones ■-:'■■■— ; .-v■-■--h ..........
.....
P r o p o s ic io n e s
1. El método iterativo es aplicable á problemas tridimensionales. 2. El método iterativo sólo puede aplicarse cuando cada nodo de la malla de cálculo equidista de los vecinos. 3. Con él método iterativo se resuelven N ecuaciones de N incógnitas. 4. Los valores de inicialización pueden ser nulos en el método iterativo. 5. Los potenciales de cada nodo de la malla de cálculo se modifican, en cada pasada del método iterativo, en iguales porcentajes.
Métodos aproximados para resolver la ecuación de L a p la c e / 4 2 7
6. Para llegar a la respuesta con el método iterativo deben hacerse, cuando la malla de cálculo escogida plantea.N incógnitas, iV iteraciones. 7. La inicialización influye, en el método iterativo, en el número de iteraciones. 8. Para mejorar la precisión del método iterativo se debe trabajar con mu chos decimales. S o lu c io n e s
1. Cierto. En tal caso, primero debe cubicarse la región, como se explicó en la proposición 11.4.6, luego se asigna a cada uno de los nodos resultantes un valor arbitrario de
4 2 8 / Teoría electromagnética
6. Falso. El número de incógnitas nada tiene que ver con el número de pa sadas; el proceso de cálculo debe repetirse hasta que la variación de los valo res de la función desconocida en todos los nodos de la malla de cálculo, en tre dos pasadas consecutivas, sea menor que la definida como aceptable. 7. Cierto. Una estimación razonable y ajustada en la inicialización acelera el proceso de convergencia y disminuye el número de pasadas. 8. Falso. Es tiempo perdido; la precisión en la solución discreta de la ecua ción de Laplace, obtenida con el método iterativo, mejora al disminuir el espaciamiento de la malla de cálculo y no porque los valores de la función desconocida en cada ñúdo se obtengan con muchos decimales.
11.6 Relajación P r o p o s ic io n e s
1. Con el método de relajación no puede resolverse la ecuación de Helmholtz. 2. En el método de relajación hay que resolver un sistema de N ecuaciones y N incógnitas. 3. El método de relajación sólo puede aplicarse cuando cada nodo de la ma lla de cálculo equidista de los vecinos. 4. La diferencia de potencial eléctrico entre dos líneas consecutivas, de la malla de cálculo utilizada en el método dé relajación para resolver un pro blema electrostático, no es uniforme a lo largo de aquéllas. 5. Las líneas consecutivas de la malla de cálculo empleada en el método de relajación para resolver el problema de un campo electrostático bidiménsional, cuando tocan los conductores que hay en éste, limitan, allí, carga.s eléc tricas superficiales, A(¿, que son de igual magnitud. 6. El residuo en un nodo, en el método dé relajación, no es igual ál prome dio aritmético de los residuos de los nodos vecinos. 7. Para llegar, con el método de relajación, a los valores finales de la función desconocida en cada nodo,
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace
/ 429
9. Se logra anular el residuo en un nodo, en el método de relajación, al ma nipular apropiadamente, en el nodo en cuestión, el valor calculado para la función desconocida. 10. Con el método de relajación se busca que el valor de la función descono cida en un nodo sea igual al promedio aritmético de los valores de la función en los nodos vecinos. . 11. La relajación converge más rápidamente cuando; en cada pasada, se ope ra sobre el nodo que tiene el máximo valor de la función desconocida. 12. Si al relajar un nodo, en el método de relajación, se adiciona Ai? ai su residuo, se debe adicionar Ai?/4 al valor de la función desconocida en los nodos que son vecinos inmediatos. 13. Si al relajar un nodo, en el método de relajación, se adiciona AR a su residuo, se debe adicionar -Ai?/4 al residuo de cada nodo que es un vecino inmediato. 14. Al relajar un nodo, en el método de relajación, no se debe modificar el residuo de todos los nodos de la malla de cálculo. 15. En el método de relajación se puede modificar más de una vez el poten cial de cada nodo. 16. En el método de relajación se cambian el mismo número de veces los residuos de todos los nodos. ¡ 17. Los errores en los valores finales obtenidos son mayores con el método de relajación que con el iterativo. S o lu c io n e s
1. Falso. El método no puede usar. (11.15), (11.16) ni (11.17), o sus equiva^ lentes cuando un nodo de la malla de cálculo no equidista de los vecinos inmediatos, para resolver esa ecuación, porque aquéllas fueron obtenidas a partir de la ecuación de Laplace; pero puede desarrollarse un procedimiento apropiado al sustituir la ecuación de Helmholtz, en cada punto de una malla de cálculo, por una ecuación en diferencias finitas. 2. Cierto. El método de relajación resuelve de otra manera, mediante un proceso de aproximaciones sucesivas descrito en el artículo 11.0.19, las N ecuaciones de N incógnitas que se establecen para la malla de cálculo en el método de las diferencias finitas. 3. Falso. Para relajar en un nodo de la malla de cálculo que no equidista de los vecinos el valor del residuo de la función desconocida, de acuerdo con el
4 3 0 / Teoría electromagnética
procedimiento establecido en el método de relajación, se parte de (11.13); y de (11.14), si el nodo equidista. 4. Cierto. Si esa diferencia de potencial es uniforme, las líneas de la malla de cálculo deben coincidir con líneas equipotenciales del campo electrostático respectivo; y no hay razón, física o matemática, para que tal coincidencia ocurra en un problema arbitrario. Obsérvese, además, que una malla cua drada de cálculo se elige por conveniencia,: para simplificar la solución nu mérica de la ecuación de Laplacé en coordenadas cartesianas. 5. Falso. Si son iguales las cargas eléctricas superficiales limitadas, AQ—revísese la proposición 11.3.4— las líneas consecutivas de la malla de cálculo que tocan los conductores son líneas de fuerza del campo electrostáticó; y no hay razón, física o matemática, para que tal coincidencia ocurra en un problema arbitrario. 6. Cierto. El residuo en un nodo, según (11.15), es una combinación lineal, no el promedio aritmético, de los valores de la función desconocida,
Métodos aproximados para resolver la ecuación de Laplace / 4 3 1
bargo, cuando los cálculos se ejecutan con una computadora digital, el ras treo del nodo de mayor residuo toma tiempo y es más rápido sobreirelajar, ordenadamente, todos los nodos de la malla de cálculo, recorriendo filas y columnas. La sobrerrelajación consiste erí adicionarle al residuo en un nodo algo más de lo requerido para eliminarlo; es decir, agregarle AR = -aR , para l < a < 2 , donde el valor de o: se elige de acuerdo con el tipo de pro blema.' 12. Falso. Se sigue de (11.17) que al relajar un nodo manipulando, según (11.16) , el valor de la función desconocida en éste, se debe adicionar -AR/4, al valor de los residuos en los nodos que son vecinos inmediatos, cuando éstos equidistan de aquél. 13. Cierto y falso. De acuerdo con. la explicación. Es cierto, según (11.17), cuando el nodo equidista de sus vecinos inmediatos; es falso, en caso contrario. 14. Cierto. Al relajar un nodo sólo deben modificarse, según (11.16) y (11.17) , el residuo en éste y sus vecinos inmediatos. 15. Cierto. El potencial en un nodo se altera para anular el residuo respecti vo, y éste cambia, a su vez, cada que se modifica el residuo en un nodo veci no; en consecuencia, el potencial en un nodo debe corregirse las veces que sean necesarias para hacer 0, o tan pequeños como la precisión buscada lo permita, todos los residuos de la malla de cálculo. 16. Falso. No hay razón para ello. El método de relajación,, explicado en el artículo 11.0.19, no trabaja ordenadamente sobre filas y columnas; la relaja ción opera sobre el nodo cuyo residuo tiene mayor valor absoluto, y el proce so se repité, sin que exista una secuencia predeterminada; hasta que todos los residuos se hagan aceptablemente pequeños. 17. Falso. Los tres métodos numéricos expuestos para resolver la ecuación de Laplace: diferencias finitas, iteración y relajación, resuelven por procedi mientos diferentes iguales ecuaciones, obtenidas al sustituir aquélla por ecuaciones en diferencias finitas, en la misma malla de cálculo. Una vez defi nida la precisión aceptable, con los tres métodos se obtienen los mismos va lores para la función desconocida, con mayor o menor rapidez, en cada nodo de la malla de cálculo.
12 Campos cuasiestaeionariós En este capítulo, salvo las proposiciones referentes a circuitos magnéticos, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen medios ma teriales descargados, homogéneos, isotrópicos y linéales, de parámetros s, g y /i, y condiciones cúasiéstacionarias; en las proposiciones relacionadas con circuitos magnéticos se suponen condiciones cúasiéstacionarias y que los materiales son ferromagnéticos descargados, de permeabilidad secante (i,
12.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Sistemas cuasiestacionarios. Si la longitud media de un sistema electro magnético- es mucho- menor que la longitud de onda de la oscilación electromagnética producida por el movimiento de sus cargas eléctricas, el siste ma sé considera cuasiestaciónario. La condición anterior equivale a suponer pequeñas las rapideces de las cargas eléctricas del sistema, en comparación con la de la luz, o, lo que da igual, a suponer infiníta la rapidez de propaga ción dél campo electromagnético e ignorar la corriente de desplazamiento. Cuando los campos varían lentamente con el tiempo se espera, intuitivamen te, que el aporte de los términos que presentan derivadas temporales en las ecuaciones de Maxwell sea pequeño con respecto a los que incluyen deriva das espaciales, y que los campos resultantes tengan muchas semejanzas con los producidos por las mismas fuentes cuando éstas no cambian en el tiem po; es decir, que el sistema se comporte, aproximadamente, como estaciona rio. Las soluciones cúasiéstacionarias del campo electromagnético son de primer orden, puesto que sólo satisfacen las ecuaciones de Maxwell cuando la frecuencia es 0. 2. Régimen permanente. Un régimen electromagnético permanente, estable o, a menudo mal llamado, estacionario, es el que tiene un sistema electro magnético cuando los campos eléctrico y magnético, y sus fuentes, no se des
Campos cuasiestacionarios /
433
vanecen con el paso del tiempo; el régimen §é establece después de que los efectos transitorios han desaparecido. Aunque se trata de un caso particular, el estudio de este régimen es importante no sólo porque son muchos los sistemas prácticos que funcionan en tal condición, sino porque otras formas de variación en el tiempo pueden analizarse, con base en el análisis de Fourier, mediante la superposición de funciones senoidales del tiempo. 3. Fasores. Cuando una función escalar,
(12.1)
donde el prefijo, Re, informa que debe tomarse la parte real de la cantidad compleja encerrada eritre las llaves, j£(r) y £(r) son los fasores de las funcio nes reales respectivas, definidos mediante las ecuaciones (12.1), las subrayas indican que las cantidades, escalar o vectorial, son complejas y la dependen cia del tiempo queda incorporada en la exponencial imaginaria, cuya expan sión es -ejal = eos a>t + jsencot. Estos fasores son funciones complejas de la po sición e independientes del tiempo, e incluyen la amplitud y parte de la fase de la función real, la cual depende senoidalmente del tiempo. 4. Derivadas de fasores. El fasor de la enésima derivada temporal de una función, 4>(r,t), que varía sénoidalmente en el tiempo, es igual al producto del fasor de la función y (j(ü)n\ es decir, = Re{0'<»)>(rK'}
<12-2)
5. Teorías de circuitos. Una red está formada por varios circuitos; un circuito es un camino cerrado formado por varias ramas; rama es la parte de un cir cuito en donde hay por lo menos un elemento circuital, y el punto donde dos o más ramas concurren es un nodo (véase figura 12.1). Los elementos que forman cada rama del circuito son esqueletales; es decir, en ellos las dimen siones de la sección recta son despreciables con respecto a la longitud, Los circuitos aparecen en muchas áreas de la técnica; pueden estar formados, por ejemplo, por tuberías que conducen líquidos o gases, por conductores que llevan corriente eléctrica o por núcleos ferromagnéticos que conducen el flujo magnético. Las magnitudes físicas desconocidas, en el circuito respecti vo, se calculan con dos tipos de ecuaciones: de circuitos: y de nodos, las cua les sé basan en leyes generales de la física.
434
/ Teoría electromagnética
arrollada en la primera mitad del siglo XIX, cuando la investigación experimental y la tecnología se limitaban al estudio y aplicación de fenóme nos electromagnéticos relativamente lentos, de baja frecuencia, y antes de que Maxwell formulara sus ecuaciones; aunque su ámbito de aplicación está restringido a los sistemas cuasiestacionarios, constituye una poderosa herra mienta de análisis porque, como teoría, es intrínsecamente simple y conduce a una matemática fácil de manipular. La relativa simplicidad matemática de la teoría de circuitos eléctricos reside en la suposición de que un circuito está formado por un conjuntó de elementos, cuyas conductas individuales y las interacciones mutuas pueden exprésarse en función de los voltajes y corrien-
Campos cuasieslacionarios
/ 435
tes en sus terminales. Esta hipótesis elimina del problema las características geométricas propias de los elementos y del sistema, con excepción de la for ma simple en que se interconectan entré sí los elementos circuitales. La teo ría funciona bien en la práctica, dentro de su ámbito de aplicación, y es verificable experimentalmente porque las ramas de los circuitos tienen dimen siones pequeñas, en la sección recta, comparadas con la longitud, pueden aproximarse a filamentos y se elaboran con materiales lineales cuyas conduc tividades alcanzan a ser hasta 1 x 1020 veces mayores que las de algunos ais lantes, como el caucho, el asbesto, la porcelana o el mismo aire, por lo cual las corrientes de fuga hacia los aislantes son insignificantes. ;: 7. Hipótesis de la teoría de circuitos eléctricos. La teoría de circuitos eléc tricos es una aproximación cuasiestacionaria de la teoría electromagnética y sus hipótesis se satisfacen en tanto la longitud de onda de la oscilación elec tromagnética producida por el movimiento de las cargas eléctricas en cada circuito sea grande, comparada con las dimensiones relevantes del mismo; las hipótesis fundamentales son: a. La diferencia de potencial y el voltaje entre dos puntos son iguales entre sí e independientes de la trayectoria escogida para ir del uno al otro. b. Las resistencias, capacitancias e inductancias, de resistores, capacitores e inductores, son magnitudes propias de los respectivos dispositivos e inde pendientes de la frecuencia. c. La corriente eléctrica es uniforme en cada rama de un circuito (véase figura 12.2). d. Las relaciones dinámicas entre el voltaje, V(t), la carga,Q{t), el flujo mag nético enlazado, A(t), y la corriente, I(t), en los terminales de resistores, ca pacitores e inductores son las mismas, respectivamente, que se usan en con diciones estacionarias; es decir, V(t)=Rl(t), V(t) =^ - y
A(í) = LI(t)
(12.3)
e. Se cumplen las leyes de Kirchhoff eléctricas. De acuerdo con la primera ley, la suma algebraica de los corrientes en un nodo es igual a 0: P ,= 0
í=l
(12.4)
dónde N es el número de ramas que concurren al nodo; según la segunda, la suma algebraica de los voltajes en un circuito es 0:
4 3 6 / Teoría electromagnética
R
c
,/,■ ■■.)
Figura 12.2 Circuito serie conectado a una fuente de voltaje alterno. Las corrientes libres /-,, lg, /3 e U son iguales en condiciones estacionarias; no lo son, cuando la frecuencia es alta; debido a la mayor importancia de la corriente de desplazamiento:
|^ = °
y
.;;;;•/.
-■■■ ( 1 2 .5 )
donde M es el número de ramas del circuito. f. La potencia externa que ingresa a un circuito le llega por los nodos en donde se conecta a otros circuitos; si iV es el número de estos nodos, el valor de la potencia es P=
■í=!
(12.6)
....
donde &¡ e /, , en el nodo i, son, respectivamente, el potencial con respecto al nodo de tierra y la corriente que ingresa al circuito. 8. Voltaje y diferencia de potencial eléctricos. El voltaje, entre los puntos A y B de una región del espacio donde hay un campo electromagnético diná mico, se define con (12.7)
BE 9ds = ¡B A E»ds V,rA B = - j A
donde la integral se efectúa a lo largo de una curva arbitraria que conecta los puntos (véase figura 12.3); es una magnitud conveniente, relacionada con la corriente que circula por un elemento circuital, y se mide con un voltímetro en muchos casos prácticos. Al sustituir (4.3) en (12.7) resulta ■V 0 —
• d s = r<¿<í>+
d t............ Íb
-—
h -d t
= -■•& = (< !> ,-4>aj + —
■
W 'd s
A.... b; dth r ........
(1 2 .8 )
Figura 12.3: Voltaje y diferencia de potencial eléctricos. Si los puntos A y B están ubicados en un campo electromagnético dinámico, la diferencia de potencial entre esos puntos, y el voltaje evaluado a lo largo de las curvas c, y c2 son distintos; se hacen ¡guales cuando la curva cerrada, formada por c, y c2, no enlaza un flujo magnético.
donde la derivada con respecto al tiempo es ordinaria y sale de la integral si se supone que la curva es inmóvil. Cuando el campo es estacionario, el últi mo término de (12.8) es nulo, el voltaje entre los puntos A y B coincide con la diferencia de potencial éntre esos mismos puntos y es independiente de la curva de integración; si es dinámico, en cambio, el voltaje y la diferencia de potencial entre los puntos no coinciden, y aquél, en general, depende de la trayectoria de integración. Eri este último caso, el voltaje no es una magnitud física. El concepto de voltaje usado en la teoría de circuitos eléctricos es, estrictamente, una extrapolación de la noción de voltaje definida para siste mas estacionarios. La extensión es válida sólo cuando la trayectoria usada al calcular el voltaje está contenida en una región del espacio donde el campo se comporta, exacta o aproximadamente, como estacionario; es lo que ocurre en sistemas cuasiestacionarios, por ejemplo, en los cuales la variación con el tiempo es lenta y pueden despreciarse derivadas temporales como la que aparece en (12.8). 9. Fuerza electromotriz. Cualquier ingenio que transforma energías, como mecánica, térmica o química, en energía eléctrica, es una fuente de fuerza electromotriz, FEM. La magnitud de la FEM asociada con dicha fuente es igual a la cantidad de trabajo por unidad de carga que efectúa al convertir en eléctrica otra fuente de energía. La FEM se define así: FEM = § E * d s
(12.9)
4 3 8 / Teoría electromagnética
En el SI se mide en voltios; su característica más importante es el voltaje que produce, y su efecto sobre un circuito eléctrico es el de sostener una corrien te. A veces, la acción de la FEM no está concentrada, como se desprende de la ley de Faraday-Henry cuando el campo electromagnético es dinámico; en otras ocasiones la acción está localizada, o puede suponerse así, como ocurre con las pilas secas o los termopares. Aunque la FEM se mide en voltios, y produce un voltaje y una diferencia de potencial, en sí misma no es una dife rencia de potencial, ya que se origina en fenómenos físicos, como mecánicos, químicos o térmicos, cuya naturaleza no es, necesariamente, eléctrica. 10. Primera ley de Kirchhoff eléctrica: de nodos. Si se supone que al nodo 0 de una red concurren IV ramas, que transportan sendas corrientes de modo que todas emergen del nodo, y se encierra éste con una superficie arbitraria, S, al aplicar (3.21) a S y tomar en cuenta que J es diferente de 0 sólo en los puntos en los que S intercepta las N ramas, resulta dg dt
( 12.10)
donde /, es la corriente en la rama i (véase figura 12.4). La corriente que emerge del nodo es positiva; negativa, la que ingresa. La expresión anterior es igual a 0 cuándo las corrientes son estacionarias o, aunque no lo sean, si se supone que las ramas son líneas geométricas que concurren a un nodo sin volumen; en tal caso, tanto las capacidades de las ramas como la del nodo son nulas, no pueden acumular cargas eléctricas y la corriente de desplaza miento es 0 allí. En la práctica, las corrientes dependen del tiempo, las ra mas tienen grueso y concurren a nodos con volumen, de manera que ramas y nodos acumulan carga eléctrica y hay corriente de desplazamiento; sin em bargo, en condiciones cuasiestacionarias, el miembro derecho de (12.10) es, aproximadamente, igual a 0 y se satisface la primera ley de Kirchhoff eléctri ca. Ésta es, entonces, una aproximación cuasiestacionaria de la ley de la con servación de la carga. 11. Segunda ley de Kirchhoff eléctrica: de circuitos. Si se supone que el circuito 0 de una red coincide con la curva cerrada, c, y está formado por M ramas, al aplicar a c (3.18), resulta - j¿[B»dLA=§E»ds = '%Vi »'=1
(12.11) •
donde V¡ es el voltaje eléctrico entre los nodos a los que está conectada la rama i (véase figura 12.5). Cuando se pasa de un punto de mayor potencial eléctrico a uno de menor, el voltaje es positivo; negativo, en caso contrario.
Campos cuasiestacionarios / 4 3 9
Figura 12.4 Primera ley de Kirchhoff eléctrica. Al nodo 0 llegan N hilos conductores que transportan corriente, y se suponen positivas las qué emergen. Una superficie cerrada, S, encierra el nodo O e intercepta los N hilos.
La expresión anterior es igual a 0 cuando los voltajes son estacionarios; aproximadamente igual a 0, si las condiciones son cuasiestacionarias, y se cumple así la segunda ley de Kirchhoff eléctrica. Ésta es, entonces, una aproximación cuasiestacionaria de la ley de Faraday-Henry. En condiciones cuasiestacionarias puede suponerse que la variación con el tiempo del flujo magnético enlazado por el circuito es despreciable, salvo dentro de los nú cleos de los inductores, así cómo la corriente de desplazamiento, excepto dentro de los capacitores; puede suponerse también qué la corriente libre es uniforme en cada rama. , 12. Potencia instantánea: que ingresa a un circuito. Cuando un circuito eléctrico hace parte de una red, le entran o salen corrientes eléctricas a tra vés de los nodos que lo conectan con otros circuitos; asociado con esas co rrientes, hay un flujo dé potencia desde y hacia el circuito. Entonces, ¿cuál es la potencia instantánea neta que llega al circuito? y ¿por dónde arriba esa potencia? Ambas preguntas se contestan, según la teoría electromagnética, con base en el teorema de Poynting considerado en el capítulo 6; en efecto, la potencia ingresa al circuito desde el espacio, a través del campo electro magnético, y su monto se calcula con p = -(|S éíL 4 = - | ;(ExIí)<»ct4 '
(12.12)
donde S es una superficie que encierra el circuito y corta los hilos de co nexión de éste con otros en N nodos, en los cuales e /, son el potencial con respecto al nodo de tierra y la corriente que ingresa al circuito en el nodo i
4 4 0 / Teoría electromagnética
F i g u r a 1 2 .5 ch h o ff
S e g u n d a le y d e K ir -
e lé c t ric a .
c o in c id e
co n
fo rm a d o p o r p o s it iv a s
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n a n d e a c u e r d o c o n e l s e n t id o d e l a c o r r ie n t e , r e c o r d a n d o q u é é s t a v a d e l o s m a y o r e s a lo s m e n o r e s p o t e n c ia le s .
(véase figura 12.6). Al usar las ecuaciones dé Maxwell y algunas identidades vectoriales, la expresión anterior se transforma en /> = - £ s . d 4 = ^ , / , - c *
í i
c fd A • d4+C d t\ ■J si dt
)
dD]
J
>.¿L4:
(12.13):
En condiciones cuasiestacionarias se cumplen, aproximadamente, a menos que la superficie S pase por el interior de un capacitor o un inductor, dD
n
dAm
„
■■
——= 0 y ----- = 0; por tanto, di
dt
7
//.;.'
(1 2 . 1 4 )
Conviene recordar que, convencionalménte, la potencia que ingresa a un sistema se supone positiva; negativa, la qué sale. 13. Potencia instantánea y potencia media. Para mantener una corriente, 7, en la rama de un circuito eléctrico, conectada a un voltaje, F, dados por .....
. F ^ ^.cos^.^+e.J.e 7 = ./ocos.(ü)¿.+ 02) ______________
(12.15)
En condiciones cuasiestacionarias se requiere, de acuerdo con (12.14), una potencia instantánea:
Campos cuasiestacionarios / 4 4 1
Figura 12.6 Circuito eléctrico que, por N nodos, recibe corriente y potencia desde otros circuitos. Una superficie cerrada, S, encierra el circuito y pasa por los N nodos.
P = VI = VaI0eos (cot +0,) eos (coi + 62)
(12.16)
cuyo valor medio, en un período T, es
La potencia media,
(12.18) ■ ■■■
donde R es la resistencia de la rama. 14. Voltaje y corriente efectivos. Los valores efectivos, Lf y V ef, de una co rriente o un voltaje periódicos, son iguales, por definición, al valor de la corriente o el voltaje constantes, que, al atravesar un resistor, de resistencia R, liberan en éste, en un período, la misma potencia que aquéllos; es decir, ,11/2 . ■\JO v-dt
"1 ' • -11/2 — f fd t T Jo
(12.19)
Cuando el voltaje y la corriente dependen del tiempo en forma senoidal, como en (12.15), los valores efectivos y la potencia media respectivos son
4 4 2 / Teoría electromagnética
ÍV V 2'
y
>= vcfiefcos(e}-e2)
( 12 . 20 )
15. Potencia compleja. El cálculo de la potencia en los circuitos eléctricos energizados senoidalmente puede simplificarse al trabajar con una potencia compleja, P; ésta cumple P =^ V I*
(12.21)
< P > = Re{P}
(12.22) ,
donde el prefijo, Re, informa que debe tomarse la parte real de la cantidad compleja encerrada entre las llaves, las subrayas indican que las cantidades respectivas son complejas y el asterisco denota el complejo conjugado de L La parte imaginaria de la potencia compleja es la potencia reactiva y se simbo liza con Q. 16. Resistores en serie o en paralelo. La resistencia equivalente de un sis tema de N resistores cuyas resistencias son R u R 2, ... RN, es *, = 2 * ,
:
" (12-23)
cuando están conectados en serie (véase figura 12.7), y (12.24) si están conectados en paralelo (véase figural2.7). 17. Ley fasorial de Ohm. Cuando la rama de un circuito conduce una corrien te, I, y está conectada a nodos entre los cuales el voltaje es V, en el dominio de la frecuencia la relación entre ambas cantidades puede expresarse con V = Z Ie T = YV
(12.25)
donde f e / son los fasores del voltaje y de la corriente, y Z y Y, son la impedancia y.la admitancia de la rama. Las cuatro cantidades son, en general, complejas. Las impedancias de resistores, capacitores e inductores son, res pectivamente, Z r = R , Zc = ~ H y
ZL * jv L
(1 2 .2 6 )
Campos cuasiestacionarios /
.
(a) / .
'
443
'(b)
Figura 12.7 Combinaciones de resistores. Resistores en serie, como se observa en (a), o en paralelo, como muestra (b).
En el dominio de la frecuencia los circuitos eléctricos pueden estudiarse, al trabajar con impedancias, con los mismos procedimientos usados para los que están formados únicamente por resistores. 18. Transformaciones A -Y y Y-A eritre impedancias. Las ramas, de impe dancias Z_¡>Z.2 y conectadas en forma de Y, son equivalentes a las de im pedancias Z a, Z b y Z c, conectadas en figura de A, si se cumplen las siguientes relaciones: Z .Z ,
Z =
z + z b+zc
- 1
2
=
Z, Z„ + Z„Z, + Z.Z,
—
1—
2
Z.Z. Z.Z: yz> = z +z .+z c 2 . + Z.+ Z,
'
—
2 —
8
'
—
3 —
1
^
-
—
a .
—
1—
—
(12.27)
o
2 ~t~ —
2 —
3
yL =
z ,z 2+ Z2Z3+ z 3z, (12-28)
donde se supone que Z,, Z a y Z¡, están conectados al mismo nodo externo (véase figura 1218). Las transformaciones anteriores, también llamadas J7-T, permiten simplificar redes circuitales. 19. Voltaje en un inductor. El voltaje autoinducido, V, entre los terminales de un inductor de N espiras y núcleo de permeabilidad ¡i, por la variación con el tiempo de la corriente eléctrica que aquél conduce, y la iñductancia del mismo, son V
L— At yJ L= kfiN2
(12.29)
4 4 4 / Teoría electromagnética
donde k es una constante que depende de la geometría del inductor, y se supone que el campó magnético es despreciable por Fuera del dispositivo. Conviene mencionar, además, que cuando el campo magnético se extiende por fuera del inductor y no es despreciable, la permeabilidad del medio ma terial externo debe ser considerada al calcular la indüctancia de aquél, como se observa en (9.46). 20. Circuito RL. Cuando un inductor, de indüctancia L, y un resistor, de resistencia R, se conectan en serie a una batería, de voltaje constante V0 y resistencia interna despreciable, se satisface IAI/dt + RI = V0, en la etapa transitoria; la solución de esta ecuación, suponiendo que en el instante 0 no hay corriente en el circuito, es o -, Rv
-R t/L
>
(12.30)
21. Constante inductiva de tiempo. En un circuito serie, dé indüctancia L y resistencia R, se define la constante inductiva de tiempo, tl , con '
(12.31)
Esta constante tiene dimensiones de tiempo, aparece en el exponente de la función exponencial de (12.30) y es una medida de qué tan rápido la co. rriente_en el xircuito llega al equilibrio, Como aproximación práctica .puede suponerse que el equilibrio se alcanza después de transcurrir ún tiempo ma yor que 5T/ .
Campos cuasiestacionarios
/ 445
22. Corriente en un capacitor. La corriente eléctrica que circula por la rama del circuito eléctrico en la que un capacitor está conectado, debida a la varia ción con el tiempo del voltaje desarrollado entre los terminales de éste, es dV I = C—
. (12.32)
23. Capacitor de armaduras parálelas y rectangulares. Un capacitor de armaduras perfectamente conductoras, paralelas, rectangulares, de lados a y Z, separadas la distancia d, donde l » a y a » d, está lleno con un material de permitividad e y permeabilidad pi, y conectado a una fuente de voltaje repartida uniformemente a lo largo de los bordes largos de las armaduras, ubicados en z = -a, según el sistema de coordenadas que se observa en la figura 12.9, de forma tal que produce entre los bordes ubicados en z - 0, un voltaje V = V0eos (Ot. La impedancia en z = -a, del capacitor descrito, es Z
Pd. jcoeltanpa
(12.33)
donde, si c es la rapidez de la onda, A su longitud de onda y p la constante de fase, entonces P = (o(»E)m
=
(12.34)
Las intensidades del campo eléctrico y del magnético dentro del capacitor, deducidas después de despreciar los efectos de borde, aprovechar la sime tría, resolver las ecuaciones dé Maxwell y aplicar las correspondientes condi ciones de frontera del sistema, son E
V ■ix - f eos cot eos Pz y H d
■i t-2- sen (út sen Pz rjd
(12.35)
donde r] es la impedancia característica de onda en el dieléctrico, y (12.36) Conviene mencionar que, eri altas frecuencias, los conceptos circuitales de resistencia, capacitancia e inductancia pierden sentido debido a la radiación, y los dispositivos respectivos se convierten en elementos de parámetros dis tribuidos.
largo, con respecto al cual se conecta una fuente distribuida de voltaje alterno. Las armadu ras son superconductoras y se desprecian los efectos de borde.
24. Circuito RC. Cuando un capacitor, de capacitancia C, y un resistor; de resistencia R, se conectan en serie a una batería, de voltaje constante V0 y resistencia interna despreciable, se satisface RdQ'/dt + (¿/C = V0, en la etapa transitoria; la solución de esta ecuación, suponiendo qué en él instante 0 no hay carga en las armaduras del capacitor, es <¿= CV0(l-e -,/RC)
(12.37)
25. Constante capacitiva de tiempo. En un circuito serie, de capacitancia C y resistencia R, se define la constante capacitiva de tiempo, tc, con tc =
RC
(12.38)
Esta constante tiene dimensiones de tiempo, aparece en el éxporiente de la función exponencial de (12.37) y es una medida de qué tan rápido se carga el capacitor y el circuito llega al equilibrio. Como aproximación práctica puede suponerse que el equilibrio se alcanza después de transcurrir un tiem po mayor qué 5 xc. 26. Circuito LCR. Cuando un inductor, de inductancia L, un capacitor, de capacitancia C, y un resistor, de resistencia f?, sé conectan en serie a una fuente, de voltaje V = F0cos (út, se satisface F0cos cot = Ldl/dt + RI + QJC, en él circuito; la solución de esta ecuación tiene dos partes: una depende del
Campos cuasiestacionarios
/ 447
tiempo en Forma exponencialmente decreciente y se llama solución comple mentaria; la otra oscila con la misma frecuencia de la fuente y se conoce co mo solución particular. Después de un tiempo largo la primera desaparece y permanece la segunda; ésta cumple (o2L -l/C ! {t) =Focos(£0í-a) y tan a = coR {fl2 + [ü)L - (coC )-']T
(12.39)
27. Teoría de circuitos magnéticos. Es imposible concebir la vida moderna sin los dispositivos y aparatos eléctricos que la facilitan y hacen agradable; todos utilizan transformadores, motores o relevadores que, a su vez, requie ren de núcleos donde se amplifique y confine la inducción magnética, los cuales se estudian con base en la teoría de circuitos magnéticos. El circuito magnético es un camino cerrado para conducir la energía y el flujo magnéti cos; habitualmente se construye con materiales no lineales, de altas permea bilidades secantes, y secciones rectas substancialmente uniformes, aunque puede incluir trechos cortos con aire llamados entrehierros (véase figura 12.10). La idea central es que el flujo magnético tiende a confinarse en los materiales que forman el circuito, como la corriente eléctrica lo hace en los conductores. Sin embargo, para los circuitos magnéticos no hay materiales que funcionen, a la temperatura ambiente, como aislantes magnéticos, y por ello siempre hay fugas del flujo hacia el entorno; además, las ramas son cor tas y sus secciones rectas no despreciables. En consecuencia, la teoría es de baja aproximación, pero conveniente para el análisis y el diseño cuando se complementa con la experiencia. 28. Hipótesis de la teoría de circuitos magnéticos. La teoría de circuitos magnéticos es una aproximación cuasiestacionaria de la teoría electromagné tica. Sus hipótesis fundamentales son: á. El amperaje entre dos puntos de una rama es independiente de la trayec toria escogida para ir del uno al otro, siempre que ésta se mantenga dentro del núcleo y la rama no sea cerrada, o si lo es, que no enlace una bobina. b. El flujo magnético es uniforme én cada rama del circuito. c. B y H son perpendiculares a la sección recta de una rama y sus valores medios coinciden con los que aparecen en el centroide de aquélla. d. Guando la sección recta de una rama, de longitud l, es uniforme y tiene área A, las integrales que permiten calcular el amperaje y el flujo magnéticos son V_.
¡BH » d s * H l
Ja
(12.40)
4 4 8 / Teoría electromagnética
Línea
Figura 12.10 Ejemplos de circuitos mágnéticos. En (a) se muestra un circuito serie que incluye un entrehierro, y en (b) un circuito serie-paralelo. Los núcleos son materiales ferromagnéticos de alta permeabilidad secante, para confinar en ellos el flujo rnagnético.
r,
( 1 2 :4 1 )
donde Bmy Hm se refieren a valores en la línea media de la rama; esta línea media es la que pasa por los centroide de las diférentes-secciones rectas. e. Se ignoran la histéresis y las corrientes libres autoinducidas en el interior de las ramas del circuito, y las esquinas de éstas. f. Se cumplen las leyes de Kircnhoff magnéticas. De acuerdo con la primera ley, la süma algebraica de los flujos magnéticos en un nodo es igual a 0: f ^ .= 0
(12.42)
dónde K es el número de ramas que concurren al nodo; según la segunda, la suma algebraica de los amperajes, o voltajes magnéticos, en un circuito enla zado por una bobina es 1i=M
% i;, - .V/ donde .A/Tes el"numeró flé“rámas dél Hrcüim la bobina.
(12.43) es"el número"dé^ espiras de
Campos cuasiestacionarios
/ 449
29. Amperaje. El amperaje, entre los puntos A y B de la rama de un circuito magnético, se define con (
12 . 4 4 )
donde la integral se evalúa a lo largo de una curva arbitraria que conecta los puntos; en el SI se mide en amperios (véase fígUra 12.11). El amperaje defi nido no depende de la trayectoria siempre que ésta se mantenga dentro del núcleo, la rama no sea cerrada, o si lo es, que no enlace una bobina y, ade más, se cumplan las hipótesis de la teoría de circuitos magnéticos; en efecto, si el campo magnético varía con el tiempo* hay corrientes en el núcleo o la rama se extiende hasta incluir todo el circuito magnético y la curva de inte gración enlaza las espiras de una bobina, la circulación de H ya no es 0, co mo se observa en la ley de Ampére-Maxwell. 30. Fuerza magnetomotriz. Cuando en un circuito magnético se establecen un campo y Un flujo magnéticos, asociados a ellos hay una energía y la posi bilidad de efectuar un trabajo; las principales fuentes de fuerza magnetomo triz, FMM, para producir y sostener , ese flujo son las corrientes eléctricas libres, que circulan por espiras conductoras agrupadas en bobinas, y los ima nes permanentes, que encierran en sí mismos corrientes microscópicas. La FMM se define así: :. F M M = j H » d s
-
(12.45)
donde c es una curva cerrada ubicada totalmente dentro del circuito magné tico; en el SI se mide en amperios. Al aplicar (12.45) a un circuito magnético en el cual hay uña bobina, de N espiras, que conduce una corriente, I, y se toman en cuenta (3.20) y las hipótesis sobre aquél, resulta L
dt Js
•
■
(12.46)
El producto NI caracteriza el efecto de la bobina, y su papel en el circuito magnético es semejante al de una batería en un circuito eléctrico, aunque aquélla no hace parte del circuito ni introduce entrehierros en el camino del flujo magnético, puesto que lo enlaza. Si la característica más relevante de una batería es el voltaje, bien puede llamarse “amperaje” a la de una bobina. 31. Primera, ley de Kirchhoff magnética: de nodos. Si se supone que al no do 0 de una red concurren N ramas ferromagnéticas de alta permeabilidad, que transportan sendos flujos magnéticos de modo que todos emergen del nodo, y se encierra éste con una superficie arbitraria, S, al aplicar (3.19)a S y
4 5 0 / Teoría electromagnética
Figura 12.11 Amperaje o voltaje magnético. Los puntos A y B están dentro de una parcela de 4a rama de un circuito magnético y se conectan con las curvas, c, y c2, las cuales tienen todos sus puntos dentro de la misma parcelé. Si J = 0, y las condiciones son estacionarias, los amperajes evaluados a lo largo dé las curvas mencionadas son iguales.
tomar en cuenta que x¥mes diferente de 0, porque se desprecia su dispersión, sólo en los puntos en los que S intercepta las N ramas, resulta o- £
/¡ .,m
i'W l 1=1
1
1=1
donde Wmi es el flujo magnético en la rama i (véase figura 12.12). El flujo que sale del nodo es positivo; negativo, el que ingresa. En la práctica, la permea bilidad de los materiales no es tan alta, hay fugas del flujo magnético y el miembro derecho de (12.47) es igual a 0 sólo aproximadamente. La primera ley de Kirchhoff magnética es, entonces, una aproximación de la ley de Ampére-Gauss. . '... 32. Segunda ley de Kirchhoff magnética: de circuitos. Si se supone que la línea media del circuito 0 de una red coincide con la curva cerrada, c, hay una bobina de N espiras que lleva una corriente, I, en aquél, y el circuito está formado por M ramas en la que la permeabilidad magnética es alta, al apli car (3.20) a c, resulta 7. i=M NI + 4¿\sD • dA ~ N I = y H •ds = ]£ L*. (12.48) :=1
donde Vmi es el amperaje entre los nodos a los que está conectada la rama i, calculado a lo largo de la línea media (véase figura 12.13), y se usó (12.44). El sentido del flujo magnético se determina con la regla de la mano derecha; es decir, el dedo pulgar de ésta señala da dirección del flujo cuando los
Campos cuasiestacionarios /
451
------
i» a íá i r^S SK ÍL ÍíM l^'
dA
Figura 12.12 Primera ley de Kirchhoff magnética. Al nodo 0 lle gan varias ramas que conducen flujo magnético, y éstos se supo nen positivos cuando salen. La superficie cerrada, S, encierra el nodo 0 y corta las ramas, y se su pone que sólo en éstas hay flujo.
demás dedos se colocan en el sentido en que circula la corriente por la bobi na, Al recorrer el circuito en el mismo sentido del flujo magnético, en las diferentes ramas de aquél el amperaje es positivo, y es negativo en las fuen tes de FMM. La expresión (12.48) se cumple, aproximadamente, si las condi ciones son cuasiestacionarias, y se satisface así la segunda ley de Kirchhoff magnética. Esta es, entonces, una aproximación cuasiestacionaria de la ley de Ampére-Maxwell. 33. Reluctancia y permeancia. Se sugiere repasar el artículo 11.0.13 en el qúe se definieron la reluctancia; R, y la permeancia, P, de un elemento de circuito magnético; las expresiones correspondientes son ■'■■'■y.í-'V;\f =- i ■ :.y/> = ^y . : Vm
.
(12.49)
donde Vmes el amperaje entre dos secciones rectas de una rama y Ymel flujo magnético qué ésta conduce. Con base en las hipótesis establecidas para los circuitos magnéticos, la reluctancia y la permeancia de una rama, de longi tud l, sección recta de área A y forjada con un material de permeabilidad secante,/í, apróximádamente están dadás por •
— = ¡J.A : : l
.
(12.50) .
34. Cálculos en los circuitos magnéticos. Se resuelve una red magnética cuando, en cada rama, se determinan el flujo magnético y el amperaje que
452 / Teoría electromagnética
(a):-;;:,. Figura 12.13 Segunda ley de Kirchhoff magnética. Una bobina de N espiras, que conducen una corriente /, enlaza un circuito magnético en serie cuyas ramas tienen secciones distintas; a la línea media, de nodos 1, 2, 3 y 4, se aplica la ley. En (b) se esquematiza el circuito ilus trado en (a), como si fuese eléctrico, en función de las reluctancias de las ramas.
satisfacen las leyes de Kirchhoff magnéticas en todos los nodos y circuitos de aquélla. El cálculo se complica por la falta de linealidad en la relación (B-H) de los materiales ferromagnéticos, lo que aveces obliga a encontrar la solu ción mediante procedimientos gráficos o aproximaciones sucesivas. Los pro blemas suelen ser de dos tipos. En el primero, denominado directo, se cono cen la geometría y los materiales de la red y se quiere averiguar la FMM ne cesaria para producir un cierto flujo magnético en una de las ramas de aqué lla; a la solución se llega mediante el manejo directo de las leyes de Kirch hoff magnéticas. En el segundo, llamado inverso, se ignora el flujo magnético en las ramas de una red de geometría y materiales conocidos, producido por una FMM dada; en este caso se llega a la solución mediante procedimientos gráficos, o con tanteos a partir de una primera solución que se mejora por aproximaciones sucesivas para satisfacer las leyes de Kirchhoff magnéticas. 35. Potencia disipada por las corrientes de Foucault en un núcleo lamina do. Un núcleo ferromagnético tiene conductividad g y la forma de un prisma rectangular, con aristas de longitudes iguales a l, a y b, donde l es la longi tud, en aquél la dimensión b se forma al ensamblar N laminillas aisladas e iguales, y dentro del núcleo la inducción del campo magnético tiene la direc ción de la longitud y su magnitud en la línea media es de la forma Bm= B0cosú)t. La potencia promedio en un período, < P >, disipada en ese núcleo por efecto de las corrientes de Foucault, puede calcularse, aproxima damente, suponiendo que los caminos de las corrientes autoinducidas son
Cam pos cuásiestacionarios / 4 5 3
rectángulos semejantes a la sección recta del prisma y que se cumplen las demás hipótesis de la teoría de circuitos magnéticos (véase figura 12.14), con B^aygaBl f b- ^ 32N2 1 + - V;)v:; O'/V- y . ... Si y es el volumen del prisma y si el número de laminillas es muy grande, la ecuación anterior se reduce a
k
B ¿f-b2V BT-
(12.51)
donde k es una constante, cuyo valor teórico puede deducirse por inspección al revisar las expresiones anteriores pero que conviene obtener experimen talmente. ^:
12.1 Sistemas cuasiestacionarios P r o p o s ic io n e s
1. Las rapideces de las partículas cargadas, en un sistema electromagnético cuasiestacionario, son comparables con la de la luz. 2. La longitud de onda de la oscilación electromagiiética producida por el movimiento de las cargas eléctricas es grande, en un sistema electromagnéti co cuasiestacionario, comparada con las dimensiones de los elementos del ■sistema; ■ ■ ; 3. La corriente libre y la corriente de desplazamiento son, en baja frecuen cia, comparables. 4. La baja frecuencia incluye las frecuencias de milihercios. 5. La teoría de circuitos eléctricos es aplicable cuando la longitud de onda de la señal con la que se trabaja, comparada con las dimensiones del sistema circuital, es pequeña. S o lu c io n e s
1. Falso. Son pequeñas comparadas con la de la luz: ello equivale a suponer infinita la rapidez de propagación del campo electromagnético e ignorar la corriente de desplazamiento.
454 / Teoría electromagnética
(a)
/.;■
(b)
^
^
(
c
)
Figura 12.14 Corrientes de Foucault. Rama prismática y ferromagnética, laminada para redu cir las pérdidas de energía por las corrientes de Foucault. Estas corrientes autoinducidas son un efecto de la ley de Faraday-Henry, y para el análisis se supone que sus caminos son rec tángulos semejantes a la sección recta del prisma, como se observa en (b).
2. Cierto. En ese sistema los campos varían lentamente con el tiempo, y la frecuencia de la oscilación electromagnética producida por el movimiento de las cargas eléctricas es pequeña; en consecuencia, la longitud de onda asocia da, comparada con las dimensiones de los elementos del sistema, es grande. 3. Falso. En condiciones cuasiestacionarias la corriente de desplazamiento es despreciable. 4. Cierto. Porque la longitud de onda que corresponde a una frecuencia de miliherciós es del orden de los 3 x 10 11 [m], una cantidad muy grande y, obviamente, mucho mayor que las longitudes medias de los sistemas elec tromagnéticos típicos. 5. Falso. La teoría de circuitos es una aproximación cuasiestaciónaria de la teoría electromagnética; es aplicable, entonces, cuando la longitud de onda de la señal con la que se trabaja es grande, comparada con las dimensiones de los elementos del sistema circuital.
12.2 Régimen permanente P r o p o s ic io n e s
1. En el régimen permanente las funciones reales no varían exponencial mente con el tiempo.
Campos cuasiestacionarios / 4 5 5
2. El régim en permanente y el estacionario son equivalentes. 3. La dependencia del tiempo en las funciones, en el régimen permanente, sólo puede darse con senos o cosenos. 4. Frecuencia es el número de ciclos que hay en cada período. 5. Una función periódica y de período T, f{t), cumple: / ( / + T) * - f ( t - T ) . 6. Guando la fase, en una función cosenoidal del tiempo, es un ángulo igual a 2nN, con N entero, la función se hace igual a la amplitud. 7. Dos funciones periódicas están desfasadas cúando sus amplitudes difieren. 8. Los electrones libres de un conductor no circulan siempre, en la corriente eléctrica alterna, en el mismo sentido. 9. La corriente eléctrica directa es constante. 10. Una corriente eléctrica estacionaria es la que depende del tiempo con funciones senos o cosenos. 11. Si la corriente en un circuito varía; senoidalmente con el tiempo y se du plica éste, la corriente no se duplica. 12. El valor efectivo de la corriente I = 50l/2seno)í es igual a 10. 13. Es cierto que 50 eos {cot + 30°) + 30 eos {cot + 60°) = 77,45 eos {cot + 41,2°). 14. Si Fa significa fasor, entonces Fa{sen(ú)í + 60°)}=- ( s 1/2+ _;')/2. 15. Si Fa significa fasor, entonces Fa{.40sen(yísenjSzj = -jA^senfiz. 16. El fasor de E{r,t) es función de la posición y el tiempo. 17. Si Fa significa fasor, Fa{c? 3/d t 2 [í>0cos(ty¿ - /? • r)]}= -(ú2(pQe~jl¡'r. 18. Si Fa significa fasor, Fa{(?2/(9 z2 [
1. Cierto. El régimen se establece después de que los efectos transitorios, ligados, por ejemplo, a funciones exponenciales decrecientes, se han desva necido con el paso del tiempo. 2. Falso. Por mal uso del lenguaje se suelen hacer sinónimos esos dos adjeti vos, que se refieren a fenómenos distintos. En el régimen estacionario las fuentes del campo electromagnético, y éstos mismos, son independientes del tiempo; en el permanente, en cambio, dependen del tiempo y no se desva necen con el paso de éste.
4 5 6 / Teoría electromagnética
3. Falso. Por definición, en el régimen perm anente las funciones no se ate núan con el paso del tiempo y, en el caso más corriente, aquéllas son perió dicas; son comunes las funciones senos y cosenos en las qué se basa el análisis fasorial, pero éstas no son las únicas, aunque sí la base para estudiar las de más. , '■ 4. Falso. En un tiempo igual al período sólo se presenta un ciclo. Frecuencia es el número de ciclos, o de repeticiones, que hay en la unidad dé tiempo escogida; es igual al inverso del período. 5. Cierto. En general, sí; cuando f(t) es periódica, su valor se répite cada período y, por tanto; para todo N entero cumple f ( t + N T) - /(í). Sin embar go, la proposición es falsa en el caso extremo de una función nula. 6. Cierto. La amplitud del coseno de un ángulo es igual a la unidad y se pre senta cuando éste es igual a -2nN, con N entero. Obsérvese que la amplitud de la función no depende de la fase y es constante. 7. Falso. Están desfasadas cuando sus ángulos de fase son diferentes; es más, las dos funciones pueden estar en fase y tener amplitudes diferentes. 8. Cierto. Se explicó en la proposición 2.9.28 que en este tipo de corriente el sentido se invierte alternadamente con el tiempo; en consecuencia, al paso del tiempo los electrones libres del conductor se mueven en sentidos opuéstos. 9. Falso. No necesariamente; un contraejemplo es la corriente directa repre sentada por una onda seno rectificada. Se explicó en la proposición 2.9.29 que la corriente eléctrica es directa cuando su sentido se mantiene constante en el tiempo; sin embargo, la magnitud puede cambiar. 10¡ Falso. La corriente eléctrica estacionaria no depende del tiempo, es constante. 11. Cierto. Porque én este caso la relación entre la corriente y el tiémpo no es lineal. 12. Falso. Con el uso de (12.19), tomando en cuenta que coT es igual a 2n, resulta n 1/2 25 ^ sen2eoT 25 =5 — í 50sen2íüídí j"o(l - cos2(út)dt i y1Jo Y 2o c 13. Cierto. Sea S el valor de la suma propuesta-y S su fasor; al usar (12.1) resulta, S = 50e;30° + 30ej60° = 58,301 + _?50,981 = 11,45^4U‘, lo cual confirma la proposición.
Campos cuasiestacionarios /
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14. Falso. De (12.1), resulta Fajsen (cot + 60°)} = - je j00‘ = (31/2 -j)/2 . 15. Cierto. De (12.1), resulta Fa{4,senú)£sen/?z} = -j^senjSze^' = - jA^sen/3z. 16. Falso. El fasor de cualquier función real, según (12.1), no depende del ..tiempo.,-. 17. Cierto. De (12.2), resulta Fa{(
'
18. Falso. Ya que, según (12.1), a la expresión le falta el signo menos; en efecto 7
12.3 Voltaje, difereíiciá de potencial y F E M P r o p o s ic io n e s
1. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos del campo electro magnético es independiente de la trayectoria elegida para ir del uno al otro. 2. En regiones donde el campo electromagnético es estacionario, la diferen cia de potencial entre dos puntos depende de la trayectoria que los une. 3. El voltaje y la diferencia dé potencial eléctricos entre dos puntos del cam po electromagnético no son iguales. 4. El voltaje eléctrico entre dos puntos del campo electromagnético es una magnitud física. 5. El voltaje eléctrico entre dos puntos de un campo electromagnético que varía rápidamente con respecto al tiempo es una magnitud física. 6. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos y la FEM tienen iguales dimensiones. El sentido de la acción de la FEM de una batería de pilas secas, en un cir cuito eléctrico, depende del sentido de la corriente que pasa por aquélla. 7.
8. Cuándo en un circuito eléctrico hay una batería de pilas secas, la FEM de aquél puede suponerse concentrada en la batería. 9. Cuando en un circuito eléctrico hay una batería de pilas secas, la FEM de aquél nunca puede ser mayor que el voltaje entre los bornes de la batería.
4 5 8 / Teoría electromagnética
10. Cuando en un circuito eléctrico hay una batería de pilas secas, la FEM de aquél puede ser menor que el voltaje entre los bornes de la batería. 11. Cuando en un circuito eléctrico hay una batería de pilas secas, la FEM de aquél nunca puede ser igual al voltaje entre los bornes de la batería S o lu c io n e s
1. Ciérto. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, A y B, de un campo electromagnético es una m agnitud física, independiente de la trayec toria y de qué tan rápido varía el campo con el tiempo; se calcula con
/ w ; (12.52)
2. Falso. Por las razones expuestas en la proposición anterior. Obsérvese que el potencial eléctrico en un punto del campo electromagnético no es una magnitud física; es decir, puede tener infinitos valores diferentes mientras no se elija un nivel de referencia. 3. Falso. El voltaje y la diferencia de potencial eléctricos entre dos puntos del campo electromagnético son conceptos distintos y fundamentales en la teoría de circuitos eléctricos, que suelen confundirse en el lenguaje común, cuyos valores coinciden, aproximadamente, en campos cuasiestaciónarios. Sin em bargo* en Campos estacionarios los valores concuerdan exactamente, y difie ren, en cambio, en los que varían rápidamente con respecto al tiempo. La proposición se considera falsa ya que en este capítulo, mientras no se diga expresamente lo contrario, las condiciones d e operación son cuasiestacionarias.. 4. Cierto. La derivada con respecto al tiempo que aparece en (12.8) es una cantidad despreciable, en un campo electromagnético cuasiestacionario; por tanto, en este tipo de campo, el voltaje eléctrico entre dos puntos es aproxi madamente igual a la diferencia de potencial entre los mismos puntos, que es una magnitud física. Sin embargo, es una magnitud física en campos esta cionarios, y definitivamente no lo es, en cambio, en campos que varían rápidamente con respecto al tiempo. 5. Falso. El último término de (12.8), en tal campo, no es una cantidad des preciable, y el voltaje eléctrico entre los dos puntos, como depende de lá trayectoria, puede tomar infinitos valores distintos.... — - . - . ...... .. 6. Cierto. Se sigue de (12.9) y (12.52), y en el SI se miden en voltios. 7. Falso. Es al contrario. Una pila seca es una fuente de FEM para un circui to eléctrico; en aquélla la energía liberada por una reacción química interna
Campos cuasiestacionarios
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se transfiere a los electrones y produce una corriente eléctrica. En un esque ma circuital esta fuente de FEM se simboliza mediante dos segmentos de recta paralelos; uno, de trazo grueso y corto, representa el polo negativo, y el otro, de trazo delgado y largo, representa el polo positivo. El sentido de la acción de la FEM de la batería, en la parte del circuito que es exterior a ésta, va del polo positivo al negativo, y ése es el sentido convencional de la co rriente producida por la batería. La corriente puede circular en sentido opuesto al de la acción de la FEM de la batería, cuando ésta se carga median te la intervención de otra fuente de energía. 8. Cierto. Dentro de la batería se producen reacciones químicas que transfie ren su energía a los electrones y producen la corriente eléctrica que circula por el circuito; este proceso proviene de la existencia, en el interior de la batería, de un campo eléctrico equivalente, no conservativo, cuya intensidad se denota con Ee, para distinguirlo de la Eq que producen las cargas eléctri cas, y en un sistema cuasiestacionario es conservativa (véase figura 12.15). En el circuito eléctrico se cumplen E = Ee + Eq, dentro de la batería, y E = Eq, en la parte del circuito exterior a ésta. Si A y B son, respectivamente, los bornés positivo y negativo de la batería, al evaluar (12.9) en una curva cerra da, c, que coincide con el circuito, y recorrerla en el sentido en que circula la corriente, resulta FEM = §E <»ds = j^ E q « ds + j^ E ' + Eq)« ds = §Eq ®ds + £ l? e ®ds = jBEe ®ds Expresión que puede interpretarse como que la FEM del circuito está con centrada en la batería, y permite hablar de la FEM de ésta. 9. Falso. Sean gB y J B la conductividad y la densidad volumétrica de corriente dentro de la batería, RB su resistencia interna, VAB el voltaje entre los bornes e / la corriente que circula por el circuito (véase figura 12.15). según la ter minología de la proposición anterior, se cumple que Eí +Eq - J n/gB. Al des arrollar (12.9) en una curva que coincide con el circuito y recorrerla en el sentido en que circula la corriente, resulta ,
FEM = [ Eq • ds + £' {Ec + Eq)*ds = VAB + :.FEM=V ab+ R b1
Ids J b * ds =VJIB + ir. , ir.A . (12.53)
donde sé tomaron en cuenta (12.7) y (8.4). De (12.53) se concluye que la FEM■del circuito cuando la batería se descarga es mayor, debido a la caída de potencial en la resistencia interna dé la batería, que el voltaje entre los bornes de ésta.
4 6 0 ¡ Teoría electromagnética
10. Cierto. Ocurre cuando la batería se somete a un proceso de carga; en tal caso, cambia el sentido de la corriente que circula por el circuito, y (12.53) se convierte en FEM = VAB- RSI. 11. Falso. Se sigue de (12.53) que pueden ser iguales cuando el circuito está abierto y la corriente en éste es 0.
12.4 Leyes de Kirchhpff en los circuitos^ P r o p o s ic io n e s
1. Nodo, en una red, es cualquier punto de una rama. 2. La diferencia de potencial eléctrico entre cualquier par de puntos de una rama en un circuito eléctrico no es uniforme. 3. La primera ley de Kirchhoff eléctrica se basa en la conservación de la masa. 4. La suma algebraica de las corrientes eléctricas en un nodo de un circuito : eléctrico es 0. • ...■,-----—- -— ......._-T /. ............... .... 5. La corriente de desplazamiento es apreciable sólo dentro de las bobinas. 6. La primera ley de Kirchhoff eléctrica, dé acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, no es exacta.
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7. La suma algebraica de los voltajes a lo largo de una red es 0, de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff eléctrica. 8. La suma algebraica dé las corrientes que circulan por las ramas de un cir cuito no es 0. 9. La segunda ley de Kirchhoff eléctrica se basa en la conservación de la energía. 10. La segunda ley de Kirchhoff eléctrica es aproximada, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. 11. La segunda ley de Kirchhoff eléctrica es incorrecta por no tener en cuen ta las energías de polarización y de magnetización en capacitores y bobinas. 12. En el interior de una bobina, a baja frecuencia, dB/dt no es despreciable. 13. Las leyes de Kirchhoff eléctricas son válidas cuando la longitud de onda es pequeña. S o lu c io n e s
1. Falso. Por definición, el punto donde dos o más ramas concurren es un nodo; en consecuencia, no todo punto de una rama es un nodo. 2. Cierto. Si la diferencia de potencial eléctrico es uniforme, la rama tiene que ser perfectamente conductora; pero ello no es posible ya que, por defini ción, rama es la parte de un circuito en donde hay por lo menos un elemento circuital, como un resistor, un inductor o un capacitor. Una rama. de un circuito eléctrico se caracteriza porque a lo largo de aquélla la corriente eléc trica, aunque depende del tiempo, es uniforme. 3. Falso. Es una aproximación cuasiestacionaria de la ley dé la conservación dé la carga eléctrica. 4. Cierto. Es el enunciado de la primera ley de Kirchhoff eléctrica; recuérde se que la corriente que emerge del nodo es positiva, y negativa lá que ingre sa. Sin embargo, si la frecuencia es muy elevada y no se aplica la aproxima ción cuasiestacionaria, ésa suma no es 0 porque no puede ignorarse la co rriente de desplazamiento. 5. Falso. En sistemas cuasiestacionarios la corriente de desplazamiento es apreciable sólo dentro de los capacitores, donde D es más intensa debido al dieléctrico y a la cercana presencia de armaduras cargadas. 6. Cierto. Es úna aproximación cuasiestacionaria de la ley de la conservación de la carga eléctrica. Cuando la frecuencia es muy elevada, no pueden igno rarse las cargas acumuladas en las superficies de los hilos que llevan la co
4 6 2 / Teoría electromagnética
rriente, y en el nodo donde éstas concurren, ni la corriente de desplazamien to respectiva. 7. Falso. La segunda ley de Kirchhoff eléctrica se aplica a circuitos; obsérve se que una red puede estar formada por varios circuitos. 8. Cierto. No hay razón física para que esa suma sea 0; sí es 0, en cambio, la suma algebraica de los voltajes. 9. Falso. En general, lá segunda ley de Kirchhoff eléctrica es una aproxima ción cuasiestacionaria de la ley de Faraday-Henry; ley que no equivale a una ecuación de conservación de la energía. Sin embargo, cuando el sistema es estacionario y el campo eléctrico es conservativo, la ley puede deducirse de la conservación de la energía. 10. Cierto. Es una aproximación cuasiestacionaria de la ley de Faraday-Henry. Cuando la frecuencia es muy elevada, el voltaje y la diferencia de potencial eléctricos entre dos puntos dejan de ser iguales, según (12.8), y no puede ig norarse el cambio con el tiempo del flujo magnético enlazado por el circuito. 11. Falso. En baja frecuencia la ley es correcta, y no lo es en alta frecuencia por las razones expuestas en la proposición anterior; razones que nada tienen que ver con las energías de polarización y de magnetización en capacitores y bobinas. Recuérdese, además, que esta ley no se funda en la conservación de la energía sino en una aproximación cuasiestacionaria de la ley de FaradayHenry. 7 ™ ................................ ...... - 12. Cierto. En la mayor parte de los casos pueden despreciarse, a baja fre cuencia, las derivadas con respecto al tiempo. Sin embargo, en el interior de las bobinas la magnitud de B es alta debido al número de espiras y al núcleo ferromagnético de aquéllas, y allí no puede despreciarse la derivada de B con respecto al tiempo; si se ignora ésta, se está despreciando el efecto in ductivo de una bobina en un circuito. 13. Falso. Las leyes de Kirchhoff son aproximaciones cuasiestacionarias de las de la teoría electromagnética; por tanto, son válidas cuando la longitud de onda es grande comparada con las dimensiones de los circuitos eléctricos.
Campos cuasiestacionariós / 4 6 3
12.5 Transferencia de energía en los conductores y efecto Joule P r o p o s ic io n e s
1. La potencia que ingresa a un circuito a través de N nodos, si se sabe que por el nodo i entra una corriente, que tiene un potencial con respecto a í=n tierra,
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15. Si una rama de un circuito conduce la corriente I = / Ocos(
1. Falso. La potencia que ingresa al circuito se calcula con (12.12), de acuerdo con el teorema de Poynting, al encerrarlo con una superficie S; esa ecuación, mediante manipulaciones algebraicas que usan las ecuaciones de Maxwell y aplican la simplificación de baja frecuencia, se reduce a (12.6). 2. Falso. Sean 1 y 2 los puntos entre los que se establece el voltaje, S una superficie cerrada que pasa por aquéllos y encierra la corriente filamental que circula entre los puntos —la que se supone pasa del punto 1 al 2— y &]3 ,
= ^ 7 , +0 ¿ Í =I(
donde, por convención, sé considera positiva la potencia que ingresa a la superficie, y negativa la que emerge. En consecuencia, para mantener una corriente eléctrica en una región del espacio se requiere aportarle energía, puesto qüe las cargas eléctricas se aceleran en el campo eléctrico. 3. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición anterior, la potencia que debe aportarse al alambre es P = VI
(12.54)
En este caso, además, de acuerdo con el teorema de Poynting, por el efecto Joule la potencia suministrada al alambre se convierte allí en calor.
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4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Según la teoría de la acción a distancia la potencia llega a la rama por los'alambres que la conectan a la fuente de energía; su monto se calcula con (12.54). Sin embargo, de acuerdo con la teoría de la acción por contacto, la potencia llega a la rama por el espacio, a través del campo electromagnético; su valor se calcula con (12.12). 5. Cierto. De (12.3) y (12.54) se deduce P =^
= R I2
; (12.55)
Conviene subrayar que (12.3), (12.54) y (12.55) se consideran válidas debido a las suposiciones genérales impuestas a las proposiciones de este capítulo; sin embargo, cuando la corriente varía rápidamente en el tiempo, ésta deja de ser uniforme en el resistor, y el voltaje y la diferencia de potencial eléctri cos pueden ser diferentes entre sí. 6. Falso. Se deduce dé (12.18) que la potencia media disipada en un resistor disminuye, al aumentar la resistencia eléctrica del mismo. ; 7. Cierto. El alambre de mayor conductividad tiene, según (8.4) y (12.18), menor resistencia eléctrica y mayor potencia media. 8. Falso. El alambre de mayor diámetro tiene una sección recta de área ma yor y, según (8.4) y (12,18), menor resistencia eléctrica y menor potencia media. 9. Cierto. Al duplicar el diámetro del alambre, se cuadruplica el área de su sección recta y, según (8.4) y (12.18), se reduce su resistencia eléctrica a la cuarta parte y se cuadruplica la potencia media. ..■ 10. Falso. Al duplicar la longitud del alambre, según (8.4) y (12.18), se du plican su resistencia eléctrica y la potencia media. 11. Cierto. Como la masa y la densidad del alambre no varían, el volumen de éste se conserva; por tanto, al duplicar la longitud, el área de la sección recta del alambre se reduce a la mitad y, según (8-4) y (12.18), la resistencia eléctrica se cuadruplica y la potencia media se reduce a la cuarta parte. 12. Falso. Cuando la temperatura aumenta, incrementan la vibración térmi ca y los choques de los electrones con los núcleos de la red atómica y, en consecuencia, aumenta la resistencia eléctrica del conductor; por tanto, de acuerdo con (12.18), disminuye la potencia media disipada en el hilo. 13. Cierto. Para que cuando accidentalmente se presente una corriente de magnitud indeseable, el calor generado por el efecto Joule pueda fundir el
4 6 6 / Teoría electromagnética
fusible con rapidez; de esta manera el circuito se interrumpe en un menor tiempo y se activa la protección. 14. Falso. La potencia media en un período es < P >
= — \P d t j ' Jo
= — f c o s i(ú td t j ' Jo
= ^ - \ T il± c o % 2 (ú t)d t = — 2 T 2
Jo '
15. Falso. Al aplicar (12.17) resulta < P >= V0I 0/4. 16. Ciérto. Mientras mayor es el factor de potencia, tendiendo a la unidad, de una instalación eléctrica que demanda para su funcionamiento un voltaje y una potencia real, dados, menores son la magnitud de la corriente usada, las pérdidas por el efecto Joule y el costo de la energía. 17. Falso. Como la eficiencia del motor es dél 50%, su factor de potencia es igual a la unidad y entrega una potencia de 4 [W], la potencia media que el motor demanda es de 8 [W], y se deduce de (12.20) qué la corriente efectiva demandada es de 4 x 10~2 [A].
12.6 Circuitos eléctricos y resistores P r o p o s ic io n e s
1. Para medir la corriente en una rama de un circuito eléctrico se inserta, en serie, un amperímetro de resistencia pequeña. 2. Dos resistores están en serie cuando sé conectan al mismo voltaje. 3. Lá corriente en un corto circuito es nula. 4. Si se tienen N resistores en serie, de resistencias iguales á K, laresistencia equivalente es NR. 5. N baterías constantes conectadas en serie, de iguales polaridad, resistencia interna, r, y voltaje de circuito abierto entré los bornes, V0>actúan como una sola batería, cuya resistencia interna y voltaje de circuito abierto entre los bornes son iguales, respectivamente, a r/N y NV0. 6. Para medir el voltaje entre dos puntos de una rama dé un circuito eléctri co, se conecta en aquéllos, en paralelo con la rama, un voltímetro de resis tencia grande. 7. Dos resistores están en paralelo cuando los atraviesa la misma corriente.
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8. Cuando una corriente se divide entre varias ramas conectadas en paralelo, pasa mayor cantidad de corriente por la rama donde la resistencia eléctrica es menor. 9. Si se tienen N resistores en paralelo, de resistencias iguales a R, la resis tencia equivalente es ATfí. 10. Si tres resistores, de resistencias iguales a /2, se conectan en forma de triángulo, la resistencia equivalente entre dos .vértices es 2/2/3. 11. Si cuatro resistores, de resistencias iguales á R, se conectan en forma de cuadrado, la resistencia equivalente entre, dos vértices consecutivos es 4/2/3. 12. Si cuatro resistores, de resistencias iguales a R, se conectan en forma de cuadrado, la resistencia equivalente entre dos vértices no consecutivos es R. , 13. Si doce resistores, de resistencias iguales a R, se conectan en forma de cubo, la resistencia equivalente entre los vértices de una de las diagonales principales del cubo es R/2. 14. Si doce resistores, de resistencias iguales a R, se conectan en forma de cubo, la resistencia equivalente entre dos vértices de una de las diagonales de una cara es 3/2/4. 15. Si una bombilla eléctrica de 25 [W] tiene brillo, normal cuando se conecta a una toma domiciliaria de energía, de 110 [V] RMS, una bombilla eléctrica de 200 [W] brilla tenuemente cuando se conecta en la misma forma que la primera. 16. Si dos bombillas, diseñadas para trabajar a 110 [V] RMS, generan 200 [W] y 100 [W], respectivamente, el filamento de la primera tiene menor resis tencia que el de la segunda. 17. Si un resistor se conecta a una batería de 10 [V] constantes entre bornes, durante 60 [s], y circula una corriente de 2 [A], la reducción de energía quí mica en aquélla es de -1.200 [}]. 18. Si dos resistores iguales pueden conectarse, en serie o paralelo, a una batería de voltaje constante, en el primer caso la potencia disipada por la pareja es-mayor. 19. Si dos resistores están en serie, es mayor la potencia disipada en el que tiene mayor resistencia. 20. Si se duplica la frecuencia de la fuente de energía, se reduce a la mitad la resistencia de un resistor.
4 6 8 / Teoría electromagnética
F i g u r a 1 2 .1 6
C ir c u it o s d e r e s i s t o r e s . L a f ig u r a (a ) ilu s t r a la p r o p o s ic ió n 1 2 .6 .1 0 , (b ) la 1 2 .6 .1 1
y ( c ) l a 1 2 .6 .1 2 .
;
S o lu c io n e s
1. Cierto. El amperímetro debe insertarse en serie con la rama de interés; y debe tener una resistencia eléctrica idealmente nula, para no extraer energía del circuito ni crear una caída de potencial a través suyo; en tal caso, no mo difica la corriente que quiere medirse. Sin embargo, un amperímetro real perturba el circuito y la corriente que se quiere conocer; la medida puede corregirse, para obtener el valor correcto, al efectuar dos lecturas en escalas diferentes y aplicar el teorema de Norton. 2. Falso. Están en serie cuando conducen la misma corriente. 3. Falso. En un cortocircuito la resistencia es idealmente 0; en consecuencia, según (12.3), la corriente crece sin límite. ..- -- .. 4. Cierto. Se sigue de (12.23). 5. Falso. Si las N baterías se conectan en serie a un resistor, de resistencia R, y en el circuito se establece una corriente, 7, se deduce de (12.5) que RJ = NV0 - Nrl. Por tanto, el conjunto actúa como una sola batería de resis tencia interna igual a Nr. 6. Cierto. El voltímetro debe conectarse en paralelo con la porción de rama en la que quiere medirse el voltaje, y debe tener una resistencia eléctrica ideal mente infinita, para no desviar corriente eléctrica a través suyo ni extraer energía del circuito; en tal caso, no modifica el voltaje que quiere medirse. Sin embargo, el voltímetro real perturba el circuito y el voltaje que se quiere cono
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cer; la medida puede corregirse, para obtener el valor correcto, al efectuar dos lecturas en escalas diferentes y aplicar el teorema de Thévenin. 7. Falso. Están en paralelo cuando se conectan a los mismos nodos; por tan to, tienen el mismo voltaje. 8. Cierto. Se observa en (12.3) que la corriente en una rama es inversamente proporcional a la resistencia de la misma, y como las ramas están en parale lo, quedan sometidas al mismo voltaje; en consecuencia, la corriente es ma yor en la rama de menor resistencia. 9. Falso. De (12.24) se sigue que la resistencia equivalente es R/N. 10. Cierto. Se comprueba con (12.23) y (12.24), ya que uno de los resistores queda conectado en paralelo, entre dos vértices del triángulo, con la serie formada por los otros dos (véase figura 12.16). 11. Falso. Se deduce de (12.23) y (12.24) que la resistencia equivalente del arreglo es 3i?/4, ya que uno de los resistores queda conectado en paralelo, entre dos vértices consecutivos del cuadrado, con la serié formada por los otros tres. 12. Cierto. Se verifica, con (12.23) y (12.24), ya que entre dos vértices no consecutivos del cuadrado quedan conectadas en paralelo dos series de dos resistores cada una (véase figura 12.16). 13. Falso. Se facilita la solución al suponer que por un vértice del cubo de resistores ingresa una corriente, I (que emerge por el vértice opuesto de la diagonal principal), asignar a cada resistor una corriente, y proyectar el cubo sobre un plano de manera que se formen dos cuadrados concéntricos y paralelos unidos por los vértices (véase figura 12.17). Al observar la simetría del sistema se concluye que el centro del cubo y un plano (paralelo a las aris tas delmismo, y que incluye la diagonal principal de interés) son, respecti vamente, centro de antisimetría y plano de simetría. Con base en tal sime tría, las corrientes desconocidas en los resistores se reducen a tres, se hallan con las leyes de Kirchhoff, y puede calcularse el voltaje entre los vértices de una diagonal principal para determinar la resistencia equivalente; ésta resul ta ser 5R/6. 14. Cierto. Al proceder como en la proposición anterior, se observa simetría o antisimetría con respecto a dos planos paralelos a las aristas del cubo, mu tuamente ortogonales, que incluyen Jas diagonales de la cara de interés (véa se figura 12.17). Con base en esa simetría, las corrientes desconocidas en los resistores se reducen a dos, se hallan con las leyes de Kirchhoff, y puede calcularse el voltaje entre los vértices de una diagonal de cara para determi nar la resistencia equivalente; ésta resulta ser 3/Ü/4.
4 7 0 / Teoría electromagnética
F i g u r a 1 2 .1 7
C u b o d e r e s i s t o r e s . E n ( a ) s e m u e s t r a un c u b o q u e t ie n e r e s i s t o r e s , i d é n t i c o s a
lo la r g o d e t o d a s l a s a r i s t a s . L a s f ig u r a s (b ) y (c ) ilu s t r a n l a s s o l u c i o n e s d e l a s p r o p o s i c i o n e s 1 2 .6 .1 3 y 1 2 .6 .1 4 . E l s i s t e m a d e r e s i s t o r e s s e p r o y e c t a s o b r e e l p la n o , s i n c a m b i a r l a t o p o lo g ía , p a r a a p r e c i a r m e jo r l a s s im e t r ía s .
15. Falso. Al conectar la segunda bombilla a la toma domiciliaria, adopta el brillo que corresponde a su potencia; para ello, y puesto que el voltaje RMS de la toma es fijo, demanda de ésta más corriente eléctrica que la primera bombilla. 16. Cierto. Puesto que el voltaje RMS de la toma es fijo, según (12.18) desa rrolla mayor potencia la bombilla de menor resistencia eléctrica. 17. Cierto. La enérgía eléctrica que se convierte en calor por el efecto Joule en el resistor, la cüal es aportada por la batería, vale, de acuerdo con (12.54), W = Pt = 10x2x60 = 1.200 Q]. 18; Falso. Si R es la resistencia común de los resistores, es mayor la resisten^ cia equivalente cuando los resistores se conectan en serie, 2R, que en parale lo, R/2-, por tanto, según (12.18), y dado que el voltaje es constante, en el primer caso se desarrolla una potencia menor. 19. Cierto. Como los resistores están en Serie, conducen la misma corriente; por tanto, de acuerdo con (12.18), disipá más potencia el que tiene mayor resistencia. 20. Falso. En condiciones estacionarias o cuasiestacionarias la resistencia de un resistor es independiente de la frecuencia; sin embargo, cuando la fre cuencia es alta debe considerarse el efecto piel, por el cual la corriente tien de a concentrarse en la superficie exterior del conductor y la resistencia tiende a crecer con la raíz cuadrada de aquélla.
.
Campos cuasiestacionarios / 471
12.7 Circuitos eléctricos e inductores P r o p o s ic io n e s
/
1. Si se duplica la permeabilidad del núcleo de un inductor y se mantiene igual lo demás, el voltaje autoinducido en éste se duplica. 2. El voltaje autoinducido en un tramo de longitud 21, en un solenoide recto muy largo, es la mitad del correspondiente a un tramo de longitud Z. 3. En altas frecuencias la inductancia de un inductor rio depende del tiempo. 4. Cuando la longitud dé onda de la señal es pequeña, la inductancia de un inductor no depende de la frecuencia. 5. Cuando la frecuencia es alta, la inductancia de un inductor depende úni camente del arrollamiento, la geometría y el material del núcleo. 6. Con la expresión IdV/dt no puede calcularse la inductancia de un inductor. 7. La expresión V = Ldl/dt es válida para determinar, en alta frecuencia, el voltaje entre los terminales de ün inductor. 8. Los coeficientes, L, que aparecen en A = LI y V = Ldl/dt, con referencia al mismo inductor, son iguales. 9. Dentro de un solenoide recto y largo, de sección circular, con núcleo de aire y n espiras por unidad de longitud, que lleva una corriente I = /„ costo/, E es 0. 10. La inductancia equivalente, Le, de dos inductores conectados en serie, depende de la posición relativa de éstos. 11. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia R, se conec tan en serie a una batería, de voltaje constante V0, en la etapa de “carga” la corriente decrece con el tiempo. 12. Si un inductor y un resistor se conectan en serie a una batería, la corrien te en el resistor es siempre la misma que en el inductor. 13. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia R, se conec tan en Serie a una batería, de voltaje constante F0, en la etapa de “carga” el voltaje en el inductor crece. 14. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia /?, se conec tan en serie a una batería, de voltaje constante V0, el voltaje en el inductor nunca puede ser mayor que el de la batería.
4 7 2 / Teoría electromagnética
15. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia R, se conec tan en serie a una batería, de voltaje constante F0, en la etapa de “carga” la potencia instantánea en el resistor crece con el tiempo. 16. La constante inductiva de tiempo en un circuito RL es z L = (RL) 1. 17. En un circuito RL, alimentado por una batería de voltaje constante, la constante inductiva de tiempo puede cambiar cuando se sustituye la batería;. 18. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia R, se conec tan en serie a una batería, de voltaje constante V0, en la etapa de “carga” el tiempo requerido para que la corriente aumente hasta una fracción dada de su valor de equilibrio cambia, cuando el voltaje de la batería incrementa. 19. Dos solenoides rectos muy largos, A y B, formados con úna sola capa de espiras de alambre de cobre muy juntas, tienen el mismo material en el nú cleo e igual radio, r. Si, por unidad de longitud, A tiene muchas vueltas de alambré delgado, y B tiene pocas vueltas de alambre grueso, entonces, en un tramo de longitud Z, el solenoide A tiene menor constante inductiva de tiem po que el B. 20. Si se corta, con un interruptor, la corriente constante que lleva una bobi na cuya constante de tiempo inductivo es grande, tiende a formarse un arco entre las hojas de aquél. 21. Si un inductor, de inductancia L, y un resistor, de resistencia R, se conec tan en serie a una batería, de voltaje constante K0, hasta establecer una co rriente estacionaria, al eliminar la batería la energía almacenada en el induc tor desaparece instantáneamente. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. De (12.29) se deducé que al duplicar esa permeabilidad se duplican la inductancia y el voltaje autoinducido en el inductor; sin embargo, la conclusión es falsa cuando el campo magnético no está confinado al interior del inductor, porque, en tal caso, la inductancia del mismo, como se observa en (9.46), no es directamente proporcional a la permeabilidad del núcleo. 2. Falso. De (9.44) y (12.29) se deduce, dado que el número de espiras por unidad de longitud es el mismo, que al duplicar la longitud del tramo del solenoide se duplican el número de espiras, la inductancia y el voltaje autoinducido en aquél.
Campos ciíasiestacionarios / 4 7 3
3. Cierto. En altas frecuencias la inductancia de un inductor depende de aquéllas, pero no del tiempo; depende de éste si, por ejemplo, la geometría del dispositivo es variable. 4. Falso. Es en condiciones estacionarias, o en baja frecuencia cuando la lon gitud de onda es grande comparada con las dimensiones del inductor, que la inductancia del mismo es, exacta o aproximadamente, independiente de la frecuencia. 5. Falso. Cuando la frecuencia es alta, la inductancia de un inductor es fun ción de la frecuencia; además, aunque las condiciones sean estacionarias, la inductancia puede depender también del material en el que está inmerso el inductor, como se nota en (9.46); ello se debe a que hay campo magnético, también, por fuera del mismo. 6. Cierto. Esa expresión nó tiene dimensiones de inductancia. En condicio nes cuasiestacionarias la inductancia de un inductor puede calcularse con L = V(dI/dt)~\ 7. Falso. La expresión es aplicable en baja frecuencia. En alta frecuencia no pueden ignorarse el campo magnético fuera del inductor, la acumulación de carga en la superficie de éste, la corriente de desplazamiento ni el efecto capa citivo correspondiente entre las espiras de la bobina. Por ello, , la corriente eléctrica ya no es uniforme en las espiras del inductor, ni son iguales el voltaje y la diferencia de potencial entre los terminales de éste; además, debido al efecto piel, incrementa la resistencia eléctrica y la disipación de energía. 8. Cierto. Es cierto en condiciones cuasiestacionarias, cuando pueden em plearse conceptos estacionarios para calcular el flujo magnético total enlaza do por el inductor; sin embargo, es falso cuando la frecuencia es alta, debido a las razones expuestas en la proposición anterior. 9. Cierto. En condiciones cuasiestacionarias E es despreciable dentro del solenoide. En efecto, en esas condiciones H puede calcularse allí, aproxima damente, como en un sistema estacionario; resulta entonces, de (9.31), H ~ i. ni0coscot, donde se supone que el eje Z coincide con el eje del solenoi de. Como el campo magnético variable es fuente del eléctrico y, por la sime tría, puede suponerse que la E de éste sólo depende de í y r, y tiene la direc ción de i v, al aplicar (3.18) a Una circunferencia, de radio r, perpendicular al eje Z y centrada en éste, se obtiene £ ~ iv (o)¡j.anl0r sena 1^/2 expresión despre ciable en baja frecuencia pues ,ú0 es pequeño. Los resultados anteriores no cumplen (3.20), ya que V x H = 0> e0dE/dt = iv (a>"nl0r coscüíy(2c2), donde c es la rapidez de la luz. El miembro derecho de la ecuación anterior se anula
474 / Teoría electromagnética
sólo cuando la frecuencia es 0 y el campo es estacionario, pero en baja fre cuencia el denominador es muy grande y él término tan pequeño, que la igualdad, aproximadamente, se sostiene. 10. Cierto. Si M es la mutuainductancia, y L l y L2 son las autoinductancias de los inductores en serie, y si V es el voltaje eléctrico al que se conectan e l la corriente que circula, entonces di ■ , . d i . r di-, ■■, , di V = L .— + M —-+ L dt dt T 7- ' *
7-
,
n
di
por tanto, Lt - L\ +L2+ 2AÍ, donde M puede ser positiva o negativa y depen de de la posición relativa de los ejes de los inductores. 11. Falso. Se deduce de (12.30) que la corriente crece asintóticamente con el tiempo en el circuito, hasta un valor máximo de V0/R. 12. Cierto. El resistor y el inductor están en serie, y la corriente que circula por ellos, de acuerdo con una de las hipótesis de la teoría de circuitos eléc tricos, es la misma. Conviene subrayar, sin embargo, que esa hipótesis es aproximada, ignora la corriente de desplazamiento y vale en condiciones cuásiéstacionarias; cuándo en un alambre conductor la corriente depende del tiempo, aquélla, estrictamente, no puede ser uniforme en el alambre. 13. Falso. El voltaje en el inductor, VL, se calcula con el uso de (12.29) y (12.30); vale VL = L -j- = V0e'm/L
(12.56)
donde se observa que ese voltaje tiende a 0 cuando el tiempo crece. 14. Cierto. De (12.56) se sigue que en la etapa transitoria el voltaje máximo en el inductor ocurre en el momento inicial y es igual al de la batería. 15. Cierto. La potencia instantánea en el resistor es directamente proporcio nal al cuadrado de la corriente que por éste circula, y la corriente, como se explicó en la proposición 12.7.11, crece asintóticamente con él tiempo. 16. Falso. Esa expresión no tiene dimensiones de tiempo; la correcta apare ce en (12.31). 17. Cierto. Por su definición—ver (12.31)— esa constante es igual a la razón entre la.inductancia y. la resistencia del circuito. Si al reemplazar la batería se modifica la resistencia interna, cambia lá resistencia total del circuito y, por tanto, la constante inductiva de tiempo.
Campos cuasiesíacionarios / 4 7 5
18. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Se deduce de (12.30) que el tiempo requerido para que la corriente aumente en el circuito hasta una fracción dada de su valor de equilibrio depende de la constante inductiva de tiempo, zL, la cual aparece en el exponente de la función exponencial y, se gún (12.31), es inversamente proporcional a la resistencia del circuito. En consecuencia, la proposición es cierta si al aumentar el voltaje de la batería se incrementa, como se explicó en la proposición anterior, la resistencia total del circuito; falsa, cuando se agranda el voltaje de la batería sin modificar la resistencia del circuito. 19. Cierto. Si, en el tramo de longitud l, N es el número de vueltas del solénoide, d el diámetro del alambre que forma el arrollamiento, lT la longitud de éste y R la resistencia eléctrica del mismo, se cumplen l = Nd, lT = 2n rN y R = (8rAf3)/(g¿2), donde se usó (8.4). Como en (9.44) se observa que la in ductancia del tramo del solenoide es directamente proporcional al cuadrado del número de espiras, se concluye, de acuerdo con (12.31), que la constante inductiva de tiempo en el tramo es inversamente proporcional al número de espiras, y que la del solenoide A es menor. 201 Cierto. Si la constante de tiempo inductivo es grande, ello significa que la bobina1tiene una alta inductancia, comparativamente, con respecto a la resistencia. Al abrirse el circuito que lleva la corriente constante, ésta no puede hacerse 0 instantáneamente, porqué el voltaje sobre la bobina, dado, por Ldl/dt, en tal caso es infinito. La inductancia produce, entonces, un efec to inercia! que se opone al cambio instantáneo de la corriente y trata de mantenerla constante en el circuito; ello induce un alto voltaje entre las hojas del interruptor, que se comporta como un capacitor, y se forma el arco cuando la £ supera la resistencia dieléctrica del medio. Abrir sin las debidas precauciones un circuito altamente inductivo puede provocar un accidente. 21. Falso. No desaparecen instantáneamente la energía almacenada en el inductor ni la corriente del circuito, como se explicó en la anterior proposi ción; la “descarga” toma un tiempo que puede considerarse, aproximada- . mente, igual a 5 t¿. La energía acumulada en el inductor, más precisamente en el campo magnético, es la responsable de sostener la corriente en el cir cuito durante la etapa de “descarga”.
476/
Teoríá electromagnética
12.8 Circuitos eléctricos y capacitores P r o p o s ic io n e s
1. La corriente eléctrica no circula en un circuito eléctrico abierto. 2. Si la corriente varía periódicamente con el tiempo en un capacitor, la ca pacitancia depende de aquél: ; 3. La capacitancia de un capacitor sólo depende de la geometría y del mate rial que se coloca entre las armaduras. ' 4. En condiciones estacionarias la capacitancia de un capacitor ideal depen de únicamente de la geometría y del material existente entré las armaduras. 5. Si se duplica la frecuencia del voltaje al que está conectado un capacitor de placas paralelas, se duplica la capacitancia. 6. Si se duplica el voltaje al que está conectado un capacitor, se duplica la corriente en la rama en la que éste se encuentra. 7. Si un capacitor de placas paralelas está conectado al voltaje V - F0cosco y se duplica la distancia entre aquéllas, d, la capacitancia se reduce a la mitad. 8. A menor longitud de onda, mejor es la aproximación entre las capacitan cias dinámica y estática de un capacitor. 9. Cuando la frecuencia de la fuente es muy alta, el voltaje entre las armadu ras de un capacitor es uniforme. 10. Cuando la frecuencia de la fuente es muy alta, las armaduras de un capa citor de armaduras paralelas y perfectamente conductoras no son equipoten ciales. 11. En baja frecuencia, las armaduras de un capacitor son equipotenciales. 12. La superficie de un conductor de conductividad infinita que transporta una corriente, no es equipotencial en condiciones dependientes del tiempo. 13. En un capacitor de armaduras paralelas y perfectamente conductoras, sometido a un voltaje V = f^cosú)¿, el campo eléctrico entre aquéllas es uni forme. 14. En un capacitor de armaduras paralelas y perfectamente conductoras, sometido a un voltaje V = V0coso)/, el campo eléctrico entre aquéllas depende de la colocación de la fuente.
Campos cuasiestacionarios / 4 7 7
15. En un capacitor de armaduras paralelas y perfectamente conductoras, sometido a un voltaje V = V0coscol, el campó eléctrico entre aquéllas no de pende de la geometría de las mismas. 16. En un capacitor de armaduras paralelas y perfectamente conductoras; sometido a un voltaje V = V0cosü)t, de alta frecuencia, las E y H determinadas entre aquéllas son funciones de onda que viajan con la rapidez de la luz. 17. En frecuencias superiores a las cuasiestacionarias, el circuito equivalente de un capacitor debe incluir una parte inductiva. 18. Cuando la fuente de energía tiene una frecuencia angular, co, en un cir cuito capacitivo la parte imaginaria de la impedancia es negativa. 19. La expresión I = CdV/dt es válida, en alta frecuencia, para determinar la corriente que circula en la rama a la que está conectado un capacitor. 20. Cuando la fuente de energía tiene una frecuencia angular, co, la parte imaginaria de la impedancia equivalente de un arreglo en serie es la resis tencia del mismo. 21. Cuando la fuente de energía tiene una frecuencia angular, co, el arreglo en serie equivalente a uno: en paralelo, en el cual hay un resistor y un capaci tor, está constituido también por un capacitor y un resistor. 22. Cuando un capacitor se descarga al conectarlo en serie a un resistor, la corriente en éste es / = -dQJ dt. donde es la carga instantánea en la arma dura positiva del capacitor. 23. Si un capacitor, de capacitancia C, y un resistor, de resistencia R, se co nectan en serie a una batería, de voltaje constante V0, en la etapa transitoria el tiempo requerido para cargar el capacitor hasta una fracción dada de su valor de equilibrio depende de la batería. 24. La constante capacitiva de tiempo en un circuito RC es
tc =
R/C.
25. En un circuito RC, alimentado por una batería de voltaje constante y sin resistencia interna, al duplicar la resistencia del resistor se duplica el tiempo que el capacitor demora en alcanzar el equilibrio. 26. En un circuito RC, alimentado por una batería de voltaje constante, la constante capacitiva de tiempo puede cambiar cuando se sustituye la batería’ 27. En un circuito LCR, sometido a un voltaje L = F„ costo después de Un tiempo largo la corriente en el circuito crece exponencialmente. 28. La frecuencia angular característica de un circuito LC es (LC)-1/2.
478
/ Teoría electromagnética
29. Un circuito LC deja de oscilar cuando el capacitor queda completamente descargado. 30. Un circuito LCR, conectado a un voltaje V = V^coscot, es resonante cuan do la frecuencia angular de la fuente es (i?C) 31. La amplitud de la corriente es máxima, en un circuito LCR, cuando éste es resonante. ., _;r. v . 32. Si un circuito LCR está conectado a un voltaje V = V0cosíút, y el circuito es resonante, la potencia media en el resistor es < P >= Lq?/(2 í ?) - ; , 33. El principio de superposición no es aplicable a los circuitos eléctricos. 34. Cuando en un circuito hay varias fuentes de energía, la potencia total que éstas aportan no es igual a la suma de las potencias que cada fuente en trega cuando actúa por separado. S o lu c io n e s
1. Cierto. Primero es necesario precisar él significado del término circuito abierto-, éste constituye una contradicción, ya que circuito, por definición, es un camino cerrado. Sin embargo, de acuerdo con Un uso tradicional del len guaje técnico, se entiende que un circuito eléctrico está cerrado cuando por éste circula corriente eléctrica, y-abierto-en caso contrario. Con base en lo expuesto se concluye que la proposición es cierta. Conviene mencionar que un mismo circuito puede estar, en diferentes momentos, abierto y cerrado. En el formado por un capacitor y un resistor, conectados en serie a una bate ría de voltaje constante, por ejemplo, la corriente eléctrica circulá mientras el capacitor se carga o descarga, y el circuito está cerrado; pero no circula cuando aquél alcanza la carga de equilibrio. Aunque el capacitor interrumpe el camino conductor, y el paso de la corriente libre, la corriente de despla zamiento se encarga de cerrar el circuito. 2. Falso. En tal caso, la capacitancia, que puede llamarse dinámica, depende de la frecuencia pero no del tiempo; depende de éste si, por ejemplo, la geometría def dispositivo es variable. 3. Cierto. Depende de la geometría y del material, exactamente, cuando se cumplen los requisitos expuestos en el artículo 7.0.29; aproximadamente, de acuerdo con lo explicado en Ja proposición 7.7.5. La capacitancia también depende de la frecuencia de la fíente; sin embargo, en condiciones cuasiestacionarias, tal dependencia es despreciable.
Campos cuasiestacionarias /
479
4. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición anterior; obsérvese, por ejemplo, que si el dieléctrico rió es lineal, la capacitancia depende del voltaje entre las armaduras. 5. Falso. En coridiciónes cuasiestacionarias la capacitancia, aproximadamen te, no depende de la frecuepcia. 6. Cierto. Al duplicar el voltaje al que está conectado el capacitor se duplica la derivada temporal de aquél, y, ya que la capacitancia no cambia, también se duplica, según (12.32), la corriente que circula por la rama. 7. (Cierto. Se sigue de (7.34); expresión que es aplicable en condiciones cua siestacionarias. 8. Falso. Esas capacitancias son aproximadamente iguales en baja frecuencia; es decir, cuando la longitud de onda es muy grande comparada con las di mensiones del dispositivo. 9. Falso. Examínese, como contraejemplo, el capacitor descrito en el artículo 12.0.23 y véase la figura 12.9; de (12.7) y (12.35) se deduce que el voltaje entre las armaduras del capacitor, calculado en una curva que va de una a la otra y está contenida enteramente en un plano perpendicular al eje Z para no enlazar inducción del campo magnético, es V = - ^ E» d s = V0cosü)tcospz En baja frecuencia, sin embargo, el ángulo 0z es pequeño, su coseno casi igual a la unidad y el voltaje entre las armaduras es aproximadamente uni fórme. 1 Ó. Cierto. Obsérvese, como ejemplo, el capacitor descrito en el artículo 12.0.23; en este caso, con (9.26) y (12.35) se calcula un potencial vectorial magnético, para el mismo: Am= - ii (¡j.VQxsen0z sena tj/(r¡dy Cuando este resul tado y el obtenido en la proposición anterior se sustituyen en (12.8), se halla la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 de un plano perpendicular al eje Z, pertenecientes, respectivamente, a las armaduras ubicadas en x = 0 y x - d ; dicha diferencia es
4 8 0 / Teoría electromagnética
es baja, el ángulo /3 z es pequeño y su coseno casi igual a la unidad, por lo cual el resultado obtenido se reduce a
Campos cuasiestácionarios /
481
17. Cierto. Cuando la frecuencia es baja, la capacitancia dinámica del capaci tor es aproximadamente igual a la estacionaria y ios efectos inductivos son despreciables; obsérvese, por ejemplo, que la H dada por (12.35) tiende, en tales condiciones, a 0. Pero cuando la frecuencia crece, hay que tomar en cuenta efectos de orden superior y la influencia del Campó magnético; el resultado neto, cuando se consideran efectos de segundó orden, es introdu cir en serie con el capacitor de capacitancia estacionaria, en el circuito equi valente al dispositivo, un inductor. 18. Cierto. Si la fuente de energía tiene una frecuencia angular, (O, pueden usarse fasores, definidos con (12.1), y estudiarse el circuito en el dominio de la frecuencia; en estas condiciones, de (12.32) resulta / = jcoCV_; por tanto, /,
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19. Falso. La expresión es aplicable en baja frecuencia. En alta frecuencia no pueden ignorarse el campo magnético inducido en el interior del capacitor ni los efectos que la acumulación de carga en otras partes del circuito ejerce en la región existente entre las armaduras de éste; la variación con el tiempo de esas cargas produce corrientes de desplazamiento que alteran la unifor midad de la corriente libre, I, a lo largo del circuito e influyen en la diferen cia de potencial existente entre las armaduras. Por ello, la corriente eléctrica ya no es uniforme en la rama del circuito, ni son iguales el voltaje y la dife rencia de potencial entre los terminales del capacitor; además, debido al efecto piel, debe tomarse en cuenta la resistencia eléctrica y la disipación de energía. 20. Falso. Esa parte es la reactancia del circuito; puede ser capacitiva o in ductiva, según que el signo sea negativo o positivo. La parte real, en cambio, es la resistencia. 21. Cierto. Si R y (ja)C)~l son las impedancias resistiva y capacitiva del arre glo en paralelo, la impedancia equivalente es ,
R
1+ja)RC
_
R
■■
1+ co2R2C2 J l + co2R2C2
- R
i
'
coQ
y el resultado puede interpretarse como debido al arreglo en serie de un resistor, de resistencia equivalente, Re, y un capacitor, de capacitancia equi valente Ce. 22. Cierto. Si se aplica (3.21) a una superficie, S, que rodea la armadura positiva del capacitor, en la descarga - dQ/dt = £ / ®dA = £ J p •dA = I, dond e j p es la densidad de corriente en el punto donde S corta el hilo que conec-
482 / Teoría electromagnética
ta la armadura positiva con el resistor, y Sp es el área de la sección recta de aquél. Como el resistor y el capacitor están en serie, la corriente que circula por éstos, de acuerdo con una de las hipótesis de la teoría de circuitos eléc tricos, es la misma. Conviene subrayar, sin embargo, que esa hipótesis es aproximada, pues ignora la corriente de desplazamiento en el hilo, y vale en condiciones cuasiestacionarias; cuando en un alambre conductor la corriente depende del tiempo, aquélla, estrictamente, no puede ser uniforme. 23. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Se deduce de (12.37) que el tiempo requerido para que la carga en el capacitor aumente hasta una fracción dada de.su valor de equilibrio depende de la constante capacitiva de tiempo, t c, la cual aparece en el exponente de la función exponencial y, se gún (12.38), es directamente proporcional a la resistencia del circuito. En consecuencia, la proposición es cierta si al cambiar la batería se modifica la resistencia interna de ésta, y la resistencia del circuito; es falsa, cuando se supone que la batería no tiene resistencia interna. . 24. Falso. Esa expresión no tiene dimensiones de tiempo; la correcta aparece en (12.38). 25. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como al duplicar la resis tencia del resistor se duplica, según (12.38), la constante capacitiva de tiem po, si se considera que en términos prácticos el capacitor llega al equilibrio en 5 tc, la proposición es cierta; falsa, 'estrictamente,.cuando.se observa en (12.37) que el capacitor llega al equilibrio en un tiempo infinito. 26. Cierto. Por su definición —ver (12.38)— esa constante es igual al pro ducto entre la capacitancia y la resistencia del circuito. Si al modificar la ba tería se altera la resistencia interna, cambia la resistencia total del circuito y, por tanto, la constante capacitiva de tiempo. 27. Falso. Inicialmente la corriente tiene dos partes, una depende del tiem po en forma exponencialmente decreciente y la otra oscila con la misma frecuencia de la fuente; después de un tiempo largo la primera desaparece y permanece la segunda. 28. Cierto. Si se supone que el circuito está conectado a una fuente de volta je, V{t), al aplicar en aquél (12.5), (12.29) y (12.32) resultan ■ di Q V = L— + — di C T7
1 dV y ---------
L dt
en consecuencia, co = (LC)
-1/2
d2I + (0*1 dt-
Campos cuasiestacionarios / 4 8 3
29. Falso. Oscila con la frecuencia angular co = {LC)~U~. Como la ecuación diferencial del circuito LC sin fuentes es 0 = Ldl/dt + Qj'C, cuando el capacitor queda descargado la corriente en el circuito pasa por un máximo, pues su derivada es 0; en consecuencia, esa corriente sigue transportando carga a las armaduras del capacitor, las recarga con una polaridad invertida y la oscila ción continúa. 30. Falso. Un circuito LCR es resonante si la frecuencia de la fuente es igual a la frecuencia natural del circuito, cuando éste no tiene resistencia; es decir, cuando co = (LC) 1U. 31. Cierto. En un circuito LCR resonante la frecuencia angular de la fuente es co = (LC)~U~, y la resistencia es despreciable; en tal caso, según (12-39), la amplitud de la corriente en el circuito es máxima porque el denominador es mínimo. 32. Cierto. Cómo en un circuito LCR resonante la frecuencia angular de la fuente es co = (LC)"1/2, la amplitud de la corriente en el mismo y la potencia prom edia en el resistor, calculadas con (12.18) y (12.39), son I0 = VJR y < p > = r i ; - / 2 = v0s]{2R). 33. Falso. El principio de superposición es aplicable a los circuitos eléctricos porque son lineales; es decir, en éstos, las relaciones causa-efecto, entre vol tajes y corrientes, vienen dadas por ecuaciones diferenciales lineales, y al duplicar la causa el efecto se duplica. 34. Cierto. En general, el principio de superposición no se aplica a la poten cia en una red circuí tal; la potencia es. una magnitud no lineal que depende del cuadrado del voltaje o de la corriente.
12.9:Leyes de Kirchhoff en los circuitos magnéticos P r o p o s ic io n e s
1. La primera ley de kirchhoff magnética se basa en la inexistencia de monopolos magnéticos. 2. La suma algebraica de los flujos magnéticos en un nodo de un circuito magnético no es 0. 3. Se supone, para los cálculos en los circuitos magnéticos, que la magnitud de B es uniforme en los puntos de la sección recta de una rama.
4 8 4 /• Teoría electromagnética
4. La segunda ley de Kirchhoff magnética no se basa en la conservación de la energía. 5. La segunda ley de Kirchhoff magnética desprecia la corriente de despla zamiento. 6. El amperaje se mide, en el SI, en weber. 7. Se supone, para los cálculos en los circuitos magnéticos, que la magnitud de H es uniforme en los puntos de una rama. 8. Las leyes de Kirchhoff magnéticas, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, son exactas en condiciones estacionarias. 9. Las leyes de Kirchhoff magnéticas son aplicables a baja frecuencia. S o lu c io n e s
1. Cierto. Es una aproximación de la ley de Ampére-Gauss, y ésta se basa en la inexistencia de monopolos magnéticos. 2. Falso. Es 0 de acuerdo con el enunciado de la primera ley de Kirchhoff magnética; recuérdese, además, que el flujo magnético que emerge del nodo es positivo, y negativo el que ingresa. Sin embargo, si la permeabilidad del núcleo es baja, esa suma no da 0 porque no pueden ignorarse las fugas del 3. Falso. Aunque B no es uniforme en la sección recta de la rama, se supone que la dirección de B es normal a aquélla y el valor medio de la magnitud coincide con el que corresponde al centroide de la misma sección; es decir, Bm= {yÁ)\B»dA, donde B mes la magnitud de B en el centroide de la sección recta, y A el área de ésta. 4. Cierto. La segunda ley de Kirchhoff magnética es una aproximación cuasiestacionaria de la ley de Ampére-Maxwell, y ésta no equivale a una ecua ción de conservación de la energía. 5. Cierto. Como esa ley es una aproximación cuasiestacionaria de la de Am pére-Maxwell —ver (12.48)— sólo se toma en cuenta la corriente libre y no la de desplazamiento* pese a que éstá existe cuando el campo eléctrico depende del tiempo. 6 . Falso.E lam pérajé, défimdó éñX12744j; m erSI se_mide en amperios. 7. Falso. Aunque H no es uniforme en una rama, sí se supone que es tangen te a la línea media de ésta, y el valor medio de su magnitud, uniforme a lo largo dé la rama, coincide con el que corresponde al centroide de la sección
Campos cuasiestacionarios / 4 8 5
.■ rB recta. En tales condiciones (12.44) se convierte en 7 ^ = H • d s - H ml, donde Hm es el valor de H en el centroide de la sección recta y ¿la longitud de la línea media de la rama entre los puntos A y B. Recuérdese que línea media es la que une los centroides de las secciones rectas. 8. Falso. Aunque la segunda ley de Kirchhoff magnética se basa en una aproxi mación cuasiestacionaria de una de las ecuaciones de Maxwell, no puede con cluirse que esas leyes son exactas en condiciones estacionarias; hay otras hipóte sis que deben cumplirse, como la de suponer que la permeabilidad de los materiales del circuito magnético es tan grande que no hay fugas del flujo magnético en éste. 9. Cierto. Esas leyes requieren que las condiciones sean cuasiestacionarias, para poder despreciar las corrientes de desplazamiento y las de remolino, inducidas en los núcleos ferromagnéticos. Debido a la gran permeabilidad de los materiales ferromagnéticos, el efecto piel producido por las corrientes de remolino limita la aproximación cuasiestacionaria hasta frecuencias del or den de kilohercios.
12.10 Reluctancia y permeancia P r o p o s ic io n e s
1. Las unidades de la reluctancia en el SI son [m~2kg-1s2A2]. 2. La reluctancia de un elemento de circuito magnético sólo depende de las propiedades del elemento mismo. 3. Si sé duplicada permeabilidad de una rama en un circuito magnético, se duplica la reluctancia de aquélla. 4. Si la longitud y el área son iguales, la reluctancia de una barra de cobre es mayor que la de una de hierro. 5. Si se reduce a la mitad el área de la sección recta de una rama en un cir cuito magnético, se duplica la reluctancia de aquélla. 6. Si se duplica la longitud de una rama en un circuito magnético, no se du plica la reluctancia de aquélla. 7. Si se duplican el área de la sección recta y la longitud de una rama en un circuito magnético, no cambia el flujo magnético que pasa por esa área. 8. Si se duplica, sin cambiar la geometría, el flujo magnético que cruza una rama en un circuito magnético, se reduce a la mitad la reluctancia de aquélla.
4 8 6 7 Teoría electromagnética
9. La reluctancia de una barra varía, sin cambiar la geometría, con el flujo magnético que la cruza. 10. Si se duplica el amperaje a que está sometida una rama en un circuito magnético, sin alterar la geometría, la reluctancia de ésta cambia. 11. Si en un entrehierro de aire, en un circuito magnético, disminuye el flujo magnético, la reluctancia en aquél incrementa. : 12. Si se duplica el flujo magnético en un entrehierro con aire de un circuito magnético, en aquél se duplica el amperaje. 13. Las unidades de la permeancia en el sistema MKSC son [ms2C2]. 14. La permeancia en un circuito magnético es análoga a la conductancia en un circuito eléctrico. v.y " 15. Las razones respectivas entre el flujo y el amperaje, en las ramas de un circuito magnético, son iguales. 16. Si se duplica el área de la sección recta de una rama en un circuito mag nético, se duplica la permeancia de aquélla. 17. Si la longitud y el área son iguales, la permeancia es mayor .en un trozo de hierro que en un entrehierro con aire. S o lu c io n e s
1. Cierto. En el SI las unidades de la reluctancia pueden obtenerse como la razón entre la unidad del amperaje, medido en [A], y las unidades del flujo magnético, medido en [m2kgs~2A_1]. . . , : 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Para evitar la dispersión del : flujo magnético, las ramas del circuito magnético deben tener grandes per meabilidades y ello exige el uso de materiales ferromagnéticos; en un ele mentó de circuito magnético hecho con estos materiales la reluctancia tam bién depende del amperaje, ya que en los materiales citados no hay una rela ción lineal entre el flujo y el amperaje. Sin embargo, cuando el circuito mag- , nético incluye entrehierros cortos en los cuales el material es lineal, la reluc tancia de aquéllos sólo depende de las propiedades del entrehierro mismo. , 3. Falso. De acuerdo con (12.50) se reduce a la mitad. 4. Cierto. Se sigue de (12.50) que la reluctancia de una barra es inversamen te proporcional a la permeabilidad secante del material, y ésta es mayor en el hierro; es decir, hay mayor oposición al paso del flujo magnético en la barra de cobre.
Campos cuasiestacionarios
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5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es falso, se sigue de (12.50), cuando al cambiar el área de la sección recta de la rama varía también la H que actúa en ésta y, por tanto, la permeabilidad. Es cierto, sin embargo, cuando el cambio en el área no modifica la H de la ráma; el caso se presenta, por ejemplo, cuando el circuito está formado por una sola rama y en ésta, según (12.40) y (12.46), se cumple Hm= NI/l. También es cierto si la rama se forja con un material lineal, porque en éste la permeabilidad no cambia al variar H. 6. Cierto. Se sigue de (12.50) y las explicaciones dadas en la proposición anterior, porque al cambiar la longitud de la rama se modifica también la í f que obra en ésta y, por tanto, la permeabilidad. Sin embargo, sí se duplica la reluctancia cuando la rama se forja con un material lineal, porque en éste la permeabilidad no se altera. 7. Falso. Al modificar la geometría de la rama, cambian también la permea bilidad y la reluctancia de aquélla, pues la rama está forjada con uri material ferromagñético en el cual no hay una relación lineal (B-H); en consecuencia, se sigue de (12.49) y (12.50) que el flujo magnético que pasa por la barra cambia. Sin embargo, la reluctancia y el flujo magnético no varían cuando la rama se forja con un material lineal, porque en éste la permeabilidad ño cambia. v 8. Falso. Si se duplica el flujo magnético qué cruza la barra, sin cambiar la geometría, es porque se duplica la B que actúa en ésta; sin embargo, en un material ferromagñético no hay una relación lineal entre B y la permeabili dad del material, la cual sería necesaria, según (12.50), para que se redujese la reluctancia a la mitad. 9. Cierto! (12.49) no expresa, en una barra ferrom agnética,una relación lineal entre el amperaje y el flujo magnético qúe actúan en aquélla; si el flujo varía en la barra es porque se modifica B, y ello conlleva, por tanto, cambios en la permeabilidad y la reluctancia. Sin embargo, éstas no varían cuando la rama se forja con un material lineal, porque en éste la permeabilidad no depende de B. 10. Cierto. Si se duplica el amperaje que obra sobre la barra, sin cambiar la geometría, es porque se duplica la H que actúa en ésta; en consecuencia, como la barra es ferromagnética, cambian la permeabilidad y la reluctancia. Sin embargo, éstas no varían cuando la rama se forja con un material lineal, porque en éste la permeabilidad no depende de H. 11. Falso. Como su nombre lo sugiere, el entrehierro es un espacio entre el hierro del circuito, por el cual también circula el flujo magnético; puede
4 8 8 / Teoría electromagnética
estar presente como un defecto de construcción, al ensamblar el núcleo, o por conveniencia, para permitir, por ejemplo, el movimiento de una pieza de maquinaria, y normalmente está llenó de aire. Esos entrehierros son li neales y su reluctancia, dada en (12.50), no depende del flujo magnético. 12. Cierto. Se sigue de (12.49) y las explicaciones dadas en la proposición anterior.; ^ ... , 13. Falso. En el MKSG las unidades de la permeancia pueden obtenerse co mo la razón entre las unidades del flujo magnético, medido en [m2kgs_IC_1], y la unidad del amperaje, medido en [s”’C]; unidades que coinciden con las del henrio. >■ > > ; 14. Cierto. Conductancia y permeancia son cantidades que miden la habili dad de un elemento circuital, eléctrico o magnético, para conducir la co rriente eléctrica o el flujo magnético; la analogía se observa al comparar (12.49) con (8.2), y (12.50) con (8.4), en las cuales la corriente eléctrica y el flujo magnético, así como el voltaje eléctrico y el amperaje, son magnitudes análogas. Conviene subrayar una diferencia importante: en los circuitos eléc tricos la conductividad y la conductancia no dependen de E, y en los magné ticos la permeabilidad y la permeancia sí dependen de H. 15. Falso. En una rama, según (12.49), esa razón define la permeancia, y ésta puede variar de acuerdo con la geometría y el material de la rama. 16. -Cierto y falso. De acuerdo con-la explicación..Las razones sorr las_mismas_. que se dieron en la proposición 12.10.5, sin olvidar que, según (12.49), la permeancia es el inverso de la reluctancia. ■ 17. Cierto. Se observa en (12.50) que la permeancia es directamente propor cional a la permeabilidad secante del material, y ésta es mayor en el hierro. Es decir, el flujo magnético circula con mayor facilidad por el hierro que por el entrehierro.
12.11 Circuitos magnéticos P r o p o s ic io n e s
1. El circuito eléctrico es un modelo mejor que el circuito magnético. 2. Los circuitos magnéticos son lineales. 3. El principio de superposición no es aplicable a un circuito magnético.
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4. Los circuitos magnéticos pueden estudiarse con el uso de los teoremas de Thevenin y Norton. 5. Las unidades de la fuerza magnetomotriz en el SI son [mkgs-2]. 6. Si en un circuito magnético hay una sola bobina y se duplica el número de espiras de ésta, la fuerza magnetomotriz se duplica en aquél. 7. Si en un circuito magnético hay una sola bobina y se duplica la corriente de ésta, se duplica el flujo magnético en aquél. 8. Cuando dos ramas de una red magnética están en serie, las cruza el mismo flujo magnético. 9. La B es uniforme en los puntos de una. rama de un circuito magnético. 10. La B de varias reluctancias en serie es igual en todas. 11. La H de varias reluctancias en paralelo es la misma en todos. 12. Si N permeancias están en serie, el recíproco de la permeancia total es igual a la suma de los recíprocos de las permeancias individuales. 13. Si en un circuito magnético en serie se conoce NI, para hallar el flujo magnético se aplican directamente las leyes de Kirchhoff magnéticas. 14. En el interior de un imán permanente, con forma de herradura, B y H tienen sentidos opuestos. 15. Dos ramas están en paralelo en una red magnética cuando se conectan a los mismos nodos. 16. Si N reluctancias están en paralelo, la reluctancia total es igual a la suma de las reluctancias individuales. 17. La dispersión del flujo es menor, en un circuito magnético, cuando se usan materiales ferromagnéticos duros. 18. La potencia disipada por causa de la histéresis en el núcleo de un trans formador es directamente proporcional a la frecuencia. 19. Las corrientes de Foucault son las que circulan en una bobina helicoidal. 20. Las corrientes de Foucault no sólo se inducen en materiales ferromagnéticos. 21. Se lámina un núcleo ferromagnético para reducir las pérdidas de energía por histéresis. 22. Si se duplica el número de laminillas usadas para ensamblar el núcleo de un transformador, que conduce un flujo magnético de la forma W'~ *F0cos
490/
Teoría electromagnética
23. La potencia debida a las corrientes de Foucault en el núcleo de un trans formador, que conduce un flujo magnético de la forma Y = Y 0cosCtít, crece con el cubo de la frecuencia. 24. Las laminillas usadas para disminuir ja pérdida de energía debida a las corrientes de Foucault en el núcleo de un transformador deben estar aisladas. 25. Las potencias en las bobinas primaria y secundaria de un transformador real son iguales. 26. En un transformador ideal se cumple Pp = Ps,. donde los subíndices se refieren a las bobinas primaria y secundaria. 27. En un transformador ideal se cumple N pVf ~ N y s, donde los subíndices se refieren a las bobinas primaria y secundaria. 28. Si el núcleo es de aire, un electroimán no ejerce fuerza magnética sobre una barra de hierro. 29. La fuerza que un electroimán desarrolla sobre una barra de hierro es mayor cuando el núcleo de aquél es de hierro, que si es de aire. S ó lu c io n e s
1. Cierto. La idea central de la teoría de circuitos, eléctricos o magnéticos, es que la corriente eléctrica o el flujo magnético tienden a confinarse en los materiales que forman el circuito; sin embargo, para los circuitos magnéticos no hay materiales que funcionen, a la temperatura ambiente, como aislantes magnéticos, y por ello siempre hay fugas del flujo hacia el entorno. Además, en el Circuito magnético las ramas son cortas y sus secciones rectas no son despreciables; en consecuencia, aquél es, comparado con el eléctrico, un modelo de baja aproximación. 2. Falso. Porque no lo es la relación (B-H) o la existente, en una rama, entre el flujo magnético y el amperaje. 3. Cierto. Porque los materiales ferromagnéticos usados en los circuitos mag néticos son alineales y multivaluados. 4. Falso. La validez de esos teoremas depende de la aplicabilidad del princi pio de superposición y éste no se cumple en los circuitos magnéticos. 5. Falso. De (12.45) se sigue que en el SI la unidad de la fuerza magnetomotriz ésél amperio. .. ...... . ........... •.■6. Cierto. Se deduce de (12.46).
Campos cuasiestacionarios / 491
7. Falso. No hay una relación lineal, en general, entre la corriente en la bo bina y el flujo magnético que circula por el circuito. En algún caso particular, como cuando el circuito está formado por una sola rama, sé deduce dé (12.48) la relación lineal entre la corriente en la bobina y la H en aquél, pero no la hay entre H y B porque el material es ferromagnético. 8. Cierto. Se deduce de la primera ley de Kirchhoff magnética, ya que se desprecian las fugas del flujo. 9. Falso. Varía en la sección recta y por ello se trabaja con el valor medio; se supone uniforme, sin embargo, a lo largo de la línea media de una rama de sección uniforme. 10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como el flujo magnético de las reluctancias en serie es el mismo, la proposición es cierta cuando las secciones rectas de las ramas tiénen igual área; falsa, en caso contrario. 11. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como el amperaje de las reluctancias en paralelo es el mismo, la proposición es cierta cuando las lon gitudes de las líneas medias de las ramas son iguales; falsa, en caso contrario. 12. Cierto. Al estar en serie las permeancias, P¡, el flujo magnético que las cruza es el mismo, y la pei'meancia total, P„ calculada con (12.49), vale » = A’
.
.
.
...
................... /
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•
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K. . . . . ¿ iJP > =)
13. Falso. Éste es un problema circuital en el que la solución se obtiene me diante procedimientos gráficos, o con tanteos a partir de una primera solu ción, que se mejora por aproximaciones sucesivas para satisfacer las leyes de Kirchhoff. Si se usa el tanteo, puede iniciarse el problema al asignar una fracción alta de NI a la rama menos permeable, o un valor entre 0 y 2 [T] a la 8 de una de las ramas; el cálculo se suspende cuando la ecuación de verifi cación escogida se satisface con un error máximo del 5%. 14. Cierto. Si el imán de herradura se considera parte de un circuito magné tico que tiene un entrehierro con aire, al aplicar (12.48) en éste resulta Hala+ í/,i. = 0, donde la fuente de la fuerza magnetomotriz es el imán, l„ y l¡ son las longitudes medias del entrehierro y el imán, y los subíndices a. e i denotan, respectivamente, el aire y el imán. Como la expresión anterior in dica que i í tiene signos opuestos en el imán y el entrehierro, y se sabe que B tiene el mismo signo en ambos, ya que en un circuito serie el flujo magnético es uniforme, se concluye que la proposición es cierta. En general, en el inter ior de un objeto magnetizado se establece un campo desmagnetizante, en el
492 / Teoría electromagnética
cual B y H tienen sentidos opuestos; el tema se consideró en el artículo 9.0.29 y en la proposición 9.7.27. 15. Cierto y falso. Es cierto, y el amperaje es igual en ambas, tomando en cuenta las hipótesis adoptadas al definir ese amperaje con (12.44), si las ra mas no son enlazadas por las espiras de una bobina; falso, en caso contrario. 16. Falso. Al estar en paralelo las reluctancias, R¡, el amperaje entre sus ex tremos es el mismo, y la reluctancia total, calculada con (12.49), vale
17. Falso. Es menor cuando se usan materiales ferromagnéticos blandos; éstos son mejores conductores del flujo, ya que su permeabilidad es mucho mayor que la de los duros. 18. Cierto. La energía disipada debido a la histéresis, por unidad de volu men del transformador y en cada ciclo, es igual al área limitada por el bucle de histéresis; por tanto, la potencia disipada es directamente proporcional a la frecuencia. 19. Falso. Son las que se inducen en un conductor cuando en su interior el campo magnético varía con el tiempo. 20. Cierto. Pueden inducirse en conductores no ferromagnéticos, como se explicó en la proposición anterior. 21. Falso. Los núcleos ferromagnéticos se construyen con laminillas aisladas no sólo para facilitar el ensamblaje y el embobinado, sino para disminuir la pérdida de energía debida a las corrientes de Foucault. 22. Cierto.- Se sigue de (12.51). 23. Falso. Crece con el cuadrado de la frecuencia, como se advierte en (12.51). ' 24. Cierto. Deben estar aisladas para impedir que las corrientes de Foucault pasen de una a otra; el efecto de la laminación del núcleo es el de interrum pir los caminos de la corriente autoinducida en el interior de aquél y hacer los más cortos, para reducir la resistencia eléctrica. 25. Falso. La potencia es mayor en la primaria porque hay pérdidas, origi nadas fundamentalmente en cuatro factores. El primero es .la dispersión del flujo; debida a que no hay aislantes del campo magnético y a los entrehierros dejados durante el ensamblaje del núcleo; el segundo es la pérdida de ener gía en los devanados de las bobinas, ocasionada por el efecto Joule; el ter-
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Figura 12.18 Transformador. Bobinas primária y secundaria en un transformador; el circuito magnético conduce el flujo magnético desde la primaria hasta la secundaria e induce en ésta una corriente y un voltaje.
cero es el calentamiento en el núcleo, producido por la histéresis ferromagnética; el cuarto es la pérdida de energía en el núcleo, provocada por la circula ción en éste de las corrientes autoinducidas o de Foucault (véase figura 12.18). 26. Cierto. En el transformador ideal se supone que no hay pérdidas de ener gía; por tanto, son iguales las potencias en ambas bobinas (véase figura 12.18). 27. Falso. En el transformador ideal se cumple N sVp = N pV¡} debido a que el voltaje inducido en una bobina, según la ley de Faraday-Henry, es directa mente proporcional al número de sus espiras y al flujo magnético que con duce el núcleo, y a qué el circuito magnético lleva a las bobinas primaria y secundaria un flujo magnético igual (véase figura 12.18). 28. Falso. El electroimán, al paso de la corriente por la bobina, produce un . campo magnético que obra sobre el hierro, lo magnetiza, y atrae. 29. Cierto. Porqué cuando el núcleo es de hierro, el campo magnético que produce el paso de la corriente por la bobina presenta, para valores iguales de H —que depende directamente de la corriente— un mayor valor de B, debido a la mayor permeabilidad del hierro; en consecuencia, en este caso la fuerza que el electroimán desarrolla es mayor.
Líneas de transmisión En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen líneas de transmisión formadas por dos conductores cilindricos y sin resistencia; medios materiales: descargados, homogéneos, isotrópicos y lineales, de parámetros e, g y % los cuales se suponen independientes de la frecuencia; régimen permanente en el tiempo de tipo senoidal y condiciones cuasiestacionarias.
13.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Transmisión de.la energía. La civilización actual se nutre de energía; ésta mueve las máquinas, iluminada noche, transporta y”comunica ala s:personas,” y permite almacenar y manejar ingentes cantidades de información, para centuplicar las fuerzas física y mental, y la imaginación del ser humano. En la antigüedad la humanidad empleó la energía de los animales domésticos y aprovechó la del viento, el agua y los combustibles que conoció. El primer avance relevante se logró con la máquina de vapor, pero aunque el uso de la energía incrementó, siguió siendo ineficiente, localizado y requirió de gran des instalaciones para almacenar y quemar el combustible. Fuentes de ener gía como las caídas de agua eran poco aprovechadas y la energía no estaba a la disposición de todos. Para lograr que, en todo el mundo, la energía se utilice desde una toma de corriente, de donde cualquiera extrae la necesaria para iluminar, calentar, cocinar, mover las máquinas o recrearse, fue necesa rio inventar, con base en el conocimiento de las leyes de la naturaleza, diver sos sistemas para llevar la energía desde la fuente hasta el usuario. 2 . Formas de transm itir la energía electromagnética. Entre dos puntos, A y B, la energía electromagnética puede transmitirse en forma guiada cuando los puntos están unidos, físicamente, por dispositivos que pueden ser conducto res o dieléctricos; en este caso, las configuraciones geométricas de los dis-
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Figu ra 13.1 Transmisión de la energía. Entre los puntos A y B la energía puede transmitir se en forma guiada, como ilustra (a), conectándolos Con un dispositivo conductor o dieléc trico; o en forma radiada, según se observa, en (b), donde una antena emite energía ai espacio y parte de la misma es captada por otra.
positivos tienen el propósito de guiar las ondas electromagnéticas y el flujo de energía a lo largo de las superficies, y si hay cambios en las direcciones de éstas, dentro de límites razonables, las ondas siguen las nuevas direcciones (véase figura 13.1); La energía electromagnética también puede transmitirse por radiación a través del espacio, desde una antena en A que emite ondas electromagnéticas y energía que viajan por el espacio con la rapidez de la luz, y. parte de las cuales son captadas por otra antena puesta en B, donde inducen corrientes y voltajes (véase figura 13.1). La primera forma de trans mitir energía enlaza un receptor a un emisor, con poca dispersión de aqué lla; en la segunda, en cambio, la emisión de energía es captada por infinidad de receptores, pero con baja intensidad y gran dispersión. 3. Modo TEM. Las líneas de transmisión y las guías de onda son ejemplos de dispositivos que permiten transmitir energía en forma guiada. Las primeras, además, pueden realizar la transmisión mediante ondas' electromagnéticas transversales, o modo de propagación TEM, en el cual E y H carecen de com ponentes en la dirección en la que viaja la onda; este modo es exclusivo de las líneas y puede propagarse sin restricciones en la frecuencia, incluso desde la frecuencia 0. 4. Modos TE y TM. Las guías de ondas, y también las líneas de transmisión, pueden transmitir energía mediante la propagación de modos TE y TM. En los primeros, E carece de componente en la dirección en la que viaja la on da, y H sí la tiene; en los segundos, H carece de componente en la dirección en la que viaja la onda, y E sí la tiene. Estos modos tienen restricciones en frecuencia, ya que se atenúan por debajo de una frecuencia mínima o de corte bastante alta.
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Figura 13.2 Líneas de transmisión. Ejemplos de líneas de transmisión Uniformes de dos conductores; línea coaxial en (a), de alambres paralelos en (b), de un hilo y el plano de tierra en (c), y de microcintas en (d). Las figuras (e) y (fj ilustran geometrías arbitrarlas.
5. Línea de transmisión ideal. La línea de transmisión es un dispositivo for mado por dos o más conductores, de dimensiones transversales muy pequeñas comparadas con la longitudinal, y cuyo objetivó es conducir una energía elec-'■ tromagñética desde un generador hasta una carga (véase figura 13.2). Las ecuaciones de la línea de transmisión ideal se basan en las siguientes hipótesis: a. La línea está formada por dos conductores cilindricos y paralelos. b. Los conductores de la línea son perfectos. c. La región existente entre los conductores tiene un material lineal, descar gado, homogéneo e isotrópico, de parámetros £, g y /i. d. La energía se transmite mediante modos TEM. 6. Ecuaciones deLmodo TEM „en la línea ideaL Si-s_e. adopta como dirección de la línea de transmisión la del eje Z, en la región que hay entre los conduc tores de la línea ideal se cumplen, deducidas de las ecuaciones de Maxwell,
Línea de transmisión
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Vr • £ r = O y Vr vx £ r = <0
(13.1)
Vr • H r = O y Vr x H r = O
(13.2) ( i3 .3 ) ;
donde el subíndice T indica que los vectores respectivos son transversales; es decir, no tienen componentes en la dirección de propagación Z. Con respec to al operador transversal, Vr, (13.1) y (13.2) muestran que ET y. H T son irro tacionales y solenoidales en todo instante, en cada uno de los puntos de una sección recta de la línea; existen en la sección, entonces, potenciales escala res eléctrico y magnético, que satisfacen la ecuación bidimensional de Laplace y por medio de los cuales se determina cómo dependen ET y H T de las coordenadas transversales de la línea. Al resolver (13.3), en cambio, se averi gua cómo dependen Er y H T de las variables z y t. 7. Condiciones de frontéra del modo TEM en la línea ideal. En las interfaz ces de los conductores perfectos de la línea ideal y la región de propagación del modo TEM, se'satisfacen las siguientes condiciones de frontera: V » £ r = - e i „ x £ r ='0 :
(13.4)
¿•••Hr = 0.e Í 'X H t = K
(13.5)
donde a y K son las densidades de carga y corriente en las superficies de los conductores, e es el versor normal a éstas, el cual está orientado hacia la región de propagación (véase figura 13.3). 8. Voltaje y corriente en la línea, ideal. Si P] y P, son sendos puntos ubica dos sobre los dos conductores que forman la línea ideal, en una sección recta arbitraria de la misma, el voltaje de línea se define con ' v(z,t) = ^ E T »ds
(13.6)
donde la integral de línea se evalúa sobre una curva contenida enteramente en la misma sección recta. La expresión anterior tiene un valor único y defi ne una magnitud física, propia de cada sección recta de la línea, debido a que no depende de la trayectoria usada para ir del punto Pj al P2, ni de las posiciones de éstos puntos (véase figura 13.4). En la misma sección recta, la corriente de línea se define con
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Teoría electrom agnética
Figura 13.3 Condiciones de frontera en líneas. Los conductores de la línea son perfectos y, por ello, dentro de éstos, ET = 0 y HT = 0 ; con base en lo anterior se deducen las condiciones de frontera en las interfaces. Los versóres/„ salen de los conductores hacia la región de propagación.
i(z,t) = j 'H T *ds .
(13.7)
donde la integral de línea se evalúa sobre una curva, c, que rodea uno de los conductores y está contenida enteramente en la sección recta. La ecuación anterior también tiene un valor único en cada sección y define una magnitud física, debido a que no depende de la curva usada en tanto ésta enlace uno de los conductores; es igual a la corriente total que, distribuida por la super ficie de un conductor con una densidad K, circula en dirección del eje Z (véase figura 13.4). Cuando la curva, c, rodea el otro conductor de la línea, el valor de (13.7) cambia de signo; es decir, la propagación del modo TEM a lo largo de la línea exige que los cilindros lleven, en cada sección recta, co rrientes de iguales magnitudes y sentidos opuestos. 9. Intensidades normalizadas del campo en el modo TEM de la línea ideal. Las intensidades normalizadas de los campos eléctrico y magnético, eT y hT, se definen con - - --..—..—- - ----- - .......... ..--- ----------r ._.-------------Er (r7., z,l)= eT(rr )y(z,/) y H r(rT,z,t) = hT(rT)i(z,t)
(13.8)
Línea de transmisión / 4 9 9
,(a)
z = dado
(b)
Fig u ra 13.4 Voltaje y corriente de línea en una z arbitraria de la línea. En (a), los puntos Pj, P2, P3 y P4, y los trazos que conectan Pv a P2, y P3 a P4 están en la misma sección recta; los voltajes P4-P2 y P3-P4, son iguales. En (b),, las curvas c4 y c2 encierran el conductor interior, están en la misma sección recta y ambos enlazan corrientes ¡guales; a-c.y b-c son, caminos muy cercanos para conectar las curvas c, y c2 y formar la curva cerrada abcda, que no enlaza corrientes en modos TEM.
donde rT indica la dependencia de las coordenadas transversales en una sec ción recta de la línea; dichas intensidades son vectores transversales, depen den sólo de las coordenadas transversales dé la línea, tienen iguáles dimen siones, que en el SI se miden en [m-1], y cumplen J^‘er ®ds = 1 y J hT»ds = 1
(13.9)
en las cuales las trayectorias de integración están contenidas enteramente en la sección recta. 10. Parámetros de la línea ideal. El campo electromagnético en el modo TEM induce cargas y corrientes sobre las superficies de los conductores de la línea ideal, y corrientes transversales, de fuga, que cruzan la región, de con ductividad g, desde uno de los conductores hasta el otro (véase figura 13.5); ello permite definir la capacitancia, la conductancia y la autoinductancia por unidad de longitud de la línea, respectivamente, con : , C =
dG dC l = — = ef.(i x e T)»ds y Gz = Je ' ' dz dz fi
1 dlj = g§ [iz x eT)®ds v dz
(13.10)
5 0 0 / Teoría electromagnética
Figura 13.5 Segmento dé línea ideal, de longitud dz. Las cargas y corrientes inducidas por los campos TEM en los cilindros tienen efectos capacitivos e inductivos, y hay una corriente transversal de fuga. Los diferentes efectos permiten definir la capacitancia, la inductancia y la conductancia de línea por unidad de longitud. El versor /„ es normal al conductor interior, /, es tangente al mismo en la Sección recta, /Yes tangente a la curva PjP2 e / wes normal a la mis ma y está en el plano de la sección.
L = dLj_dA ^
,
dz
i dz
xA
( i 3. l i )
Jp'
donde el subíndice T indica que las magnitudes aludidas son transversales. En la iínea ideal, esos parámetros cumplen gCz = eGc y L fiz = /te
(13.12)
11. Ecuaciones de la línea ideal. En la línea ideal, el voltaje y la corriente de línea cumplen dv dz
di
di
z dt ^ dz
(13.13)
12. Línea real. Las explicaciones y ecuaciones de los artículos anteriores se refieren á da- línea de-transiñisión-idealy-la cual-está-formadá por-eilindrosperfectamente conductores. En la práctica, sin embargo, los conductores utilizados tienen conductividades altas pero no infinitas y, por ello, la co rriente penetra dentro de los mismos, más o menos, de acuerdo con la fre-
L ín ea de transmisión
/ 501
cuencia. Este efecto da lugar a una componente z de £ dentro de los conduc tores y en la región de propagación, por causa de la ley de Ohm y la conti nuidad en la interfaz de la componente tangencial de E. En consecuencia, el modo de propagación ya no es TEM ni son exactas las ecuaciones anteriores. Deducir y resolver las ecuaciones de la línea a partir de las de Maxwell, cuan do la corriente penetra los conductores de aquélla, es complicado y no vale la pena seguir ese camino. La alternativa consiste en suponer que la línea de transmisión real es una red circuital de parámetros distribuidos, y estudiarla con base en la teoría de circuitos eléctricos. 13. Ecuaciones de la línea real. La línea real puede considerarse una red escalonada de circuitos repetidos, y parámetros distribuidos, que toma en. cuenta los efectos capacitivo, inductivo, conductivo y resistivo. Al estudiar un segmento de línea, de longitud A z, a partir de una posición arbitraria, z, se observa que en éste el voltaje de línea cambia debido al equivalente en serie de un resistor, de resistencia R zA z, y un inductor, de inductancia L .A z; y la corriente de línea varía debido al equivalente en paralelo de un resistor, de conductancia G .A z, y un capacitor, de capacitancia CzA z (véase figura 13.6). Al aplicar las ecuaciones de la teoría de circuitos al segmento de línea, de longitud A z, considerado como un circuito típico, y pasar al límite, se obtie nen las ecuaciones de la telegrafía: dv
di
di
^ dv = - G .v - C ,— di
(13.14)
v:
B z\
(13.15)
Las expresiones (13.14) y (13.15) corresponden a la línea real, considerada como una red de circuitos distribuidos , y son aplicables en condiciones cuasiestacionarias; es decir, cuando la longitud de onda de los campos electromag néticos propagados es mucho mayor que las dimensiones transversales de la línea. 14. Ecuaciones de la línea en el dominio de la frecuencia. Cuando la fuen te de la energía que transporta la línea varía en el tiempo en forma senoidaly con una frecuencia única, los voltajes y corrientes de línea en todos los puntos, después de concluida la etapa transitoria, también varían en el tiem po en forma senoidal y con la misma frecuencia de la fuente. Tal situación permite definir, como en (12.1), del voltaje y la corriente de línea, v{z, t)=
Re{F(z>^'} e i(z, ¿)= Re{/(z>^'}
(13.16)
5 0 2 / Teoría electromagnética
■Az -
i fe t) + j
¡(z + Az, t)
i+
Lz Az Rz Az Gz Az Cz Az
v(z,t)
'■fe t)
v (z, t)
II’_■ 1/ (2 + Az, f) z + Az
i + Ai ' fe
7(z + Az, t)
~pCz Az Gz Az< v + Av
'fe- O
(a) 'rnmn-^wv
(b)
/T¡n¡T^Wv
dmnr^yvv
^z Az
Az
Az (C)
Figura 13.6 Modelo.circuital, distribuido, de una línea rea!. En (a) se obsen/a un segmento de línea, de longitud Az, que tiene ¡nductancia, resistencia, conductancia y capacitancia, y se representa circuitalmente en (b). Én el segmento, el voltaje y la corriente de línea cambian en A v y Ai. En (c) se muestra la línea como un circuito distribuido, en el que se repite monótona mente el módulo básico.
los fasores V_(z) e I(z), para estudiar el comportamiento de la línea en el do minio dé la frecuencia. Esos fasores son cantidades complejas, lo que se re cuerda con las subrayas, dependientes de la posición a lo largo de la línea. Al sustituir (13.16) en (13.14) y (13.15), se obtienen las ecuaciones fasoriales de la línea: — •
az
(K ,-/«> l.,)/y
(13.17)
r'r "
(is.i8 )
-
Y_ = a + jP = [(l?, +jo)Li )(Gz+jcoC¡)]12
(13.19)
dónde y es una cantidad compleja, llamada constante de propagación, de partes real a e imaginaria j3, las cuales se llaman, respectivamente, constan tes de atenuación y fase, y en el SI se miden en [m-1].
L ín ea de transmisión / 5 0 3
Figura 13.7 Onda sencilla de amplitud modulada. Un punto, P, sobre la onda, de fase cons tante, viaja con la velocidad de fase, vF, y un punto, P', sobre la envolvente, viaja con la velo cidad de grupo, ye.
15. Constantes de atenuación y fase en la línea. Al elevar al cuadrado (13.19), separar las partes real e imaginaria de la ecuación resultante, y des pejar a y P, se encuentran L 1/2
a
1 [(RZGZ2
e
1 ((o2L.G -R .G z) + (r 2+ cú2L : ) /2(Gz2+a f C ; f 2
cú-L.C:)+(r z2 +
(13.20)
: ) n ip ; + co2CzT 1/2
(13.21)
16. Solución de las ecuaciones fasoriales de la línea. Las soluciones de (13.18) son V{z) = v y 1'- +v_eíl
(13.22) (13.23)
2. donde V+ y V- son constantes de integración, complejas y arbitrarias, que se calculan con base en las condiciones de frontera, y Z„=:
R z +jú)Lz G. +jcüC.
•— 11/2■ (13.24)
es una cantidad compleja, llamada impedancia característica de la línea, que en el SI se mide en [Q].
504' /
Teoría electromagnética
17. Velocidad de fase. El voltaje y la corriente de línea, obtenidos a partir de (13.22) y (13.23), están formados por ondas viajeras “más” y “menos” que se propagan con iguales velocidades de fase, respectivamente, en el sentido positivo del eje Z y en el opuesto. La velocidad de fase y la longitud de onda de una de las anteriores se calculan con ^ = A/ =!
(13.25)
Esa velocidad es igual a la de un observador que se mueve a la par de un punto de la onda que tiene fase constante (véase figura 13.7). 18. Ondas “estacionarias”. Guando el voltaje y la corriente de línea están formados por ondas viajeras “más” y “menos”, que tienen amplitudes iguales y se propagan con velocidades de fase también iguales, respectivamente, en el sentido positivo del eje Z y en el opuesto, la onda resultante se conoce como “estacionaria”; mal llamada así, ya que involucra funciones dependien tes del tiempo. En éste tipo de onda compuesta, que se presenta en líneas sin pérdidas en las que G' = 0 y R. = 0, un punto de aquélla, de fase constante, no viaja a lo largo del eje Z, y los nodos están en reposo; la vibración es se mejante a la de una cuerda de guitarra pulsada. 19. Velocidad de grupo. La velocidad de fase, dada en (13.25), depende de la frecuencia, según (13.21), y por ello la linea. es dispersiva. Es decir, si un pulso con varias componentes en frecuencia ingresa a la línea, cada compo nente se propaga con diferente velocidad de fase y aquél se dispersa al reco rrer la línéa; no tiene sentido, entonces, hablar de la velocidad de fase del pulso. Sin embargoj cuando la dispersión de las frecuencias componentes del pulso alrededor de una frecuencia dominante es relativamente pequeña, de ntro de la banda de frecuencias de interés, la velocidad de grupo, definida Con d(ú
(13.26)
representa, aproximadamente, la velocidad de la onda compuesta (véase figura 13.7). 20. Línea sin distorsión de Heaviside. Guando una línea réal transmite una señal cuya dependencia del tiempo es arbitraria, la señal se distorsiona. Tal -desfiguración tiene dos aspectos-=examínense (Í3.20);y (-13.21^^—¿:_una alte ración de la fase, debida a las diferentes velocidades de fase de cada compo nente en frecuencia, y otra de la atenuación, ocasionada por los distintos a de esas mismas componentes. Sin embargo, cuando los parámetros de la línea están relacionados según
Línea, de transmisión / 5 0 5
Figura 13.8 Significado de la imp'edancia de línea. Línea de transmisión, de longitud I, origen en la carga y generador en z = -/. En un punto arbitrario de la lí nea existen V(z) e /(z), y Z(z) es la ¡mpedancia que, en ese punto, se 'Ve”; es de cir, Z(z) es la impedancia equivalente al tramo de línea que va desde el punto ar bitrario hasta la carga.
(13.27) la constante de atenuación y la velocidad de fase valen ú=
" •
(13.28)
Cantidades que no dependen de la frecuencia, y donde la línea propaga la señal arbitraria sin distorsionarla; tal caso se conoce como línea sin distor sión de Heaviside. Aunque los parámetros circuitales de la línea dependen de la frecuencia, especialmente Rz y Gz, la variación con ésta es despreciable a baja frecuencia o en un pequeño intervalo de altas frecuencias, casos que son los de mayor ocurrencia. Por tanto, en el análisis se supone que los pa rámetros no dependen de la frecuencia. 21. Im pedancia de línea. La impedancia de línea, Z(z), en un punto arbitra rio de la misma, es igual a la razón, evaluada allí, entre los fasores de voltaje y de corriente: m m
Z0
v y - +V_e--1 v +ex - v y - z
(13.29)
Su significado físico corresponde al de una impedancia de entrada, o impe dancia equivalente, del tramo de línea que se extiende desde el punto arbi trario hasta la carga, incluida ésta, y que se “ve” desde aquel punto (véase
5 0 6 / Teoría electromagnética
figura 13.8). Es decir, si imaginariamente se corta la línea en un punto arbi trario, de posición z, Z(z) es la impedancia que se debe conectar entre los conductores de la línea para que V(z) e /(z) no cambien entre el extremo de generación y el punto de corte. 22. Coeficiente de reflexión del voltaje. El coeficiente de reflexión del vol taje, r(z ), en un punto arbitrario de la línea, es igual a la razón, evaluada allí, entre los fasores de voltaje de las ondas “ménos” y “más”, también 11amadas ondas reflejada e incidente: r ( z)
=
I
/
é **2ÍH
-
(13.30)
donde el coeficiente de reflexión en la carga, de magnitud | £ | y fase Qe, es V L ,= L ( 0 ) = ^ - | £ , k ' '
(13.31)
La magnitud de £ (z) en la carga informa sobre la razón, allí, entre las mag nitudes de los fasores de voltaje en las ondas reflejada e incidente, y decrece exponencialmente desde la carga hasta el generador; mientras que la fase de £(z) indica el desfase entre ambas ondas en un punto arbitrario de la línea. 23. Relaciones entre Z(z) y £(z). Al combinar (13.29) y (13.30)) se hallan i i
(13.32)
~D- -....
(13.33)
En la carga, donde la impedancia de carga es Z, y el coeficiente de reflexión es £ , se cumplen i+r r é.c +é.o
1-r
(13.34)
De (13.34) se deduce que no hay onda reflejada en la línea cuando las impedancias de carga y característica son iguales. El efecto físico sobre la linea de una carga pasiva de impedancia Z c es actuar como reflector, devolviendo una fracción, dada por £ c, de la onda incidente. 24. Potencia de línea en el dominio del tiempo. La potencia electromagné tica, "p(z, t), que fluye desde el generador hasta la carga de una línea de
Línea de transmisión / 5 0 7
transmisión, se denomina potencia de línea y, en un punto arbitrario de ésta, vale p(z,t)=v(z,t)i{z,t)
(13.35)
Expresión semejante a la de la potencia aportada a un elemento circuital. La variación de la potencia de línea, a lo largo del eje Z de una línea real, se calcula con 1 dp _ = (R f+ G zv-) +- — L . Í + — C.V dz ' d t {2 ' 2
(13.36)
Ecuación que puede interpretarse, para la línea de transmisión, como el teo rema de Poynting en el dominio del tiempo. 25. Potencia de línea en el dominio de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia, cuando (13.16) define los fasores del voltaje y la corriente de línea, la potencia de línea en la línea real y el promedio de esta potencia en un período, pueden expresarse así: p(z,t) = Í R e { E W / * W
} + |R e { E f r ) ^ y ’" }
< p{z, t)> = J Jor P(z’l ) d t = | Refc(z)l* (^)} = Re{f(z)}
(13.37) (13.38) (13.39)
donde P(z) es la potencia compleja de línea; á la parte imaginaria de ésta, Q{z), se la denomina potencia reactiva. La variación de P(z) a lo largo del eje Z se calcula con dP_ dz
(13.40)
Ecuación que puede interpretarse, para la línea de transmisión, como él teo rema de Poynting en el dominio de la frecuencia. 26. Pérdida de potencia en la transmisión. Al integrar (13.40), desde el generador hasta la carga de la línea, y tomar la parte real de la expresión resultante, se encuentra la potencia media disipada durante la transmisión en una línea real:
5 0 8 / Teoría electromagnética
Figura 13.9 Plano r . Representación en el plano complejo del ¿Xz) de una línea; con pérdi das, en (a), y sin pérdidas, en (b). Los puntos de la curva punteada, espiral en (a) y circular en (b), corresponden, desde la carga, a los valores de JT(z) a ío largo de la línea. Obsérvese que los giros en el sentido de las manecillas del reloj, en el plano■£, representan movimientos hacia el generador, en la línea.
< f t > = < M - / .') > - < ? ( 0 ,í ) > = Í £ ( « .a ’ +G,lK|! ) *
. <13,41)
donde el origen de coordenadas se supone en la carga. 27. Potencia compleja en una línea sin pérdidas. En una línea sin pérdidas, la magnitud del coeficiente de reflexión es uniforme y la potencia compleja está dada por 1
(13.42)
donde el prefijo, Im, que antecede la llave, informa que debe tomarse la parte imaginaria de £(z). 28. Plano ij(z). En cada punto de una línea real hay un valor de £(z), dado por (13.30) y donde se supone que el origen de coordenadas está colocado en la carga, que puede representarse, a su vez, como un punto en el plano de los números complejos; plano en el cual los ejes horizontal y vertical Corres ponden,respectivam ente, a las partes real e imaginaria de F(z). En el plano £ puede ubicarse en forma polar, conociendo la magnitud, | r c|, y la fase, 6C, el punto que representa el coeficiente de reflexión en la carga de la línea; al variar z en la línea, desde la carga hasta el generador, el punto que en el plano £ representa el coeficiente de reflexión en la carga describe una curva,
Línea de transmisión / 5 0 9
en el sentido de las manecillas del reloj, con la forma de una espiral decre ciente, debido a que |F(z)| disminuye exponencialmente al aumentar j z | . Al variar z en la línea, desde el generador hasta la carga, el punto que en el plano complejo representa a £1(z) recorre la curva mencionada en el sentido contrario a las manecillas el reloj. Cuando la línea no tiene pérdidas, la cur va descrita en el plano T es una circunferencia de radio |T C|, ya que, en tal caso, |7j(z)| no depende de z; recorrer completamente la circunferencia, un giro de 360°, corresponde a un cambio de z, en la línea, igual a A/2 (véase figura 13.9). ' fvv; 29. Plano Z(z). La impedancia de línea, Z(z)= R(z)+jX(z), —donde R(z) y X(z) son la resistencia y la reactancia de línea— puede representarse como un punto en el plano de los números complejos en el que los ejes horizontal y vertical corresponden, respectivamente, a las partes real e imaginaria de Z(z). Para una posición en la línea, definida por un valor de z, hay sendos puntos de los planos Z y £ cuyas coordenadas, partes reales e imaginarias, están relacionadas con (13.33); esta ecuación permite hallar, en el plano £ , la imagen de un punto, del plano Z, y efectuar una transformación conforme entre ambos planos complejos. 30. Patrones de onda estacionaria. En una línea cuyas impedancias de carga y característica son iguales, se propaga una onda viajera pura; para cualquier otra carga coexisten en la línea ondas, incidente y reflejada, de frecuencias idénticas, también llamadas ondas “más” y “menos”, las cuales se interfieren mutuamente, y dan lugar a una onda compuesta que viaja con velocidad no uniforme y tiene una envolvente estacionaria. Las magnitudes de los fasores del voltaje ó de la corriente, en la onda compuesta, tienen máximos y míni mos repartidos periódicamente, de acuerdo con la longitud de onda, a lo largo de la línea (véase figura 13.10). Esas magnitudes son funciones de z, y sus gráficas constituyen lo spatrones de onda estacionaria-, patrones indispensa bles para obtener experimentalmente magnitudes como /?, A. £ y Zf. 31. Patrones de onda en líneas sin pérdidas. En líneas sin pérdidas, o con pérdidas despreciables, es 0 la constante de atenuación, ce, y real la impedaricia característica de la línea, Z0; en tal caso, las magnitudes de los fasores del voltaje y la corriente de línea, obtenidas a partir de (13.22), (13,23) y (13.30), son ■
\K(z) = jF jl + T(z)¡ = !í £ ¡ 1+ | r k '!e- 2Wi|
(13.43)
|7(z)| = J=J-|1 - ü(z)¡ = J=J-|l ¿O *^0
(13.44)
real, eri (a), y sin pérdidas, en (b). La magnitud de Y(z) oscila entre dos curvas envolventes, y los puntos de contacto con éstas determinan máximos y mínimos de esa magnitud; entre dos contactos consecutivos con una de aquéllas la distancia es A/2, y entre la carga y el primer mínimo del voltaje la distancia es dm¡„.
Puesto que \V+\ y Z0 son uniformes, los patrones de onda del voltaje y la corriente dependen de la variación con | z| de los factores 11 ± Hz) | ; esa dependencia es oscilatoria y los factores varían, con un período de A/2, entre máximos y mínimos uniformes a lo largo de la línea, los cuales están dados por |l ± jT (z)|^ = (l + \£_c\) y |l ± r ( z ) m¡it = (l - | r . |). La amplitud de las oscilaciones del patrón de ondas es, entonces, uniforme, y las envolventes de éste, en el caso, presente, son dos rectas paralelas al eje horizontal (véase figura 13.10). 32. Máximos y mínimos de los patrones de onda en líneas sin pérdidas. Los patrones de onda estacionaria, del voltaje y la corriente de línea, se pa recen, en una línea sin pérdidas, a una onda senoidal rectificada; tienen mí nimos puntiagudos y bien definidos, máximos redondeados, separados A/4 de los anteriores, y un período de A/2, que corresponde a.la distancia entre dos mínimos consecutivos. Los máximos y mínimos (véase figura 13.11), y la dis tancia entre la carga d é la línea y el prim er mínimo del patrón de voltaje, son: -... T -fe M L l ^ = | ^ ( l +|£ .|) e |/^ i,= |l( l- |r ,|)
.. .
(13.46)
Línea de transmisión / 511
n A.
Figura 13.11 Deducciones en el plano r[z). La figura ilustra el comportamiento de los facto res 11 +U.z)\ y■II -F(z)\, de una línea sin pérdidas, en el plano r. El punto que representaT(z) recorre una circunferencia de radio l£cl, y al cortar el eje real, donde su fase vale Ó o ^. de termina los valores máximo y mínimo de aquéllos. Obsérvese que cuando un factor es máxi mo e¡ otro es mínimo.
d_:.. =
( 6r +rt
(1S.47)
An
33. ROEV. La razón de voltajes en la onda estacionaria, ROEV de acuerdó con sus iniciales, es igual a la razón entre los valores máximo y mínimo de \V(z) | en el patrón de ondas estacionario de una línea sin pérdidas; vale ROEV
l + |Cv| , para 1< ROEV < °°
(13.48)
34. Ayudas gráñeas para líneas. Resolver un problema de líneas con base en las diferentes ecuaciones numeradas en este capítulo tiene algunos inconve nientes; por una parte, las operaciones con cantidades complejas son tedio sas, y, por otra, después de concluir los cálculos no es fácil apreciar cómo, varían los resultados al cambiar algún dato, por falta de una visión global del problema. Para sortear esos inconvenientes se han diseñado diferentes nomo gramas, como ayudas gráficas para el cálculo, con cuyo uso no varía sensible mente la exactitud de los resultados. Los nomogramas tienen formas y usos diferentes, y son aplicables a líneas reales o á líneas sin pérdidas; entre aqué llos el más usado es la carta de Smith, apropiada para resolver problemas de
Figura 13.12 Carta de Smith en coordenadas de impedancia. La carta está formada por la intersección de dos familias dé circunferencias que corresponden a valores uniformes de r o de x. A la gráfica se ie adicionan escalas circulares, para medir cambios de fase, y escalas, radiales, para calcular la magnitud de r(z), la ROEV y otras cantidades relacionadas.
líneas en él dominio de la frecuencia, especialmente cuando operan en fre cuencias altas. . 35. Carta de Smith. La carta de Smith es un nomograma dibujado en el pla no r, donde cada punto representa el coeficiente dé reflexión de la línea, en una posición arbitraria de ésta, dado por su magnitud y fase, en coordenadas polares, o por sus partes real e imaginaria, en coordenadas cartesianas. 36. Carta de Smith en coordenadas de impedancia. La carta de Smith en coordenadas de impedancia es un círculo de radio unitario dentro del cual se cortan mutuamente dos familias de circunferencias, que corresponden a va lores uniformes de resistencias y reactancias normalizadas de línea, r y x, y vinculan entre sí la impedancia de línea y el coeficiente de reflexión de la misma, en un punto arbitrario de ésta (véase figura 13.12). Con la carta pue den averiguarse, con facilidad, Z(z) y £(z); F c, la posición de los voltajes y corrientes máximos o mínimos, la ROEV, etc. 37. Carta de Smith en coordenadas de admitancia. Cuando la carta de Smitfi se trabaja en coordenadas" 'de adm itancia,los'lugares:geóm é^cps "quie se cortan corresponden a valores uniformes de conductancias y susceptancias
Línea de transmisión / 5 1 3
normalizadas de línea, g y b; esta carta puede obtenerse al rotar la anterior, alrededor del centro, 180°. 38. Construcción de la carta de Smith. La Construcción de la carta de Smith en coordenadas de impedancia se basa en (13.33): E W 'C ,(z )+ ¿ r ,(* )-
z (z) + ¿ ,
s . ( z) +1
r +j x - 1 r + jx +l
(13.49)
donde la impedancia normalizada de línea, cuyas partes resistiva y reactiva son r y x, es . : íÁ z) = ^ - = r +j x
; V (13.50)
Con base en (13.49) se ubica en el plano T, para una pareja de valores r y x, un punto que es la imagen de otro del plano z„, y, en general, se determina en el primero una línea que es la imagen de otra del segundo plano. Si en el plano z„ los lugares geométricos de x y r uniformes son líneas rectas, en el plano £ corresponden, respectivamente, a circunferencias dadas por iv . r,—XJ
riv ^X
(13.51)
de centro en el punto (l,l/x) y radio l/|x|, y
r + \)
j_ y r + 1,
(13.52)
de centro en el punto \rj{r + 1),0] y radio l/(r + l). Todas las circunferencias dadas por (13.51) pasan por el punto (1, 0) y sus centros están sobre la recta = 1, en ambos lados del eje real, con respecto al cual presentan simetría especular. Todas las circunferencias dadas por (13.52) pasan por el punto (1, 0) y sus centros están sobre el eje real. La carta de Smith en coordenadas de impe dancia que se distribuye comercialmente, incluye numerosas circunferencias, de r y x uniformes, trazadas de manera que pueda interpolarse con facilidad entre las curvas, para pequeños incrementos, respectivamente, de r y x. 39. Carta de Cárter. La carta de Cárter es otro nomograma dibujado en el plano Ij en coordenadas de impedancia es un círculo de radio unitario, de ntro del cual se cortan mutuamente dos familias de circunferencias que co rresponden a valores uniformes de magnitudes y fases de la impedancia normalizada de línea, | z j y 6n.
5 1 4 / Teoría electromagnética
40. Construcción de la carta de Cárter. La construcción de esta carta en coordenadas de impedancia se basa en (13.49): p/z\_ p (,)+ V r £0 7
- -*(z) ■_ I- ”^ \ e 1 z„(z)+l |z„(z)¡e^' +1
(13.53)
donde z„(z) = M zK ''
(13.54)
Si en el plano z„ los lugares geométricos de |z„| y uniformes son, respecti vamente, circunferencias concéntricas, de centro en el origen, y rectas radia les,; (13.53) permite deducir que en el plano £ aquéllos corresponden a sen das circunferencias dadas por |2, |z_| +1 r* -
-1
+r; =
2z
(13.55)
de centro en el punto [(|z„|2+l)/(|z„|2-l}o]y radio 2z„/(|z„f - l ) , y r / + ( r , + cot0„)2 =cosece„2
(13.56)
de centro en el punto (0, -co tS J y radio igual a cosec 9n. Todas las circunferencias dadas por (13.55) cortan el eje real del plano £ en ángulo recto, y una, la de |zn| = l, coincide con el eje imaginario. Todas las circunferencias dadas por (13.56) pasan por los puntos (1, 0) y (-1, 0), se dibujan para valores del ángulo de fase reducido al intervalo -9O° <0„ <90°, y sus centros están sobre el eje imaginario. Dos impedancias normalizadas, de fases iguales y magnitudes recíprocas, determinan sendos puntos en la carta que son simétricos con respecto al eje imaginario. 41. Transformador de A/2. Los coeficientes de reflexión y las impedancias de línea, en una línea sin pérdidas, en dos puntos de ésta que están separa dos entre sí una distancia igual a un múltiplo entero de A/2, son iguales; es decir, ■ ' T(z - MÁ/2)=r(z), para N = ±1,± 2,... Z(z - NA/2)= Z(z), para N = ±1,± 2,...
(13.57) :
(13.58)
Línea de transmisión / 5 1 5
— --- 1I—----- . . °
—
(a)
:
TI
(b)
Figura 13.13 Transformadores en líneas. Un segmento dé línea sin pérdidas, de longitud igual a un múltiplo entero de A/2, transfiere la ¡mpedancia de la carga sin cambiarla, como se observa en (a). Si la longitud del. segmento es un múltiplo Impar de A/4, aquél invierte la impedancia normalizada de la carga, como se ilustra en (b).
Un segmento de línea cuya longitud es igual a un múltiplo entero de A/2 constituye un transformador, uno a uno, de impedancias, y se conoce como transformador de A/2 (véase figura 13.13). En altas frecuencias, cuando la longitud de onda es pequeña, este transformador puede usarse para conectar el generador a la carga o para simular, en un punto conveniente, una impedancia inaccesible de carga. 42. Transformador de A/4. Los coeficientes de reflexión y las impedancias de línea, en una línea sin pérdidas, en dos puntos de ésta que están separados entre sí una distancia igual a un múltiplo impar de A/4, están relacionados así: r(z - MA/4)= ¿.T(z), páfa M = .±1,± 3,:./
(13.59)
Z (z- M A /4)z(z)= Z02, para M
(13.60) :
= ±1,±3,...
Según (13.60), en un segmento de línea cuya longitud es igual a un múltiplo impar de A/4, el producto entre las impedancias de línea en la carga y en la entrada es igual al cuadrado de la impedancia característica (véase figura 13.13); en otras palabras, un segmento de línea, de la longitud indicada, invierte la impedancia normalizada de la carga, es un inversor de impedancias que convierte una alta en baja y viceversa, y, por ello, constituye un trans formador de impedancias; se conoce como transformador de A/4. En altas frecuencias, el transformador de A/4 sirve para acoplar la línea a ciertas
5 1 6 / Teoría electromagnética
..
Zo,P
, |
g il
ÍM
Ni M
i
I1ÜÜ ------- •------- ------ ---------------------------------------------------------------- IÜ B5BB&I
___
---------
I
z ,,/i _
H
— (a)
/
..--..i.
IH
___ -
r
(b) - ;
Figura 13.14 Acopladores de líneas. En ambos extremos de la línea pueden presentarse desacoples; ello disminuye la entrega de potencia a la carga con respecto a la que tiene dis ponible el generador. Al interponer acopladores apropiados en esos extremos, se maXimizá la potencia entregada o se elimina la onda reflejada en la longitud /', como se ilustra en (b).
cargas, para eliminar en aquélla la onda reflejada. Cuando la frecuencia va ría, cambia A, y un transformador, sea de A/2 o de~A/4, pierde su propiedad como tal. 43. Acopladores. Al diseñar una línea para interconectar un generador y una carga, se busca transferir del primero a la segunda el máximo posible de potencia. Para mejorar la eficiencia en la transmisión, se deben sortear los problemas derivados de las conexiones de la líne;5 en ambos extremos; en efecto, cuando la impédancia característica y la de carga son distintas, hay una onda reflejada en la línea, y parte de la potencia transmitida retorna con aquélla. Se entrega a la carga la máxima potencia cuando la impédancia car racterística y la de carga son cantidades complejas conjugadas; un fenómeno semejante ocurre en el extremo de generación, donde la potencia entregada por el generador a la línea es máxima, si la impédancia interna del genera dor y la de línea, en la entrada de ésta, son también cantidades complejas conjugadas. En general, la impédancia interna del generador, la de carga y la característica de la línea no tienen las coincidencias apropiadas, y deben insertarse dispositivos de acople en los extremos de la línea (véase figura 13.14). Cuando la línea funciona en baja frecuencia, transformadores con núcleos de hierro sirven como acopladores; en frecuencias intermedias, pue den usarse redes con elementos concentrados de circuitos; en alta frecuencia, tramos cortos de líneas de transmisión, conectados en serie o en paralelo con la línea principal, sirven como acopladores. 44. Acopladores en serie. Para acoplar una línea sin pérdidas, de impedancia característica Z0, a una carga, de impédancia resistiva Rc, y eliminar la onda reflejada en aquélla, se conecta entre ambas, y en serie, un segmento de línea de transmisión de longitud igual a un múltiplo impar de A/4, y cuya impédancia característica, Zca, está dáda por
Línea de transmisión / 5 1 7
za= ^ F 0
za, pa
Ü*1Rc
?J4 Figura 13.15 Acoplador en serié.. El acoplador en serie, línea a carga, se realiza con un transformador de A/4 que elimina la onda reflejada en la línea principal e incrementa lá poten cia media entregada a la carga.
z„=(z0zcyl/2 La longitud de onda mencionada es la que corresponde a la frecuencia de operación y a las características físicas del transformador. El acoplador des crito logra igualar las impedancias de carga y característica de la línea prin cipal, para eliminar en ésta la onda reflejada y aumentar la transferencia de potencia a la carga original; sin embargo, en el transformador mismo subsis te una onda reflejada (véase figura 13.15). El acoplador funciona en tanto su longitud sea un múltiplo impar de A/4; es decir, el acoplamiento depende de la frecuencia, y cuando ésta varía, la longitud del transformador deja de ser un múltiplo impar de A/4. Si el acoplador debe funcionar en un ancho de banda de frecuencias, conviene usar dos o más transformadores de A/4 en serié, de impedancias características intermedias, para unir la línea a la carga. ! 45. Acopladores en paraleló. Los acopladores en serié, para uñir una línea a la carga, introducen efectos indeseables en las respectivas conexiones, como modos TE y TM, ademas son poco versátiles ante cambios de la carga y re quieren el diseño y construcción de líneas auxiliares; en cambio, los acoplado res que usan una o más líneas conectadas en paralelo con la principal resuel ven la mayoría de los inconvenientes mencionados. En estos casos, debido a las uniones en paralelo, conviene trabajar con admitancias y usar la carta de Smith respectiva. Un acoplador en paralelo, simple, es una línea sin pérdidas, de longitud l2 y admitancias característica y de carga F2 y F c2, conectada en paralelo a la línea sin pérdidas principal, de admitancias característica y de carga F, y YcU a una distancia lx de la carga de ésta (véase figura 13.16). El obje tivo de la conexión es que la admitancia total, allí donde las líneas se unen, sea igual a F,; ello elimina la onda reflejada entre el generador y ese punto, en la línea principal.
5 1 8 / Teoría electromagnética
Yd
Figura 13.16 Acople línea a carga que Conecta otra línea en paralelo. Se facilitan los cálculos al trabajar en admitancias. La admitancia total en el punto de acople, a-a', debe ser f 0, para eliminar la onda reflejada en la línea principal.
46. Diseño de un acoplador en paralelo. Si las admitancias de entrada en el punto de conexión de los segmentos de la línea 1 , la principal, y de la 2 , la acopladora, son Y_u = Gu + jBu y Y2a = G2a + jB 2a, las ecuaciones que deben cumplirse para eliminar la onda reflejada en la línea principal son \
Y¡=Gta^G2cyO = B¡a+B2a
(13.62)
Las magnitudes desconocidas en el diseño son lx, Z2, F c2 y ^Vy se cuenta con dos ecuaciones independientes; ello permite elegir arbitrariamente, o por conveniencia, tres de las incógnitas reales (véase figura 13.16), Es común usar como línea acopladora un cabo sobrante de la principal, con la carga en corto; es decir, elegir F2 = 7, y F t2 = °°. El corto en la carga facilita acomodar la longitud de la línea acopladora a los requisitos del diseño, y es preferible a una carga abierta, ya que en este caso la longitud de la línea no puede variar. Con base en las suposiciones anteriores, al normalizar con respecto a Y¡ las magnitudes que aparecen en (13.62), resulta 1 = gu y K = ~ K
.
( 13-6 3 )
donde se anuló g2a, porque la admitancia de línea, en una línea sin pérdidas y con carga en corto, carece de parte real. Con base en (13.63), analítica o gráficamente con el auxilio de la carta de Smith (véase figura 13.17), se cal culan las distancias-desconocidas Z, y Z2: Al variar la carga de la línea, el aco ple pierde su propiedad y debe rediseñarse, lo que es poco práctico. Se solu ciona la dificultad si sé usan dos o tres líneas acopladoras, conectadas en
Figura 13.17 Uso de la carta de Smith, en coordenadas de admitancia, para calcular un acoplador simple en paralelo. Él punto A representa la carga de la línea, y el B, donde la circunferencia de radio LCJ corta la de g = 0 , corresponde a la posición del acople, a-a'; allí se calculan /, y P1s. El punto D representa la entrada de la línea 2, el E su carga y /2 la longitud de la misma, si se usa como acoplador un tramo de la línea principal con la carga en corto circuito. .
paralelo con la principal, cuyas distancias a la carga de ésta y entre sí son fijas, pero de longitudes ajustables para acoplarse con cualquier carga y eli minar la onda reflejada en la línea principal.
13.1 Modos de propagación P r o p o s ic io n e s
1. E y H no tienen componentes, en el modo TEM, en la dirección de pro pagación. 2. E y H son solenoidales e irrotacionales, en el modo TEM, en la región de propagación. 3. E y H no son armónicas, en el modo TEM, en la región de propagación. 4. En el modo TEM se cumple E ®5 = 0. 5. La dirección del vector de Poynting coincide, en el modo TEM, con la de propagación. 6.
El modo TEM no se propaga cuando la frecuencia es inferior a la de corte.
5 2 0 / Teoría electromagnética
7. El modo TEM no puede propagarse con un solo cilindro conductor co mo guía. 8.
Las líneas ideales aceptan el modo TEM.
9. Si los conductores de la línea tienen resistencia, el modo transmitido pue de ser TEM. 1 0 . £ no tiene componente, en los modos TE, en la dirección de propagación. 11. Los modos TE se propagan en cualquier frecuencia. 12. La dirección del vector de Poynting no coincide, en los modos TE, con la de propagación. 13. Las líneas no pueden transmitir modos TE. 14. H tiene componentes transversales en los modos TM. 15. Los modos TM se propagan cuando la frecuencia no supera la de corte. S o lu c io n e s
1. Cierto. En el modo de propagación TEM, E y H son transversales, por definición, en la onda electromagnética que se propaga; es decir, carecen de componentes en la dirección en la que viaja la onda. Este modo es exclusivo de las líneas y puede propagarse sin restricciones en la frecuencia, incluso desde la frecuencia 0 . 2. Falso. De acuerdo con (3.17), (3.19) y las hipótesis adoptadas para la línea en el artículo 13.0.5, D y £ son solénoidales en la región de propagación y, por tanto, también lo son E y H; pero éstos no son irrotacionales allí, según (3.18) y (3.20), porque hay J y los campos dependen del tiempo. Sin embar go, como se observa en (13.1) y (13.2), ET y H r sí son irrotacionales y solenoidales en todo instante, con respecto al operador transversal, Vr, en cada uno de los puntos de una sección recta de la línea. 3. Cierto. E y H son armónicas en una región si, a la vez, según (1.22), son solenoidales e irrotacioriales allí, lo cual no es cierto, como se explicó en la proposición anterior. 4. Cierto. El triple producto escalar es 0 cuando dos de los vectores que in tervienen son paralelos; de (6.3) resulta E »S = E » (E x H ) = 0. 5. Cierto. S tiene la misma dirección que la propagación, en el modo TEM, puesto que en ese modo E y H son transversales, y el producto vectorial en tre dos vectores es perpendicular a éstos.
Línea de transmisión
/ 521
6.
Falso. Los campos electromagnéticos se propagan, en el modo TEM, sin restricciones en la frecuencia; para este modo, a diferencia de los modos TE y TM, no hay frecuencia de corte. 7. Cierto. En (13.1) se observa que ET, con respecto al operador transversal Vr, en un modo de propagación TEM es irrotacional y solenoidal en cada instante y punto. Como el modo debe propagarse en la dirección del eje del cilindro, en los puntos de las secciones rectas de éste existe, entonces, un potencial escalar eléctrico por medio del cual se determina Er y que satisfa ce, en las coordenadas transversales, la ecuación bidimensional de Laplace. Por ser el cilindro un conductor perfecto, la componente de E tangencial a su superficie es 0, según (13.4); en consecuencia, de acuerdo con (12.7) y (12.8), sin olvidar que H no tiene componente longitudinal en el presunto modo TEM, en las curvas donde esos conductores se cortan con las secciones rectas y en los puntos interiores enlazados por aquéllas, el potencial eléctrico es uniforme, E se anula y no puede existir un modo TEM. Es necesario, en tonces, disponer de dos o más superficies cilindricas para soportar el modo TEM, como es el caso de las líneas de transmisión. 8 . Cierto. En las líneas ideales, de acuerdo con la proposición anterior, las curvas donde una sección recta corta las superficies de los conductores per fectos son equipotenciales; sin embargo, entre esas curvas puede existir un voltaje y también una E transversal. En conclusión, las líneas ideales son estructuras donde se satisfacen las ecuaciones y condiciones de frontera de los campos electromagnéticos en el modo TEM, dadas en (13.1), (13.2), (13.3), (13.4) y (13.5).
9. Falso. Si la conductividad de los conductores que forman la línea no es infinita, en aquéllos la corriente deja de ser superficial y penetra dentro de los mismos, dando lugar a sendas componentes z en J y E; además, por la continuidad de su componente tangencial, también aparece en la región de propagación una componente z para E. En consecuencia, como E tiene com ponente longitudinal, el modo de propagación no puede ser TEM. 10. Cierto. Por definición, £ es completamente transversal en los modos TE y no tiene componente en la dirección de propagación; en cambio, en tal modo, H sí puede tener esa componente. 11. Falso. Estos modos tienen restricción en frecuencia y cada uno se propa ga a partir de una frecuencia mínima o de corte; por debajo de la frecuencia de corte, las intensidades del campo electromagnético se atenúan, y desvane cen cuando la onda avanza en la dirección de propagación.
5 2 2 / Teoría electromagnética
12. Cierto. E es transversal, pero H puede no serlo, en un modo TE; por tanto, si con los subíndices T y P se denotan las direcciones transversal y de propagación, S = E x H = E T x (H t + Hp) = E t x H t + E T x H F . La expresión obtenida, en la cual el primer término tiene la dirección de la propagación y el segundo no, ratifica la proposición. 13. Falso. E no tiene componente en la dirección de propagación, en el mo do TE, y las componentes transversales de E y H pueden obtenerse, como sé deduce de las ecuaciones de Maxwell, de la componente longitudinal de H , la cuál cumple uña ecuación de Helmhóltz; adémás, sobre las superficies de los conductores perfectos se satisfacen las condiciones de frontera: i n • E = cr/e, i v x E = 0, • H T = 0 e i, x H r = K , donde i n es un versor normal a la superficie, que emerge de ésta, y se supone que dentro de aqué llos É y H son 0. Tales ecuaciones y condiciones de frontera se satisfacen en las líneas ideales, las cuáles son los únicos dispositivos que pueden transmitir modos TEM, TÉ y TM; las guías de onda formadas por un soló conductor, en cambio, no pueden transmitir el modo TÉM. t
t
14. Cierto. Por definición, H es transversal en los modos TM y no tiene com ponente en la dirección dé propagación; en cambio, en tales modos, E sí puede tener esta componente. 15. Falso. Las intensidades del campo electromagnético: se atenúan y desva necen, por debajo de la frecuencia de corte, cuando la onda avanza; se pro pagan, en cambio, a partir de la frecuencia de corte.
13.2 Postulados y condiciones de frontera P r o p o s ic io n e s
1. La sección recta de una línea varía con z. 2. Si en los conductores de la línea hay resistencia eléctrica, la densidád de la corriente de desplazamiento tiene componente en la dirección Z. 3. La densidad de la corriente de desplazamiento tiene componente en la dirección de propagación, en una línea que transporta el modo TEM. ; 4. Las corrientes de desplazamiento y de conducción, que atraviesan una sección recta de una línea que transporta él modo TEM, son iguales. 5. El vector de Poynting es normal a las superficies de los conductores qué forman la línea, cuando ésta transporta el modo TEM.
Línea de transmisión /
523
6.
Cuando una linea formada por dos hilos paralelos está funcionando, sobre cada uno de éstos actúa una fuerza. 7. En las superficies de los conductores de la línea, í„ x £ = 0. 8.
En las superficies de los conductores d é la línea, i„*H * 0.
9. En las superficies de los conductores de la línea, <7 * 0 . 10. En las superficies de los conductores de la línea, in x H = K. 11. La corriente y la carga se relacionan, en las superficies de los conducto res de una línea que transporta un modo TEM, con K = i.vFa, donde vF es la velocidad de fase de la onda. S o lu c io n e s
1. Falso. Por definición, el eje Z del sistema de coordenadas de referencia es paralelo a los conductores que delimitan la línea; aquéllos, en la línea ideal, son cilindricos. Una línea real, sin embargo, puede tener cambios bruscos o suaves de dirección y de sección recta; en tales casos, los resultados ideales valen como aproximaciones o elementos de integración. 2. Cierto. Según la proposición 13.1.9, E tiene componente z en la región de propagación cuando en los conductores de la línea hay resistencia, y como la densidad de la corriente de desplazamiento es J D= edE/dt, ésta también tiene componente z en esa región. 3. Falso. Cuando la línea transmite el modo TEM, £ y la densidad de la co rriente de desplazamiento, por ser transversales, carecen de componentes en la dirección de la propagación. 4. Cierto. Los conductores de la línea ideal llevan, en el modo TEM, corrien tes de conducción iguales y de sentidos opuestos a lo largo del eje Z, y es nula la componente de la corriente de desplazamiento en esa dirección; en consecuencia, las corrientes de desplazamiento y de conducción que atravie san una sección recta de la línea son iguales a 0 . 5. Falso. S tiene la misma dirección que la propagación en el modo TEM,. según la proposición 13.1.5; por tanto, aquél es tangencial a lais superficies de los conductores que forman la línea. 6.
Cierto. Cada hilo está sometido a fuerzas eléctricas y magnéticas, debidas al otro, cuya resultante no necesariamente es 0 ; eléctricas, puesto que en las superficies de los hilos se acumulan cargas eléctricas de signos opuestos en tre las que se establece una fuerza de atracción; magnéticas, ya que los hilos
524 / Teoría electromagnética
conducen corrientes en sentidos Opuestos, entré las cuáles se desarrolla úna fuerza de repulsión. 7. Cierto. Como los conductores de la línea ideal se suponen perfectos y dentro de uno de éstos E es 0, se deduce de (5.2) que en las interfaces de los conductores de la línea y la región de propagación la componente tangencial de E es 0; por tanto, E es normal a esas interfaces. 8.
Falso. Dentro de los conductores de la línea ideal, de conductores perfec tos, B es 0; se deduce de (5.3), entonces, que i„ • H = i„ • B/¡x = 0. 9. Cierto. Dentro de los conductores de la línea ideal, de conductores perfec tos, D es 0; adem ás—véase la proposición 13.2.7— :E es normal a las super ficies de aquéllos. Entonces, se sigue de (5.1), a = in • D = £iv • JE ^ 0. 10. Cierto. Dentro de los conductores de la línea ideal, de conductores per fectos, H es 0; se concluye de (5.4), entonces, que i, x H = K . 11. Falso. Si las ecuaciones (13.3) se premültiplican (la primera escalarmente y la segunda vectorialmente) por el versor normal a las superficies dé los conductores, ik, y se usan (13.4), (13.5) y (1.7), resultan d
r, .£ ,)
J ¡(i.
.
d
„ 'v
da y—
.
= -«*.(*. *■Er) - £*, J¡(i, * Er) y ^
dK Tt
7
=
f ga da^ — +— e dt
De las anteriores expresiones se concluye que la corriente y la carga superfi ciales están desfasadas con respecto a la posición y el tiempo, y, por tanto, no pueden ser directamente proporcionales.
13.3 Intensidades normalizadas, voltaje y corriente P r o p o s ic io n e s
1. Las intensidades normalizadas de los campos eléctrico y magnético en la línea tienen las mismas dimensiones. 2. Las intensidades normalizadas dé lós éámpós eléctficó y magnético en la línea son constantes. 3. Las intensidades normalizadas de los campos eléctrico y magnético en la línea son uniformes.
Línea de transmisión
/ 525
4. Si la intensidad normalizada del campo eléctrico puede expresarse corno el gradiente de una función escalar,
La unidad para el voltaje de línea en el SI es el voltio.
7. Las unidades para la corriente de línea en el SI son [A/m]. 8.
En una línea formada por dos hilos paralelos conectados a un generador, las corrientes eléctricas qué circulan por aquéllos tienen igual sentido. 9. La corriente neta que atraviesa la sección recta de una línea es nula. 10. El voltaje de línea depende, en una línea con pérdidas, de las coordena das transversales. 11. En una línea real, con resistencia eléctrica, el voltaje de línea no depende de las coordenadas transversales. 12. Si se duplica el voltaje de línea, se duplica eT. S o lu c io n e s
1. Cierto. Se deduce de (13.9) que en el SI las unidades de eT y hT son [mf1]. 2. Cierto. Se advierte en (13.8) que esas intensidades sólo dependen dé las coordenadas transversales de la línea y no del tiempo. 3. Falso. Dependen -r—obsédese (13.8)—- de las coordenadas transversales de la línea. 4. Cierto. De (13.8) y (13.1), resulta VT x eT = 0; por tanto, eT = -Vr 3>. Pero la función 0, al tomar en cuenta las dimensiones de eT y Vr, es adimensional. 5. Falso. De (13.8) y (13.2), resulta V T x h T = 0; por tanto, h T = -V T0 m. Pero la función
7. Falso. La corriente de línea, de acuerdo con (13.7), tiene dimensiones de corriente eléctrica y en el SI su unidad es el amperio. 8.
Falso. Sean 1 y 2 los conductores que forman la línea, c, y c2 sendas curvas que rodean a éstos y c una tercera curva que enlaza ambos conductores y está muy lejos; las tres curvas se encuentran en el plano de la misma sección
5 2 6 / Teoría electromagnética
---- <— z F ig u r a
1 3 .1 8
S e c c ió n
=
r e c t a , a r b it r a r ia , d e
co n d u cto re s 1 y 2 . L a s c u rv a s
cu
c u r v a s c , y C2 s e c o n e c t a n c o n
c2 y
c
dado u n a lín e a
d e t r a n s m is ió n
id e a l f o r m a d a p o r lo s
s o n a r b i t r a r i a s , p e r o e s t a ú ltim a e s t á m u y l e j o s . L a s
la c m e d i a n t e c a m i n o s r e c t o s , m u y c e r c a n o s e n t r e s í , p a r a
fo rm a r u n a s o la c u rv a c e rr a d a .
recta. Cuando se conectan c, y c2 con comediante sendos pares de rectas muy próximas entre sí, las tres curvas se convierten en una sola, compuesta por c, c, y c2, que enlaza la región de projpagación pero no los conductores (véase figura 13.18). Al aplicar a la curva compuesta la ley de Ampére-Máxwell, se obtiene ds + í H t ®ds = 6 + + ¿2 Je* . donde se usó (13.7,) y se tomó en cuenta que las corrientes de desplazamien to y libre no tienen componentes en la dirección de la propagación, y que en la curva c, por estar tan alejada, H T es 0. La expresión obtenida muestra que, para satisfacer las ecuaciones transversales de Maxwell en el modelo ideal de línea, es necesario que los conductores lleven, en cada sección recta, corrien tes libres de iguales magnitudes y sentidos opuestos. 9. Cierto. Porque las corrientes de desplazamiento y libré ho tiéñéñ compo nentes en la dirección Z, en la región de propagación, y las corrientes libres que circulan por los conductores, de acuerdo con la anterior proposición, son iguales en magnitud y de sentidos opuestos.
Línea de transmisión /
527
10. Falso. Una línea ideal con pérdidas de energía es aquélla en la que Gz es diferente de 0, debido a un mal aislamiento, por ejemplo. En esta línea, el voltaje, evaluado con (13.6), tiene un valor único propio de cada sección recta, debido a que no depende de la trayectoria usada para ir de uno de los conductores de la línea al otro; en consecuencia, no depende de las coorde nadas transversales. 11. Cierto. La línea real se considera, en condiciones cuasiestacionarias, co mo una red circuital de parámetros distribuidos, que puede estudiarse con base en las hipótesis y leyes de la teoría de circuitos eléctricos, recogidas en el artículo 12.0.7; aquéllas conducen a (13.14) en las que el voltaje de línea no depende de las coordenadas transversales. Tal independencia se debe, estrictamente, a la aproximación cuasiestacionaria usada, ya que un circuito se supone formado por elementos cuyas conductas e interacciones pueden expresarse en función de los voltajes y corrientes en sus terminales; hipótesis que evitan considerar las características geométricas propias de los elemen tos, con excepción de la forma simple en que se interconectan. Conviene subrayar que cuando la frecuencia es alta los campos de la línea real no pue den ser TEM, y (13.6) depende de la trayectoria; es decir, el voltaje ya no es una magnitud física y pierde significado. . 12. Falso. De acuerdo con (13.8) y (13.9), la intensidad normalizada del campo eléctrico sólo depende de las coordenadas transversales, es una pro piedad de la sección recta y nada tiene que ver con el voltaje de línea; cuan do éste se duplica, se duplica la intensidad del campo eléctrico.
13.4 Parámetros P r o p o s ic io n e s
1. Al proponer un modelo circuital para la línea real, se supone que las di mensiones transversales de ésta son mayores que la longitud de onda de la señal transmitida. 2. El modelo circuital de la línea tiene restricciones. 3. El módulo del circuito eléctrico distribuido, equivalente a la línea real, está formado por un resistor y un capacitor en serie, con un resistor y un inductor en paralelo. 4. Las ecuaciones diferenciales independientes para el voltaje y la corriente de línea, en términos de Rz, Gz, Lz y Cz, son ecuaciones de onda. 5. En una línea, Rz, Gz, Lz y Cz no dependen de la'frecuencia de la fuente.
5 2 8 / Teoría electromagnética 6.
En una línea, R z, Gz, Lz y Cz no son uniformes.
7. La expresión RZGZnó es adimensional. 8.
En una línea, gL. = fiG..
9. En una línea real, de conductores resistivos, gC. = eG. . 10. Si en la región existente entre los conductores de una línea se duplica la permitividad y se mantiene constante la geometría, se duplica la capacitancia por unidad de longitud de la línea. 11. Si en una línea se modifica la geometría para duplicar la capacitancia por unidad de longitud, se duplica también la conductancia por unidad de longitud. 12. Si sé duplica la longitud de una línea, de conductores resistivos, se dupli-
S o lu c io n e s
1. Falso. La línea real puede considerarse como una red circuital de parám e tros distribuidos y estudiarse de acuerdo con las hipótesis de la teoría de circuitos eléctricos. Ello es cierto, entonces, en condiciones cuasiestacionarias, es decir, cuando la longitud de onda de los campos electromagnéticos propagados es mucho mayor que las dimensiones transversales de la línea. 2. GiértOi Tiene las restricciones propias de la teoría de circuitos eléctricos; no puede aplicarse cuando la frecuencia es muy elevada. 3. Falso. En un segmento infinitesimal de línea, de longitud dz, el elemento de circuito eléctrico distribuido está formado por un resistor y un inductor en serie, a lo largo de la dirección z, respectivamente de resistencia R zdz e inductancia Lzdz, con un resistor y un capacitor transversales en paralelo, respectivamente de conductancia Gzdz y capacitancia Czdz. 4. Falso. De las leyes de Kirchhoff eléctricas, aplicadas al elemento de circui to distribuido que representa la línea, salen las ecuaciones (13.14), y al eli minar la corriente, de éstas resulta (13.15); esta expresión se conoce como ecuación de la telegrafía y no es una ecuación de onda por la presencia del par de términos centrales, relacionados con las pérdidas de energía en la línea. Cuando la línea no tiene pérdidas, porque R z y Gz son 0, (13.15) se reduce a una ecuación unidimensional de onda. 5. Cierto. Los parámetros circuitáles de la línea dependen de la geometría transversal de ésta, del material que hay éntre los cilindros condüctorés y de la frecuencia de la fuente, como se sabe de la teoría de circuitos eléctricos. La relación con la frecuencia es intrincada, ya que en algunos materiales las
Línea de transmisión
/ 529
cantidades E, g y ¡i también dependen de aquélla; por tal razón, resolver las ecuaciones de la línea cuando ésta transmite señales cuyo ancho de banda no es 0 plantea formidables dificultades matemáticas. Sin embargo, y por ello se considera cierta la proposición, en condiciones cuasiestacionarias la influen cia de la frecuencia en los parámetros es despreciable; además, éstos pueden considerarse invariantes cuándo la linea opera en una sola frecuénciá. 6.
Falso. Los parámetros circuí tales de la línea son uniformes, ya que ésta se supone elaborada con materiales homogéneos y conductores cilindricos. 7. Cierto. En el SI la expresión se mide en [m-2], ya que R. se mide en [C2m-1] y G, en [Q-Im-1]. : ! 8.
Falso. De (13.12), que se satisface en el modelo ideal de línea, se deduce que g/LL = G.L.. 9. Falso. Esa expresión se satisface sólo én el modelo ideal de línea, el cual supone que en ésta los cilindros son perfectamente conductores y, por tanto, con resistencia 0 . 10. Cierto. Se sigue de (13.10), en la cual la capacitancia por unidad de lon gitud es directamente proporcional a la permitividad del material que hay entre los conductores de la línea. 11. Cierto. Se sigue directamente de (13.12), válida en el modelo ideal de línea. 12. Falso. La resistencia por unidad de longitud de la línea, R z, es un parámetro uniforme y distribuido de ésta; depende de la geometría de la sección recta de la línea y no de la longitud. La resistencia total de la línea sí depende de su longitud.
13.5 Solución de las ecuaciones de la línea P r o p o s ic io n e s
1. En condiciones estacionarias la corriente de línea no es 0. 2. Si uña línea real está funcionando en condiciones estacionarias y, en el instante i = 0 ¡, su extremo de generación se cortocircuita y se mantiene así, entonces el voltaje de línea en todos los puntos de ésta se hace igual a 0 en el instante 0 +. 3. Si una línea real está funcionando en condiciones estacionarias y, en el instante t - 0 , su extremo de generación se cortocircuita y se mantiene así,
530 / Teoría electromagnética
entonces la corriente dé conducción por unidad de longitud entre los con ductores que forman la línea no es igual a 0 , a todo lo largo de ésta, en el instante 0 +. 4. La unidad para el fasor del voltaje dé línea en el SI es [V/m]. 5. La unidad para el fasor de la corriente de línea en el SI es el amperio. 6.
Si la corriente de línea es
I 0señé) ¿sen/Jz, su fasor es / 0(z) = 70sen /3z.
7. La unidad para la constante de propagación, y, en el SI es [m-1]. 8.
Si se duplica el valor de Rz, en una línea, no se duplica el de a.
9. Una línea es sin pérdidas cuando propaga una señal electromagnética sin atenuación. 10. La unidad para /3 en el SI es el ohmio. 11. En una línea sin pérdidas, ¡3 =
cü{-L C.)1
14. Si R. es la resistencia de la línea por unidad de longitud, entonces V(Z,Í) = R.Í(Z,Í). ....... ...... 15. La impedancia característica dé una línea es la razón entre los fasores del voltaje y la corriente de línea. 16. La impedancia característica de una línea es una “impédancia”, de acuer do con el sentido habitual de este concepto. 17. Las unidades de Z0 en el SI son [m 2kgs-3A-2]. 18. Las unidades para la impedancia característica, de línea en el SI son [Q/m]. 19. Si se duplica la longitud de una línea que tiene resistencia eléctrica, la impedancia característica de aquélla no varía. 20. En toda línea ideal la impedancia característica es resistiva. 21. La impedancia característica de una línea ideal es Z„ = {LJC. )1/2. 22. Si R. y G. son diferentes de 0 en una línea, la impedancia característica es compleja. 23. Si R , y G, son diferentes de 0 en una línea y la frecuencia es muy elevada, la impedancia característica es resistiva.
Línea de transmisión / 53 1
24. La impedancia característica de una línea sólo depende de la geometría y del material. 25. La impedancia característica de una línea real, en condiciones estaciona rias, es Z0 = (fíz/Gz)l/2 26. La impedancia característica de una línea real sin distorsión es una can tidad imaginaria. 27. Si se duplica la magnitud del voltaje de la fuente, se duplica la impedan cia característica de la línea. 28. La amplitud del voltaje de línea de la onda “más” es uniforme en toda línea real. 29. La onda “más” se propaga con atenuación en una línea ideal. 30. La onda “más” se propaga con atenuación en una línea real sin distorsión. 31. La velocidad de fase de la onda “más” es la de la luz en toda línea real. 32. La velocidad de fase de la onda “más” es independiente de la frecuencia en toda línea real. . 33. La velocidad de fase de la onda “más” es independiente de la frecuencia en una línea ideal. 34. La velocidad de fase de la onda “más” es independiente de la frecuencia en una línea real sin distorsión. 35. La velocidad de fase dé la onda “más” disminuye paulatinamente, en una línea real, a medida que la onda avanza. 36. El voltaje y la corriente de línea se propagan con la velocidad de la luz en toda línea. 37. La longitud de onda de la onda “más” es menor cuando la onda se pro paga en una línea sin pérdidas, que, á frecuencias iguales, cuando se propaga en el vacío. 38. Si en una línea sin pérdidas se duplica la longitud de onda de la onda “más” del voltaje de línea, manteniendo invariables la geometría y los mate riales de la misma, es porque se duplicó la frecuencia de la fuente. 39. Las soluciones para el voltaje y la corriente de línea, obtenidas al resolver las ecuaciones diferenciales de la línea ideal, pueden aplicarse a una línea de longitud finita, si aquéllas se multiplican por un factor de corrección.
532 / Teoría electromagnética S o lu c io n e s
1. Cierto. En condiciones estacionarias se anulan los términos que incluyen derivadas con respecto al tiempo en (13.13); sin embargo, las ecuaciones resultantesvpueden resolverse para el voltaje y la corriente de línea, y se ob tienen funciones constantes pero no uniformes. 2. Falso. Antes del cortocircuito en el extremo de generación de la linea, en ésta hay un voltaje de línea que satisface dv/dz = -R .i y di/dz= -Gxv, y, por tanto, es función de la posición. Cuando en t = Osé cortocircuita el extremo de generación de la línea, el voltaje de línea en los diferentes puntos de ésta, excepto donde se provocó el corto, es igual en los instantes 0 ” y 0 +; no puede cambiar instantáneamente de valor porque, de hacerlo, la derivada temporal que aparece en (13.14) tiende a infinito y ello demanda corrientes infinitas en el instante Ó+, sin posibilidades físicas, a lo largo de la línea. En otras pa labras, dé las ecuaciones de la línea puede deducirse que, al cortocircuitar el generador, el voltaje de línea tiende a 0 en todos los puntos de ésta, pero a lá larga y no de manera instantánea; ello se debe a que la perturbación crea da en el extremo de generación de la línea demanda tiempo para propagar se por ésta. 3. Cierto. Antes del cortocircuito en el extremo de generación de la línea, en ésta bay una corriente de línea; por tanto, entre los conductores de la misma existe una corriente de conducción por unidad de longitud, que se calcula con G.v = -di/dz, Corriente qué es función de la posición, directamente pro porcional al voltaje de línea y que no cambia entre los instantes 0 ” y 0 +, ya qué, como se explicó en la proposición anterior, el voltaje de línea es el mis mo entre esos instantes. 4. Falso. Como la función exponencial es adimensional, se sigue de (13.16) que el voltaje de línea, y su fasor, tienen las mismas dimensiones y unidades en el SI; es decir, el voltio. 5. Cierto. Se sigue de (13.16) que la corriente de línea y su fasor tienen las mismas dimensiones y unidades en el SI; es decir, el amperio. 6.
Falso. El fasor de la corriente propuesta, es /(z) = - j í 0sen /3z.
7. Cierto. Se deduce de (13.22), donde el exponénte de la función exponen cial es adimensional. 8.
Cierto. (13.20) ratifica la proposición, ya que no se observa en aquélla una relación lineal entre a y Rx.
Línea de transmisión
/ 533
9. Cierto. Es una definición equivalente, ya que, si a = 0, para toda frecuen cia angular, co, se deduce de (13.20) que Rz y Gz son 0 en la línea; y si esos parám etros son nulos, la línea es sin pérdidas cuando propaga una señal electromagnética pues no disipa energía. Recíprocamente, cuando Rz y Gz son 0 en la línea, ello implica que ésta propaga la señal -—obsérvese (13.20)— sin atenuación. 10». Falso. Según (13.19) es la misma unidad de y, es decir, [m-1]. Sin em bargó, dado que está relacionado con las fases del voltaje o de la corriente de línea, por conveniencia se ú sala unidad equivalente: [radián/metro]. 11. Cierto. Como Rz y Gz son 0 en una línea sin pérdidas, de (13.19) se dedu ce que en ésta y es imaginaria; en consecuencia, en esa línea la constante de atenuación es
0
y el valor de la de fase coincide con el propuesto.
12. Cierto. Al sustituir (13.27) en (13.21) se obtiene /L= Cú(Lz CJin. 13. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En general, (13.21) ratifica la proposición; sin embargo, cuando la línea es sin distorsión se cumple (13.27), y (3.21) se reduce a ¡3 = a>(L. C.)'n . Está expresión también se sigue de (13.21), aproximadamente, cuando la línea transmite frecuencias muy elevadas, tales que ú)Lz/R z » 1 y (úCJGz » 1. 14. Falso. Las dimensiones son incorrectas. En condiciones cuasiestacionarias la línea de transmisión puede considerarse u n circuito de parám etros distribuidos, en el cual el voltaje y la corriente de línea están relacionados, en general, mediante ecuaciones en derivadas parciales, como las (13.14); cuando no hay dependencia del tiempo, la primera de estas ecuaciones se reduce a d v/d z = -R i. 15. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La razón entre los fasores del voltaje y la corriente de línea, en general, define una magnitud compleja diferente que depende de la posición: la impedancia de línea, Z(z); sin em bargo, se deduce de (13.22) y (13.23) que en el caso particular de una línea donde el coeficiente de reflexión es 0 , la impedancia característica sí es igual a la razón propuesta. 16. Cierto. En una línea, Z0 es característica porque se trata de una magnitud uniforme que sólo depende de la frecuencia y los parámetros de aquélla; es también “impedancia”, y en el SI se mide en ohmios, por las razones expues tas en la segunda parte de la proposición anterior.
5 3 4 / Teoría electromagnética
17. Cierto. En el SI las unidades de la impedanciá característica de línea pueden obtenerse como la razón entre las unidades del voltaje, medido en [m2kgs“3A_1], y la unidad de corriente, medida en [A]. 18. Falso. Se deduce de (13'24) que en el SI la impedancia característica de línea puede medirse en [Q]. 19. Cierto. La impedancia característica de una línea es una magnitud uni forme, que obedece sólo a la frecuencia y a los parámetros de aquélla; al duplicar la longitud de la línea se duplica la resistencia total de ésta, y el parám etro Rz permanece igual. 20. Falso. Como en la línea ideal R z es 0 pero Gz no, se deduce entonces de (13.24) que la impedancia característica de tal línea es, en general, una can tidad compleja que tiene partes resistiva y reactiva. Sin embargo, en algunos casos particulares Z0 puede ser resistiva püra; es lo que ocurre en líneas sin pérdidas o en las que transmiten frecuencias muy elevadas. 21. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La impedancia característica de una línea ideal, obtenida de (13.24), es: Z0 = jj(oLz/[Gt + j(úCt
, expre
sión que refuta la proposición. Sin embargo, en algunos casos particulares la expresión se reduce a la propuesta; es lo que ocurre en líneas sin pérdidas o en las que transmiten frecuencias muy elevadas. 22. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En general es compleja, con partes resistiva y reactiva, como se observa en (13.24); sin embargo, en algunos casos particulares puede ser resistiva pura, cómo ocurre en líneas sin distorsión o en las que transmiten frecuencias muy elevadas. 23. Cierto. Si la frecuénciá és alta y se cumplen (úLJRi >>T y -á)CJGz » 1, entonces (13.24), cuya parte reactiva se hace despreciable, se reduce a i - Ü c o L J j a i C y ' - i f i J c j ' '. ~ ;/ .y ; ; 24. Falso. También depende de la frecuencia. Depende directamente, como se observa en (13.24); indirectamente, por intermedió de los parámetros circuitales de la línea. 25. Cierto. En condiciones estacionarias la frecuencia angular es 0, y (13.24) se reduce a la expresión propuesta. /
' \
1/2
••
26. Falso. Al sustituir (13.27) en (13.24) resulta Z0 = (A /Q j ru n a magnitud real, igual a la de una línea sin pérdidas.
Línea de transmisión
/ 535
27. Falso. La impedancia característica de la línea —ver (13.24)-- depende de la frecuencia del voltaje de la fuente pero no de la magnitud. 28. Falso. El fasor voltaje de la onda “más” es el primer término de (13.22); al llevarlo a (13.16) se obtiene el voltaje de línea correspondiente ■
v ( z , t ) = R e & +e ^ e jm } = R ( ^ < \ e
iB^ ^ +y^ z^ ' } = |L+|elai cosqui- %
+ d )
donde | L+1 y 9 son la magnitud y la fase de V+, y se tomó en cuenta (13.19). En la expresión anterior se observa que la amplitud del voltaje de línea de pende dez. 29. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En la línea ideal Rz es 0, pero ello, según (13.20), en general no anula a, y la onda “más” se propaga con atenuación; sin embargo, a sí se anula cuando la línea no tiene pérdidas. 30. Cierto. Al llevar (13.27) á (13.20) resulta a = ( R fiJ 1'2, y hay atenuación de la señal, pero no distorsión, ya que a es independiente de la frecuencia. 31. Falso. La velocidad de fase de la onda “más” depende de la frecuencia en toda línea real y se obtiene al sustituir (13.21) en (13.25): v, = " l |[ ( í y 24 c! -i? ia )+ ( /? ¡2 + ü)2l z2J'2(gi2+ü)2a 2),/2
(13.64)
que se reduce, cuando la línea no tiene pérdidas o es sin distorsión, a vF=(Lza y ‘/2
(.13.65)
32. Falso. En general, esa velocidad de fase depende de la frecuencia, como se observa en (13.64), y por ello la línea es dispersiva. Sin embargó, en algu nos casos particulares puede ser independiente de la frecuencia; es lo que ocurre en líneas sin pérdidas o sin distorsión. 33. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Aunque en la línea ideal Rz es 0, según (13.64) vF sí depende de la frecuencia; sin embargo, es indepen diente de ésta cuándo lá línea no tiene pérdidas. 34. Cierto. Al sustituir (13.27) en (13.64), se obtiene vF = (LzC.) 'n . 35. Falso. Esa velocidad es uniforme, como se observa en (13.64); la que disminuye paulatinamente a medida que la onda avanza es su amplitud, de bido a la atenuación. 36. Falso. Puede ocurrir en algún caso particular, y con referencia a la onda “más” o a la “menos”; por ejemplo, cuando la línea es sin pérdidas y entre
5 3 6 / Teoría electromagnética
los conductores hay aire, de (13.65) y (13.12) resulta vF - c. En el caso de la onda “estacionaria”, formada por una onda “más” y una “menos” de iguales magnitudes, la onda no viaja. 37. Cierto. Ya que la longitud de onda y la velocidad de fase de lá onda “más” están relacionadas con A= ^ r
.
(13.66)
donde f es la frecuencia de la señal y de la fuente de energía, y en el vacío una onda electromagnética “más-’ se propaga con la velocidad de la luz, que es la mayor velocidad posible. 38. Falso. Como la línea no se modifica, la velocidad de fase de la onda “más”, según (13.65), no cambia; en consecuencia —obsérvese (13.66f— la longitud de onda se duplica cuando la frecuencia de la fuente se reduce a la mitad. 39. Falso. Las soluciones generales incluyen, al resolver ésas ecuaciones, dos constantes,de; integración ;—obsérvense (13.22) y (13.23)— . Esas soluciones pueden usarse en líneas de longitud arbitraria sin necesidad de corregirías, y las constantes de integración se calculan con base en las condiciones de fron tera que hay en los extremos de generación y de carga de la línea.
13.6 Impedancia P r o p o s ic io n e s
1. La impedancia de línea tiene dimensiones de resistencia/íongitud. 2. La magnitud de la impedancia de línea no es uniforme. 3. La magnitud de la impedancia dé línea es unifórme en líneas sin pérdidas. 4. La fase de la impedancia de línea es uniforme. 5. La impedancia de línea no es igual a la característica en líneas sin pérdidas. 6.
Si se pone en corto la carga dé una línea sin pérdidas, la corriente de línea no tiende a infinito allí. 7. Si se pone en corto la carga de una línea sin pérdidas, la fase de la impe dancia de línea es^r. 8.
Si una línea sin pérdidas está abierta en la carga, la fase de ía impedancia de línea es n/2. 9. La impedancia de línea de toda línea real con la carga en corto es imaginaria.
L ín ea de transmisión / 5 3 7
S o lu c io n e s
1. Falso. Se deduce de (13.29) que tiene dimensiones de impedancia; en el SI se mide en [fí] 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La impedancia de línea es compleja, según (13.29), y, en general, depende de la posición; igualmente, de la posición dependen su magnitud y fase. En una línea real conectada a una carga en corto, por ejemplo, de (13.29) se deduce que Z(z) = -Z 0tanhyz, donde el origen de coordenadas se supone ubicado en la carga. Sin embargo, la magnitud de Z(z) es uniforme e igual a la de ZQ en un caso particular: cuando la línea transporta sólo la onda “más”. 3. Falso. Considérese, por ejemplo, una línea sin pérdidas, en la que Rz y Gz son 0, conectada a una carga en corto; de (13.29), en la que y - jP,"se sigue que .
Z(z) = - j Z 0tan (3z
(13.67)
Expresión qüe refuta la proposición. Sin embargo, la magnitud de Z(z) es uniforme e igual a Z0 en un caso; particular: cuando la línea sin pérdidas transporta sólo la onda “más”. 4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto, por ejemplo, en el caso particular de una línea que sólo transporta la onda “más”, en el cual la fase de Z(z) es igual a la de Z0, y falso en el caso general; las razones son las expuestas al solucionar la proposición 13.6.2. 5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. R. y Gz son iguales a 0 en líneas sin pérdidas; ello implica que y es igual a jfi porque no hay atenua ción, y, en general, se observa en (13.29) que Z(z) y Z0 son distintas. Sin em bargo, Z(z) es igual a Z0 en un caso particular: cuando la línea transporta sólo la onda “más”. 6 . Cierto. Ya que la línea es una red circuital de parámetros distribuidos, el voltaje y la corriente de línea no están directamente relacionados con la ley de Ohm. Si la carga de la línea es un corto, la impedancia de línea es 0 allí; además, se deduce de (13.22), (13.23) y (13.29) que, en la carga V+= ~V_, V (0 ) = 0
e
1 (0 ) = 2 V J Z 0.
7. Falso. En ese caso la impedancia de línea está dada por (13.67), y allí se observa que la fase es -n/2.
538 /
Teoría electromagnética
8.
Cierto. En la línea sin pérdidas la atenuación es 0, y cuando aquélla está abierta en la carga, la impedancia de línea es infinita allí; se deduce, enton ces, de (13.29), que F + = V_ y Z(z) = jZ0cot füz = Z0eJ*n cot j0z. 9. Falso. En toda línea real cuya carga es un corto, la impedancia de línea es 0 en ésta; se deduce, entonces, de (13.29), que F, = -F_ y Z(z) = -Z 0tanhyz, expresión que; refuta la proposición, ya que Z0 y la tangente hiperbólica de argumento complejo son, en general, cantidades complejas, es decir, tienen partes real e imaginaria. Hay casos particulares, sin embargo, como los tra tados en las dos proposiciones anteriores, en los cuales la impedancia de línea sí es imaginaria.
13.7 Coeficiente de reflexión P r o p o s ic io n e s
1. El coeficiente de reflexión tiene dimensiones de longitud. 2. La magnitud del coeficiente de reflexión es uniforme en una línea sin pérdidas. 3. La fase del coeficiente de reflexión no es uniforme en una línea sin pérdi das conectada a una carga cuya impedancia es reactiva. 4. Si el origen de coordenadas en una línea sin pérdidas se supone en la carga, y, en ésta, jT c - e !nn, entonces L(-3A/4) = - 2 '1/2(l + j). 5. Si el extremo de carga de una línea está abierto, el coeficiente de reflexión es 0 allí. 6.
Si el extremo de carga de uná línea está abierto, por la línea no puede circular corriente. 7. Si él extremo de carga de una línea está en corto, el coeficiente d e re flexión no es igual a la unidad allí. 8.
Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es compleja, en la carga la magnitud del coeficiente de reflexión puede ser mayor que la unidad. 9. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas és imaginaria, el co eficiente de reflexión es 0 en todo z ....— — __ ______ ____ __ .......... 10. La magnitud del coeficiente de reflexión en la carga no puede ser, en una línea real, mayor que la unidad.
Línea de transmisión / 5 3 9
11. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es real, en la cargada magnitud del coeficiente de reflexión es menor que la unidad. 12. Si la impedancia de carga de una línea real es imaginaria, la magnitud del coeficiente de reflexión en la carga no puede ser mayor que la unidad. 13. Si en la carga de una línea sin pérdidas el coeficiente de reflexión es igual a 0,5, la impedancia de la carga es 3Z0. 14. Si en la carga de una línea la magnitud del coeficiente de reflexión es 0, la magnitud de la impedancia de línea es uniforme. 15. Si en la carga de una línea sin pérdidas el coeficiente de reflexión es igual a la unidad, la magnitud de la impedancia de línea es uniforme. 16. Si en el extremo de generación de una línea el coeficiente de reflexión es 0 , la impedancia de línea es infinita allí. 17. Si se duplica la magnitud de la impedancia de la carga en líneas sin pér didas, no se duplica la magnitud del coeficiente de reflexión. 18. El coeficiente de reflexión en la carga de una línea real es, en función de la admitancia, F c = (Y_c + L 0)/(E c- E 0). 19. Si en una línea real el voltaje de línea es una onda “más”, el coeficiente de reflexión en la carga es igual a la. unidad. 20. La amplitud del voltaje de línea en la onda resultante es uniforme en una línea sin pérdidas. 21. La fase del voltaje de línea en la onda resultante no es uniforme en una línea sin pérdidas. 22. La velocidad de fase del voltaje de línea en lá onda resultante no es uni forme en una línea sin pérdidas. 23. Si el extremo de carga de una línea real está abierto, el voltaje de línea no es 0 allí. 24. Si el extremo de carga de una línea sin pérdidas está abierto, el voltaje de línea es diferente de 0 en todos los puntos de ésta. 25. Si dos líneas se conectan en paralelo a un generador, los voltajes de línea en aquéllas son funciones diferentes. 26. V{z)=■Ri /(z), donde i?, es la resistencia de línea por unidad de longitud. 27. Si el extremo de carga de una línea sin pérdidas está abierto, la corriente de línea es diferente de 0 en todos los puntos de ésta.
5 4 0 / Teoría electromagnética
28. En una onda “estacionaria” las funciones de onda son independientes del tiempo. 29. En una onda “estacionaria” la velocidad de fase es infinita. 30. Si la impedancia de carga de una líneá sin pérdidas es compleja, la onda resultante es “estacionaria”. 31. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es reactiva, la onda resultante no es viajera. 32. Si las ondas resultantes para el voltaje y la corriente de línea; son viajeras en una línea sin pérdidas, la impedancia dé carga tiene parte real. > 33. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es igual a la caracte rística, eT y hT son funciones de onda viajera. 34. Si se conectan a un generador dos líneas en paralelo, de impedancias características Z0] y Z02, la impedancia equivalente vista desde aquél no es = Zo,Z02/(Z 0|+ Z 02). 35. Si se conectan a un generador dos líneas sin pérdidas, en serie, de impe dancias características Z01 y Z02, la impedancia equivalente vista desde aquél es Z —Z01 + Z02. 36. Si se conectan en serie dos líneas sin pérdidas, y las impedancias caracte rística y de carga de la última son iguales, el coeficiente de transmisión del voltaje en el punto de unión es igual al coeficiente de reflexión de la prim e ra, evaluado allí, adicionado con la unidad.: 37. Si se conectan en serie dos líneas sin pérdidas, en el punto de unión el voltaje incidente es igual al reflejado más el transmitido. S o lu c io n e s
1. Falso. De (13.30) se concluye que es una cantidad adimensional. 2. Cierto. En líneas sin pérdidas, R z, Gz y la atenuación de la línea son 0; se deduce, entonces, de (13.30) y (13.31), que L (z)= L ce2J01= ¡re¡eM ^ z)
'
(13.68) .
donde se observa que la magnitud del coeficiente de reflexión es uniforme e iguala \ r c\ . ..; , .............................................................. .......-.................,........ 3. Cierto. (13.68) informa cómo depende de z el coeficiente de reflexión en una línea sin pérdidas, y en aquélla se observa que la fase no es uniforme; conocer la impedancia de la carga permite determinar |r,.| y 6C.
Linea de transmisión / 5 4 1
4. Cierto. En líneas sin pérdidas, R z¡ G. y la atenuación de la línea son 0; además, de (13.25) se deduce que ¡3 = 2n/X. Al sustituir en (13.30) resulta £(-3A/4) = e i[*'A)e
=e
= - 2 '1/2(l + 7 ).
'
5. Falso. En tal caso, la impedancia de línea es infinita allí, y se deduce de (13.34) que £ f = 1. 6.
Falso. En tal caso, la impedancia de línea es infinita en la carga, y se deduce
de (13.23), (13.31) y (13.34) que F, = F_ e l(z) = - (2F+senhyz)/zo. Recuérde se, además, que entre los conductores que forman la línea, y a lo largo de ésta, se establecen, en general, corrientes de desplazamiento y de conducción. 7. Cierto. En tal caso, la impedancia de línea es 0 allí, y se deduce de (13.34) que r r = - i. / ■ 8 . Falso. Si Rc y Xc son las partes resistiva y reactiva de la impedancia de car ga, Zj., que se suponen diferentes de 0 , y como en una línea sin pérdidas la impedancia característica es real, de (13.34) se deduce 1/2
I
R '+ jX r-Z o
K +jxc+z0
<
1
(13.69)
J í . + Z tj + X,! _
9. Falso. Se sigue directamente de (13.69), en la que Rc se anula, según la proposición, que la magnitud del coeficiente de reflexión en la carga es igual a la unidad; este valor es el mismo a lo largo de la línea, de acuerdo con la proposición 13.7.2. 10. Falso. El máximo valor del coeficiente de reflexión en la carga de una línea real és I + V2" = 2,414, y el fasor del voltaje en la onda reflejada puede tener allí una magnitud mayor que en la onda incidente. Aunque la conclu sión es sorprendente, no se viola el principio de la conservación de la ener gía, ya que la potencia entregada a la carga sigue siendo positiva. El máximo mencionado antes aparece en líneas conectadas a cargas de impedancias complejas, cuyas magnitudes son iguales a la de la impedancia característica; además, en esas líneas se deben cumplir las desigualdades ú)LJR^ « 1 y(úCJG .
>> 1, o co L J R . »
1
y ( ú C J G _ « 1. En los casos anteriores la atenuación
es alta, ya que R. o Gz son grandes, y el coeficiente de xeflexión permanece mayor que la unidad hasta una distancia de la carga que es una fracción pe queña de la longitud de onda. 11. Cierto. Se sigue directamente de (13.69), ya que Xc se anula.
542 / Teoría electromagnética
12. Cierto. Sean R 0 y X0 las partes resistiva y reactiva de la impedancia carac terística de la línea, Z0, compleja puesto que se trata de una línea real, y Xc la reactancia de la impedancia de carga, que es imaginaria, según la proposi ción. Se deduce de (13.34), entonces, que jX c - R 0 - j X 0 j X c + R 0 + j$.0
' R 02+( Xc - X o)2' _R02 +(X c+ X 0)2
13. Cierto. Se comprueba con (13.34). 14. Cierto. De acuerdo con (13.30), £(z) es 0; en consecuencia, se deduce de (13.32) que Z(z) es uniforme e igual a Z0; 15. Falso. De (13.30) y (13.32), tomando en cuenta que en la línea sin pérdi das la atenuación es 0 y la impedancia característica real, se deduce que l + e1'2* l - e i2Pl
Z0 cot (3z
16. Falso. Si en el extremo de generación de una línea el coeficiente de re flexión es 0, según (13.30) éste es 0 en el extremo de carga y, además, en todo z; en consecuencia, de acuerdo con (13.32) la impedancia de líiiea es uniforme e igual a Z0. 17. _Cierto...En.(13.34). no se observa una relación lineal entre las magnitudes de la impedancia de la carga y del coeficiente de reflexión. Nótese, además, que en este tipo de línea el valor máximo de la magnitud del coeficiente de reflexión es igual a la unidad, mientras que la impedancia de la carga puede llegar a ser infinita. 18. Falso. Como la admitancia es, por definición, el inverso de la impedan cia, de (13.34) salé -
.
r
—
—c:
_
y C - V4r0 ■■■ Yi_ c +Y ■ ~ i-o —
(13.70) •- -
19. Falso. Como no hay onda “menos”, el coeficiente de reflexión es unifor me e igual a 0 . 20. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si se supone que las cons tantes de integración que aparecen en (13.22) son V+= ViéJV y V__ = V2eJip, y c o m ó e h liñ é a s fih p é fd id á s ñ o 'h á y á té ñ ü á a Ó ft;_entonc e s (13:2 2 )se tra n sforma en
Línea de transmisión
/ 543
donde-Fy Q son la magnitud y la fase del fasor del voltaje; éstos cumplen F = [if + V* + 2V.K eos (2pz + (p- y,)]”
(15.72)
F, cos(/3z - iff) + F, cos(/3z + (p); Al sustituir (13.71) en (13.16) resulta v(z,t)= V cos(fút-d): ,
■
(13.74)
En los resultados anteriores se observa que. en general, la amplitud del voltaje de línea, F, no es uniforme. Sin embargo, cuando las impedancias característica y de carga son iguales, el coeficiente de reflexión es 0 ,. según . (13.34), y no hay onda reflejada; en tal caso E2 es 0, y en (13.72) se advierte que la amphtud del voltaje de línea es unifórmele igual a F,. ; y 21. Cierto. Las expresiones. (13.73) y"( 13.74) ratifican la proposición. Es lo que se espera al resolver una ecuación de onda y lo que se observa en las funciones de onda de las ondas viajeras. 22. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Para calcular la velocidad de fase de esa onda, se deriva con respecto al tiempo la fase respectiva, dada en (13.74), que se supone constante; resulta :A d / , a\ dOdz. dO ■ ( dd) 0 = — (Cút-6 = CO- - —;— = co- vF— v v, = ü)\ — di ■. ' dz di : dz ' .. \ dz
(13.75)
donde 6 se conoce en (13.73); la velocidad de fase, en general, resulta ser una función de z. Sin embargo, cuando las impedancias característica y de carga son iguales, el coeficiente de reflexión es 0, según (13.34), y no hay; onda reflejada; en tal caso F, es 0, y de (13.73) y (13.75) se deduce que 9 y la velocidad de fase son 6 = /3z —yr y vF = (ú/f3. 23. Cierto. En ese caso la impedancia de línea es infinita allí y el coeficiente de reflexión en la carga, según (13.34), es igual a la unidad; en consecuencia, se deduce de (13.31) y (13.22) que. el voltaje de línea no es 0 en la carga. 24. Falso. Ya que .!i(z) = E+( ? ) = 2 F,;cos^z, como se deduce de la ; proposición anterior, (13.31) v (13.22). Por tanto, si N es un número natural y se ubica el origen de coordenadas en la carga, el voltaje de línea se hace 0 cada que z = - (2N - l)n/(2f3) = ~(2N - l)A /4. 25. Cierto. Como las líneas se conectan en paralelo al generador, el voltaje de línea en ambas es el mismo allí y éste puede considerarse el voltaje de
544 / Teoría electromagnética
entrada de cada una. Para que los voltajes de línea sean funciones iguales se requiere, además, que las líneas tengan iguales longitud, constante de propa gación e impedancias característica y de carga; lo cual, en general, no ocurre. 26. Falso. Las dimensiones son incorrectas; recuérdese que f2z tiene dimen siones de resistencia por Unidad del longitud. En general, los fasores de vol taje y corriente están relacionados según (13.29): V_(z) = Z(z)/(z). 27. Falso. Ya que I(z) = V+(e~jPl -
- ~j2V +sen0z, como se deduce de la
proposición 13.7.23, (13.31) y (13.23). Por tanto, si N es un número natural y el origen de coordenadas está en la carga, la corriente de línea es 0 en la carga y cada que z = -N n /fí = -NA./2. .■ 28. Falso. Las funciones no son de onda si son independientes del tiempo. En la onda llamada “estacionaria”, las ondas viajeras “más” y “menos” tienen amplitudes iguales y se propagan con velocidades de fase también iguales, respectivamente, en el sentido del eje Z y en el opuesto, un punto de fase constante no viaja a lo largo del eje Z y los nodos están en reposo; la vibra ción es semejante a la de una cuerda de guitarra pulsada. Las proposiciones 13.7.24 y 13.7.27 incluyen ejemplos de los fasores de corriente y de voltaje en una onda “estacionaria”. 29. Cierto. En el caso de una línea sin pérdidas cuya extremo de carga está abierto, por ejemplo, y en la cual, como se indicó en las proposiciones 13.7.24 y 13.7.27, el coeficiente de reflexión en la Carga es igual a la unidad y la onda resultante “estacionaria”, se sabe que V += V_ . Al llevar este resul tado a (13.73) y (13.75) se encuentra que 0 es igual a la fase de V+, pero de signo opuesto, y que la velocidad de fase es infinita. 30. Falso. Las ondas viajeras “m ás” y “menos” tienen amplitudes iguales en la onda “estacionaria”, y ello exige que la magnitud del coeficiente de re flexión en la carga sea igual a la unidad, y que la línea sea sin pérdidas; esto ocurre, según (13.69), cuando el extremo de carga de la línea está abierto, en corto o tiene una impedancia reactiva: Si la impedancia de carga es com pleja, tiene parte resistiva, y por tanto la magnitud del coeficiente de re flexión en la carga, según (13.69), es menor que la unidad. 31. Cierto. En tal caso, de acuerdo con la proposición 13.7.9, la magnitud del coeficiente de reflexión en la carga es igual a la unidad, y son iguales, también, las amplitudes-de las-ondas-“más”.y ‘-menos”; en, consecuencia, la _ onda resultante no viaja y es “estacionaria”. 32. Cierto. Si las ondas resultantes son viajeras, y no “estacionarias”, la mag nitud del coeficiente de reflexión en la carga debe ser menor que la unidad;
Línea de tra n sm isió n /
545
esto ocurre, según (13.69) cuando la impedancia de carga tiene parte resisti va. En consecuencia, las ondas viajan y sus velocidades de fase pueden hallar se con (13.75); cuando las impedancias característica y de carga son iguales, p o r ejemplo, las ondas resultantes viajan con la velocidad (LzCz) m 33. Falso. Las intensidades normalizadas de los campos eléctrico y magnéti co, eT y hT, son vectores transversales dependientes, según (13.8), sólo de las coordenadas transversales de la línea; es decir, no dependen del tiempo y no pueden ser funciones ondulatorias. 34. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Si en el punto de conexión con el generador las impedancias de línea respectivas, que sustituyen las líneas allí, son Z, y Z2, la impedancia equivalente vista desde aquél, la cual refuta la proposición, es Ze = Z1Z2/(Z 1 + Z2). Sin embargo, si en cada una de las líneas las impedancias característica y de carga son iguales, en aquéllas los coeficientes de reflexión son nulos, las impedancias de línea son uniformes e iguales a las respectivas impedancias características, y la proposición es cierta. 35. Falso. Las líneas en serie no se comportan como resistores en serie. En efecto, sea 1 la línea conectada directamente al generador y 2 la conectada a la 1. En los extremos de generación respectivos, la línea 2 puede sustituirse por la impedancia de línea allí, Z2, y la 1, cuya impedancia de carga es Z2, por la impedancia de línea Z¡; ésta es la que “ve” el generador. 36. Cierto. Con 1 y 2 se denotan, respectivamente, la primera de las líneas y la conectada a ésta; además, el origen de coordenadas se supone en el punto de conexión entre las líneas. En la 2 el coeficiente de reflexión es 0, según (13.34), y se presenta una onda viajera pura; los fasores de voltaje en las líneas son -ÍPv K,(2)-I£ ,
+ L c\e
-jP2= y E ,(*) = E +2«
En el punto de unión de las líneas los voltajes de línea coinciden; allí, enton ces, E +i(l + £ ci) = E +2 y H\2 = E+2/E+] = 1 + donde T I2 es el coeficiente de transmisión en el punto de conexión de las líneas. 37. Falso. Donde se unen las líneas se tiene, según la anterior proposición, E +l + E - i = E + 2>’ es decir, el voltaje incidente más el reflejado es igual al trans mitido.
5 4 6 / Teoría electromagnética
13.8 Potencia y energía P r o p o s ic io n e s 1.
S tiene, en las líneas, dimensiones de energía/área.
2. S no es irrotacional, en el modo TEM, en úna línea sin pérdidas. 3. S no es conservativo, en el modo TEM, en la sección recta de una línea sin pérdidas. 4. S no es solenoidal en una línea sin pérdidas. 5. La potencia se transporta en las líneas, por los conductores de las mismas, mediante corrientes inducidas en éstos. 6.
En el SI la potencia compleja puede medirse en |J].
7. P(z) es el fasor, en líneas reales, de p(z, t).. . 8.
La potencia instantánea es uniforme en una línea real.
9. La potencia instantánea no es uniforme en una línea sin pérdidas. 10. La potencia media es nula en una línea sin pérdidas. 11. La parte real de la potencia compleja es uniforme en una línea real. 12. La parte real de la potencia compleja es uniforme en una línea sin pér d i d a s . .... -■:■ -.... :...............— 13. La parte imaginaria de la potencia compleja, en una línea, está directa mente relacionada con la potencia disipada. 14. La potencia reactiva no es uniforme en una línea. 15. La potencia reactiva puede ser 0 en una línea. 16. Si la potencia compleja por unidad de longitud es imaginaria en una línea, ésta no tiene pérdidas. 17. La fase de la potencia compleja es uniforme en una línea. 18. Si las impedancias característica y de carga son iguales en una línea sin pérdidas, la potencia instantánea es uniforme. 19. Si el extremo de carga en una línea sin pérdidas está en corto, la parte real de la potencia compleja es 0 . 20. Si las impedancias característica y de carga en una línea sin pérdidas son iguales, la potencia reactiva es 0 . 21. Si la impedancia de carga en una línea sin pérdidas es reactiva, la poten cia reactiva es 0 .
Línea detransm isión /
547-
22. Si la impedancia de carga en una línea sin pérdidas es reactiva, las ener gías medias acumuladas en la inductancia y en la capacitancia no son iguales. 23. Si se presenta una onda “estacionaria” en una línea sin pérdidas, las energías medias acumuladas en la inductancia y en la capacitancia son iguales. 24. Si la impedancia de carga en una línea sin pérdidas es un capacitor, la energía se propaga en aquélla con la velocidad de la luz. 25. Si la impedancia de carga en una línea sin pérdidas está en corto, la energía no se propaga. 26. La energía eléctrica media, por unidad de longitud, es el doble de la magnética en la onda “más” de una línea sin pérdidas. 27. Si se aumenta el voltaje de línea al máximo posible, se reducen las p ér didas de energía por transmisión. 28. Según la expresión V 2/R, para disminuir las pérdidas de energía debidas a la resistencia de una línea se debe reducir el voltaje al mínimo posible. S o lu c io n e s
1. Falso. Con base en (6.3), y de manera análoga a las potencias complejas establecidas en (12.17) y (13.39), el vector complejo de Poynting se define con S = |l x #*
(13.76)
dónde E y H son los fasóres de las intensidades del campo eléctrico y el mag nético; por tanto, tiene las mismas dimensiones del vector de Poynting real: potencia/área. 2. Cierto. El rotacional de S, calculado a partir de (6.3) con ayuda de una identidad vectorial, es V x S = (H ®V)E - H{V • E) +£(V • H ) - ( E » V)H = (íí « V)E -{E ®V)H *0 donde se tomó en cuenta que E y H son solenoidales. 3. Falso. S tiene la dirección de propagación en el modo TEM, según se ob servó en la proposición 13.1.5, y en toda curva cerrada, c, ubicada en el pla no de una sección recta de la línea, el ds es perpendicular a aquella direc ción; entonces
=0. Los resultados de la anterior y la presente propo
sición no violan el teorema de Stokes, por cuanto en ésta la circulación de S está restringida al plano de una sección recta. 4. Cierto. Se deduce de (6.1) que
548/
Teoría electromagnética
v.s =-
dt
!i*r+>r .* O
ya que en la región de propagación no hay fuentes de energía, la permitividad es e, la permeabilidad es ¡x y, en líneas sin pérdidas, la conductividad es 0 . 5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La potencia se transmite por los conductores que conectan la carga a la fuente de energía, según la teoría de la acción a distancia, mediante las corrientes que éstos conducen; en cualquier sección recta el monto se calcula con (13.35). Sin embargo, de acuerdo con la teoría de la acción por contacto, la potencia llega a la carga por el espacio, a través del campo electromagnético, y en cualquier sección recta el valor se calcula a partir del flujo del vector de Poynting. 6.
Falso. En el SI la potencia compleja, de acuerdo con (13.39), se mide en [W].
7. Falso. P(z) es una cantidad compleja, definida eri (13.39), pero rio el fasor de p{z, t), definida en (13.35), ya que estas cantidades no satisfacen, como se observa en (13.37), la relación que cumple el fasor de una cantidad real; es decir, p(z, ¿)*Re{p(;z)e-'“' } 8.
Falso. Ya que (13.36) no es 0.
9. Cierto. Aunque la línea es sin pérdidas, (13.36) no es 0. 10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Al tomar la parte real de (13.40) y usar (13.38) resulta -{d/dz'j < p(z, i) > = 0, y se concluye que en esa línea, en general, la potencia media es uniforme; es decir, la línea transmite hasta la carga toda la potencia que entrega el generador. Sin embargo, cuando la carga de la línea está abierta, en corto o la impedancia de carga es reactiva, la magnitud del coeficiente de reflexión es igual a la tinidad, la on da compuesta és “estacionaria" y la potencia media en la línea es 0 ; es decir, la línea no transporta potencia, ya que la onda no viaja. 11. Falso. Ya que al tomar la parte real de (13.40) resulta -^-R e{P(z)}= . dz
f
1
^ .líf + | a | £ l ! ^
0
12. Cierto. Se deduce de la proposición anterior, ya que Rz y Gz son 0 en una líriea sin pérdidas. 13. Falso. Se observa en (13.40) que el cambio de la potencia reactiva de una línea, en un segmento infinitesimal de ésta, es directamente proporcionaba la diferencia entre las energías magnética y eléctrica, promedias, acumuladas en el mismo segmento.
Línea de transmisión
/ 549
14. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Al tomar la parte imagina ria de (13.40) sale dQSz) = 20,^41/1'-¿C|K|’' dz
*0
y se observa que Q(z) no es uniforme, en general, porque las energías magné tica y eléctrica promedias son diferentes. Sin embargo, cuando la línea es sin pérdidas y en ésta son iguales las impedancias característica y de carga, no hay onda reflejada y se propaga una onda “más”; en tal casó, (13.22), (13.23) y (13.24) se reducen a Z + -JO: K(z) =Z S J0\l(z)=-=^e~J Pl y
2o =
' lT a,
(13.77)
Se concluye, entonces, que las energías magnética y eléctrica medias son iguales, y que la potencia reactiva es uniforme. 15. Cierto. Considérese, por ejemplo, una línea sin pérdidas, en la cual las impedancias característica y de carga son iguales, Para calcular la potencia compleja en esa línea puede usarse (13.77), y resulta (13.78) Expresión que no tiene parte imaginaria. 16. Cierto. De acuerdo con (13.40) la parte real de la potencia compleja por unidad de longitud se anula, dado que está formada por la suma de dos can tidades positivas, sólo cuando7L y G: son 0. 17. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En las proposiciones 13.9.11 y 13.9.14 se demostró que, en general, las partes real e imaginaria de la potencia compleja no son uniformes y, en consecuencia, tampoco es uniforme la fase respectiva; ésta es el ángulo cuya tangente es igual a la ra zón entre las partes imaginaria y real de aquélla. Sin embargo, cuando la línea es sin pérdidas y tiene iguales las impedancias característica y de carga, las partes real e imaginaria de la potencia compleja son uniformes, como se demostró en las proposiciones 13.9.12 y 13.9.14, y, por tanto, en este caso la fase respectiva si es uniforme. 18. Falso. Los fasores de voltaje y de corriente de esa línea están dados en (13.77); al llevar esos fasores a (13.16) salen v{z,t) = \V_+\cos((üt-fiz + d) e
40= k +|cos(p) t-/3 z + 0)]/Zo donde
|F +| y 9 son la magnitud y fase de V+.
5 5 0 / Teoría electromagnética.
Al multiplicar los resultados anteriores se obtiene, según (13.35), la potencia instantánea; ésta depende de z. 19. Cierto. En esa línea la magnitud del coeficiente de reflexión es igual a la unidad, según (13.34), y al llevar este valor a (13.42) se anula la parte real de la potencia compleja. Ello quiere decir que la línea no transfiere potencia desde el generador a ese tipo de carga. 20. Cierto. Las explicaciones sé dieron en la proposición 13.8.15. 21. Falso. En esa línea la magnitud del coeficiente de reflexión es igual a la unidad, según (13.69), y al llevar este valor a (13.42) se observa que la parte real de la potencia compleja se anula,"pero la imaginaria no. 22. Cierto. Esas enérgías son iguales, como se explicó en la proposición 13.8.14, sólo cuando el coeficiente de reflexión en la línea es 0; de ocurrir, ello implica que las impedancias característica y de carga de la línea son iguales, y que ésta es, entonces, real. 23. Falso. Una onda “estacionaria” se presenta en una línea sin pérdidas cuando la magnitud del coeficiente de reflexión en ésta es igual a la unidad, y ello ocurre cuando la carga és reactiva, está abierta o en corto; en conse cuencia, las energías citadas no pueden ser iguales, de acuerdo con las razo nes expuestas en la proposición anterior. 24. Falso. Como en esa línea la magnitud del coeficiente de reflexión es igual a la unidad, según (13.69), la onda resulta ser “estacionaria” y la ener gía no se propaga. 25. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición anterior. 26. Falso. Son iguales, de acuerdo con la proposición 13.8.14. 27. Cierto. Se deduce de (13.41); en efecto, una de las principales causas de la pérdida de energía por transmisión en las líneas es la resistencia eléctrica de los conductores que la forman y aquélla puede minimizarse si la corriente de línea se disminuye al mínimo posible, lo que hace máximo el voltaje. Se debe, además, para aminorar la pérdida de energía asociada con el voltaje, reducirse al mínimo la conductancia por unidad de longitud entre los conduc tores; ya sea porque éstos se aíslan debidamente ó porque se apartan mucho entre sí. 28. Falso. Por las razones expuestas en la proposición anterior. Obsérvese que la línea es un circuito eléctrico de parámetros distribuidos, y la pérdida de energía en aquélla se calcula con (13.41) y no con (12.35), que es aplica ble a un resistor.
Línea de transmisión /
13.9 Voltajes y corrientes extremos; P r o p o s ic io n e s
551
RO EV
.
1. Si la distancia entre la carga y un mínimo de la magnitud del fasor de voltaje de una línea sin pérdidas es A /2, la fase del coeficiente dé reflexión en la carga es 0 . 2. Si la distancia entre la carga y un máximo de la magnitud del fasor de voltaje de una línea sin pérdidas es A/4, la fase del coeficiente de reflexión en la carga es -Jt. 3. Si la distancia entre la carga y el prim er máximo de la magnitud del fasor de corriente en una línea sin pérdidas es A/4, la fase del coeficiente de re flexión en la carga es 7r/2. ; ' 4. Si en la carga de una línea sin pérdidas hay un máximo de la magnitud del fasor de voltaje, aquélla está abierta. 5. Si en la carga de una línea sin pérdidas hay un máximo de la magnitud del fasor de corriente, aquélla es capacitiva. 6.
Si en la carga de una línea sin pérdidas hay un mínimo de la magnitud del fasor de corriente, aquélla no está en corto. 7. La magnitud de la impedancia de línea es mínima, en líneas sin pérdidas, en un punto donde la magnitud del fasor de voltaje es máxima. 8 . La impedancia de línea es real, en líneas sin pérdidas, en un punto donde la magnitud del fasor de corriente es máxima.
9. Los puntos donde la magnitud del fasor de voltaje es máxima y la del de corriente mínima, coinciden en líneas sin pérdidas. 10. Los máximos de las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente apa recen, en líneas sin pérdidas, en los mismos puntos de éstas. 11. Un mismo punto del plano £ corresponde, en líneas sin pérdidas, a los máximos de las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente. 12. La razón entre el máximo y el mínimo de la magnitud del fasor de volta-' je es el doble, en una línea sin pérdidas, de la razón entre el máximo y el mínimo de la magnitud del fasor de corriente. 13. La ROEV de una onda “estacionaria” es infinita en una línea sin pérdidas. 14. La ROEV de una onda viajera pura es igual a 0 en una línea sin pérdidas.
5 5 2 / Teoría electromagnética
15. La ROEV es mayor cuando la impedancia de carga es imaginaria, en una línea sin pérdidas, que cuando es real. 16. La ROEV es mayor cuando la impedancia de carga es compleja, en una línea sin pérdidas, que cuando es imaginaria. 17. Si la impedancia de cargá de úna línea sin pérdidas es reactiva, la ROEV es infinita. 18. La ROEV es 3, en una línea sin pérdidas, cuando Zc = 3Z0. 19. Si en una línea sin pérdidas la ROEV es 5, la magnitud del coeficiente de reflexión es 1/3. S o lu c io n e s
"'l';
1. Falso. Como la distancia entre dos mínimos consecutivos dé la magnitud del fasor de voltaje en una línéa sin pérdidas es A/2, se concluye que en la carga de la línea hay un mínimo de esa magnitud y, de (13.47), que la fase del coeficiente de reflexión en la carga es -n. 2. Cierto. Como la distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos de la magnitud del fasor del voltaje en una línea sin pérdidas es A/4, se deduce que en la carga de la línea hay un mínimo de esa magnitud y, de (13.47), que la fase del coeficiente de reflexión en la carga es 3. Falso. Como la distancia entre máximos consecutivos de las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente en una línea sin pérdidas es A/4, se con cluye que en la carga de la línea hay un máximo de la magnitud del fasor de voltaje y que la fase del coeficiente de reflexión en la carga es 0 . 4. Falso. En tal casó, el prim er mínimo se encuentra a A/4 de la carga, pues to que ésa es la distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos de la magnitud del fasor de voltaje; se deduce entonces, de (13.47), q u eja fase del coeficiente de reflexión en la carga es 0, y que ésta, según (13.34), es resisti va pura, pero no necesariamente infinita. 5. Falso. En tal casó, en la carga de la línea hay un mínimo de la magnitud del fasor de voltaje; se sigue entonces, de (13.47), que la fase del coeficiente de reflexión en la carga es -n; y que ésta es resistiva pura. 6. Cierto. En tal caso, en la carga de la línea hay un máximo de la magnitud del fasor-de voltaje y el-pr-imer-mínimo se presenta a-A/4 de aquélla;-se-de^ i duce entonces, de (13.34), que la fase del coeficiente de reflexión en la carga es 0 y no -n, como correspondería a un corto.
Línea de transmisión
/ 553
7. Falso. En ese punto las magnitudes de [l + £(z)] y [l-r(z )], toman, respec tivamente, sus magnitudes máxima y mínima; por tanto, se deduce dé (13.32) que en el punto en cuestión la impedancia de línea es máxima, real y vale Z(z) = Z1(l + |r ,|) /( l- |r ,|) . 8.
Cierto. En ese punto las magnitudes de [l+£(z)] y [l -r(z )], toman, res pectivamente, sus magnitudes mínima y máxima; por tanto, se sigue de (13.32) que en el punto en cuestión la impedancia de línea es mínima, real y valeZ(z) = ZJ( l - |r , |) / ( l + |r,[). 9. Cierto. Se deduce, matemáticamente, de (13.43) y (13.44), y gráficamente con el auxilio del plano £ como se observa en la figura (13.11). 10. Falso. La distancia entre puntos consecutivos (véase figura 13.11), en los que se presentan máximos de las magnitudes de los fasores de voltaje y cOrriente es A/4. 11. Cierto. Esos máximos son proporcionales a (l + |.Tc[); según (13.45) y (13.46) por tanto, en el plano £ ambos máximos están representados por el punto ( \£ c\, 0). Conviene advertir, sin embargo, que los máximos consecuti vos de las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente están separados en la línea por la distancia A/4. 12. Falso. Se verifica en (13.45) y (13.46) que esas razones son iguales. 13. Cierto. Se sigüe de (13:48), ya que la onda “estacionaria” aparece en una línea sin pérdidas cuando la magnitud del coeficiente de reflexión en la car ga es igual a la unidad. 14. Falso. Una onda viajera pura aparece en una línea sin pérdidas cuando el coeficiente de reflexión en la carga es 0 , y no hay onda reflejada; por tan to, se deduce de (13.48) que la ROEV es igual a la unidad. 15. Cierto. La magnitud del coeficiente de reflexión en la carga de una línea sin pérdidas es igual a la unidad, según (13.69), cuando la impedancia de la carga es imaginaria, y menor que la unidad si ésta es real; en consecuencia, de (13.48) se deduce que en el prim er caso la ROEV es infinita. 16. Falso. La ROÉV es infinita—revisar la proposición anterior— cuando la impedancia de carga es imaginaria, y finita si la impedancia de carga es com pleja, ya que, en tal caso, la magnitud del coeficiente de reflexión en la carga es menor que la unidad. 17. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición 13.9.15.
554 / Teoría, electromagnética
18. Cierto. El coeficiente de reflexión en la carga de tal línea es igual, según (13.34), a 1/2; con este valor, de (13.48) se deduce que la ROEV es 3. 19. Falso. Cuando la ROEV vale 5, la magnitud del coeficiente de reflexión, de acuerdo con (13.48), es 2/3.
13.10 Cartas dé Smith y Cárter P r o p o s ic io n e s
1. Moverse hacia el generador en la línea equivale, en la carta de Smith, a moverse en el sentido de las manecillas del reloj. 2. Las curvas de r uniforme son circunferencias concéntricas en la carta de Smith en coordenadas de impedancia. 3. La intersección de una circunferencia de x uniforme con otra de r unifor me, en la carta de Smith en coordenadas de impedancia, representa el com p le jo ^ . 4. Los puntos que representan el coeficiente de reflexión en la carga de una línea, cuando la carga es un corto o está abierta, en la carta de Smith en co ordenadas de impedancia, son las intersecciones entre el eje real y la circun ferencia de r igual a 0 . 5. Los puntos que se encuentran sobre el eje imaginario, en la carta de Smith en coordenadas de impedancia, corresponden a impedancias de línea reactivas. 6.
El centro de la carta de Smith en coordenadas de impedancia corresponde a líneas cuyas impedancias de carga y característica son igüales. 7. La ROEV puede leerse directamente en la carta de Smith. 8.
Las curvas de b unifórme son circunferencias concéntricas en la carta de Smith en coordenadas de admitancia. 9. La carta de Smith en coordenadas de admitancia puede obtenerse al rotar 180°, alrededor del centro, la carta elaborada en coordenadas de impedancia. 10. El punto que corresponde a la carga en corto de una línea, en la carta de Smith en coordenadas de admitancia, se encuentra sobre el eje real positivo. 11. El centro de la carta de Smith en coordenadas de admitancia correspon de a líneas que sostienen ondas viajeras puras. 12. La circunferencia de g igual a la unidad, en la carta de Smith en coorde nadas de admitancia, representa líneas sin pérdidas que sostienen ondas “estacionarias”.
Línea de transmisión / 5 5 5
13. La intersección de una circunferencia de \z„ | uniforme con otra de 8 „ uniforme, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, representa el complejo £(z). 14. No es posible representar circunferencias de fase uniforme, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, que corresponden a > 90°. 15. El punto que corresponde a la carga en corto de una línea, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, se encuentra sobre el eje real negativo. 16. Los puntos que se encuentran sobre el eje real, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, corresponden a impedancias de línea resistivas. 17. Los puntos que representan impedancias normalizadas iguales a 2e^m y 0 . 5.jn/6, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, son simétricos con respecto al eje real. 18. La ROEV puede leerse directamente en la carta de Cárter. 19. Los puntos que representan los máximos de las magnitudes de los fasores de voltaje y de corriente en una línea sin pérdidas, en la carta de Cárter, difieren 180° entre sí. 20. El punto que corresponde a la carga abierta de una línea, en la carta de Cárter en coordenadas de admitancia, se encuentra sobre el eje real negativo. 21. Los trazos de las circunferencias que, en la carta de Cárter en coordena das de admitancia, corresponden a valores de la fase comprendidos en el intervalo 0 <
El centro de la carta de Cárter en coordenadas de admitancia correspon de a líneas que sostienen una onda “estacionaria”. S o lu c io n e s
1. Cierto. La carta de Smith es un nomograma dibujado en el plano F, y en éste los ángulos negativos se miden, a partir del eje real, en el sentido dé las manecillas del reloj. Al variar z en la línea en dirección al generador, si se ubica el origen de coordenadas en la carga, el punto que en la carta repre senta a £ describe una circunferencia en el mismo sentido de las agujas del reloj —véase la figura 13.9— como se deduce al estudiar el crecimiento del sustraendo de la fase de (13.30); ecuación que, en líneas sin pérdidas, se reduce a r(z )= \r 2. Falso. Son circunferencias de centro en [r/(r + l),o] y radio l/(r + l); pasan por el punto ( 1, 0 ) y sus centros están ubicados en el eje real.
556 / Teoría electromagnética
3. Falso. Como la carta de Smith es un gráfico dibujado en el plano £, el punto que resulta de la intersección de esas circunferencias corresponde a un coeficiente de reflexión. 4. Cierto. T c = - 1, según (13.34), cuando la carga de una línea sin pérdidas está en corto, y F c =1, si la carga es un circuito abierto. Esos valores se re presentan en el plano £, respectivamente, por los puntos ( - 1, 0 ) y ( 1, 0 ), los cuales, según (13.52), coinciden con los puntos donde la circunferencia, de r = 0 , corta el eje real. •■ , ' , 5. Falso. Cuando la impedancia de línea es reactiva, la resistencia normali zada es 0. Los puntos de la carta de Smith en coordenadas de impedancia que corresponden a r = 0, son, según (13.52), los de la circunferencia de radio igual a la unidad; es decir, el perím etro del nomograma. 6.
Cierto. En el centro de la carta de Smith el coeficiente de reflexión es 0, y éste mismo es el valor del coeficiente, según (13.34), en una línea como la descrita. 7. Cierto. Donde la circunferencia correspondiente al ijz) de la línea sin pérdidas corta la parte positiva del eje real, en la carta de Smith en coorde nadas de impedancia, se lee un valor de la resistencia normalizada de la lí nea en cuestión, que es igual a la ROEV de ésta. En efecto, en ese punto se cumplen F (z) = |F c| y x(z) = 0, y al sustituirlos én (13.49), de donde se despeja z„(z) y se toma en cuenta (13.48), resulta que z (z) = r(z) = 1 + = = ROEV ’ w i- r (z ) í- lr .l 8.
Falso. Son circunferencias de centro en (-1, 1/6) y radio 1/|6|; pasan por el
punto ( - 1, 0 ) y sus centros están ubicados en la recta r R - - 1. 9. Cierto. La carta dé Smith en coordenadas de admitancia se basa en (13.33), escrita en términos de admitancia: F(z) = r (z) + ÍT (z) = - ¥¡¿hI=!L = _ É + 7.1 F (z)+ y 0 ;y (z )+ l g + i 6 +l
(13 79) ' • }
donde y (z)=F(z)/í /0 = g + jb es la admitancia normalizada de línea, cuyas partes conductiva y susceptiva son g y b. El signo menos que aparece en la ecuación a n te rio r equivale a in v e rtir, en el plano £ , el sentido de los ejes real
Línea de transmisión / 5 5 7
e imaginario, y ello es lo mismo que rotar 180°, alrededor del centro, la carta de Smith en coordenadas de impedancia. 10. Falso. Cuando la carga de la línea está en corto, el coeficiente de re flexión allí es -1, y en la carta de Smith queda representado, para cualquier tipo de coordenadas, por el punto ( - 1, 0 ); por tanto, ese punto está en la parte negativa del eje real. 11. Cierto. En las líneas que sostienen ondas viajeras puras el coeficiente de reflexión es 0, y esté valor corresponde al centro de la carta de Smith en cualquiér tipo de coordenadas. 12. Falso. Porque en una onda “estacionaria”, que no viaja, la magnitud del coeficiente de reflexión es unitaria, valor que aparece en líneas cuyas cargas son reactivas, están en corto o abiertas; es decir, cargas en las cuales g es 0 o infinito. 13. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición 13.10.3. 14. Falso. Las fases respectivas se pueden reducir, tomando en cuenta (13.56), al intervalo -90° < 6n < 90°; la circunferencia de fase uniforme que corresponde a 0 „ = 1 2 0 °, por ejemplo, tiene centro en el punto [0 , (S)-1''2] del plano £, su radio es 2(3)_1/2, y coincide con la de = -60°. 15. Cierto. Es el punto (-1, 0), según las razones expuestas en la proposición 13.10.10; recuérdese que la carta es un nomograma en el plano r. 16. Cierto. Cuando la impedancia de línea es resistiva, la fase de la impe dancia normalizada es 0. Los puntos de la carta de Cárter en coordenadas de impedancia que corresponden a 6n - 0o, son, según (13.56), los de una cir cunferencia de centro en el infinito y de radio infinito; es decir, el eje hori zontal del nomograma.17. Falso. Dos impedancias normalizadas, de fases iguales y magnitudes re cíprocas, como las propuestas, determinan puntos que son simétricos con res pecto al eje imaginario en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia. 18. Cierto. Donde la circunferencia correspondiente al £{z) de la línea sin pérdidas corta la parte positiva del eje real, en la carta de Cárter en coorde nadas de impedancia, se lee un valor de la magnitud de la impedancia nor malizada de la línea en cuestión, que es igual a la ROEV de ésta. En efecto, en ese punto se cumplen r(z) = | r j y 0n(z) = O°, y al sustituirlos en (13.53), de donde se despeja |z„(z) | y se toma en cuenta (13.48), resulta
5 5 8 / Teoría electromagnética
Z
i + |r l i'+ i f r ) =— = 4 = í ?o £ f
1-r(z)
19. Falso. Gomo la carta de Cárter es un nomograma en el plano £, esos máximos están representados, de acuerdo con la proposición 13.9.11, en un mismo punto del eje real positivo. 20. Falso. Como el coeficiente de reflexión en la carga abierta de una línea es igual a la unidad, y la carta de Cárter es, en coordenadas de impedancia o admitancia, un nomograma en el plano £, aquélla queda representada en el punto (1, 0).
21. Cierto. Se deduce de (13.56) que, en la carta de Cárter en coordenadas de impedancia, los trazos de las circunferencias correspondientes a valores de 6n comprendidos en el intervalo señalado están por encima del eje real; y la carta en coordenadas de admitancia puede obtenerse de la anterior al rotarla 180° alrededor del centro. 22. Falso. En el centro de la carta el coeficiente de reflexión es 0, pero en las líneas que sostienen una onda “estacionaria” la magnitud de ese coeficiente es unitaria.
13.11 Transformadores y acopladores P r o p o s ic io n e s
1. Si N es un número natural,
en una línea sin pérdidas
/(z) = /(z ± NX/2).
2. Si N es un número natural,
en una línea sin pérdidas
V(z) = -V(z ± NÁ/2).
3. Si N es un número natural,
en una línea sin pérdidas
P(z) = P(z ± JVA/2).,
4. Si Zc = 4Z0, en una línea sin pérdidas, entonces Z(-3A) = Z0 /4. 5. Si en una línea sin pérdidas la impedancia de carga es resistiva, a /1/2 de ésta la fase de la impedancia de línea es nula. 6.
Si en una línea sin pérdidas la impedancia de carga es compleja, a 5/1 de ésta la fase del coeficiente de reflexión es nula. 7. El transformador de X/A es inaplicable en líneas reales. 8.
Si Zf = 4Z0, en una línea sin pérdidas, entonces Z(-1,25A) = Z0/4.
Línea de transmisión /
559
9. Si la carga de una línea sin pérdidas está abierta, a A/4 de aquélla la impedancia de línea es infinita. 10. La impedancia característica de una línea es media geométrica entre las impedancias de línea en dos puntos de ésta distanciados A/4.. 11. Al acoplar una línea sin pérdidas a una carga de impedancia resistiva, usando un transformador de A/4, puede entregarse a ésta el 100% de la po tencia. . 12. Si Zc = 4Z0, y se usa un transformador de A/4 para acoplar la línea a la carga, se entrega a ésta el 89% de la potencia que conduce la línea. 13. Ün transformador de A/4 sirve para acoplar una línea sin pérdidas a una carga de impedancia compleja. 14. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es reactiva, la onda reflejada en ésta puede eliminarse en la línea principal con un acoplador en paralelo. 15. Si la impedancia de carga de una línea sin pérdidas es resistiva, la onda reflejada en ésta no puede eliminarse en la línea principal con un acoplador en paralelo. 16. La línea acopladora conectada en paralelo, que se usa para eliminar la onda reflejada de una línea sin pérdidas, puede tener una impedancia carac terística diferente a la de ésta. 17. Si se usa un acoplador conectado en paralelo para eliminar la onda refle jada de una línea sin pérdidas, se obtiene una ROEV infinita en ésta. 18. Si se usa un acoplador conectado en paralelo para eliminar la onda refle jada en una línea sin perdidas, la longitud Z, no es un múltiplo entero de la longitud de onda. 19. Si la línea sin perdidas y la línea acopladora que la conecta a la carga tienen medios materiales cuyos parámetros, ¡x ye, son distintos, la frecuencia de la señal que se propaga en aquéllos es diferente. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación ¡3 - 2n/X, en líneas sin pér didas, entonces e±jpnui= e ±j,» = ( - i y
De (13.23), (13.30), (13.57) y (13.80) resulta
(13.80)
5 6 0 / Teoría electromagnética y
- jü itjm n
/( z ± a u / 2 ) = —-
y
-je--
■■— - [ i - r ( z ± m / 2 ) ] = ( - i y =*— ¿0
[i- r ( z)]
^0
; J ( z ± N k /2 )= (-l)Nl( z)
(13.81)
En conclusión, la proposición es cierta cuando N es par; falsa, si es impar. 2. Cierto ,y falso. De acuerdo con la explicación. En líneas sin pérdidas, de (13.22), (13.30), (13.57) y (13.80) f
V(z± N k/2)= V+e-jPle±}liMn [l + £(z ± NÁ/2)]= (- l)NF ^ ' J,,1[l + £(z)] ;v /. V(z ± N k/2) = (~ l)NV(z)
:
(13.82)
Por tanto, la proposición es cierta cuando N es impar; falsa, si es par. 3. Cierto. De (13.39), (13.81) y (13.82) se deduce P(z ± N k /2 )= | V(z ± N k /2)/* (z ± A^A/2) = | (- l)2WV (z)í (z) = ^ V{z)í’ (z) P ( z ± k /2 ) = P(z) 4. Falso. Como 3k es un múltiplo entero de k / 2, al aplicar (13.58) se encuen tra que la impedanciá de línea en el punto mencionado es igual a la de carga. 5. Cierto. Al aplicar (13.58) se deduce que la impedancia de línea.a_la distancia,, informada es igual a la de carga; por tanto, aquélla es resistiva y su fase es 0 . 6.
Falso. Como 5k es un múltiplo entero de k / 2, al aplicar (13.58) se observa que la impedancia de línea en el punto señalado es igual a la de carga; en consecuencia, aquélla y el coeficiente de reflexión allí, según (13.33), son complejos y no puede ser 0 la fase de este último. 7. Cierto. La atenuación típica de las líneas reales impide que se satisfagan (13.59) y (13.60), que son la base de la propiedades del transformador. Si la atenuación es pequeña, sin embargo, puede usarse de manera aproximada. 8.
Cierto. Como 1,25/1 es un múltiplo impar de k /4, al aplicar (13.60) se con firma la proposición. 9. Falso. Si la línea está abierta en la carga, la impedancia allí es infinita; a una distancia k /4 de esa carga, la impedancia de línea* según (13.60), es 0. 10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como la media geométrica de dos cantidades es igual a la raíz cuadrada de su producto, la proposición es cierta, según (13.60), si la línea es sin pérdidas; falso, en caso contrario. Cuando la línea tiene pérdidas y la constante dé atenuación no es 0, el coefi-
Línea de transmisión /
561
dente de reflexión se atenúa con la distancia a la carga, y (13.59) y (13.60) no se cumplen. 11. Falso. Aunque se elimina la onda reflejada en la línea prindpal y ésta entrega toda la potencia que conduce al transformador de A/4, en éste hay onda reflejada, pues sus impedancias característica y de carga son diferentes, y no puede transferir a la carga toda la potencia. Se mejora la eficiencia cuándo se usan varios transformadores de A/4 en serie, conectados en casca da, para unir la línea a la carga. 12. Cierto. La potencia media que se entrega a la carga está dada, en una línea sin pérdidas, según (13.38) y (13.42), por -
'\
; : as.83>
dónde
562 / Teoría electromagnética
la carta, y la intersección con el eje real, especifica la conductancia normali zada de la carga. 15¿ Falso. Para eliminar la onda reflejada puede adoptarse como acoplador un segmento de la línea original, con la carga en corto, y usar (13.63) para calcular /, y Z2. Con el empleo de la carta de Smith en coordenadas de admi tancia, por ejemplo, se ubica el punto que corresponde a la normalización de la admitancia de carga y se recorre en dirección hacia el generador, hasta cortar la circunferencia en la que g = 1, la circunferencia de centro en el ori gen que pasa por aquel punto; el arco recorrido determina en fracciones de X/2, en los limbos externos de la carta. Las susceptancias normalizadas, que corresponden al punto de corte con la circunferencia de g = \ y al corto circuito, permiten determinar sobre un arco de la circunferencia exterior de la carta, de radio unitario, y con el uso de los limbos graduados, la longitud l2. 16. Cierto. Y en-el punto del acople se sigue cumpliendo (13.62). Si la carga de la línea acopladora está en corto, por ejemplo, las ecuaciones equivalentes a las (13.63) son 1 = gu y Y2bia = -P¡&u, donde se tomó en cuenta, al normali zar las susceptancias en el punto del acople de las líneas, que éstas tienen admitancias características distintas, F] y y2. 17. Falso. Al eliminar la onda reflejada en la línea principal, el coeficiente de reflexión se anula y, por tanto, según (13.48) la ROEV se hace unitaria. 18. Cierto. La longitud lx es una fracción de A/2, que puede obtenerse con el uso de los limbos exteriores graduados de la carta de Smith en coordenadas de admitancia, á la que pueden agregarse, por conveniencia, longitudes iguales a múltiplos de A/2. 19. Falso. La frecuencia es la misma e igual á la del generador; las que difie ren en ambas líneas son la velocidad de fase y la longitud de onda.
Propagación e incidencia de ondas En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, se suponen ondas electromagnéticas planas, uniformes y monocromáticas, PUM, y medios materiales descargados, homogéneos, isotrópicos y lineales, de pa rámetros e, g y /x, los cuales se suponen independientes de la frecuencia.
14.0 Definiciones, consideraciones generales y fórmulas 1. Intensidades fasoriales del campo electromagnético. Cuando el campo electromagnético varía, en el tiempo en forma senoidal, en función de una frecuencia angular, con base en ( 1 2 . 1 ) pueden definirse, para las intensi dades de los campos, los fasores E(r) y H(r) para estudiar, en el dominio de la frecuencia, la propagación del campo por una región del espacio: 'í )_'=
"
(14.1)
Esos fasores son cantidades complejas —lo que se recuerda con las subra yas— dependientes de la posición. 2. Ecuaciones fasoriales del campo electromagnético. En regiones descar gadas, donde los medios materiales son lineales, homogéneos e isotrópicos, de parámetros e, g y p., y las formas puntuales de las ecuaciones de Maxwell se cumplen, al llevar (14.1) a esas formas—ecuaciones (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20)— resultan V »£ = 0
(14.2)
y x E = -jcúfxH
(14.3)
V » H = 0. r ;
(14.4)
: V x H = (g +jcoe)E ]
(14.5)
564 / Teoría electromagnética
Al tomar los rotacionales de (14.3) y (14.5), se obtienen V2E - y 2E = 0 y V 2H - y 2H = 0
(14.6)
y =a +
(14.7)
= [jo)fi(g +j(úe)]/'
donde y es una cantidad compleja, cuyas partes real, a, e imaginaria, ¡3, son respectivamente, las constante de atenuación y de fase en la onda, y en el SI se miden en [m-1]. Las ecuaciones (14.6), conocidas como dé Helmholtz, deter minan las variaciones espaciales de E y H. 3. Constantes de atenuación y de fase en la onda. Al elevar (14.7) al cua drado, separar las partes real e imaginaria de la ecuación resultante, y despejar a y fi, se encuentran , 1/2
-iÚ2gL£+(úpt{jg2+C0i£t
r]
P = \^[cú2fxe +(úfi(g2+ £uV)1/2]
(14.8) (14.9)
4. Ondas electromagnéticas planas, cilindricas o esféricas. Los elementos relevantes de una función de la posición y el tiempo que satisface una ecua ción de onda son la amplitud y la fase. Una onda electromagnética es plana cuando el lugar géométricó dé los puntos del espació éñ los qué las fases de E y H son uniformes es un plano; cilindrica, si el lugar geométrico respectivo es un cilindro; esférica, cuando el lugar és una esfera. 5. Ondas electromagnéticas uniformes. Una onda electromagnética plana, cilindrica o esférica es uniforme cuando la amplitud de aquélla lo es en los puntos de la superficie que define el tipo de onda. 6.
Solución de las ecuaciones fasóriales del campó. Cuando el campo elec tromagnético se propaga en forma de onda plana, uniforme y monocromáti ca, PUM, y se elige el eje Z como dirección de la propagación, las intensida des E y H de aquél sólo dependen de las variables independientes, z y t, y la solución de la primera de las ecuaciones (14.6) es ■E= E j~ 11 +E_ev
(14.10)
donde £ + y E- son constantes vectoriales de integración, complejas y arbitra rias, y desempeñan papeles seméjantes a lo sd e V+ y V- en (13.22). Aunque (14.10) satisface a (14.6), para que cumpla (14.2) es necesario que E+ y E. sean transversales; es decir, que no tengan componentes en la dirección de
' Propagación e incidencia de ondas / 5 6 5
Figura 14.1 Una onda plana, uniforme y monocromática, PUM, se propaga en la dirección del eje Z. En planos paralelos al XY, E y H son uniformes; esos planos son las superficies de fase uniforme y constituyen los frentes de onda.
propagación Z. Lo mismo ocurre paira H, ya que ésta debe cumplir (14.4) (véase figura 14.1). La solución para ií, obtenida de (14.10) y (14.3), es = ---- — V x £ = ---- -
j(üii
J0)IX\
rj = ^jcon_. - = rlfí+ j rii =
7:
í
i.
— r-
dz \
/
x E =—x [e e~v- - E T] ;'\v '
(14.11)
.
1/2
jm g + jo e )
(14.12)
donde r¡ es la impedancia característica de onda en el medio, cuyas partes real e imaginaria son rjHy r¡„ y en el SI se mide en ohmios. 7. Velocidad de fase. Las intensidades del campo, É y H, calculadas al partir de (14.10) y (14.11), están formadas por ondas viajeras, “más” y “menos”, también denominadas ondas incidente y reflejada, que se propagan con iguales velocidades de fase, respectivamente, en el sentido del eje Z y en el opuesto (véase figura 14.2). La velocidad de fase y la longitud de onda, de una de las anteriores, se calculan con =
=|
(14.13)
5 6 6 / Teoría electromagnética
Figura 14.2
O n d a s “m á s ”, o i n c i d e n t e , y “m e n o s ”, o r e f le ja d a , d e u n a o n d a P U M . E n c a d a
E
u n a d e la s o n d a s lo s m o d o s s o n T E M , y e n tre
o
H
y la d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n l o s p r o
d u c to s e s c a la r e s so n 0.
de ondas.típico. En las ondas “más” y “menos” de E y H , correspon dientes a (14.10) y (14.11), cada una de las intensidades fasoriales del campo electromagnético tiene sendas componentes en las direcciones de los ejes X y Y, las cuales están acopladas por parejas y forman cuatro trenes independien tes de ondas, linealmente polarizados, cuyas amplitudes se atenúan exponéncialmente en el sentido de la propagación respectiva (véase figura 14.S). 8 . 'Tren
En el tren de ondas típico, a partir del cual pueden deducirse las cantidades vectoriales de los demás, se cumplen E(z) = E üe~r- y H(z) = K
. 7
i
(14.14) :
donde E0 es un vector complejo, uniforme y perpendicular al eje Z; al cam biar la coordenada z por -z, iz por - i z y tomar E0 en las direcciones de los ejes X o Y, se obtienen las E y H de cualquier tren de ondas. Cuando la di rección de la propagación de la onda PUM es arbitraria, ip, las expresiones equivalentes a las anteriores son.............. ....... ~ £ ( r ) ^ j / r y g ( r ) = í,X S 7
(14.15)
Propagación e incidencia de ondas / 5(67
. (a)
F i g u r a 1 4 .3
Polarización x
T r e n e s d e o n d a P Ü M . L a s o l u c i o n e s d é la e c u a c i ó n : d e H e lr n h o lt z p a r a o n d a s
P U M p u e d e n s e p a r a r s e e n c u a t r o t r e n e s d e o n d a , s e g ú n q u e la o n d a s e a .“m á s " o ; “m e n o s ”, y la p o la r iz a c ió n lin e a l s e a e n X o K
donde r es el vector de posición de un punto en el espacio, P¿ E¿ es un vector complejo,: uniforme y perpendicular a la dirección i/j, y y es el vector de pro pagación .
. .
Y - a + jp
. (14.16)
de partes real, a, vector de atenuación, e imaginaria, /3, vector de fase; en las ondas PUM estos tres vectores tienen la dirección de ip (véase figura 14.4). 9. Materiales sin conductividad. En un dieléctrico ideal, g = 0, en tal caso, (14.7) y (14.12) se reducen a l = jP =
(14.17)
568 /
Teoría electromagnética
Plano de fase uniforme
Frente de onda
►yx Figura Í4.4 Onda PUM que se propaga en la dirección de /¿ En el tren de ondas típico, E y H son uniformes en planos perpendiculares a la dirección de propagación. P es un punto arbitrario del plano de fase, en el que se cumple 0 • r = uniforme.
(14.18)
n =vR
En esos materiales las ondas electromagnéticas se propagan sin atenuación. 10. Materiales de bajas conductividades. Un medio material tiene baja conductividad cuando cumple g « (oe, condición que se satisface perfectamente, a las frecuencias dé interés, en los dieléctricos imperfectos o con pérdidas, y que equivale a considerar pequeña la magnitud de la densidad de la corrien te de conducción al compararla con la de la corriente de desplazamiento. En estos casos, al usar el desarrollo binomial, (14.7) y (14.12) se aproximan a r-
— O) 2¡HE
^V
íi+ í I l 3m e )\ -
\ 1/2 /
n J 'H E
g 1+ jcoe
1/2
/2
g~ 8tüV
1—
+j(o(pie)n
\ 1/2
1-
8co2e2
+ j
g
1+
g~ 8 o re 2
(14.19)
(14.20)
11. Materiales de altas conductividades. Un medio material tiene alta con ductividad cuando cumple g » (ü e , condición que se verifica satisfactoria mente, inclusive en frecuencias tan elevadas como las ópticas, en buenos conductores como la plata y el cobre, y que equivale a decir que la magnitud de la densidad de la corriente de conducción es grande comparada con la de
Propagación e incidencia de ondas / 5 6 9
la corriente de:desplazamiento. En estos casos, al usar el desarrollo binomial, (14.7) y (14.12) se aproximan a “ 1/2 7 > ( '\1 í ■\ \ il/2 J £Ü£ (W g ' r+ ^ e ' as (14.21) Y = a +jP = j m g +j i + ^ t 2 gJ l; 2 , 2g, V g )
)
1/2 s
n = n R+jri,=
m i
\s .
1+
jcoe g
\
-
1/2
1+ 2g )]
ios j +j 2 g.
toe
. (14.22)
2gJ
12. Profundidad piel. Una medida de la penetración de una onda electro magnética en un medio material, especialmente cuando éste es conductor, es la profundidad de penetración, 5, también conocida como profundidad piel; esta profundidad, por definición, es :
5 =- ■. (14.23) a Su expresión general puede deducirse a partir de (14.7) y representa la dis tancia recorrida por la onda para que su amplitud se reduzca a la e~l parte del valor inicial. A medida que la onda penetra en un material conductor, las amplitudes de E y H tienden a 0 de manera exponencial; sin embargo, se acepta en la práctica que después de una penetración superior a 55 la onda ha desaparecido por completo. En materiales de conductividades bajas, la profundidad piel, deducida de (14.19) y (14.23), aproximadamente es r . m 5
4e
Vg
(14.24)
y en los de conductividades altas, obtenida de (14.21) y (14.23), aproxima damente es
{(Oflg)
(14.25)
13. Materiales de conductividades infinitas. En los conductores perfectos la conductividad es infinita, y la profundidad piel es 0, según (14.25); por tan to, dentro de tales materiales no puede existir un campo electromagnético que varíe senoidalmente en el tiempo. 14, Resistencia eléctrica en corriente alterna. La corriente estacionaria que fluye por un conductor óhmico tiende, para satisfacer las ecuaciones de Maxwell, a distribuirse uniformemente en la sección recta de aquél. Pero si la corriente es alterna y de frecuencia angular tú, para cumplir las mismas
5 7 0 / Teoría electromagnética
ecuaciones se presenta el efecto piel, debido al cual la magnitud d e / es ma yor en la superficie del conductor y disminuye hacia el interior. Por la razón expuesta, la corriente tiende a circular por un área menor de la sección recta y la resistencia eléctrica del conductor tiende a crecer; el efecto es más signi ficativo en las mayores frecuenciás, pues la profundidad piel tiende a 0 y la resistencia eléctrica a infinito. La resistencia eléctrica del conductor que lleva la corriente alterna puede deducirse al resolver, de acuerdo con la geometríá específica de aquél, las ecuaciones de Maxwell; solución que se facilita al introducir algunas simplificaciones, acordes con el intervalo de frecuencias de operación y la magnitud relativa entre la profundidad piel y las dimen siones transversales de la sección recta del conductor. ■ 15: Resistencia eléctrica pór cuadrado. En un macizo semiinfinito y conduc tor sobre cuya superficie incide normalmente una onda PUM, ésta induce en aquél una densidad volumétrica de corriente que se atenúa exponencialmente a medida que se aleja de la superficie libre del macizo. Cuando el conduc tor es de alta conductividad y se presenta en éste un intenso efecto piel, la resistencia eléctrica en corriente alterna de una unidad de área de la superfi cie del macizo, arbitraria y cuadrada (véase figura 14.5), es .
g S
...
..
(14-26) ....
...
,
donde S es la profundidad piel, dada en (14.25). La expresión anterior es igual a la de la fesistéúciá'éñlzófríéMé estacionaria que" se obtiene cuando en el macizo semiinfinito la corriente circula repartida uniformemente por una placa paralela a la superficie de éste y de espesor igual a la profundidad piel, <5. 16. Resistencia eléctrica en un cilindro circular. En un conductor con la forma de un cilindro circular, de radio R y longitud l, que lleva una corriente alterna, donde la frecuencia y la conductividad son tales que la profundidad piel es muy pequeña comparada con el radio del cilindro, puede suponerse que la corriente, aproximadamente, se distribuye uniformemente en la sec ción recta de un tubo cilindrico, de radio R y espesor 8, igual a la profundi dad piel (véase figura 14.6). Así, la resistencia eléctrica en corriente alterna del cilindro, tomando en cuenta el efecto piel, es 1
2ngRS
(14.27)
17. Onda “ estacionaria” . Cuando la onda se propaga en un dieléctrico ideal y son iguales entre sí las magnitudes de E, o las de H, en las ondas viajeras “más” y “menos” que se mueven con iguales velocidades de fase en sentidos
Propagación e incidencia de ondas / 57 1
Figura 14.5 Conductor plano. Una onda PUM incide normalmente sobre un macizo conductor y semiinfinito, se atenúa exponéncialmente al penetrar en éste y le induce una corriente. La resistencia en corriente alterna es igual a la resistencia en corriente constante que se obtiene cuando la corriente se reparte uniformemente por una placa de espesor S.
opuestos, la onda resultante es “estacionaria”.. £sta onda no viaja, oscila senoidalmente en cada punto del espacio y varía, también seríoidalmente, de punto a punto. 18. Polarización y polarizar. Polarización es el fenómeno por el cual un rayo de luz, emitido directamente por un manantial luminoso natural, se altera al atravesar un medio material o al ser reflejado por la interfaz de dos medios, de tal forma que la intensidad del campo eléctrico en el rayo, en cada punto del espacio, en vez de seguir vibrando incoherentemente en todas las direc ciones transversales en torno a la de la propagación, solamente lo hace de manera que la hipotética punta de la £ describe con el paso del tiempo, ima ginariamente, trayectorias de formas elíptica, circular o lineal. Dado que la luz es una onda electromagnética, el concepto se extiende y aplica a éstas; por tanto, una onda electromagnética polarizada es aquella en la que la £ del campo eléctrico oscila de acuerdo con lo dicho. Polarizar es hacer que una onda electromagnética quede polarizada. 19. Polarización elíptica. Guando una onda PUM se propaga por el espacio en el sentido del eje Z, su £ tiene, en general, componentes transversales, Ex y Ey, que dependen de la posición y el tiempo; de este último, en forma se noidal. La £ resultante de la suma vectorial de Ex y Ey tiene, en cada puntó
572 / Teoría electromagnética
Figura 14.6 Conductor cilindrico. La corriente conducida por un hilo cilin drico, cuyo radio es mucho mayor que la profundidad piel, puede suponerse que circula por una corona circular, de espesor 8, debido al efecto piel.
del espacio, una dirección transversal que varía periódicamente con el tiem po; la imaginaria punta del vector ¿? describe con el paso del tiempo, hipoté ticamente, una trayectoria de forma elíptica y, por ello, se dice que la onda está polarizada elípticamente. La E tiene partes real, E R , e imaginaria, E ¡ , dos vectores reales, tales que K ~ Er "*■ y al sustituir (14.28) en (14.1) resulta E = RejjBeJ“' }= E„ eos coi - E, sencot
(14.28)
(14-29)
En un punto fijo del espacio, E es, de acuerdo con (14.29), la suma-vectorial de dos componentes qué varían senoidalmente en el tiempo, a lo largo de las direcciones de ER y E¡, y la hipotética punta de E describe una trayectoria elíptica, con origen en aquel punto, que está inscrita dentro del paralelogramo de lados iguales a 2ER y 2E¡. La E rota en el sentido de las manecillas del reloj desde ER, en (Ot = 0; pasando por -E¡, en cot- n / 2, -E R, en Cút = n ,y E¡, en cot = 3zr/2; hasta regresar a ER, en cot = 2n (véase figura 14.7). 20. Polarización lineal. Si la E de la onda PUM que se propaga por el espa cio tiene la misma dirección en todos los puntos, se dice que la onda está polarizada linealmente ó, sin más adjetivos, polarizada (véase figura 14.8). Es un caso particular de la polarización elíptica, en el cual la elipse dé pola rización se reduce a una línea, y ocurre cuando
(a ) : ■
(b )
Figura 14.7 Polarización elíptica. La E en la onda PUM, que avanza en el sentido de+z, tiene en cada punto del espacio una dirección transversal que varía periódicamente con el tiempo, e, imaginariamente, su punta describe una trayectoria elíptica; la: elipse respectiva está inscrita dentro de un paralelogramo de lados iguales a 2 ERy 2 Eh que se recorre en el sentido horario.
.V:;',: E r x E, = 0
rí': (14.30)
es decir, cuando ER, o E¡, es 0, o éstas son paralelas. 2L Polarización circular. La polarización circular es otro caso particular, y en éste la elipse de polarización se reduce a una circunferencia (véase figura 14.8); ocurre cuando =
■
^ . £ , = 0 7 ^ 1 = 1^1
.
(14.31) (14.32)
22. Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia, cuando (14.1) permite definir los fasores de las intensidades de E y H, el vector complejo de Poynting cumple S^^E xH '
(14.33)
= Re{s}= Rej-^Ex/í*
(14.34)
donde es el promedio de S en un período. La divergencia de S en un punto del espacio, obtenida a partir de (14.3) y (14-5), es -V *5
(14.35)
574 /
Teoría electromagnética
reduce a una línea recta, como en (a), o a una circunferencia, como en (b).
La ecuación anterior es el teorema puntual de Poynting en el dominio de la frecuencia, y cada término del miembro derecho tiene una interpretación física que corresponde a un promedio en el tiempo. En efecto, el primero es el promedio temporal de la potencia disipada por unidad de volumen,
(14.36)
23. Potencia disipada. Al integrár (14.34) en un volumen arbitrario, V, ence rrado por una superficie, S, se obtiene la potencia media disipada en aquél: »dA
(14.37)
24. Incidencia normal sobre la interfaz plana de un dieléctrico y un con ductor perfecto. El plano z = 0 es la interfaz de un conductor perfecto, ubi cado en z > 0 , y un dieléctrico ideal, de permitividad e, y permeabilidad ¡iu que se extiende en z < 0 ; en el dieléctrico se propaga una onda electromag nética “más”, u onda incidente, linealmente polarizada en X, la cual incide normalmente sobre la interfaz y se refleja para dar lugar a una onda “me nos”, u onda reflejada, que debido a la simetría también está polarizada en X (véase figura 14.9). Por la continuidad de la componente tangencial de E en la interfaz, y ya que en el conductor perfecto E es Ó, en la onda compuesta que resulta en el dieléctrico se satisfacen
Propagación e incidencia de ondas / 5 7 5
z =O
£,
+ £ « ^ 0 = H- 2J l / senA¿
Figura 14.9 Incidencia normal de una onda PUM, polarizada en X, sobre un conductor per fecto. Nótese que la in terfaz está en z= 0 .
(14.38)
-E.Rei* ) = i ^ c o s f o ' • : ' (14,39) .17,;, '■ donde E¡ y E¡j, cuya suma es 0 , son, respectivamente, los fasores de la E en la interfaz, en las ondas incidente y reflejada, y Vv
( V'2 1 Mi ^ (14.40) A =<ü(¿í ,£,) ' y ^ = v £i y En (14.38) y (14.39) se observa que la onda resultante es “estacionaria”. Si en la onda incidente E tiene componentes y Ey, éstas pueden tratarse por separado y luego apelar a la superposición lineal del par de ondas “estacio narias”, para hallar la solución completa. 25. Incidencia normal sobre la interfaz plana de dos dieléctricos. Si el conductor perfecto citado en el artículo anterior se sustituye por otro dieléc trico ideal, dé permitividad é2 y permeabilidad ¿u2, además de las ondas inci dente y reflejada en el medio 1 hay una onda transmitida, también polariza da en X, que se propaga en el medio 2, a partir de la interfaz, en el sentido positivo del eje Z (véase figura 14.10). En principio, en el medio 2 puede existir una onda “menos” debida a la reflexión en la interfaz distante, ubica da en z = °°; se ignora, sin embargo, al suponer un acople perfecto allí, que elimina la onda reflejada. En los dieléctricos 1 y 2 se satisfacen
5 7 6 / Teoría electromagnética
^
z-0 ;
■■
■';'■■■
Figura 14.10 Incidencia normal de una onda PUM, polarizada en X, sobre la interfaz plana de dos dieléctricos ubicada en z = 0.
2?, = ix(E,e-iP'z +EReiP'z) = ixE,(e'iP'z + /V * 2)
(14.41)
H , = i — (E.e-0'1- EReifi'z) = i 17, v_ ~ ’ 77, v
(14.42)
- T e ^ 1) A
E e~il¡'z T E e~ií¡'z E 2=ixE t e-j*'z = ixT_E,e~ifi‘z y H 2 = ¿ ^ ------ = i , — -------
(14.43)
donde E¡, ER y £ r , son, respectivamente, los fasores de la £ en la interfaz, en las ondas incidente, reflejada y transmitida; T y T son los coeficientes de re flexión yde transmisión de Fresnel para incidencia normal, y &
=
"(^ 2
y
r]2
(14.44) 2y
26. Coeficientes de Fresnel en la incidencia normal sobre dieléctricos. Debido a las continuidades de las componentes tangenciales de E y H e n la interfaz de los dieléctricos, las cantidades E¡, E R, E r>T y T que aparecen en (14.41), (14.42) y (14.43) cumplen K
, + E
, - K , y '
( E r
P-E ~
r
E,
=^
(14.45)
I - . , ) - '
77,
V 2
t
^Et
r)2 +77, y -
E,
i+r
2772
V2+r7,
(14.46)
Propagación e incidencia de ondas
/ 577
27. Coeficientes de reflectancia y transmitancia en la incidencia normal sobre dieléctricos. Cuando una onda PUM, polarizada linealmente, incide en forma normal sobré la interfaz plana de dos dieléctricos, ios coeficientes dé reflectancia y transmitancia se definen, respectivamente, como las razones entre los vectores complejos de Poynting én las ondas reflejada y transmitida con respecto al de la onda incidente. Estas razones expresan las fracciones de la potencia por unidad de área, con respecto a la que transporta la onda incidente, que se reflejan y transmiten debido a la discontinuidad provocada por la interfaz. 28. Incidencia normal sobre dieléctricos múltiples. Cuando una onda “más”, linealmente polarizada en X, incide sobre un conjunto de placas di eléctricas cuyas interfaces son paralelas entre sí y normales a la dirección dé propagación de la onda, en cada uno de los dieléctricos aparecen ondas in cidente y reflejada, salvo en el último, en el cual se supone que en la interfaz distante, colocada en z = °?, hay un acople perfecto para eliminar la onda reflejada en ese medio (véase figura 14.11). En un punto arbitrario de uno de los dieléctricos, de permitividad £ y permeabilidad pL, puede definirse una impedancia de onda, T]{z), como la razón, evaluada allí, entre los fasores de E y H en la onda compuesta formada por las ondas incidente y reflejada; de (14.41) y (14.42) resulta />
(e-V’ +Te'11’)
(14.47).
donde /? = y r¡ = [¡n/£)' ~. Si las intérfaces del dieléctrico típico se su ponen u b i c a d a s en z = ja entrada, y z = 0 , la carga, donde las impedancias de onda son y r\', se cumplen 7 7 -7 7 _— c 1 “ n +n
p
(77 77
eos pi + jrjsen fíí)
= r jj^ ---- — —
E1
(14.48)
------ i-
meos f$l +jr¡ sen fil)
(14.49)
5 7 8 / Teoría electromagnética
z =-l ■ z =0 Ve
_
Ve
■.
Figura 14.11 Incidencia normal de una onda PUM, polarizada en X, sobre las interfaces pla nas y paralelas de dieléctricos múltiples. La carga está, en el dieléctrico típico, en z = 0, y la entrada, en z = , ., ' . '
Nótese que las expresiones en este tipo de incidencia son semejantes a las de una línea de transmisión sin pérdidas, consideradas en el capítulo 13; ello implica que las propiedades encontradas y los procedimientos desarrollados para trabajar con esas líneas, especialmente los transformadores de X/'Z y XJA, y las cartas de Smith y de Cárter, pueden usarse en el caso presente. 29. Incidencia oblicua sobre la interfaz plana de dos dieléctricos. Sea el plano z = 0 la interfaz de dos dieléctricos ideales, uno, ubicado en z < 0 , de permitividad e, y permeabilidad fix>y otro, que se extiende en z > 0 , de permi tividad e2 y permeabilidad ¡it . En el primer dieléctrico se propaga una onda electromagnética incidente, que choca oblicuamente con la interfaz, y se refleja y transmite allí, para dar lugar a una onda reflejada en aquél y a otra transmitida hacia el segundo dieléctrico. Los vectores de fase de las on das mencionadas son f3fí y fiT, donde V
V ,-
i
.
¡
‘
(14.50)
y defínen con la normal a la interfaz, iz, ángulos iguales, respectivamente, a @¡> 0r>y no mayores de 90° (véase figura 14.12). Por definición, el plano de incidencia es el que determinan los vectores ¿2 y fi¡; plano que, por conve niencia, en lo que sigue se hace coincidir con él XZ (véase figura 14.12). 30. Relaciones entre los ángulos de incidencia, reflexión y transmisión. Para que en la interfaz de dos dieléctricos se satisfagan, tomando en cuenta las ondas incidente, reflejada y transmitida, las continuidades de las compo nentes tangenciales de E y H, es necesario que las fases de estos vectores sean iguales en todo instante y punto de aquélla. De tal igualdad se deduce
que en las tres ondas la frecuencia es la misma, que los vectores iz, f},, f3R y j6r son coplanares y están en el plano de incidencia (véase figura 14.12), y qué
sen 9r
■ ^ f-sen .9,
Pr c
= 7 —^—4 í7t sen (M ^ )
{m T
= — sen 0 , n2
(14.52)
(14.53)
donde n es el índice de refracción de un dieléctrico, definido como la razón entre las velocidades de fase de la onda incidente cuando se propaga en el vacío y en el material; en el vacío, el índice de refracción es igual a la uni dad. (14.52) y (14.53) se conocen como leyes de la reflexión y de la refracción o de Snell. Cuando los dieléctricos no son ferromagnéticos, un caso muy co mún, sus permeabilidades son aproximadamente iguales a la del vacío, y (14.52) se reduce a sen 0 T
/8 \m \ B2J
sen0,
(14.54)
580 / Teoría electromagnética
31. Reflexión total y ángulo critico. Cuando el ángulo de incidencia, 6¡, toma un valor 6C, tal que r„> £2 (14.55) n, W . > > se denomina crítico o ángulo de la reflexión total. Como el seno de un ángulo real no puede ser mayor que la unidad, el ángulo crítico dado en (14.55) existe sólo cuando e2 <£,, y la onda pasa de un medio ópticamente denso a uno más enrarecido; es decir, pasa a otro medio donde la velocidad de fase dé la onda es mayor. En tales casos el ángulo de transmisión, 0r, se hace igual, según (14.52), o (14.54) que se aplica a dieléctricos comunes, a 7r/2 ; llega a ser imaginario para ángulos de incidencia mayores, por lo cual, aun que en la onda transmitida existen valores atenuados de Er y H r en la direc ción del eje Z, no se transfiere energía al segundo medio, esa onda no es uni forme, se propaga en dirección paralela a la interfaz y la energía incidente se refleja totalmente. El fenómeno de la reflexión total es muy importante en las frecuencias ópticas, ya que proporciona una reflexión con menos pérdi das que las de los espejos metálicos; se usa, por ejemplo, en guías de onda dieléctricas como la fibra óptica y en prismas reflectores. . \ 1/2
2^2
II
/
sen 0 c
U
32, Polarizaciones en incidencia oblicua. En la onda que incide oblicua mente la polarización es elíptica, en general, y E, y H¡ son perpendiculares entre sí y paralelos a planos normales a la-dirección de propagación; por tanto, ambos no pueden ser paralelos a la interfaz. Sin embargo, para satis facer de manera simple las condiciones de frontera en la interfaz, que se refieren a las componentes tangenciales de E, o H¡, conviene descomponer la onda en dos polarizaciones (véase figura 14.13). En una, E¡. es perpendicular al plano de incidencia y tiene la dirección def eje Y, se distingue con el sub índice a; en la otra, E, es paralela al plano.de incidencia y se simboliza con el subíndice k. Si se estudian por separado esas dos polarizaciones, para todos los valores, del ángulo de incidencia, es posible manejar cualquier caso por superposición. 33. Coeficientes de Fresnel en la incidencia oblicua sobre dieléctricos. Si la onda que incide oblicuamente sobre la interfaz plana de los dieléctricos está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia (véase figura 14.13), con E en la dirección del eje Y, y E ,,E R y E T son, respectivamente, los fasores de laje e n la interfaz, en las ondas incidente, reflejada y transmitida, los coefi cientes de reflexión, y de transmisión, T a, de Fresnel, deducidos cié la con tinuidad de las componentes tangenciales de £ y H cuando se supone que el segundo dieléctrico es semiinfinito y en éste no hay onda reflejada, son
Propagación e incidencia de ondas
(a) Polarización o
/ 581
(b) Polarización n
Figura 14.13 Incidencia oblicua sobre la interfaz plana de dos dieléctricos. En (a) la polariza ción es cr, perpendicular al plano de incidencia; en (b) es rr, paralela a dicho plano.
r
= vacóse,-r¡icoseT r}2cos9, + ri,cosdT
—11
_ i ± = \ +r E1} ,
2772cos9 ,
r]2cosd, + Tjt cosQt
(14.56)
donde f
\>/2
í7. = El \
y ^2 = j
'i 0 V
,/2
(14.57)
/
Cuando la onda está polarizada paralelamente al plano de incidencia, con H en la dirección del eje Y (véase figura 14.13), los coeficientes de Fresnel res pectivos son r *•’
E r } 2cosdT-r]lcosdl = — i- . — ti------ l y/ t E lx r¡2eos 0T + 77, eos 9,
Tt
E.r. E, -IX
= = 77^» = i + — r n =
2rj2eos dj (14.58) r¡2cosdT + 77, eos 0,
34. Ángulo de Brewster o polarizante. Al incidir oblicuamente sobre la in terfaz plana de dos dieléctricos una onda de polarización <7, el coeficiente de reflexión y la onda reflejada se anulan si el ángulo de incidencia, daB, dedu cido de (14.56), satisface
5 8 2 / Teoría electromagnética
(14.59)
sen20 oB
£,(m.2 -M22)
No siempre hay una solución real para el ángulo anterior; es decir, que su seno sea menor o igual a la unidad. No existe, por ejemplo, en el caso muy común de dos dieléctricos con permeabilidades iguales a la del vacío, y en tal caso no hay ningún ángulo de incidencia para el cual la onda reflejadla se anula. Si la polarización de la onda incidente es n, el coeficiente de reflexión y la onda reflejada se anulan cuando el ángulo de incidencia, QnB, deducido de (14.58), cumple í sen20 nB
£2(^ £ ,-M ,£ 2)
(14.60)
M,(e.2 - e/ )
Ecuación para la que no siempre hay solución real. Cuando los dieléctricos tienen permeabilidades iguales a la del vacío, por ejemplo, hay siempre un ángulo de incidencia, dado por vl/2
ir. Y '2"' = tan
dnB = sen‘
(14.61)
ve,; para él cual el coeficiente de reflexión es 0 , y la onda polarizada se transmite por completo. El ángulo de incidencia, cuando existe, para el cual se anula la reflexión de una componente de polarización de la onda incidente, se llama ángulo de Brewster o polarizante. V £ 1 +
e 2
J
14.1 Onda plana, cilindrica o esférica; uniforme y monocromática P r o p o s ic io n e s
1. Cuando el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la E de una onda tiene igual amplitud es un plano, la onda es plana. 2. Los modos de propagación son TE en una onda. 3. Si el lugar geométrico de los puntos dél espacio en los cuales las fases de E y H son uniformes es un cilindro, la onda es cilindrica. 4. Las intensidades del campo electromagnético sólo dependen de r en una onda esférica. 5. En el frente de onda, de una onda PUM, E y H son constantes. 6.
No toda onda plana es uniforme.
Propagación e incidencia de ondas / 5 8 3
7. Una onda es monocromática cuando E y H no dependen del tiempo, 8.
Cuando tina onda es PUM, la £ respectiva no es uniforme.
9. En una onda PUM polarizada linealmente: E x H = 0. . 10. Si la onda es PUM, el modo es TEM. . 11. Si una onda es plana y monocromática, pero no uniforme, el modo es TEM. : y , S o lu c io n e s
■
1. Cierto. El lugar geométrico de los' puntos del espacio en los que la fase y la amplitud de la E de una onda PUM son uniformes es un plano perpendi cular a la dirección de propagación de aquélla; cuando la onda plana y mo nocromática no es uniforme, el lugar donde la amplitud de E es uniforme es otro plano, ortogonal al de fase uniforme. En las ondas esféricas o cilíndri. cas, los lugares geométricos donde E es uniformé no son planos. 2. Falso. En una onda PUM los fasores de E y H cumplen (14.6), están dados por (14.10) y (14.11), y, para satisfacer (14.2) y (14.4), son vectores transver sales; én consecuencia, en este tipo de onda el modo de propagación es TEM. Sin embargo, conviene mencionar que cuando la onda plana y mono cromática no es uniforme, hay modos de propagación TE y TM, cuya combi nación lineal es la solución más general de (14.6). 3. Cierto; Ésa es la definición de una onda electromagnética cilindrica; en las superficies cilindricas respectivas, las amplitudes de E y H en general no son uniformes y dependen de la coordenada angular. 4. Falso. Aunque las fases de E y H sólo dependen de r en una onda esférica, las amplitudes respectivas, en general, dependen también de ?-y de las coor denadas angulares. 5. Falso. E y H dependen de la posición y el tiempo en una onda electro magnética; del tiempo en forma senoidal. Por tanto, no tiene sentido afirmar que aquellas intensidades son constantes en el frente de onda. Conviene no confundir los significados de las palabras constante y uniforme. 6 . Cierto. Hay ondas planas no uniformes; en éstas, los campos pueden pro pagarse en modos TE y TM.
7. Falso. Es monocromática cuando E y H dependen del tiempo en función de una frecuencia única. No tiene sentido afirmar que una función de onda no depende del tiempo.
5 8 4 /. Teoría electromagnética 8 . Cierto. En una onda PUM, E depende de la posición, de la coordenada z si la propagación de la onda es en esa dirección, y del tiempo; por ello, no es uniforme ni constante.
9. Falso. En una onda PUM polarizada linealmente, E y H son, según (14.14), mutuamente perpendiculares; por tanto, su producto vectorial no puede ser nulo. 10. Cierto. Las razones se dieron en la proposición 14.L2. 11. Falso. Supóngase que Z es la dirección de propagación de la onda, que x y y son las coordenadas transversales, y, además, que la proposición es cierta; es decir, que el modo de propagación sí es TÉM. En tal caso, los fasores E y .. H del tren de ondas tienen componentes en las direcciones X y Y, las cuales dependen, al tratarse de una onda plana y no uniforme, de x, y y z, y el tren puede descomponerse en dos polarizaciones lineales. Considérese primero la polarización X, con fasores E y H en las direcciones, respectivamente, de X y Y; al llevar esos fasores a (14.2), (14.3), (14.4) y (14.5), se encuentran
M dx
o y
dH , _ dH y dy dx
en las que se observa que £* y Hy no dependen de las coordenadas transver sales x y y, contradiciendo la hipótesis de que la onda no es uniforme. Igual comprobación se hace al examinar la polarización Y de la onda. En conse cuencia, el modo de propagación de la onda plana, monocromática y no uni forme no puede ser TEM, pues en este modo la onda tiene que ser uniforme; en el tipo de onda propuesta los modos de propagación son TE y TM.
14.2 Propagación en medios conductores y en no conductores P r o p o s ic io n e s
1. H satisface una ecuación de onda en materiales diamagnéticos. 2. E satisface una ecuación de onda en materiales ferromagnéticos. 3. La constante de propagación, y, es real en un medio conductor. 4. La constante de atenuación, a, es 0 en el vacío. 5. La constante de atenuación crece, en un buen conductor, al aumentar la frecuencia.
Propagación e incidencia de ondas
/ 585
6.
La onda se propaga más fácilmente en un medio dieléctrico que en uno conductor. ' 7. La unidad de la constante de fase, /3, en el SI es [m]. 8 . La longitud de onda de una onda plana que se propaga en el vacío es uni forme.
9. Las unidades de la impedancia característica de onda en el SI son [m2kgs~3A~2]. 10. En el vacío, jU0/£ 0 ~ I20n. 11. Si se duplica la permeabilidad de un material no conductor, no se dupli ca la impedancia característica de onda. 12. La impedancia característica de onda es menor en el vacío que en un dieléctrico diamagnético no conductor. 13. En materiales de muy baja conductividad, T] = {jx/ej ". 14. En un buen conductor, g » ( ú s . 15. La impedancia característica de onda es real en un material conductor. 16. La dirección de H coincide con la de la propagación en una onda. 17. En una onda “más”, E * H = 0. 18. En una onda “más”, que se propaga en un medio no conductor, E ? H t 0. 19. En una onda electromagnética con partes “más” y “menos”, E ? H = Q. 20. La profundidad piel es infinita en medios no conductores. 21. La penetración de la onda electromagnética es igual a la profundidad piel en un buen conductor. 22- La profundidad piel disminuye, al aumentar la frecuencia, en los con ductores. 23. Si se cuadruplica la frecuencia, en materiales de alta conductividad, se reduce a la mitad la profundidad piel. 24. La profundidad piel es mayor eñ el hierro que en el cobre. 25. Para comunicarse con un submarino sumergido en el mar deben usarse microondas. 26. La resistencia eléctrica de un alambre conductor crece con la frecuencia de la fuente de energía.
5 8 6 / Teoría electromagnética
27. La resistencia eléctrica en corriente alterna de un conductor plano, de alta conductividad, aumenta con g. 28. Si se cuadruplica la frecuencia, en conductores muy buenos y planos, se duplica la resistencia eléctrica en corriente alterna. 29. Si se duplica la frecuencia, en conductores muy buenos y cilindricos, se duplica la resistencia eléctrica en corriente alterna. 30. La resistencia eléctrica en corriente alterna es mayor en un hilo de cobre que en uno de hierro. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con ,la explicación. En materiales diamagnéti cos no conductores, lineales, homogéneos, isotrópicos y descargados, de pa rámetros e y fi, H satisface, obtenida de (4.2), V 2H - f¿ed2H/dt~ = 0; si el material diamagnético no cumple esas condiciones, H no satisface una ecua ción de onda. 2. Falso. Los materiales ferromagnéticos no son lineales y muchos son con ductores; en tales condiciones, en aquéllos (4.1) no se reduce a una ecuación de onda. Sin embargo, en sustancias ferromagnéticas linealizables y cuya conductividad sea despreciable, (4.1) se convierte, aproximadamente, en una ecuación de onda. 3. Falso. En general, esa constante es compleja en un medio conductor, co mo se observa en (14.7), e, inclusive, en los casos particulares de materiales de bajas o altas conductividades—ecuaciones (14.19) y (14.21)— . Es aproxi madamente imaginaria, sin embargo, cuando el material es de muy baja con ductividad 4. Cierto. En él vacío la conductividad es nula; se deduce entonces, de (14.7), que la parte real de la constante de propagación es 0 . 5. Cierto. Esa constante crece con la raíz cuadrada de la frecuencia, como se deduce al reemplazar (14.23) en (14.25). 6 . Cierto. Como en el material dieléctrico la conductividad es Ó, o desprecia ble, la onda electromagnética se propaga sin atenuación e indefinidamente; en el material conductor, en cambió, la onda se atenúa y su amplitud apro ximadamente es, después de recorrer una distancia superior a cinco veces la profundidad de penetración, S, igual a 0 .
7. Falso. Es, de acuerdo con (14.7), [ n f'].
Propagación e incidencia de ondas / 5 8 7
8.
Cierto. La longitud de onda se obtiene, en este tipo de onda, como la ra zón entre la velocidad de fase de ésta, que en el vacío es la de la luz, y la frecuencia de la onda; cantidades que, en el Vacío, son uniformes. 9. Cierto. Las unidades de la impedancia característica de onda pueden ob tenerse en el SI —ver (14.12)— como la razón entré las unidades de la inten sidad del campo eléctrico, medida en [mkgs- 3A-1], y las de lá intensidad del campo magnético, medida en [m”’A]; unidades que son las mismas de la resistencia eléctrica. 10. Falso. (14.12) se reduce, en él vacío, a r]0 = (/t0/e p)'/2 = /t 0c0 = 120zr [Í2], ya que la rapidez de la luz tiene el valor aproximado de 3 x 108 [ms-1]. 11. Cierto. No hay relación lineal entre rj y ¡i, ya que (14.12) se reduce, para un material no conductor, a (14.62) 12. Falso. En los materiales diamagnéticos la permeabilidad es menor qué la del vacío (aunque aproximadamente son iguales) y la permitividad es mayor que la del vacío; en consecuencia, se deduce dé (14,62), ecuación aplicable a medios no conductores, que la impedancia característica de onda es mayor en el vacío. 13. Cierto. En un medio material de baja conductividad, g « eos. En tal caso, la impedancia característica de onda en el medio puede calcularse con (14.20); expresión que se reduce a la propuesta cuando la conductividad del material es muy baja. 14. Cierto. Esa es la definición dé un buen conductor; en él cobre, por ejem plo, cuyos valores de conductividad y permitividad son, respectiva y aproxi madamente, 5,8 x 107 [S/m] y 8 ,8 x 10"12 [F/m], la condición se cumple hasta frecuencias tan altas como 1 x 1015 [Hz]. 15. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En general, la impedancia característica de onda en un medio conductor es compleja, como se advierte en (14.12), e, inclusive, en el caso particular de materiales de baja conducti vidad, según (14.20); puede ser aproxifnadámente real, sin embargo, como se explicó en la proposición 14.2.13, cuando el material es de muy baja conr ductividad. 16. Falso. La H de una onda PUM debe sér, para satisfacer (14.4), transver sal; es decir, ortogonal a la dirección de propagación. En una onda plana, monocromática y no uniforme, sin embargo, la onda puede ser TE y H tiene componente en la dirección de la propagación.
5 8 8 / Teoría electromagnética
17. Cierto. En esa onda, H_ = izxE/r], y, por tanto,E » H _-iz «(ExE)/rj = 0, como se deduce de (14.10), (14.11) y (1.25). 18. Falso. Es un caso particular de la proposición anterior, aunque ahora la impedancia característica de onda es real y la constante de atenuación es 0 . 19. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Se deduce de (14.10), (14.11) y (1.25) que, en esa onda, E » H = i i » (ff+é ? --E _ er- ) x (e +e~r- + E _ ey-) r i = 2 i z* (E+x E_ )trj
La proposición es cierta, entonces, cuando el producto vectorial entre E+y Ees 0 , como ocurre con una onda polarizada linealménte; falsa, en caso con trario. \r.-y. '.v .v'.. ,"■/;■ 20. Cierto. La profundidad piel es igual al inverso de la constante de atenua ción, y ésta es 0 en medios no conductores, como se deduce de (14.7). 21. Falso. Aunque la profundidad piel es una medida de la penetración de una onda electromagnética en un conductor, én la práctica se considera que aquélla se desvanece después dé penetrar en el material una distancia mayor que cinco veces la profundidad piel. 22. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto en materiales de conductividades altas, según (14.25), en los cuales la profundidad piel tiende a 0 cuando la frecuencia crece; es falso en materiales de conductividades bajas, se sigue de (14.24), en los cuales aquélla no depende de la frecuencia. 23. Cierto. Se sigue de (14.25). 24. Falso. Las conductividades del hierro y del cobre son del mismo orden de magnitud, y la permeabilidad del primero, por ser un material ferromagnéticoy- es mucho mayor que la del segundo; en consecuencia, se deduce de (14.25) que la profundidad piel en el hierro es menor. 25. Falso. El agua de mar es conductora y atenúa las ondas electromagnéti cas, efecto qué es mucho más notorio en alta frecuencia. La comunicación con un ¡submarino sumergido debe hacerse mediante ondas de baja frecuen cia y gran longitud de onda, lo contrario de las microondas. 26. Cierto. Al aumentar la frecuencia de la fuente, disminuye la profundidad de penetración de la corriente en el alambre conductor y se hace más intenso el efecto piel; en consecuencia, la corriente eléctrica fluye en el alambré por una sección de menor área y la resistencia eléctrica aumenta. Además, de (14.25) y (14.27) se deducé .. .... ... .................... 7 ::..................
Propagación e incidencia de ondas / 5 8 9
f
R*r = “ 2nR
(újl V ' 2
(14.63)
2S
27. Falso. AI contrario; de (14.25) y (14.26) se deduce Rac =
r Cüllv /2
(14.64)
28. Cierto. Se deduce de (14.64). v-;"29. Falso. Se refuta al observar (14.63). 30. Falso. Como las conductividades de ambos materiales son del mismo orden de magnitud, pero la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del cobre, se deduce de (14.64) que la resistencia eléctrica del alambre de hierro es mayor. Conviene mencionar que el efecto piel limita, cuando la frecuencia de operación crece, el uso de los materiales ferromagnéticos en los núcleos de los transformadores y el intervalo de frecuencias en el cual es aplicable a estos materiales la aproximación cuasiestácionaria, debido al au mento de la resistencia eléctrica y las pérdidas de energía.
14.3 Velocidades de onda; onda viajera
y onda “estacionaria”
P r o p o s ic io n e s
1. La velocidad de fase de una onda es la rapidez con la que cambia la ampli tud de ésta. 2. La velocidad de fase de una onda “más” depende de las características de los medios en los cuales aquélla se mueve. 3. La velocidad de fase de una onda “más” es vF = (¿te)1/2, en dieléctricos ideales. 4. La rapidez de la luz en el vacío, c0, no puede tener siempre el mismo va lor, ya que en el SI el valor de fi o se asigna arbitrariamente, y c = (fJ-0e0) 1/2. 5. La rapidez de la luz en un medio material puede ser inferior a la rapidez de una partícula que se mueve en aquél. 6.
Si una onda “más” se propaga en un material conductor, su velocidad de fase tiende a 0 . 7. La velocidad de fase de una onda “más” es mayor en él vacío que en un medio conductor.
5 9 0 / Teoría electromagnética 8.
Si vx, vy y vz son las velocidades de fase en las direcciones de los ejes X, Y y Z, de una onda “más” que viaja en el vacío y cuya velocidad de fase en la 9 2 2 2 dirección de propagación es vF, entonces vF~ = vx + v y + v, . 9. Un medio material es dispersivo cuando la velocidad de fase de la onda electromagnética “más” que se propaga en aquél depende de la frecuencia. 10. Un medio material que tiene conductividad es dispersivo. 11. La velocidad de fase de una onda “más” depende de la potencia del ge nerador. J : ' V 12. La longitud de onda de una onda “más” depende de la conductividad del medio material por donde aquélla se propaga. 13. La velocidad de grupo de un conjunto de ondas que viajan en la misma dirección, y cuyas frecuencias tienen valores muy cercanos entre sí, es aproxi madamente igual a la velocidad de fase de la envolvente del conjunto. 14. La velocidad de grupo de un conjunto de ondas que viajan en la misma dirección, y cuyas frecuencias tienen valores muy cercanos entre sí, es aproxi madamente igual a la velocidad con la que se propaga la energía. 15. La velocidad de grupo puede ser mayor que la velocidad de fase. 16. Las velocidades de fase y de grupo de un conjunto de ondas “más” que se propagan en el vacío, viajan en la misma dirección, y cuyas frecuencias tie nen valores muy cercanos entre sí, son iguales. 17. E y H no dependen del tiempo en una onda “más”. 18. Si una onda “más” se propaga en un material conductor, la amplitud de aquélla decrece paulatinamente hasta 0 . 19. La velocidad de fase es la d eja luzjen una. onda_PUM. . ._ ___ 20. La velocidad de fase es 0 en una onda “estacionaria” polarizada lineal mente. 21. Una onda plana no puede ser “estacionaria”. 22. Una onda esférica no puede ser “estacionaria”. 23. E y H dependen del tiempo en una onda “estacionaria”. S o lu c io n e s
1. Falso. La amplitud de la onda no tiene que depender del tiempo. La velocidad de fase de una onda es igual a la rapidez de un observador que se mueve a la par de un punto de la onda cuya fase es constante. Como, en ge
Propagación e incidencia de ondas
/ 591
neral, la fase de la onda depende de la posición y el tiempo, con base en la explicación anterior puede obtenerse la velocidad de fase de aquélla al deri var con respecto al tiempo, e igualar a 0 , la fase de la onda. 2. Cierto. Se deduce de (14.13) y (14.7) que en la velocidad de fase de una onda “más” influyen, además de la frecuencia angular,
7. Cierto. La velocidad de fase de una onda “más”, deducida de (14.9) y (14.13),es ■' vF = <ü{j[fi)->e-i-íü/í(g2 + dü2e2)'/2]|
(14.65)
Expresión que ratifica la proposición, ya que la cantidad en el corchete es mayor en un medio material cuya conductividad es diferente de 0 . 8.
Falso. Esas velocidades están dadas por vx =(ú/f5x, vy = £t)//?v, v. =
592 /
Teoría electromagnética
la onda y P es la constante de fase, el vector de propagación, fi, se define con P = ipP = ixPx +iyP} + ip,; de las expresiones anteriores resulta 1 .1
a)2
u/
En consecuencia, las velocidades de fase, vx, vy y'v,, no son las componentes de un vector, y la velocidad de fase, vF, no es un vector; es decir, esas com ponentes no cumplen = vf.+ v* +v*, como se requiere para las compo nentes de una cantidad vectorial. 9. Cierto. Se deduce de (14.65) que cuando el medio material tiene paráme tros £, g y fj., íá velocidad de fase depende de la frecuencia y, por tanto, aquél es dispersivo. Es decir, si un pulso con varias componentes en frecuencia se propaga en el material, cada componente viaja con diferente velocidad de fase, y el pulso se dispersa al recorrerlo. 10. Cierto. En tal caso, según la proposición anterior, la velocidad de fase de una onda “más” que se propaga en ese material depende de la frecuencia. Obsérvese además, dentro del ámbito macroscópico que es el de validez de la teoría electromagnética, que, si la conductividad del material es 0 , según (14.65) la velocidad de fase no depende de la frecuencia y el medio material no es dispersivo. 11. Falso. Depende, según se observa en (14.65), de las propiedades del medio material en el que se propaga y de la frecuencia del generador. 12. Cierto. Ya que 2.-2n{^ú2¡J.e+(üfx{g2 + íü2£ 2 )i/2 ]/2} , como se deduce de (14.9) y-(14.13). 1 13. Cierto. La velocidad de grupo de una señal formada por dos ondas elec tromagnéticas, Á y B, de frecuencias angulares y constantes de fase, coA, 0 )B, PA y PB, es vG= (cüB- (úA)/(pB- P , que es igual a la velocidad de fase de la envolvente de las ondas citadas. Cuando una señal está formada por más de dos ondas de frecuencias diferentes, puede calcularse con la expresión ante rior la velocidad de grupo para cualquier par de esas ondas y, en general, se obtienen valores diferentes; en consecuencia, no tiene sentido hablar de la velocidad de grupo del conjunto. Sin embargo, cuando hay relativamente poca dispersión alrededor de una frecuencia central, sobre la banda de fre cuencias de interés, tiene sentido asignar mediante (13.26) una velocidad de grupo al conjuntó, la cual expresa, aproximadamente, la velocidad de fase de la envolvente del mismo y puede entenderse como la velocidad de la onda compuesta.
Propagación e incidencia de ondas / 5 9 3
Si la dispersión de las frecuencias de las ondas componentes es tan grande que Ácó/Afi no es aproximadamente igual a d(ú/df3, el concepto de velocidad de grupo pierde sentido y es imposible asignar una sola velocidad para des cribir la propagación de la onda compuesta. 14. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En sistemas rio dispersivos, como las líneas de transmisión sin pérdidas o los medios materiales sin con ductividad, las velocidades de fase, vF, y de grupo, vG, son iguales entre sí, e iguales a la velocidad, vE, con la que se propaga la energía electromagnética; esta velocidad se define con < uT >
(14.66)
donde < | S | > y < u T > son los valores promedios, en un período, del vector de Poynting y de la energía electromagnética total por unidad de volumen. En los sistemas dispersivos, aquellos en los cuales la velocidad de fase de pende de la frecuencia, las velocidades de fase y de grupo son diferentes. Cuando la dispersión del sistema es normal v moderada, como en las guías de onda sin pérdidas, un pulso puede viajar grandes distancias sin separarse apreciablemente; puesto que la energía se supone localizada en la región ocupada por el campo, es obvio que la velocidad de propagación de la ener gía debe ser igual, aproximadamente, a la velocidad de grupo. En un medio dispersivo normal, además, va < vF y dvF/deo < 0. Cuando la dispersión es anómala, como en una línea de transmisión con pérdidas o un medio mate rial con conductividad, se cumplen vc > vF y dvF/dco > 0 , y la velocidad de propagación de la energía no equivale a la velocidad de grupo. 15. Cierto. Ocurre en los sistemas dispersivos anómalos, como las líneas de transmisión con pérdidas o un medio material con conductividad, en los que dvF/dco > 0 . 16. Cierto. El vacío es un medio no dispersivo en el cual las velocidades de fase y de grupo son iguales entre sí, como se deduce de (14.9), (14.13) y (13.26), e iguales a la rapidez de la luz allí. 17. Falso. Como son funciones de onda, E y H dependen de la posición y el tiempo; las que no dependen del tiempo son las amplitudes de las ondas respectivas. 18. Cierto. En la onda “más”, en un material conductor, se deduce de (14.14) que E(z) = Eu e. -'= Ene~a: donde la atenuación, a, se calcula con (14.8); en la expresión anterior se observa que la exponencial real disminuye
5 9 4 / Teoría electromagnética
de valor, y en consecuencia la amplitud de E disminuye, a medida que z cre ce y la onda penetra en el conductor. Cuando z es infinita, la amplitud es 0; sin embargo, puede suponerse que ésta es despreciable después de una pe netración mayor que cinco veces la profundidad piel. 19. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Cierto, cuando se trata de una onda “más” que se propaga por el vacío; falso en muchos casos, por ejemplo, si la onda es “estacionaria”. 20. Falso. Una onda “estacionaria” polarizada linealmente se presenta, por ejemplo, cuando la onda polarizada se propaga por un medio material sin conductividad e incide normalmente sobre la superficie plana de un conduc tor perfecto; en tal caso, el fasor de la E en la onda reflejada es igual y de signo opuesto al de la onda incidente. El comportamiento de esta onda es idéntico al de la onda “estacionaria” que se presenta en una línea sin pérdi das, y para éstas se demostró, en la proposición 13.7.29, que la velocidad de fase es infinita. 21. Falso. Una onda PUM en el vacío, polarizada en X, por ejemplo, formada por ondas “más” y “menos” de amplitudes iguales, es una onda “estacionaria”. 22. Cierto. El lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen la mis ma fase es una esfera, en una onda esférica, y la amplitud de ésta disminuye con la distancia; así son, por ejemplo, las ondas emitidas por un dipolo eléc trico radiante. En consecuencia, estas ondas no pueden ser “estacionarias”, ya que las amplitudes de las ondas “más” y “menos” son diferentes. 23. Cierto. Las funciones de onda, sea ésta “estacionaria” o viajera, satisfacen una ecuación de onda y, necesariamente, dependen de la posición y el tiempo.
14.4 Polarización de onda P r o p o s ic io n e s
1. Si una onda está polarizada linealmente, el producto escalar entre la parte real y la parte imaginaria de la E de la onda es Ó. 2. Si una onda está polarizada linealmente, el fasúr de su E puede expresarse en la forma E = Eaeje, donde E0 es real. 3. Si una onda polarizada linealmente se propaga en dirección del eje Z, las componentes Ex y Ey dé la E están desfasadas entre sí. 4. Si en una onda el fasor de la E puede expresarse en la forma E = E0ej6, donde £ 0 es real, la onda está polarizada linealmente.
Propagación e incidencia de ondas /
595
5. Si una onda es PUM, tiene que estar polarizada linealmente. 6.
La onda “más” está polarizada linealmente en dieléctricos ideales.
7. Si E »E = 0, en una onda, ésta está polarizada circularmente. 8.
Si en la E de una onda se cumple • E, = 0, la onda está polarizada circu larmente. : ■ 9. Si el ángulo entre las direcciones de las partes real e imaginaria de la E de una onda es de 60°, la onda puede estar polarizada circularmente. 10. Si una onda polarizada circularmente se propaga en dirección del eje Z, las componentes Ex y Ey de la E están desfasadas n/2 entre sí. 11. Si numéricamente, y medidas en las respectivas unidades del SI, las mag nitudes de las E y H de una onda “más” son iguales entré sí, ésta tiene que estar polarizada circularmente. 12. Una onda sonora puede estar polarizada circularmente en el aire. 13. Una onda polarizada linealmente puede representarse como la suma de dos ondas polarizadas circularmente que rotan en sentidos opuestos. 14. Una onda polarizada elípticamente puede descomponerse en dos ondas polarizadas linealmente. 15. En unaonda “más”, polarizada elípticamente, E* H_ * 0. 16. En una onda “más”, polarizada elípticamente, E * H *0. 17. En una onda “más”, polarizada elípticamente, que se propaga en un di eléctrico ideal, E* H 0. S o lu c io n e s
1. Falso. La polarización lineal es un caso particular de la polarización elíp tica, en el que la elipse de polarización se reduce a una línea; ocurre cuando la E dé la onda PUM que se propaga por el espacio tiene la misma dirección én todos los puntos. En tal caso, según (14.30), el producto vectorial entre las partes real e imaginaria de la E de la onda es 0 . 2. Cierto. Una onda está polarizada linealmente cuando, según (14.30), ER, o E¡,. es 0, o estos vectores son paralelos y, en tal caso, puede escribirse E¡ = kEfí, donde k es un escalar. Cualquiera de las tres posibilidades satisface la proposición, pues E = Er + jEi = (l + ]k)ER = (l + k2y~ERejB, con 0 = tan"'(¿), E = Efí = ERe'° y E = jE, = E ^ ^ '2.
5 9 6 / Teoría electromagnética
3. Falso. Si la onda está polarizada linealmente, su E puede expresarse como E = Rej.E0£;*9+“')J = £ 0cos((U¿ + 6 ), como se deduce de la proposición anterior, donde E0 es un vector transversal cuyas componentes, Ex y Ey, están en fase. 4. Cierto. En tal caso, las partes real e imaginaria de E son paralelas, y se cumple (14.30). 5. Falso. En general, la onda PUM presenta una polarización elíptica; ésta tiene como casos particulares la lineal o la circular. La onda está polarizada linealmente cuando su E tiene la misma dirección en todo instante y punto del espacio. 6.
Falso. En dieléctricos ideale:s o en medios materiales conductores, la onda “más” presenta, en general, unapolarización elíptica; las intensidades res pectivas, E y H , pueden calcularse con (14.14). 7. Cierto. Ya que 0 = E » E = {e f +jE,)» {Er + jE,)= (¡Efíf -\E ,f)+ 2jE R• E,, en la que se usó (14.28), y de donde se concluye que ER• E, = 0 y |£fl| = |2£;¡. De estos resultados se deduce que la elipse de polarización, dada por (14.29), está inscrita en un cuadrado de lados iguales a 2 |£ ^ |, y que aquélla, por tanto, es una circunferencia. 8. Falso. En tal caso, según la proposición anterior, E r y E, son ortogonales y sus direcciones coinciden con las de los ejes principales de la elipse de pola rización; para que ésta sea una circunferencia es" necesario, 'además7, qué sean; iguales las magnitudes de aquellos vectores. 9. Falso. En la polarización circular, según la proposición 14.4.7, ese ángulo es de 90°. 10. Cierto. En la onda polarizada circularmente, según (14.32), las direccio nes de E r y E, son mutuamente perpendiculares y sus magnitudes son igua les; si los ejes X y Y se eligen en esas direcciones, y E0 es el valor común, (14.29) queda: E = E0(ixeos col - i.sen co/) = eos (út + itcos {(út + tt/2)J3 donde se observa un desfase de 7t/2 entre las componentes en X y Y. 11. Falso. La igualdad afirmada implica que la impedancia característica de onda en el medio m aterial—véase (14.14)— es igual a 1[&]; pero dé ello no se concluye, necesariamente, que la onda está polarizada circularmente. Lo está, obligatoriamente, cuando se satisface (14.32). 12. Falso. La onda sonora es una vibración rongitúdinál y ra pólárizacióh circular es un fenómeno que sólo se presenta en las ondas transversales.
Propagación e incidencia de ondas
/ 597
13. Cierto. Al sumar, por ejemplo, las ondas Ei = E0{ixcósú)t- iysen(úij y E2 = E0^ coscot + iysen (ütj, que están polarizadas circularmente, por cumplir (14.32), y rotan, en el sentido de las manecillas del reloj, una, y al contrario, la otra, resulta Es = Et +E2 = ix2E0cosú)t, que es una onda polarizada linealmente en X. 14. Cierto. La E de tal onda satisface (14.29), y esta ecuación puede interpre tarse como la suma de dos ondas polarizadas linealmente que tienen, respec tivamente, las direcciones de ER y Eh ya que cada una cumple (14.30) por separado. ' \ 15. Falso. Se demostró en la proposición 14.2.17 que ese producto era 0; E era, .en esa proposición, un vector transversal y arbitrario, y, por tanto, elíp tica la polarización respectiva. 16. Cierto. Si 9 es la fase de la impedancia característica de onda en el me dio, entonces 77 = r¡ ej0; al llevar esta expresión y (14.28) a (14.14) y (14.1), resulta . H = R e \^ x ( E K+jE,)e iwt l _
x[Fffc o s(íy í-0 )-£ /sen(íyí-0)] (14.67)
Cuando se multiplican escalarmente (14.29) y (14.67), tomando en cuenta (1.25), se obtiene E„ • i. x E, E • H = |—7 [sen
14.5 Potencia y energía P r o p o s ic io n e s
1. Las unidades de S en el SI son [kgs-2]. 2-. S es eldasor de S. 3. La dirección dé S coincide con la de la propagación en una onda “más”.
5 9 8 / Teoría electromagnética
4. Si una onda “más” se propaga en un medio no conductor, la parte real de S es 0 . 5. Si una onda “estacionaria” está polarizada linealmente en un medio no conductor, S es 0 en todos los puntos. 6.
Si una onda “más” se propaga en el vacío, 5 es solenoidal.
7. Si una onda se propaga en un medio conductor, la parte real de la divergencia de S no es 0. 8 . La parte imaginaria de la divergencia de S es igual a la diferencia entre los promedios temporales de las energías eléctrica, < u e >, y magnética, < u m >, por unidad de volumen.
9. El promedio temporal de la energía eléctrica por unidad de volumen de la onda “más” es igual al de la energía magnética de la onda “menos”, en una onda “estacionaria” polarizada linealmente en el vacío. 10. Los promedios temporales de las energías eléctrica y magnética por uni dad de volumen, en una onda “más”, no son iguales entre sí. 11. El promedio temporal de la energía eléctrica por unidad de volumen de la onda “más” es igual, en toda onda, al de la energía magnética de la onda “menos”. • ■ 12. Cuando una onda compuesta, formada por ondas “más” y “menos”, se propaga en un medio no conductor, el S de aquélla es igual a la suma de los S de las cuatro ondas polarizadas linealmente que la componen. 13. Si una onda “más” se propaga con una velocidad de fase, vF, es cierto que < S > = < uT > vF1 donde < uT > es el promedio temporal de la suma de las energías eléctrica y magnética, por unidad de volumen, de la onda. S o lu c io n e s
1. Falso. Las unidades del vector de Poynting pueden obtenerse en el SI —ver (14.33)— como el producto entre las unidades de la intensidad del campo eléctrico, medida en [mkgs_3A_1], y las de la intensidad del campo magnético, medida en [m- 1A]. 2. Falso. S fue definido en (14.33), pero no es el fasor de S , definido en (6.3), ya que entre éstos no se cumple S = Re{Se-'“'}, que define el fasor de una cantidad real; lo que sí se cumple es S = Re{S} + R e|^-x
j, -
donde se observa que S , cuya relación con E e s de segundo grado, depende del tiempo en función de la frecuencia angular 2ú).
Propagación e incidencia de ondas / 5 9 9
3. Cierto. Si Z es la dirección de la propagación ?de la onda, al llevar (14.14) a (14.33) se obtiene, tomando en cuenta que el producto escalar entre L y E e s 0 , f S=-ExH'=-Ex ~ 2~ ~ 2“
i xE’ 2p* •
—
• 277*
(14.69)
; \ 4. Falso. En tal caso la impedancia característica de onda en el medio mate rial es real y (14.69) refuta la proposición. Obsérvese, además, que la diver gencia de la parte real de S sí es 0, pues | £ | 2 es uniforme, de conformidad con (14.36) o (14.69). ,
5. Falso. Si Z y X son. respectivamente, las direcciones de propagación y polarización de la onda “estacionaria”, E, H_ y S en ésta pueden ser, por ejemplo, E = ixEt,eos(3z, H_ = -iy
fiz)/r¡ y S = i. ^'¡£ 0|'sen2/3zjj{^r¡) * 0.
6 . Cierto. En el vacío la conductividad y la atenuación son 0, y si Z es la di rección de propagación de la onda, (14.14) se reduce, usando (14.7) y (14.12), a £(z) = £ „ é,' ,é: y H(z) = ^£ll/¡i(,y 'i. xE(z), y los promedios tempora les de las energías eléctrica y magnética almacenadas por, unidad de volumen resultan iguales; en efecto,
< «.
> =
^\H(z)f =
{U x £(z)]9 IX- x E(z)' ]}2 = ^ | £ 0f =
>
(14.70)
donde se tomó en cuenta que el producto escalar entre i. y E(z) es 0. De (14.70) y (14.35) se concluye que la divergencia de S es 0. 7. Cierto. Se sigue de (14.34) y (14.36). , 8 . Falso. La igualdad propuesta es dimensionalmente incorrecta; la ecuación correcta, de (14.35), es
9. Cierto. De (14.70) se sabe que los promedios temporales de las energías eléctrica y magnética por unidad de volumen son iguales en una onda “más”; resultado también cierto, por simetría, para la onda “menos”. Además, las magnitudes de E son iguales en las ondas “más” y “menos” que forman la onda “estacionaria” polarizada linealmente en el vacío.
6 0 0 / Teoría electromagnética
10. Cierto. Esos promedios, usando (14.12) y (14.14), son
1/2
1+
‘
,
\E0f e ^ * < u r >
(14.71)
donde se tomó en cuenta que el producto escalar entre i¡, y E(z) es 0. La propo sición es cierta, sin embargo, cuando la conductividad del medio material fes 0 . 11. Falso. Considérese, como contraejemplo, la propagación en un medio conductor, donde esos promedios, según (14.10), (14.11), (14.35) y (14.71), son funciones cuadráticas de las magnitudes de E y H , dépenden de la posi ción de manera exponencial y se atenúan en el sentido en el que cada onda se mueve. Sin embargo, en algunos casos particulares los promedios son iguales, por ejemplo, en una onda “estacionaria” linealmente polarizada. 12. Cierto. Sean 1, 2, 3 y 4 las cuatro ondas componentes, y Z la dirección de la propagación. Como g es 0, y real la impedancia característica del medio, cuando éste no es conductor, de (14.14) se obtienen £, = i x E t y ií, = i yE f/r], E2 =
í
,E2
y H 2 = - i xE J r } , E3 =
ixE 3
y H3 = - i yE 3/ r /, y E4 = ¿v£ 4 y H 4 =
i xE J r ¡ .
Sr = Er x H t = (i?, + 2?, + E3 4-E4) x {^H] + H2 + H3 + H 4) —S, + S, + S3 + S4, donde los productos cruzados se anulan porque los vectores son paralelos, o se agrupan por parejas y la sumas respectivas, de acuerdo con las relaciones previas para E y H de cada tren de ondas, son también iguales a 0 . 13. Cierto. De (14.7), (14.12) y (14.71) se deducen 1 —=
ti’
7* j a p { — = - — + -t— y
jatpt cofj. (úfi
'
... .. 2"í/2,‘ ' £ >= — 1+ 1+ m *: {ü)£¡ 4
í
Si Z es la dirección de la propagación de la onda y se lleyan las expresiones anteriores, y (14.9), (14.13) y (14.69), a (14.34), se obtiene 2"1/2' 2 vF e ’ ( e ^ E e-2ai=v £ _ j E |: 1+ 1+ M = Rejs}= _0 e-la; f 2(ú2ii I - 0' ~T UJ 2 m W
Propagación e incidencia de ondas / 601
14.6 Incidencia normal
, 7
P r o p o s ic io n e s
1. Si una onda polarizada elípticamente incide normalmente sobre un con ductor perfecto, desde un dieléctrico, el coeficiente de reflexión para cada componente de polarización es - 1 . 2. Si una onda incide normalmente sobre un conductor perfecto, desde un dieléctrico, la onda resultante en éste es viajera. 3. Si una onda incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctri cos, la frecuencia de la onda transmitida cambia. 4. Si una onda incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctri cos, la longitud de onda de la transmitida cambia. 5. Si una onda incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctri cos cuyas constantes de fase son iguales entre sí, no hay onda reflejada. 6.
Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la. interfaz plana de dos dieléctricos, la impedancia de onda, es continua en aquélla. 7. Si una onda polarizada elípticamente incide normalmente sobre la inter faz plana de dos dieléctricos cuyas impedancias características de onda son iguales entre sí, la onda reflejada está polarizada linealmente. 8.
Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctricos cuyas impedancias características de onda son igua les entre sí, sólo se produce, una onda transmitida. 9. Si una onda polarizada elípticamente incide riormalmente sobre la inter faz plana de dos dieléctricos, el coeficiente de transmisión para cada compo nente de polarización lineal de E nunca es 0 . 10. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctricos, la magnitud de £ en la onda transmitida tiene que ser menor que en la incidente. 11. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente desde el aire sobre un dieléctrico, de parámetros f¿0 y £2, y el coeficiente de reflexión es' -1/3, entonces £2 = 4£0. 12. Si una onda polarizada Íinealmenté incide normalmente desde el aire sobre un macizo dieléctrico, de parámetros pi0 y £2, y el coeficiente de trans misión es 6/5, entonces £ ,= 4£0/3.
6 0 2 / Teoría electromagnética
13. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctricos, la magnitud del coeficiente de reflectancia es igual al cuadrado de la magnitud del coeficiente de reflexión. 14. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctricos, la magnitud del coeficiente de transmitancia es igual al cuadrado de la magnitud del coeficiente de transmisión. 15. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente sobre la interfaz plana de dos dieléctricos, la suma de las magnitudes de los coeficientes de reflectancia y transmitancia es igual a la unidad. 16. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente desde el aire sobre una placa dieléctrica de espesor conocido y superficies paralelas, en esa placa aparecen ondas “más” y “menos”. 17. Si una onda polarizada linealmente incide normalmente desde el aire sobre un macizo dieléctrico, de parámetrosj i 0 y e2, no hay forma de eliminar la onda reflejada en el aire. 18. Cuando una onda polarizada linealmente se propaga en el aire y se le interpone una placa dieléctrica, de parámetros fi0 y £,, sobre la que aquélla incide normalmente, no siempre hay una onda reflejada en el aire. 19. Cuando una onda polarizada linealménte se propaga en el aire y se le .interpone una lámina dieléctrica, de espesor muy pequeño, Z, comparado con la longitud de onda, y parámetros p.0 y £,, sobre la qué aquélla incide normalmente, la magnitud del coeficiente de reflectancia es proporcional al cuadrado del espesor de la lámina. 20. Si una lámina plana de vidrio es paralela a la B dé un campo magnético estacionario y uniforme, y éste cambia repentinamente, el cambio es detec tado instantáneamente en la región que hay al otro lado de la lámina. 21. Si una lámina plana de cobre es paralela a la B de un campo magnético estacionario y uniforme, aquélla no es útil como blindaje contra ese campo. 22. Si una lámina plana perfectamente conductora es paralela a la B de un campo magnético estacionario y uniforme, y éste cambia repentinamente, el cambio no se detecta en la región que se encuentra al otro lado de la lámina. 23. Si una lámina plana de cóbre es parálela a la B de un campo magnético que varía senoidalmente con una alta frecuencia, aquélla no ofrece un blin daje frente a cambios bruscos del campo.
Propagación e incidencia de ondas / 6 0 S
S o lu c io n e s
1. Cierto. La onda incidente puede descomponerse en dos polarizaciones lineales en las que, de acuerdo con (14.38) —para satisfacer la continuidad de la componente tangencial de E en la interfaz, ya que en el conductor per fecto E es 0 — el coeficiente de reflexión es igual a - 1 . 2. Falso. La onda resultante es “estacionaria”, como se observa en (14.38) y (14.39); ello se debe a que el coeficiente de reflexión para cada polarización " de la onda incidente es igual a - 1 . 3. Falso. Al cambiar de dieléctrico se modifican los valores de fi, e, ¡3, r¡ y de las amplitudes de-E y H en la onda; sin embargo, para que las continuidades de' las componentes tangenciales de E y H se satisfagan en cada instante y punto de la interfaz de los dieléctricos, la frecuencia se mantiene igual. 4. Cierto. Al cambiar de medio cambian ¡i y é, pero no la frecuencia, según la proposición anterior; la longitud de onda en un dieléctrico, de acuerdo con (14.13), es A- v , ¡ f = /''( /te ) 'l/2. ; 5. Falso. La onda reflejada se anula cuando el coeficiente de reflexión es 0, y ello ocurre, según (14.46), si las impedancias características de onda de los medios son iguales entre sí. 6.
Cierto. Porque, según (14.47), en la interfaz de los dieléctricos, en la que K - 0, la impedancia de onda es la razón de dos cantidades, E¿ y H_v que son continuas allí. 7. Falso. La onda incidente puede descomponerse en dos polarizaciones lineales en las que, de acuerdo con (14.46), el coeficiente de reflexión es nulo si las impedancias características de onda de los medios son iguales entre sí; por tanto, no hay onda reflejada. 8.
Cierto. Se sigue de (14.46) que, en la interfaz, el coeficiente de reflexión es 0 y el de transmisión es igual a la unidad; es decir, la onda cruza la inter faz como si ésta no existiese. 9. Cierto. Como (14.46) es válida para cualquiera de las polarizaciones linea les de la onda incidente, se advierte en aquélla que si se trata de la interfaz de dos dieléctricos el coeficiente de transmisión nunca es 0 , ya que r}., no lo es. Sin embargo, ese coeficiente sí es 0 cuando el segundo medio es un con ductor perfecto, yá que en tal caso, de acuerdo con (14.12), % se anula. 10. Falso. Puede ser mayor; ocurre, como se sigue de (14.46), cuando n ,> n ,. -
6 0 4 / Teoría electromagnética
11. Cierto. De (14.44) y (14.46), en las que el subíndice 0 se usa para el aire y el 2 para el dieléctrico, se deduce, confirmando la proposición, que V 2 / % = fe, /£,)'■■= (l-+ r.)/(l-£) = 1/2. : 12. Falso. De (14.44) y (14.46), donde el subíndice 0 se usa para el aire y el 2 para el dieléctrico, sé deduce, con lo cual se refutan la proposición, que r)t/r¡0 = (£0/ £2)1/2 = T / ( 2 - T ) = 3/2. ’ 13. Cierto. De (14.33), (14.41) y (14.42) se deducen, confirmando la propo sición, ' .
14. Falso. De (14.33), (14.43) y la proposición anterior, se deduce, refutando la presente proposición, que S■ T
1 2
E t x H t'
Jk H ' y l z f
15. Cierto. La suma propuesta, de acuerdo con (14.46) y los resultados de las dos proposiciones anteriores, es 4*7,77, f v,-^ + =1 (t?2 +.T?,)2 Ri±U\-Como los dieléctricos y la interfaz no disipan energía, el resultado es una consecuencia obvia de la conservación de la misma. 16. Cierto. Al incidir la onda sobre la primera superficie de la placaren ésta se producen una onda reflejada, que se devuelve hacia el aire, y una onda transmitida, que avanza por la placa hacia la otra cara en donde se repite el proceso. En consecuencia, en la placa dieléctrica sí aparecen ondas “más” y “menos”. ■kl-Ylgrl
|r | . ,
17. Falso. Si el dieléctrico es muy grueso de manera que no hay en éste onda reflejada, lo que equivale a decir que en la interfaz lejana, en z = «=, hay aco ple perfecto, puede eliminarse la onda reflejada en el aire al cubrir la superficie del dieléctrico con una placa, de espesor l y parámetros ^ y £,, tales que = n k Por tanto, e¡ =(e0e2)m y ¿ = A,/4 = (A0/4 )(£0 /£ ,) 1/2 =(A0/4)(£0 / e J M, como se puede verificar al sustituir ¡31 por n/2, y r¡, r¡£ y r¡c, respectivamente, por 77), r¡0 y rj2, en (14.48) y (14.49). El resultado anterior se obtuvo con un trans formador de A/4, aprovechando la analogía entre la incidencia normal sobre
Propagación e incidencia de ondas / 6 0 5
dieléctricos de una onda linealmente polarizada y una línea de transmisión ; sin pérdidas. 18. Cierto. Como en ambos lados de la placa hay macizos semiinfinitos de aire, la impedancia de onda en la carga de aquélla es r]0, y si se supone que el espesor de la placa es un múltiplo de Á/2, al sustituir (31 por 7ty r¡c por r¡0, de (14.49) se deduce que la impedancia de onda en la entrada de ésta es t¡e = r^c~ ^oeste cas0 no hay onda reflejada en el aire, pues el coeficiente de reflexión en la interfaz del aire y la placa, según (14.48), es igual a 0. 19. Cierto. Como en ambos lados de la lámina hay macizos semiinfinitos de aire, la impedancia de onda en la carga de aquélla es r¡0; además, el ángulo /? l es muy pequeño, lo que permite aproximar su coseno a la unidad y su seno al ángulo mismo. En consecuencia, (14.46) y (14.49) se aproximan, en la interfaz del aire y la lámina, a %
r
xn + jVaPl) Re 'V * R E + rlu
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El último resultado y el de la proposición 14.6.13 confirman la presente proposición. 20. Falso. Estrictamente, aunque el vidrio no constituye una barrera ni ofre ce un blindaje contra el campo magnético, la variación brusca de éste no se percibe instantáneamente al otro lado de la lámina porque la perturbación se propaga con una rapidez finita y toma un tiempo el atravesarla. Conviene mencionar, sin embargo, que ese tiempo es muy pequeño. 21. Cierto. Los conductores permiten aislar una región del espacio de la influencia de un campo electrostático, debido a la movilidad de los electro nes libres que se redistribuyen hasta anularlo. Pero la lámina conductora no puede ofrecer un blindaje similar ante el campo magnético estacionario, ya que no existen cargas magnéticas; en este caso, la lámina es transparente a ese campo, que la cruza como si no existiese. 22. Cierto. En la lámina perfectamente conductora los campos eléctrico y magnético son nulos y, por ello, aquélla constitúye una barrera contra esos campos, que no pueden cruzarla. Al producirse el cambio repentino en el campo magnético, se inducen en la interfaz del conductor perfecto las cargas y corrientes que sean necesarias para qüe en el interior de la lámina los cam pos eléctrico y magnético continúen nulos; la perturbación no puede cruzar,
6 0 6 / Teoría electromagnética
entonces, hasta el otro lado de la placa y no se detecta el'cambio.. La explica ción dada debe entenderse dentro del ámbito macroscópico, en el cual se cumplen sin contradicciones las ecuaciones y conceptos de la teoría electro magnética. 23. Falso. Como el cobre es un material de alta conductividad, y la frecuen cia con la que varía el campo magnético es alta también, la profundidad piel, dada en (14.25), es pequeña en la lámina; en consecuencia, las magnitudes de B y H se atenúan bastante al cruzar la lámina, lo que constituye un blinda je parcial contra cambios bruscos del Campo.
14.7 incidencia oblicua; leyes básicas P r o p o s ic io n e s
1. Plano de. incidencia es el formado por la dirección de la E en la onda inci dente y la normal a la interfaz en el punto de incidencia. 2 . Ángulo de incidencia es el formado por la dirección de propagación de la onda incidente y la normal a la interfaz. 3. El ángulo de transmisión puede cambiar entre 0o y 180°. 4. La onda incidente puede descomponerse, para él análisis de la incidencia oblicua, en dos polarizaciones; una, con E paralela al plano de incidencia, la otra, con E normal a la interfaz. 5. Si una onda incide oblicuamente sobre un material perfectamente conduc tor, en éste se inducen corrientes superficiales. 6.
Si la interfaz de dos dieléctricos es curva, las direcciones de las ondas inci dente, reflejada y transmitida no son coplanares. 7. Si la onda incidente es esférica, las direcciones de las ondas incidente, reflejada y transmitida en la interfaz de dos dieléctricos son coplanares. 8 . Las longitudes de onda son iguales en las ondas incidente, reflejada y transmitida. 9. Si iR e iT son los versores que señalan las direcciones de las ondas inci dente, reflejada y transmitida, entonces i, ir10. Si vFJy Vpt son las velocidades de fase de las ondas incidente y trasmitida, la ley de Snell es u^sen-07 =.uHsen 0T. .... ... ...... ......... _... '. ..... .......... 11. Las velocidades de fase de las luces, roja y azul son iguales en el cuarzo fundido.
Propagación e incidencia de ondas / 6 0 7
12. El ángulo de incidencia puede ser igual al de transmisión. , 13. Los ángulos de incidencia, reflexión y transmisión no pueden ser iguales. 14. Si pi, = 2jU2 y 2e, = e2, entonces 6I = d„ = 0T. 15. Cuando un farol del alumbrado público se observa por reflexión desde el otro lado de un estanque en donde el agua está ondulada, parece más largo. 16. Un haz de luz se estrecha al ingresar al agua desde el aire. 17. Un nadador sumergido en el agua ve, cuando dirige sus ojos por encima de la superficie de ésta, aumentados los objetos. 18. La luz satisface las leyes de la reflexión y la refracción que cumplen las ondas electromagnéticas. 19. Los coeficientes dé Fresnel, para la incidencia oblicua de uria onda electro magnética, sobre la interfaz de dos dieléctricos, dependen de la frecuencia de la onda. 20. Si una onda, con polarización n, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, la magnitud de la E incidente es igual a la suma de las mag nitudes de la E reflejada y la £ transmitida. 21. Si una onda, con polarización n, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, y = pL2e]} no hay onda reflejada. . 22. Si una onda, con polarización tí, incide bajo un ángulo de 60° sobre la interfaz de dos dieléctricos de permeabilidades iguales, el coeficiente de reflexión se anula cuando £,/£, = 3. 23. Si una onda, con polarización cr, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, y fj..e, = /£,£,,, hay onda reflejada. 24. Si una onda, con polarización circular, incide oblicuamente sobre la in terfaz de dos dieléctricos, la onda transmitida tiene polarización elíptica. 25. Si un vidrio se recubre con un material transparente y sin pérdidas para disminuir la reflexión, la energía que se refleja cuando el vidrio no está cu bierto se absorbe por el material de recubrimiento. 26. Una persona moja sus anteojos para limpiarlos, y conforme el agua se evapora es posible que, durante un corto tiempo, el poder de no reflejar la luz se haga muy notable. 27. Si una onda, con polarización Tí, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, en dirección normal a ésta la potencia media por unidad de área en el dieléctrico 1 no es igual a la del dieléctrico 2 .
6 0 8 / Teoría electromagnética
28. Si una onda, con polarización a, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, en dirección normal a ésta la potencia media incidente por unidad de área es igual a la suma de la reflejada y la transmitida. 29. Si una onda, con polarización cr, incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, en dirección paralela a ésta y perpendicular a la £ de la onda incidente, la potencia media incidente p o / unidad de área es igual a la suma de la reflejada y la transmitida. 30. Si una onda incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos, en dirección normal a ésta la potencia medía reflejada por unidad de área es igual a la incidente. ■ 31. Si una onda con polarización elíptica incide oblicuamente sobre la inter faz de dos dieléctricos, en dirección normal a ésta la suma de las potencias medias reflejada y transmitida es igual a la incidente. S o lu c io n e s
1. Falso. El plano de incidencia es, por definición, el que determinan en el punto de incidencia el vector /?,, qué es paralelo a la dirección en la que se propaga la onda incidente, y la normal a la interfaz en ese punto. L a £ de la onda incidente es paralela al plano de incidencia cuando la polarización de aquélla es n. 2. Cierto. Los ángulos de incidencia, reflexión y transmisión son aquellos, no mayores de 90°, que las direcciones de las ondas incidente, reflejada y trans mitida hacen con la normal a la interfaz en el punto de incidencia. 3. Falso. Como se mide desde la dirección normal a la interfaz, su máximo valor es de 90°; éste se alcanza en la reflexión total. 4. Falso. En la descomposición correcta, una de las polarizaciones tiene lá £ paralela al plano de incidencia y se simboliza con el subíndice 7T; en la otra, £ es perpendicular al plano de incidencia y se distingue con el subíndice o. 5. Cierto. Como H es 0 dentro del material perfectamente conductor, deben circular corrientes superficiales, K, sobre la interfaz de los medios para satis facer la continuidad de la componente tangencial de aquélla. 6.
Falso. En el punto de incidencia sobre la interfaz de los dieléctricos, cual quiera sea el tipo de ésta, para que se satisfagan las continuidades de las . componentes tangenciales de £ y H, las fases de las ondas incidente, refleja da y transmitida, que son de la forma Fase = cot - fi • r, deben ser funciones idénticas en todo tiempo y punto de la interfaz; de tál identidad se deduce que las direcciones de las tres ondas son coplanares.
Propagación e incidencia de ondas / 6 0 9
7. Cierto. La onda es esférica cuando las superficies de fase constante son esferas; ello no afecta, sin embargo, el cumplimiento obligatorio de las con tinuidades de £ y H en la interfaz dieléctrica, de las cuales se deduce que las direcciones propuestas son .coplanares. 8 . Falso. Aunque, para cumplir las condiciones de frontera en la interfaz, las frecuencias de las tres ondas son iguales, la velocidad de fase en cada mate rial depende de las propiedades del mismo; se deduce entonces, de (14.13), que las longitudes de onda son iguales en las ondas incidente y reflejada, y diferentes a la de la onda transmitida.
9. Falso. Se estableció en la proposición 14.7.6 que esas direcciones son co planares. 10. Cierto. Se sigue directamente de (14,52) y (14.53). 11. Falso. Cuando la frecuencia de la onda electromagnética es alta, como en la luz visible, los parámetros de los medios materiales, y sus índices de re fracción, dependen de la frecuencia. Las velocidades propuestas son.diferem tes, entonces; ya que sus frecuencias e índices de refracción en el óuarzo fun dido son distintos. 12. Cierto. En general son diferentes y están relacionados con la ley de Snell. Pueden ser iguales, sin embargo, cuando las constantes de fase, /3, de los medios lo sean; en este.caso las velocidades de fase también son iguales. 13. Falso. Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales entré sí, y pueden ser iguales al de transmisión en casos extremos, como en la incidencia normal o cuando las constantes de fase, /?, de los medios materiales son iguales. 14. Cierto. De acuerdo con la proposición 14.7.12, ya que, según (14.50), las constantes de fase de los materiales resultan ser iguales. 15. Ciérto. Si el agua está en reposo, la normal a la superficie es vertical y no se notan cambios en la .longitud del farol. En el agua ondulada, la normal a la superficie oscila; en una parte de cada onda superficial la normal se dirige hacia el farol y en otra parte se aleja del mismo. Cuando la normal se acerca al farol, los extremos de éste reflejados por el agua le parecen más sumergi dos y separados entre sí a un observador, y la longitud de aquél se ve aumen tada; cuando la normal se aparta del farol, el observador ve que los extremosde aquél parecen elevarse hacia la superficie, acercarse entre sí, definir un farol de menor longitud, e, incluso, éste puede perderse de vista. En conse cuencia, la primera, situación es dominante y, al combinar los reflejos de las diferentes ondas, el farol parece más largo. 16. Falso. Como el índice de refracción del agua es mayor que el del aire, de acuerdo con (14.52) el ángulo transmitido es menor que el incidente y el haz
6 1 0 / Teoría electromagnética
de luz se acerca a la normal a la superficie, y se ensancha. En efecto, supón gase que el ancho del haz incidente es a, b el del transmitido y d la distancia que delimita sobre la interfaz; entonces , a b b eos 9., '" d ~ ———= — :— y —= — <— - > 1 eos 6¡ eos 6t a eos 0 / 17. Cierto. Los rayos de luz que salen de ios puntos del objeto y penetran en el agua hasta llegar al ojo del nadador, tienen ángulos de incidencia mayores que los transmitidos y se acercan a la normal a la superficie, según la ley de Snell, debido a que el índice de refracción del agua es mayor que el del aire; por tanto, el buceador vislumbra los puntos en cuestión en posiciones más altas de las reales, y el objeto, con mayor longitud. 18. Cierto. La ley de Snell y los coeficientes de Fresnel fueron obtenidos antes de que Maxwell propusiera su teoría electromagnética y concluyese qué la luz es un caso particular de onda electromagnética. Que esas propiedades de la luz puedan deducirse de las ecuaciones de Maxwell y sus condiciones de frontera es una confirmación experimental de la teoría. 19. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Al examinar (14.56) y (14.58) no sé observa la presencia explícita de la frecuencia en éstas. Sin embargo, especialmente cuando la frecuencia es alta, las permitividades, permeabilidades e impedáñeias características de los materiales sí dependen de_ésta y, por tanto, también los coeficientes de EresneL 20. Falso. Algo semejante es cierto para la componente Z de la parte real del vector de Póynting, debido a la conservación de la energía, y no lo es para E: en la interfaz según (14.58), por ejemplo, el fasor de ET:¿ es igual a la suma de los fasores de E,x y E ^. 21. Falso. De acuerdo con la información y (14.57), 77, = r ¡ 2 ; en consecuencia, no son 0 el coeficiente de reflexión, dado por (14.58), ni la onda reflejada. 22. Cierto. En tal caso, se deduce de (14.52) que 6r = 30°, y de (14.57) y (14.58) que f , = 0. 23. Cierto. Los ángulos de incidencia y transmisión son iguales, según (14.52), pero no son 0 él coeficiente dé reflexión, dado por (14,56), ni laonda reflejada. 24. Cierto. La onda transmitida está polarizada elípticamente puesto que los coeficientes de transmisión para las polarizaciones n y a, según (14.56) y (14.58) , son diferentes.
Propagación e incidencia de ondas / 6 1 1
25. Falso. La disminución en la energía reflejada no se absorbe por el mate rial de recubrimiento y se convierte en calor allí, ya que éste no tiene pérdi das. En la proposición 14.6.17, por ejemplo, se demostró que en incidencia normal la onda reflejada puede eliminarse al usar un recubrimiento que actúa como transformador de A/4. 26. Cierto. A medida que el agua se evapora, el espesor de la película de agua disminuye y en un momento dado, si el índice de refracción del agua es aproximadamente igual a. la raíz cuadrada del índice del vidrio, aquélla se convierte en un transformador de A/4 que elimina, aproximadamente, la onda reflejada. Aunque ese transformador—véase la proposición (14.6.17)— elimina totalmente la onda reflejada sólo cuando la incidencia es normal y para una frecuencia única, funciona aproximadamente bien cuando no se cumplen tales requisitos. 27. Falso. Debe cumplirse el principio de la conservación de la energía; en efecto, al aplicar (14.15), (14.34), (14.51) y (14.58) a los dieléctricos 1 y 2, tomando en cuenta que los coeficientes de Fresnel para esa polarización se refieren a la componente Ex y que en el rtiedio 1 coexisten las ondas inciden te y reflejada (véase figura 14.13), se obtienen |
|<52: > |= R e ^ £ 2, í f 2/
[l/fcosg, / _.
,2\= 2r¡2\Elfcos6l2cos9T (J?2cos Qj + 77 ,eos 6, f
277,
J ^ fco se
/1
2r}„cos9T
,2
•
2 7 7 2 | £ / f c o s 0 / c o s 9 7. ( 77 , c o s 0 r + 77 , e o s 0 , )2
|
j£;|2cos0; 277,
\E l f c o s 9 l f
277,
77scosg; - r ] l c o s 8 T Y
y ■ q „ c o s 9 l + r ) lc o s d T ■
6 1 2 / Teoría electrom agnética
|£ ,|2cos0r 2r\2
2r72|;E / |2cC)s0;2c o s0 7-
(r]2cos6, + T]j Cos6 t )~
•••|
_ JiLfsen#/ 2í7,
|2 _
l^^sen^j. 2í?2
-**|| -
>|
|£;|2sen0, f rj^cosd, -r]]cos9TV 2??,
7]2C O S 0; + ÍJ,C O S 07
2rj2|£, |2cós 26, sen0T (772c o s 0 ; +r}¡cosdTf
El resultado no viola la conservación de la energía y se debe a que las poten cias medias en el par de dieléctricos, en la dirección X, están desacopladas y son independientes entre sí; además, en cada material, los valores individua les medios de esas potencias permanecen constantes y se conservan a lo largo d eX . ■: 30. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La conservación de la energía exige que la potencia media incidente sea igual a la suma de la refle- . jada y la transmitida. En consecuencia, la proposición es falsa en el caso ge neral; cierta, cuando la onda pasa a un medio donde la velocidad de fase es mayor y el ángulo de incidencia es igual al crítico, porque se presenta la re flexión total. 31. Cierto. Las ondas reflejada y transmitida, salvo la incidencia bajo el án gulo de Brewster, también están polarizadas elípticamente. La componente Z de S en cualquiera de las tres ondas, según (14.34), tomando en cuenta la descomposición en las polarizaciones n y a, es .
• « . i . . + ¡ , £ , . + Í . S . . ' ± %a , ; )
'
'
-
Propagación e incidencia de ondas / 6 1 3
donde se observa que S_z> pese a ser una función cuadrática, cumple el prin cipio de superposición. La proposición es cierta, entonces, ya que así se de mostró para cada polarización en las proposiciones 14.7.27 y 14,7.28.
14.8 Ángulos critico y de Brewster P r o p o s ic io n e s
1. Hay reflexión total cuando una onda, con polarización n, incide oblicua mente sobre la interfaz de dos dieléctricos bajo un ángulo de incidencia, 9,, tal que sen'1(w,/n?) <9, < 90°, donde > n2. 2. Hay reflexión total si úna onda, con polarización
6 1 4 / Teoría electrom agnética
10. Si una onda, polarizada elípticamente, incide sobre la interfaz de dos dieléctricos de permeabilidades iguales, con un ángulo dé incidencia 9, = tan''(n2/n,), la onda transmitida resulta polarizada linealmente. 11. Si una onda polarizada circularmente incide bajo el ángulo de Brewster, para la polarización n, sobre la interfaz de dos dieléctricos de permeabilida des iguales, y e2 » £,, la onda transmitida queda polarizada aproximada m ente..:..; 12. Una onda polarizada elípticamente que incide oblicuamente sobre la interfaz de dos dieléctricos de permeabilidades iguales, desde el medio que tiene mayor índice de refracción, puede polarizarse por reflexión. 13. Si una onda, con polarización circular, incide oblicuamente sobre la in terfaz de dos dieléctricos, la onda reflejada tiene polarización circular. 14. Si una onda incide bajo el ángulo de Brewster sobre la interfaz de dos dieléctricos, se anula la onda reflejada. 15. Los anteojos para el sol hechos de materiales polarizadores se construyen de manera que eliminen de la luz que incide sobré aquéllos la componente de polarización paralela al plano de tierra. 16. En un dieléctrico, de parámetros e, y fi0, se pone una lámina dieléctrica, de caras paralelas y parámetros e2 Y /V Si una onda, con polarización n, inci de bajo el ángulo de Brewster sobre una de las caras de la lámina, no se pre sentan reflexiones en la segunda cara de la misma. 17. El ángulo de Brewster para la polarización n es mayor que el crítico. 18. Si una onda, con polarización n, incide sobre la interfaz de dos dieléctri cos de permeabilidades iguales bajo un ángulo de incidencia mayor que el de Brewster, se presenta la reflexión total. 19. En la incidencia oblicua de una orida electromagnética sobre la interfaz de dos dieléctricos de permeabilidades iguales, no pueden ser iguales los ángulos crítico y de Brewster para la polarización n. 20. Si, en la incidencia oblicua de una onda electromagnética sobre la inter faz de dos dieléctricos de permeabilidades igüalés, son iguales él ángulo crí tico y el de Brewster para la polarización n cuando, en este último casó, la incidencia ocurre desde el dieléctrico 2, entonces £2/e, = 0,618.
Propagación e incidencia de ondas / 6 1 5
S o lu c io n e s
1. Falso. Si n, > n2, el seno del ángulo de incidencia es mayor que la unidad y no corresponde a un ángulo real. La reflexión total puede darse, según (14.55) , para ángulos de incidencia que cumplen sen'1(n2/n}) < 9, < 90°. 2. Cierto. La reflexión total es independiente de la polarización de la onda y se presenta en las condiciones enunciadas, cuattdo la onda pasa de un medio denso ópticamente a uno más enrarecido. En tales casos el ángulo de trans misión, 9r> es igual, según (14.52), a n i2, y llega a ser imaginario para ángu los de incidencia mayores. 3. Falso. Puede darse si la onda incide con el ángulo crítico, dado por (14.55) ; ángulo que existe, pues el seno del ángulo respectivo es menor que la unidad en este caso. 4. Falso. Porque en tales condiciones, según (14.55), el ángulo es de 30°. 5. Cierto. Aunque no siempre hay una solución real para el ángulo, el coefi ciente de reflexión y la onda reflejada se anulan, en la polarización <7, cuan do el ángulo de incidencia, 9aB, deducido de (14.56), satisface (14.59). 6. Falso. Según (14.53) y (14.61), el ángulo de Brewster para la polarización n, 9m, cuando las permeabilidades de los dieléctricos son iguales entre sí, cumple tan0rB = n jn x = [ e j e ^ n. 7. Falso. De (14.52) y (14.60) resultan eos#, = (l - sen26f,y/2 =
A.(e,2- e 22) _
y
-
1/2
\t/2
[fj.,e.)' sen0.r = -i—. ^,/2 sen#,
^ C O S0
_ Áfz(ei2'- Et )
/
Resultado que refuta la proposición, porque de ser cierta deben cumplirse 9.r + 9 r = 9r + 0, = 90° y sen 9r = eos 9,. 8. Cierto. Al hacer pi{ = pi2, en los resultados de la proposición anterior, se verifica que sen 9T = eos 9,. 9. Cierto. Con un procedimiento idéntico al usado en la proposición 14.8.7 se demuestra que sen 9r ¿ eos 9,, lo cual implica que 9r + 9R &90°.
6 1 6 / Teoría electrom agnética
10. Falso. Como el ángulo mencionado no corresponde al de la reflexión total sino al de Brewster para la polarización j i , la que resulta polarizada perpendicularmente al plano de incidencia es la onda reflejada. 11. Cierto. De (14.52), (14.61), (14.56) y (14.58) se deducen ; \
cos0; =
I* _
. 1/2
1/2
v £, + £, J
Vo cose, , , 77, COS0, 1+ i ■ r¡0 cos9r
(14.72)
y eos 0j ^1 ^2 , 1/2 j/2 ;;1+.( & ) f . ^ -
" , e, * n 1/2 »1 1/2 . 2 (e ^ ( s ^ C , C2 1. t e
En consecuencia, al incidir la onda bajo el ángulo de Brewster para la polari zación 7t, se polariza totalmente la onda reflejada y, aproximadamente, la transmitida. 12. Cierto. La onda se puede polarizar por reflexión, si el ángulo de inci dencia es igual al de Brewster para la polarización n, dado en (14.61); éste siempre existe en las condiciones afirmadas. 13. Falso. La onda reflejada está polarizada elípticamente, en general, ya que los coeficientes de reflexión para las polarizaciones n y a, según (14.56) y (14.58), son diferentes. Puede estar polarizada linealmente', sin embargo, cuando la onda incide con el ángulo de Brewster. 14. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La proposición es cierta si la onda incidente tiene la polarización que corresponde al ángulo de Brews ter; falsa, en otro casó. 15. Cierto. El plano de incidencia para la luz que brilla más y llega a los ojos es vertical, si se supone que la cabeza de una persona está erguida y que mu chas de las superficies reflectantes de la luz solar son horizontales; además, la luz reflejada queda parcialmente polarizada, con polarización a, debido a que la polarización t í se elimina cuando la onda incide bajo el ángulo de Brewster respectivo. En consecuencia, la proposición es cierta porque la po larización que deben eliminar los anteojos es la á, la más intensamente refle jada, que está orientada en dirección paralela al plano horizontal. 16. Cierto. Sean P y_S, respectivamente. ']£ primera y la segunda caras de lalámina dieléctrica. Los senos de los ángulos de incidencia y transmisión para la cara P en la polarización tí, deducidos de (14.72), son
Propagación e incidencia de ondas / 6 1 7
V'*
í
\
1/2
y sen0/>7. = (14.73) v £i + e2y Gomo el ángulo de transmisión obtenido para la cara P es igualal ángulo dé Brewster sobre la cara S, según (14.61), en esta cara no hay reflexiones. sen0f/ =
17. Falso. Como para un ángulo agudo la tangente crece con el ángulo y es siempre mayor que el seno, ya que (tan 0 - sen 0) = sen 0(l - eos 0)/cos 0 > 0, al comparar los ángulos crítico y de Brewster, dados en (14.55) y (14.61), resul ta tan 0C> sen 0C= tan dB; por tanto, 9C> 0B: 18¿ Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto si el ángulo de incidencia es mayor o igual que el crítico; falso, en caso contrario. 19. Cierto. Si esos ángulos son iguales, de acuerdo con (14.55) y (14.61) tam bién son iguales entre sí el seno y la tangente del ángulo respectivo, lo que sólo es posible para 6, = 0o; en ese caso se llega al absurdo e2/sl = 0. 20. Cierto. En tal caso, según (14.55) y (14.61), el ángulo respectivo cumple sen 6 tan 0 = 1, ecuación que se satisface cuando 0 = 51,83°; por tanto, £2/£, =0,618.
15 Guías de onda y cavidades resoné En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo contrario, las guías se suponen formadas por tubos conductores ideales, cilindricos o pris máticos, y las cavidades se suponen cerradas; todas contienen medios mate riales descargados, de parámetros s y ji, que se suponen independientes de la frecuencia, y funcionan en un régimen permanente en el tiempo de tipo senoidal. ■•
15.0 Definiciones, consideraciones generales
y fórmulas
1. Guías de onda. Las guías de onda son dispositivos cilindricos o prismáti cos, de interfaces conductoras o dieléctricas, cuyas configuraciones geométri cas tienen la propiedad de dirigir, a lo largo del eje longitudinal de las mis mas, las ondas electromagnéticas. 2. Ondas guiadas. Una onda es guiada cuando la dirección principal del flujo de la energía electromagnética que transporta coincide con la del eje de la guía de onda; en una guía real puede existir una pequeña parte de la energía que fluye transversalmente dentro de dieléctricos o conductores im perfectos. El encarrilamiento de la onda se logra mediante alguna reflexión peculiar sobre la interfaz y una conexión íntima entre las intensidades del campo electromagnético de la onda que se propaga y las corrientes o cargas inducidas en aquélla. Una característica importante de la onda guiada es que cuando la dirección del eje de la guía cambia, dentro de límites razonables, la onda sigue la nueva orientación. 3. Modos de propagación en las guías. La propagación de la onda electro magnética en la guía puede hacerse mediante la combinación de dos tipos de polarización; una, corresponde a los modos de propagación TE, en los cuales E
G uias de onda y cavidades resonantes / 6 1 9
Figura 15.1 Guía arbitraria de sección uniforme y arbitraria. La. guía conduce la onda electro magnética, a lo largo del eje Z, por reflexiones múltiples en las paredes perfectamente conduc toras.:
carece de componente Z, si se supone que el eje Z del sistema de coordena das coincide con el eje de la guía, y se conoce también como onda H o de tipo magnético; otra, corresponde a los modos TM, en los que H no tiene componente Z, y se conoce como onda £ o de tipo eléctrico. 4 .;Guía conductora ideal. La guía conductora ideal está formada por un tubo perfectamente conductor, cilindrico o prismático, que contiene medios materiales descargados, de parámetros £ y ¡x, y funciona en un régimen per manente en el tiempo de tipo senoidal. Esta guía puede transportar energía entre dos puntos, utilizando la propiedad que tiene el conductor perfecto de reflejar totalmente la onda electromagnética (véase figura 15.1). Los campos electromagnéticos que se propagan dentro de la guía pueden considerarse como la superposición de un conjunto de ondas que provienen de las reflexiones múltiples en las distintas paredes de la misma, en las que aquéllas inciden oblicuamente; el efecto neto de esas reflexiones es conducir los campos resultantes, y la energía relacionada con éstos, a lo largo del eje de la guía. Aunque él campo electromagnético total puede obtenerse me diante la superposición mencionada, como en el caso de la guía formada por dos planos paralelos, para otras formas de guía, en general, ese procedi miento es engorroso y limitado, y es preferible resolver las ecuaciones de Maxwell como un problema de valores en la frontera, aprovechando las si metrías y simplificaciones que aparecen en los sistemas de coordenadas ci lindricas. La solución exacta permite examinar, en detalle, los E, H y S de los diferentes modos de propagación, las limitaciones en frecuencia de los mis mos, las velocidades de grupo y de fase, y otras magnitudes y propiedades de interés.
6 2 0 / Teoría electromagnética
5. Fasores del campo electromagnético en una guía ideal. Las intensidades del campo electromagnético en la onda monocromática que viaja a lo largo de la guía conductora ideal, en el sentido positivo del eje Z, pueden expre sarse, de manera similar a (14.1), como ; E(r,t)= Re{Ec {rT)ej(U>l~
y
H(r,t) = Re{HG(rT)em ~P"z)}
(15.1)
donde/3t = fic es la constante de propagación de la guía, E G ( r T ) y H n ( r T ) son cantidades fasoriales que sólo dependen de las coordenadas transversales, ya que las subordinaciones a i y z están recogidas en la cantidad exponencial, y r T señala la dependencia con respecto a aquellas coordenadas de la posición de un punto en una sección recta de la guía. 6. Ecuaciones del campo electromagnético en una guía ideal. A partir de (14.3) y (14.5) se deducen, en coordenadas cartesianas, para EG y Hc en la región encerrada por el tubo conductor, TT _ ~ G* -ay E ,_ = -
— Gx
J
coe
o dür,. ‘ dx
dy
(15.2)
f dEG= : o dHG\ 3—+ p - p * ^" £ -■óx oy ^
(15-3)
f 0 dEr. 'fi'-A * V dx
dH Ci) dy /
(15.4)
dH r dx
(15.5)
7 ) J
o
2
Eray =
a dEc. -P =- ^ + dy
coii-
donde /J2 = offXE
(15.6)
y se observa que las componentes transversales de Ec y H Gpueden obtenerse de las longitudinales. De (14.6) resultan v / I c = ~ (F ~
y
v t2h c = - ( 0 * - P!) h c
(15.7)
que son ecuaciones vectoriales de Helmholtz, en las que Vr2 es el láplaciano trans versal. Para los modos de propagación TE, en los que E q, es 0, o en los TM, cuando Hr„ es 0, pueden resolverse, respectivamente, V t2H Gi = -P c2H Cí y Vr2£ C: =
(15.8)
G uías de onda y cavidades resonantes / 621
■donde ■ p cs = r - p ^ ( o 2n e - p ós
■•
a 5.9)
es una magnitud que tiene un valor fijo en cada modo particular y se deter mina por la condición de frontera aplicable a Hr.. o a Eq.. Calculadas las componentes en dirección de Z, con el uso de (15 2), (15.3), (15.4) y (15.5) se hallan las restantes de I c y Hjq en el modo respectivo. Las ecuaciones del campo en la onda que viaja en el sentido negativo del eje Z pueden obtener se de las anteriores y de las que se anotan en los artículos siguientes, al susti t u i r ^ por 7. Condiciones de frontera en una guía ideal. Las condiciones de frontera que se cumplen en la guía conductora ideal, en la interfaz del conductor y el dieléctrico, son K * E C= — einXKc = 0
(15.10)
e i X ÍEc = Kc.
(15.11)
£
;
donde i „ es un versor normal a la interfaz respectiva, que emerge del con ductor y se dirige hacia el dieléctrico. Cuando en la guía se propaga un mo do TE o uno TM, las expresiones anteriores equivalen a señalar que en las interfaces del conductor y el dieléctrico se cumplen, respectivamente, ¿)ZI - = ^ = 0 o Er, =0 on
(15.12)
puesto que es 0 la componente de Hc normal a aquéllas o la componente tangencial a las mismas de Ec. " ' 8. Curva de «dispersión y constante de propagación en una guía ideal. Las soluciones de (15.8), sometidas a las condiciones de frontera (15.12) en las interfaces de la guía conductora ideal, son posibles sólo para valores discre tos de la constante, /3C, que se llaman característicos o autovalores del problema y determinan un modo particular, TE o TM, en la guía. En guías ideales, los valores permisibles de son siempre reales y la constante de propagación de la guía, deducida de (15.9), es v
Pc = {o rii£ ^p * )n
/T-Vv-■ : ■■ (15.13)
Ecuación que corresponde a la curva de dispersión de la guía.
6 2 2 / Teoría electromagnética
9. Propiedades de corte en una guía ideal. En (15.13) se advierte que la constante de propagación de la guía conductora ideal es rea} y diferente de 0 sólo para las frecuencias que cumplen (ú >
CÚr
2n M ü sf
(15.14)
donde (úc y Ac son la frecuencia angular y. la longitud de onda de corte para el modo respectivo; y se observa que esa constante exhibe propiedades de cor te. Es decir, del conjunto de modos que pueden coexistir en la guía, incluso para valores determinados de cú, los que pueden propagarse sin atenuación en aquélla son los qué tienen una frecuencia angular de corte que satisface (15.14); los demás se propagan en forma amortiguada, desvaneciéndose a medida que la onda avanza en dirección del eje Z, y pueden despreciarse en diferentes aplicaciones. En función de la frecuencia angular de corte, (15.13) queda así: 1/2 (£c (15.15) fie = (o(ne)W2 1V co En los modos que se propagan sin atenuación en la guía, la longitud de on da, AG, medida lo largo del eje Z es A
(15.16)
donde A, menor que Ac, es la longitud de onda en el dieléctrico que llena la guía; ;■ :;r ,10. Modo fundam ental en una guía ideal. Las frecuencias de corte de los diferentes modos de propagación en una guía conductora ideal sólo depen den de la geometría de ésta, el material encerrado y el tipo de modo. El ¡mo do que tiene lá menor frecuencia de corte es, por definición, el fundamental. En el intervalo dé frecuencias que se extiende desde la de corte del modo fundamental hasta la del modo inmediatamente siguiente, la guía sólo transmite sin atenuación a lo largo del eje Z el modo fundamental; esta par ticularidad se desea, al diseñar una guía, para evitar la coexistencia de varios modos, los que pueden complicar el uso de la misma. 11. Velocidades de fase y grupo en una guía ideal. Los modos que se pro pagan sin atenuación en la guía conductora ideal a lo largo del eje Z, lo hacen con las velocidades de fase y de grupo:
G uías de onda y cavidades resonantes / 6 2 3
ú)
1/2 >v
V
dco
(15.17)
1- í —
T L® J J -ll/2
■= v 1 -
Cú
Wc
(15.18)
obtenidas al sustituir (15.15) en (14.13) y (13.26), y donde u = (/te)"'/2, es la velocidad de fase de la onda en el dieléctrico que llena la guía. En las expre siones anteriores se observa que las velocidades de fase y grupo dependen de la frecuencia, lo cual convierte la guía en un sistema dispersivo aunque no ten ga pérdidas. A úna frecuencia igual a la de corte, la velocidad de fase es infi nita, y 0 la de grupo, y cuando la frecuencia es mucho mayor que la de qorte, ambas velocidades tienden a la velocidad de fase de la onda en el dieléctrico. Al multiplicar (15.17) por (15.18), resulta vFtva =-v-
(15.19)
Ecuación general, aplicable a guías sin pérdidas de diferentes secciones rec tas. 12. Modos atenuados en una guía ideal. En una guía ideal, los modos de propagación cuyas frecuencias de corte son mayores que la de la señal que se transmite se atenúan al moverse en la dirección del eje de aquélla; en tales casos, PGy Ac, según (15.13) y (15.14), se convierten en cantidades imagina rias, y puede definirse una constante de atenuación, aG, con o ”
•
« c
jPc Pe
1
í -
0)
\
(15.20)
cuyo significado es obvio, al advertir que la dependencia exponencial de z en (15.1) da lugar, ahora, a una atenuación en lá dirección del eje de la guía. Aunque los modos atenuados y los no atenuados pueden coexistir en una guía corta, de longitud comparable a las dimensiones transversales, los pri meros no transfieren potencia, ya que el promedio temporal de la compo nente Z del vector de Poynting respectivo es 0, y sólo llevan potencia reacti va. Como en muchos casos prácticos las guías no son tan cortas, los modos atenuados se desvanecen rápidamente y se pueden considerar extinguidos a distancias de la fuente mayores que 5/ac. Los modos atenuados encuentran aplicación cuando las guías de onda se usan como atenuadores exponenciales.
6 2 4 / Teoría electróiiidgnética
13. Atenuación en guías ocasionada por dieléctricos imperfectos. Los con ductores de las paredes y el dieléctrico interior pueden tener conductivida des finitas, en guías reales, por lo cual hay pérdidas de energía en la propa gación de los diferentes modos; éstas son despreciables en muchos casos, pero en otros pueden no serlo. Si se supone que las pérdidas de energía son pequeñas, pueden hacerse aproximaciones para simplificar el cálculo de aquéllas y de la atenuación. Para averiguar la atenuación que introduce en un modo de propagación un dieléctrico imperfecto, de parámetros jiD, sD y gD, se debe tomar en cuenta la corriente de conducción en éste, y su stitu irle por Yc>una cantidad compleja que tiene parte real, en las ecuaciones gene rales de las guías. Las soluciones de éstas presentan, en consecuencia, un factor exponencial de atenuación a lo largo del eje 2 que puede hallarse, aproximadamente, si se supone que, en el dieléctrico, a D« (ú£d, y que la corriente de desplazamiento, entonces, es mucho mayor que la de conduc ción, con Vpgp ■«* = ■ 2 1 -1 ^ ío .
■ il/2
(15.21)
donde rin = £ \
(15.22) J
es la impedancia característica del dieléctrico. (15.21) es aplicable a todos los modos y formas de las secciones rectas de las guías, aunque depende de la frecuencia y del tipo de guía por intermedio de la frecuencia de corte respec tiva; no puede usarse cuando co está muy próxima a coc porque la aproxima ción en la que se basa no es válida. 14. Atenuación en guías ocasionada por conductores imperfectos. Cuando los conductores de las paredes de la guía son imperfectos, de parámetros ¡xc, sc y ge, una solución exacta de las ecuaciones de Maxwell exige resolverlas en el dieléctrico y el conductor, lo que es difícil. Sin embargo, si se supone que, en esos conductores, a c » (ú£c, y que la corriente de conducción, entonces, es mucho mayor que la de desplazamiento, las soluciones ideales para E y H siguen siendo válidas, aproximadamente, aunque multiplicadas por un factor exponencial de atenuación, e~°r\ introducido por las pérdidas de energía en las paredes; la constante de atenuación se calcula con
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 2 5
Az
Figura 15.2 Guía de onda de planos paralelos. Los planos, perfectamente conductores, están ubicados e n x =0 y x = a; entre las placas el me dio material es de parámetros y e, y se propa ga un modo TEWen la dirección del eje Z El punto P, de un frente de onda, se muéve én la dirección del eje Zcon velocidad vF, y vF> c.
ac
1 dPL 2 < PT> \ dz
(15.23)
donde < iPJdz > y
o- ( .1 " J to e
1-
J c
1
1
ÍCÜc )
J
1/2
(15.24)
----- 1
>— »
(a c ) r E
( Ú)rc N '2 tdJP Cl \ ■ds G) -k d s
donde la integral de superficie se evalúa en la sección recta de la guía res pectiva; la de curva, a lo largo de la línea cerrada que, en las paredes, enlaza la sección recta, y í Rs =
gc$
v /2 m c C
/
(15.25)
6 2 6 / Teoría electromagnética
es la resistividad superficial o resistencia por cuadrado de las paredes conducto ras. La expresión (15.24) no puede usarse cuando (ú está muy próxima a Cúc, porque la aproximación en la que se basa no es aplicable. 15. Guía de planos paralelos. La guía de planos paralelos está formada por dos láminas perfectamente conductoras, planas y paralelas, ubicadas en x = 0 y x = a; entre aquéllas el medio material es un dieléctrico ideal, de permitividad e y permeabilidad fx, y se-propaga una onda electromagnética en la dirección del eje Z (véase figura 15.2). 16. Modos TEjv en guías de planos paralelos. En los modos TEW, los factores Er.(rT) y Hr.(rT) de la onda que se propaga a lo largo del eje Z en la guía de planos paralelos, definidos con (15.1), se deducen al resolver (15.8) y cum plir la condición de frontera prescrita en (15.12) (véase figura 15.2); en la onda “más”, u onda incidente que avanza en el sentido positivo del eje Z, esos factores son EsW » = *,£.sen A* íío M ,
(15.26)
b / \ ■— {iA sen f d x - i j f i xeos (dx) (Úfl '
(15.27)
17. Curva de dispersión y constante de propagación en guías de planos paralelos. Las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera en la guía de planos paralelos se. satisfacen, en modos TEA, cuando N = 1,2, B,..., si ( Tt\
-
\a)
n n ( Nx ' ) y Pc = P, = (ú'ixe -
v a, J
2“
(15.28)
donde Pe es la constante de propagación de la guía. La segunda de las ecuaciones anteriores representa la curva de dispersión de los modos. 18. Propiedades de corte y velocidades en guías de planos paralelos. La constante de propagación, /3C, dada en (15.28), es real, y un modo TEA dado puede propagarse sin atenuación a lo largo del eje Z en la guía, sólo si co>
Nn 1/2 = CV = a(txe)
2n
(15.29)
donde ü)N y ÁN son la frecuencia angular y la longitud de onda de corte para el modo TEa,. Las velocidades de fase y grupo del modo se calculan con (15.17) y (15.18). "
19. Modo fundamental en guías de planos paralelos. En (15.29) se observa que las frecuencias de corte para los modos TE,Vdependen linealmente de iV; ello implica que el modo de menor frecuencia de corte, el fundamental, es el TE,, que el modo siguiente es el TE2, y que en el intervalo de frecuencias ft), < o) < ú)2 = 2ft>,
(15.30)
la guía sólo transmite sin atenuación, a lo largo del eje Z, el modo TE,. 20. Atenuación en guías de planos paralelos. La atenuación que sufren los modos cuyas frecuencias de corte son mayores que la de la señal que se pro paga, en modos TEW, está dada por (15.20); expresión en la que basta susti tuir la frecuencia de corte del modo respectivo. De igual forma se procede con (15.21) para calcular la atenuación introducida por las pérdidas del di eléctrico. La atenuación debida a la conductividad finita de las paredes de la guía se deduce a partir de (15.24); resulta ser 2Rso>n K L . -
ar}Dco21 - r ® . V l 0) ) J
1/2
(15.31)
21. Guía rectangular. La guía rectangular está formada por cuátro láminas perfectamente conductoras y planas, ubicadas en x = 0, x = a, y = 0 y y = b, y se extiende a lo largo del eje Z; entre las placas el medio material es un dieléctrico ideal, de pérmitividad e y permeabilidad fi, y se propaga una onda electromagnética en la dirección del eje Z (véase figura 15.3).
6 2 8 / Teoría electromagnética
22. Modos TEMAt en guías rectangulares. En los modos TEMA,, los factores M r'r) YH r.(rT) de la onda que se propaga a lo largo del eje Z en la guía rec tangular, definidos con (15.1), se deducen al resolver (15.8) y cumplir la condición de frontera prescrita por (15.12) (véase figura 15.3); en la onda “más”, u onda incidente que avanza en el sentido positivo del eje Z, esos factores son —c(rr)jiíw
—+
-i
eos Bx sen B,y +¿sen B x eos B,J
Mb
Na H G{rT)MN= ~ ^ ~ ixsen/^xcosjSj + iy - j - cos^xsenj3fy — gKt !mn m N*a 2A cos/3 xcos/3)) 1+ Cüfia M sb2
(15.32)
(15.33)
23. Curva de dispersión y constante de propagación en guías rectangula res. Las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera en la guía rec tangular se satisfacen, en los modos TEAW, cuando M, N = 0,1,2,..., si Mn P* =— a »
Nn "Py• =-¡b
y
( ( N7C\ Pe = ¿ a ) + —
1/2
(15.34)
—
-n >/2
(15.35)
Bc = ^ = W ¡ x s -
pero excluyendo el caso en el que ambos contadores Son iguales, simultá neamente, a 0, y donde Be es la constante de propagación de la guía. (15.35) representa la curva de dispersión para los modos TEMN. 24. Propiedades de corte y velocidades en guías rectangulares. En (15.35) se observa que la constante de propagación, B g > es real, y que un modo TEMW púede propagarse sin atenuación a lo largo del eje Z en la guía, sólo si (ú > (& )
•1/2
f M n
V
Vd )
1/2
( N n Y
b
= °>MN =
2n
, (15.36)
donde (üM^ y Aw son la frecuencia angular y la longitud de onda de corte para el modo TEAW; la relación anterior informa que un modo dado puede propagarse sin atenuación en la guía sólo'si co es mayor que la frecuencia de corte de aquél. Las velocidades de fase y grupo del modo se calculan con (15.17) y (15.18).
G uías de onda y cavidades, resonantes / 6 2 9
25. Modo fundamental en guías rectangulares. Las frecuencias de corte en la guía rectangular parados diferentes modos de propagación TEMN sólo de penden, según (15.36), de la geometría de aquélla, el material encerrado y los valores de M y N. Si se supone que la guía se diseña de manera que 2b < a, entonces el modo de menor frecuencia de corte, el fundamental de la guía, es el TE)0, el siguiente modo es el TE20, y que en el intervalo de fre cuencias G)l0 < ú)<( ú,¿0 = 2cú10
(15.37)
la guía sólo transmite sin atenuación, a lo largo del eje Z, el modo TE10. Para frecuencias angulares superiores a
0 “ 11 / 2
n
b r iD
i
f 0^ ) MN
^
{
J
bY co: ■.Y2 + 1+ V a. \ CO J
J _|
W
(0
-
co
x-
b fb — —M' +N~ a \a -M2+N(15.38)
K ),
Rs br¡D 1 - Í * H l_ V ü) J
1/2 i+
2bfco a v £o J
(15.39)
donde se advierte que (15.39) no se sigue de (15.38). 27. Guía cilindrica circular. La guía cilindrica circular es un tubo formado por una lámina perfectamente conductora, de radio a y cuyo eje de simetría es el eje Z (véase figura 15.4); en el interior del tubo el medio material és un dieléctrico ideal, de permitividad e y permeabilidad ¡x, y se propaga una on da electromagnética en la dirección del eje Z. 28. Ecuaciones dél campo electromagnético en una guía cilindrica circu lar. En la guía cilindrica circular, las intensidades del campo electromagnéti-
6 3 0 / Teoría electromagnética
y
Figura 15.4 Guía de onda cilindrica cir cular, de radio a, y de superficie lateral perfectamente conductora. La onda elec tromagnética se propaga en la dirección del eje Z.
co en la onda monocromática que viaja en el sentido positivo del eje Z pue den expresarse con (15.1), donde EGy dentro de la región encerrada por el tubo conductor se deducen, en coordenadas cilindricas circulares, a partir de (14.3) y (14.5): r jcoedEGi dHCí' 'j P s dtp dr \
Ko, 3
TJ —__ —
G
Kcr=~
2
O
P ~P> q
3 p 2- p ;
p 2- p *
,jL ü y
(15.41)
3tOndHc ' +■ dtp )
(15.42)
dr
2
r
dtp
3P> dECl + jtoji r
(15.40)
dtp
dr
(15.43)
En las ecuaciones anteriores se observa que las componentes transversales de Er. y Hjg pueden obtenerse, como en las guías rectangulares, de las longitudi
G uías de onda y cavidades, resonantes ( 631
nales; éstas, a su vez, se consiguen al resolver las ecuaciones de Helmholtz, (15.8), expresadas en coordenadas cilindricas circulares. 29. Modos TÉ^, en guías cilindricas circulares. En los modos TEWAÍ, los factores EG(rT) y H r.(rT) de la onda “más” que se propaga a lo largo del eje Z en la guía cilindrica circular se deducen de (15.38), al resolver dr
r dr
r
d(p
.
'
'
usar (15.40), (15.41), (15.42) y (15.43), y cumplir la condición de frontera prescrita por (15.12) (véase figura 15.4); en esa onda, los factores son p 7_ \ _ —GVT)m J o l -^ -(A n senNcp. - CNcosN
(d» cosN(P+ 0* senN(p)fN(/3cr)]
(15.45)
íLc irr )m = - j f - k ( á KcosN
A »— Pc=P* = \ú)2li£ donde qNMes la raíz en la tabla 15.1.
(15.47) ?A W
de
(15.48) = 0; algunas de estas raíces se consignan
6 3 2 / Teoría electromagnética
Tabla 15.1 Raíces de j'N{fic a)=0 qNM M = 1
,N = 0
M= 2
7,016
M =3
10,173
3,832
■ N — ,1 . . N = 2 v, 1,841 3,054 5,331 '
6,706 ■
8,536
9,969
N =5
;N =3 4,201
N = 4
8,015
9,282
10,520
11,346
12,682
13,987
5,317
;
6,416
(15.48) representa la curva de dispersión para los modos TEWAÍ, y flG es la constante de propagación de la guía. ¡ 31. Propiedades de corte y velocidades en guías cilindricas circulares. En (15.48) se advierte que la constante de propagación, )3¿, es real, y un modo T E ^ puede propagarse sin atenuación a lo largo del eje Z en la guía, sólo si 0) >
2n
Qnm a
k
m
(15.49) r
donde coNM y ÁNM son lá frecuencia angular y la longitud de onda de corte para el modo TENAÍ. Las velocidades de fase y grupo del modo se calculan con (15.17) y (15.18). 32. Modo fundamental en guías cilindricas circulares. Las frecuencias de corte en la guía cilindrica circular para los diferentes modos de propagación TEwa7 sólo dependen, ségüh (15.49), dél radio de aquélla, el material ence rrado y los valores de M y N. Como en la tabla 15.1 se observa que el menor valor de qNM es 1,841 y se presenta para qu, el modo TEU es el de menor frecuencia de corte de los modos TEWAÍ y constituye, ya que también es me nor que el de cualquier modo TMW A1, el modo fundamental de la guía. 33. Atenuación en guías cilindricas circulares. La atenuación de los modos cuyas frecuencias de corte son mayores que la de la señal que se propaga, en modos TE jvm, está dada por (15.20); expresión en la que basta sustituir la frecuencia de corte del modo respectivo. De igual forma se procede con (15.21) para calcular la atenuación introducida por las pérdidas del dieléctri co. La atenuación en los modos TEWAÍ ocasionada por la conductividad finita de la pared de la guía se deduce a partir de (15.24); resulta ser (a c )
Rs t e
1/2
„ 1i
anD l " J.
y r ú)N M Ü)
N2 q j-
n
(15.50) *.
G uías de onda y cavidades resonantes / 633
Figura.15.5 Cavidad resonante de sección arbitraria y uniforme. La superficie lateral de la cavidad y las tapas perpendiculares al eje Zson perfectamente conductoras.
34. Cavidades resonantes ideales. Las cavidades resonantes ideales son ce rradas, sin pérdidas, de superficies perfectamente conductoras, y en sus inte riores los medios materiales son lineales, homogéneos e isótrópicos, de pa rámetros fi-y-e (véase figura 15.5); en algunos casos pueden estudiarse como guías de onda en cuyos extremos de alimentación y carga hay paredes per fectamente conductoras. Las configuraciones geométricas de estos dispositi vos tienen la propiedad de mantener, indefinidamente, en uno o varios de los modos resonantes, energía y ondas electromagnéticas en el interior de los mismos, debido a que los conductores perfectos las reflejan totalmente; las ondas resultantés son “estacionarias” y se producen por la superposición de las ondas reflejadas en las paredes de la cavidad. Las condiciones de frontera aplicables son las mismas de las guías, y están dadas por (15.10) y (15.11). 35. Modos resonantes en las cavidades. Si la onda electromagnética se pro paga en una cierta dirección, como la del eje Z en cavidades rectangulares o cilindricas circulares, puede hacerlo en los modos resonantes TE y TM. Las ondas incidente y reflejada que se propagan en la dirección elegida se interfie ren, en un modo resonante cualquiera, para originar una onda “estacionaria”. 36. Frecuencias de resonancia en las cavidades. Las soluciones a las ecua ciones de Maxwell, que satisfacen las condiciones de frontera en las interfa ces de la cavidad ideal y persisten sin atenuación dentro de ésta, son posibles sólo para valores discretos de la frecuencia angular,
6 3 4 /. Teoría electromagnética
electromagnéticas cuyas frecuencias no coinciden con una de las de resonan cia de la cavidad, se atenúan en ésta hasta desvanecerse. 37. Factor de calidad, Q. El factor de calidad en un sistema resonante, Q es una figura de mérito, ádimensionál, que Carácteriza la selectividad o habilidad de aquél para sintonizar uña frecuencia dada; sü definición, aplicable a cavi dades resonantes, es - - - - ... -r (15.51)
G uias de onda y cavidades resonantes / 6 3 5
dieléctrico ideal, de permitividad s y permeabilidad ¡j., y se supone que existe una onda electromagnética cuya dirección de propagación es la del eje Z. 39. Modos TEmot, en las cavidades rectangulares. Los fasores de las intensi dades del campo electromagnético en una cavidad rectangular, en los modos TEAíjVp, se obtienen al combinar, tomando en cuenta (15.1) y las condiciones de frontera en z - 0 y z = d, los factores Ec\ r T) y H r.[rT) de las ondas “más” y “menos” en los modos TEAÍ,Vde la guía rectangular. Esos factores están dados por (15.32) y (15.33), y los correspondientes a la onda “menos” se deducen de los de la onda “más” al cambiar p. por -fi.j son E{r)MNP =2 jE 0^ix ^ c o s pxx sen pyy - i ysenpxxcos pyy] sen pzz -PZEo
K(r) MNP,
Ñ a '] ixsen pxx eos fi.y + i —eos Pxx sen fl..y COSp, z +
,UCÜMNP L
. ' \ M b J /:
'
. 2n M E n . a M a>m ’P V
. "
(15.52)
■o
1+
. .
_
2
Ar-a cosPxx cospjsenp, z M-b-
(15.53)
donde ¡3Xy py fueron definidos en (15.34), y, cuando P = 1,2,3, (15.54)
.y .A r %
40. Frecuencias de resonancia en las cavidades rectangulares. Los valores de pxl Py y p. están determinados por la geometría y el dieléctrico que llena la cavidad; por tanto, para que un modo persista dentro de ésta es necesa rio que 1/2
MNP
=
W
' 2
=
M nX a )
( N k\ ( Pk\ b J :+l \d
(15.55)
y se restrinjan los valores permisibles de las frecuencias angulares de los diferentes modos resonantes a coM N P
2k
(15.56)
6 3 6 / Teoría electromagnética
En (15.56) se advierte que hay un número triplemente infinito de frecuencias angulares de resonancia en la cavidad, que corresponden a diferentes distri buciones del campo electromagnético; la señal cuya frecuencia angular, o», difiere de las prescritas por (15.56) nó puede establecer ondas que persistan indefinidamente dentro de la cavidad. 41. Cavidades cilindricas circulares. La cavidad cilindrica circular es un tubo cerrado, de longitud d, radio a y cuyo eje de simetría es el Z (véase figu ra 15.7); las tapas y la superficie lateral son láminas perfectamente conducto ras. En el interior de la cavidad el medio material es un dieléctrico ideal, de permitividad £ y permeabilidad ¡x, y se supone que existe una onda electro magnética cuya dirección de propagación es la del eje Z. 42. Modos TE nmp en las cavidades cilindricas circulares. Los fasores de las intensidades del campo electromagnético en una cavidad cilindrica circular, en los modos TEWAÍP, se obtienen al combinar, tomando en cuenta (15.1) y las condiciones de frontera en z = 0 y z = d, los factores EG(rT) y H_c{rr) de las ondas “más” y “menos” en los modos TEWMde la guía cilindrica circular; esos factores están dados en (15.45) y (15.46), y los correspondientes a la onda “menos” se deducen de los de la onda “más” al cambiar /Jz por -/3Z; son
G uías de onda y cavidades resonantes / 6 3 7
_ -2cp.fi
£(>vL ,. =
senNcp- C0cosN(p)j„ (¡3cr) +
h Pe ■ P cr
%(¿o cosN(p + C0senN(p)j 'ÁPer%enP-.z
(15.57)
■A MÍTt )nmp = - j
Pe:
[ir ido c°sN(p + C0senN(p)j'N(Pc r))+
] 2 / Ut'rCío cosMp + C0senN
(15.58)
donde pc fue definido en (15.47), y, cuando P = 1,2,3,..., (15.59)
-
■■
43. Frecuencias de resonancia eri las cavidades Cilindricas circulares. Los valores de /3Cy /?, quedan condicionados por la geometría y el dieléctrico que llena la cavidad; en consecuencia, un modo TEMM/, persiste en ésta si 1/2
Pm® ®NMp{pf)
+
~
f Pn V
(15.60)
¿
y se restringen los valores permisibles de las frecuencias de los diferentes modos resonantes a ®mp
2%
1/2
= ( pe)
-
1/2
a~
l
(15.61) d
15.1 Generalidades y modos de propagación P r o p o s ic io n e s
1. Las guías están limitadas por superficies cilindricas o prismáticas. 2. Las paredes de las guías tienen que ser conductoras. 3. Las paredes conductoras de una guía que transporta ondas electromagné ticas no pueden considerarse ideales porque sus conductividades son finitas.
638 /
Teoría electromagnética
4. Las ondas electromagnéticas que transporta una guía cuyas paredes no son perfectamente conductoras no logran cruzar esas paredes. 5. La energía electromagnética no puede guiarse con dieléctricos. 6. La solución de las ecuaciones de Maxwell qué satisface las condiciones de frontera en las paredes de la guía no es única. 7. Las líneas de fuerza de E son siempre cerradas en las guías. 8. Las líneas de fuerza de H son siempre cerradas en las guías. 9. En una guía pueden propagarse modos TEM. 10. La suma de las componentes axiales de las corrientes de conducción y desplazamiento, en cualquier sección recta de una guía, es igual a 0. 11. Las restantes componentes de JE y H en las guías pueden obtenerse, en modos TE, a partir de Ht. 12. La componente longitudinal de la densidad de la corriente de desplaza miento en las guías, en modos TE, es 0. 13. En las paredes de las guías K es, en modos TE, 0. 14.5 es normal, en modos TE, a las paredes de la guía. 15. En las paredes dé las guías crno es, en modos TM, 0. 16. En las ondas que se propagan en el sentido positivo del eje Z de las guí as, eñ los modos TM, se cumple que E » t f - 0. — 17. No pueden coexistir modos TE y TM en una guía. 18. S es tangencial, en todos los modos, a las paredes de la guía. 19. E no puede superar, dentro de una guía, la resisténcia dieléctrica del medio. ■ 20. La energía se transporta en una guía mediante las corrientes que circulan por las paredes. 21. Con las guías se busca almacenar energía. S o lu c io n e s
1. Cierto. Por hipótesis, la guía ideal está limitada por ese tipo de superficies para garantizar que el eje sea recto y la sección recta uniforme (véase figura 15.1); ello permite usar algunas simplificaciones al resolver las ecuaciones de Maxwell, como la de suponer, en (15.1) por ejemplo, que los fasores de las intensidades del campo electromagnético dependen de z de manera expo
G uías de onda y cavidades resonantes / 6 3 9
nencial. Sin embargo, hay guías de onda no uniformes, ideadas para diferen tes aplicaciones, como la radial, la de planos inclinados o la bicónica. 2. Falso. Por hipótesis, las guías conductoras ideales son tubos de paredes perfectamente conductoras, en las que no penetra el campo electromagnéti co y por ello reflejan completamente las ondas; las múltiples reflexiones sobre las paredes permiten propagar las ondas y transportar energía elec tromagnética a lo largo de una dirección privilegiada de la guía (véase figura 15.1). Sin embargo, hay guías de onda dieléctricas que no tienen paredes conductoras^ capaces de guiar sin pérdidas de.energía una onda electromag nética, aprovechando la propiedad de reflexión total que se presenta en las interfaces de algunos dieléctricos cuando el ángulo de incidencia supera un valor crítico. 3. Falso. Sí pueden considerarse ideales, en tanto estén recubiertas con un conductor muy bueno, como lá plata, por ejemplo. En efecto, como las fre cuencias de las ondas que una guía puede transportar tienen que ser altas para superar la de corte del modo fundamental, las corrientes inducidas en las pa redes están controladas completamente por el efecto piel, ya que la profundi dad de penetración es del orden de 1 x 10”6 [m]. En tales circunstancias, y para muchas aplicaciones, los conductores de las paredes de la guía pueden consi derarse perfectos, puesto que el campo electromagnético no logra penetrar esas paredes y todas las cargas y corrientes residen sobre las superficies. La conductividad finita de los conductores de las paredes se toma en cuenta para calcular la atenuación de la onda a lo largo del eje de la guía. 4. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición anterior. A las fre cuencias de diseño, que son muy altas, la profundidad piel es tan pequeña que las paredes pueden estar simplemente recubiertas con un material que sea buen conductor. 5. Falso. Las razones se dieron en la proposición 15.1.2. 6. Cierto. Hay infinitas soluciones; cada una corresponde a uno de los mo dos de propagación. Se limitan las soluciones cuando se imponen condi ciones de frontera en los extremos de la guía, a lo largo de su eje, en la carga y la fuente. 7. Falso. Algunas líneas de fuerza de E pueden, en una guía, iniciar o termi nar en las cargas inducidas en las paredes conductoras de la misma; otras, pueden ser cerradas y enlazar un campo magnético variable. 8. Cierto. Como las cargas magnéticas no existen, y en una guía, por hipótesis, el medio material es lineal, homogéneo e isotrópico, H es solenoidal y sus líneas de fuerza siempre son cerradas y enlazan corrientes de desplazamiento.
6 4 0 / Teoría electromagnética
9. Falso. Es necesario disponer de dos o más superficies cilindricas conduc toras para soportar el modo TEM, como es el caso de las líneas de transmi sión, de acuerdo con la proposición 13.1.7. Obsérvese, además, que si en una guía las líneas de fuerza de H siempre son cerradas y enlazan corrientes de desplazamiento, como se explicó en la proposición anterior, ello no puede ocurrir en modos TEM, en los cuales no hay componentes longitudinales de esas corrientes en el interior de aquéllas. 10. Cierto. Al aplicar la ley de Ampére-Maxwell a una curva cerrada ubicada en el interior de las paredes conductoras de la guía, en el plano de una sec ción recta y siguiendo el contorno de ésta, resulta, ya que H es 0 dentro de las paredes de la guía, las cuales se suponen perfectamente conductoras, que §H*ds = I +(d/dt)¡D • ¿4 = 0. 11. Cierto. La componente Ez de E es 0, en los modos TE, y puede hallarse Hr„ al solucionar (15.8) y cumplir la condición de frontera prescrita por (15.12). Con el valor obtenido se calculan, al usar (15.1), (15.2), (15.3), (15.4) y (15.5), las restantes componentes rectangulares de is y H. Conviene mencionar que cuando la simetría de la sección recta de la guía no se acomoda al sistema de coordena das cartesianas, puede usarse un sistema de coordenadas cilindricas. 12. Cierto. Si Z es la dirección longitudinal de la guía, y ya que E. es 0 en un modo TE, entonces i. JD. = i.dD. ¡d t -i.edE . /d i = 0. 13. Falso. En las paredes de las guías H puede tener, en unjnodo TE, dos componentes que son tangenciales a aquéllas; una tiene la dirección del eje Z, y la otra es transversal. Cada una de estas componentes, de acuerdo con (15.11), da lugar a una componente de K en las paredes. 14. Falso. E es normal y H tangencial a las paredes, en la guía ideal, ya que las componentes tangencial de E y normal de H a éstas son nulas; en conse cuencia, S es tangencial a las paredes. 15. Cierto. E es normal a las paredes de la guía ideal en cualquier modo, como se explicó en lá proposición anterior; por tanto, según (15.10), ello da lugar a una a en las paredes. 16. Cierto. Como Hr., es 0 en los modos TM, de (15.1), (15.2), (15.3), (15.4) y (15.5)sale
' ~
■ (/?2-/J.2)2, d x
dy
dx
dy ^
G uias de onda y cavidades resonantes / 641
17. Falso. Pueden existir todos los modos cuyas frecuencias de corte son inferiores a la de la señal electromagnética que se propaga a lo largo del eje de la guía. 18. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición 15.1.14. 19. Cierto. Cuando E supera la resistencia dieléctrica del medio, en éste salta la chispa con el consiguiente deterioro del mismo, y de las paredes conducto ras de la guía. Esta eventualidad limita la habilidad de la guía para transpor tar energía. 20. Falso. La energía electromagnética se transfiere a través del campo —ello es parte de la ideología de la teoría de la acción por contacto— lleva da por el vector de Poynting y no por medio de las cargas o corrientes eléc tricas; éstas aportan condiciones de frontera en las interfaces de la guía, las cuales deben cumplir las propiedades del campo que satisfacen las ecuaciones de Maxwell. . 21. Falso. El objetivo buscado con Una guía de onda no es el de acumular energía electromagnética sino el de transferirla entre dos puntos; a lo largo del eje de aquélla, con las menores pérdidas y mejor calidad posibles; sin embargo, en la guía se acumulan energías eléctrica y magnética por unidad de volumen, de acuerdo con (6.11) y (6.16).
15.2 Frecuencias de corte y longitudes de onda de corte P r o p o s ic io n e s
1. La frecuencia de corte de un modo depende del dieléctrico que llena la guía. . ■' 2. La guía transmite un modo cuando la frecuencia de corte de éste es mayor que la frecuencia de la señal. 3. Si se aumenta la frecuencia de la señal, las frecuencias de corte de los dife rentes modos de propagación en las guías incrementan. 4. Las guías admiten un conjunto infinito de frecuencias de corte. 5. Las guías admiten un conjunto continuo de frecuencias de corte. 6. Las guías admiten un conjunto continuo de frecuencias de transmisión. 7. Las guías transmiten energía a cualquier frecuencia. 8. Las longitudes de onda de corte para dos modos de propagación arbitra rios, en una guía, pueden ser iguales.
6 4 2 / Teoría electromagnética
9. Si se quiere que la guía transmita cierto modo, la longitud de onda de corte de éste debe ser mayor que la longitud de onda de la señal. 10. Si la longitud de onda, de una señal es mayor que la longitud de onda de corte del modo fundamental de uña guía, aquélla puede propagarse en ésta sin atenuación. 11. Las guías funcionan como Filtros. S o lu c io n e s
1. Cierto. De (15.14) se deduce v f =-----------. c . 2n ( p t e ) ' n
(15.62)
Expresión que confirma la proposición, ya que /3Cdepende sólo de la geome tría de la guía y del modo de propagación. Conviene mencionar, sin embar go, que en guías dieléctricas /?c también depende de las propiedades del material. 2. Falso. Al contrario. Según (15.14) la guía transmite el modo cuando la frecuencia de corte de éste es menor que la de la señal; si es mayor, la cons tante de propagación de la guía se hace imaginaria, y el modo se atenúa y desvanece muy rápidamente a lo largo del eje de aquélla. 3. Falso. Las frecuencias de corte de los diferentes modos de propagación en las guías ideales no dependen de la frecuencia de la señal que por ésta se propaga; dependen del tipo de modo, el dieléctrico encerrado por la guía y la geometría de ésta. Conviene agregar, sin embargo, que cuando la frecuen cia es muy altados parámetros del dieléctrico dependen de aquélla. 4. Cierto. Las frecuencias de corte de los diferentes modos de propagación en las guías dependen de los valores discretos de /3C, llamados característicos o autovalores del problema, los cuales se calculan al satisfacer las condiciones de frontera en las interfaces de la guía ideal; las ecuaciones respectivas tie nen infinitas raíces y cada una de éstas interviene en la definición de la fre cuencia de corte de un modo. Obsérvense (15.28) y (15.34), por ejemplo, en guías de planos paralelos o rectangulares. 5. Falso. Las frecuencias de corte de una guía forman un conjunto infinito y discreto; dependen de los valores, también discretos, de fíg. 6. Cierto. En tanto la frecuencia de la transmisión sea superior a la de corte de un modo dado, éste transmite ondas a lo largo del eje de la guía cuyas
Guías de onda y cavidades resonantes / 643
frecuencias pueden tomar todos los valores reales por encima de la de corte; es decir, un conjunto continuo de frecuencias. 7. Falso. Los modos que conducen energía a lo largo del eje de la guía son aquéllos cuyas frecuencias de corte son menores que la de la señal; cuando son mayores, la señal se atenúa rápidamente, la componente Z del vector de Poynting es imaginaria y nulo su promedio temporal, y, por tanto, no trans fieren energía en esa dirección. 8. Cierto. Como la longitud de onda de corte de un modo cualquiera es Ac = 2n//3c> donde el valor de ¡3Ces típico del modo y depende de la geome tría de la guía, la coincidencia puede darse cuando la geometría de ésta ad mite valores iguales de /3C para dos modos distintos. Esto ocurre, por ejem plo, en guías de sección cuadrada, en las que /3C toma valores , iguales, de acuerdo con (15.34), en los modos MN y NM con M, N = l, 2, 3,... 9. Cierto. Como coy A son inversamente proporciónales éntre sí en una on da, sale de (15.14), confirmando la proposición, qué Xc >2n(fxeyU2/ü) = Á. 1(L Falso. El modo fundamental en una guía, por definición, presenta la frecuencia de corte mínima y la longitud de onda de corte máxima; por tan to, y tomando en cuenta la proposición anterior, no hay modos que puedan propagar sin atenuación a lo largo de la guía la señal propuesta. 11. Cierto. Las guías atenúan, y desvanecen rápidamente a lo largo de su eje, todas las señales cuyas frecuencias son inferiores a la del modo fundamental; operan, entonces, como filtros pasa alto.
15.3 Velocidades de fase y de grupo P r o p o s ic io n e s
1. La velocidad de fase de un modo que se propaga sin atenuación en una guía llena de aire es mayor que la de la luz. 2. La velocidad de propagación de la energía en una guía es independiente de la frecuencia de la señal transmitida. 3. Si por una guía se propagan, simultáneamente, señales de frecuencias distintas, hay una velocidad de grupo para el conjunto. 4. La velocidad de grupo de un modo, en las guías, puede ser 0. 5. La velocidad de grupo de un modo, en las guías, es la misma en todas las frecuencias.
6 4 4 / Teoría electromagnética
6. La media geométrica entre las velocidades de grupo y fase de un modo, en las guías, es igual a la velocidad de fase de la onda en el dieléctrico. 7. Las velocidades de fase y grupo dependen del material existente en la guía■ 8. La velocidad de fase de un modo, en las guías, es menor que la de grupo. S o lu c io n e s
1. Cierto. Se sigue de (15.17), cuyo numerador es igual a la velocidad de la luz en el aire que llena la guía, y su denominador es menor que la unidad, ya que la frecuencia de corte es menor que la de la señal en un modo que se propaga sin atenuación en una guía. 2. Falso. Las guías ideales son sistemas dispersivos nórmales, de acuerdo con la proposición 14.3.14, pues sus velocidades de fase;y grupo* según (15.17) y (15.18) , dependen de la frecuencia y, además, dvF/d(ú<0. En estos sistemas, un pulso puede viajar grandes distancias sin separarse apreciablemente, y puesto que la energía se supone localizada en la región ocupada por el cam po, la velocidad de propagación de la energía es igual, aproximadamente, á la velocidad de grupo. 3. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. En la proposición 14.3.13 se estableció que cuando una señal está formada por más de dos ondas de frecuen cias diferentes y hay poca dispersión alrededor dé una frecuencia central,' tiene sentido asignar mediante (13.26) una velocidad de grupo al conjunto; sin erñbargo, cuando la dispersión de las frecuencias de las ondas componentes es tan gran de que áco/Af.Jno es aproximadamente igual a d(ú/d[}, el concepto de velocidad de grupo pierde sentido y es imposible asignar una sola velocidad para describir la propagación de la onda compuesta. 4. Cierto. La velocidad de grupo de un modo es 0 cuando, de acuerdo con (15.18) , la frecuencia de la señal coincide con la de corte de éste. 5. Falso. Se observa en (15.18) que esa velocidad depende de la frecuencia. 6. Cierto. Es lo que informa (15.19). 7. Cierto. Ambas velocidades dependen —obsérvense (15.17) y (Í5.18)— de la velocidad de la onda en el dieléctrico, y ésta, a su vez, es función de los parámetros, (¿y £, del mismo. 8. Falso. En (15.17) y (15.18) se observa que la velocidad de fase es mayor, y la de grupo menor, que la velocidad de la onda en el dieléctrico.
Guías de onda y cavidades resonantes /
645
15.4 Atenuación P r o p o s ic io n e s
1. Si las frecuencias de corte de dos modos consecutivos son superiores a la de la señal que se transmite, se atenúa primero, á lo largo del eje de la guía, el que tiene mayor frecuencia de corte. 2. Si la longitud de onda de una señal es superior a la de corte, el modo res pectivo desaparece, prácticamente, luego de transcurrir cinco constantes de tiempo. 3. Cuando una onda se atenúa en una guía, porque su frecuencia es inferior a la de corte del modo fundamental, pierde energía a medida que se desva nece a lo largo del eje Z. 4. Cuando la frecuencia de una onda es muy baja comparada con la de corte del modo fundamental, la constante de atenuación depende de la frecuencia de aquélla. 5. Cuando la frecuencia de una onda es muy grande comparada con la de corte del modo fundamental, y el dieléctrico tiene pérdidas, la constante de atenuación debida a esas pérdidas es independiente de la frecuencia de aquélla. 6. Cuando en ún modo TM la frecuencia de una onda es muy baja compara da con la de corte de aquél, las componentes transversales de en el modo son despreciables. 7. Cuando en un modo TE la frecuencia de una onda es muy baja comparada con la de corte de aquél, la intensidad del campo eléctrico en el modo no es despreciable. 8. La atenuación depende, en una guía de conductores reales, de la frecuen cia de la señal que se propaga. 9. Se atenúa más la onda en una guía de paredes de cobre, que en otra cuyas paredes son de aluminio. 10. La atenuación de una señal en una guía de conductores ideales, cuando la frecuencia es inferior a la de corte del modo fundamental, y la que existe si los conductores no son ideales, son físicamente distintas.
6 4 6 / Teoría electromagnética
S o lu c io n e s
1. Cierto. Como, según se observa en (15.20), la constante de atenuación, a G , aumenta al crecer la frecuencia de corte, introduce mayor atenuación en un modo él factor e'a,::, cuando la frecuencia de corte de éste es mayor. ¡ 2. Falso. La atenuación, a G , no depende del tiempo. Si la longitud de onda de una señal es superior a la de cortease deduce de (15.14) que el modo se atenúa al avanzar á lo largo del eje de la guía, y puede considerarse extin guido después de recorrer una distancia mayor que 5/ac. 3. Falso. Cuando en lá guía ideal la frecuencia de la señal es inferior a la de corte del modo fundamental, la señal se atenúa, la energía no se propaga a lo largo del eje de aquella, ya que el promedio temporal de la componente Z del vector de Poynting respectivo es 0, y sólo conduce potencia reactiva; en estos casos la energía no se disipa en la guía sino que se refleja. 4. Falso. En tal caso, se deduce de (15.20) que la constante de atenuación tiende a la siguiente expresión (que no depende directamente de la frecuen cia de la onda): a c =/3c =
.
: : (15-63)
5. Cierto. En tal caso, se sigue de (15.21) que la constante de atenuación tiende a ccD=T}DgD/ 2, que no depende directamente de la frecuencia. Sin embargo, si la frecuencia es muy alta, los parámetros del dieléctrico, ju¿"y eD> dependen de aquélla. 6. Cierto. En tal caso,
jú)£ dEc; j ( (ú \ d£C: - 0 - °x Pe dy nPc y.(Orc dy j(OS dEc. j dEc..'.. - CJ P¿ dx VPc h e J dx 7
que salen, suponiendo que 0 )/ú)c « 1, de (15.2), (15.3), (15.9) y (15.62). 7. Falso. Con un procedimiento similar al usado en la proposición anterior se demuestra que las componentes transversales de EG son despreciables en la guía, cuando (ú/(Oc « 1, y E, por tanto, también es despreciable. 8. Cierto. Obsérvese (15.24), por ejemplo; ello se debe a que los valores me dios de la potencia disipada en las paredes de la guía, por unidad de longi
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 4 7
tud en la dirección Z, y de la potencia que "la guía transporta a lo largo de la misma dirección son funciones de la frecuencia. 9. Falso. Obsérvese en (15.25) que la resistividad superficial en la guía de paredes de cobre es menor que en la de paredes de aluminio, pues el cobre tiene mayor conductividad; por tanto, se concluye de (15.24) que en la guía de cobre la atenuación es menor. ' 10. Cierto. Se explicó en la proposición 15.4.3 que, en la situación descrita, la energía no se propaga ni se disipa en la guía ideal: se refleja. En las guías con pérdidas) en cambio, la energía se disipa debido a que en él dieléctrico interior, o en las paredes conductoras, la conductividad es finita.
15.5 Guías de planos paralelos P r o p o s ic io n e s
1. E y H resultantes, en una guía de planos paralelos son ondas viajeras. . 2. Si en una guía de planos paralelos los modos son TEV, E »S = 0. 3. Si en una guía dé planos paralelos los modos son TEW, É ®H * 0. 4. Si en una guía de planos paralelos los modos son TE;V, o = 0 en las pa redes. 5. Si en una guía de planos paralelos los modos son TE/V, K = 0 en las pa redes. 6. Si en una guía de planos paralelos los modos son TEA,, la amplitud máxi ma de E ocurre en el plano que équidista de aquéllos. . 7. Si en una guía de planos paralelos los modos son TEW, la amplitud de H. es máxima en aquéllos. 8. Pueden propagarse ondas electromagnéticas, en una guía de planos para lelos, cüando la frecuencia de la señal es menor que la de corte del modo fundamental. 9. La frecuencia de corte mínima corresponde, en una guía de planos parale los, al modo TE,. 10. La frecuencia de corte del modo TE4 es el triple, en una guía de planos paralelos, de la frecuencia de corte del modo TE2. 1L Las frecuencias de corte de ios modos TEA) y TMWson, en una guía de pianos paralelos, diferentes.
6 4 8 / Teoría electromagnética
12. La longitud de onda de corte decrece, en una guía de planos paralelos, con el número de orden del modo respectivo. 13. La longitud de onda de corte, en una guía de planos paralelos separados por la distancia a, para todos los modos es menor que a. 14. Si a = 4 x l0 '2 [m], en una guía de planos paralelos con aire como dieléctrico, y se desea transmitir una señal cuya frecuencia es de 10 [GHz], ésta puede propagarse sin atenuación eii'los modos TE,, TE? y TE3. 15. Si a = l x l 0 '2 [m], en una guía de planos paralelos con aire como dieléc trico, y la frecuencia de una señal es de 10 [GHz], ésta no puede transmitirse sin atenuación por la guía. 16. Para transmitir sin atenuación una señal cuya frecuencia es de 7,5 [GHz], por una guía de planos paralelos llena de aire y exclusivamente en el modo fundamental, la separación entre los planos no debe ser menor que 2 x 10~2 [m] ni mayor que 4x 10-2 [m]. 17. La velocidad de fase del modo TE2 es menor, en una guía de planos pa ralelos con aire como dieléctrico, que la del modo TE,. 18. Si en una guía de planos paralelos las frecuencias de corte de los modos TE, y TE2 son superiores a la de la señal que se transmite, el modo TE, tiene mayor atenuación. 19. Si íu/fi), « 1 , en una guía de planos paralelos, la onda se desvanece, prácticamente, antes de recorrer una distancia igual a la de una longitud de onda. 20. Si w/ q), « 1 , en una guía de planos paralelos, E es despreciable en el modo TE,. _ .. . 21. Si (ú/(ú¡ » 1, en una guía de planos paralelos, y el dieléctrico tiene pérdi das, la constante de atenuación del modo debida a esas pérdidas aumenta cuando crece la frecuencia de la onda que se propaga. 22. La potencia media por unidad de longitud transversal, transportada por los modos TEjv en una guía de planos paralelos con aire como dieléctrico, decrece al aumentar la frecuencia de la señal, 23. Si íü/ü), » 1 , en una guía de planos paralelos que transporta el modo TE,, y los conductores de las paredes son imperfectos, la constante de atenuación del modo, debida a las pérdidas en los conductores, aumenta cuando crece la frecuencia de la onda que se propaga.
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 4 9
24. Si en una guía de; planos paralelos, con aire como dieléctrico, los conductores de las paredes son imperfectos, la constante de atenuación debida a las pérdidas en éstos aumenta cuando disminuye la distancia entre los planos. 25. Si (ú /ú), » 1, en una guía de planos paralelos con aire como dieléctrico y que transporta el modo TEj, y los conductores de las paredes son imperfectos, la constante de atenuación del modo, debida a las pérdidas en los conductores, se reduce a la octava parte cuando se duplica la distancia entre los planos. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Son ondas viajeras en la dirección del eje Z, a lo largo del cual las propaga la guía;, son “estacionarias” en la dirección del eje X, debido a la presencia de los planos conductores (véase figura 15.2). 2. Cierto. Gon base en (6.3), e independientemente del tipo-de modo, resulta E» S = E ®(E x i í j = 0. 3. Falso. De (15.1), (15.26) y (15.27) se concluye que H es paralelo al plano XZ, y E tiene la dirección del eje Y; por tanto, el producto escalar de esos vectores es 0 (véase figura 15.2). 4. Cierto. Se sigue de (15.10); ello se debe a que las paredes de la guía están ubicadas en x - 0 y x - a, y E, según (15.26), tiene la dirección del eje Y. 5. Falso. En las paredes de la guía, ubicadas en x = 0 y x = a, la componente Z de i/, dada en (15.27), induce, según (15.11), una corriente K que tiene la dirección del eje Y. 6. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto, se deduce de (15.26) y (15.28) que, cuando x = a/2 y el modo es impar, la amplitud de E toma un valor máximo porque la magnitud de senPx x es igual a la unidad; falso, cuando el modo es par, ya que la magnitud de senfixx es igual a 0. 7. Cierto. Se concluye de (15.27) y (15.28) que, cuandox = 0 y x = a, la amplitud de H. toma un valor máximo porque la magnitud de eos/?* x es igual a la unidad; sin embargo, cuando el modo es par. la magnitud de cosfíxx también es igual a la unidad en x = a/2. 8. Cierto. Pueden propagarse ondas electromagnéticas atenuadas, que se desvanecen rápidamente al avanzar a lo largo del eje Z y no transfieren energía.
650 / Teoría electromagnética
9. Cierto. Como en una guía de planos paralelos las frecuencias de corte para los modos de propagación TEV dependen linealmente del valor de N, según (15.28), la mínima corresponde a N - 1. 10. Falso. Es el doble, como se deduce de (15.28). 11. Falso. Son iguales. E puede tener componentes en las direcciones X y Z, en los modos TMA., y la última debe ser de la forma Asenj3x x, con A y j6, uniformes, para satisfacer (15.7) y anularse en las paredes de la guía, ubicadas en x = 0 y .'•* = a. Resultan, por tanto, para Px y las frecuencias de corte de los modos TMW, ecuaciones idénticas a (15.28) y (15.29) de los modos TE^. 12. Cierto. Ya que la longitud de onda de corte de un modo, obtenida de ■(15.29), es ^
'
a s m
13. Falso; De acuerdo con (15.64), es mayor que a para el modo 1, igual para el modo 2 y menor para los demás modos. 14. Falso. La frecuencia de corte de los modos TEN, obtenida de (15.29), es f N =cAf/(2a) = 3,75N[GHz]; en consecuencia, la guía puede transmitir sin atenuación los modos 1 y 2, y coexistirán si la fuente de energía o de la excitación los induce; no transmite el 3 porque su frecuencia de corte es mayor que la de la señal. -,r -■ ■---- 15. Cierto; Porque la frecuencia de corte del modo fundamental es fmínima = c/(2o) = 15 [GHz], que se obtiene de (15.29), y la frecuencia de la señal es menor que ésta. 16. Cierto. Para satisfacer las condiciones de la proposición, según (15.30) debe cumplirse c/(2a)< / < c/a, por tanto, 2 xlO '2 < a< 4 xlO '2 [m]. 17. Falso. La velocidad de fase de ún modo cualquiera en esa guía es vF; = c |l
-
[N tícj (íüa)]2|
, que sé deduce de (15.17) y (15.29), y aumenta
cuando crece N. 18. Falso. De (15.20) se deduce que la constante de atenuación, «c» aumenta al crecer la frecuencia de corte, y ésta, según (15.29), crece con el modo; en consecuencia, en el modo TE2 introduce mayor atenuación el factor e~ar;Á. 19. Cierto. Ya que de (15.20), (15.29) y £ü/ g>, « 1 , salen a c = P\ = n/a y cú/ cú, = 2a/Á « 1; en consecuencia, a cX » 2n y e‘“<;A=0. 20. Cierto. En el modo TE l
Guías de onda y cavidades resonantes / 651
A
JV ic o '' d H r •==0 A V®, d x
dH, jcoji d H c;. l l (ú :-0 y E Cy = dx Pv íü, d y
cd H C:
jcúh
¿y
como se deduce de (15.4), (15.5) y (15.9), al suponer qué co/a>¡ « 1. 21. Falso. En las condiciones propuestas, se sigue de (15.21) que la constante de atenuación es independiente de la.frecuencia y tiende a a D= f]DgD/2. 22. Falso. La potencia media por unidad de longitud en la dirección Y, transportada por un modo TEWen la dirección Z de una guía de planos para lelos, se calcula a partir de (14.34), (15.1), (15.26), (15.27) y (15.28), así: d
/
= -É iL 1- 'V e \ 0)
\ 2
1/2
donde se observa que esa potencia aumenta con la frecuencia de la señal. 23. Falso. En tal caso, se deduce de (15.25) y (15.31) que la constante de atenuación del modo disminuye continuamente cuando la frecuencia crece, y tiende a / v1/2 a>\ (15.65) ar¡n o) ■ (P ’ c
)
t e
,
~
24. Cierto. De (15.29) y (15.31) resulta, confirmando la proposición, que 2Rs{Nncf
( ® c
)
n , / Nn') a-T}DCü- a \ I' l w J r
..
t e
"1
1/2
25. Cierto. En tal caso se sigue de (15.65), confirmando la proposición, que / ( « c
)
t e
,
\l/2
~
g r.
,
{ncf3
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3 / ’>
■15.6 Guías rectangulares; relaciones básicas Proposiciones1. La función 0 =
6 5 2 / Teoría electromagnética
2. Si en una guía rectangular los modos son TEMAf, E = 0 en la interfaz de cada pared. 3. Si en una guía rectangular el modo es TE,,, la amplitud máxima de E ocu rre en los puntos del eje de aquélla. 4. Si en una guía rectangular los modos son T E ^ , donde M y N son diferen tes de 0, a é- 0 en las cuatro paredes. 5. Si en una guía rectangular los modos son TEM0, H = 0. 6. En guías rectangulares no existe el modo TE00. 7. En guías rectangulares hay modos TM,W0y TM0A.. 8. Si en una guía rectangular los modos son TEM0, la corriente de desplaza miento no es 0. 9. Si en una guía rectangular los modos son TEMA,, K = 0 en las paredes. 10. Si en una guía rectangular los modos son TEMV, H • S = 0. 11. Si en una guía rectangular los modos son T E ^ , E»IT= 0 en las ondas que se propagan en el sentido positivo del eje Z. 12. Si 2b
Guías de onda y cavidades resonantes /
653
21. Si a = 2b, en una guía rectangular, la longitud de onda de corte para to dos los modos es menor que a. 22. En una guía rectangular pueden propagarse sin atenuación, simultánea mente, varios modos. 23. Si la frecuencia de corte de tres modos distintos supera la frecuencia de la onda que se transmite, en una guía rectangular, sólo se propaga sin ate nuación el modo con frecuencia de corte menor. 24. Si a = 10xl0"2 [m] y 6 = 8xl0"2 [m], en una guía rectangular llena de aire, y se desea transmitir una señal de frecuencia 2,0 [GHz], ésta puede propagarse sin atenuación en los modos TE10, TE01 y TEn . 25. Si a = 2b, en una guía rectangular llena de aire, la velocidad de fase del modo TE2) es mayor que la del TE12. 26. Si en una guía rectangular se duplica la frecuencia de la señal que se transmite, la velocidad de grupo para un modo se duplica. 27. S\ vFz y üC2 son las velocidades de fase y grupo de un modo, en una guía rectangular, entonces vF.vc. =vi . 28. Si a = 2b, en una guía rectangular, y las frecuencias de corte de los modos TE10 y TE20 son superiores a la de la señal que se transmite, el modo TEI0 tiene mayor atenuación. 29. Si 2a < b y (ú/com « 1, en una guía rectangular, la atenuación de la onda es despreciable después de recorrer una distancia igual a la de una longitud de onda. 30. Si a = 2b, en una guía rectangular, y el dieléctrico tiene pérdidas, la cons tante de atenuación debida a,esas pérdidas es menor en el modo TE2I que en el TEI2. 31. Si cú/ cúMN » 1; en una guía cuadrada de lado a, con aire como dieléctrico y que transporta un modo T E ^yy los conductores de las paredes son imper fectos, la constante de atenuación del modo, debida a las pérdidas en los conductores, se reduce a la mitad cuando se duplica el lado de la guía. 32. Si a = 2b, en una guía rectangular, y los conductores de las paredes son imperfectos, en un modo TEM0 la constante de atenuación, debida a las pér didas en las paredes, tiene un valor mínimo cuando ü) = l,73tüAf0. 33. Si a = 2b, en una guía rectangular no se presentan modos degenerados.
6 5 4 / Teoría electromagnética
34. La potencia media transportada por los modos TEMW,'é ñ una guía rec tangular que tiene aire como dieléctrico, incrementa al aumentar la frecuen cia de la señal. 35. La potencia média transportada por un modo TEM0, en Uña guía rectan gular que tiene aire como dieléctrico, se deduce de la expresión general co rrespondiente a los modos TEAWal hacer N = 0. 36. Cuando por una guía rectangular se propagan simultáneamente y sin atenuación varios modos, la potencia transportada por el conjunto es igual a la suma de las potencias que cada modo transmite. : , .. 37. Cuando una guía rectangular propaga un modo TEMN, las energías eléc trica y magnética medias del modo, por unidad de longitud de guía, son iguales. 38. La velocidad con la que se propaga la energía en una guía de onda, que transporta sin atenuación un modo TEAWy tiene aire como dieléctrico, es igual a la velocidad de fase del modo. S o lu c io n e s
1. Cierto. La función propuesta satisface V2cP = -3
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 5 5 ..
7. Falso. Las componentes restantes de Er. y Hc se calculan a partir de ECzi en los modos T M ^ , con (15.2), (15.3), (15.4) y (15.5); ECz se obtiene al resol ver (15.8) y satisfacer la condición de anularse en las paredes de la guía rec tangular. La forma general de ECz es Ec. = sen /?, x sen (3sy, donde f3x y ¡3y están dadas por (15.34). La expresión anterior se anula, y todas las que se derivan de ésta, cuando M o N son iguales a 0. 8. Cierto. El sistema depende del tiempo y, además, cuando N = 0, la com ponente E}, según (15.32), no se anula. 9. Falso. Ya que H tiene, para todos los valores admisibles de M y N, según (15.33), componentes tangenciales a las cuatro paredes de la guía; aquéllas originan corrientes superficiales en todas las paredes, de acuerdo con (15-11). 10. Cierto. Con base en (6.3), e independientemente del tipo de modo, re sulta H * S = H ° (E x H ) = 0. 11. Cierto. Como ECz es 0 en los modos T E ^ , de (15.1), (15.2), (15.3), (15.4) y (15.5) sale
E•H =
dHr. d H r..
(P2-P2f
dx
dy
d H n. d H r.
+-
dx
e
dy
=0
12. Cierto. Obsérvese cómo varían, con los contadores M y N', algunas frecuencias de corte de los modos TEMW, calculadas con (15.36) cuando 2bo = (jue)'1'*— , < w01 = ( n e ) ' 1' 2 - j > 2 c o w , (ú » =(/“0 > 2üV a a \ b. a = (M£)'1/2— 1+ 4a /
\-i/2 2 J t
=(/ue)
>4
— = 2£ü10, (ow = {ne) a
Na -i/2 Mn 1+ = (ME) Mb
1/2 J t f 2 a ^
a2 4+ a b2
-1/2 J t
1 /2
>2
.
— — >4fi>10 y ü
\ b /
> 2
13. Cierto. Se concluye de la proposición anterior. 14. Cierto. De (15.36) resultan ü)50 = 5jr(jue)~1/2/a y ft)34 = 57r(iUe) 1/2/a = a>50.
6 5 6 / Teoría electromagnética
15. Cierto. La frecuencia de córte mínima en la guía es la del modo TE10, puesto que 2b < a, y los diferentes modos, sean TEMWó TMmn, cumplen que (ú/(úmn < 1. Se deduce, entonces, dé (15.2), (15.3) y (15.9), que, en los modos t u mn, H Cx
jcoe dECi _ @ MN
^
f & '
y VPmN \
ja e dECl _ P mN
j
d X
® MN
j
y
f co '
V P mn \ ® mn ,
dx
16. Cierto. Se deduce de (15.36) que al duplicar a y b, simultáneamente, las frecuencias de corte de los modos TEAÍWse reducen a la mitad. 17. Falso. No necesariamente; ello depende de las dimensiones transversales de la guía. Si 2b = a, por ejemplo, las frecuencias de corte de los modos TE01 y TE20 son iguales. 18. Cierto. Las condiciones de frontera para los modos TMmw exigen que la Er.„ que satisface (15.8), sea igual a 0 en las cuatro paredes de la guía rectan gular, de donde resultan para fix, ¡3y y fíc los mismos valores que (15.34) esta blece para los modos T E ^ ; en consecuencia, son iguales las respectivas fre cuencias de corte. 19. Cierto. En tal caso la longitud de onda de corte de un modo TEMjV, obte nida de (Í5.36), es AM N
; 2a (M2+ iV2)l/2
de donde resultan Á12 = a(2)"'/2 y Au = o(2)l/z = 2A22.
(15.66) -
20. Falso. De (15.66) salen A30 = 2a/5 y A,, = 2a(5)1/2 > A30, 21. Falso. Las condiciones de frontera que E r., debe satisfacer en las cuatro paredes de una guía rectangular, en los modos T M ^ , conducen a los mis mos valores para ¡3X, fy, j6C y f3c, dados por (15.34) y (15.35); por tanto, las frecuencias y longitudes de corte en los modos T E ^ y TMmn están dadas por (15.36). Estas últimas son AM N
2% __ 2ab (fie)mcúm (m 2¿2+ N V )'/2
(15.67)
G uías de onda y cavidades resonantes / 6 5 7
de donde, al sustituir a = 2b, resulta ?>m = 2af(M 2+ 4N 2)}/2. En conclusión, la longitud de onda de corte es mayor que a para el modo 10; igual, parados modos 20 y 01; menor, para los demás modos. " 22. Cierto. Pueden propagarse y coexistir en la guía, de acuerdo con (15.36), todos los modos cuyas frecuencias de corte sean inferiores a la de la señal que se transmite. 23. Falso. Ninguno de los modos se propaga sin atenuación, al no satisfacer se (15.36). .;J:; . 24. Falso. Las frecuencias de corte de esos modos, calculadas a partir de (15.36), son /;0 =1,50 [GHz], f m= 1,88 [GHz] y f u = 2,40 [GHz]; en conse cuencia, el modo TEn no puede propagarse sin atenuación. 25. Falso. En tal caso, las velocidades de fase respectivas, deducidas de (15.17) y (15.36), cumplen (^=)te2i =4-8[rcc/(
.
mayor atenuación el factor e ' .
29. Falso. En tal caso se concluye, por analogía con la proposición 15.6.12, que el modo fundamental de la guía es el TE01. De (15.20), (15.36) y el dato (ü/(úm « 1, se obtienen a c ~ = n/b y ü)/(ú0l = 2 b /A « l; en consecuencia, a cX » 2n y
~0.
30. Cierto. De (15.21) se sigue que la constante de atenuación debida a las pérdidas del dieléctrico crece con la frecuencia angular de corte del modo respectivo; y éstas, en los modos TE,2y TE2I, calculadas con (15.36), son ®12 ~ (1^)
/
\l/2 y &>n ~ (®)
a{vD£D)
/
\l/2
a{MD£D)
®12
31. Cierto. En tal caso, confirmando la proposición, se concluye de (15.38) que la constante de atenuación del modo tiende a ==2Rs/(ar]D).
658 /
Teoría electromagnética
32. Falsos La constante de atenuación, ac, para modos TE^ q en guías rectangulares, debida a conductores imperfectos en las paredes, está dada por (15.39); en ésta, de acuerdo con (15.25), la conductividad superficial, R s, es función de la frecuencia. Al derivar ac con respecto a la frecuencia angular, co, e igualar a 0, resulta 0 =,ú)4 - 6 cúc2ío2+(0^, de donde sale el valor de la frecuencia que minimiza la atenuación: (ú = [(2)1/2 + l]ü)c = 2,4l£üc. 33. Falso. Como en una guía de onda los modos degenerados son los que se propagan y tienen las mismas frecuencias de corte, y las de los modos TEMWy TMma, en la guía rectangular están* dadas por (15.36), se concluye que para sendos valores de M y A/^ iguales, mayores que 0, con independencia de la relación entre a y ¿. aquellos modos tienen idénticas frecuencias de corte y, por tanto, pueden ser degenerados. 34. Cierto. La potencia media transportada por un modo TEMW, en la direc ción Z de üná guía rectangular, calculada a partir de (14.34), (15.1), (15.32), (15.33) y (15.35), es N 2a2 +1 P > = -9 Jof Jo\6Re\ExH l— '— r; + E H / r]dxdy J = - ^8Qm„ cú¡i ]_M2b2 :.
a b fe l 8c¡j.
1/2 (ü
~N2a2 ---n-T 1 \_M b J
(15.68)
donde se observa que la potencia aumenta con la frecuencia de la señal. 35. Falso. La potencia media transportada por un modo TEAÍ0, en la direc ción Z de una guía rectangular, calculada correctamente después de hacer N = 0, en (14.34), (15.1), (15.32) y (15.33), es < p > = I f“ f‘ Re¡E H *}dxdy = 2 Jo Jo « J J
4a>n
■
(15.69)
Mientras que la obtenida erróneamente de (15.68), al hacer la sustitución N = 0, es < P > = abPt\E ^/(S cúh) . 36. Cierto y falso. Dé acuerdó con la explicación. La potencia no satisface el principio de superposición, en general, por ser una función cuadrática del voltaje, cuando se trata de circuitos eléctricos, o de la intensidad del campo eléctrico, cuando se trata de ondas electromagnéticas; sin embargo, cuando la guía rectangular no tiene pérdidas, debido a que el dieléctrico interior y los conductores de las paredes son perfectos, y los modos que se propagan no son degenerados, ya que las frecuencias de corte respectivas son diferen
G uías de onda y cavidades resonantes / 6 5 9
tes, sí puede aplicarse la superposición, deducida con base en el teorema de la reciprocidad de Lorentz para las guías, y calcular la potencia que trans porta el conjunto de modos como igual a la suma de las potencias que los modos transmiten individualmente. Es falsa la proposición, en cambio, cuando los presupuestos señalados anteriormente no se cumplen. 37. Cierto. Las energías eléctrica y magnética medias de un modo TEMW, por unidad de longitud de guía, son d < U. > £ di
N 2a2 +1 M 2b2
16
d k £4 Jsf l1—1 f l f M = £ r ÍH .H - ixáf 4 Jo Jo— — J dz
16
N 2a2 +1 M 2b2
d
que se calculan a partir de (14.35), (15.1), (15.32) y (15.33). Al último resul tado se llega, puesto que H tiene tres componentes, después de simplificar, con (15.35), la expresión obtenida. 38. Falso. Es igual a la velocidad de grupo del modo. En efecto, la rapidez con la que se propaga la energía en una guía se define, adaptando (14.66) para el caso, como la razón entre la potencia media que se propaga por la guía y Ja energía total media por unidad de longitud de la misma; y al tomar en cuenta (15.18), (15.68) y la proposición anterior, la rapidez con la que se propaga la energía de un modo TEMWresulta ser
1/2
(ú
n =c
(ú‘
1/2
= Vr
15.7 Modo fundamental en guías rectangulares P r o p o s ic io n e s
1. El modo TE]o que se propaga sin atenuación por una guía rectangular está polarizado circularmente. 2. Si en una guía rectangular el modo es TEI0, a = 0 en las cuatro paredes. SvH' es transversal en el modo TE1(>de una guía rectangular. 4. Las corrientes superficiales inducidas en las paredes de una guía rectangu lar, que transmite el modo TE10, no son longitudinales.
6 6 0 / Teoría electromagnética
5. Una guía rectangular que transmite el modo TE10 puede tener ranuras longitudinales en las paredes de la misma. 6. Si 2b < a, en una guía rectangular, la frecuencia angular de corte para el modo TE jo es la mínima. 7. .Si.2b
G uías de onda y cavidades resonantes /
661
atenuación debida a las pérdidas en las paredes crece cuando aumenta el lado de la sección de la guía. 19. La atenuación debida a la conductividad finita de las paredes de una guía rectangular, que transmite el modo TEi0, aumenta cuando disminuye la dimensión b. 20. Si o = 26, en una guía rectangular, y se propaga el modo TE10 a la fre cuencia que minimiza la atenuación debida a la conductividad finita de los conductores de las paredes, el modo TE20 puede propagarse sin atenuación también. 21. Si a = 1 0 x l0 '2 [m] y 6 = 5xl0"2 [m], en una guía rectangular con aire como dieléctrico, y se propaga el modo TE10 a la frecuencia / -l,3 /¡0, de manera que la amplitud máxima de la E en la guía es 100 [Vm_1], entonces la potencia que el modo transporta a lo largo de la guía es 21,2 [mW], 22. Para transmitir por una guía rectangular una potencia dada, en el modo TE]0, sin que se presente la ruptura dieléctrica, es necesario que la longitud b sea la máxima posible. S o lu c io n e s
1. Falso. Se deduce de (15.32) que ese modo está polarizado linealmente en la dirección del eje F, ya que £ c(rr )jo = i,, £ +sen(7tx/a). 2. Falso. Se sigue de (15.32) que, en ese modo, E sólo tiene componente Y en la guía; por tanto, eres 0 en las paredes x = 0 y x = a, y,diferente de 0 en las otras dos. 3. Falso. En tal caso, el modo es TEM, y éstos no pueden propagarse en una guía rectangular; se verifica en (15.33), además, que Hr.- no se anula. 4. Cierto. Aunque las corrientés inducidas en las paredes y = 0 y y = b de la guía tienen componentes longitudinales, debido a la existencia de Hx, en todas hay corrientes transversales originadas por H, 5. Cierto. En general no puede tenerlas; esas ranuras interrumpen la circu lación de las corrientes transversales inducidas por H, en las paredes. Sin embargo, aproximadamente, podrían existir delgadas rendijas en. las líneas medias de las paredes paralelas al eje X, pues en esas líneas H. es cero. 6. Cierto. De acuerdo con las proposiciones 15.6:7, 15.6.12 y 15.6.18, en los modos TEM;Vla frecuencia mínima es la del TEI0, son iguales las frecuencias angulares de corte de los modos TEMA,y TMmaf, y el modo TM10 no existe.
6 6 2 / Teoría electromagnética
7. Falso. Pueden propagarse sin atenuación todos los modos cuyas frecuen cias de corte son inferiores a la de la señal que se transmite. Conviene men cionar, sin embargo, que en el intervalo de frecuencias iül0 < (ú < íü20> la guía sólo transmite sin atenuación el modo TE 10. 8. Cierto. Se verifica al sustituir recíprocamente en los resultados dé la pro posición 15.6.12, debido a lá:s imetría, M por N y a por > 9. Falso. Es la mínima cuando 2b < a; la proposición anterior es un contraejemplo. Obsérvese que el modo dominante depende de la geometría de la guía- ;■ 10. Cierto. En la proposición 15.6.12 se comprobó que cuando 2b
2xl0"2 [m] y — = = 0,665 6)2o 2a>10 2“—|l/2 2n 1^ 235 [m-1] IT£.„ - a J
G uías de onda y cavidades resonantes
/ 663
17. Cierto. En ese caso, se deduce de (15.25) y (15.39) que K L
:=
f Ve C
J
(Ü1/ 2 ; brío
18. Falso. De (15.36) y (15.39) resulta la siguiente expresión, donde se ob serva que cuando el lado de la guía crece, el primer corchete aumenta, el segundo disminuye y la fracción disminuye:
UJ
2 ( 71C\ a - — (0 )
- 1/2
l
_ J nc~\2 1+ 2 — [toa)
19. Cierto. De (15.36) y (15.39), resulta la siguiente expresión, donde se advierte qüe el segundo corchete crece y el primero se mantiene uniforme cuando disminuye b : 2
(R A f 7tc') — 1 [ coa) U J
"-1 /2 1 2 - + —
b
í nc \
o
”
a [caa)
20. Cierto. De acuerdó con las proposiciones 15.6.12 y 15.6.32, las frecuen cias de corte del modo TE20 y la que minimiza la atenuación debida a con ductores imperfectos en las paredes son, respectivamente, el doble y 2,41 veces la de corte del modo TE10; por tanto, como la frecuencia de la transmi sión es mayor que la de corte del modo TE20, éste puede propagarse sin ate nuación en la guía. 21. Cierto. De (15.35), (15.36), (15.69) y los datos aportados, resulta
f f v a&|E+| 1 - J10 4 CjU K ÍJ
= 21,2 xlO'2 [mW].
22. Cierto. Al aumentar b e n la guía rectangular, crece la sección recta de ésta y, en consecuencia, para una potencia dada, E debe disminuir, alejándo se del valor de ruptura; la conclusión se ratifica, además, al observar (15.69). Conviene mencionar, sin embargo, que cuando aumentan las dimensiones transversales de la guía, disminuyen las frecuencias de corte de los diferentes modos y podría, entonces, propagarse también el modo TE20.
6 6 4 / Teoría electromagnética
15.8 Guías cilindricas circulares P r o p o s ic io n e s
1. En una guía cilindrica circular sólo hay modos TE. 2. En una guía cilindrica circular no existe el modo TE10. 3. En guías cilindricas circulares hay modos TMW0y TM0AÍ. 4. Si en una guía cilindrica circular los modos son TMm) Hr - 0 en la pared. 5. En la pared de una guía cilindrica circular, H, =0. 6. En la pared de una guía cilindrica circular,
= 0.
■■■■
7. En una guía cilindrica circular, que transporta el modo TE0I, las líneas de fuerza de E son radiales. 8. Si en una guía cilindrica circular los modos son TE0M, la densidad volumé trica de la corriente de desplazamiento no es 0. 9. En la pared de una guía cilindrica circular, que lleva modos TE0jW, <7 = 0. 10. Si en una guía cilindrica circular los modos son TEWjM, K = 0 en la pared. 11. Si en una guía cilindrica circular los modos son TE0AÍ, en la pared, K tie ne componente en la dirección de i.. 12. Si en una guía cilindrica circular se hacen cortés lóngitudiñáles,"paralelos' al eje Z, aquélla no puede transmitir modos TE0AÍ. 13. Si en una guía cilindrica circular los modos son TEWAÍ, E • S = 0. 14. Si en una guía cilindrica circular los modos son T E ^ , 0 en las ondas que se propagan en el sentido positivo del eje Z. 1 15. Si en una guía cilindrica circular el modo es TE01, la amplitud máxima de E ocurre en la pared de aquélla. 16. El modo TE01, que se propaga sin atenuación por una guía cilindrica circular, está polarizado linealmente. 17. Sólo se propaga sin atenuación, en una guía cilindrica circular, el modo TE n 18. La frecuencia angular mínima de corte se presenta, en una guía cilindri ca circular, en el m odoTM QI. 19. Si en una guía cilindrica circular los modos son T E ^ , la frecuencia angu lar de corte que sigue a la mínima es la del modo TE2].
G uías de onda y cavidades resonantes /
665
20. La guía cilindrica circular, de radio a, presenta, para transmitir exclusi vamente el modo dominante, un menor ancho de banda que la guía rectan gular en la que 2b < a. 21. En una guía cilindrica circular no hay modos degenerados. 22. Las frecuencias de corte de los diferentes modos TEWAÍ, en las guías cilin dricas circulares, son también distintas. 23. Si se toman los mismos valores de N y M, en los modos TEAWy TMWAÍ de las guías cilindricas circulares, las frecuencias de corte son iguales. 24. Si Se duplica el radio de una guía cilindrica circular, se reduce a la mitad la frecuencia de corte de un modo T E ^ . 25. La frecuencia angular de corte del modo TE02 es el doble, en una guía cilindrica circular, de la del modo TE01. 26. La longitud de onda de corte del modo TE,, es el cuádruple, en una guía cilindrica circular, de la del modo TE22. 27. Si el radio de una guía cilindrica circular llena de aire es de 3 x 10-2 [mj y se desea transmitir una señal de frecuencia 5,0 [GHz], ésta puede propagarse sin atenuación en los modos T E ,, y TE21. 28. Si el radio de una guía cilindrica circular llena de aire es de 3 x 1CT2 [m], una señal de frecuencia 1,8 [GHz] puede propagarse sin atenuación por aquélla. 29. Si el radio de una guía cilindrica circular llena de aire no es menor que 3 x 10-2 [m] ni mayor que 3,8 x 1CT2 [m], por aquélla se puede transmitir sin atenuación, y exclusivamente en el modo fundamental, una señal de frecuen cia 3,0 [GHz]. v 30. La longitud de onda de.corte de todos los modos T E ^ es menor, en una guía cilindrica circular, que el radio. 31. La longitud de onda de corte del modo TE5, es aproximadamente igual, en una guía cilindrica circular, al radio. 32. La velocidad de fase del modo TEn, en una guía ¡cilindrica circular llena de aire, es menor que la del TE,2. 33. Si, en una guía cilindrica circular, se aumenta la frecuencia de la señal transmitida, la velocidad de grupo de un modo disminuye. 34. Si, en una guía cilindrica circular con dieléctrico de aire, las frecuencias de corte de los modos TE,, y TE21 son superiores a la de la señal que se transmite, el modo TE2, tiene mayor atenuación.
6 6 6 / Teoría electromagnética
35. Si, en una guía cilindrica circular, la frecuencia de la señal que se trans mite es mucho menor que la del modo TEU, la onda se desvanece práctica mente después de recorrer una distancia igual a la de una longitud de onda. 36. Si, en una guía cilindrica circular, la frecuencia de la señal que se propa ga es mucho menor que la de corte del modo TEn , £ no es despreciable en los modos TEwm. 37. Si, en una guía cilindrica circular con aire como dieléctrico, se propaga el modo fundamental a la frecuencia / = l,15/¡,, donde / = 3 [GHz], la cons tante de atenuación para el modo ;TE2j, aG, es 65 [m-1] 38. Si el dieléctrico de uña guia cilindrica circular tiene pérdidas; la constan te de atenuación debida a esas pérdidas es mayor en el modo TEn que en el t e 01. 39. Si (ú/(üNM» 1, en tina guía cilindrica circular de conductores imperfectos, y se transportan modos TEWA), la constante de atenuación del modo respecti vo, debida a las pérdidas en la pared, se duplica al doblar el radio de la guía. 40. Si 0 )/(ú:ÁI >> 1, en una guía cilindrica circular de conductores imperfectos, en los modos TE0AÍ la constante de atenuación, debida a las pérdidas en la pared, decrece continuamente cuando aumenta la frecuencia de la señal que se propaga. 41. Si ü)/Cúu » 1 , en una guía cilindrica circular que transporta el modo TÉ,,,y los conductores de la pared son imperfectos, la constante de atenuación, debida a las pérdidas en la pared, disminuye cuando crece la frecuencia de la onda que se propaga. • •• 42. Para transmitir por una guía cilindrica circular una potencia dada, en el modo fundamental, sin que se presente la ruptura dieléctrica, es necesario que el radio sea el máximo posible. S o lu c io n e s
1. Falso. Aunque el modo fundamental es el T É ,,, en la guía pueden existir modos TEnaí y TMnm, y se propagan sin atenuación todos aquéllos cuyas fre cuencias de corte son menores que la de la señal que se transmite. En los modos TMwaí las frecuencias de corte son íúN M
PnM...
donde p NM son las raíces de J N( P ca ) = 0.
(15.70)
G uías de onda y cavidades resonantes / 667
2. Cierto. Los subíndices N y M se refieren, respectivamente, en los modos TEwaí, al orden de la función de Bessel y a la Mésima raíz de J'N(/3Ca) = 0, y no hay raíz de orden 0; la primera raíz corresponde a M = 1. 3. Falso. No hay modos TMW0 porque no hay raíz de orden 0 de J h,(/3ca)=0; a la primera raíz se le asigna M = 1. Los modos TE0AÍ, en cambio, sí existen y corresponden a las M raíces de JÓ(Pca) = 0. 4. Cierto. En cualquier tipo de modo, de acuerdo con (15.11), Hr = 0 en la pared de la guía. 5. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto, por definición, en los modos TMwaí, en los que H es transversal; en los TE^, es falso, ya que en r = a no se anula J N(Pca). A partir de Hz puede calcularse la corriente su perficial, K, que circula por la pared. 6. Falso. No es 0, y a partir de ETpuede calcularse la densidad superficial de carga inducida en la pared de la guía; sí son nulas, en cambio, las compo nentes de E tangenciales a la pared. 7. Falso. Como en ese modo (15.45) es EG(r.r) QM= %\jAa(ül-Lj[){Pcr'f[lfic > se concluye que las líneas de fuerza de E son circunferencias ortogonales al eje Z de la guía y con centro en éste. 8. Cierto. Ya que el campo depende del tiempo en la guía y, cuando N = 0, la componente E v, según (15.45), no se anula. 9. Cierto. En esos modos, según (15.45), Er = 0; por tanto, se sigue de (15.10) que
6 6 8 / Teoría electromagnética
E* H = EC* H ce-*jfe = (ECrH Cr +EC9'Bat)e-2/A* E»H
(úilfí. (é ’ - p : h
dHdH ,. d r dtp
3 H r. S íL d r dtp
-ve-.-- _ e =O
15. Falso. De (15.45) se sigue que £ sólo tiene componente en la dirección i
71 1,841...... 0,564 71 . .... 2,405 \l/2 ñítt y. o(/te)1/2 '. a{pts)n ; a(fiej'2 a(fxe)m . a{nej
21. Falso. Pueden ser degenerados los modos TE01 y TMn, si se propagan en la guía, por tener iguales frecuencias angulares de corte; en efecto; =3,832(txe)-1/2/a. =
í ü t m
1i
22. Cierto. Ya que, según la tabla 15.1, las raíces de /',(/3ca) = 0 son dife rentes. 23. Falso. Como las condiciones de frontera para los modos TM ^, exigen que £ G. sea nula en la pared de_la_ guía, Jas frecuencÍM de cprte de esos modos se deducen de las raíces de J N(pca) = 0; y las raíces de orden M de J n(Pc°) = 0 y j'N{fica) = 0, son distintas.
G uías de onda
cavidades resonantes / 6 6 9
24. Cierto. Se sigue directamente de (15.49). 25. Falso. De (15.49) y la tabla 15.1 se obtienen •• 3,832 m TT V 1X01 aijie) ' —
ú )~
^
7,016 ^ * 2 aijxef-
■ =— .—
0
0 ) - ^
01
.
26. Falso. Las longitudes de onda de corte de los modos citados, obtenidos de (15.49) y la tabla 15.1, son =
2na 1,841
y
Ku. =
2na 6,706
X.T£„'
27. Cierto. Pues las frecuencias de corte de esos modos, f u = 2,93 [GHz] y / 2I =4,86 [GHz], obtenidas de (15.49) y la tabla 15.1, resultan inferiores a la de la señal que se quiere transmitir. 28. Falso. Porque, según la proposición anterior, la frecuencia de corte del modo fundamental es f u = 2,93 [GHz], y es mayor que la frecuencia de lá señal. ■ 29. Cierto. Los modos fundam ental y siguiente, en esa guía, son T E n y TMqí. La frecuencia de la señal y el radio de la guía deben cumplir, para satisfacer las condiciones dadas, tomando en cuenta la proposición 15.8.18, l,841c/(2na) < f < 2,405c/(27za); por tanto, 2,93 xlO"2 < a < 3,83 x lO'2 [m]. 30. Falso. La longitud de onda de corte de un modo TEAW, según (15.49), es 27ia
(15.71)
y puede observarse en la tabla 15.1 que hay seis raíces de y',(/3c(z) = 0, meno res que 2n. 31. Cierto. Ya que XTL =0,979a~a, como se deduce, para ese modo, dé (15.49) y la tabla 15.1. 32. Cierto. Las velocidades de fase respectivas, deducidas de (15.17), (15.49) v la tabla 15.1, son
Í C7 ;
)
t
E ,,
1-
( 1,841c £va
v - ,/2 í-
5,331c coa :
>
)
t
E. ,
33. Falso. Se sigue de (15.18) que, en tal caso, la velocidad de grupo del modo aumenta.
6 7 0 / Teoría electromagnética
34. Cierto. En (15.20) se advierte que la constante de atenuación, áG, aumen ta al crecer la frecuencia de corte, y ésta es mínima en el modo TEn; en con~aaz secuencia, en el modo TE21 introduce mayor atenuación el factor e 35. Cierto. En tal caso, de (15.20) y (15.49) se obtienen « 6
“
A l
=
1,841 . ü) o),
2na « 1, a cX » 2n y e 1,841A
‘
=0
36. Falso. Como la frecuencia de corte mínima en la guía es la del modo TEn, en todos los modos T E ^ se cumple qué co/coNM« 1 ; se sigue de (15.9), (15.42) y (15.43), entonces, que £ - Gr
Cúfi dHc. 0) 'i dH V -= ^- = 0 r ( 5 j dtp ' rP> \ ¡ dtp tí) A dH r ■ COfJ. dU.G: .= 0 dr - Ca=~ A M! dr p KM \ ® N M ) 37. Cierto. De (15.20), (15.49), la tabla 15.1 y la proposición 15.8.20, resultan a=
2n f x
= 3,37 x 10'2 [m], f 2¡ = 3,°?— = 4,33 [GHz] y — = 0,693 . 2na , ■£U„ . . . ~
, s 3,054 ••• k k , = ——
(
0)
\
o “ 1/2
= 65,3 [m'1]
1 -
_
^
£t),i 21 J
_
38. Falso. Se observa en (15.21) que la constante de atenuación debida a las pérdidas del dieléctrico crece con la frecuencia angular de corté del modo respectivo, y ésta es mínima en el modo TEn . 39. Falso. En tal caso, se reduce a la mitad, pues tiende a («c)t
Rs aria
N2 2 9 KM
~
-v t 2 R
40. Cierto. La constante de atenuación para un modo TE0M, ccc, debida a con ductores imperfectos en la pared de una guía cilindrica circular, se deduce de (15.50); tiende, cuando la frecuencia de la señal que se propaga es alta, a p
k)^
-
l
2.. - R J a¡ J *nDf 2
G uías de onda y cavidades resonantes / 671
Expresión que decae con / -3/2 pues, de acuerdo con (15.25), la conductividad superficial, Rs, varía con f m . Conviene advertir que cuando la frecuencia de la señal que se transmite supera en mucho la del modo fundamental, es po sible que varios modos coexistan en la guía, y el eventual acoplamiento entré éstos modifica la constante de atenuación. 41. Falso. La constante de atenuación debida a las pérdidas en la pared tien de, según la proposición 15.8.39 y la tabla 15.1, a la expresión siguiente, que crece con la frecuencia pues, según (15.25), la cónductividad superficial, Rs, varía c o n / 1/2: 1 («c)te„ = — alo ..1,841’.-1. 42. Cierto. Al aumentar el radio de la guía, crece la sección recta de ésta, y en consecuencia, para una potencia dada, E debe disminuir, alejándose del valor de ruptura. El aumento del radio de la guía está limitado por la nece sidad de que sólo se transmita el modo fundamental; obsérvese en (15.49) qué.cuando aumenta el radio de la guía, disminuyen las frecuencias de corte de los diferentes modos, y podría, entonces, propagarse también el modo TM01.
15.9 Generalidades y modos de propagación en las cavidades resonantes P r o p o s ic io n e s
1. Las cavidades resonantes son cerradas. 2. Las cavidades resonantes aíslan completamente del exterior, a las frecuen cias dé operación, la región encerrada. 3. La sección recta de toda cavidad resonante es uniforme. 4. Las paredes de las cavidades resonantes tienen que ser conductoras, 5. Los circuitos LC son mejores, cuando la frecuencia de operación es muy alta, que las cavidades resonantes. 6. Una línea de transmisión no puede funcionar cómo cavidad resonante. 7. En una cavidad resonante no puede existir el modo TEM. 8. En una cavidad resonante no pueden existir, simultáneamente, modos TE y TM. , .
6 7 2 / Teoría electromagnética
9. En uña cavidad resonante pueden coexistir varios modos TE. 10. En el interior de las cavidades resonantes no hay corriente de desplaza miento. 11. La velocidad de grupo de las ondas electromagnéticas que no se atenúan en una cavidad resonante es 0. 12. La velocidad de fase de las ondas electromagnéticas que no se atenúan en una cavidad resonante es 0. 13. Las cavidades resonantes son dispositivos usados para disipar energía. 14. La energía almacenada en una cavidad resonante es magnética. 15. Las pérdidas de energía son menores en una cavidad resonante de pare des de cobre que en otra de paredes de hierro. 16. Las pérdidas de energía por el efecto Joule son menores, a igual frecuen cia, en la cavidad f’é sonante que en un circuito resonante dé parámetros con centrados. ^ 17. La energía se propaga con la rapidez de la luz en una cavidad resonante: 18. En una cavidad ideal, de paredes conductoras y dieléctrico interior per fectos, el factor de calidad es 0. 19. Si las frecuencias de resonancia son iguales, es menor el factor de calidad de un circuito de parámetros concentrados que el de una cavidad. 20. El factor de calidad de una cavidad de paredes perfectamente conducto ras, que tiene un dieléctrico imperfecto de permitividad y conductividad gD, es igual a (oeD/gD. ■ S o lu c io n e s
. ., ,
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Cuando la frecuencia de operación en un circuito resonante de parámetros concentrados es muy alta, las pérdidas de energía debidas al efecto piel en los conductores y a la rádiación lo hacen imprácticó; para impedir la radiación y disminuir sübstancialmente las pérdidas, se usa una caja de paredes conductoras y conductivida des muy altas, idealmente cerrada, que se conoce como cavidad resonante (véase figura 15.5). Sin embargo, en la práctica, la cavidad debe tener pe queños orificios, apropiadamente ubicados, para introducir la señal electro magnética. • 2. Cierto. Las ondas eléctromagnéticas pueden existir dentro dé las cavida des resonantes sin recibir interferencias del exterior o radiar energía hacia éste. El blindaje es perfecto cuando los conductores son ideales, y aproxi
G uias de onda y cavidades resonantes / 6 7 3
madamente perfecto para conductores comunes que operan a frecuencias muy altas; en efecto, a frecuencias de 1 [GHz] la profundidad piel en el co bre es tan pequeña, del orden de 1 x 10-6 [m], que el espesor real del conduc tor de la cavidad actúa como si fuese infinito. 3. Falso. No es uniforme, por ejemplo, en el caso de una cavidad esférica. 4. Cierto. El modelo teórico de la cavidad ideal supone perfectamente con ductoras las paredes de éstas, para evitar las pérdidas de energía por radia ción y efecto Joule. Conviene mencionar, sin embargo, que en sistemas ópti cos donde las longitudes de onda son del orden de los micrones é imprácti cas las cavidades cerradas, se han ideado resonadores abiertos qiie usan espejos enfrentados, planos o curvos. 5. Falso. Porque, como se explicó en la proposición 15.9.1, las pérdidas de energía son menores en las cavidades. 6. Falso. Funciona como tal, por ejemplo, una línea coaxial cuyos extremos de alimentación y carga, separados por una distancia igual a Á/2, están en cortocircuito. 7. Cierto. Por las razones expuestas en las proposiciones 13.1.7 y 15.1.9. 8. Falso. Pueden coexistir si se introducen apropiadamente —y se llaman degenerados— todos los modos que tengan iguales frecuencias de resonan cia; en una cavidad cúbica, por ejemplo, los modos TE y TM de índices 112, 121 y 211 tienen la misma frecuencia de resonancia. 9. Cierto. Por las razones expuestas en la proposición anterior. 10. Falso. Existe, ya que la E depende del tiempo. 11. Cierto. Es 0, ya que esas ondas son “estacionarias” y no viajan. 12. Falso. Es infinita, como corresponde a ondas “estacionarias”. 13. Falso. Al contrario, se conciben con la idea de que la energía disipada sea la menor posible; ello permite obtener para la cavidad un elevado factor de calidad, Q. 14. Falso. En una cavidad resonante la energía total se conserva y se trans fiere alternativamente entre los campos eléctrico y magnético de la caja; se puede calcular, al hallar la energía almacenada en el campo eléctrico en el momento en que la intensidad de éste pasa por un valor máximo, porque en ese instante la del campo magnético es 0, como corresponde a ondas elec tromagnéticas “estacionarias”. 15. Cierto. La pérdida de energía en las paredes de la cavidad, por el efecto Joule, depende directamente de la resistividad superficial de aquéllas; y esa
674 /
Teoría electromagnética
resistividad, según (15.25), es mayor en el hierro, que tiene más permeabili dad y menos conductividad que el cobre. 16. Cierto. Debido a la conductividad finita de los conductores comunes y el efecto piel, la corriente tiende a circular por los conductores a través de un área tránsVersal neta de menor tamaño, superficial, y la resistencia tiende á crecer cuando la frecuencia aumenta; en consecuencia, se acentúan las pér didas de energía por el efecto Joule. El resultado anterior es más crítico en los alambres de los circuitos de parámetros concentrados que en una cavidad conductora, la cual proporciona un área superficial mayor para la circulación de la corriente. ¿-x -i' 17. Falso. La energía no se propaga en las cavidades resonantes; las ondas que persisten en éstas son “estacionarias”. 18. Falso. En la cavidad descrita las pérdidas son 0; por tanto, se deduce de (15.51) que el factor de calidad es infinito. 19. Cierto. En las cavidades resonantes el factor de calidad puede superar a 10.000, mientras que en un circuito resonante de parámetros concentrados es del orden de los centenares; ello se debe a que, según (15.51), las pérdi das de energía en éste, ocasionadas por el efecto piel en los hilos conducto res y la radiación, correspondientes a las altas frecuencias de resonancia, típicas de las cavidades, son mayores. 20. Cierto. Las energías eléctrica.y. magnética.me_dia_s_ almacenadas son igua les entre sí, en una cavidad resonante, ya que las ondas electromagnéticas resultantes son “estacionarias”; la energía mediá total almacenada, cuando V es el volumen del dieléctrico encerrado por la cavidad, la potencia media disipada en el dieléctrico imperfecto y el factor de calidad, calculado con (15.51), son
<
a>eD Sd
I ¡ÉfdV ■
Guías de onda, y cavidades resonantes / 675
15.10 Frecuencias de resonancia P r o p o s ic io n e s
1. Frecuencia de resonancia, en una cavidad, es el mínimo valor que puede;: tener la frecuencia de una señal para que aquélla la sintonice, r; 2. Las frecuencias de resonancia de las cavidades, cuyo dieléctrico es el aire, no dependen de la frecuencia de la señal que se introduce en aquéllas. 3. Hay infinitas frecuencias de resonancia en las cavidades. 4. Las frecuencias de resonancia de una cavidad son distintas en los modos TE y TM. 5. Las cavidades son artefactos que seleccionan frecuencias. 6. En una cavidad pueden persistir ondas electromagnéticas cuyas frecuen cias no coinciden con alguna de las de resonancia. 7. Si una cavidad de cobre se sumerge en aire líquido, aumenta la selectivi dad de la misma. S o lu c io n e s
1. Falso. La frecuencia de resonancia: de una cavidad no es como las frecuen cias de corte, en las guías de onda. La cavidad sintoniza o selecciona la señal cuya frecuencia coincide con una de las de resonancia de aquélla; es decir, la señal no se atenúa dentro de la cavidad, al pasar el tiempo, sólo cuando la coincidencia se presenta. 2. Cierto. Las frecuencias de resonancia de una cavidad llena de aire sólo dependen del tipo de modo, la geometría de la misma y la rapidez de la luz en el aire. Conviene mencionar, sin embargo, que cuándo la frecuencia es muy alta y el dieléctrico no es el aire, la permeabilidad y la permitividad de aquél dependen de la frecuencia, y la señal, por ese camino, puede terminar influyendo sobre las frecuencias de resonancia de la cavidad. 3. Cierto. Hay una por cada modo, y éstos son infinitos, como puede observarse para las cavidades rectangulares o cilindricas en (15.56) y (15.61). 4. Falso. No necesariamente; si se satisfacen las condiciones de frontera de la cavidad, dichas frecuencias pueden coincidir. Las frecuencias de resonancia de los modos TEw y TMW son iguales,'por ejemplo, en las cavidades rec tangulares.
6 7 6 / Teoría electromagnética
5. Cierto. Son dispositivos seleccionadores o sintonizadores de frecuencia, basados en la propiedad de que sólo las señales cuyas frecuencias coinciden con una de las de resonancia de la cavidad pueden existir sin atenuaciones dentro de ésta; la selectividad mejora con el aumento del factor de calidad, (¿. 6. Falso. No pueden persistir; no satisfacen, simultáneamente, las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera en las paredes de la cavidad. 7. Cierto. Al disminuir la temperatura, disminuyen las pérdidas de energía por efecto Joule en las paredes conductoras de la cavidad, e incrementa, según (15.51), su factor de calidad y la habilidad de la misma para sintonizar una frecuencia dada.
15.11 Cavidades rectangulares P r o p o s ic io n e s
1. En una cavidad rectangular sólo hay modos T E^^. 2. Cuando los modos son TEMWP, a * 0 en todas las paredes de una cavidad rectangular. 3. El fasor de la carga inducida en la pared y = 0, de una cavidad rectangu lar, en el modo TE10I, es Q, - - j8eadE0/n 2. 4. La capacitancia equivalente de una cavidad rectangular, Ce, sometida al modo TE101, con referencia al voltaje entre los centros de las paredes y = 0 y y = b, vale Ct = 4ead/(n2by 5. Cuando los modqg son TE¥NP, y ningún índice es 0, K ^ 0 en todas las paredes de una cavidad rectangular. 6. La magnitud del fasor de la corriente que circula por la pared x = 0, de una cavidad rectangular, en el modo TE101 es |/| = 2 |l 0|/(^aíü101). 7. La componente longitudinal de la densidad volumétrica de la corriente de desplazamiento es 0, en una cavidád rectangular, cuando los modos son TEaíav 8. En los modos TEMW, de una cavidad rectangular, É » 0. 9. La onda-electromagnética está-polarizada- eircularmente en el-modo T-Ejo,de una cavidad rectangular.
Guías de onda y cavidades resonantes / 677
Í0. El vector de Poynting de un modo resonante no es normal a las paredes de una cavidad rectangular. 11. Hay un conjunto continuo de frecuencias resonantes en una cavidad rectanguiar. ' 12. En las cavidades rectangulares pueden coexistir modos diferentes, de iguales frecuencias de resonancia. 13. Si en una cavidad rectangular se introduce una onda electromagnética cuya frecuencia es igual a una de las de resonancia de aquélla, la onda des aparece prácticamente después de transcurrido un tiempo mayor que cinco veces el período de oscilación de la misma. 14. El índice P puede ser 0, en modos TEWAÍp, en las cavidades rectangulares. 15. Ninguna onda electromagnética, cuya frecuencia sea mayor que la de resonancia del modo de índices M, N y P, en una cavidad rectangular, puede persistir dentro de ésta. 16. Si la frecuencia de la onda electromagnética coincide con una de las de resonancia de una cavidad rectangular, la onda resultante dentro de ésta es “estacionaria”. 17. Las frecuencias de resonancia de una cavidad cúbica, de lado a, se redu cen a la mitad cuando el lado de ésta se duplica. 18. En una cavidad cúbica se cumple que ct)02S = (Om. 19. Si 2b < a, en una cavidad rectangular, la frecuencia angular de resonancia mínima de los modos T E ^p es ú)I01. 20. Si a = 2b = d, en una cavidad rectangular, los modos TEMNP con menores frecuencias de resonancia son los de índices 101 y 111. 21. La frecuencia angular de resonancia electromagnética es menor que la de resonancia acústica, en una cavidad rectangular llena de aire. 22. La longitud de onda en una cavidad cúbica, de lado a, sometida al modo TE10I, es igual a la diagonal de una dé las caras de aquélla. 23. Si la longitud de onda de una cavidad cúbica sometida al modo TE!01 es 0,141 [m], el lado de aquélla vale 0,2 [m]. 24. La velocidad de fase de una onda que resuena en una cavidad rectangu lar es infinita. 25. Las energías potenciales eléctrica y magnética medias son iguales entre sí, eri las cavidades rectangulares sometidas a modos TEy^p.
6 7 8 / Teoría electromagnética
26. La energía electromagnética media almacenada en una cavidad rectangu lar sometida al modo TE10, es < U, > = eabd\E0f /S. 27. Al duplicar el lado de una cavidad cúbica sometida al modo TE10j, la energía electromagnética media almacenada se cuadruplica. 28. Si las paredes de una cavidad cúbica, de lado a y sometida al modo TE'i01, tienen una resistividad superficial, Rs, la potencia media total disipada en aquéllas es
1. Falso. Én una cavidad rectangular pueden existir, así como en las guías de onda, modos TE y TM; las intensidades de los campos respectivos pueden hallarse como las ondas “estacionarias” que resultan de combinar las ondas
Guías de onday cavidades resonantes / 6 7 9
“más” y “menos”, que se propagan en la guía de onda rectangular y son perfectamente reflejadas por las paredes de la cavidad. : 2. Falso. Es 0 en las paredes z = 0 y z - d, pues E no tiene componente nor mal a éstas en los modos TEMAi7>. 3. Cierto. La carga inducida en esa pared se deduce de (15.52), de donde calcula al sustituir MNP por 101; vale
sé
■ • ■71X . 7tz , . sen-—sen-—-dxdz n . Q. ■d .8eadEn
(15.72)
4. Cierto. Como E sólo tiene componente Éy en la cavidad sometida al modo TE101, según (15.52), en ésta sé inducen cargas de magnitudes iguales y sig nos opuestos en las paredes y = 0 y y - b, deducibles de (15.72). El voltaje de referencia, hallado a partir de (15.52) en donde Ey se calcula al sustituir .MNP por 101, x por a/2 y z por d/2, y la capacitancia equivalente de la cavi dad son, entonces V
] % dy =
Q _ 4Ead = 2M a y c r ~V~ n-b
5. Cierto. H tiene para todos los valores admisibles de M, N y P, según (15.53), componentes tangenciales a las seis paredes de la cavidad, que ori ginan en éstas, de acuerdo con (15.11), corrientes superficiales. 6. Falso. La expresión es dimensionalmente falsa. La corriente inducida en esa pared se deduce de (15.53), en donde se advierte que H sólo tiene com ponente en la dirección del eje Z y se calcula ál sustituir MNP por 101; vale :|r= 0
fj.aú)]0] o
sen ™ d
1 Ha(úm
7. Cierto. Esa componente es edE./dt, y en modos TEMA,F—véase (15.52)-— E. es 0. 8. Falso. Ya que E* H_ = EXH_X+Eyf i y = EXH_X- E xH_x =0, como se deduce de (15.52) y (15.53). 9. Falso. Aunque en los artículos 14.0.18, 14.0.19, 14.0.20 y 14.0.21 se defi nió el concepto de polarización para el caso de una onda PUM que se pro paga a lo largo del eje Z, esta noción podría extenderse a ondas cilindricas o
6 8 0 / Teoría electromagnética
esféricas que se propagan en direcciones radiales. Forzando la analogía y aplicando (14.30), podría decirse que la onda está polarizada linealmente en el modo TEi0] de una cavidad rectangular, ya que la £ carece de parte real y sólo tiene componente en la dirección del eje Y. 10. Cierto. Como E es normal y H es tangencial a las paredes de una cavidad ideal, ya que las componentes tangencial de £ y normal de H a aquéllas son nulas, S resulta ser tangencial a las paredes de la cavidad, puesto que, según (6.3), su dirección es perpendicular a las de E y H. 11. Falso. Las frecuencias de resonancia de una cavidad rectangular consti tuyen, de acuerdo con (15.56), un conjunto infinito y discreto. 12. Cierto. En una cavidad cúbica, por ejemplo, los modos TE y TM de ór denes 113, 131 y 311 tienen iguales frecuencias de resonancia. 13. Falso. Cuándo hay coincidencia en las frecuencias, como se afirma, la onda persiste indefinidamente y sin atenuación dentro, de la cavidad rectan gular ideal. Sin embargo, si la cavidad no es ideal y tiene pérdidas, se puede considerar que la onda se desvanece después de transcurrido un lapso supe rior a cinco constantes de tiempo. La constante de tiempo, inversa de la constante de atenuación en el tiempo, es directamente proporcional al factor de calidad, <2, de la cavidad. 14. Falso. Ya que E y H serían nulas simultáneamente, de acuerdo con (15.52) y (15.53), cuando P = 0. , 15. Falso. Puede persistir la onda cuya frecuencia coincide con alguna de las de resonancia de la cavidad, aunque sea mayor que la de los índices propuestos. 16. Cierto. Si no hay coincidencia, la onda se desvanece dentro de la cavi dad; cuando la hay, la onda resultante es “estacionaria” en las tres direccio nes principales de la cavidad, debido a que las paredes se suponen perfecta mente conductoras y la reflexión de la onda en éstas es perfecta* 17. Cierto. Ya que las frecuencias de resonancia de la cavidad, deducidas de (15.56), son f
_
Jmnp.
^ M NP
2n
_ w
2a
-(m 2 + n 2 + > ’)''
18. Falso. De (15.56) resultan (0n
W Í3 \l a{ns)‘
/2
y ^104
n ->717 1/2 ^ *^023 a(ne)
Guias de onda y cavidades resonantes / 681
19. Cierto. M y N no pueden ser iguales a 0 al tiempo, ya que según (15.52) y (15.53) E y H se anularían simultáneamente, y P debe ser mayor que 0 por la misma razón; además, cuando 2b< a, el valor mínimo de (úMN en una guía rectangular es £ü10, según se demostró en la proposición 15.6.12. En conse cuencia, -|l/2 -)l/2 71V ( Pk 1/2 (pe)(o)w)' + = CÚ, L = M ~d~l -
Conviene mencionar que la descripción de un modo TEMNP no es única y depende del eje elegido como dirección de propagación del modo T E ^ de la guía de onda. 20. Falso. De (15.56) se deduce que las frecuencias de resonancia de los modos TEon, TE20i y TE,02 son menores que la del TEUI; en efecto, f n = c ^ / ( 2 a ) y /o., = f m = ¿ 0 2 = cV5/(2fl). 21. Falso. La frecuencia de resonancia de un modo cualquiera és directa mente proporcional a la velocidad de fase de la onda respectiva que se pro paga libremente en el aire, como se sigue de (15.56), y esta velocidad es ma yor en la onda electromagnética que en la acústica. 22. Cierto. De (15.56), resulta Al0, =flV2
(15.73)
que es igual a la longitud de la diagonal de una cara cuadrada, de lado a. 23. Falso. De (15.73) resulta a = 2'l/2A]OI =0,1 [m]. 24. Cierto. Es infinita, como corresponde a ondas “estacionarias”. 25. Cierto. Aunque puede confirmarse directamente desde (15.52) y (1-5.53), tomando en cuenta (15.56), es más simple recordar que en una cavidad re sonante las ondas electromagnéticas resultantes son “estacionarias”, y que la igualdad propuesta de energías es típica de estas ondas. Obsérvese, además, que la energía electromagnética de la cavidad es constante y se intercambia periódicamente entre los campos eléctrico y magnético. 26. Falso. Las energías eléctrica y magnética medias almacenadas en la cavi dad son iguales entre sí, ya que las ondas resultantes son “estacionarias”; por tanto, la energía media total almacenada en el modo TE101, tomando E de (15.52), es
6 8 2 / Teoría electromagnética
/*
< V, >■= 2
-•.<£/>=-
2 7TX
2 7TZ
eató|£0f'
.
2
,
sen — sen — dxdydz a d O•/ OV o (15.74)
. ■
27. Falso. Se jnultiplica por ocho, de acuerdo con (15.74). 28. Cierto. La pérdida en una de las paredes de la cavidad puede calcularse, aproximadamente, a partir de la corriente superficial que circula por ésta cuando es perfectamente conductora; esa corriente se obtiene de la compo nente de H tangencial a la pared. Por tanto, la potencia media disipada en las seis paredes es ■
; =*.{£í
‘M
f fer
donde el primer término es la disipación en las paredes z = 0 y z = á; el se gundo, la disipación en las paredes: x = 0 y x = a; y el tercero, la disipación en las paredes y = 0 y y = a. Además, de (15.53) y (15.56) salen tíx nz . nx itz\ 7ty/2 ¿ = _ Í 5 £ . ' ixsen — eos----- t.cos — sen—-- y £UI0I = -— v. a a ■ a a J [fie) a
que, al sustituirlas en las integrales anteriores y evaluar éstas, permite deducir (15.75) Tf 29. Falso. La potencia disipada no es proporcional ai cuadrado del lado de la cavidad; en efecto, de (15.25), (15.56) y (15.75) se obtienen ( ■■■„>1/2 "\ ncfic ttcV2 _ r ^10] >Rs a 30. Falso. El factor de calidad de la cavidad se deduce al llevar (15.56), (15.74) y (15.75) a (15.51); resulta ■J2nr} ~6r T
(15.76)
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 8 3 ;
donde Rs, según la proposición anterior, depende del lado de la cavidad. 31. Cierto. De (15.25), (15.56) y (15.76) se deducen ,
n j2
y/2
= 2,194x10'2 [&] 7
42717} ■a= 6 ñ c = 1,27 x 104 32. Falso. De (15.25), (15.56) y (15.76) resultan
1/2 Rs =
^ 2g c ,
f k
2 7t7] _ 2 71 6Rs ~ 6
1/2
2'/27T {¡i'ne'na) f
2¿Tc ,
1/2
1/2 ( 4
í 2§c)
[
n e 'n u '\
2U2n
' V
j
i f .2 n Y a 2') ■ « Y 2gc 6 £ ".'y \
,1/2
donde se observa que el factor de calidad disminuye al aumentar la permitividad del dieléctrico. 33. Cierto. Si se supone que la permeabilidad de las paredes no permeables es la misma dél vacío, la resistividad superficial de aquéllas y el factor de calidad de la cavidad se calculan con (15.25), (15.56) y (15.76): f Rs =
7 Í C llc
ge.¿
101
V/2 = 5,441X10-2 [Q] y <2 -
= 5;i3 x 103
j
34. Falso. Si se supone que la permeabilidad de las paredes no permeables es la misma del vacío, la conductividad y la resistividad superficial de aqué llas, y el factor de calidad de la cavidad se deducen de (14.25), (15.25), (15.56) y (15.76): gc = 71C¡Xc 8 ' = 8,4 4 3 x l 0 6 [Sm-1] y R, = ^ - = 1 ,1 8 4 x 1 0 -’ [Q] gc$ _ 42.717] 4 2 tüx 20tí 2,36 x10 a 0,1184 ~~6r 4 35. Falso. A mayores valores de la resistividad superficial de las paredes conductoras de la cavidad, mayores son las pérdidas y la atenuación de la onda, por lo que ésta se desvanece con mayor rapidez; en consecuencia, de acuerdo con (15.51), es menor el factor de calidad. Si las pérdidas fuesen nulas, esa atenuación sería 0 e infinito el factor de calidad.
6 8 4 / Teoría electromagnética
15.12 Cavidades cilindricas circulares P r o p o s ic io n e s
1. En una cavidad cilindrica circular no hay modos TE01/>. 2. El orden N, M, P, usado al denominar los modos resonantes de una cavi dad cilindrica circular, no coincide con el orden cíclico r, (p, z, de las coorde nadas. 3. El índice P puede ser 0, en los modos TEWJWP, en las cavidades cilindricas ■circulares. 4. La carga superficial, o, es 0 en las tapas de una cavidad cilindrica circular sometida a modos TEnmp. 5. La corriente superficial es 0 en las tapas de una cavidad cilindrica circular sometida a modos TEwaíí. 6. En la superficie lateral de una cavidad cilindrica circular, sometida a mo dos TE0Aíp, es 0. 7. La corriente superficial circula por la unión de la superficie lateral y las tapas, en una cavidad cilindrica circular sometida a modos TE0AÍP. 8. La superficie lateral y las tapas de una cavidad cilindrica circular, someti da a modos TE0MP, pueden estar eléctricamente aisladas. 9. La magnitud del fasor de la corriente qu$ circula por la pared r = a, de una cavidad cilindrica circular, es |/| =■4d\Aa\j'0(fic a)/7i en el modo TE011. 10. Las intensidades del campo electromagnético en una cavidad cilindrica circular dependen de la coordenada angular
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 8 5
16. Es posible construir una cavidad cilindrica circular cuya frecuencia de resonancia sea de 60 [Hz]. . , 17. Si la frecuencia de resonancia del modo TE02I es 1,0 x 1010 [Hz], en una cavidad cilindrica circular llena de aire, y de radio a = 0,035 [m], las tapas de ésta están separadas 0,052 [m]. 18. Si una cavidad cilindrica circular llena dé aire resuena en el modo TE011 a la frecuencia de 3 [GHz], y se sustituye el aire por un dieléctrico, de cons tante dieléctrica 2,56, la frecuencia de resonancia en el mismo modo cambia a 4,8 [GHz]. 19. Si las frecuencias de resonancia de los modos TE m y TEon son iguales, en una cavidad cilindrica circular llena de aire, a 3 [GHz] y 3,5 [GHz], el radio y el largo de la cavidad son 0,089 [m] y 0,053 [m]. : 20. Si la longitud de onda de resonancia del modo TEln, en una cavidad cilin drica circular en la qued = 2c, es de 0,2 [m], el radio de ésta vale 0,055 [m]. 21. La energía electromagnética media almacenada en una cavidad cilindrica circular, sometida al modo TE0I1, es
ne^cú^ard
Pe
\d U : ( P c «)
22. Al duplicar, simultáneamente, el radio y la longitud de una cavidad ci lindrica circular sometida al modo TE01), la energía electromagnética media almacenada se multiplica por ocho. 23. Si las paredes de una cavidad cilindrica circular, sometida al m odoTEon, tienen una resistividad superficial,\RS, la potencia media total disipada en aquéllas es
na: d ?oi¿ ,
24. El factor de calidad de una cavidad cilindrica circular, en la que d = 2a = 0,12 [m], sometida al modo TE01), con aire como dieléctrico y paredes de cobre, para el que gc - 5,8x107 [Sm''] y ¡xc = 4zrxl0'7 [Hm'1], es 4,0 x 104. 25. Si la longitud de onda en resonancia y la conductividad de las paredes no permeables de una cavidad cilindrica circular, en la que d ~ 2a, sometida al modo TE01I y con aire como dieléctrico, son iguales a 0,1 [m] y 4x 107 [Sm-1'], el factor de calidad de aquélla vale 4,54 x 104.
6 8 6 / Teoría electromagnética
26. Si la longitud de onda en resonancia y la profundidad piel de las paredes no permeables de una cavidad cilindrica circular, en la que d = 2ú, sometida al modo TE011 y con aire como dieléctrico, son 0,015 [m] y 1 x 1CT6 [m], el factor de calidad de aquélla vale 3,0 x 104. 27. Una cavidad cilindrica circular es un dispositivo apropiado para medir frecuencias. S o lu c io n e s
1. Falso. Sí existen, y las frecuencias de resonancia respectivas se deducen de (15.61), donde ^01 =3,832 es la primera raíz no nula de j'0{fic a) = 0; no hay modos TEW0P, en cambio, porque la primera raíz de j'N(Pca) = 0 se designa con el índice 1 y no con el 0. 2. Cierto. N se refiere al orden de la función de Bessel y está asociado con la coordenada (p; M está ligado con r, y P con z. 3. Falso. Porque E y H son nulas, de acuerdo con (15.57) y (15.58), cuando P = 0. ; 4. Cierto. En esos modos E no tiene la componente E1—como se advierte en (15.57)— responsable de inducir la carga superficial en las tapas de la cavidad. 5. Falso. Se advierte en (15.58) que H tiene componentes tangenciales a las tapas de la cavidad, las cuales inducen corrientes superficiáles en éstás. 6. Cierto. 2^ depende directamente, en esa superficie, de H v, y ésta es 0 en modos donde N = 0, según (15.11) y (15.58). 7. Falso. K, = 0 y Kr = 0 en la superficie lateral y en las tapas de la cavidad, respectivamente, debido a que ambas corrientes dependen directamente de Hq» y ésta es 0 en modos donde A^ = 0, según (15.11) y (15.58); es decir, la corriente superficial que circula por las paredes de la cavidad en esos modos sólo tiene la componente Kr 8. Cierto. No se requiere un buen contacto eléctrico entre las paredes citadas ya que, según se estableció en la proposición anterior, la corriente no circula entre éstas; el contacto tiene que ser muy bueno, en otros modos, para evitar grandes pérdidas. 9. Falso. La corriente inducida en ésa pared se deduce de (15.58) a partir de
Guías de onda y cavidades resonantes / 6 8 7
•V *j = :-2 |íí.t/,(^ )
4 ...= 1 ,f e - •''»*! =j,
ftz ^ 4d\A0\j0(l3ca) sen-j-¿z =
10. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Para satisfacer las ecuacio nes de Maxwell y especialmente la de Helmholtz en el interior de la cavidad, las intensidades de los campos electromagnéticos en ésta dependen de r, (p y z, como se advierte en (15.56) y (15.57); sin embargo, rio dependen de
^ w =í ^ r 2n 2na.
9mi
ÍP n a Y ^ d ,
1/2
(A * r . 2na
(P n V C2 /
1/2
15. Cierto. Como el menor valor de qjVMes qu =1,841, de acuerdo.con la tabla 15.1, y, P > 0, para que, según (15.57) y (15.58), EyH_no se anulen, entonces Qm + ’Pn
- 1/2
•= W
2.
^+Ví-d
a2
= 0) ,
16, Falso. Resultaría una cavidad de dimensiones formidables debido a los elevados valores de. (lis)~l/- e imposible de construir. Supóngase, por ejem plo, que d = 2a, en la cavidad, que el modo es TE)n, correspondiente a la menor frecuencia de resonancia, y que el aire es el dieléctrico; de (15.61) se obtiene
688
/ Teoría electromagnética,
-
1/2
, ( ttY
* 1,93 xlO6 [m]
En las bajas frecuencias se usan circuitos resonantes de parámetros concen trados. 17. Cierto. La distancia entre las tapas de la cavidad, para que resuene en el modo TE02I, se deduce de (15.61): d=n
[l
O: ^ / o2,N í q° ~ T / C' / l a )
-
1/2
= 0,052 [m]
18. Falso. Ya que {fou)f = (£ /e/ )''2(/oíi ), - 3 /1,6 = 1,88 [GHz] , como se deduce de (15.61), y donde los subíndices i y/designan la situación inicial y la final. 19. Cierto. Como, de la tabla 15.1, qu =1,841 y qm =3,832, de (15.61) se de duce que 1/2
? 0 l/lll
na ~T
fo n
,
í r Y 1-
= 5,281 y a =
J 111
f n ay% + vd )
2
-il/2
= 0,089 [m]
fo n
.-. d = 0,053 [m] 20. Falso. El radio de la cavidad para que resuene en el modo TEm se dedu ce de (15.61): 1/2 Y_ ' “m * f na = 0,077 [m] 2n ?"‘ +l T 21. Cierto. Obsérvese que £(*>)„,, =% [2;doiu£t)oll/¡(/3cr)sen(^z/d)]//3c , la cual se deduce de (15,57), para el modo TE011. Como las energías eléctrica y magnética medias almacenadas en la cavidad son iguales entre sí, ya que las ondas resultantes son “estacionarias", la energía media total en el modo es 2e fj,2co0
(2nrdrdz)
-\A ¿ ¡
~ J T
:.< V ,> = nStl'a' £ a'í \A $ j: { p ca)
0.M0.L
(15.77)
Guías de onda y. cavidades resonantes / 6 8 9
donde se tomó en cuenta que
/.(fe*)—j, (p
a
jifa
)-o y-jrj / f a ) * < i j j ! ¿ f a )
(15.78)
22. Cierto. De (15.47), (15.61) y (15.77) salen «on = / \l/2 9o, i{Lie) [_ .. /<
rna^ ~ d)
y
t ¡c = -
j V ' ..? ? \A0f J ; ( $ ca) = ^afl2d|40f / 02(?0]| l +
f na n2 ^
9o,^
23. Cierto. De (15.58) y (15.47) se deduce, para el modo TE0U en la cavidad, nz rr/ y v . ’i.naA 0 , ( q otí'l co s— - lz.2jA 0Jo í 90,?" l sen S-yTJon ~~lrJ j J( tí "
l a J
[ “ )
tí
Con un procedimiento semejante al usado en la proposición 15.12.28, y to mando en cuenta (15.78), se calcula la potencia media disipada en las pare des de la cavidad:
2a r n a v
« sU .lV .!(í.,)
(15.79)
Ki«d:l j donde el primer término es la disipación en la superficie lateral, y el segun do, la disipación en las tapas. 24. Falso. La frecuencia angular de resonancia del modo y la resistividad superficial de las paredes salen de (15.61) y (15.25); son o“ 1/2 / náP 1/ ®o„ =• í(/xe)1 9o/ + k a ) = 2,071x10'° [Hz] r \ in = 1,498x10"2 [Ü] Rs = • 2ge. El factor de calidad de la cavidad, deducido al sustituir (15.77), (15.79) y (15.61) en (15.51), y usar los resultados anteriores, es
690 /
Teoría electromagnética
£ =
f n U
&
1
f na)
0
%
+ .
J
d
2" 3/ 2 ,
,
2
a ( na']
*7. , d
r
2“
= 5,21 xlO4
(15.80)
,
25. Cierto. Si se supone que la permeabilidad de las paredes no permeables es la misma del vacío, la resistividad superficial de aquéllas y el factor de calidad se deducen de (15.25) y (15.80); son r
y/a 7 tC H c
= 1,721 xlO'2 [SÍ]
•Sc^oII ?o,2+
(na)
2 "
3/2
2 "
•H;í; 2a ( n a ] ; +T Í t J
, d ,
=45360
26. Falso. Al suponer que la permeabilidad de las paredes no permeables es la misma del vacío, la conductividad y la resistividad superficial de aquéllas, y el factor de calidad de la cavidad, se deducen de (14.25), (15.25), (15.61) y (15.80); son : ge =
= .1,267'x 107 [Sm'1] y R,
nciic8-
gc5
3/ 2
o
J _
_!
Id
__
,
_J
k
+
O
__
•£ = í ~77 - ) ?o,2+ —
,
2a f na)
1 +
0
v d
= 7,893 xlO '2 [Q]
2~
= 9,89xlO3
27. Cierto. Las cavidades cilindricas circulares se caracterizan por tener fac tores de calidad muy elevados •—puede confirmarse en las proposiciones 15.12.24, 15.12.25 y 15.12.26— y ello es indispensable para obtener exacti tud y alta resolución al medir una frecuencia desconocida; cuando la cavidad sintoniza o resuena con esa frecuencia, absorbe la máxima potencia y ello puede ser detectado. Además, como, las corrientes superficiales que circulan por las paredes de la cavidad en el modo TEon sólo tienen la componente K¡p, de acuerdo con la proposición 15.12.7, una de las tapas puede construir se como un corto móvil para modificar la distancia d y las frecuencias de resonancia del dispositivo, sin incrementar las pérdidas, y ampliar así el ran go de operación. Conviene advertir, sin embargo, que como el modo TEon no es el dominante, y el TMin tiene igual frecuencia de resonancia, hay que tener cuidado al elegir el sistema de acople para evitar que otros modos re suenen en la cavidad.
Radiación
En este capítulo, a menos que en algún párrafo se informe lo. contrario, se suponen antenas formadas por conductores ideales, inmersos en medios materiales descargados, lineales, homogéneos e isotrópicos, de parámetros s, g y p, que se suponen independientes de la frecuencia, y que funcionan en un régimen perm anente en el tiempo, de tipo senoidal.
16.0 Definiciones, consideraciones generales
y
fórmulas
1. Radiación. La radiación es el transporte de energía electromagnética por el espacio a través del campo y ya se consideró al estudiar las líneas de trans misión, la propagación de las ondas PUM y las guías de onda; ocurre inclusi ve, de acuerdo con el teorema de Poynting, en condiciones estacionarias. En un sentido estricto, el término designa el transporte de energía electromag nética entre fuentes y receptores finitos, sin guías materiales que la orienten o dirijan. 2. Antena. Una antena es un dispositivo, usualmente metálico, usado para radiar o recibir ondas electromagnéticas; además, es una estructura interme dia y de transición entre el espacio libre y un sistema para dirigir ondas, como una línea de transmisión o una guía de ondas, que transporta energía electromagnética desde la fuente a la antena o desde la antena al receptor. Aunque las antenas pueden tener formas muy variadas, son comunes las rec tas o lineales, basadas en el dipolo eléctrico radiante, y las cerradas (véase figura 16.1). 3..'Ecuaciones del campo. Si en una región finita del espacio, de volumen V' que constituye el radiador, hay distribuciones arbitrarias de carga y corriente que varían con la posición y el tiempo, p ' (r',t') y J ' fuera de esa región no hay cargas ni corrientes, y en todo el espacio, tanto en. F'com o fuera de éste, los materiales son lineales, homogéneos, isotrópicos y sin pérdidas (véa
6 9 2 / Teoría electromagnética
u n a a n t e n a l i n e a l , b a s a d a e n e l d ip ó lo e l é c t r i c o r a d i a n t e ; e n ( b ) , u n a a n t e n a c i r c u l a r .
se figura 16.2); entonces, en todo el espacio se cumplen, deducidas de (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20), •i.-';. £ ■ Vx£ =
(16.1)
. '
dH dt ■
(16.2)
V*H =0
(16.3)
. dD V x i í = J + e ---J dt
(16.4)
4. Potenciales retardados del campo. En las regiones definidas en el articu ló anterior, las propiedades E y B del campo electromagnético pueden obte nerse, según (4.3) y (4.4), de sus respectivos potenciales: E
V $-
dA m dt
(16.5)
B = 'V xÁ m ; ;
■
(16.6)
Y si se usa la condición de Lorentz, ecuación (4.5), esos potenciales satisfacen ..=
.................
......... ... ...... .............................. (16.7).
,. R ad iación / 6 9 3
P(r,t)
Figura 16.2 Antena radiante. Radiador arbi trario, de volumen V', con cargas y corrien tes que varían con el tiempo y la posición, de densidades p’ (r', t") y J'(r', f') : En un punto arbitrario del espacio, P(r, t), se cal culan las intensidades del campo electro magnético debido al radiador.
- fie
d 2Am.
(16.8)
d t2
cuyas soluciones 0 { r , t) = r—r
AÁr>t)=
dV
E Ú Ílíljy'
. 4 n \r —r
(16.9)
(16.10)
donde las variables primadas se relacionan con el radiador y las no primadas con el punto de observación, se conocen cómo potenciales retardados (véase figura 16.2). Los tiempos, t del punto de observación y t' del punto radiante, se relacionan con t = t' + (ne)in\r -r '\
(16.11)
5. Potenciales fasorialés retardados del campo. Cuándo el campo electro magnético varía en el tiempo en forma senoidal, en función de una frecuen cia angular, (o, de acuerdo con (12.1) pueden definirse, para los potenciales retardados del campo, los fasores
(16.12)
que son cantidades complejas. (16.9) y (16.10) se transforman, entonces, en
694 /
Teoría electromagnética
Figura 16.3 Potencia radiada. C á lcu lo de la poten cia radiada por una antena co lo ca d a en el origen dé coordenadas, a través de la superficie de una e sfe ra de radio r.
&(r)= á .M =
p í r 'y * - ' I 4 n e \r -
(16.13)
dV'
r '\
47r|r-r1
(16.14)
dV'
y determinan la onda electromagnética “más”, o incidente, que se propaga en dirección radial. La onda electromagnética “menos”, o reflejada, se ob tiene de la anterior al sustituir j6 por -/J. 6. Potencia radiada por una antena. La potencia media temporal radiada por una antena, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, y en la cual la corriente varía en el tiempo en forma senoidal, en función de una frecuencia angular, a>(véase figura 16.3), es < P > = Re{P} = j>< S > »dA = £ J
Re{Sr}r2sen6 d(pd9
(16.15)
7. Zona dé radiación de una antena. La zona o región de radiación de una antena, cuya longitud máxima es l, está tan alejada de la antena, por defini ción, que en aquélla r » l; por tanto, en esa zona se acepta que ..... : (Pr)~N « l ~ 0, para N > 2
..’- - ....................... ;........ .....
.,..... (16,16)
Y las intensidades del campo electromagnético son transversales o TEM. 8. Radiador isotrópico. El radiador isotrópico, por definición, es la antena hipotética que radia uniformemente en todas las direcciones; una fuente
R ad iación / 6 9 5
puntual, que aunque ideal no es físicamente realizable, es un ejemplo de ese tipo de radiador. En tal radiador, por tanto, el vector de Poynting, expresa do en coordenadas esféricas, depende de la distancia radial y no de las coor denadas angulares. ; 9. Antena direccional. La antena direccional radia'o recibe energía electro magnética con más intensidad en unas direcciones que en otras, y su vector de Poynting, expresado en coordenadas esféricas, depende de la distancia radial y las coordenadas angulares. 10. Ganancia directiva. La ganancia directiva de una antena, D(6, (p), una magnitud adimensional, se define como la razón, en la zona de radiación, entre las componentes radiales medias de los vectores de Poynting de aqué lla y del radiador isotrópico que emite la misma potencia total; es decir, D(e,cp)=-
< S {r,6 ,(p,t)> < s, > is o tró p ic o
< Sr (r,9,(p,t)>
(16.17)
Esta definición permite eliminar la dependencia de la coordenada r, apreciar cómo depende de las coordenadas angulares el vector de Poynting promedió de la antena y observar las características direccionales de la misma. 11. Directividad. La directividad de una antena es el valor máximo de la ganancia directiva. Es igual a la unidad, en el radiador isotrópico; en las demás antenas es mayor. 12. Patrones de radiación de una antena. Un patrón de radiación de una antena es la representación gráfica, plana o tridimensional, de alguna de las propiedades radiantes de aquélla, como las intensidades fasoriales del campo electromagnético, el vector de Poynting promedio o la ganancia directiva, en función de las coordenadas angulares; el sistema de coordenadas de uso más común es el esférico, su origen se hace coincidir con el centro de la antena y el eje Z es vertical o se orienta de acuerdo con la simetría que ésta presenta. En muchos casos, el patrón se define para la zona de radiación y se represen ta en función de las coordenadas angulares o direccionales; por las. formas típicas que resultan, las porciones de un patrón entre ceros consecutivos del mismo se llaman lóbulos (véase figura 16.4). 13. Patrón de la ganancia directiva. Es el patrón de radiación que corres ponde a la representación gráfica de la ganancia directiva de una antena, dada por (16.17); en este patrón, D(6, (p) es la distancia al origen de coorde nadas (véase figura 16.4).
6 9 6 / Teoría electromagnética
Figura 16.4 Patrón de radiación dé la ganancia directiva en el plano YZ, correspondiente a una antena lineal. La diréctividád, o máxima ganancia directiva, se'presenta en el plano XY, donde 6 = n/2. El ancho del lóbulo es el ángulo entre las direcciones en las que la ganancia directiva es Igual a la mitad de la diréctividád.
14. Ancho del patrón de la ganancia directiva. El ancho del patrón de la ganancia directiva de una antena, por definición, es el ángulo que hay, en un plano que contiene el eje Z y la dirección en que se presenta la diréctividád de la misma, entre las dos direcciones para las cuales la ganancia directiva es igual a la mitad de la diréctividád (véase figura 16.4). Este ancho delimita, a partir de la antena, la región del espacio por donde se propaga la mayor parte de la potencia emitida por aquélla. ~ 15. Resistencia a la radiación de una antena. Toda antena tiene una impe dancia de entrada; ésta es igual a la razón entre el voltaje y la corriente en los terminales de la antena, o entre las componentes apropiadas de E y H en el punto elegido. Esa impedancia es, a su vez, la de carga de la línea de transmisión que alimenta la antena. La parte resistiva de la impedancia de entrada de la antena tiene dos componentes: una representa las pérdidas de la antena, cuando ésta no es perfectamente conductora, la otra es la resisten cia á la radiación de la antena (véase figura 16.5). Esta última corresponde al mecanismo mediante el cual la potencia se transfiere, desde la línea de transmisión que alimenta la antena, hacia el espacio libre, y se calcula, to mando en cuenta la potencia media total radiada por la antena al espacio, con .......
RR
2< P >
( 1 6 .1 8 )
R ad iación / 6 9 7
' ' (a)'. .
. (b)
C. (c)
Figura 16.5 Impedancia de úna antena. En (a) se observa una antena transmisora conectada a una línea de transmisión y que emite Una onda electromagnética. La antena representa una carga para la línea en los terminales c-c, de impedancia Zc; esa carga tiene una parte reac tiva, XA, y otra resistiva formada por la resistencia a la radiación, Rn, y la que corresponde a las pérdidas en la antena cuando ésta no. es perfectamente conductora,
donde 1101 es el máximo de la corriente que circula por la antena, el cual no siempre coincide con la amplitud de la corriente en los terminales de la misma. 16. Dipolo eléctrico radiante e ideal. Ün dipolo eléctrico puntual y radiante está formado por dos cargas puntuales, de magnitudes iguales a q y sentidos opuestos, unidas con un hilo conductor, de longitud l, que no tiene resisten cia ni capacitancia eléctricas; si el vector / representa la distancia vectorial entre la carga negativa y la positiva, el momento del dipolo eléctrico puntual está dado por (2.18): p(t) = lim^(í)Z ' O Como la corriente en el alambre que conecta las cargas es uniforme, ya que aquél se supone sin capacidad, y está relacionada con la variación en el tiempo de éstas, según la ley de la conservación de la carga, ecuación (3.21), por i = dq/dt, el dipolo eléctrico puntual puede considerarse, entonces, equivalente a un elemento puntual de corriente (véase figura 16.6), de momento dt
—il
(16.19)
17. Campo electromagnético del dipolo eléctrico radiante ideal. Si el ele mento de corriente, equivalente al dipolo eléctrico puntual, se pone en el origen de coordenadas, se usa un sistema de coordenadas esféricas cuyo eje Z tiene la dirección de la corriente, y ésta varía en el tiempo en forma senoi dal, en función de una frecuencia angular, co, entonces (16.14) se reduce a
698 /
T eoría electromagnética
z
Figura 16.6 Dipolo radiante. Dipolo eléctrico, radiante e ideal, cuyo,moménto de corriénte es il, ubicado en el origen de coordenadas y orientado en la dirección del eje Z.
(16.20)
Á m= K ^ - ----, para r > 0 4 nr
que es el fasor del potencial vectorial magnético debido al dipolo ideal, y donde 70 corresponde al fasor de la corriente uniforme que fluye por el ele mento (véase figura 16.6). Con el uso de las formas fasoriales de (16.6) y (16.2), para r > 0 se obtienen __ ’ __ H =- V x 4 . = -i A*
An
senfl
1 jp r
1 (j p r )*
(16.21)
E = — V xH = - i L L L ) i 2cos0 +■ ;cue 4?r (jP rf (jP r )3
47T
1 jp r
1 (jpr)-
-
1 (jp r)3
-jPr
(16.22)
\!/2
P = (ü{iié)w y
77 =(
j
(16.23)
Las intensidades fasoriales del campo electrom agnético en la onda “ menos” , o reflejada, se deducen de las anteriores expresiones al sustituir P y rj p o r P y
-n-
R ad iación / 6 9 9
kz
Figura 16.7 Patrón de radiación para la . ganancia de un dipolo eléctrico puntual.
18. Potencia radiada por el dipolo eléctrico radiante ideal. Al sustituir (16.21) y (16.22) en (14.33), y esta última en (16.15), la potencia media ra diada por un dipolo eléctrico ideal resulta ser, para r > 0,
l- ■ 12n
(16.24)
líb Campos del dipolo eléctrico radiante ideal en la zona de radiación. Las intensidades fasoriales del campo electromagnético y el vector complejo de Poynting en la zona de radiación, en un dipolo eléctrico puntual, obtenidos de (16.21), (16.22) y (14.33), son
:
E ~ igjr¡ -=2—sen0
(16.25)
H
(16.26)
^ J ^ Se n 9 e ^ = i v^ -
' - = i 8 ^ Sen0
(16-27)
20. Ganancia directiva y direc.tividad del dipolo eléctrico radiante- id e a l.. La ganancia directiva del dipolo eléctrico puntual, obtenida, al sustituir (16.24) y (16.27) en (16.17), es D(e,(p) =|s e n 20 de donde se deduce que la directividad se presenta en 9 = 90° y Vale
(16.28)
7 0 0 / Teoría electrom agnética
P(r,e)
\/2
Distribución
i/2
corriente
Figura 16.8 Antena lineal, de longitud /, centralmente alimentada. El centro de la antena se ubica en el Origen de coordenadas, y aquélla se orienta en la dirección dél eje Z La distribución de corriente sobre los brazos de la antena corresponde a la aproximación de línea de transmisión.
Dm¿x = 1,5
(16.29)
21. Patrón de la ganancia directiva del dipolo eléctrico radiante ideal. En el dipolo eléctrico puntual, la representación de la ganancia directiva infor mada por (16.28) es un toroide alrededor del eje Z, de sección recta ovalada (véase figura 16.7); la directividad corresponde a 0 = 90°, y D = 0 en 0 = 0°y 180°. De (16.27) se deduce que la ganancia directiva es la mitad de la directividad cuando 0 = 45° y 135°;. en consecuencia, el ancho. del patrón respectivo es de 90°. 22. Resistencia a la radiación del dipolo eléctrico radiante ideal. La resis tencia a la radiación, R r, del dipolo ideal que emite en el aire se deduce al llevar (16.24) a (16.18). es R i, VqW p 6n
_ 807T í i y = z,
(16.30)
23. Antenas lineales. La antena lineal se supone formada por dos hilos perfectamente conductores, de radios despreciables, colineales, muy próximos entre sí y de longitudes iguales a 1/2, y está alimentada centralmente mediante una línea de transmisión (véase figura 16.8). Cuando el origen de coordenadas está ubicado en el centro de la antena y ésta se extiende a lo largo del eje Z, el potencial vectorial magnético de la misma en un punto arbitrario del espació muy distante, donde r » l , es A ( r h “ = i1 -4 —— f l(z')eifilcm Bdz n r J -í/2 -V > .
— » W |a r g *
.
.
(16.31) ; .
R ad iación / 7 0 1
Resultado obtenido al suponer que lá antena está constituida por un conjun to de dipolos ideales y colineales, cuyo elemento puntual de corriente vale I(z')dz', y sumar sobre los diferenciales de potencial vectorial magnético, da dos por (16.20), debidos a éstos. _ 24. Dipoló eléctrico real. El dipolo eléctrico real es una antena lineal en la cual el radio y la longitud de los conductores que lo forman son, muy pequeños comparados con. la longitud de onda de la radiación que emite. Si, además, la distancia, r, entre el centro de la antena y el punto donde se observa el campo electromagnético que radiales mucho mayor que las dimensiones de la misma, las fórmulas obtenidas para el dipolo ideal pueden aplicársele, con los cambios que a continuación se indican; por ejemplo, (16.20) se.reduce a A„,m \(r)/ drea| ¡p°i° --
. lllFde-jer ~iz ■,para r » l y X » l 4nr
(16-32)
donde ¿f es la corriente en los terminales o punto medio del dipolo, suminis trada por la línea de transmisión, y d, la longitud efectiva o equivalente del. mismo, está dada por - '• • 4 r
(16.33)
d es en general, en (16.33), una cantidad compleja, que corresponde a la longitud de un dipolo eléctrico en el cual el fasor de la corriente es uniforme a lo largo de los hilos que lo forman y vale ¿p. Este dipolo puede aproximarse a una antena real, sin embargo, si se supone que la corriente en todos los puntos del mismo oscila en fase. Una antena lineal corta puede considerarse un dipolo real cuando su longitud es tal que A/50 < l < A/10. 25. Distribución de la corriente libré en una antena lineal. Cuando las longi tudes de lá antena y de onda de la señal emitida son comparables, la aproxi mación dipoiar no tiene cabida; por tanto, no puede suponerse que en todos los puntos de aquélla la corriente Oscila en fase ni que se distribuye uniforme mente en los conductores que la forman. Las distribuciones de carga y de co rriente deben ser simétricas, en los brazos de la antena larga, con respecto al punto central o de alimentación, y la corriente se anula en los extremos de aquélla. Para calcular esa distribución de corriente se supone que es senoidal e igual, aproximadamente, a la de una línea de transmisión sin pérdidas de lon gitud igual a 1/2 y cuyo extremo de carga está abierto; es decir,
7 0 2 / T eoría electrom agnética
l« X
f= A/2
(a) ■■■■
:
X /2< !< X :
" ' (b)
(c)
X < ! < 3 ? J2
(d)
Figura 16.9 Corriente en la antena. Distribuciones de corriente en los brazos de una antena lineal, basadas en la aproximación de líneá de transmisión.
■ fi / 0sen ’P J. . . / 0sen (3( l
12
,V
, para 0 < z < 112
'"ll , para - 1/2
(16.34)
donde |/(, | es el máximo de la corriente que circula por la antena, y z' es la coordenada de un punto arbitrario de ésta cpn:respecto al centro de la misma (véase figura 16.9). La distribución de corriente en los brazos de la ante na difiere substancialmente de (16.34) cuando aquélla tiene pérdidas o el radio y la separación entre los brazos sori finitos y no despreciables. 26. Campos de una antena lineal en la zona de radiación. El potencial vec torial magnético de una antena lineal larga, calculado en puntos muy aleja dos de la misma, para los cuales r » l, se deduce al sustituir (16.34) en (16.31): -iflr Bl Y Bl iíh* eos | — eos 9 - eos 2Wffiséñ*9 .2 : j .... 2
(16.35)
de donde, reteniendo únicamente los términos que varían con r-1,-se obtienen
: R adiación / 7 0 3
%jn
f3l L e '* ' eos É l c o s é - eos ■ 2nrsen6 2
(16.36)
L fi» ' Pl COSÍ?Y eos eos — ¡ L ~ \] 27tr sen 6 v2
(16.37)
27. Antena de A/2. Una antena de mucho uso es la de media longitud de onda, debido a que su resistencia a la radiación, de 73,2 [£2], permite un fácil aco ple con líneas de transmisión comerciales en las que la impedancia caracte rística es de 75 [£2] (véase figura 16.8). Los campos en la zona de radiación de la antena, obtenidos al sustituir l por A/2 en (16.35), (16.36) y (16.37), son \ 71 „ COSI—COS0 2nrPsén 6 l2 - f ir
A ~i
I ae'iPr (n E ~ ¡n— -------- eos — cosoa 2nr sen0 2 „
.
(16.38)
y ÍL =i j
-j0r n Le -eos eos 6 2%rsend yj-
(16.39)
de donde se deducen, suponiendo qué la: antena funciona en el aire, el vec tor de Poynting, la potencia media emitida, la resistencia a la radiación, la ganancia directiva y la directividad: S ~ i rri
87t2r2 seríB
eos'
n. COS6: , < P > -3 6 ,6 |/0f y R„ = 73,2 [Q] (16.40) 12 Y-;. —
rn ^ COS' —eos 8 2 , (p) ~ 1,64 Y A*. « 1,64, para 0= 90° sen26
(16.41)
28. Dipolo magnético radiante ideal. Un dipolo magnético puntual y ra diante está formado por un hilo conductor, sin resistencia eléctrica o capaci tancia, que lleva una corriente filamental variable en el tiempo, /, y encierra un área plana, A; si el vector A representa vectorialmente el área encerrada por la espira, el momento de dipolo magnético puntual está dado por (3.5): m(t) = lim l(t)A donde la corriente que circula por la espira es uniforme, ya que ésta carece de capacidad, y enlaza un área que tiende a 0. Este tipo de antena es senci llo, económico y versátil, y puede tener diversas formas geométricas, aunque la de más simple análisis y construcción es la circular, (véase figura 16.10); su
7 0 4 / Teoría electromagnética
z P(r, 6)
-►y
Figura 16.10 Dipolo magnético radiante. Dipolo magnético ra diante e ideal, formado por una espira circular de radio a, muy pequeño comparado con la longi tud de onda, y que lleva una co rriente uniforme I. El momento de dipolo, m, es paralelo al eje Z, y el centró del dipolo coincide con el origen de coordenadas.
resistencia radiante es baja y por ello se emplea más como receptora que como emisora. 29. Campo electromagnético del dipolo magnético radiante ideal. Si sé supone que el dipolo magnético puntual está en el origen de coordenadas, el eje Z está orientado en la dirección de m, y que el momento de dipolo mag nético varía en el tiempo en forma senoidal, en función de una frecuencia angular, (ú, entonces (16.13) y (16.14) se convierten en 1 1
e~lf>r, para r > 0
(16.42)
donde M es el fasor del momento del dipolo magnético. De (16.42) salen E = i j a m £ setí0 1 jp r 9 An H =-
1 ,-iPr (jfir f
jcopiMp2 r i ■ ■i vi'.-'" 1 1 + ieseñó [i 2cos0 _j0r + { j0 r j + { j0 rj 47tr] _{jPr1 + { j0 rj (16.44)
(16.43)
-jP r
Los valores correspondientes a la onda “menos”, o reflejada, se obtienen de las anteriores expresiones al sustituir 0 y 7] por - 0 y -r¡.
R ad iació n
/ 705
30. Campo del dipolo magnético radiante ideal en la zona de radiación. Las intensidades fasoriales del campo electromagnético y el vector complejo de Poynting, en la zona de radiación, para el dipolo magnético radiante ideal, obtenidas de (16.43), (16.44) y (14.33), son E~%T]
Á'r
(16.45)
sen de~ií>r
itM. Q H = - i g- ~ s e n 6 e * A~r
(16.46)
S = i t¡ 71 sen29 “ r 2AV
(16.47)
.
_ ,p r
31. Potencia radiada por el dipolo magnético radiante ideal. Al sustituir (16.43) y (16.44) en (14.33), y ésta última en (16.15), la potencia media ra diada por el dipolo magnético ideal es, para r >0,
4r¡ns\Mf 3A4
(16.48)
La semejanza entre los resultados precedentes y los del dipolo eléctrico ra diante ideal permite anticipar las expresiones de la ganancia directiva y la directividad, y la forma del patrón de la ganancia directiva del dipolo mag nético ideal. 32. Resistencia a la radiación del dipolo magnético radiante ideal. La re sistencia a la radiación, Rr , del dipolo magnético que emite en el aire se halla con (16.48) y (16.18): :; _ Stpr’lMf 3A4|/|2
(16.49)
Y si el dipolo magnético es circular, de radio a, circunferencia C y N espiras, vale
3A4
U
(16.50)
33. Antena circular con corriente uniforme. Cuando el radio, a, de la ante na circular no es pequeño comparado con la longitud de onda de la señal emitida, la aproximación dipolar pierde validez. Si se supone delgada la espira, colocada en el plano XY y con el centro en el origen de coordenadas,
706 /
Teoría electromagnética
y que la corriente que aquélla conduce es uniforme y varía en el tiempo en forma senoidal, en función de una frecuencia angular ú), al evaluar (16.14) en la zona de radiación, resulta A m= v
(16.51)
2r / i (&'asene)*lfir->Para r > > a
donde/ , es la función de Bessel de prim era clase y orden 1. Dé (16.51) salen 7 i(^ sen 0 )e 3&r
(16.52)
:
(16.53)
X = - Íe ^ U P asendY ÍI>r
(16.54)
g j i ' Jx (PasenQ)
Los valores aproximados de la potencia media radiada, resistencia a la radia ción,: ganancia directiva y directividad de la antena, obtenidos cuando a > X /2, son < P > ~ >--v7 f 1 y Rr « 607? ■- 4rj(i3fl) 7 A : U J
(16.55) .
.
(16.56) D(6, (p)-2(fia)J*{fi asenO) y Dmáx = 0,682f~ AÁ) ■ 34. Antenas compuestas. Las propiedades direccionales de una antena de penden de su longitud eléctrica, y, en general, la directividad de una sola es relativamente baja y los lóbulos de la ganancia comparativamente anchos. Cuando se requieren características más direccionales, puede aumentarse la longitud eléctrica de la antena — lo que puede conllevar inconvenientes prácticos— o, mediante una configuración geométrica y eléctrica de antenas individuales muy próximas entre sí, diseñar una antena compuesta o multielemental, que se conoce con el nombre de “arreglo”. En las antenas com puestas se acostumbra usar, por conveniencia y para facilitar los cálculos, elementos idénticos, igualmente espaciados. Las intensidades del campo 'Be^5m agBético^eblidoral'liffé^5^i^lmlanTTliespreaándxrlas"'inúttcdohes— mutuas entre los elementos, como la combinación lineal de las producidas por las ántenas individuales, y se suponen aproximadamente paralelas; en los puntos de la zona de radiación se presume, además, que debido a la
Radiación
/. 7 O7
Figura 16.11 Arreglo de antenas.; Antena multielemental formada por /V dlpolos eléctricos reales, agrupados cerca del origen de coordenadas, paralelos al eje Z y operando a la misma frecuencia. El momento de corriente del dipplo /¿Sta(,e s ¡¡dh y r¡es su posición con respecto al origen de coordenadas.
proximidad entre los elementos del conjunto de antenas, las distancias hasta éstas son, aproximadamente, iguales. 35. Arreglos de dipolos. Se tiene un conjunto de N dipolos reales, agrupa dos en las cercanías del origen de coordenadas, orientados en la dirección del eje Z y radiando én el aire con la. misma frecuencia; en el dipolo ié¡imo el momento de la corriente es ¿ d,-, y r,- su posición con respecto al origen de coordenadas (véase figura 16.11). Las intensidades del campo electromagné tico y del vector de Poynting correspondiente, en la zona de radiación, don de r » r¡, debidas al arreglo (suponiendo, que son aproximadamente iguales entre sí las distancias entre el punto de observación y los elementos radiado res, | r - r | , los ángulos que los respectivos vectores ( r - r .) determinan con el eje Z, y las direcciones de las intensidades del campo electromagnético que cada uno de aquéllos genera), deducidas de (16.25) y (16.26), son ■ ñOirp~jfir
iLl
E = iej ------ r— s e n 0 j . l d ieifii‘r-,=ig(tt)[FA) Ar ■ í=o p-jP-
^ e 6h ;
(16.57)
A '- ¡
H = L j ——sen O'S'l.d.e ÍP¡ ~ mJ 2Ar , ' S
......
ilM . r 240n
120 n
(16.58)
(16.59)
7 0 8 / Teoría electromagnética
36. Factores de elemento y de arreglo. El factor de elemento de un grupo de radiadores caracteriza el conjunto; pueden ser, por ejemplo, dipolos eléc-. tríeos o magnéticos, o antenas de A/ 4 o de A/2. Ese factor corresponde, en (16.60), a la £ en la zona de radiación de un dipolo eléctrico ubicado en el origen de coordenadas y cuyo momento de corriente, Id, es unitario. El fac tor de arreglo es independiente de las características radiantes del elemento, y exclusivo del conjunto; depende de la geometría de la agrupación, como número, longitudes, orientaciones y posiciones relativas de los elementos, y también de las fases y magnitudes relativas de las corrientes. La expresión del factor de arreglo se simplifica cuando, son iguales los elementos del con ju nto y sus espaciamientos, así como las fases y magnitudes de las corrientes. Este factor es responsable —obsérvense (16.57), (16.58) y (16.59)— de modi ficar y eventualmenté mejorar las características radiantes de una antena individual; para ello, deben elegirse apropiadam ente la configuración geo métrica y la alimentación de los elementos del grupo. 37. Dos dipolos colíneales. Una antena compuesta está formada por dos dipolos eléctricos reales, ubicados en los puntos (0 , 0 , 5/2) y (0 , 0 , -5 /2 ), y cuyos momentos de corriente son, respectivamente, i j 0de1'i'/2 e iiI0de'1'ri2\ donde 5 es la separación entre los dipolos, y W e T0, respectivamente, el des fase y la magnitud de la corriente (véase figura 16.12). En puntos muy aleja dos de la antena, suponiendo que no hay acoplamiento entre los dipolos, la intensidad del campo eléctrico, deducida de (16.57), es
Radiación / 7 0 9
z
i
>. y
E
r . . 60ne~ifir
\
leJ:—
Ar
Figura 16.13 Arreglo uniforme. Está formado por W dipolos eléctricos reales y consecutivos, separa dos la distancia 5 y de momentos de corriente iguales en magnitud, pero desfasados en la misma cantidad con respecto al inmediatamente anterior.
'j sen 6 2I0d eos ■i- (PS eos 6 + )
(16.61)
38. N dipolos colineales. Una antena multielemental, conocida con el nom bre de arreglo uniforme, está formada por N dipolos eléctricos reales consecu tivos, separados la distancia 8, y cuyos momentos de corriente tienen magnitu des iguales pero están desfasados en la misma cantidad con respecto al anterior (véase figura 16.13); la posición y el momento de corriente del dipolo ihim¿ con respecto al origen de coordenadas son r. -i.(i8) e (id). = i ^ d e 1^ , para i = 0,1,2, ... (N - 1). El factor de arreglo del conjunto, deducido de (16.60), es ( j sen---2 FA = I 0deJ 2 ■*. . A /-1
l
(16.62)
sen — 2
donde (¡>= pScosG + F
(16.63)
39. Antenas junto a planos perfectam ente conductores. La radiación emiti da por una antena que se encuentra en el aire, cerca de un plano perfecta mente conductor, puede estudiarse tomando en cuenta, para simular las
710 / Teoría electromagnética
Dipolos eléctricos
Dipolos magnéticos
£
Fuentes reales
Fuentes virtuales ! (Imágenes)
F ig u ra 16.14
Dipolos eléctricos o magnéticos y sus imágenes con respecto a un plano perfectamente conductor-. La reflexión debida al plano es igual al efecto de la fuente virtual.
reflexiones perfectas que el plano produce, la teoría de imágenes-, la radiación en el aire se calcula al combinar los campos que aquélla emite, con los de la antena imagen o virtual. En la región al otro lado del plano, blindada por éste, no hay campo electromagnético. La posición y orientación de la antena virtual se determinan al recordar que en la interfaz plana del conductor per fecto y el aire las componentes tangencial de É y normal de # son 0 ; es decir, la suma de las E tangenciales, y de las B normales, aportadas por la antena real y su imagen deben ser iguales, en el aire, a 0 (véase figura 16.14). 40. Teorema de la reciprocidad de Lorentz. Si en un medio material lineal, homogéneo e fsotrópico, hay dos fuentes de ondas electromagnéticas con densidades fasoriales de corriente, J- y J , las cuales emiten por separado y a la misma frecuencia campos cuyas intensidades fasoriales son, respectiva mente, E i> H yy E 2, H 2, se cumple (16.64) (16.65) donde S es una superficie arbitraria que contiene las fuentes del campo, V el volumen limitado por aquélla, y Vx y V2, los volúmenes donde se encuentran, respectivamente, las fuentes de corriente / \ y J r, la expresión (16.64) es la forma integral del teorema de la reciprocidad de Lorentz.
R ad iación / 7 11
41. Propiedades recíprocas de antenas. El teorema de la reciprocidad es muy útil para solucionar diferentes problemas electromagnéticos; en el caso de las antenas, permite concluir que: a. Si una corriente, 7, se aplica a los terminales de la antena 1 y en los termina les abiertos de la antena 2 se mide un voltaje, F, inducido por aquélla, enton ces, cuando en los terminales de la antena 2 se aplique una corriente, /, en los terminales abiertos de la antena 1 , el voltaje inducido por la 2 será igual a Vj es decir, son iguales las impedancias mutuas entre las antenas 1 y 2 : ' V ■' ■ .
Y
*■
o
V
= - * = - * ' =
( 1 6 -6 6 )
r
£_j
Conclusión válida para cualquier posición, orientación o modo de operación entre las antenas. b. Los patrones de radiación en transmisión y recepción son idénticos. c. La impedancia de alimentación, cuando la antena transmite, es igual a la impedancia interna del generador equivalente, cuando la antena recibe. d. El área efectiva de la antena, en recepción, es directamente proporcional a la directividad, cuando emite. 42. A pertura de una antena. La habilidad de una antena receptora para extraer potencia de una onda electromagnética depende de la apertura o área efectiva de aquélla, A¿ ésta se define como la razón entre la potencia media que la antena receptora entrega a su carga y el vector medio de Poynting en la onda incidente: -
A
:
.
.
(16.67) ' . .
Si se supone que la antena receptora no tiene pérdidas, que en ésta el circui to Thévenin equivalente está formado por la combinación en serie de la impedancia de carga, Zc = Rc + jX c> la impedancia de entrada de la antena, ZA = Rr + jX A, donde R r es la resistencia a la radiación, y el voltaje en circui to abierto, V, inducido en los terminales de la antena, y que el circuito está recorrido por una corriente,/, entonces (16.67) se transforma en A. =
ficiir2
Rc | V |
(16.68)
2 < S > \ZA + Z C¡
43. A pertura máxima de una antena. El área efectiva de la antena depende del acople entre la impedancia propia de ésta y la de su carga, y de la direc
7 1 2 / Teoría electromagnética
ción en la que incide Sj en consecuencia, el área efectiva máxima de la ante na es el valor que toma (16.68) cuando la dirección en la que 5 incide sobre ésta corresponde al máximo, y la impedancia propia de la antena y la de la carga son cantidades complejas conjugadas, ya que ésta es la condición para la máxima transferencia de potencia entre el generador equivalente y la car ga; o sea,
V
A
IK12 8 R„
(16.69)
Expresión que es directamente proporcional a la directividad, según - ■■■■■■ :
'■ :7 -(1 6 .7 0 )
La apertura máxima de una antena filamental es mucho mayor que el área real, por lo que puede captar una significativa cantidad de la potencia inci dente.
16.1 Potenciales retardados P r o p o s ic io n e s
1. La radiación electromagnética sólo ocurre cuando el campo varía en el tiempo. 2. Los potenciales 0 y A„, en un instante y punto del espacio arbitrarios, correspondientes a un sistema electromagnético dinámico, son ocasionados por las cargas y corrientes que hay en el sistema en ese mismo instante. 3. Para deducir las fórmulas de los potenciales rétardados se supone que los tiempos del observador y del radiador son simultáneos. 4. El tiempo del observador es mayor que el tiempo del laboratorio. 5. Si la frecuencia es baja, los tiempos del observador y del radiador son aproximadamente iguales. 6.
Al deducir las fórmulas de los potenciales retardados, la onda “menos” no se toma en cuenta por razones físicas. 7. Las soluciones para los potenciales retardados correspondientes a la onda “menos” pueden ser aceptables físicamente.
R ad iación / 7 1 3
S o lu c io n e s
1. Falso. Puede darse, de acuerdo con el teorema de Poynting, en condicio nes estacionarias. Es lo que ocurre, por ejemplo, en un resistor conectado a una fuente de energía estacionaria; la energía que aquél disipa por el efecto Joule le llega por el espació, a través de su propia superficie, por medió del vector de Poynting. 2. Falso. De (16.9) y (16.10) se sigue que en un punto del espacio y en un instante arbitrarios, definido el primero por su posición, r, con respecto a un origen de coordenadas, los potenciales quedan determinados por las cargas y corrientes que existían en otros puntos del espacio, cuyas posiciones están definida por r', en instantes anteriores t'. El tiempo en cada punto radian-, te, es anterior a t en una cantidad igual al tiempo que toma la señal en viajar, a la rapidez fus)-1/2, desde aquél hasta el punto de observación. 3. Falso. El tiempo del observador es mayor que el del radiador, de acuerdo con (16.11), en lo que toma la señal para viajar, a la rápidez (¿t£)-1/2, desde el segundo hasta el primero. 4. Cierto. Se sigue de (16.11); obedece al principio de causalidad que un fenómeno no se perciba antes de haberse producido. No hay simultaneidad según las hipótesis de la teoría de la acción por contacto, de acuerdo con las cuales las interacciones se propagan con una rapidez finita y no instantá neamente como lo supone la teoría de la acción a distancia. 5. Falso. Se observa en (16.11) que la diferencia entre ambos tiempos no depende directamente de la frecuencia; obedece, fundamentalmente, a la distancia que hay entre el punto de observación y el del radiador, puesto que a baja frecuencia la rapidez de la onda electromagnética es una propiedad del medio que rodea la antena y el observador. 6.
Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Las ecuaciones inhomogé neas de onda para los potenciales
7 1 4 / Teoría electromagnética
16.2 Dipolo eléctrico radiante ideal P r o p o s ic io n e s
1. Una carga puntual, en reposo y aislada, Q, ubicada en el origen de coor denadas, no puede producir radiación electromagnética. 2. No puede existir una carga puntual y aislada que varía con el tiempo, Qjt). 3. El dipolo eléctrico radiante e ideal está formado por dos cargas puntuales, iguales y de signos contrarios, aisladas entre sí y separadas por una distancia pequeña. ;, . 4. Se supone, en la aproximación dipolar, que la longitud de onda de la se ñal generada es menor que las dimensiones del dipolo. 5. Se supone, en la aproximación dipolar, que la longitud de orida de lá se ñal emitida y la distancia entre el punto de observación y el dipolo son can tidades comparables. 6.
La aproximación dipolar es poco práctica, pues exige que la antena tenga extremos capacitivos. 7. Al determinar el campo electromagnético del dipolo eléctrico radiante e ideal no se toma en cuenta el plano de tierra. 8.
Si se duplica la longitud del dipolo eléctrico radiante e ideal, el A m de éste se duplica. 9. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal se propagan en el aire con una rapidez igual a la del sonido. 10. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son esféricas. 11. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son uniformes. 12. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son, en la zona de radiación, planas y uniformes. 13. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son TM. 14. Las ondas emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son, en la zona de radiación, TEM. 15. Las E y H emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son radiales. 16. Las E y H emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal son mutua mente ortogonales. 17. Las E y H emitidas por un dipolo eléctrico radiante e ideal dependen, en la zona de radiación, de r-2.
R ad iación / 7 1 5
18. Si un dipolo eléctrico radiante e ideal se pone en el origen de coordena das, orientado en la dirección del eje Z, en los puntos del plano XY la i? emi tida está polarizada en la dirección del eje Z. 19. En la zona de radiación de la onda “menos” de un dipolo eléctrico ra diante e ideal, E_ = -igjvLo ¿sen 6eJÍ¡r/(2Ár). 20. El S emitido por un dipolo eléctrico radiante e ideal sólo tiene compo nente radial. ^ V 21. En el cénit del dipolo eléctrico radiante e ideal, S = 0. 22. La potencia emitida por el dipolo eléctrico radiante e ideal se propaga con igual intensidad en todas las direcciones. 23. El vector de Poynting medio, correspondiente a la superposición de las ondas “más” y “menos” de un dipolo eléctrico radiante e ideal, es igual, en la zona de radiación, a la suma de los vectores medios de Poynting de las ondas citadas, tomadas por separado. 24. Las partes real e imaginaria de la potencia compleja de un dipolo eléc trico radiante e ideal son iguales. 25. La potencia media emitida por un dipolo eléctrico radiante e ideal es uniforme. 26. Si se duplica la frecuencia, la potencia media emitida por un dipolo eléc trico radiante e ideal se cuadruplica. 27. La potencia reactiva de un dipolo eléctrico radiante e ideal es uniforme. 28. La resistencia a la radiación de un dipolo eléctrico radiante e ideal no se incrementa al aumentar la amplitud de la corriente de alimentación en éste. 29. Si se duplica la longitud de un dipolo eléctrico radiante e ideal, la resis tencia radiante se cuadruplica. 30. Si se incrementa la amplitud de la corriente de alimentación en un dipo lo eléctrico radiante e ideal, la directividad de éste incrementa. 31. La directividad del dipolo eléctrico radiante e ideal es 1,64. 32. La ganancia directiva máxima de un dipolo eléctrico radiante e ideal se presenta en 0 = 90°. 33. La ganancia directiva de un dipolo eléctrico radiante e ideal es igual, en 6 = 60°, a la tercera parte de la directividad. 34. El patrón de radiación que representa la ganancia directiva de un dipolo eléctrico radiante e ideal es un toroide de sección circular.
7 1 6 / Teoría electromagnética
F ig u ra 16.15 Dipolo eléctrico radiante. El dipolo eléctrico radiante e ideal puede co n sid e rarse com o formado por dos ca rg a s de signos opuestos; unidas por un hilo muy corto y del-, gado, sin re sisten cia ni cap acitancia e léctri c a s , que conduce una corriente uniforme. :
S o lu c io n e s
1. Cierto*, J = 0 en todos los puntos del espacio que rodean una carga aisla da; ello implica que el miembro izquierdo de la ley de la conservación de la carga es 0 : §sJ* d A = 0 =
(
1
6
.
7
1
)
y que la carga no varía con el tiempo. En consecuencia, ya que una carga constante y en reposo no puede producir un campo magnético, son nulos H, S y la radiación electromagnética de aquélla. 2. Cierto. La proposición viola la ley de la conservación de la cárga. En efec to, ya que J = 0 en todos los puntos del espacio que rodean a Qjt), de (16.71) resulta la contradicción £ / • cL4 = 0 = -dQJdt * 0. 3. Falso. Se supone que las cargas están conectadas entre sí por un hilo muy delgado, que no tiene resistencia ni capacitancia eléctricas (véase figura 16.15). Si las cargas están aisladas, no se producen la recarga y descarga periódicas de éstas, responsables de la generación de la onda electromagnética. 4. Falso. Se supone, al contrario, que la longitud de onda de la señal emitida es mucho mayor que las dimensiones geométricas del dipolo, las cuales tien
R adiación /
717
den a O en el límite. De esa forma se desprecian las diferencias de fase en las contribuciones al campo electromagnético debidas a cada uno de los puntos ; radiantes que forman el dipolo. 5. Falso. La aproximación dipolar usa dos simplificaciones; según éstas, las dimensiones geométricas del dipolo son muy pequeñas comparadas con la longitud de onda de la señal emitida y con la distancia entre el punto de observación y aquél. Las aproximaciones mencionadas no impiden que la distancia éntre el punto de observación y el dipolo, y la longitud de onda de la señal emitida, puedan ser comparables; ello ocurre, por ejemplo, en la zona cercana al dipolo. 6. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Como el-término ‘práctica’ es ambiguo, la proposición puede considerarse cierta si se desea emplear la antena dipolar para un amplio intervalo de frecuencias comerciales; falsa, en cambio, cuando se piensa en usar la antena en el intervalo de frecuencias correspondiente a las ondas largas o como elemento de integración para calcular las características radiantes de las antenas lineales largas. 7. Cierto. En los cálculos que conducen a (16.20), (16.21) y (16.22) se supone que el dipolo emite su radiación, al espacio, en todas las direcciones, sin restricciones, como si estuviese solo en el universo; Para tomar en cuenta el efecto de la tierra puede usarse la teoría de imágenes, junto con la de ante-, ñas compuestas. 8.
Cierto. Se sigue directamente de (16.20).
9. Falso. Son ondas electromagnéticas y éstas se propagan en el aire con la rapidez de la luz. 10. Cierto. Se observa en (16.21) y (16.22) que las fases de las intensidades del campo electromagnético sólo dependen de r y no de las coordenadas angulares del sistema de coordenadas esféricas. 1 1 . Falso. En (16.21) y (16.22) se advierte que las amplitudes de las compo nentes de las intensidades del campo electromagnético dependen, en una superficie esférica donde la fase es uniforme, de la coordenada 0 del sistema de coordenadas esféricas.
12* Falso. Se concluye de (16.25) y (16.26) qué en ésa zona siguen siendo ondas esféricas no uniformes, pues las fases dependen de r, y las amplitudes de r y 0; sin embargo, sí se aproximan a ondas PUM cuando se considera una pequeña porción del frente de ondas, donde el radio de curvatura es muy grande y despreciable la variación de 6.
7 1 8 / Teoría electromagnética
13. Cierto. Son TM, según (16.21) y (16.22); e sí.
H
no tiene componente radial,
14. Cierto. En esa región, de acuerdo con (16.21) y (16.22), la componente radial de E se desvanece y las intensidades del campo electromagnético se vuelven transversales. 15. Falso. (16.21) y (16.22) refutan la proposición. 16. Cierto. En efecto, E < » H componente en la dirección
=
0, ya que, según (16.21) y (16.22), y £ en las direcciones ir e ig.
17. Falso. En esa región, según (16.16),
E
H
sólo tiene
y H son proporcionales a r_1.
18. Cierto. En el plano XY, 6 = 90° e i 0 = - i j se deduce entonces de (16.22), confirmando la proposición, que en ese plano 1 1 1 ~Lgr E = i: VP%1 47t jP r + (jp rY + (jPr)3 *
19. Falso. La intensidad propuesta se obtiene de la que corresponde a la onda “más” —ecuación (16.25)— al cambiar P, A y r¡ por ~P, ~X y -r¡; es, en tonces £_ = iejr]rohendeJ^J(2Áry Las sustituciones indicadas obedecen a que en las ecuaciones de onda satisfechas por las E y H del dipolo aparece P 2, y por ello una segunda solución, llamada onda “menos”, se obtiene de la pri mera, conocida como onda “más”, al cambiar P por -p; el cambio incluye a la longitud y a la impedancia característica de onda, en las que A = 2n/P y
r]= P/(cús), 20. Gierto y falso. De acuerdo con la explicación. Al süstituir (16.21) y (16.22) en (14.33), resulta S
— Ex-H* 2“
V 2
j (Prj~(prj
1 | i sen 20 1 ' L
l - 4n J
V lM É l)
2l ■>**-
,
igjsen2d
+
ífiry + 03r)!
(16.72)
Expresión que, en general, refuta la proposición. Sin embargo, en la zona de radiación S tiende a ser radial —lo confirma (16.27)-— pues la componente Se se desvanece. 21. Cierto. En el cénit del dipolo, 0 = 0°; entonces H y S, según (16.21) y (16.72), son también 0.
R ad iación / 7 1 9
22. Falso. La propagación de la potencia emitida por el dipolo es directiva, no omnidireccional, pues S depende de la coordenada angular 6. La ganan cia directiva, dada por (16.28), da cuenta de la distribución respectiva. 23. Cierto. Según (16.25), (16.26) y la proposición 16.2.19, F y H en la onda compuesta son E = F + + E _ = i ¿ V - ^ s e n d ( r e - ií,r+l_e»r)
■■■■H
=
H
+ + H
= i j —
s e n G ( l ^ e - i í l T- L e Jílr)
donde /+ e /_ son los fasores de la corriente, correspondientes a cada tipo dé onda, en el dipolo. Entonces: ' < S > = f e | i ( £ . + £ j x ( a , + a : ) v L i , ^ s e n !e L l ^ - |t r ) ^ .
.-. =
}S*dA
: i-
(16.73)
25. Cierto. Como la potencia media es igual a la parte real de la potencia compleja, se deduce de (16.73) que aquélla es uniforme. 26. Cierto. Se sigue de (16.24), ya que /32 =
.
27. Falso. Se observa en (16.73) que esa potencia decrece con el cubo de la distancia. 28. Cierto. Según (16.30), dicha resistencia depénde de la frecuencia de la corriente, no de la amplitud. 29. Cierto. Se sigue directamente de (16.30). 30. Falso. La directividad es un número puro y adimensional; se advierte en (16.29) que no depende de la corriente. 31. Falso. Vale 1,5. 32. Cierto. La ganancia directiva del dipolo está dada por (16.28), y el máxi mo de sen20 corresponde a 6 = 90°.
7 2 0 / T eoría electromagnética
33. Falso. Se deduce de (16.28) que, para 0 = 60°, es igual a las tres cuartas partes de la directividad. 34. Falso. Si el patrón de la ganancia directiva de un dipolo colocado en el origén de coordenadas y orientado en la dirección del eje Z fuese un toroide de sección circular, la ecuación de la ganancia directiva, contradiciendo (16.28), sería £>(0,
16.3 Dipolo eléctrico radiante real P r o p o s ic io n e s
1. La alimentación en una antena lineal es central. 2. Las antenas lineales siempre tienen dos brazos. 3. Los extremos de las antenas lineales no se suponen capacitivos. 4. Los dipolos eléctricos reales son tan pequeños que sólo pueden observarse con microscopios. 5. Si se duplica la longitud de un dipolo eléctrico real, se duplica su longitud efectiva. 6 . La longitud efectiva de un dipolo eléctrico real es menor que la longitud verdadera.
7. La distribución de corriente en los brazos de un dipolo eléctrico real pue de aproximarse a una parábola. 8.
Los campos electromagnéticos emitidos por un dipolo eléctrico real son TE.
9. En la zona de radiación de una antena puede cumplirse 2# r < X. 10. La velocidad de fase de la H emitida por un dipolo eléctrico real, inmer so en el aire, es igual a la de la luz allí. 11. Las velocidades de fase de Er y E e, emitidas por un dipolo eléctrico real, inmerso en el aire, son iguales entre sí. 12.
Si en una antena lineal, inmersa en el aire y energizada centralmente por una corriente senoidal, Z= l,5 [m], |/0| = 0,1[A] y / = l x l 0 7 [Hz],entonces la potencia media emitida es 1 x 10-3 [W].
-
........- - .. .....................
13. Si a la distancia r = \0X/n, de un dipolo eléctrico real que emite en el aire una señal cuya longitud de onda es de 10 [m], el valor máximo que |E |
R adiación / 1 '¿Y
puede tomar es de 10,61 x 1Q-4 [V/m], entonces la potencia media máxima que puede emitir el dipolo es de 12,6 [pW]. 14. La potencia media radiada por el dipolo eléctrico real; por la región comprendida entre ± 45° d e su plano ecuatorial, es igual a la mitad de la potencia total. 15. La resistencia a la radiación de una antena es una medida de la oposición a la propagación de la onda electromagnética emitida, que se desarrolla en el interior de los conductores que la forman. 16. Si se duplica la longitud de un dipolo eléctrico real, se duplica su resis tencia a la radiación. 17. La reactancia de un dipolo eléctrico real es capacitiva. S o lu c io n e s
1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. El modelo ideal de antena lineal larga, que da lugar a (16.34) para calcular la distribución de corriente en los brazos de la misma, supone que la alimentación es central y hay sime tría con respecto a ese punto. Sin embargo, una antena larga puede tener brazos de longitudes diferentes, con alimentación no central, lo cual exige cambiar el método de cálculo para determinar la distribución de corriente en la antena; un monopolo, que sólo tiene un brazo sobre el plano de tierra, es, por ejemplo, un caso extremo de la posibilidad mencionada. 2. Falso. No necesariamente, según se explicó en la proposición anterior. Gomo contraejemplo se presenta el caso de un monopolo dé A/4, montado perpendicularm ente sobre el plano de tierra; el método de las imágenes exige introducir un monopolo virtual igual para formar una antena equiva lente de A/2. 3. Cierto. Como los brazos de las antenas lineales se suponen perfectamente conductores y de radios despreciables comparados con la longitud de onda, los extremos de aquéllos no son capacitivos. Las distribuciones de corriente deben ser simétricas con respecto al punto central o de alimentación, en esos brazos, y se anulan en los extremos, 4. Falso. El dipólo eléctrico real es una antena lineal, en la cual el radio y la longitud de los conductores que la forman son muy pequeños comparados con la longitud de onda de la radiación que emite. Una antena corta puede considerarse un dipolo puntual cuando su longitud es tal que l < A/50.
722 /
Teoría electromagnética
5. Cierto. En el dipolo eléctrico real, que es una antena lineal de longitud tal que A/50<¿
(16.74) o
y al sustituirla en (16.33), para calcular la longitud efectiva del dipolo real, confirmando la proposición, resulta d = l/ 2
(16.75)
6.
Cierto. Puesto que en el dipolo real la corriente, /(z'), es menor en los extremos de los brazos, donde z = ±1/2 e 7 = 0, que en los terminales o pun to medio, dónde z' = 0 e 7 = ¿F, se deduce de (16.33) que la longitud efectiva del dipolo es menor que su longitud real; es decir, d <1. Obsérvese que la proposición anterior confirma lo dicho. 7. Falso. De acuerdo con (16.74) puede aproximarse a una distribución triangular. 8.
Falso. Son TM, como los del dipolo eléctrico ideal; sin embargo, en la zona de radiación se aproximan a TEM. 9. Falso. Ya que en esa zona, 1 » (/3r)rW= [á/(2^r)]w, de acuerdo con (16.16); por tanto, 2 nr> A . 10. Cierto y falso, De acuerdo con la explicación. De (16.21), después de hacer 70 =|7 0|e;í’ y tan0 2 = /3r, resulta
—
4n
1 (]6 r)’
+ -j (3r
PfcH sen 6„ . 1 . 5 + 1i = ■ ——— 4 7tr ; [ m ■J
La fase y la velocidad de fase constante de 77 son _/ase_=a)l--_/3r_±ó1^+ó2 y vF = dr/dt = c [(/3 í]. El resultado muestra que la velocidad de fase de H no es uniforme pues depende de r; tiende a la de la luz, sin embargo, en la zona de radiación, donde f 3 r » 1.
R ad iación / 7 2 3
1 1. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Por un procedimiento similar al usado en la proposición anterior, se deduce de (16.22) que las ve locidades de fase propuestas no son iguales; valen
1
j jl r f
V y v
V I *
íji r f ■I
= c
Tienden a ser iguales entre sí y a la de la luz, sin embargo, en la zona de radiación, en la que fir » 1. 12. Falso. Como la longitud de onda correspondiente es de 30 [m], veinte veces mayor que la longitud de la antena, ésta puede considerarse un dipolo eléctrico real, cuya longitud efectiva, según (16.75), vale 0,75 [m], y la poten cia media emitida, calculada con (16.24), es
12
n
P
2,5 xlO "3 [W]
X
13. Cierto. A la distancia informada, el punto de interés queda ubicado, se gún la proposición 16.3.9, en la zona de radiación del dipolo; en consecuen cia, con r = 10Á/n y Q - n / 2 , y puesto que se trata de un dipolo real, de (16.24) y (16.25) salen ■■ \E\~r¡
l -6R7T^ V Ur
:.< P > M
<10,61x10-
<1,79x1 0"4
V, X : ) V. ^ ; ± 12 n
-r ] ( 3 2 = 407T
A ,
< 12,6x10~6 [W]
14. Falso. De (16.27) resulta rB= 135p
0=45°
ri\Lfd°sen20 (2\7tr : 8Á2r2 J
96tztV f U d 2
que corresponde al 88,4% de la potencia media total, dada en (16.24). 15. Falso. La parte resistiva de la impedancia de entrada de la antena tiene dos componentes; una representa las pérdidas de la antena cuando no es perfectamente conductora, y a ésta se refiere la proposición, la otra, es la resistencia a la radiación de la misma, R r . Esta última corresponde al meca nismo mediante el cual la potencia se transfiere, desde la línea de transmi sión que alimenta a la antena, hacia el espacio libre; representa la resistencia
7 2 4 / Teoría electromagnética
equivalente que se observa en los terminales de la antena, y existe aunque sean perfectos.los conductores que la forman (véase figura 16.5). 16. Falso. Se cuadruplica, de acuerdo con (16.75) y (16.30). 17. Cierto. De acuerdo con la aproximación de línea de transmisión, el dipo lo real puede considerarse como una línea con el extremo de carga abierto. En tales casos —obsérvese la proposición 13.6.8— la impedancia de línea a uná distancia 1/2 del extremo abierto, es Z(-Z/2) = - j k cot(/3Z/2), donde k es una constante; como l « X en el dipolo real, la anterior impedancia es siempre negativa y, en consecuencia, capacitiva. La conclusión se refuerza al examinar (16.73); en ésta se advierte que la potencia reactiva es negativa.
16.4 Antenas largas P r o p o s ic io n e s
1. La longitud de onda de la señal emitida por una antena larga es mucho más grande que la longitud de la antena. 2. La corriente sobre los brazos de una antena de X/2 es uniforme. 3. El máximo de la magnitud del fasor de la corriente, en cualquier antena de longitud comparable con X, se encuentra en su punto de alimentación. 4. Si la longitud de una antena es X/2, el fasor de la corriente éh su punto de alimentación no es 0 . 5. El fasor de la corriente en una antena de longitud X es 0 en el punto de alimentación. ~ 6.
La corriente, en los puntos de los brazos de una antena lineal cuy a longi tud es 1,5 A, no es directa. 7. La distribución de corriente en los brazos de una antena larga es senoidal cuando el radio de los mismos no es despreciable. 8.
La carga eléctrica neta acumulada en una antena de A/2 es nula.
9. Las ondas emitidas por una antena larga son cilindricas. 10. Las ondas emitidas por una antena larga son TEM en la zona de radia11. Las ondas emitidas por una antena de X/2 son planas en la zona de ra diación.
R ad iación / 7 2 5
12. Si la longitud de la antena es A/2, los campos electromagnéticos emitidos por ésta son TE. 13. La E emitida por una antena de longitud A no tiene componente radial. 14- Las intensidades de los campos electromagnéticos emitidos por una an tena de -A/2, varían con r -2 en la zona de radiación. 15. Si en una antena lineal, inmersa en el aire y energizada centralmente por una corriente senoidal, l = 5 [m] y / = 30 [MHz], y el valor máximo que |£| toma a una distancia de r = 1 x 10 * [m] es de 1 x 10~3 [V/m], entonces la ampli tud máxima de la corriente que circula p o r aquélla es de 1,7 x 10-2 [A]. 16. Si en una antena lineal, inmersa en el aire y energizada centralmente por una corriente senoidal, l = 5 [m] y / = 150 [MHz], y el valor máximo que |2í ¡ toma a una distancia de r = lx 10* [m] es de 1 x 10-3 [V/m], entonces la am plitud máxima de lá corriente que circula por aquélla es de 1,7 x 10~2 [A]. 17. Las ondas electromagnéticas radiadas por los diferentes puntos de una antena lineal, de longitud l = 1,5A, se refuerzan unas a otras en un punto del espació.. . . 18. Las intensidades fásoriales de los campos electromagnéticos emitidos por una antena lineal, no satisfacen las ecuaciones fasoriales de Maxwell en la zona de radiación. 19. El vector medio de Poynting de una antena de A/2 no es uniforme. 20. El máximo de la magnitud del S emitido por una antena de A/2 ocurre en lá dirección del eje longitudinal de ésta. 21. El vector de Poynting medio, correspondiente a la combinación de las ondas “más” y “menos” de una antena de A/2, satisface el principio de su perposición en la zona de radiación. 22. La potencia media emitida por una antena de A/2, decrece con la distan cia en la zona de radiación. 23. Si se duplica la amplitud de la corriente en la alimentación de una ante na de A/2, se cuadruplica la potencia emitida por ésta. 24. Si en una antena lineal, inmersa en el aire y energizada centralmente por una corriente senoidal, l = 1,5 [m], |/0| =0,1 [A] y f = 1xlO 8 [Hz], entonces la potencia media emitida es de 0,37 [W], 25. Las densidades volumétricas medias de las energías eléctrica y magnética de una antena de A/2, inmersa en el aire, son iguales en la zona de radiación.
7 2 6 / Teoría electrom agnética
26. La resistencia a la radiación es mayor en la antena de A/2 que en el dipo lo eléctrico. 27. La resistencia a la radiación en la antena de A/2 depende del valor máxi mo de la amplitud de la corriente. 28. Si se incrementa la amplitud de lá corriente en la alimentación de una antena de A/2, se incrementa su directividad. 29. La resistencia a la radiación de una antena de longitud A es infinita cuan do se la calcula en el punto de alimentación de ésta. 30. En la alimentación de una antena de A/2 la reactancia es 0. 31. En una antena de A/2 la ganancia directiva es máxima cuando 6 = 0 o. 32. La directividad de una antena de A/2 es mayor que la de un dipolo eléctrico. 33. Si S = (irksend)/r~, donde k es una constante, en la zona de radiación de una antena, entonces la directividad de ésta es 1,27. 34. Si Dx, D2, R x y R 2 son las directividades y resistencias a la radiación de las antenas 1 y 2, para las cuales los vectores medios de Poynting de las ondas emitidas son iguales, la razón entre los máximos de las amplitudes de las corrientes en las antenas es [(R2D2)/(RXD\ )]1/2. 35. Los conos de silencio son mayores en una antena de A/2 que en un dipo lo eléctrico. ........ 36. El ancho del lóbulo de la ganancia directiva es mayor en úna antena de A/2 que en un dipolo eléctrico. 37. Si S - (¿r¿sen0)/V2, donde k es una constante, en la zona de radiación de una antena, entonces el ancho del lóbulo de la ganancia directiva es 90°. S o lu c io n e s
1. Falso. Una de las condiciones impuestas para deducir los campos radiados por un dipolo eléctrico ideal es que la longitud de onda de la señal emitida debe ser muy grande comparada con la longitud de aquél. Esa condición constituye, a su vez, una limitación del dipolo y justifica el uso de la antena larga, en la cual la longitud de onda de la señal emitida és comparable con la longitud de lá misma; en tal Caso, la aproximación dipolar no tiene cabida y debe süporierse que en los puntos de aquélla la-corrienté no oscila-en fase:..-2. Falso. Es uniforme la corriente en el dipolo ideal, porque la longitud de éste se considera insignificante, y no puede serlo, cuando la longitud de la
R ad iación
/ 727
antena deja de ser despreciable. De acuerdo con la simplificación de línea de transmisión, en los brazos de la antena de A/2, la corriente, dada en (16.34) (véase figura 16.9), es /(z') = I 0eos fíz, para - A/4
(16.76)
3. Falso. Se deduce de (16.34) —distribución basada en la simplificación de línea de transmisión— que el máximo de la magnitud del fasor de la corrien te se encuentra donde l__X_ 12 4
(16.77)
Expresión general que refuta la proposición; sin embargo, ésta es cierta cuando l=Á/2. 4. Cierto. Se sigue de (16.76) que en el centro de la antena la magnitud del fasor de la corriente toma un valor máximo e igual a | / 0| . 5. Cierto. Ese fasor se obtiene de (16.34), cuando se hace l = A, y vale Lo (O) = Lo sen(/3 A/2) = 0 . ' ; ; '■ 6.
Cierto. Se deduce de (16.34) que el sentido de í(z') es opuesto al del eje Z, cuando z' - 0 y 1 = l,5Á,.y que en las vecindades de los puntos extremos, don de z' =±1/2, el sentido de 7(z') es el mismo del eje Z. 7. Falso. La distribución de corriente en los brazos de una antena larga di fiere substancialmente de la prescrita por (16.34) cuando aquélla tiene pér didas o el radio y la separación entre los brazos son finitos y no desprecia bles. Si el radio no es despreciable, la distribución puede calcularse por aproximaciones sucesivas, como un problema de valores en la frontera, o por el método de los momentos. 8.
Cierto. Los campos electromagnéticos radiados por una antena larga, dados para la zona de radiación por (16.36) y (16.37), se obtienen al suponer que la antena está constituida por un conjunto infinito de dipolos ideales, colineales e infinitesimales; en consecuencia, como en un dipolo eléctrico la carga neta es 0 , también lo es la de la antena. 9. Falso. De (16.36) y (16.37) se deduce que, como las fases de las intensida des del campo electromagnético sólo dependen de la coordenada esférica r, las superficies de fase unifórme son esferas.
■
7 2 8 / Teoría electromagnética
10. Cierto. Aunque los campos emitidos por una antena larga son TM, en la zona de radiación la componente radial de E tiende a 0 y en esa región aqué llos se convierten en TEM. 11. Falso. Son ondas esféricas, como se explicó en la proposición anterior; son aproximadamente planas, sin embargo, cuando se examina un área pe queña: del frente de onda, debido a que el radio de curvatura respectivo es muy grande. Y' -^ 12. Falso. Los campos emitidos por una antena larga son TM, ya que se deducen a partir de los radiados por un dipolo eléctrico ideal; tienden a ser TEM, sin embargo, en la zona de radiación. 13. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. La proposición es falsa, según lo expuesto al solucionar la anterior, porque los campos de una antena larga son TM; puede aceptarse como cierta para la zona de radiación, sin embargo, puesto que allí la componente radial de E tiende a 0. 14. Falso. En esa zona se acepta que (/3r)",v = 0 , para N > 2 . La conclusión se ratifica al observar (16.39). 15. Cierto. La longitud de: onda es de 10 [m] y la longitud de la antena que la emite es A/2; para 6 = n/2, que corresponde al máximo de |f?|, de (16.39) se obtiene |/ 0| ~ (2nr/r))\E\^ =1/60 = 1 , 7 x 1 0 [A].
;
;;,
16. Cierto. La longitud de onda es'dé 2 [rn] y la longitud de la antena que la emite es 2,5A; para 6 = n/2, que corresponde al máximo de |2?|, de (16.36) se obtiene 2nr\ E n l i -■eos{nl/X)\
1 /6 0 =1,7 XI O’2 [A] .........
17. Falso. Como el sentido de la corriente varía a lo largo de los brazos de la antena de longitud igual a 1,5A, de acuerdo con la proposición 16.4.6, las ondas emitidas por diferentes puntos de la misma presentan efectos signifi cativos de interferencia y cancelación. « 18. Cierto. Las intensidades propuestas están dadas por (16.36) y (16.37); puede verificarse por cálculo directo que satisfacen (14.3) y (14.4), pero no (14.2) y (14.5). Ello se debe á que en la zona de radiación se desprecian, cuando N >2, los términos de E yH _ e n los que aparece {(3r) ~N. ......_ 19. Cierto. Varía con r-2, como se observa en (16.40). 20.
Falso. En la dirección indicada, 0 = 0 °, y se concluye de (16.40), después de levantar la indeterminación, que en tal caso 5 = 0. De la ecuación citada se
R ad iación / 7 2 9
deduce que el máximo de |S | ocurre en 6 =90°; es decir, en los puntos del plano perpendicular a la antena y que pasa por su centro. 21. Cierto. Las intensidades del campo electromagnético en la onda “me nos”, debidas a una antena lineal, se obtienen de las de la onda “más” al sustituir (3 y r¡, respectivamente, p o r -/3 y -r¡. Esas intensidades en la onda compuesta, en una antena de A/2, deducidas de (16.39) son E
H
E++ E ^ i e
in eos je o s G | (r+e-JPr- I . e ipT) 2nrsenG
- H t +H_ = x
— 1— 2nrsen6
eos | c o s 0 j( /+e-- ¡Pr + l _ e » T)
donde /+ e /_ son los fasores de la corriente, correspondientes a cada tipo de onda, en la antena. Entonces n eos' COS0 8n~r sen tí . v r . .
= R e ] i ( £ , + £ j x ( g , + S . ) ' j . i r- . ,
, J
.2 < S >
= < S ^
> + < S_ >
22. Falso. Según (16.40) es uniforme; es decir, no depende del radio de la esfera que tiene a la antena en su centro. Ello se debe a que el medio mate rial dentro del cual la antena está colocada no disipa energía^ 23. Cierto. Se confirma en (16.40). 24. Cierto. La longitud de onda de la frecuencia informada es de 3 [m] y la longitud de la antena que la emite, igual a A/2 ; la potencia emitida, calcula da con (16.40), es < P > = 36,6|/0¡5 = 0,37 [YV], 25. Cierto. De (16.39) resulta =
>
26. Cierto. La resistencia a la radiación en la antena de A/2, según (16.40), es de 73,2 [Í2], y en el dipolo eléctrico, dada por (16.30), no llega a 1 [£2], pues la longitud del dipolo debe ser mucho menor que la longitud de onda. Si la longitud de la antena es >1/50, por ejemplo, la resistencia radiante respectiva vale 0,316 [Q]. 27. Falso. Es independiente de |/ 0| y vale 73,2 [Í2]. Conviene subrayar, sin embargo, que el resultado anterior sí depende de cómo se distribuye la co-
7 3 0 / T eoría electromagnética
.m ente en los brazos de la antena, y es diferente en el caso de que no se úse la simplificación de línea de transmisión, ecuación (16.34). 28. Falso. Se observa en (16.41) que la directividad de esa antena es inde pendiente de la corriente. 29. Cierto. La resistencia a la radiación de una antena se definió con (16.18), en la que | / 0| es el máximo de la am plitud de la corriente que circula por aquélla. Si se quiere usar la am plitud de la corriente en la ali mentación de la antena, j ^ l , para definir la resistencia a la radiación, RA, entonces < P > = RR\¿0f ¡2 = RA\¿Af ¡2. De donde, tomando en cuenta (16.34), resulta RA = (|/0|/ |/ *| )*i?* = #* s e n '2 l /A), que se hace infinita cuando la an tena tiene una longitud igual a A. Sin embargo, en la práctica, el valor de RA es muy alto pero no resulta infinito, debido a que la distribución de corriente no es exactamente senoidal como se supone en (16.34); a ello contribuyen el que el radio de los brazos de la antena y el entrehierro entre éstos sean finitos. 30. Falso. La impedancia se calcula, en la alimentación de una antena lineal, a partir de las intensidades del campo electromagnético producidas por ésta en la región que le es más cercana y con el uso de las integrales del seno y el coseno, cuyos valores exactos se encuentran tabulados. De tales cálculos re sulta = 73,2+ ;42,5 [£2]. 31. Falso. Se deduce de (16.41) que, cuando 0 = 0°, la ganancia directiva, después de tomar el límite con la regla de L ’Hópital, es igual a 0, y que la di rectividad se presenta en 0 = 90°. 32. Cierto. En el dipolo eléctrico la directividad es igual a 1,5, y en la antena de A/ 2 vale 1,64. 33. Cierto. La potencia total radiada por la antena a través de una esfera de radio r, concéntrica con aquélla, y la ganancia directiva de la misma, calcula das con (16.15) y (16.17), son
R ad iación / 731
35. Cierto. Los conos de silencio de las antenas mencionadas son las regio nes encerradas por dos superficies cónicas de revolución, en las que el eje de simetría es el Z y cuyos semiángulos en el vértice son aquéllos para los cuales las ganancias directivas se hacen iguales a la mitad de la directividad; en la región descrita, 5 y la potencia, que emite cada una de las antenas son pe queños cuando se los compara con los que fluyen por la región restante. Los semiángulos de los conos de silencio son 45° y 135°, en el dipolo eléctrico radiante, mientras que en la antena de A/2 son 51° y 129°; en consecuencia, esos conos son menores en el dipolo eléctrico. 36. Falso. El ancho del patrón de la ganancia directiva de una antena es, de acuerdo con lo establecido en el artículo 16.0.14, el ángulo entre las dos direcciones, definidas con respecto al eje Z, para las cuales la ganancia direc tiva es igual a la mitad de la directividad; por tanto, y según las explicaciones dadas en la proposición anterior, ese ancho es de 90° en el dipolo eléctrico radiante y de 78° en la antena de A/2 . 37. Falso. De acuerdo con la definición dada en el artículo 16.0.14 y los re sultados de la proposición 16.4.33, las direcciones en las que la ganancia directiva es igual a la mitad de la directividad corresponden a 0 = 30° y 9 = 150°, y el ancho del lóbulo es de 120°.
16.5 Antenas cerradas P r o p o s ic io n e s
1. Los dipolos magnéticos radiantes tienen que ser circulares. 2. La corriente que circula por un dipolo magnético radiante es uniforme. 3. Para determinar el campo electromagnético emitido por una antena circu lar, en la aproximación dipolar se supone que la longitud de onda de aquél debe ser mucho más grande que el perím etro de ésta. 4. El potencial escalar eléctrico de un dipolo magnético radiante es 0. 5. Si se duplica el radio de un dipolo magnético radiante, cuya forma es cir cular, el .4 mde éste se duplica. 6.
El A m de un dipolo magnético radiante es transversal.
7. El dipolo magnético radiante emite ondas TM. 8.
Las ondas emitidas por un dipolo magnético radiante son cilindricas.
7 3 2 / Teoría electrom agnética
9. Las ondas emitidas en el aire por el dipolo magnético radiante son “esta cionarias”. 10. Si un dipolo magnético radiante se coloca en el origen de coordenadas, orientado en la dirección del eje Z, en los puntos del plano XY la intensidad del campo eléctrico respectivo está polarizada en la dirección del eje Z. 11. La velocidad de fase de la E emitida por un dipolo magnético radiante, inmerso en el aire, es igual a la de la luz allí. 12. Si se duplica el radio de un dipolo magnético radiante de forma circular, se duplica la amplitud de H. 13. Las ’E y H emitidas por un dipolo magnético radiante son mutuamente ■ortogonales... 14. La intensidad fasorial del campo magnético en la onda “menos”, de un dipolo magnético radiante, es H . ~ - iBitM señé) elPr/(A 2r) en la zona de ra diación. 15. En el nadir del dipolo magnético radiante,
S
= 0.
16. El vector de Poynting medio, correspondiente a la superposición de las ondas “más” y “menos” de un dipolo magnético radiante, es igual, en la zona de radiación, a la suma de los vectores medios de Poynting de las ondas cita das, tomadas por separado. 17. La potencia media emitida por un dipolo magnético radiante, inmerso en el aire, es uniforme. 18. Si se duplicada frecuencia, la potencia media emitida por un dipoío mag nético radiante se cuadruplica. 19. Si se duplica el número de espiras de un dipolo magnético radiante, se duplica la potencia emitida. 20. Si son iguales la longitud de un dipolo eléctrico y el perím etro de uno magnético de forma circular, ambos radiantes e ideales, así como las ampli tudes de las corrientes que llevan y las frecuencias de las señales emitidas, entonces la potencia media del eléctrico es mayor que la del magnético. 21. Si en un dipolo magnético radiante, inmerso en el aire y de forma circu lar, a = 0,15 [m], |/0| = 1 [A] y / = 1 xlO 7 [Hz], entonces la potencia media emi tida es de 9,6 x 10~3 [W]. 22. La potencia reactiva del dipolo magnético radiante es nula. 23. La potencia reactiva emitida por un dipolo magnético radiante no es uniforme.
R ad iación / 7 3 3
24; La potencia compleja emitida por un dipolo magnético radiante es, en sus vecindades, fundamentalmente reactiva, . •t 25. La potencia compleja emitida por un dipolo magnético radiante es, en sus vecindades, inductiva. 26. Si se duplica el radio de un dipolo magnético radiante, de forma circular, se cuadruplica su resistencia a la radiación. . 27. La resistencia a la radiación de un dipolo magnético radiante se incrementa al aumentar la amplitud de la corriente que circula por éste. 28. Si se duplica el número de espiras dé un dipolo magnético radiante, la resistencia radiante se cuadruplica. 29. La resistencia a la radiación de una antena circular, de alambre delgado, inmersa en el aire y cuyo radio es A/60, es igual a 2,37 xlCT2 [£2]. 30. Si la resistencia a la radiación de una antena circular, de alambre delga do, inmersa en el aire y de radio igual a A/50, debe ser al menos de 75[£2], entonces aquélla debe tener por lo menos 30 espiras. 31. La resistencia a la radiación de un dipolo magnético radiante puede in crementarse al insertarle un núcleo de ferrita. 7 32. La, reactancia de un dipolo magnético radiante es capacitiva. 33. El dipolo magnético radiante emite el máximo | Sr| en 0 = 90°. 34. Si se duplica el radio de un dipolo magnético radiante, de forma circular, se duplica su directividad. 35. El dipolo eléctrico radiante tiene mayor directividad que el dipolo magnético radiante. 36. La directividad del dipolo magnético radiante es m enor que la de la an tena, de. A/2.' 37. El ancho del patrón de la ganancia del dipolo magnético radiante es 45°. 38. El ancho del patrón de la ganancia de una antena de A/2 es menor qué el de un dipolo magnético radiante. 39. La corriente que circula por una antena circular, de alambre delgado, es, indépendiehtemente del radio de la espira, uniforme. 40. Las intensidades del campo electromagnético en la zona de radiación, emitidas por una antena circular que lleva úna corriente aproximadamente uniforme y cuyo radio es igual o menor que Á/(6n), son aproximadamente iguales a los de un dipolo magnético radiante.
7 3 4 / Teoría electromagnética
41. Las intensidades del campo electromagnético en la zona de radiación, emitidas por antenas circulares o cuadradas que llevan corrientes uniformes y enlazan áreas iguales, son iguales. 42. La resistencia a la radiación de una antena circular, inmersa en el aire y de radio >V2 , vale 1 .0 0 0 [Q]. 43. La potencia media emitida por una antena circular, inmersa en el aire, de radio X/2, y que lleva una corriente de 1 [A] de amplitud, es de 930 [W]. 44. El radio de una antena circular que lleva' una corriente uniforme, para que la ganancia directiva se anule sólo en 0 = 0°, 90° y 180°, es de 0,61/1. 45. En una antena circular, que lleva una corriente uniforme y de radio Á/2, la directividad se presenta en 0 = 36°. ■ 46. La directividad de una antena circular, inmersa en el aire y de radio X/2, es 2,14..' S o lu c io n e s
1. Falso. Como el dipolo magnético radiante es un hilo conductor cerrado, que lleva una corriente variable en el tiempo y enlaza un área vectorial, A, la geometría de la espirá puede ser arbitraria: circular, triangular, cuadrada, rectangular, rómbica, etc. Cuando el perím etro de la espira; C, no es despre ciable al compararlo con la longitud de onda, el dipolo magnético no puede considerarse como ideal; en tal caso, la evaluación de la integral de (16.14) se complica y debe efectuarse por separado para cada geometría. 2. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Es cierto, cuando el alam bre es muy delgado y el perímetro de la espira, C, mucho menor que la lon gitud de la onda emitida; falso, en casó contrarió. Obsérvese que un alambre grueso tiene capacidad, puede almacenar carga y la corriente de desplaza miento respectiva impide la uniformidad de una corriente libre variable en el tiempo. 3. Cierto. Porque se supone que el radio de la espira tiende a 0. En esa aproximación, además, la corriente que circula por el alambre se considera uniforme, y ello es cierto cuando éste es muy delgado, y el radio de la espira, a, es tal que fia = 2na/X = C/X « 1, donde C es el perímetro de la espira. 4. Cierto. Puesto que el modelo ideal del dipolo magnético supone continua y sin interrupciones la corriente que circula por la espira cerrada que lo for ma, la densidad volumétrica de carga en ésta, p, es 0 en todos los püntos; en
R ad iación
/ 735
consecuencia, de acuerdo con (16.9), el potencial escalar eléctrico también es nulo. 5. Falso. Al duplicar el radio de la espira, se cuadruplican el área limitada por ésta, el momento de dipolo magnético y, según (16.42), el,A mrespectivo. 6.
Cierto. Se constata en (16.42) que A mno tiene componente radial.
7. Falso. Son TE, como se sigue de (16.43) y (16.44); sin embargo, en la zona de radiación se aproximan a TEM. v 8.
Falso. Son esféricas, ya que, según se observa en (16.43) y (16.44), las fases de las intensidades del campo ,electromagnético sólo dependen de la coor denada r del sistema de coordenadas esféricas. 9. Falso. Son ondas viajeras cuya velocidad de fase en la zona de radiación, como se sigue de (16.45) y (16.46), es lá de la luz. Conviene mencionar que, en general y de acuerdo con (16.43) y (16.44), las velocidades de fase de las ondas de E y H dependen de la posición. 10. Falso. En el plano XY, 6 = 90°, y se observa en (16.43), para refutar la proposición, que en ese plano la dirección de E es perpendicular al eje Z. 11; Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. De (16.43), después de hacer M = \M\el6: y tañó, = ¡5r, resulta E = -i_ - —
4 TC
send
1
{prf
•+ J o-ÍPr ¡3r -|l/2
. ú)[A'_m_ \__( ¡3 1 E— = 4i sen0 1+ 4 tzr íf>r j
La fase y la velocidad de fase de E son, entonces, fase =
+
+ 0 2 - n/2
y vF = dr/dt = c [(/3r )~2 + 1], y •se concluye que la velocidad de fase de E no es uniforme pues depende de r; tiende a la de la luz, sin embargo, en la zona de radiación, ya que fir » 1. 12. Falso. Se cuadruplica, según (16.44), pues la amplitud de H es directa mente proporcional a la del momento de dipolo magnético de la espira, el cual, a su vez, lo es del cuadrado del radio. 13. Cierto. Como, de acuerdo con (16.43) y (16.44), E sólo tiene componente en la dirección iv, y H, en i Te ie, entonces E » H = 0. 14. Cierto. Se confirma la proposición al sustituir, en (16.46), /? y A por -(3 y ->k.
7 3 6 / Teoría electrom agnética
15. Cierto. En el nadir del dipolo, 0 = 180°; entonces E y S, según (16.43) y (14.33), son también 0. 16. Cierto. Las intensidades fasoriales de los campos en lá onda “menos’’ se deducen de las de la onda “más”, dadas en (16.45) y (16.46), al cambiar ¡5, rj y X por -j 8, -77 y -X; en la onda compuesta, E y H_ son
I =I+ +I = L v ^ e n 0 ( M y if,T- M e jfir) X'r
' ■v, ■
H = H ^ + H _ = - i 0-~ sen 6 (M+e-iltr + M_eií> T ) donde M+ y M_ son los fasores del momento, correspondientes a cada tipo de onda, en el dipolo. En consecuencia, ’ < S > = R e { |(£ , + É :) ( g , + á j -
J
- i, ^ v s e h
’0
(]M .r-IM -fl
< S > =
» 1
donde M = C 21/(4n), y C es el perímetro del dipolo magnético. La fracción es mucho mayor que la unidad, de acuerdo con la proposición 16.5.3. 21. Falso. Como la longitud de onda correspondiente a la frecuencia infor mada es de 30 [m], unas treinta veces mayor que el perím etro de la antena, ésta puede considerarse un dipolo magnético; la potencia media emitida, calculada con (16.48), es.......... ................ .. ........ ........
4 tt3 t]\Mf _ íeÓTrVj/f 3 Xa Xa
9,6xlO"5 [W]
R ad iación / 7 3 7
22. Falso. Al sustituir (16.43) y (16.44) en (14.33) se obtiene el vector com plejo de Poynting, cuya componente radial es r¡
n-\M\ 2A V
sen ~9 í + 7
(Prf
La potencia compleja se calcula como el flujo de este vector a través de la superficie de una esfera centrada en el dipolo y de radio r: p _ 4ns r¡\Mf “
3
A"
(16.78)
donde se observan partes resistiva y reactiva; sin embargo, en la zona de radiación la potencia reactiva tiende a 0 . . 23. Cierto. Se advierte en (16.78) que esa potencia decrece con el cubo de la distancia. 24. Cierto. En (16.78) se observa que para valores pequeños de /3r, fir « 1, el segundo término del corchete es dominante y ello hace que la potencia compleja sea fundamentalmente reactiva. 25. Cierto. En (16.78) sé advierte que el signo de la potencia reactiva, la cual es dominante cerca del dipolo, es positivo, y por ello se concluye que aquélla es inductiva. 26. Falso. Al duplicar el radio se duplica el perímetro del dipolo y, según (16.50), se multiplica por dieciséis la resistencia a la radiación. 27. Falso. Se mantiene igual; según (16.49), debido a que el momento de dipolo magnético es directamente proporcional a la amplitud de la corriente que circula por éste, esa resistencia no depende de la corriente. 28. Cierto. Se sigue directamente de (16.50). 29. Cierto. Como el radio de la espira es pequeño comparado con la longi tud de onda, la antena puede aproximarse a un dipolo magnético; de (16.50) resulta R r = 207r(C/A)4 = 320^760" =2,37.x 10.■* [G]. 30. Falso. Como el radio dé la espira es pequeño comparado con la longitud de onda, la antena puede aproximarse a un dipolo magnético; de (16.50) resulta Rr ~ 207T (C/A)4 N ' = H20n6N '/5 0 ‘l > 75; por tanto, N- > 39. 31. Cierto. La ferrita es un material ferromagnético no conductor y cuya permeabilidad es mucho mayor que la del vacío; en consecuencia, sin que
7 3 8 / Teoría electrom agnética
aumenten substancialmente las pérdidas por efecto Joule, se incrementan el flujo, la inducción y la intensidad magnéticas, así como la potencia emitida y la resistencia a la radiación del dipolo. Esta última queda multiplicada, aproximadamente, por el cuadrado de la razón entre la permeabilidad efec tiva de la ferrita y la del aire. 32. Falso. Es inductiva, por las razones expuestas en la proposición 16.5.25 33. Cierto. Lo confirma (16.47).
,.-
'
34. Falso. Sigue valiendo 1,5; esa directividad no depende del radio de la .espira;.,; 35. Falso. Ambas son iguales a 1,5. 36. Cierto. Son iguales, respectivamente, a 1,5 y 1,64. 37. Falso. Por la analogía entre las expresiones respectivas, ese ancho es igual .al del dipolo eléctrico y vale 90°. 38. Cierto. De acuerdo con la proposición anterior y la 16.4.36, esos anchos son iguales, respectivamente, a 78° y 90°. 39. Falso. En una antena circular la corriente es uniforme, aproximadamen te, cuando el alambre es muy delgado y el radio de la espira pequeño. La suposición va perdiendo validez, sin embargo, cuando el perím etro de la espira es mayor que 0,2A; en estos ca.sos es común suponer que la corriente se reparte por la espira en forma senoidal, aunque en los puntos de alimen tación de la antena ello sea poco satisfactorio. Una mejor distribución de la corriente se obtiene al representarla mediante una serie de Fourier. 40. Cierto. (16.52) y (16.53) dependen d ej,(/3 asen 0 ), y esta función puede aproximarse al prim er término de la serie equivalente cuando el argumento es pequeño; es decir, J,(/3asen0) = (/fosen 0)/2. Áí llevar la aproximación a (16.52), por ejemplo, sale una expresión que coincide con (16.45): “
4
4r
yr
nM_ W
send/
- jf ir
Para antenas circulares en las que a<Á./(6n), el error que se comete en la aproximación anterior es del orden del 1 %, lo cual confirma la proposición. 41. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Cierto, cuando los perím e tros de las antenas son pequeños comparados con la longitud de onda y aquéllas pueden considerarse como dipolos magnéticos radiantes; falso, en caso contrario. 42. Falso. De (16.55) se obtiene Rx = 60?r (C/A) = 60 tts = 1860 [Q],
Radiación / 7 3 9
4 3 . Cierto. Y a q u e < P > = Í ? f i | / 0 |2 / 2 = 9 3 0 [ W ] j l o c u a l r e s u l t a d e ( 1 6 . 1 8 ) y l a proposición anterior. 44. Cierto. La ganancia directiva de la antena se anula si, según (16.56), /,(/3asen0) es 0. El primero y el segundo de los ceros d e o b t e n i d o s de una tabla de funciones de Bessel, se presentan cuando el argumento de la fun ción es igual, respectivamente, a 0 y 3,83. De donde se deduce que el prim e ro de los ceros ocurre cuándo 0 = 0° y 180°, y el segundo, en 0 = 90°, si 3,83 = (HasenG = 2ita/X; por tanto, a ~ 0,61A. En conclusión, una antena circu lar con un radio igual al calculado satisface las condiciones de la proposición. 45. Cierto. La directividad es la ganancia directiva máxima, y en la antena circular se presenta si, según (16.56), asenO) toma el valor máximo; ese máximo ocurre cuando el argumento de / , toma el valor 1,84; es decir, /3asen0-7rsen0 =1,84, por tanto, 0 = 36°. 46. Cierto. De (16.56) resulta Dmii: ~ 0,682(C/A)= 0,682^ ~ 2,14.
16.6 Arreglos de antenas P r o p o s ic io n e s
1. Los arreglos de antenas sólo se forman con dipolos eléctricos radiantes. 2. Los elementos de un arreglo de dipolos eléctricos radiantes pueden no ser paralelos entre sí. 3. Las aproximaciones usadas al desarrollar la teoría de arreglos de antenas son inaplicables en las cercanías del grupo. 4. Las E emitidas por los diferentes elementos de un arreglo de antenas son paralelas entre sí. 5. Con un arreglo de antenas pueden emitirse ondas “menos”. 6. El factor de elemento de un arreglo de antenas depende de la geometría del grupo. 7. El factor de arreglo para dos dipolos eléctricos paralelos depende de la orientación espacial de los momentos respectivos. 8. La presencia de la tierra no afecta la radiación emitida por una antena. 9. El efecto de la tierra sobre la radiación emitida por una antena puede considerárse como equivalente al de un plano perfectamente conductor.
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Teoría electrom agnética
10. El efecto de la tierra sobre la radiación emitida por una antena puede estudiarse, en análisis de ingeniería, mediante la teoría de imágenes. 11. Si un dipolo eléctrico radiante está colocado paralelamente a un plano perfectamente conductor, el momento del dipolo imagen es de igual magni tud, paralelo y de sentido opuesto al del real. 12. Si un dipolo eléctrico radiante está colocado perpendicularm ente a un plano perfectamente conductor, el momento del dipolo imagen es de igual magnitud, paralelo y de sentido opuesto al del real. 13. Si un dipolo magnético radiante está colocado perpendicularm ente a un plano perfectamente conductor, el momento del dipolo imagen es de igual magnitud, paralelo y del mismo sentido que,el real. 14. Si Un dipolo magnético radiante está colocado paralelamente a un plano perfectamente conductor, el momento del dipolo imagen es de igual magni tud, paralelo y del mismo sentido que el real. 15. La E, en la zona de radiación, emitida por dos dipolos eléctricos, colineales y paralelos al eje Z, ubicados en los puntos (0/0, A/2) y (0, 0, —A/2), y cuyos momentos de corriente son iguales, es el doble de la emitida por uno solo. 16. Si un dipolo eléctrico real está en el aire, paralelo al eje Z, situado en el punto (0, 0, A) y su momento de corriente es ¿,/0d, y la tierra, que se supone plana y perfectamente conductora, está ubicada en z = 0, entonces en la zona de radiación la E emitida es - - - --- - -- --- ------.... -■ E
= i gj
.I2 0 n lnde-jllr
'
. ~ —---- cos0 cosmA eos a
r
«)
17.: Si un dipolo magnético radiante está colocado en el punto (0, 0, A), es paralelo al eje Y y su momento es i.M, v la tierra, que se supone plana y per fectamente conductora, está ubicada en z = 0, la E emitida en la zona de ra diación, en puntos del plano YZ, es E = i 2r\
nMe~^T / — eos 0 eos (/3A eos e ) Á~r
18. El patrón de radiación de la £ emitida por un dipolo eléctrico, situado en el punto (0, 0, A/2) y cuyo momento de corriente es ¿,7o d, cuando la tierra, que se supone plana y perfectamente conductora, está ubicada en z = 0, pre senta tres lóbulos en z >0. : ; 19. Si un arreglo está formado por dos dipolos eléctricos, inmersos en el aire y ubicados en los puntos (0, 0, 5/2) y (0, 0, -5/2), cuyos momentos de co
R adiación
/ 741
rriente son iguales en amplitud pero están desfasados 180°, y se duplica la frecuencia de la señal emitida, en la zona de radiación se duplica la magni tud de la E del arreglo cuando 5 « A. 20. Si un dipolo eléctrico real, de longitud efectiva igual a Á/50, está inmerso en el aire, paralelo al eje Z y situado en el punto (0, 0, h), y la tierra, que se supone plana y perfectamente conductora, está ubicada en z = 0, el valor mínimo de h para el cual la E se anula sólo en 6 = 0°y 30°, en el intervalo 0o< e <90°, es 0,29Z. ' . 21. Si un dipolo magnético radiante está colocado en el punto (0, 0, h) y es paralelo al eje y, y la tierra, que se supone plana y perfectamente conducto ra, está ubicada en z = 0, el valor mínimo de h para el cual se anula E en el plano YZ, cuando 6 = 45°, es A/2. 22. El S de un arreglo formado por dos dipolos eléctricos,: colineales y para lelos al eje Z, ubicados en los puntos (0, 0, A/2) y (0, 0, -Z/2), y cuyos mo mentos de corriente son iguales entre sí, es 0 en d = 60°. .23. El patrón de radiación del |5 | de un arreglo formado por dos dipolos eléctricos, colineales y paralelos al eje Z, ubicados en los puntos (0, 0, 5/2) y (0, 0, -5/2), y cuyos momentos de corriente son iguales en amplitud pero están desfasados 180°, tiene dos lóbulos cuando <5< A. 24.. Si un dipolo eléctrico radiante, de longitud efectiva d, centralmente ali mentado, está inmerso en el aire, a una distancia h — > 0, y perpendicular a un plano perfectamente conductor, la resistencia a la radiación es 160 25. Un monopolo eléctrico radiante, de longitud efectiva d, está inmerso en el aire, a una distancia h —>0 y perpendicular a un plano perfectamente con ductor; cuando el dipolo está alimentado por .una fuente conectada entre el plano y su extremo inferior, la resistencia a la radiación es 80 T^{d/X)-. 26. Una antena de A/4 está inmersa en el aire, a una distancia h ■ —>.0. y per pendicular a la tierra, que se supone plana y perfectamente conductora; cuando la antena está alimentada por una fuente conectada entre el plano y su extremo inferior, la resistencia a la radiación es 146,4; 27. Si un dipolo eléctrico radiante, de longitud efectiva d, centralmente ali mentado, está inmerso en el aire a una distancia h —>0 y perpendicular a un plano perfectamente conductor, la directividad vale 0,75. 28. Si un dipolo eléctrico radiante está inmerso en el aire, a una distancia h. —>0 y paralelo a un plano perfectamente conductor, la directividad es nula.
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Teoricé electrom agnética
29. Una antena de A/4 está inmersa en el aire, a una distancia h —» O y p er pendicular a la tierra, que se supone plana y perfectamente conductora; cuando la antena está alimentada por una fuente conectada entre el plano y su extremo inferior, la directividad es 3,28. 30. Con un arreglo de antenas puede aumentarse la directividad de la señal emitida-".' 31. El factor de arreglo de dos dipolos eléctricos, ubicados en los puntos (0, 0, 8/2) y (0, 0, -8/2), y cuyos momentos de comente son iguales a ijrfl, depende lineal mente de cosí?. 32. El factor de arreglo de dos dipolos eléctricos, ubicados en los puntos (0, 0, /1/4) y (0, 0, -A/4); y cuyos momentos de corriente son iguales a ijjfL, es 0 en 6 = 90°. 33. La magnitud del factor de arreglo de dos dipolos eléctricos ubicados en los puntos (Ó, 0, A/4) y (0, 0, -A/4), y cuyos momentos de corriente son para lelos al eje Z, iguales en magnitud pero desfasados 180°, presenta un valor máximo en 0 = 0°. 34. El patrón de radiación del factor de arreglo de una antena multielemental formada por dos dipolos eléctricos, ubicados en los puntos (0, .0, 5/2) y (0, 0, -5/2),^y cuyos momentos de corriente son. iguales a ij^d, tiene dos lóbulos cuando 5 < A/2. 35. El ancho del patrón de radiación del factor de arreglo de una antena multielemental formada por dos dipolos eléctricos, ubicados en los puntos (0, 0, A/4) y .(0, 0, —A/4), y cuyos momentos de corriente son iguales a iJj^d, vale n/2. 36. El factor de arreglo de tres dipolos eléctricos ubicados en los puntos (0, 0, 0), (0, 0, A/2 ) y (0, 0, A), y cuyos momentos de corriente son iguales a es 0 en 6 = 60°. ,■ 37. La magnitud del factor de arreglo de tres dipolos eléctricos, ubicados en los puntos (0, 0, 0), (0, 0, A) y (0, 0, 2A), y cuyos momentos de corriente son iguales a iiU d, tiene valores máximos en 9 = 0o, 90° y, 180°. 38. La magnitud del factor de arreglo de tres dipolos eléctricos ubicados en los puntos (0, 0, 0), (0, 0, X/2) y (0, 0, A), y cuyos momentos de corriente son iguales a í d J , tiene valores máximos en 6 = 0° 90° y 180°. 39. En la zona de radiación de un arregló de N dipolós eléctricos y colinea¿ les, S es 0 a lo largo del eje de aquél.
Radiación
/ 743
40. En la zona de radiación de un arreglo de N . dipolos eléctricos y paralelos, el S total es igual a la suma de los S emitidos por. los dipolos en forma sepa rada. 41.. El factor de arreglo de N dipolos eléctricos y. colineales, ubicados a lo largo del eje Z y paralelos a ese eje, es igual al que corresponde a los mismos dipolos cuando éstos son perpendiculares a dicho eje. 42. La magnitud del factor de arreglo de tres dipolos.eléctricos,, ubicados en los puntos (0, 0, 0), (0, 0, A) y (0, 0, 2A), y cuyos momentos de corriente, pa ralelos al eje Z, son lj¡d, 2 / 0d e 70c¿, es igual a \FAj = 4 |/0|d c o sa c o s #). 43. El valor máximo de la magnitud del factor de arreglo de N dipolos eléc tricos consecutivos, separados la distancia <5 a lo largo del eje Z, y cuyos mo mentos de corriente son iguales a vale i v |/ 0| <5. 44. Para que, en 0 = 90°, ocurra un máximo de la magnitud del factor de arreglo de N dipolos eléctricos colineales y consecutivos, separados la distan cia <5a lo largo del eje Z, y cuyos momentos de corriente tienen igual magni tud, es necesario que éstos estén en fase. 45. Para que el valor máximo de la amplitud del factor de arreglo de N dipo los eléctricos consecutivos, separados la distancia <5 a lo largo del eje Z y cu yos momentos de corriente son iguales a se presente sólo en 9 = 90°, es necesario que 8 = MX, para M = 1,2,3,... 46. Para que, en 6 = 0°, ocurra un máximo de la amplitud del factor de arre glo de N dipolos eléctricos colineales y consecutivos, separados la distancia 8 a lo largo del eje Z, y cuyos momentos de corriente tienen igual magnitud, es necesario que éstos estén en fase. 47. El patrón de radiación del factor de arreglo de Ñ dipolos eléctricos con secutivos, separados la distancia 8 a lo largo del eje Z, y cuyos momentos de corriente son iguales a L /0¿, no tiene lóbulos secundarios cuando N8 = X. S o lu c io n e s
1. Falso. Los elementos radiantes que se agrupan pueden ser muy diversos; por ejemplo, dipolos eléctricos o magnéticos, y antenas de A/4 o A/2. 2. Cierto. Ello no está prohibido; conjuntos de dipolos no paralelos pueden usarse para deducir los patrones de radiación de antenas poligonales, como la cuadrada o la rómbica. Sin embargo, es conveniente que sean paralelos, para poder definir el factor de elemento que caracteriza el grupo y usar sim-
7 44 / Teoría electromagnética
pliñcaciones como las que llevan a (16.57) y (16.58); entre éstas, recuérdese, por ejemplo, que se suponen aproximadamente paralelas las £ y H debidas a los distintos dipolos. 3. Cierto. Son aplicables sólo en la zona de radiación, cuando r » r., donde se puede suponer que, aproximadamente, son paralelas las £ y H debidas a las distintas antenas, e iguales las distancias entre éstas y el puntó de obser vación, y lós ángulos que los vectores ( r - r ,) determinan con el eje Z. 4. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. És Cierto, aproximadamen te, si los dipolos son paralelos y cercanos entre sí, y las E emitidas por cada uno se comparan en la zona de radiación del agrupamiento; falso, en caso contrario...;"/ r : v,/.■/■::, 5. Falso. Las antenas, individuales o en grupo, emiten ondas “más” cuando operan en el espacio libre; allí, las ondas “menos” violan el principio de causalidad. Estas ondas pueden surgir como consecuencia de reflexiones en interfaces. 6. Falso. El factor de elemento depende, como su nombre lo sugiere, del tipo de antena que se elige para formar el grupo, y lo caracteriza; en el caso de un arreglo de dipolos eléctricos, por ejemplo, el factor de elemento equi vale a la £ en la zona de radiación debida a un dipolo cuyo momento de corriente, Id, es unitario. 7. Falso. Ese factor depende, en general, del número, las longitudes y la distribución geométrica de los elementos del arreglo, y de las fases y magni tudes relativas de sus corrientes; no depende, como sí ocurre con el factor de elemento, de la orientación relativa del dipolo con referencia al sistema de coordenadas elegido. Es decir, el factor de arreglo no cambia cuando los dipolos son paralelos al eje X o al Z. 8. Falso. La presencia de cualquier obstáculo, especialmente de la tierra, altera las propiedades radiantes de una antena, debido a las reflexiones que aquél produce. La cantidad y dirección de la energía reflejada dependen de la geometría y propiedades electromagnéticas locales, como permitividad, permeabilidad y conductividad, de la tierra. 9. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Ya que la tierra es un medio material, de parámetros locales gt, £ y g, cuya conductividad efectiva está in fluenciada por la humedad y cambia con la frecuencia, la proposición es falsa, en sentido estricto; es decir, la Tiérrá es curva y no puede reflejar toda la energía emitida por una antena (una parte penetra y los coeficientes de reflexión y transmisión dependen de los parámetros locales). Sin embargo, la
Radiación
/ 745
tierra puede considerarse como un conductor perfecto, plano e infinito, en análisis aproximados de ingeniería. 10. Cierto. Tomando en cuenta las consideraciones hechas en la proposición anterior, la tierra puede suponerse un conductor perfecto, plano e infinito, en análisis aproximados; por tanto, las reflexiones que produce se pueden atribuir a la antena imagen o virtual; cuya ubicación y orientación dependen de la real (véase figura 16.14). La aproximación puede mejorarse al calcular ; la penetración de los campos, para tener en cuenta la conductividad finita de la tierra, con antenas virtuales dentro y fuera, de la misma. 11. Cierto. Como en la interfaz del plano perfectamente Conductor y el aire la componente tangencial de E es igual a 0, la suma de las componentes tan genciales de E aportadas por los dipolos real y virtual debe ser 0, para satis facer aquélla condición; ello exige entonces, tomando en cuenta la dirección de 2? dada en (16.25),. que el momento del dipolo imagen sea de igual mag nitud, paralelo y de sentido opuesto al def real (véase figural 6.14). 12. Falso. Por las razones expuestas en.la proposición anterior, él momento del dipolo imagen debe ser de igual magnitud, paralelo y del mismo sentido que el del dipoló real. La conclusión se ratifica, al suponer que el momento de dipolo eléctrico se orienta desde la carga negativa hacia lá positiva y que la imagen con respecto al espejo perfecto queda invertida (véase figura 16.14), 13. Falso. Ya que en la interfaz del plano perfectamente conductor y el aire la componente normal de B es igual a 0, la suma de las componentes norma les de B aportadas por los dipolos real y virtual debe ser 0, para satisfacer la condición; de ello se concluye, tomando en cuenta la dirección de H dada en (16.46), que el momento del dipolo imagen es de igual magnitud, paralelo y de sentido opuesto al del real (véase figura 16.14). 14. Cierto. El momento del dipolo imagen debe ser de igual magnitud, para lelo y del mismo sentido qüe el dipolo real, por las razones expuestas en la proposición anterior. La conclusión se ratifica al suponer que la corriente eléctrica se dirige desde la carga positiva hacia la negativa y que la imagen con respectó al espejo perfecto resulta invertida (véase figura 16.14). 15. Cierto y falso. De acuerdo con la explicación. Sean los momentos de corriente de los dipolos iguales a i.I_0d; el factor de arreglo del par es, según (16.60), FA = 2 /0dc o sa c o s6). La proposición es cierta, entonces, para puntos del plano XY en los que 8 = tt/ 2; falsa, en cualquier otro punto. 16. Falso. El momento de corriente del dipolo virtual, según la teoría de imágenes y la proposición 16.6.12, es igual al del real y se encuentra en el punto (0, 0, - h ) . Al usar (16.61), en la que ¥ - 0 y S se cambia por 2h , resulta
746 / Teoría electromagnética „ . . 1 2QnLde~jl3r a , Q1 _v E « iej ------ —------ sen 0 eos [pheos 0) Ar
(16.79)
17. Cierto. El momento del dipolo magnético virtual, según la teoría de imá genes y la proposición 16.6.14, se encuentra en el punto (0, 0, -h), y su momento es igual al del real. Como los dipolos real y virtua 1 son paralelos al eje Y, para determ inar la £ emitida en la zona de radiación, en puntos del plano YZ, se calculan del arreglo, al cambiar en (16.45) iq, por ix y sen0 por cosí?, y usar (16.60), el FE-.y'el FA: FE ~ ixr¡-^-cos0
E
emitida es
E
¿fj[l2 0 jr/od£'-'ífrsen0cos(fl:cos0)]/(Ar), como se
~
deduce de (16,79), y se anula, en el intervalo 0 < d< n, cuando 6 = 0,7t/S, 2n/S y n. Por tanto, como E pasa cuatro veces por 0 en el intervalo citado, su patrón de radiación presenta tres lóbulos allí; y en el intervalo 0< 9 < k /2, que corresponde a z > 0, aparece un lóbulo y la mitad del otro. 19. Falso. Se cuadruplica. En efecto, la magnitud de la duce de (16.61) al hacer W = 7t: E\~
f ps Ttj 60 7T sen6 2I0d eos — eos 0 + — Ar v 2 ... , 2)
60^ -se n 0 Ar
E
del arreglo se de
715 —cosañ\ 2I0d sen f — \ A )
que se aproxima, cuando 8 « A, a ,H i m X d S . ; n| _ l 2 0 n % d 8 f sen 0 eos 0 LE = -s — sen0 cos0 c2r Ar . 20. Cierto. La £ emitida es,
E
= [l2O^/oe'-'^séñ0 c o s ( P h eos 0)j/(5Or), que
sale de (16.79); y se advierte que sen0 se hace 0, independientem ente de h, en 0 = 0o. El valor mínimo de h, que anula E sólo en 0 = 30°, en el intervalo 0°< 0 < 90°, se deduce de h = (2/7 + l)A/(4cos30°j, para N = 0,1,2,...; en con clusión, A„„„ = Aj (4 cos30°) = 0,29A. 21. Falso. El valor de h que anula E en el plano YZ, si 0 = 45°, deducido de la proposición 16.6.17, es E = (2// + l)A/(4cos45°), p a ra 77 = 0,1,.2,...; por tanto, hmin = A/(4 eos 45°) * 0,35A.
Radiación /
747
22. Cierto. Sean los momentos de corriente de los dipolos iguales a el factor de arreglo del conjunto y S, según (16.59) y (16.60), están dados por FA:= 2 /0<ácc¡s(0,5/ÍAeos#) = 2 /0dcos(ncos60°) = 0 y S = 0. 23. Cierto. Las magnitudes de los factores de elemento y de arreglo del con junto, obtenidas de (16.61) al hacer W = n, son (n 8 . r P5 Q n'] = - ^ s e n 0 y \FA\ = 2I0d eos — cos0 + — = 210d sen ---- C O S 0 l.A ; v ) v 2 2) Obsérvese que |£E | pasa por 0 en 6 = 0 y n, en el intervalo 0 < 9
748 / Teoría electromagnética
A/2, E, H y S son iguales, < P> és la mitad, D(Q,
(16.80)
32. Falso. Para ese ángulo es máxima la magnitud de FA; en efecto, al cam biar 8 por A/2 en (16.80), resulta FA = 210d eos(0,5tíeos 90°) = 2l 0d ¿0. 33. Cierto. Sea F0d la magnitud común de los momentos de corriente de los dipolos; la del factor de arreglo del grupo, obtenida de (16.61) al hacer ¥ = tí , es Tí n 7í\ eos —cosa + — = 2Fud sen —cos0°) 2 2 12 ■ J
210d
34. Falso. La magnitud del factor de arreglo respectivo, obtenida de (16.60), es | ^ | = 2|/0|d cos(O,5/3<5cos0), que se anula cuando 6 = eos'1(A/25) Puesto que el coseno de un ángulo real no es mayor que la unidad, \FA \ no se hace 0 en el intervalo 0 < 0 < n, cuando 8 < A /2, y su patrón de radiación no tiene lóbulos. 35. Falso. La magnitud del factor de arreglo respectivo, obtenida de (16.60), es 08 eos flv cosí — 6 2
71
- 2 \L \d
eos | —^cos 8 2 , j
Como la expresión anterior es 0 en 0 = 0 y tí, en el intervalo 0 < 8 < tí, el patrón de radiación respectivo sólo tiene un lóbulo, su máximo vale 2 \¿0 \d y se pfesenta en el plano xy, donde 6 = tí 12; la mitad de ese máximo ocurre en 8 = cos'1[(2/^)cos'l(l/2)j.= eos'1(2/3) = 48,2° y 131,8°, y el ancho del patrón es, entonces, 131,8°-48,2°= 83,6°.......‘ ........
......... .
......
36. Falso. De (16.62) se deduce el factor de árreglo del conjunto, a l hacer 8 = A/2 y ¥ = 0; es
Radiación /
FA l,d e imos0
s é n ( l,5 7 T c o s 0 ) s e n (o ,5 7T c o s í ? )
749.
(16.81)
j l o d *:P
37. Cierto. La magnitud del factor de arreglo del conjunto se obtiene de (16.62), al hacer <5 = A y Y = 0; es \FA¡ = d |/0|| sen (3^eos 0)/sen(^cos 0)j, expre sión que alcanza el máximo valor de 3|/0|
+ £ .)* = £ , + S!.+ i( É I x H t' +Es x H l, ) * S l +S2
en la cual, de acuerdo con (16.57) y (16.58), después de definir que E{ = j(607t ¿0de~iPrsen # ) í i , = ieE¿,: se observa que la suma de los produc >
tos cruzados no es 0 y vale E, xjffV + £2x E , ‘ = i.
eos
(ps COSÍ?)
41. Cierto. El factor de arreglo de un conjunto de dipolos eléctricos es carac terístico del grupo —obsérvese (16.60)-— depende del numero, las longitu des y distribución geométrica de los elementos, y de las fases y magnitudes relativas de sus corrientes. Ese factor, al ser independiente de las caracterís ticas radiantes del elemento típico, como su orientación con respecto al sis tema de coordenadas usado, puede calcularse sustituyendo los dipolos indi viduales por fuentes isotrópicas púntuáles. 42. Cierto. El factor de arreglo del grupo se deduce de (16.60): FA = I_ad (l -f 2
750 / Teoría
electromagnética
43. Falso. La amplitud del factor de arreglo de los N dipolos se deduce de (16.62) , es \F/\ = d|/n||sen(0,5.A/ddcosfl)/sen(0,5/?¿cosfl)j, al hacer Y = 0; ex presión que alcanza el valor máximo cuando se reduce a la forma 0/0. Aquél es igual, después de levantar la indeterminación, a Ar|/0U 44. Cierto. Ese máximo se presenta cuando (16.62) se reduce a la forma 0/0; lo que implica, según (16.63), qüe 0 = ij>= f3Scosd + Y = P8cos90°+Y = *F; es decir, ocurre cuando el désfase entre los momentos de corriente de los dipo los consecutivos, Y,, es 0. 45. Falso. Como Y = 0, ya que los momentos de corriente de los N dipolos, son iguales, cuando 6 = 0° y 180°, y 8 = MX, para M = 1,2,3..., resulta de (16.63) que (¡>= pScos6 +Y = ±2nM. La m agnitud del factor de arreglo —ver (16.62) — para estos valores de <¡>toma la forma 0/0 y alcanza un máximo; es decir, cuando <5 = MX, hay máximos en 6 = 0o, 90° y 180°. 46. Falso. Un máximo se presenta cuando (16.62) se reduce a la forma 0/0; de donde, conforme a (16.63), 0 = é = /3<5cosO°+!F = fí8 + Y ; en consecuencia, Y = -(38*0. : 47. Cierto. Los ceros del factor de arreglo ocurren si el num erador dé (16.62) es 0 y el denominador no; es decir, si N<¡>= N(fí8cos6 + Y ) = ±2nM, para Ai = 1, 2, 3,... Al hacer NS = X y Y ="0, resulta M = |cos6| < 1, de don de se deduce, ya que el coseno de un ángulo real es menor o igual que la unidad, que M = 1, y que en 6 = 0o y 180° se anula el factor de arreglo. En consecuencia, el patrón de radiación tiene un solo lóbulo que se extiende desde 0o hasta 180°.
16.7 Propiedades receptoras de una antena P r o p o s ic i o n e s
1. Cuando un dipolo eléctrico, de longitud efectiva d, recibe de una antena distante una onda electromagnética, cuya E hace un ángulo 6 con respecto al dipolo, se induce en éste un voltaje de circuito abierto: V = -Ed. eos6. 2. El voltaje inducido en un dipolo eléctrico por una onda electromagnética, emitida por una antena lejana, es máximo cuando la H de la onda es parale la al dipolo.
Radiación
/ 75 1
3. Si i?! y son las intensidades fasoriales del campo electromagnético que la antena 2 recibe de la 1, ésas son también las intensidades del campo electromagnético en las vecindades de la antena 2. 4. La potencia media que las E y H de la onda electromagnética emitida por una antena distante comunican directamente a un dipolo eléctrico receptor es 0, 5. Si E y H son las intensidades fasoriales del campo electromagnético emitido por una antena distante, que inciden sobre un dipolo eléctrico, y £ , y H¡ son las de reacción, debidas a las corrientes inducidas en éste por aquéllas, la po tencia media que y H comunican directamente al dipolo receptor no es 0. 6. Si se duplica la longitud efectiva de un dipolo eléctrico que capta la onda electromagnética radiada por una antena distante, la potencia máxima ab sorbida por la carga conectada al dipolo no cambia. 7. Se tienen dos dipolós eléctricos muy separados entre sí: el 1 y el 2. Uña corriente, se aplica a los terminales del 1, y en los terminales abiertos del 2 se mide un voltaje, F2, inducido por aquélla; luego, en los terminales del dipolo 2 se aplica una corriente, / 2, y en los terminales abiertos del 1 el voltaje inducido es U). Entonces F ,/ / 2 = Z 12 = Z 2i =F„//,. 8. Las características direccionales de una antena son mejores cuando se usa como receptora que como emisora. 9. El dipolo eléctrico receptor capta la máxima densidad de potencia en la dirección de su eje. 10. El dipolo magnético 1 está en el punto (0, 0, 0) y el 2 en el (200, 0, 0), y los ejes de los dipolos están contenidos en el plano XY y pueden rotar en ese plano- Si los dipolos actúan como antenas receptoras y no detectan radiadón cuando sus ejes determinan con el eje X ángulos de (p = 80°, el 1, y < p = 100°, el 2, y en las demás direcciones del plano XY sí, entonces la fuente de la radiación, se encuentra en el punto (100, 900, 0). 11. La apertura máxima de un dipolo eléctrico es igual a 3A2/(4n). .12. La apertura máxima de un dipolo magnético es mucho mayor que su área real. 13. Si la apertura máxima de una antena es el doble de la de otra, la directi vidad de la primera es la mitad de la directividad de la segunda. 14. La apertura máxima dé una antena isotrópica es igual a la razón, evaluada en cualquier otra antena, entre la apertura máxima y la directividad de ésta. 15. La longitud efectiva de una antena receptora lineal, le, instalada de forma que enti'egue a su carga la máxima potencia, es t = %{á ímRR/r¡J'2.
752 / Teoría electromagnética
16. Si se tiene una antena receptora y otra transmisora, dispuestas de mane ra que se obtengan las máximas radiación direccional y recepción, la razón entre las máximas potencias medias recibida y transmitida es proporcional a la razón entre las directividades respectivas. ; 17. Si la distancia entre una antena transmisora de 2/2, que emite una po tencia media de 1 [W], y un dipolo eléctrico receptor es de 1002, y ambas : antenas están aparejadas de manera que se obtengan las máximas radiación direccional y recepción, lá potencia media que el dipolo eléctrico entrega a su carga es de 1,56 [pW]. 18. Si la distancia entre las antenas transmisora y receptora, que operan en / el aire a una frecuencia de 10 [GHz] y están dispuestas de manera que se obtengan las máximas radiación direccional y recepción, es de 1 [km], y las directividades respectivas son 100 y 40, la potencia media que la receptora entrega a su carga es de 1 [mW] cuando la transmitida es de 200 [W]. 19. Si la distancia entre las antenas transmisora y receptora, que están insta ladas de forma qüe se obtengan las máximas radiación direccional y recep ción, es de 1 [km], la directividad de la transmisora es 2, su potencia media es 100 [W], y la apertura máxima de la receptora es 0,4 [m2], la potencia media que la receptora entrega a su carga es de 6,37 [pW], 20. Si se tiene una antena transmisora y otra receptora, acoplada ésta a su carga de manera que se obtenga la máxima transferencia de potencia, la razón entre las potencias medias recibida y transmitida es proporcional al cuadrado de la impedancia mutua entre las antenas. 21. Si la distancia entre las antenas transmisora y receptora, que están insta ladas de forma que se obtengan las máximas radiación dirécciónal y recep ción, es de 1 [km], sus resistencias a la radiación y directividades son 50 [Q] y 2, y la longitud de onda de la señal emitida es 0,1 [m], la magnitud de la impedancia mutua entre las antenas es de 1 x lO-2 [Q]. 22. La distancia máxima entre las antenas transmisora y receptora, que ope ran en el aire a una frecuencia de 30 [MHz] y están dispuestas de manera que Se obtengan las máximas radiación direccional y recepción, cuando la transmisora es una antena de 2/2 excitada por una corriente de amplitud igual a 10 [A], y la receptora, un dipolo eléctrico que debe transferir a su carga una potencia media de al menos 1 [pW], es de 75,5 [km]. 23. Si se duplica la potencia en la antena transmisora, se cuadruplica la po tencia que se entrega a la carga en la antena receptora.
Radiación
/ 753
S o lu c io n e s
1. Cierto. Como la antena emisora está muy lejos, y d « k , la onda recibida puede considerarse plana y con su F uniforme a lo largo del dipolo; el volta je de circuito abierto inducido en la antena, calculado con (12.7), resulta ser ' V = - \ do E*ds = -Edcosd
(16.82)
2. Falso. De acuerdo con la proposición anterior, el voltaje es máximo cuan do <9-0 y la F de la onda es paralela al dipolo; ello implica que H es per pendicular al mismo. 3. Falso. En la antena receptora se inducen corrientes y voltajes que modifi can los de la antena emisora; y aunque se suponga que ésta está muy lejos, en las cercanías de la antena receptora las intensidades fasoriales del campo pueden considerarse como la superposición de las incidentes y las produci das por la antena receptora a causa de las corrientes inducidas. 4. Cierto. Directamente no transfieren potencia. En efecto, sea 5 la superfi cie cerrada del dipoló, y en la que las F y H_ emitidas por la antena distante pueden considerarse uniformes y partes de una onda plana, pues d . « A; la potencia media que el dipolo recibe directamente de las anteriores intensi dades del campo es < P > = Rej|
= R e j^ -F x g * •£ ¿ 4 | = 0
donde la integral de d A en cualquier superficie cerrada es 0. Conviene acla rar qué, pese al resultado anterior, el dipolo sí recibe potencia; ésta se debe a la modificación del campo electromagnético en el entorno del dipolo, que producen las corrientes inducidas en éste por la onda incidente. 5. Falso. La potencia propuesta se calcula, tomando en cuenta la proposición anterior, a través de la superficie cerrada del dipolo, S:
/P
754 /
Teoría electromagnética
6. Cierto. Si el circuito Thévenin equivalente del dipolo está formado por la combinación en serie de la impedancia de carga, Zc = Rc + jX c, la impedancia de entrada del dipolo, ZA - Rr + jX A, donde R r es la resistencia a la ra diación, y el voltaje en circuito abierto, V, inducido en los terminales de aquél por la E de la onda incidente, la potencia media que recibe la carga es
\Y X 2
Iz ¿ iZ c
Como esta potencia es máxima cuando la £ de la onda incidente es parálela al dipolo —véase (16.82)— y las impedancias propia de éste y de la carga son complejas conjugadas, la ecuación anterior se reduce, después de tomar en cuenta (16.30), a < P > n¡a=\V_ \2/{SRí!) = \dE\2 A2/(640?rd2) = | E\' A2/(640 tt ), resultado que no depende de la longitud efectiva del dipolo. 7. Cierto. Como los dipolos están muy separados entre sí y son pequeños, comparados con la longitud de onda, se puede suponer que la onda emitida por cada uno es plana, uniforme su respectivo E a lo largo de los brazos del otro, y uniforme la corriente en cada dipolo. Se deduce, entonces, de (16.82) y el teorema de la reciprocidad de Lorentz, ecuación (16.65), que Í,K , = - / ,( ! , • * = - [ £ ,
I
,
E : • l dV = - ¡ E ,
y 2 )2 8. Falso. Los patrones de radiación de una antena, en tanto esté inmersa en un material lineal, homogéneo e isotrópico y la frecuencia sea la misma, son iguales cuando emite o recibe; esta propiedad es importante porque permite deducir o m edir el patrón de la manera que sea más simple, y usarlo en transmisión o recepción. 9. Falso. Como los patrones de emisión y recepción son iguales en las ante nas, en la dirección propuesta el dipolo no capta la onda incidente.; 10. Falso. De acuerdo con el patrón de radiación, un dipolo magnético no detecta ondas electromagnéticas que se muevan a lo largo de su eje; en con secuencia, la fuente de la radiación se encuentra en el punto del plano XY donde concurren los ejes de. los dipolos, cuyas coordenadas son x = 100 y y = 100tan80° = 567,13. 11. Falso. Como la directividad de un dipolo eléctrico es igual a 1,5, se de duce de (16.70) que su área efectiva vale 3A2/(8^r).
Radiación /
755
12. Cierto. Considérese, por ejemplo, un dipolo magnético de radio igual a A/40; el área que enlaza es igual a ttA2/1600. La apertura máxima de aquél, cuya directividad es 1,5, según (16.70) resulta igual a 3A2/(8 tt), y es, por tan to, 600 / tí' ~ 61 veces el área real. 13. Falso. Es el doble de la directividad de la segunda antena; obsérvese que, según (16.70), la apertura máxima de una antena es directamente propor cional a su directividad. 14. Cierto. De (16.70) se deduce la siguiente relación entre las aperturas máximas y las directividades d e . las antenas 1 y, 2: AUl /A 2m = Dhl¡áx /D iwix, expresión que ratifica la proposición, pues cuando la antena 1 es isotrópica su directividad es igual a la unidad. 15. Cierto. El S incidente medio y el voltaje inducido en la antena lineal, necesarios para obtener en ésta la máxima potencia, suponiendo que la onda incidente puede considerarse plana y con su E paralelo a la longitud de la antena, y la apertura máxima calculada con (16.69), aproximadamente son \V \- \E\l', = \e \'/(2 t}) y Am/ = T]lr2/(4R K) ; por tanto, /, = 2(AmRB/r¡)'n. 16. Falso. Si los subíndices r y t denotan, respectivamente, las antenas recep tora y transmisora, y R es la distancia entre éstas, las máximas potencias me dias recibida y transmitida por las antenas, obtenidas de (16.67) y (16.17), son < Pr >= Ar
AD, 4 nlP
; a y DA v4 nRt
(16.83)
donde se usó (16.70). La expresión refuta la proposición y se conoce como ecuación de Friis. 17. Cierto. Las directividades de la antena de A/2 y del dipolo eléctrico son, 1,64 y 1,5; al usar (16.83) resulta < PT>~ (400^ )'2x 1,64x1,5x1 = 1,56 [fxW]. 18. Falso. De (16.83), donde, a la frecuencia de operación, A = 3 x l 0 ' 2 [m]; entonces
756 / Teoría electromagnética
antena receptora transfiere la máxima potencia media a su carga cuando las impedancias propia de la antena y de aquélla son complejas conjugadas; esta potencia—ver (16.69)— y la de la antena transmisora, suponiendo que R Rt y Rr, son las resistencias a la radiación de las antenas, respectivamente son < Pr > = lKrf / ( 8/?J = |/,Z,,l7(8jR«r) Y
(16.84)
21. Falso. Al igualar (16.83) y (16.84) se despeja | Z rl ' ' "X. '' \ 0,1 = l,59xl0~s [Q] = (5 0 x 5 0 x 2 x 2 )''2 2^x1000 2nR 22. Cierto. La distancia entre las antenas se deduce de (16.83), donde A = 10 [m] para la frecuencia de operación, y después de calcular la potencia transmitida con (16.40):
4 nR
• ■2
100x100x73,2x1,64x1,5 ^ l x l0 -6 32n-R 2 ~ X
Rmá* - 75,5 [km] 23. Falso. Entre las potencias afirmadas hay una relación lineal, como se advierte en (16.83) y (16.84).
Fórmulas básicas de teoría electromagnética
Operaciones vectoriales puntuales Cilindricas circulares
Cartesianas 30
.
—
y 9y
9A
V® A
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3A / + l„ 9Ar 9A; dz
+^ ,
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A r + cot 9 A e + coscG -
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Esféricas
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9Ag
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Otras identidades vectoriales V“(A + B)= V’A + V’B
V(OxF) = OV'F+YVO
Vx(AxB) = A( V«B) - B(V®A) + (B»V)A - (A®V)B VxR = £
r
o
0
<*=>
dA
=
V®(AO) = A®VO + OV®A V®(V 0 ) = V20
V®(VxA) = 0
V.(AxB) = B®(VxA) - A®(VxB) Vx(VO) = 0
Vx(0 A) = VOxA + OVxA
Vx(VxA) = V(V®A) -V 2A
V®R=0
R = VxAr
RSn
R = -VO R V(A®B) = (A®V)B + (B«V)A + Ax(VxB) + Bx(VxA) | A®(BxC) = B®(CxA) = C®(AxB) = [ABC] | Ax(BxC) = B(A®C) -C(A®B) |V ®RdV
oR ®ds = Js(V x R) ®dA
Jv (o V2¥ - T V 2o)dV
=
£(OVT - YVO)® dA
. ’ ( S¡<&dÁ = J{V Vd>dV :
íd>ds= f dA x V<£ Je Jv
-a ai
760
F ,,= i 12
.
Q = ¡vpdV
Integral
i
B»dA <>B»dA = 0i
¡
bH»ds = I +
ds
í j
Q = f A.ds J‘
r, - r .
I = } K » iNds
K = ¡k— K ds
Otras relaciones Frontera
p = ql T P = dp/dV | D = £qE + P I D = sE | J = gE m = IA
V xE = - — dt
. V x E = -jCüpH
inx(E ,-E 2) - 0
E=
V»B = 0
V »¡H = 0
9D ^dT
I2ds2 x [l,d s,x (r2 - r,)]
1 = J j* d A
ih»(D ,-D 2) = a
B = Po(H + M )
M = dm/dV p'(r -r')dV'
J v' 4ne r - r f ■-
B =ü 4ít
B = pH
j ' x (r - rQdV'
'
|r - rf
Í n * ( B | - B 2) = 0
Fc = qE = | Edq =JvEpdV =jEcrdA =|EXds
V x H = (g +jtee)E
i„x(H,-H2) = K
Fm= qv x B = JvJ x BdV = JsK x B d A = J cIdsxB
V» J = —jü)p
in*(Ji-J2)+Vi*K = - - ^ dt
dt
dt
T • dI = «j 7 7 dA
j
V »E = 0
v .J — f l
f J*dA = - — i
F21=T^$' $> 4tc
V«D = p
V xH = J
Js
X = ^
Ecuaciones de Maxwell Fasor Puntual
<>D*dA = Q Js
Js .
9 = J7 dA„
dA
I
Fuerza entre corrientes
2
Carga y corriente eléctricas, y sus densidades
■
p=— dV
q.q2
47iEnr„
Í n » ( P 2 ~ P l ) = CJp
pP = - v » p
i„»(M2-M i) = om . Jm= Vx M i„x(M| -M 2) = Km Pm = ~V»M
Teorema de Poynting
- V . S - E . J , - | E . J + E . | t + nI1H . M + J L ^ |E |! + J Í|H f
*J>|
dV
< P d > = - [ < S > • dA = í - |E |2dV j
Js
Jv 2
^|E|>i^|Hr-|dV
S =E xH
w* °J.D E- dD>,v
-V-S-|jEf +2)» f H ’ -flEf |E|2dV
< « , > 4 | vei s r dv
S = —E xH *
“ 2“ — H|2dV
w- i r ' , ( H-dB)dv ; = R ej¿E xH * V II ^ 1
T „ dP „ dMA E * J + E» — + p„H»— ^ dV + dt dt dt;
A
'
c ...■ 3.
- j¡ S • dA —X E • |jDdV =
pjHfdV
/
/ Teoría electromagnética
Fuerza entre cargas
762 / Teoría electromagnética
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Bibliografía Los libros que se mencionan a continuación fueron usados, por lo menos una vez, para formular o resolver muchas de las proposiciones incluidas en el presente libro; el autor se considera, académicamente, como discípulo ideológico y conceptual de quienes tuvieron la maestría para hacerlos y, aunque nunca tuvo la oportunidad de conocerlos, deja constancia de su agradecimiento para con todos ellos. Alonso, M. y E. J. Finn, Fundamental University Physics, vol. 1 y 2, Reading, Addison Wesley, 1967. . . . Apóstol, T. M., Calculas, Barcelona, Reverté, 1973. Arons, A. B., Evolución de los conceptos dé la física, México, Trillas, 1970. Artley, J., Fields and Configurations, Nueva York, Hólt Rinehart andWinston, 1968: Artajo, J. I., M. Electrotecnia, campos eléctricos y magnéticos, Madrid, Aguilar, 196T Balanis, C. A., Antenna Theory, Analysis and Design, Nueva York, Harper & Row Publishers, 1982. Ballif, J. R. y W. E., Dibble, Conceptual Physics, Nueva York, John Wiley and Sons, 1969. Berkson, W., Las teorías de los campos de fuerza desde Faraday hasta Einstein, Madrid, . Alianza Editorial, 1981. Bianchi, A.N., Sistemas de ondas guiadas, Barcelona, Marcombo, 1980. Boylestad, R., Introduclory Circuit Analysis, Golumbus, Charles É. Merril Publishing Company, 1968. Brand, L., Análisis vectorial, México, Compañía Continental,: 1964. Collin, R. E., Foundations for Microwave Engineering, Nueva York, McGraw-Hill, 1992. Corson, D. y P. Lorrain, Introduction to Electromagnetic Field and Waves, San Francisco, W. H. Freeman and Company, 1962. Chipman, R. A., Transmission Lines, Nueva York, McGraw-Hill, 1968. Davidson, C. W., Transmission Lines for Communications, Nueva York, John Wiley and -Sons, 1989.. Davies, K., Ionospheric Radio Propagation, Monograph 80, Washington, National Bureau of Standards, 1965. Della Torre, E. y C. V. Longo, The Electromagnetic Field, Boston, Allyn and Bacon, 1969. Duckworth, H. E., Electricity and Magnetism, Holt, Nueva York, Rinehart and Wiston, 1980.
764 / Teoría electromagnética
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Indice analítico
Los números se refieren, en su orden, al capítulo, la sección y la proposición o el artículo donde aparece la palabra citada: si ésta se presenta en una solución, se relacio na el número de la proposición respectiva. Cuando en varias proposiciones consecuti vas se menciona la palabra referenciada, en el índice se anota sólo la primera de aqué llas para facilitar la ubicación de los conceptos relacionados con la misma. Salvo algunas excepciones, al elaborar el índice se eligieron los sustantivos como palabras clave. A Acción a distancia, 2.0.2, 2.0.5, 2.1.6, 2.1.35, 16.1.4 Acción por contacto, 2.0.3, 2.1.7, 2.1.33, 16.1.4 Aceleradores dé partículas, 2.0.33, 2.0.39 Aclínica, 9.0.15 Acoplador línea a carga, 13.0.43 en paralelo, 13.0.45, 13.11.14 ancho de banda en un, 13.0.46 con varias líneas, 13.0.46 diseño de un, 13.0.46 enserie, 13.0.44, 13.11.11 ancho de banda en un, 13.0.44 con varias líneas, 13.0.44 Admitancia de rama, 12.0.17 Agónicas, 9.0.16 Aislante, 3.12.9 v.t. Dieléctrico(a) Alambre circular, penetración de corriente en un, 14.0.16 Amperaje, 12.0.28, 12.0.29, 12.0.30, 12.0.33, 12.9.6, 12.10.1, 12.10.10
Ampére ,: experimentos de, 2.1.23 . teoría de, 2.1.24 Amperio, 9.2.8 Amperímetro, 12.6.1 Amplitud, 12.0.3, 12.2.6 Analogía, capacitancia y resistencia, 11.1.13 Analogía, electrostático y estacionario, 11.0.5, 11.1.10, 11 1.Í5 Angulo complejo, 14.0.31, 14.0.34, 14.8.5 crítico, 14.0.31, H .8.19, 15r1.2 V de Brewster, 14.0.34, 14.8.5, 14.8.9, 14.8.14, 14.8.18 de incidencia, 14.0.29, 14.7.2, 14.7.12, 14.8.1 de reflexión, 14.0.29, 14.7.13, 14.8.7 dé transmisión, 14.0.29, 14.7.3, 14.7.12, 14.8.7 de E en una interfaz, 5.1.13 de H en una interfaz, 5.7.11 de J en una interfaz, 5.4.9 diedro, 10.2.8, 10.2.14 plano, 1.11.29 sólido, 1.10.25 Anióp, 8.0.2, 8.1.5 Ánodo, 8.0.2, 8.0.19 en un diodo de vacío, 8.6.1 Antena(s), 13.0.2, 16.0,2. alimentada centralmente, 16.0.23 ancho del patrón de una, 16.0.14, 16.4.37, 16.5.37, 16.6.35 deA /2, 16.4.35 dipolar eléctrica, 16.0.21, 16.2.34 área efectiva de una, 16.0.41, 16.7.11, - 16.7.15 máxima, 16.0.43, 16.7.13
768 / Teoría electromagnética cerrada, 16.0.2 direccional, 16.0.9 directividad de la, 16.0.11, 16.0.43, 16.7.8, 16.7.13, 16.7.16, 16.7.21 ecuaciones del campo en la, 16.0.3 ganancia directiva de una, 16.0.10 impedancia de alimentación de una, 16.0. 41, 16.4.30, 16.7.6 impedancia mutua de dos, -16.0.41, 16.7.20 isotrópica, 16.0.8, 16.7.14 lóbulos del patrón de radiación de una, 16.0. 12 lóbulos del patrón del S de una, 16.6.23 longitud efectiva de una, 16.7.15 patrón de(l) E en una, 16.6.18, 16.6.20 factor de arreglo en una, 16.6.35, 16.6.38, 16.6.47 la ganancia directiva de una, 16.0.13 radiación de una, 16.0.12 S en una, 16.6.23 potencia radiada por uña, 16.0.6, 16.7.16, 16.7.20, 16.7.23 propiedades recíprocas de una, 16.0.41 próxima a planos conductores, 16.0.39 receptora, 16.7.1,16.7.4, 16.7.8 .......... dipolar eléctrica, 16.7.1, 16.7.6, " 16.7.9 dipolar magnética, 16.7.10 E y H e n una, 16.7.2 potencia en una, 16.7.3, 16.7.6, 16.7.9, 16.7.15, 16.7.19, 16.7.23 voltaje inducido en una, 1 6 .7 .1 ,...... 16.7.7 resistencia a la radiación de uná, 16.0.15, 16.7.21 zona de radiación de una, 16.0. 7 Antena circular, 16.0.33 A „ dé la, 16.0.33 corriente en la, 16.5.39 directividad dé la, 16.Ó.33, 16,5.36 E y H de la, 16.0.33, 16.5.3, 16.5.40 ganancia directiva de la, 16.0.33, ' 16.5.44 '"r . potencia radiáda por lá, 16.0.33, 16.5.43 resistencia a la radiáción de la,16.0.33, .16.5:42 S de la, 16.0.33
Antena de Á/ 2, 16.0.27 A „ de la, 16.0.27 carga en la, 16.4.8 cono de silencio en la, 16.4.35 corriente en la, 16.4.2, 16.4.23 directividad de la, 16.0.27, 16.4.32, ; 16.5.36 E y H d e la, 16.0.27, 16.4.11, 16.4.14 ganancia directiva de la, 16.0.27, 16.4.31 ' . potencia radiada por la, 16.0.27, 16.4.22 reactanciá en la alimentación de una, 16.4.30 . resistencia a la radiación de la, 16.0.27, ■r 16.4.26 S en la, 16.0.27, 16.4.19, 16.4.21 Antena dipolar eléctrica ideal, 16.0.2, 16.0.16, 16.2.3, 16.2.13, 16.2.23, 16.2.33, 16.6.11, 16.7.11 A „ déla, 16.0.17, 16.2.8 cono dé silencio en la, 16.4.35 directividad de la, 16.0.20, 16.2.31, 16.4.32, 16.5.35 E y H d e la, 16.0.17, 16.2.7, 16.2.15, 16.2.18 ' E y H radiantes de la, 16.0.19, 16.2.17, '1 6 .2 .1 9 ,1 6 .6 .1 6 ,1 6 .6 .2 0 ganancia directiva de la, 16.0.20, 16.2.32 . ondas emitidas por una, 16.2.10, 16.2.14 potencia ■' compleja de la, 16.2.24 radiada por la, 16.0.18, 16.2.22, 16.2.26, 16.5.20 reactiva de la, 16.2.27 resistencia a la radiación dé la, 16.0.22, 16.2.28, 16.4.26 S e n la, 16.0.20, 16.2.20, 16.2Í23 Antena dipolar eléctrica real, 16.0.24, 1 6 .3 .1 ,1 6 .3 .5,16.3.10,16.3.15 A m d e la, 16.0.24 corriente en la, 16.3.7 E y H d e la, 16.3.8 longitud efectiva de la, 16.0.24, 16.3.4, 16.7.6 , ,, p oten ciarad iad ap ofla7r6.3.r2,16:7:17 reactancia de una, 16.3.17 resistencia a la radiación en la, 16.3.15 velocidad de fáse de la onda de una, 16.3.10
Indice analítico
Antena dipolar magnética ideal, 16.0.28, 16.5.1, 16.5.32, 16.6.13, 16.7.12 / V; ' . A m d éla, 16.0.28, 16.5.5 corriente en una, 16.5.2 directividad de la, 16.0.31, 16.5.34 E y H d e la, 16.0.29, 16.5.7, 16.5.12 £ y / / radiantes de la, 16.0.30, 16.6.17, 16.6.21 ganancia directiva de la, 16.0.31 potencia compleja de la, 16.5.24 radiada por la, 16.0.31, 16.5.17, 16.5.21 reactiva de la, 16.5.22 resistencia a la radiación de la, 16.0.32,; 16.5.26, 16.5.27, 16.5.31 • S en la, 12.0.30, 16.5.15, 16.5.33 velocidad de fase de la onda de una, 16.5.9 & de la, 16.0.29, 16.5.4 Antena larga, 16.0.23, 16.3.2, 16.4.1 A m de la, 16.0.26 corriente en una, 16.0.25, 16.4.3, 16.4.7, 16.4.16, 16.4.34 ■ directividad de la, 16.4.33 E y f f d éla, 16.0.26, 16.4.9, 16.4.17 longitud de onda en la, 16.4.1 resistencia a la radiación de una, 16.4.29 S en la, 16.4.33, 16.4.37 Antena multielemental, 16.0.34, 16.6.1 de dos dipolos, 16.0.37, 16.6.11, 16.6.31, 16.6.35 E radiante de la, 16.0.37, 16.6.19 S de la, 16.6.22 de A? dipolos, 16.0.35, 16.6.1, 16.6.5, 16.6.40 colineales, 16.0.38, 16:6,36, 16.6.42 £ y H radiantes de la, 16.0.35, 16.6.4, 16.6.15 S de la, 16.0.35, 16.6.39 directividad en la, 16.6.27 efecto de la tierra en una, 16.6.8, 16.6.14, 16.6.18, 16.6.24, 16.6.28 factor de arreglo de una, 16.0.35, 16.6.7, 16.6.31, 16.6.35, 16.6.41 factor de elemento de una, 16.0.36, 16.6.6,16.6.35 resistencia a la radiación de la, 16.6.24 Antipartícula, 2.11.22 Aproximación(es)
/ 769
: cuasiestacionaria, 12.0.7, 12.0.28, 12.1.3, 12.7.13, 12.9.9 J sucesivas, 11.0.1, 11.0.11, 11.5.3, 11.6.2, 12.0.34, 12.11.13 Arco diferencial de, 1.0.18, 1.7.9 voltaico, 12.7.20 Área variable, 3.1.1 vectorial, 1.5.10, 9.0.9 Argand, plano de v. Plano, complejo Aristóteles, 2.1.3 Armadura de un capacitor, 7.0.29 Armadura equipotencial,12.8.10, 12.8.11 Armónica(s) función(es), 4.0.17, 4.4.1, 4.5.1 escalar(es), 4.5.2 combinación lineal de, 4.5.5, ;, 4.6 .1 2 ,4 .7 .1 3 ,4 .8 .1 5 combinación no lineal de, 4.5.6 cuadrado de una, 4.5.7 gradiente de una, 4.5.3, 4.5.4 máximos o mínimos locales de una, 4.5.11 no separable, 4.6.7 producto de dos, 4.5.8 razón de dos, 4.5.10 separable, 4.6.9, 4.7.9, 4.8.12 tensorial, 4.5.2 teorema del valor medio para las, 4.0.11 unicidad de las, 4 .0 .1 1A vectorial; 4.5.2 Armónicos cartesianos separables, 4.0.12 banco de, 4.0.13 cilindricos circulares separables, 4.Ó. 14 banco de, 4.0.15 esféricos separables, 4.0.16 banco de, 4.0.17 Arreglos v. Antena multielemental Atenuación constante de en líneas con pérdidas, 13.0.14, 13.5.8 en líneas sin distorsión, 13,0.20 en cavidad resonante, 15.11.35 en guías de onda por debajo del corte, 15.0.12, 15.0.20, 15.0.33,, 15.4.1, 15.5.15,
■1
770 / Teoría electromagnética 1 5 .5 .1 9 , 1 5 .6 .2 2 , 1 5 .6 .2 8 , 1 5 .7 .7 , 1 5 .7 .Í 6 , 1 5 .8 .1 6 , 1 5 .8 .2 7 ,-1 5 .8 .3 4 p o r e f e c t o d e la p a r e d , 1 5 .0 .1 4 , 1 5 .0 . 2 6 .1 5 .0 .3 3 .1 5 .1 .3 .1 5 .5 .2 3 , 1 5 .6 .3 1 , 1 5 .7 .1 7 , 1 5 .8 .3 9
por efecto de un dieléctrico, 15.0. 13, 15.0.33, 15.4.5, 15.5.21, 15.6.30, 15.8.38 . valor mínimo de la, 15.6.32, 15.7.20 en ondas planas, 14.0.2, 14.0.8, 14.2.4 en un conductor bueno, 14.0.11, 14.2.5, 15;4.8 en un dieléctrico imperfecto, ■V: 14.0.10 vector de, 14.0.8 Aténuador exponencial, 15.0.12 Atomistas, 2.0.4, 2.1.1 Átomo, 2.0.4, 2.1.2 gramo, 7.0.1, 7.0.2 radió medio del, 2.0.23, 2.9.2 Aurora polar, 2.11.29 Autoenergía, 7.0.7 Autoinductancia i). Inductancia, auto Avogadro, número de, 7.0.2, 7.1.4, 8.1.1 Ayudas gráficas para líneas de transmisión, 13.0.34
B
'
.■ ■
Balanza dé corrientes, 9.2.8, 14.3.4 Banda de frecuencia, 13.0.19 ’ ancho de la, 13.0.44, 15.0.25 de valencia, 3.0.22 Barra magnetizada, fuerza sobre una, 9.6.19 Batería, 12.6.17 en serie o paralelo, 12.6.5 Bessel ecuación de, 4.0:14, 4.7.6 : ecuación modificada de, 4.0.14 funciones de, 4.7.8, 12.8.15, 15.0.29, 15.12.2 raíces de las, 15.0.30, 15.8.1, 1 5 .8 .1 8 , 1 5 .8 .2 3 , 1 5 .8 .3 0 ,
15.12.1, 15.12.11 Betatrón; 2;0.39;-2:12:21......................... ........ inducción magnética en el, 2.12.22 energía en un, 2.12.27 órbita en un, 2.12.23 oscilaciones en el, 2.12.23
Blindaje eléctrico, 10.3.9 electromagnético, 15.9.2 magnético, 14.6.21, 14.6.22 Bobina, 2.9.22, 9.8.6 circular, 9.7.10 esférica, 9.0.27, 9.7.11, 9.7.14, 9.9.12 en un circuito magnético, 12.0.30,
,7 12.11.6 -7;
7
exploradora, 11.0.2 helicoidal, 12.11.10 recta y corta, 9.0.24, 9.7.10 . recta y muy larga 9.0.23 toroidal, 6.3.10, 9.0.26, 9.7.15, 9.8.4, 7"V--7'7‘ 9.9.U ;7,7.7-.:'77--. Brújula, 6.3.22 Bucle de histéresis, 6.0.19, 6.3.8, 6.3.24, 7 6.3.28 7 área del, 6.3.16, 6.3.28 o de saturación o principal, 6.3.6, 6.3.30
C Cámara de niebla, 2.11.23 Cámara estroboscópica, 3.2.12 Campo, 1.2.1 . celda de, 11.0.8 ..... .constante, 2 .4 .1_ dinámico, 2.4.5 electromagnético bidimensional, 11.0.6 estacionario, 2.4.4 estático, 2.4.7 gravitacional, 1.2.1 magnetizante v. Intensidad del campo magnético no conservativo, 2.4.3 solenoidal, 3.0.3 teoría del, 2.1.33 variable, 2.4.2 Campo eléctrico, 1.2.1, 2.0.27, 2.10.1, 2.10.3, 2.10.16 de cargas estáticas, 7.0.21 de cargas estáticas dentro de Una esfera, 10.3.11 de dos cilindros paralelos, 10.0.8 de dos líneas muy1largas, 10.0.7, 10.4.6 d eu n cap aci tor-, 12.0.23,1-2.8.13 — . de un ciclotrón, 2.12.8 de un cilindro inmerso en una J , 8.0.12, 8.4.9 de un conductor aislado, 7.1.19
índice analítico / 771
no aislado, 8.2.11 perfecto, 8.0.8, 8.2.12 de un dieléctrico polarizado, 7.0.19 de un diodo de vacío, 8.0.20, 8.6.6 de un dipolo eléctrico, 7.0.12, 7.0.13 de un dipolo eléctrico radiante, 16.0.17 de un plano cargado, 7.2.6 de un solenoide largo, 12.7.9 de un tubo cilindrico con corriente transversal, 8.0.11 de una antena v. Antena(s) de una carga puntual, 7.0.10, 7.2.2 próxima a una interfaz plana, 10.0. 2.10.0.3 próxima a una esfera, 10.0.5, 10.3.9, . 10.3.10 ... de una cavidad cilindrica, 15.0.42, 15.12.3, 15.12.10 dé una cavidad rectangular, 15.0.39, 15.6.2, 15.6.11, 15.11.4, 15.11.11 de una distribución de carga, 7.0.21 de una esfera cargada en el volumen, 7,2.1, 7.2.10 cargada en la superficie, 7.1.37, 7.2.9, 7.2.15, 7.2.16 conductora, 7.0.11 ' conductora inmersa en una J , ; 7,0.23, 8.0.14, 8.4,12 dieléctrica inmersa en una E , 7.0.24, 8.4.14 \ que lleva una corriente radial, 8.0. 13, 8.4.11 supercónductora inmersa en una E , \ 8.4.16 de una guía de oridá, 15.0.5, 15.0.28, 15.1.11 cilindrica, 15.0.29, 15.8.6, 15.8.15 de planos paralelos, 15.0.16, 15.5.1 rectangular, 15.0.22 de una línea infinita, 7.2.7, 7.2.8, 10.0.6 despolarizante, 7.0.26 electrostático, 2.10.19, 7.0.3, 7.0.4 energía potencial en el, 7.0.6 fuentes del, 3.1.19 inducido por el campo magnético, 3.1.1, 3.1.19, 3.1.29 radiante v. Antena(s) terrestre, 2.11.30 uniforme, 2.15.29, 7.0.23 variable, 3.6.5
Campo magnético, 1.2.1, 2.0.28, 2.10.12, 2.10.19 de circuitos magnéticos, 12.0.28 de hilos paralelos, 9.1.10, 9.1.15 de hilos trenzados, 9.1.11 de un capacitor, 12.0.23, 12.8.16 . de un cilindro con corriente, 9.7.2 de un cilindro magnetizado, 9.0.25, í :. 9.7.17, 9.7.19, 9.7.30 de un conductor perfecto, 8.0.8, 9.6.4 de un dipolo eléctrico radiante, 16,0.17. magnético, 9.0.11, 9.4.9 magnético radiante, 16.0.29 de un hilo circular, 9.0.4, 9.1.12 ; de un hilo infinito, 3.2.8, 9.0.2, 9.0.3, 9.1.4, 9.1.8, 9.1.9 de un solenoide corto, 9.0.24 de un solenoide largo, 9.0.23, 9.7.3, ■ 9.7.4 ■•:■■■ de un prisma con corriente, 9.7.7. de ún toroide, 9.0.26 de un tubo con corriente, 9.7.1 de una bobina circular, 9.7.10 esférica, 9.0.27, 9.7.11, 9.7.12, 9.7.14 toroidal, 9.0.26, 9.7.15 de una cavidad cilindrica, 15.0.42, 15.12.3, 15.12.10 de una cavidad rectangular, 15.0.39, 15.11.5, 15.11.11 de una corriente próxima a una interfaz plana, 10.0.4 de una distribución de corriente, 9.0.2 de una esfera inmersa en un campo, • 9.0. 28, 9.7.22 de una esfera magnetizada, 9.0.14, 9 .0 . 18, 9.7.25 de una guía de onda, 15.0.5, 15.0.28, 15.1.11 cilindrica, 15.0.29, 15.8.4, 15.8.14 de planos paralelos, 15.0.16, 15.5.1, 15.7.3 rectangular, 15.0.22, 15.6.5, 15.6.10 dentro de un conductor, 9.7.9 desmagnetizante, 9.0.29 estacionario, 3.5.28 líneas de fuerza del, 2.10.20 residual v. Remanencia . variable, 3.6.5
7 7 2 / Teoría electromagnética Cantidad compleja, 12.0.3 compleja conjugada, 13.0.43 física, 2.0.7, 2.2.1 verdadera, 1.0.2, 1.4.11, 1.6.8 Capacitancia, 7.0.30, 7.7.1, 7.7.11, 12.8.6 absoluta, 7.0.31, 7.7.3, 7.7.12, 7.7.33 calculada con un mapa, 11.0.11, 11.0.12 de capacitores en serie, 7.7.34 de capacitores en paralelo, 7.7.34 i de un sistema bidimensional, 11.0.12 ; de una cavidad resonante, 15.11.4 de una celda de,campo, 11.3.9, }1:3.10 dependiente de la frecuencia, 12.0.7, 12.8.2, 12.8.8 y --, dinámica, 12.8.2 en líneas de transmisión,'13.0.10, : 13.4.4, 13.4.10 estática, 12.8.8 por analogía con la corriente, 11.1.13 y resistencia, 11.1.13 v .l. Capacitor Capacitor, 3.6.1, 7.0.29, 7.7.2 carga de polarización en un, 7.7.29 carga libre en un, 7.7.6, 7.7.10 con dieléctrico, 7.7.9 como celda en un mapa, 11.3.9 como elemento. de circuito, 7.8.2,. : 12.8.17 conectado a una fuente alterna, 12.0.23,
12. 8.10 corriente de desplazamiento en un; 3.0.14 de cilindros coaxiales, 7.7.30 ...... ~ — de cilindros paralelos, 10.0.8, 10.4.13 de esferas concéntricas, 7.7.32 de placas paralelas, 7.0.32, 7.7.4, 7.7.13, 7.7.21, 12.8.7 energía almacenada en un, 6.0.1, 6.2.5, 7.8.3, 7.8.9 . en paralelo, 7.8.11 en serie, 7.8.10 ideal, 7.0.29, 7.7.5 ■ ruptura dieléctrica en un, 7.7.26 y fuerza eléctrica, 7.8.13 Carga eléctrica, 2.6.1, 2.6.3* 2.6.5, 2.14.17 conservación de la, 2.0.19, 2.7.5 cuantización de la, 2.0.18, 2.8.12.8.7 de polarización, 2.0.50, 2.8.7, 2.13.6, 2.15.1, 2.15.8, 7.0.18 de prueba, 2.0.26, 2.0.27, 2,0.28
en movimiento, 2,10.7, 2.10.16, 2.10.21, 2.10.33 en una cavidad resonante, 15.11.3 existencia de la, 2.0.17, 3.3.1 , fuerza sobre una, 2.0.26 inductiva, 2.14.8 invariación de la, 2.0.20, 2.7.1 libre, 2.0.47, 2.13.11 ligada, 2.0.48, 3.5.1, 3.5.4, 7.0.17 negativa, 2.0.17, 2.6.4, 2.6.9 nula, 2.15.10 ¡ positiva, 2.0.17, 2.6.9, 2.6.10 razón entre la masa y la, 2.11.26 relajación de la, 5.0.6. testigo, 2.10.4, 2.10.5 Carga eléctrica puntual en el centro de una esfera, 7.2.18 & y E d e una, 7.0.10 próxima a una interfaz plana,. 10.0.2, 10.0.3 próxima a una esfera, 10.0.5 Carga magnética, 9.6.10 cálculo de la, 3.3.3, 9.0.21 existencia de la, 2.1.24, 3.0.4, 3.3.1, 9.4.1 total, 9.6.13 Carta de Cárter, 13.0.39 en admitancia, 13.10.20, 13.10.21 en impedancia, 13.0.40, 13.10.13, 13.10.15 y máximos del voltaje y la corriente, 13.10.19 y ondas estacionarias,/13.10.22 Carta de Smith, 13.0.34 en admitancia, 13.0.37, 13.10.8, 13.10.12 en impedancia, 13.0.36, 13.0.38, 13.10.2, 13.10.3 sentido del movimiento en la, 13.10.1 y la R O E V , 13.10.7, 13.10.18 y ondas estacionarias, 13.10.12 y ondas Viajeras, 13.10.11 Cascarón conductor, 7.1.32 esférico, 7.1.30 Catión, 8.0.2* 8.1.2 Catódicos, tubo de rayos, 2.9.14, 2.11.14 Cátodo, 8.0.2, 8.0.19 en un diodo de vacío, 8.6.1 Cavidad cilindrica, 15.0.41, 15.12.1, 15.12.10, 15.12.20
índice analítico / 7 7 3
frecuencias de resonai 15.0.43, 15.12.13 longitud de onda de resonancia en una, 15.12.25 modos T E hmp en una, 15.0.42, 15.12-5, 15.12.19 Cavidad rectangular, 15.0.38, 15.11.1, . 15.11.10, 15.11.20, 15.11.30 con forma de cubo, 15.9.8, 15.11.17, 15.11.27 frecuencias de resonancia en una, , 15.0. 4 0 .1 5 .1 1 .1 1 .1 5 .1 1 .1 7 longitud de onda de resonancia en una, 15.11.23, 15.11.33 : . modos degenerados en una, 15.11.12 modos T E ^ /, en una, 15.0.39, 15.11.1, 15.11.9,15.11.19, 15.11.28, 15.11.33 Cavidad resonante, 15.0.34, 15.9.1 aislamiento de la, 15.9.2 energía en una, 15.9.14, 15.12.21 esférica, 15.9.3 factor de calidad en una, 15.0.37, 15.9.18, 15.10.5, 15.11.30, 15.12.24 frecuencias de resonancia en una, 15.0. 36, 15.0.40, 15.10.1 ideal, 15.0.34, 15.9.1, 15.9.7 modos degenerados en una, 15.9.9 TEM én una, 15.9.7 TE y TM en una, 15.0.34, 15.0.42, 15.9.8, 15.10.4 orificios en una, 15.9.1 pérdidas dé energía en u n a ,15.9.13^ 15.9.20 selectividad de una, 15.10.1, 15.10.7, 15.12.27 velocidad de fase en una, 15.9.11, 15.11.24 velocidad de grupo en una, 15.9.12 Celda de campo, 11.0.8 electrostático, 11.3.9, 11.3.10, 11.3.11 en corrientes de conducción, 11.3.19, 11.3.23 magnetostático, 11.3.30, 11.3.32 Cero macroscópico, 2.0.23, 3.12.5 Ciclotrón, 2.0.35, 2.12.7, 2.12.13 energía en un, 2.12.11 frecuencia de un, 2.0.35 período en un, 2.11.18 radio del, 2.12.11
velocida'1 ------ — o
11
iq
2.12 Cilindro conductor en campo uniforme, 8.0.12, 8.4.9, 9.7.8 magnetizado, 9.0.25, 9.7.16 y método de imágenes, 10.0.8, 10.4.4, V ." ^ 10.4.11 Cinemática, 2.0.13 • Circuito(s), 12.0.5 m odelo de, 12.0.5, 12.0.6 nodo en un, 12.0.5 rama de un, 12.0.5, 12.0.10 red de, 12.0.5 Circuito(s) eléctrico(s), 12.0,5, 12.11.1 abierto, 12.8.1, 13.6.8, 13.7.5, 13.7.23 corto, 12.6.3, 13.5.2, 13.6.2, 13.6.9, 13.7.7 distribuido, 13.0.12 factor de calidad en un, 15.9.19 hipótesis de la teoría de, 12.0.7 L C , 12.8.28, 15.9.5 línea de transmisión como, 13.0.12 parámetros de un, 12.0.7 resonante, 12.8.30, 15.9.5, 15.9.16 R C , 12.0.24, 12.8.21 R L , 12.0.20, 12.7.11 R L C , 12.0.26, 12.8.27 Circuitos magnéticos, 12.0.5, 12.0.t i , 12.11.1, 12.11.9, 12.11.17 . cálculos en los, 12.0.34, 12.11.13 hipótesis de la teoría de, 12.0.28 Circunferencia, trayectoria en forma de, 2.11.3,2.11.17 Circulación, 1.0.26, 1.10.6, 1.11.1, 1.11.5, 1.11.10 y teorema de Stokes, 1.0.26 Coaxial capacitancia de un, 7.7.30 resistencia de un, 8.0.11 Coeficiente(s) de capacitancia, 7.0.27, 7.6.7 de inducción, 7.0.27, 7.6.5, 7.6.11 de inductancia, 9.0;30 de Fresnel v : Coeficientes, de reflexión y transmisión de mutuainductancia, 9.0.30, 9.0.31 de potencial, 7.0.28, 7.6.1, 7.6.15 de reflectancia, 14.0.27, 14.6.13, 14.6.19 de reflexión
7 7 4 / Teoría electromagnética en incidencia dé ondas, 14.0.25, 14.0. 33, 14.6.1, 14.6.10, 14.7.19 en líneas de transmisión v . Línea, de transmisión de transmisión de la energía, 13.0.2, 15.2.7 en el agua, 14.7.16 en incidencia de ondas, 14.0.26. 14.0. 33, 14.6.9, 14.7.19 de transmitancia, 14.0.27, 14.6.14 Coercitiva fuerza, 6.0.18, 6.3.8^6:3.14 Conchan. Cascarón conductor Condición de Coulomb, 4.0.3, 5.9.5 Condición de frontera : de 0 , 5.0.3, 5.5.1 -V:.-! de
y analogía con la permeancia, 12.10.14 Conductividad, 3.0.24, 3.12.1, 8.0.16 alta, 14.0.11 ^ baja, 14.0.10 modelo de, 3.12.11, 8.0.16 nula, 3.12.5 superficial, 3.0.24, 3.12.2 ; Conductor, 2.0.24, 3.0.22 aislado, 7.0.3 bueno, 3.12.3 carga de un, 7.1.10, 7.1.16, 7.1.23, . 10.3.5 diferencia de potencial eléctrico en un, 7.1.36 . campo eléctrico en un, 7.1.5, 8.2.11 carga superficial en un, 7.0.4 carga volumétrica én un; 5.10.1, 7.0.4 cilindrico con corriente transversal, 8 .0 . 11, 8.4.7 cilindrico inmerso en una corriente, 8 . 0 . 12
corriente en un, 8.1.10 . descarga de un medio, 5.0.6 electrones libres en un, 7.1.2 en condiciones electrostáticas, 7.0.4 en movimiento, 3.2:3, 3.2.10 esférico con corriente radial, 8.0.13 hilo, 8.1.7, 8.3.1 . hom ogéneo o heterogéneo, 3.12.7 no lineal, 8.2.3 óhmico, 3.12.11, 8.0.1, 8:2.1 perfecto, 2.9.9, 3.12.8, 8.0.8, 8.4.5 perfecto e n interfaz, 5-0.7, 5.2.3, 5.2.8, 5.3.5, 5.4.5, 5.6.5, 5.7.8, 5.8.3, 5.8.7 ■ potencia disipada en un, 6.0.5 : potencial eléctrico de un, 7.1.9, 7.1.22, 10.3.4 Constante campo, 2.4.1 de Faraday, 8.0.3, 8.1.1 de separación en cartesianas, 4.6.3 cilindricas circulares, 4.7.2 esféricas, 4.8.2 dieléctrica, 2.0.44 función, 2.4.8 Continuidad,-ecuación-de-lar;._Ley de.la^_, conservación de la carga Coordenadas bipolares, 10.4.19 cartesianas, 1.0.15, 1.8.4, 1.8.10, 1.12.1
índice analítico / 7 7 5
cilindricas, 1.0.15, 1.8.12 dextrógiras, 1.0.9 esféricas, 1.0.15, 1.8.5, 1.8.14, 16.0.13 generalizadas, 1.0.15, 1.0.16, 1.0.17 puntos en un sistema de, 1.0.14 sistemas de, 1.0.1, 1.0.15, 1.8.1, 1.8.18 oblicuas, 1.8.1, 1.8.18 transformación de, 1.0.2 por inversión, 1,0.2, 1.6.4 . por reflexión, 1.0.4 por rotación, 1.0.2, 1.4.11, 1.5.11 por translación, 1.0.2 superficies de, 1.0.14, 10.4.19 Corriente eléctrica, 2.0.24, 2.7.3, 2.9.13, 2.9.24 alterna, 2.9.28, 6.3.21, 12.2.8 cálculo de la, 2.9.30 consumo de, 6.1.28 continua, 2.9.27 de conducción, 2.0.25, 2.9.15 alta, 14.0.11, 14.2.14 baja, 14.0.10, 15.0.13 . en una cavidad resonante, 15.11.6,15.12.9 de convección, 2.0.25, 2.9.14, 2.9.19, 2.9.34, 9.0.17 de desplazamiento, 3.0.14, 3.5,8, 3.6.1, 12.4.4, 12.9.5 alta, 14.0.10, 15.0.13 baja, 14,0.11, 14.2.14 en una cavidad resonante, 15.9.10 en una guía de onda, 15.6.8 en una línea de transmisión, 13.2.2 de magnetización, 3.0.10, 3.5.4, 9.0.20 de polarización, 3.5.8 de remolino v. Foucault, corrientes de directa, 2.9.29, 6.3.20, 12.2.9 efectiva, 12.0.14, 12.2.12, 12.5.17 en un capacitor, 12.0.22, 12.8.19 en un diodo de vacío, 8.6.11 en un resistor, 12.8.22 estable, 3.1.7 estacionaria, 12.2.10 fasorial, 12.2.3, 13.0.14 inducida, 3.1.6 libre, 3.0.9 ligada, 3.0.10 magnética, 3.1.8 parásita v. Foucault, corrientes de peligrosidad de la, 8.0.9 solenoidal, 8.0.10
total, 3.0.12, 3.5.4 transitoria, 3.1.7, 11.0.3 uniforme, 12.0.7 Coseno director, 1.0.6 integral de, 16.4.31 Cramer regla de, 11.0.18 Cuadratura, relación de, 6.3.9 • Cuadrilátero curvilíneo, 11.0.7 propiedades de un, 11.0.10, 11.2.7,
11.2.10 Cuerpo neutro, 2.6.7 Curie v . Ley dé Curie temperatura de v. Temperatura, de ; Curie . ■.Curva B - H , 6.0.16, 6.0.19 de dispersión, 15.0.8, 15.0;17, 15.0.29 inicial de magnetización, 6.0.16, 6.3.1 normal de magnetización, 3.9.15, ; 3.11.11, 6.0.19 >:,■ Cherenkov, 14.3.5
D Declinación magnética, 9.0.16, 9.5.1, 9.5.13 Delta de Kroenecker, función, 1.8.18 Densidad del flujo de potencia v . Poynting, vector de lineal de carga libre, 2.9; 12, 2.9.34, : ■ 8 . 1.12 superficial de carga librej 2.9.9, 2.9.10 en una esfera próxima a carga pun tual, 10.3.7 'V. en una cavidad resonante, 15.11.2, 15.12.4 en una guía de onda, 15.1.15, 15.5.4, 15.6.4, 15.7.2, 15.8.9 en una línea de transmisión, 13.0.7, 13.2.9 superficial de carga de polarización, 2.0. 50, 2.15.9, 5.3.5, 7.0.18 superficial de carga magnética, 3.3.3, 4.0. 7 9.6.12, 9.7.21 superficial de corriente de magneti zación, 3.0.10, 3.5.7, 9.0.20, 9.5.7, 9.7.23 superficial de corriente libre, 2.9.20, 2 .9 .2 3 ,5 .4 .1 ,5 .4 .3
7 7 6 / Teoría electromagnética como m odelo en una bobina, 5.9.. volumétrica del trabajo magnético, 6 .0.10 en una cavidad resonante, 15.11.5, 15.12.5 Derivada direccional, 1.0.19, 1.9.1 en una guía de onda, 15.1.13, Descarga de un medio conductor, 5.0.6 15.5.5, 15.6.9, 15.7.4, 15.8.10 Descartes, 2.1.14 Desmagnetización de imanes, 6.3.20, 6.3.21 en una línea de transmisión, 13.0.7, 13.2.10 9.7.16, 9.0.17 superficial de dipolos eléctricos, 5.0.3, Desplazamiento eléctrico, 2.0.42, 2.13.8, 2.13.10,2.15.10 ■ 5 .5 .r conservativo, 3.1.23 superficial de dipolos magnéticos, 5.0.4 componente normal nula del, 5.2.3 , volumétrica de cárga de polarización, ; en conductores, 3.12.12. 2.0. 50, 2.15.9, 7.0.18 flujo del, 2.15.7, 2.15.14, 2.15.23 ■; volumétrica de carga libré, 2.0.22, 2.0. 47, 2:7.2, 2.7.11, 2.9.7, 2.9.8 líneas de fuerza del, 2.15.6 solenoidal, 2.15.21, 2.15.29 cálculo de la, 2.15.33 variable, 3.6.1 -f;-. en un conductor, 5.0.6, 5.10.1 y ley de Coulomb-Gauss, 2.15.4 en un diodo de vacío, 8.6.10 volumétrica de carga magnética, 3.3.3, Dinámico, 2.4.5 Dieléctrico(a), 3.0.23 4 .0 . 7, 9.6.11, 9.6.14 volumétrica dé corriente de desplaza^ con pérdidas, 14.0.10, 15.0.2 miento, 15.1.12, 15.8:8, 15.11.7 resistividad de un, 3.12.9, 14-0.10 constante, 2.0.44, 3.8.13 volumétrica de corriente de magneti corriente en un, 3.5.8 zación, 3 .0.10,3.0.12, 3.5.2, histéresis en un, 6.2.12 3 .5 .7 ,3 .5 .1 8 ,9 .0 .2 0 ,9 .6 .8 hom ogéneo o heterogéneo, 2.0.43, volumétrica de corriente libré, 2.0.22, 2 .7 .4 .2 .9 .1 6 .2 .9 .1 9 .3 .0 . 12.3.5.19 3.8.10 ideal, 7.0.31, 8.1.6, 14.0.9 armónica, 4.1.5 isotrópico o anisotrópico, 2.0.43, 3.8.11 componentes nulas de la, 5.4.4, 5.4.7 lineal o no lineal, 2.0.43, 3.8.10 conservativa, 2.7.12, 8.4.1 en un diodo de vacío, 8.6.8 multivaluado, 6.2.13 . en un hilo conductor, 8.1.11 placa, 7.4.29 polarización de un, 2.0.41, 2.13.5 en un mapa de campo, 11.3.18 Diferencia de potencial en un superconductor, 8.2.14 en una fuente de energía,.6.0.3__ eléctrico, 2.12.2, 7.0.12, 12.3.1, 12.3.6 uniforme, 12.4.2 radial, 8.0.13 y voltaje, 4.2.3, 12.0.7, 12.3.3 solenoidal, 2.7.11 uniforme, 8.0.12 magnético, 4.3.8. Diferencial de corriente, 3,0.11 volumétrica de corriente total, 3.0.12 volumétrica de lá energía eléctrica, Diferencias finitas v. Método, numérico 6.0. 8 .6 .2 .6 .1 4 .0 .2 2 .1 4Dimensión(es), .5 .8 1.3.3 ,2 .0 .1 0 ,2 .2 .2 sistema de, 2.0.13 en una antena, 16.4.25 en una celda, 11.3.11 Diodo de vacío, 8.0.19, 8.0.20, 8.6.1, 8.6.6 volumétrica de la energía magnética, Dipolo eléctrico, 2.0.40, 2.13.1 6 .0 . 11, 6.2.15, 14.0.22, 14.5.8 E del, 7.0.14 energía potencial del, 7.0.15 en una antena, 16.4.25 en una celda, 11.3.32 fuerza y momento sobre un, 7.0.14 volumétrica de la energía total, 14.5.13 imagen de un, 16.6.11; 16.6.13.... - ~ permanente, 3.8.9, 3-8.13 volumétrica de la potencia disipada, potencial del, 7.0.14 11.3.22, 14.0.22 radiante v . Antena(s) volumétrica del trabajo eléctrico, 6.0.7
Indice analítico / 7 7 7
Dipoló magnético, 3.0.5, 3.0.10, 3.3.4, 3.4.3, \ 9.4.1 . átomos que tienen, 3.10.1 átomos que no tienen, 3.10.1 de una corriente '■/:/ filamental, 9.0.10, 9.4.2 , circular, 9.4.3 superficial, 9.4.6, 9.4.7 : volumétrica, 9.4.8 de una esfera magnetizada, 9.7.24 energía, potencial de un, 9.0.13, 9.4.14 . fuerza y momento sobre un, 9.0.12, 9.4.10 del* 9.0.11 permanente, 3.11.2 potencial escalar del, 9.0.11, 9.4.9 : potencial vectorial del, 9.0.11 ; : radiante ». Antena(s) Directividad v. Antena(s) Distorsión de una onda, 13.0.20 Divergencia, 1.0.21, 1,10.1, 1.10.9, 1.10.14 bidimensional, 1.0.22, LIO.2, 5.0.2 ’ de A m, 4.0.2 d eD , 2.0.47, 2.15.17, 3.0.15 del?, 3.0.3, 3.0.15, 3.3.7 del rotacional, 1.11.18, 3.6.8 en coordenadas curvilíneas, 1.0.24, 1.10.16 relación con el gradiente, 1.10.21 teorema de la v. Gauss, teorema de División con respecto al producto escalar, 1.4.9 División con respecto al producto vectorial, 1.5.9 Dominio ferromagnético, 3.11.10, 6.0.18 orientación del, 3.11.3, 3.11,10
Ecuación(es) constitutiva, 6.0.12 en conductores, 3.0.24 en dieléctricos, 2.0.43, 7.0.20 en materiales permeables, 3.0.8, \ ' 9.6.2 de circuitos, 12.0.5 de nodo, 12.0.5 Ecuación de Helmholtz, 11.6.1 para E , 14.0.2, 15.0.6, 15.12.10 para H , 14.0.2, 15.0.6, 15.12.10 para 0 , 15.6.1
Ecuación de Laplace . ,. para E , 7.0.20 para H , 4.1.3, 9.0.22 . para
7 7 8 / T eoría electromagnética
11. 1.11
■
Electroimán, 3.2.7, 9.8,7, 12.11.28 Electrólisis, 8.0.2 Electrolítica cuba o tanque, 2.9.15, 8.1.12, 11.0.1, 11.0,5, 11.1.6 solución, 3.0.22 Electrolito, 8.0.2, 8.1.2 Electromagnetismo, 2.0.13 Electrón, 2.1.29, 2.6.3, 2.6.8 carga del, 2.6.6 en movimiento, 9-1.4 libre en un conductor, 7 . 1.2 masa del, 2.14.5 .... . ■ movimiento del, 2.10.27 radio del, 2.9.3 Electronsincrotón, 2.0.38 Electronvoltio, 2.12.1 Electroscopio, 7.1.23 : , Electrostática ....... condición, 7.0.3 ecuaciones de la, 7.0.20 energía, 7.0.6, 7.0.7, 7-0.8 experimento, 8.1.4 fuerzas, 7.0.9 Electrostático, campo v. Campo eléctrico Elemento, factor de v . Antena(s) Elipse, 2.11.13 Emisión termoiónica y. Efecto, Edison o termoeléctrico Energía, 2.12.1, 7.8.1 cinética de una partícula cargada, 2.0.34, ... 2.0,39, 2.11.4, 2.11.26, 7.2.22 : conservación de la v . Poynting, teorema de
disipada por histéresis eléctrica, 6.08 magnética, 6.3.29, 6.0.11 e inductancia, 9.9.5 química, 12.6.17 total de una partícula cargada, 2.0.29, 2.0.30,2.11.6,7.2.22 ■ transmitida, 6.0.1, 13.0.1, 15.1.20 velocidad de propagación de la, 15.3. 15.6.38 y fuerza, 7.0.9, 7.8.13, 9.0.43, 9.9.25 y trabajo, 9.9.22 1 Energía almacenada en el campo eléctrico, 6.0.8, 6.1.16, 6.2.6, 6.2.10, 7.0.6 vM > i en el campo magnético, 6.2.15, 9.9.1 en el vacío, 6.1.15 Energía eléctrica, 6.0.1, 6.0.8 de conductores cargados, 7.0.8, 7.1.40 de un capacitor, 7.8.3 de un conjunto de cargas puntuales, ; 7.0.7, 7.2.25 de un dipolo eléctrico, 7.0.15 de una carga puntual, 7.2.24 próxima a un plano, 10.2.6 de una cavidad resonante, 15.11.25 de una distribución de.carga, 7.0.6, 7.2.27 , , de una guía de onda, 15.6.37 máxima, 7.0.16 ' mínima, 4.5.14, 7.0.16 negativa, 7.2.28 positiva, 7.2.29 Energía magnética auto, 9.0.40 de una distribución de corriente, 9.9.1 de interacción, 9.0.40 de corrientes, 9.0.40, 9.9.1, 9.9.14 de inductores, 9.0.41, 9.9.3, 9.9.15, 12.7.21 de un dipolo magnético, 9.0.13, 9.4.14 en función de A m, 9.0.39, 9.9.21 en función de H , 6.1.11, 6.1.17, 6.2.18 Entrehierro, 12.0.27,,12.10.11, 12.10.17 líneas de fuerza de B en un, 11.3.28 Envolvente, 13.0.30, 14.3.13 . Equilibrio —estable, 4.5.14, 9.2.11, 10.3.20 indiferente, 7.0.16, 9.2.14 inestable, 7.0.16, 9.2.12, 9.4.12, 10.4.18 sistema en, 7.0.16 Is9
y onda plana en región conductiva, 14.0.12 transitorio, 12.0.2, 12.2.1 Einstein, 2.1.31 Ejes de coordenadas ti. Coordenadas Electreto(s) fuerza sobre un, 10.3.16 interfaz de, 5.2.11 Electricidad resinosa, 2.0.17, 2.6.4 vitrea, 2.0.17, 2.6.4, 7.1.25 Electrocución, 7.1.21, 8.0.9, 8.2.8 Electrodo, 8.0.2 perfectamente conductor, 11.0.5,
Indice analítico /
Escala factores de, 1.0.17, 1.8.7, 4.5.17 en sistemas análogos, 11.1.15 Escalar, 1.0.1, 1.1.1, 2.9.8 función, 1.2.2 magnitud del, 1.1.2 , , producto, 1.0.8, 1.4.1, 1.4.11, 1.5.13 triple, 1.0.13, 1.1.1, 1.6.1 . sentido del, 1.1.2 Esfera(s) bobina en forma de, 9.0.27, 9.7.11. 9.9.12 ■■';■■■■ cargada dentro de un cascarón,,7.1,34 conectada con otra, 7.1.26 dieléctrica, 4.8.15 polarizada uniformemente, 7.0,25 resistencia de dos, 8.0.13 y el método de las imágenes, 10.0.5, 10.3.1, 10.3.10, 10.3.20 Espectrómetro de masas, 2.11.25 Espejo v. Método de las imágenes Espín del electrón, 3.0.16, 3.11.2 Espiral decreciente, 13.0.28 Espiras primarias, 12.11.25 Espiras secundarias, 12.11.25 Estado estable senoidal v . Fasor Éter, 2.1.32 Euler, ecuación de, 4.0.16, 4.7.6, 4.8.11. f
Factor de arreglo, 16.0.35 calidad, 15.0.37, 15.9.18 . desmagnetización, 9.0.29, 9.7.28 despolarización, 7.0.26 elemento, 16.0.35 potencia, 12.0.13, 12.5.16 Faraday, 2.1.25 constante de, 8.0.3, 8.1.1 jaula de, 7.1.29 Fase, 12.0.3, 12.2.6 constante de en antenas, 16.0.17, 16.6.46 en cavidades resonantes, 15.0.39 en guías de onda, 15..0.6, 15.0,23 en ondas, 12.0.23, 14:0.2, 14.0.10, 14.0.11, 14.2.7, 14.6.5 en líneas de transmisión, 13.0.14, 13.5.10, 13.6.5
779
vector de, 14.0.8 en incidencia oblicua, 14.0.29 . Fasor, 1.1.17, 12.0.3, 12.2.14, 13.0.16, 14.0.1, 15.0.5, 16.0.5 ; derivada de un, 12.0.4, 12.2.17, 14.0.1 F E M v . Fuerza electromotriz Ferrita, 3.0.21, 3.11.6 núcleo de, 16.5.31 Fibra óptica, 14.0.31 Fibrilación cardíaca, 8.0.9 Filtro, guía de onda como, 15.2.11 Flujo de B , 3.1.1, 3.1.7, 3.1.15, 3.3.5, 3.4.2, 9.0.30, 9.0.33, 9.0.41, 9.8.2 auto, 9.0.41 convención de signos del, 12.0.31 enlazado por una espira, 9.0.33, 9.8.3 ■ ’ ■ enlazado por una bobina, 9.8.4, ■ 9.8.6 ■ en un circuito magnético, 12.10.1, 12.10.8 parcialmente enlazado, 9.0.33, 9.0.35, 9.8.15 uniforme, 12.0.28 ; D , 2.14.23, 2.14.28 / , 2.0.19 potencia, 6.0.3, 6.1.2, 6.1.7 un vector, 1.10.1, 1.10.7 Foucault corrientes de, 3.0.2, 3.0.21, 3.1.30, 3.2.3, 9.8.7, 12.11.19 potencia disipada por las, 12.0.35 Fourier, análisis de, 12.0.2 Franklin, 2.6.4 Frecuencia, 12.2.4 característica de un circuito L C , 12.8.28 de corte en guías de oiida v . Guía de onda de corte en líneas de transmisión, 13.1.6 del movimiento de una partícula, ■ \ 2.0.35, 2.0.37 de onda, 14.0.7, 14.6.23 de resonancia, 15.0.36, 15.0.43 medidor de, 15.12.27 Frontera condición de v. Condición de frontera problemas de valores en la, 7.5.1, 7.5.9, 8.4.9, 8.4.14, 9.7.8, 9.7.13, 9.7.24
7 8 0 / Teoría electróniágnética Fuerza central, 2.0.5, 2 .L22, 2.11.2 coercitiva, 6.0.18, 6.3.8, 6.3.14 conservativa, 1.11:22'' de Lorentz, 2.0.26 eléctromagnética sobre uña línea de transmisión, 13.2.6 gravitacionál, 2.0.5, 2.1.16, 8.1.3 newtoniana, 2.1.17 y trabajo virtual, 7.0:9, 9.0.43 Fuerza eléctrica, 2.0.30, 2.10.8 a partir de la energía potencial, 7.0.9, ... 7.8.13 en un diodo de vacío, 8.6.5 entre carga puntual y dos semiplanos, 10.2.8 y una esfera conductora de carga constante, 7.2.18, 10.3.12, 10.3.20 y una interfaz plana, 10.2.17, 10.2.4 entre cargas puntuales, 2.0.46 entre cuerpos, 10.3.16 entre cilindros cargados, 10.4.16 entre esferas, 10.3.19 entre línea y otras líneas, 10:4.7 y un cilindro, 10.4.15 y un plano, 10.2.12 estática, 4.5.14 infinita, 7.2.18 ley de Coulomb de la, 2.0.46 sobre un conductor, 7.0.5, 7.1.38 sobre un dipolo, 7.0.14 sobre una carga móvil, 7.0.26 . sobre una carga puntual, 7.2.3, 7.2.18, 7.2.20, 8.1.5 ''■•y' Fuerza electromotriz (F E M ), 3.1.5, 3.1.11, 3.1.30, 12.0.9, 12.3.6 cálculo de la, 3.1.3, 3.1.28, 12.3.8 sentido de la, 3.1.15, 3.2.1, 12.3.7 Fuerza magnética, 2.1.13, 2.1.27, 2.10.21, 9.6.17 a partir de la energía, 9.0.43, 9.9.25 circulación de lá, 3.5.28 de un electroimán, 12.11.28 en un diodo de vacío, 8.6.5 entre dos espiras, 9.2.10 entre dos imanes, 9.6.16 ......... ... entre línea de corriente y una interfaz plana, 10.2.19 entre líneas de corriente, 9.2.6, 9.2.12
fórmula para calcular la, 3.10.9, 3.11.18 máxima, 2.10.23 sobre limaduras, 3.11.18 sobre un dipolo, 9.0:12, 9.4.10 sobre un imán, 9.6.19 sobre una corriente, 9.0.5, 9.2.1, 9.2.3, . ' 9.6.21 . Fuerza magnetomotriz (F M M ), 11.0.13, 12.0.30, 12.11.5 Función armónica v. Armónica(s), función(es) circular, 4.0.14 continua, 11.0.1 discreta, 11.0.1, 11.4.1 1 : 1 \ ' hiperbólica, 4.0.13, 4.0.14, 4.0.15 " periódica, 12.2.5 ; ' univaluada, 4.7.2, 4.8.2 Fusible, 12.5.13 : ^
Galileo, 2.1.11 Galvanómetro, 3.1.2 balístico, 11.0.2, 11.1.7 de tangentes, 9.5.2 Ganancia v. Antena(s), ganancia directiva de una Gas ionizado, 3.0.22 Gauss, 9.0.14 eliminación de, 11.0.17 teorema de, 1.0.23, 2.15.14 : Gauss-Seidel, 11.0.18 Generador electroquímico, 3.1.2 electromecánico, 3.1:13, 6.1.24 de Van de Graff, 2.0.34 Geometría, 2.0.13 Gibbs, fórmulas de, 1.0.11, 1.5.6 Gilbert, 2.1.13 Gota de agua cargada, 7.2.15 Gradiente, 1.0.20, 1,9.1, 1.10.10 Guía de onda, 13.0.2, 15.0.1 como filtro, 15.2.11 dieléctrica, 14.0.31, 15.1.2 frecuencias de corte en una, 14.0.4, 13.1.11, 15.0.9, 15.0.18, 15.0.31, 15.1.3-, 15.2.1— ...... - v — -.......... ideal, 15.0.4, 15.1:1 condiciones dé frontera en la, 15.0.7, 15.1.6 ecuaciones en la, 15.0.6, 15.0.28
Indice analítico / 7 8 1
longitud de onda de corte en una, : : 15.0.9, 15.0.31, 15.2.8, 15.5.12 .’■■■.• modo atenuado en una, 15.0.9 modo fundamental en una, 15.0.10, 15.2.10, 15.4.3, 15.4.10 modo TE en una, 13.0.4, 15.0.3, ; 15.0. 14, 15.0.16, 15.1.11 modo TEM en una, 13.1.7, 15.1.9 modo TM en una, 13.0.4, 15.0.3, 15.1.15, 15.4.6 real, 15.0.2, 15.1.3 transmisión de la energía en una, 15.2.7 velocidad de fase en una, 15.0.11, 15.3.1, 15.3.6, 15.3.8, 15.6.25, . , 15.7.15, 15.8.32 velocidad de grupo en una, 15.0.11,_ 15.3.3, 15.6.26, 15.6.38, 15.7.15,; , 15.8.33 . velocidad de propagación de la energía en una, 15.3.2 Guía de onda cilindrica, 15.0.27, 15.8.1, 15.8.21, 15.8.42 , atenuación por dieléctricos en una, 15.0. 33 ■ constante de propagación en una, 15.0. 30 curva de dispersión en una, 15.0.30 frecuencia de corte en una, 15.0.31, 15.8.18, 15.8.25 longitud de onda de corte en una, 15.0. 31, 15.8.26 modo fundamental en una, 15.0.32, 15.8.18, 15.8.29 modo TE aw en una, 15.0.29, 15.8.1, 15.8.7 ,1 5 .8 .2 7 ,1 5 .8 .3 7 modo TM wm en una, 15.8.3, 15.8.18, 15.8.23 Guía de onda de planos paralelos, 15.0.4, 15.0.1 5 ,1 5 .5 .1 ,1 5 .5 .1 6 curva de dispersión entina, 15.0.17 frecuencia de corte en una, 15.0.18, 15.5.8, 15.5.14 longitud de onda de corte en una, 15.0. 18 modo fundamental en una, 15.0.19, 15.5.9 modo TEWen una, 15.0.16, 15.5.2, 15.5.10, 15.5.20 modo TMAi en una, 15.5.11
velocidad de fase en una, 15.5.17 Guía de onda rectangular, 15.0.21, 15.6.2, 15.6.16, 15.6.32 , atenuación por dieléctricos en una, . 15.0. 26 con ranuras, 15.7.5 constante de propagación en una, 15.0. 23 curva de dispersión en una, 15.0.23 frecuencia de corte en una, 15.0.24, 15.6.12. 15.7.6 : longitud de onda de corte en una, 15.0. 24, 15.6.19. 15.7.12 modo fundamental en una, 15.0.25, 15.6.12, 15.7.1, 15.7.10, 15.8.20 modo T E ^ en una, 15.0.22, 15.6.2, 15.6-.15, 15.6.30, 15.6.37 modo TMMA: en una, 15.6.7, lp.6.18 H
•
Heaviside condición de, 13.0.20 , línea sin distorsión, 13.0.20 Hélice, 1.7.4 espira en forma de, 12.11.19 trayectoria en forma de, 2.0.32, 2.11.15 Helmholtz, 1.11.37 Hertz, 2.1:28 Hidrógeno, 2.9.33, 7.1.1 Hielo seco, 3.2.12 Hipérbola, 2.11.8 Histéresis, 6.0.9, 6.0.14 bucle de, 6.0.19, 6.3.6, 6.3.12, 6.3.30 ferroeléctrica, 6.2.13, 6.3.23 ferromagnética, 3.9.7, 3.11.11, 6.0.18, 6:3.16, 6.3.28, 9.8.7, 12.11.18 Hoja conductora entre placas, 7.7.21 Homogeneidad dimensional, 2.0.11,. 2.2.5 Horno de microondas, 8.0.9 Huecos, 3.0.23, 9.3.7
Imágenes v- Método de las imágenes Imán, 2.1.21, 3.0.19, 3.10.2 en movimiento, 3.1.6, 3.2.11 esférico, 9.7.31 paramagnético, 3.10.11, 3.10.12
7 8 2 / Teoría electromagnética permanente, 3.0.19, 3.5.10, 3.5.15, 3.9.12, 3.11.18, 6.3.18, 9.7.29, 12.11.14 polos en un, 3.11.9 Impedancia(s) de acopladores en serie, 12.8.20 de entrada en antena, 16.0.15, 16.0.41, 16.4.31, 16.7.6 de línea v. Línea de transmisión de onda, 12.0.23, 14.0.6, 16.0.17 en el vacío, 14.2.10 en un conductor bueno, 14.0.11, ■14.2.15. en un dieléctrico, 14.0.9, 14.0.28, 14.2.13, 14.6.6, 15.0.13 de rama, 12.0.17 de un capacitor, 12.0.23 Incidencia normal y oblicua v. Onda PUM Inclinación magnética, 9.0.15, 9.5.11 índice de refracción, 14.0.30 Inducción eléctrica, 2.1.25, 2.14.8 electromagnética, 3.1.17 magnética, 2.0.26, 2.10.12, 2.10.28 circulación de la, 3.5.16 conservativa, 3.5.20, 3.6.10 .determinación de la, 2.10.21 en un ciclotrón, 2.12.9 en un circuito magnético, Í2!0.28, 12.9.3, 12.11.9 estacionaria, 3.5.6, 3.5.17, 14.6.20 media, 2.12.19 solenoidal, 3.3.8 remanente, 6.0.18 valores comunes de la, 6.3.19 y potenciales, 4.0.2 Inductancia, 9.0.33, 9.8.8, 9.8.11, 9.8.18, ■12.7.3 . a partir de la energía, 9.0.42 a partir de la fórmula de Neumann, 9.0.31, 9.8.10 a partir del flujo parcial, 9.0.35 auto, 3.1.15, 9.0.36, 12.7.3 de un inductor, 12.0.19 v. t. Inductor de un solenoide recto, 9.0.36, 9.8.16, 9.8.20 de un toróide, 9:0.37, 9:8.17 de una bobina esférica, 9.0.38 de una línea de transmisión, 13.0.10, 13.4.4
dependiente de la frecuencia, 12.0.7, 12.7.3 diferencial, 9.8.9 en circuitos magnéticos, 9.8.13 : externa, 9.8.15 incremental, 9.8.9 interna de un alambre, 9.8.15 mutua, 9.0.34, 9.8.23, 12.7.10 de dos bobinas, 9.8.26, 9.8.27 negativa, 9.9.17 reciprocidad de la, 9.0.31, 9.0.34 Inductor(es), 9.0.32 conjunto de, 12.7.10 energía almacenada en un, 6,0T , 9.0.41, 'V. 9.9.3 ■ ’• . - ;■i , •:?; energía negativa en un, 9.9.4 fuerza sobre un, 9.0.42 Integral (es) del seno y el coseno, 16.4.31 elíptica, 9.0.4 Interfaz, 5.0.1 discontinuidades en una v. Condición de frontera Intensidad del campo eléctrico, 2.0.26, 2.10.1, 2.10.3, 2.10.9, 2.15.8, 3.5.20 a lo largo de una línea equipotencial, 11.3.3 armónica, 4.1.1 condnuidad de la, 5 .1 .12 v .t. Condición de frontera conservativa, 3.1.21 constante, 3.1.27 componentes armónicas de la, 4.6.1 componente tangencial nula de la, 5.0.7 despreciable en una guía de onda, 15.4^7, 15.5.20, 15.8.36 discreto, 11.1.1 ecuación que satisface la, 4.0.1 en la superficie de un conductor aislado, 7.1.17 en un conductor perfecto, 8:2.12 en un mapa, 11.3.7 en un modo TE, 13.0.4, 13.1.10 TEM, 13.0.6, 13.1.1 TM, 13.0.4 en una onda-PUM- 14.0.6; 14.0.8----- ----polarizada, 14.0.19,14.0.21, 14.4.1, 14.4.7, 14.4.15, 14.7.20 fasorial, 14.0.2, 15.0.5 infinita, 7.2.4
Indice analítico / 7 8 3
normalizada. 13.0.9, 13.3.1, 13.3.12 solenoidal. 2.15.20 y potencial escalar, 4.0.2, 4.2.6. Intensidad del campo magnético, 3.0:7. > 3.4.5, 3.4.8 a lo largo de una línea equipotencial, 11.3.25 armónica. 4.1.3 ' . circulación de' la, 3,5.23'.componentes armónicas de la, 4.7.1, • 4.8.1 conservativa, 3.6.9 ' , dentro de un imán, 3.5.10 despreciable en una guía de onda, 15.4.6. 15.6.15 ... ecuación que satisface la. 4.0.1 .... e n u n circu ito m ag n ético . 12.0.28, : 12.9.7. 12.11.11 en un modo . TE. 13.0.4 ' TEM. 13.0.6, 13.1.3 . TM. 13.0.4. 13.1.14 ■• en una onda PUM, 14.0.6. 14.0.8, 14.0.24. 14.2.16 estacionaria. 3.5.13 . fasorial. 14.0.1. 15.0.5. . normalizada. 13,0.9, 13:3.1. nula. 3.5.10. 3.5.11. 3.5.14. 3.5.1 . 3.5.19. 3.9.14 solenoidal. 3.4.10 y gradiente. 4.3.6 Interpolación. 11.0,11 Inversor de impedancias, 13:0.42 Isoclinas. 9.0.15 Isógonas. 9.0.16 , Iterativo, método v. Método numérico K Repier. 2.1.9
Laplaciano. 1.0.29 de un producto de funciones, 1.12.9 escalar. 1.0.28. 1.12.2 . . . invariación del. 1.12.1,.4.5.16 transversal, 15.0.6 vectorial. 1.0.30. 1.12.3 Legendre ecuación de. 4.0.16.4,8.11
ecuación asociada de. 4.0.16 funciones de. 4.8.10 polinomios de. 4.0.16, 4.8.7 polinomios asociados de, 4.0.16, 4.8.9 Ley de Ampére forma integral de la, 3,0.12, 3.5.5, 3.5.11, 3.5.23 forma puntual de la, 3.0.12. 3.5,17 para ia fuerza entre corrientes, 2.0.15, 2.1:23.3.0.11,9.0.1 constante de proporcionalidad en .■; ■.\ la. 9.2.9 ■ Ley de Ampére-Gauss . . . forma integral de la, 3.0,3, 3.3.5■ forma puntual de la. 3.0.3, 3.3.7 Ley de Ampére-Maxwell, 2.10,18, 3.6.6 aproximación cuasiestacionaria a. , i 12:0.28, 12.8,32, 12.9.5 , .: forma integral de la, 3.0.13, 3.6.3 forma puntual de l a ,3.0.13, 3.6,7 Ley de Biot-Savart, 9.0.1. 9.1.1 Ley de Child-Langmuir. 8.0.20 Lev de Coulomb. 2.0.15,,2.0.46. 2.14.1, . ' 2.14.11. 2.14.17, 2.14.24 ' constante de proporcionalidad en la, 9.2.9 ' , ' restricciones de la, 2.0.15, 2.14.3. 2.14.13. 2.15.5 v Lev de Couiomb-Gauss forma integral de la, 2.0.47, 2.15.1. 2.15,10 forma puntual de la, 2.0.47. 2.15.17. ' 2.15.33 Lev de Curie, 3.8.13 Lev de Faraday-Henry, 3.1.8. 3.6.6 aproximación cuasiestacionaria a Ja, . 12:0.11. 12.4.9, 12.9.4 forma integral de la. 3.0.1, 3.1.1. 3.1.9. 3.7.5 forma puntual de la, 3.0.1. 3.1.18 Ley de Gauss para el campo eléctrico t/. Ley de Coulomb-Gauss. magnético v. Ley de Ampére-Gauss Lev; ■ de la consers’ación de la carga; 2.0.19. 2.7.8.3.0.15 aproximación cuasiestacionaria de la. 12.0.10. 12.4.3 de la conservación de la energía. 3.1.17. 3 .7 .3 ,7 :0 .9 ,9 .0 .4 3 ,1 2 .9 .4 del paraielogramo. 1.3.1
7 8 4 / Teoría electromagnética distributiva de la derivación vectorial, 1.7.2 de Ja divergencia, 1.10.17 de la integración vectorial, 1.7.8 del laplaciano, 1.12.9 del producto escalar, 1.4.5, 1.4.8 del producto vectorial, 1.5.4, 1.5.7 del rotacional, 1.11.14 física, 2.0.8 ■ ■ Ley de Lenz, 3.0.2, 3.1.29, 3,2.1, 3.2.5 Ley de Lorentz, 2.0.26, 2.10.4, 2.10.20, 2.10.30 Ley de Ohm, 3.0.24, 3.12.11, 8.0.5, 8.2.3 forma fasorial de la, 12.0.17 Ley de Snell, 14.0.30, 14.7.10 Leyes constitutivas v. Ecuación constitutiva Leyes de Kirchhoff para circuitos eléctricos, 12.0.7, 12:4.3, 12.4.7, 12.4.13 y conservación de la energía, 12.4.9 para circuitos magnéticos, 12.0.28, 12.9.1, 12.9.4, 12.9.8 Leyes de Newton, 2.5.2 Limaduras de hierro, 3.11.18 Línea de fuerza) 2.10.20, 10.1.1, 11.0.7 de corriente, 11.3.16 eléctrica, 2.1.25, 2.10.10, 2.15.6, 10.1.9, 11.1.6, 11.3.1 dentro de un capacitor, 11.3.15 dentro de una guía de onda, 15.1.7, ■ 15.8.7 intersección con un conductor de una, 11.3.5 magnética, 3.4.8, 7.1.11, 11.1.8, 11.3.25 dentro de Una guía de onda, 15.1.8 Línea(s) de transmisión, 13.0.3 aproximación cuasiéstacionaria de la, 13.3.11 cabo de una, 13.0.45, 13.11.14 coeficiente de reflexión, 13.0.22, 13.7.2, 13.7.36 en la carga de una, 13.0.22, 13.7.2, 13.7.10, 13.7.19, 13.9.1, 13.11.7 nulo de una, 13.0.30, 13.7.5, 13.7.19 y la R O E V e n la carga de una, ..................... 13,9.19 ........... i-::-..' ............. y relación con la admitancia de una, 13.7.18 : y relación con la impedancia de una, 13.0.23,13.0.38
coeficiente de transmisión del voltaje de una, 13.7.36 como circuito distribuido, 13.0.12, 13.4.1 . conductancia normalizada de, 13.0.37 con pérdidas v . Línea (s) de transmisión, real corriente (de), 13.0.8 desplazamiento en una, 13.2.2 estacionaria en una, 13.5.1 fasor de la, 13.0.14, 13.5.6, 13.11.1 infinita, 13.6.6 máximos y mínimos de la, 13.0.30, ,y 13.9.6 sentido de la, 13.3.8 solución para la. 13.0.16 total en una, 13.3.9 dispersiva, 13.0.19 ecuaciones de la, 13.0.6, 13.0.14, 13.4.4 en corto circuito, 13.7.7, 13.8.19, 13.9.6,13.10:4,13.10.15 en circuito abierto, 13.7.5, 13.7.23, 13.7.27 en paralelo, 13.7.25, 13.7.34 en serie, 13.7.35 energía eléctrica media en una, 13.8-26 energía magnética media en una, ' 13.8:26 - ..... ........ ideal, 13.0.5, 13.2.1 ecuaciones de la, 13.0.11 impedancia característica de la, 13.0.16, 13.545, 13.5.21 en un acoplador, 13.0.44, 13.11.10, 13.11.5, 13.11.16 impedancia de línea de la, 13.0.21, 13.6.1, 7.34, 13.9.8 en la entrada, 13.0.20 en la carga, 13.7.3, 13.7.13, 13.7.30, 13.8.18, 13.9.5, 13.9.16, 13.11.9 normalizada, 13.0.36 reactiva, 13.7.3 y relación con el coeficiente de reflexión, 13.0.22 intensidades normalizadas del campo en la, 13.0.9, 13.3.1, 13.7.33 ..modo TE en una, 13.0..4, 13.1.13.._____ modo TEM en una, 13.1.8, 13.2.3 condiciones de borde del, 13.0.7, 13.2.7 ecuaciones del, 13.0.3 modo TM en una, 13.0.4
Indice analítico / 7 8 5
onda estacionaria en una, 18.0.18, 13.7.30, 13.8.23 : y la R O E V , 13.9.13 onda viajera en una, 13.0.30, 13.7.31, 13.8.24 y la R O E V , 13.9.14 ■ onda incidente en una, 13.0.30, 13.5.28, ' 13.8.24 : onda reflejada en una, 13.0.30 parámetros distribuidos de una, 13.0.10, 13.4.4, 13.4.8 patrones de onda en una, 13.0.30 potencia compleja en una,; 13.0.24, 13.8.6, 13.8.17, 13.11.3 ‘ potencia disipada en una, 13.0.26, 13.8.13, 13.8.27 potencia instantánea en una, 13.0.24, 13.8.5, 13.8.8, 13.8.18 potencia promedia en una, 13.0.25, , 13.8.10, 13.8.19 ' potencia reactiva en una, 13.0.25, 13.8.14, 13.8.22 reactancia de una, 13.0.29 reactancia normalizada de una, 13.0.36 real, 13.Ó.12, 13.2.2, 13.4.1, 13.5.13, . 13.5.39 ecuaciones en el tiempo de la, 13.0. 13 ecuaciones en la frecuencia de la, 13.0. 14 resistencia de una, 13.0.29, 13.5.20 resistencia normalizada de una, 13.0.36 resonante, 15.9.6 sin distorsión, 13.0,20, 13.5.12, 13,5.32 sin pérdidas, 13.0.8, 13.0.18, 13.5.9, 13.7.20, 14.3.14, 14.7.17, atenuación en una, 13.0.31 coeficiente de reflexión en una, 13.0. 27, 13.7.3 impedáncia característica de una, 13.0. 31, 13.6.3 longitud de onda en una, 13.5.37 patrones de onda en una, 13.0.31 potencia compleja en una, 13.0.27, 13.8.16, 13.8.26 susceptancia normalizada de una, 13.0. 37 velocidad de fase en una, 13.5.31, 13.7.22 velocidad de grupo en una, 13.0.19
voltaje de la, 13.0.8, 13.3.6, 13.5.28, 13.7.20 ■ estacionaria del, 13.5,2 fasordel, 13.0.14, 13.5.5, 13.11.2 máximos y mínimos del, 13.0.30, 13.9.2 .■ primer mínimo del, 13.0.32, 13.9.1 razón del v. Razón de voltajes (R O E V ) solución para el, 13.0.16 • Línea recta, trayectoria en forma de, 2.11.21 Lorentz, 2.1.29 condición de, 4.0.3 , Lóbulos v. Antena(s) Longitud de onda de corte en guía de ondas v . Guía de onda en línea de transmisión, 13.0.17. en un conductor, 14.3.12 en una onda, 14.0.7, 14.2,8 . Lugar geométrico, 13.0.35 Luz, 2.0.6, 2.1.20, 2.1.31 , velocidad de la, 3.6.4 M Macizo semiinfinito, 10.0.3 Macroscópico(a) ámbito, 2.0.22, 2.9.1, 3.7.2, 5.0.1, 7.2.4 magnitud media, 3.10.7, 7.1.6, 11.0.2 . Magnético densidad de flujo v. Inducción, magnética flujo v . Flujo de, B monopolo, 3.0.4, 3.1.8, 3.3.13.11.7, 12.9.1 ’ Magnetización, 3.0.6, 3.4.1, 3.4.4, 3,4,9, ■■■ 3.5.3 -y,'. . blanda, 6.0.20 circulación de la, 3.5.9 conservativa, 3.5.21, 3.5.22 corrientes de, 3.5.1 dura, 6.0.20 en el vacío, 3.4.11, 3.9.6 estacionaria, 3.5.7 fácil, 3.0.19 inducida, 3.10.35 irrotacional, 3.5.22 permanente, 3.9.12, 3.11.2, 5.9.4, 9.0.29 remanente v . Remanencia solenoidal, 3.4.11 uniforme. 3,5.2, 3.11.18
786 /
T e o r ía e le ctro m ag n é tica
Magnetosfera, 9.0.17 Mapa de un campo, 11.0.7, 11.2.1, 11.2.12 condiciones para dibujar un, 11.0.9,
11.2.6 de corrientes, 11.3.16 eléctrico, 11.0.2, 11.2.2, 11.3.1, 11.3.11 informaciones que salerí del, 11.0.11, 11.3.13 magnético, 11.3.24, 11.3.34 : número de celdas' dé unj 11.0.11 número de tubos de flujo de un, 1 1 .0.11,11.3.13,11.3.34 Masa, 2.8.2 relativista, 2.0.36 Materia, 2.0.4 Material antiferromagnéticó, 3.0.20, 3:11.5 diamagnético, 3.0.16, 3.9.2. 3.10.4, V 3.11.16, 5.7.12,6.2.21 ; :7: '1 ' energía en un, 9.9.19 fuerza sobre un, 9.9.28 lineal, 3.0.8, 3.10.4 magnetización inducida en un, . 3.10.3,3.10.13 onda electromagnética en un, 14.2.1 y un imán, 3.10.2, 3.10.13, 3.11.19 ferrimagnético, 3.0.21, 3.11.8 ferroeléctrico, 2.13.5 ferromagnético, 3.0.18, 3.11:2, 3.11.17, 9.6.3 . . blando, 6.0.20, 6.3.12, 6.3.18 duro, 6.0.20, 6.3.14, 12.11.17 isotrópico o anisotrópico, 3.11.10 lineal o aliiieal, 3.11.11, 11.0.13 onda electromagnética en üii, 14.2.2 saturación del, 3.4.9 y temperatura, 3.11.12 hom ogéneo o inhomogéneo, 1.2.6,: 2.5.1, 2.5.8 isotrópico o anisotrópico, 1.2.6, 2.5.3, 2.5.8, 3.11.10 lineal o alineal, 2.5.6 multivaluado, 6.0.14 dieléctrico, 6.2.13 magnetizable, 3.9.13, 6.3.3, 6:3.25 no dispersivo, 14.3.10 paramagnético, 3.0.1-7, 3.9.2, 3.10.11, . 6 .2.22 fuerza sobre un, 9.9.27 lineal, 3.10.14 saturación del, 3.4.9
y magnetización, 3:10.7, 3.11.17 y un imán, 3.10.9 semiconductor, 3.5.23, 3.12.4 sin pérdidas, 14.0.9, 14.3.20, 14.7.25 univaluado, 6.0.13 dieléctrico, 6.0.7, 6.0.8, 6.2.8, 6.2.12 magnético, 3.11.11, 6.0.10, 6.2.17 virgen, 6.0.16 Matriz de los coeficientes de potencial, 7.6.2 Maxwell, 2.1:28, 2.6.12 v .t. Ecuaciones de Maxwell Mecanicismo, 2.0.6 Mediatrié, 10.0:7, 10.4.1 Medir, 2.0.9, 2.2. i, 11.1.1 Membrana elástica, 11.0.1, 11.1.17 Método analítico, 11.0:1 aproximado, 11.0.2 v: de mapeo v . Mapa de un campo del trabajo virtual, 7.0.9, 9.0.43 experimental, 11.0.2, 11.1.2 Método de las imágenes aplicado a antenas, 16.0.39, 16.6.8, 16.6.20 fundamento del, 10.0.1, 10.1.7, 10.1.9, 10.2.15 para el campo eléctrico de dos cilindros, 10.0.8, 10.4.4,. 1 0 .4 .1 1 ............................. de una carga esférica cerca a una esfera, 10.3.8 de una carga puntual próxima a dos semiplanos, 10.2.8 de una carga puntual próxima a una interfaz plana, 10.0:2, 10.2.2, 10.2.16 ; de una carga puntual próxima a una esfera, 10.0.5, 10.3d, 10.3.3, 10.3.9 de una línea próxima a dos semi planos, 15.2.14 de una línea próximá a un cilindro, ' 10.4.8' ' ■ de una línea próxima a un plano, 10 .2.12 para el campo magnético, 1 0 .0 .4 ,; .. ;.... 10.2.19........................................................ Método numérico, 11.0.1, 11.0.14, 11,4.1 convergente, 11.4.2 de las diferencias finitas, 11.0.16, 11.4.6, 11.4.12
. índice analítico / 7 8 7 . en coordenadas cilindricas, 11.4.9 derivadas en el, 11.4.4 de relajación, 11.0.19, 11.6.1, 11.6.6, 11.6.15 mayor convergencia en el, 11.6.11. ; precisión en el, 11.6.17 vecinos no equidistantes en el, 11.6.3 iterativo, 11.0.18, 11.5.1, 11.5.7 inicialización en el, 11.5.4 precisión en el, 11.5.8 vecinos no equidistantes en el, 11.5.2 Michelson-Morley, 2.1.32 Microondas frecuencias de, 3.0.21 horno de, 8.0.9 Microscópico(a) ámbito, 2.0.22, 2.9.1 magnitud, 7.1.43 Millikan experimento de la gota de aceite de, 2.0.21,2.8.3 Modo fundamental v. Guía de onda degenerado, 15.6.33. 15.8.21 TE, 13.0.4, 13.1.10 v .t. Guía de onda TEM, 13.0.3,13.1.1, 13.2.3,14.2.10, 15.1.9 TM, 13.0.4, 13.1.14 j v .l. Guía de onda Molécula polar, 3.8.13 Momentum angular, 2.11.2 lineal, 2.11.1 Momento de dipolo eléctrico, 2.0.40, 2.13.1 de dipolo magnético, 3.0.5 , de un elemento de corriente, 16.0.16 de una corriente filamental, 9.0.10 de una fuerza, 2.11.2 Monopolo v. Magnético, monopolo eléctrico radiante, 16.3.1, 16.6.25 Motor, 3.1.13, 6.1.24, 9.2.15 Movimiento de una partícula cargada, 2.11.1, 2. 11.11
oscilatorio, 3.2.6 Mutuainductancia v. Inductancia, mutua
N
. .
Nabla ■ operador, 1.0.29, 1.1.8, 1.9.4, 1.10.15, 1.11.16, 1.11.32, 1.12.6 / Neumann fórmula de, 9.0.31, 9.8.10 Neutrón, 2,10.11 en movimiento, 9.1.2 Newton, 2.0.5, 2.1.15, 2.1.20 Nodo, 11.0.17, 11.4.3, 11.4.12 en un circuito, 12.0.5, 12.0.10, 12,0.31, ■ 12.4.1 Núcleo atómico, 2.9.4 de hierro, 3.2.9 : laminado, 12.0.35, 12.11.21 Número atómico, 7.1.1 de onda v. Fase, constante de ;0
T.
Oersted, 2.1.21. 9.6.15 Ohmios por cuadrado v. Resistencia ; eléctrica, por cuadrado Onda(s) . amplitud de, 14.0.4, 14.1.1 en un conductor, 14.3.18 cilindrica, 14.0.4, 14.1.3 coplanares, 14.7.7 eléctrica transversal v. Modo, TE electromagnética transversal v . Modo, TEM esférica, 14.0.4, 14.1.4, 14.7.7,16.2.10, . 16.5.9 , estacionaria, 12.8.16, 13.0.18, 13.7.28, 14.0.17, 14.0.24, 15.5.1, 15.11.1, 15.11.16 estacionaria esférica, 14.3.22 fase de, 14.0.4, 14.1.1 frecuencia de, 14.0.7, 14.6.3 frente de, 14.0.4 guiada, 15.0.2 incidente, 14.7.6 longitud de, 14.0.7. 14.6.4, 14.7.8 magnética transversal v. Modo, TM monocromática, 14.0.1, 14.0.6, 14.1.7 no uniforme, 14.0.31, 14.1.6, 16.2.11
7 8 8 / Teoría electromagnética ortogonalidad de E y H e n una, 14.2.17 polarizada elípticamente, 14.4.15 plana, 14.0.4, 14.1.1 polarizada v. Polarización, de ondas rapidez de una, 2.1.8 resultante, 13.0.18, 13.0.19, 14.0.6. 14.0.7 ■ viajera, 12.8.16, 14.6.2 de una antena, 16.0.6 “más” en una línea de transmisión, 13.0.17, 13.7.26 v ‘' r “'menos” en una línea de transmi sión, 13.0.16, 13.0.17, 13.0.18, 13.0.22 Onda PUM, 14.0.6, 14.1.8, 14.1.10 en una guía de onda, 15.0.4 incidencia normal de una, 14:0.24, 14.6.1, 14.6.11 incidencia normal múltiple de una, 14.0. 28, 14.6.18, 14.8.16 incidencia oblicua de una, 14.0.29, 14.7.4, 14.7.13, 14.7.22, 14.7.25, 14.7.31, 14.8.1, 14.8.10 incidencia múltiple de una, 14.0.28, 14.6.18, 14.8.16 reflejada, 14.0.24, 14.6.5, 14,7.6, 14.7.21 transmitida, 14.0.25, 14.6.3, 14-7.6, ..........14.7.16, 14.8.11 . solución de la ecuación de, 14:0.6, : 14.0.8 ■ tren de, 14.0.8 uniforme, 14.0.5, 14.1.5 P
.
Papel resistivo, 11.0.1, 11.1.16 Paralelogramo ley del, 1.3.1 y producto vectorial, 1.5.1 Parámetros concentrados, 15.0.37 distribuidos, 13.0.23 Partícula, 2.0.2 fundamental, 2.11.27 Pérdida de energía v. Potenciá(s) Período, 12.2.4 del movimiento de uná j5ártícula, 2.1L18 Permeabilidad, 3.0.8, 3.9.8, 3.9.10 de un material, 3.9.11, 12.0.27 del espacio vacío, 3.6.4, 3.9.10
"
infinita, 3.9.14, 5.6.3, 5.7.2, 10.2.19 inicial, 3.9.15 máxima, 3.9.15 secante, 12.0.27 Permeancia(s), 11.0.13, 12.10.13, 12.0.33 calculada con un mapa, 11.0.11, 11.3.34 de una barra, 12.0.33, 12.10.14 de una celda de campo, 11.0.11, 11.0.12, 11.3.30 en serie, 12.11.12 Permitividad, 1:2.6, 2.0.43, 3:8.4, 3.8.10, 14.6.H del espacio vació; 2.14.20, 3.6.4, 14.3.4 de un electreto, 3.8.9 no uniforme, 3.8.12 ■ ■ relativa, 2.0.44 Peso atómico, 7.0.1 Placa de cobre, 14.6.21 de media onda, 14.6.18 de un Cuarto de onda, 14.6.17 de vidrio, 14.6.20, 14.7.25 superconductora, 14.6.22 Plank, 2.1.30 Plano complejo, 10.2.11 conductor, 2.10.5 de incidencia, 14.0.29, 14.7.1 de tierra, 16.3.1, 16.6.8 de JJzJ, 13.0,28, 13.0.39, 13.9.11, 13.10.1, 13.10.13 de Z (z ), 13.0.29, 13.10.3 mediatriz, 10.0.7, 10.4.1 Polarizabilidad atómica, 7.4.4 Polarización de onda, 14.0.18 circular, 14.0.18, 14.4.7, 14.7.24, 14.8.11, 15.7.1, 15.11.9, 15.12.12 elipse de la, 14.0.20 elíptica, 14.0.18, 14.4.14, 14.6.1, 14.6.9, 14.7.24, 14.8.10 lineal, 14.0.8, 14.0.18, 14.0.34, 14:1.9, 1 4 .4 .1.14.4.13.14.6.6.14.6.16, 15.8.16, 16.5.10 lineal aproximada, 14.8.11 paralela o n , 14.0.32, 14.7.4, 14.7.20, 1¡ 14.8.1,14.8.16 perpendicular oír, R70.32"ri7t7774; 14.7.28, 14.8.2 por reflexión, 14.8.12 Polarización eléctrica, 2.0.41, 2.13.2, 2.13.4, 2.13.9, 2.15.9
Indice analítico / 7 8 9
cilindro con, 7.4.22 componente tangencial nula de la, 5.3.3 conservativa, 3.1.25 en un superconductor, 8.2.13 espontánea, 10.3.16 flujo de la, 2.13.6 permanente, 5.1.11, 5.2,6, 7:0.26 . solenoidal, 2.15.22 uniforme, 7.0.25 Polarizadores, 14.8.15 Polarizar, 14.0.18 Polo en coordenadas bipolares, 10.4.19 magnético, 2.11.28, 3.3.1, 3.11.9, 9.6.9 Portador de carga, 3.0.23, 9.0.6 densidad del. 9.0.8, 9.3.8 Positrón, 2.11.22 Potencia(s) absorbida para establecer el campo eléctrico, 6.0.6
para establecer el campo magnético, 6.0.9 por cargas en movimiento, 6.0>3, ,. 6.1.21,12.5.2 aparente, 12.0.13 compleja, 12.0.15, 13.8.6, 13.8.17 convención de signos para la, 6.0.3,
12.0.12
:
cuasiestacionaria, 12.0.12. de una fuente de energía, 6.0.3 ,• disipada • en un conductor, 6.0.5. 6.1.22, . 6.2.1, 12.5.3, 14.0.23 en un resistor, 12.0.13, 12.5.67 , 12.5.14, .12.6.18, 12.7.15 : . en una cavidad reson an te,15.11,28, . 15.12.23 en una guía dé onda, 15.0.14, 15,4.8 por corrientes de Foucault, 12.0.35,
12. 11.21 por histéresis, 12.11.18 electromagnética v. Poynting en un circuito eléctrico, 12.0.7,, 12.5.1,. . 12.8.32 factor de, 12.0.13 flujo de v. Poynting instantánea, 12,0.12 radiada, 6.1.8, 6.1.10, 6.2.3 reactiva, 12.0.15. 15.0.12, 15.4.3 real. 12.0.13
superposición de, 12.8.34 ■ en guías de onda, 15.6.36 transmitida en guías de onda, 15.0; 14, 15.5.22, 15.6.34, 15.7.21 Potencial escalar, 1.11.31, 10.1.6 de referencia, 10.3.4 Potencial escalar eléctrico, 4.0.2, 4.0.3, 4.0.4, 4.2.1, 13.3.4 / armónico, 4.2.9, 4.2.10 de la Tierra, 7.1.20 dentro de un conductor aislado, 7.1.9, 7 .1 .1 8 . . ,y, de una antena, 16.0.4 diferencia de, 4.2.3, 12.0.7,'12.0.8, •y 12.3.3 , . discreto, 11.1.5 en la superficie de una esfera, 7.0.11 existencia del, 4.2.2, 4.2.13 \ forma compleja del, 16.0.4 multivaluado, 4.2.11 retardado, 16.0.4, 16.1.2, 16.0.5 unicidad del, 4.0.2 uniforme, 7.1.9 Potencial escalar magnético, 4.05, 4.0.7, ; ^ 4.3.1,4.4.16, 13.3.5 estático. 4.3.9 multivaluación del, 4.3.8, 9.6.1, 9.7.26; unicidad del, 4.0.5 retardado, 16.0.4 Potencial vectorial, 1.11.30, 4.4.1 Potencia] vectorial eléctrico, 4.0.8, 4.4.2 ■ y J , 4.4.7 Potencial vectorial magnético, 4,0.2, 4.4.8, ■; 4.4.18 ■ . conservativo, 4.4.10 de un dipolo eléctrico radiante, 16.0.17 : de un dipolo magnético, 4.4.20 radiante, 16.0.29 de una antena, 16.0.4, 16.0.23 estacionario, 4,0.9, 4.4.12 irrotacional, 4.4.13 ortogonal a B , 4.4.14 paralelo a J , 4.4.17 retardado, 16.0.4, 16,1.2 solenoidal. 4.4.11 unicidad del, 4.0.2 y energía, 9.0.39 Poynting teorema de, 3.1.17, 16.1.1 en forma compleja, 14.0.22 en forma integral, 6,0.2, 6.1.6
7 9 0 / Teoría electromagnética en forma puntual, 6.0.2, 6.1.5 en una línea de transmisión, 13.0.24 y la histéresis, 6.0.10, 6.0.14 vector de, 6.0.3, 6.1.1, 6.1.7, 13.8.1, '14.5.1 ■ complejo, 14.0.22, 14.5.2, 14.5.8 conservativo, 13.8.3 en un conductor, 14.5.4 en un modo TE, 13.1.12 en un modo TEM, 13.1.4, 13.1.5 en una cavidad resonante, 15.11.10 en una guía de onda, 15.0.12, 15.1.14, 15.4.3, 15.5.2, 15.6.10, V 15:8.13 ; :■• " / en una línea de transmisión, 13.2.5, / 13.8.1 en una onda PUM, 14.5.2, 14.7.27 en incidencia oblicua, 14.7.27 flujo del. 6.1.8 ■ irrotacional, 13.8.2 promedio, 14.0.22, 15.0.12 solenoidal, 6.1.9,1 3 .8 .4 , 14:5.6 y la superposición, 14.5.12, 14.7.28 Prefijos para las unidades en el SI, 2.3.1 Presión barométrica, 1.2.3 hidrostática, 2.5.5 Principio de causalidad, 16.1.4, 16.1.6 Problema ficticio v. Método dé las imágenes magnético directo, 12.0.34 magnético inverso, 12.0.34 Producto diádico o total, 1.5.14 Profundidad piel, 24.0.12, 14.2.6 . en conductores buenos, 14.0,12, 14.2.21 y ferromagnéticos, 14.2.24 en dieléctricos, 14.0.12, 14.2.20 en superconductores, 14.0.12 en un alambre redondo, 14.0.16 en un macizo semiinfinito, 14.0.15 en una cavidad resonante, 15.11.34, 15.12.26 en una guía de onda, 15.1.3 Propagación, 2.0.3 constante de, 13.5.7 en una guía de onda, 15.0.5, : ....... 15.0.17,15.0.29...................... en una línea de transmisión, 13.0.14, 13.6.5
en una onda plana, 14.0.2, 14.0.9, 14.0.11, 14.2.3 vector de, 14.0.8 Protón, 2.14.4 carga del, 2.6.6 en movimiento, 9.1.1 masa del, 2.11.22, 2.14.5 Protonsincrotón, 2.0.38, 2.12.18 Pulso de corriente, 13.0.19 de voltaje, 13.0.19 Punto en el espacio v . Coordenadas, . sistemas de q
,/
<2 v. Factor de, calidad
Radiación, 6.0.1, 13.0.2, 16.0.1, 16.1.1 de una carga puntual, 16.2.1 del cuerpo negro, 2.1.30 estacionaria dé potencia, 6.1.10, 6.2.3 Radiador isotrópico v . Antena(s), isotrópica Radio de curvatura de la órbita, 2.0.35, 2.11.3, 2.11.24 Rama circuital, 12.0.5, 12.0.10, 12.4.1 en serie, 12.11.8 en paralelo, 12.11.15 Ranura en un circuito magnético v . En trehierro Rayos cósmicos, 2.11.28; 3.3.2 Razón de voltajes (R O E V ), 13.0.33, 13.9.12 infinita, 13.9.13, 13.11.17 y carta de Cárter, 13.10.18 y carta de Smith, 13.0.37, 13.10.7 Reactancia, 12.8.18 Red circuital, 12.0.5, 12.4. Reflexión en el agua, 14.7.15, 14.7.26 múltiple, 15.0.4 total, 14.0.31, 14.8.1, 14.8.18, 15.1.2 y polarización, 14.8.12 Refracción de B , de E y d e / v . Ángulo, de ........ transmisión ~ ~ ÍT'T r~ índice de, 14.0.30, 14.7.11
índice analítico ! 791
Región conductiva clasificación de una, 14.0.10, 14.0.11, A" 14.0.13 profundidad piel en una, 14.0.12 Región simplemente conectada, 1.10.5, 1.11.7, 3.5.9 Régimen permanente, 1,1.16, 12.0.2, 12.2.1, 13.0. 3 .1 4 .0 .1 .1 5 .0 .4 Regla de Cramer, 11.0.18 Regla de la mano derecha para el campo magnético, 3.0,5, 9.0.4, 9 .0 . 23 '■■.'pata el producto vectorial, 1.0.4, 1.0.10, 1.5.10, 1.11.29, 3.0.1, 9.0.9 Relación de cuadratura, 6.3.9 Relajación método de v. Método numérico tiempo de, 5.0.6, 5.10.3, 8.0.15 Relatividad teoría especial de la, 14.3.4 Reluctancia(s), 11.0.13, 12.0.33, 12.10.1, \
12. 10.11
en paralelo, 12.11.11 en serie, 12.11.8 ...... en una celda. 11.3.31 Remanencia, 3.0.19, 6.0.18, 6.3.6 Residuo, 11.0.19 Resistencia a la radiación v. Antena (s) Resistencia eléctrica, 3.0.24, 3.1.32, 3.2.12, 8.0. 4, 8.2.1, 12.6.20 a./. Resistor(es) analogía en un circuito magnético de la, 11.0. 13, 12.0.33 calculada con un mapa, 11.3.21 dependiente de la frecuencia, 12.0.7, 14.0. 14 de una bombilla eléctrica, 12.6.15 de una celda de campo, 11.3.20 de una línea de transmisión, 13.0.10, 13.4.4, 1 3 A 1 2 , 13.5.14, 13.5.22 dieléctrica, 2.0.45, 2.12.2, 15.1.19 en un mapa, 11.3.20 en un superconductor, 8.2.10 equivalente, 12.0.16 por cuadrado, 14.0.15, 15.0.14 y temperatura. 8.0.6, 8.2.5 Resistividad, 3.0.24 nula. 3.12.8 superficial, 15.0.14, 15.4.9, 15.9.15, 15.11.28, 15.12.23 Resistor(es) , 8.0.5
conjunto de, 12.0.16, 12.6.2, 12.6.10, 12.6.13 disipación de energía en un, 6,2.5 en.forma de cilindro, 8.0.7, 8.3.1, 8.3.5, ‘ 14.0.16, 14.2.26 en forma de cilindros, con corriente : : radial, 8.0.12, 8.4.7 en forma de esferas con corriente radial, - 8.0.13, 8.4.11 • . en forma de macizo semiinfinito, 14.0.15, 14.2.27 A voltaje entre las terminales de un, 8.2.4 Resistividad, 3.0.24, 8.0.16 Resonancia frecuencia de, 12.8.30 acústica, 15.11.21 magnética, 2.12.7 Resonante circuito, 12.8.30, 15.0.37 Retentividad, 6.3.6 R O E V v . Razón de voltajes Rotacional, 1.0.25, 1.11.1, 1.11.17, 1.11.37 del gradiente, 1.11.18 en coordenadas curvilíneas, 1.0.27 Rowland, 2.1.27 anillo de, 6.0.15 Ruptura dieléctrica, 2.0.45, 2.13.7, 3-12-10 en una guía de onda, 15.7.22, 15.8.42
Satélite artificial, 3.1.30, 3.2.4 Saturación eléctrica. 2.13.7 magnética, 3.0.18, 6.3.1 Separación de variables en cartesianas, 4.0.12 en cilindricas, 4.0.14 en esféricas, 4,0.16 posibilidad de la. 4.5.17 Seúdocantidad, 1.0.3, 1.1.20 Seudoescalar, 1.0.13, 1.1.18, 1.4.13, 1.6,4. 1.10.14. 4 .2 .15,4.3.13 Seudovector, 1-1.5, 1.1.19, 1.3.7, 1.5.5, i . 5.12. 1.6.4, 1.11.13, 1.11.29, . 2.10.26.4.4.5 Significado intrínseco, 1.0.1, 1.1.9 Sincrotón, 2.0,36, 2.12.15 radio de la órbita en un, 2.12.16
792/
T e o r ía ele c tro m a g n é tic a
Sistema análogo, 11.0.4, 11.1.9, 11. L14 aislado, 2.0.19, 2.7.5 cuasiestacionario, 12.0.1, 12.1.1, 12.7.7 longitud de onda.en un, 12.0.1, 12.0. 7, 12.1.2 . de unidades MKSA, 2.2.8 dispersivo, 14.3.9, 14.3.14, 15.3.2 estacionario, 12.0.2, 12.2.2 geocéntrico, 2.1.4, 2.1.11 heliocéntrico, 2.1.4, 2-1.11 internacional de Unidades (SI), 2.0.16, 2.3.1 ' í' ! irreversible, 6.0.14, 6.0.17, 6.0.18 ^ ’ solar, 2.1.9 Sobrerrelajación, 11.6.11 . Solenoide corto, 3.2.7, 9.0.24, 9.8.20 esférico, 9.0.27, 9.9.12 muy largo, 9,0.23, 9.8.16, 9.9.9, 12.7.9 toroidal, 9.0,26, 9.8.17, 9.9.10 Solución continua y exacta, 11.0.1 complementaria, 12.0.26 de la ecuación de Laplace, 4.0.13, 4 .0 . 15, 4.0.17, 10.0.1 discreta y aproximada, 11.0.1, 11.0.17 integral para A m retardado, 16.0.4 B estacionario, 9.0.2 estático, 7.0.10, 7.0.13 particular, 12.0.26 Sonda de prueba, 11.0.2 Submarino, comunicación con un, 14.2Í25 Suma vectorial, 1.13.1 Superconductor campos en un, 8.0.8, 8.2.12, 9.6.4, . 14.0.13 material, 2.9.9, 3.12.8, 8.0.8, 8.2.10 en interfaz, 5.1.7, 5.2.3, 5.3.5, 5.4.2, 5.6.5, 5.7.8, 5.8.3 potencial escalar eléctrico en un, 8.4.5 superficie de un, 8.4.6 Superficial campo de una carga, 7.0.19, 7.0.21 en un capacitor, 7.7.7, 7.7.18 fuerza sobre una carga, 7.0.5 inducción por carga puntual próxima a una esfera con carga, 10.3.7 inducción por carga puntual próxima a un plano con carga, 10.2.3
Superficie(s) de discontinuidades, 5.0.1 elemento vectorial de, 1.5.10 equipotencial, 10.1.4, 11.0.7, 11.2.9 de líneas de carga infinitas, 10:0;7, . 10.4.1 de un conductor perfecto, 12.8.12 de una carga puntual, 7.2.1 isóbara, 7.1.15 ' vector normal a una, 5.0.2 Superposición de polarizaciones, 14.0.32 de potenciales, 4.2.12, 4.3.9 de vectores de Poynting, 14.5.12 en antenas, 16.4.21, 16.5.16, 16.6.40 en circuitos eléctricos, 12.8.33 en circuitos magnéticos, 12.11.3 principio de, 2.14.15, 7.0.22 Susceptibilidad eléctrica, 2.0.43, 3.8.1, 3.8.5 del vacío, 3.8.3 magnética, 3.0.8, 3.9.4 del vacío, 3.9.2 de un diamagnético, 3.0.16, 3.9.2 de un ferromagnético, 3.9.7 de un paramagnético, 3.0.17 negativa, 3.9.1, 3.9.10 .... positiva, 3.9.1 ._ ;
T Taylor, desarrollo en serie bidiihensional de, 11.0.15 TE, onda v. Modo, TE TEM, onda v. Modo, TEM Temperatura, 1.2.5, 3.2.12 de Curie, 3.11.12, 6.0.16, 9.0.17 y conductores, 3.12.5, 8.0.6, 8.2.6, 8.5.6, 12.5.12 y dieléctricos, 3.8.13 y materiales permeables, 3.10.5, 3.10.10, 3.11.12 Tensión en la superficie de un conductor, 7.1.15 . Tensor de permitividad, 3.8.11 Teorema de(l) Éarnshaw, 4.5.14 " ........... Gauss, 1.0.23, 2!15.14 Helmholtz, 1.11.37 la reciprocidad de Lorentz, 16.0.40, 16.7.7 . .
índice analítico
la unicidad, 4.0.11 A, 4.5.15, 11.0.5 Norton, 2.11.4 Stokes, 1.0.26, 1.11.11, 3.5.14, 3.5.25 Thévenin, 12.6.7, 12.11.4, 16.0.42, 16.7.6 valor medió, 4.0.10, 4.2.14; 4.3.10 .T eoría: . científica, 2.0.1 cuántica, 2.1.35 de circuitos eléctricos, 12.0.7 de circuitos magnéticos, 12.0.27 electromagnética, 2.1.34 T ern a ,' dextrógira, 1.0.4 levógira, 1.0.4 ■rectangular, 1.6.3 , Thomson, 2.11.14 Tiempo, 1.2.4 constante de, 5.0.7, 5.10.3 en un circuito/ÍC, 12.0.25, 12.8.24 en un circuito R L , 12.0.21, 12.7,16 en un solenoide, 12.7.19 de relajación de carga, 5.0.6, 5.0.7 y velocidad de arrastre, 8.0.15 del observador, 16.1.3 , del radiador. 16.1.4 instantáneo, 2.1.18, 14.6.20 Tierra ■ campo magnético de la, 3.1.31, 9.5.4 eje del, 2.11.28 fuerza que ejerce el, 9.5.17 inducción magnética del, 2.11.28, 3.1.30, 9.0.14, 9.5.3 medida del, 9.5.1 H del, 9.5.9 origen del, 9.0.17, 9.5.3 variación del, 9.0.14, 9.5.2, 9.5,16 carga eléctrica de la, 7.1.20 potencial eléctrico de la, 7.1.20 T TM, onda v. Modo, TM Toma de corriente, 13.0.1 T oroide autoinductancia de un, 9.8.17 campo magnético de un, 9.0.26, 9.7.15 con núcleo de hierro, 6.3.10 energía de un, 9.9.10 Torque sobre un dipolo eléctrico, 7.0.14 un dipolo magnético, 9.4.11 una espira, 9.2.13
/ 793
Trabajo de una fuerza, 1.4.1, 1.11.23 del campo eléctrico, 7.8.15 del campo magnético, 9.2.16 _ para agrupar una distribución de carga, 7.0.6, 7.0.7 para establecer en una región el campo eléctrico, 6.0.7 para festablecer en una región el campo magnético, 6.0.10 para mover una carga puntual, 7.2.21 virtual, 7.0.9, 9.0.43 y energía eléctrica, 6.0.7 y energía magnética, 6!0.10 Transformación conforme, 13.0.29 Transformador con núcleo de hierro, 6.3.27, 12.11.17, 12.11.23. 12.11.25 : de alta frecuencia, 3.0.21 pérdida por histéresis en un, 6.3.27, 12.11.18 ' . pérdida por las corrientes de Foucault en un, 12.11.22 usado como acoplador, 13.0.43 de ? .,% 13.0,41, 13.11.1 y ' de A/4, 13.0.42, 13.7.4, 13.11.7 Transformaciones A-Y, 12.0.18 Transversal eléctrico v. Modo, TE electromagnético v . Modo, TEM magnético v. Modo, TM Trayectoria de una partícula cargada, 2.0,30, 2.10.30, 2,11.3 elíptica, 14.0.19 en forma de espiral, 2.11.23 parabólica, 2,11.9 Triple producto escalar o vectorial v. Vectorial, producto Tubo cilindrico de cobre, 3.2.12 de descarga, 2.0.24 de flujo, 11.0,8, 11.2.5, 11.3.4, 11,3.6, 11.3.24 U Unidad, 2.0.12, 2.2.3 del CGS, 2.2.6, 2.10.14, 2.13.3, 2.14.20, 3.4.7, 3.8.8, 3.9.9 del SI, 2.0.16
7 9 4 / Teoría electromagnética delMKSA, 2.2.8 del MKSC, 2.2.7 : racionalizada, 2.0.15, 2.2.8, sistema de, 2.0.14, 2.0.16 Universo • continuo, 2.0.3 discreto, 2,0.2
v ■■
-
Vacío, 2.0,2, 2.1.3, 2.1.15, 3.1.14, 3.6.3 Van Alien cinturones de radiación, 2.11.30 Van de Graff acelerador, 2.0.25, 2.0.34, 2.12.4 diferencia de potencial en el, 2.12.2 energía en el, 2.12.3 radio de la esfera del, 2.12.5 Variable, 2.4.2 Vector(es), 1.0.1, 1.1.5 adición y substracción de, 1.3.1 área, 1.5.10, 1.7.8, 9.0.9 cero, 1.1.14, 1.3.4, 1.4.2, 1.5.2 complejo, 1.1.16, 1.4.14, 1.5.15 componentes de un, 1.0.6, 1.1.7 conservativo, 1.10.7, 1.11.4, 1.11.6 deposición, 1.0.17, 1.10.20, 1.11.24 de posición transversal, 15.0.5 :... derivación de un, 1.7.1 ■ deslizante, 1.1.12 dirección de un, 111.6 impropio, 1.1.13, 1.6,4 integración de un, 1.7.7 irrótacional, 1.10.6, 1.11.7, 1.11.35, 1.12.3 libre, 1.1.12 magnitud de un, 1.1.15, 1.4.10, 1.4.14, , ■ 1.5.1 normal, 5.0.2 ortogonales, 1.4.4, 1.5.3 propio, 1.1.13, 1.6.3 solenoidal, 1.10.5, 1.11.8, 1.12.3, 3:6.8 uniforme, 1.8.3 unitario v. Versor verdadero, 1.5.11, 1.7.6, 4.4.22, 6.1.4 Vectorial..... ....... ..... ........................... base, 1.0.7, 1.8.18 base recíproca, 1.8.18 función, 1.2.2
división, 1.0.12 producto, 1.0.10, 1.5.1, 1.5.13 producto triple, 1.0.11, 1.6.5 Velocidad, 1.2.4 angular del movimiento de una partícula, 2.11.18 • de arrastre, 8.0.15, 8.5.1, 9.0.8 de la luz, 14.3.4 de propagación de la energía; 15.3.2, 15.6.38 de una onda electromagnética, 2.1 8, 14.5.13 J y- media de los electrones, 8.0.15 Velocidad de fase, 14.3.1, 14.3.11 de la envolvente de onda, 14.3.13 de onda estacionaria, 13.7.29 . de onda PUM, 14.3.19, 14,7.10 de onda viajera, 14.0.7, 14.0.30, 14.3.2 en el vacío, 14.3.4 en un medio conductor, 14.3.6 en líneas de transmisión, 13.0-1 1 , 13.5.31, 13.11.19 en líneas de transmisión sin distorsión, 13.0. 20 Velocidad de grupo en líneas de transmisión, 13.0.19 en onda viajera* 14.3.13, 14.3.16 Versor, 1.0.14, 1.7.3, 1.8.2 Vibración térmica, 3.0.22 Viento solar, 2.0.25, 3.1.30, 9.0.17 Voltaje eléctrico, 3.0.24, 12.0.8, 12,3.4 autoinducido, 12.0.19, 12.7.1, 12.7.8 efectivo, 12.0.14 en los devanados de un transformador, 12.11.27 en un capacitor, 12.8.9 en un inductor, 12.0.19, 12.7.8, 12.7.13 fasorial, 13.0.14 negativo, 12.0.11 no unicidad del, 4.2.3 positivo, 12.0.11 y diferencia de potencial eléctrico, 4.2,3 12.0. 7, 12.0.8, 12.3.3 Voltaje magnético v . Amperaje Voltímetro, 12.6.6 Volumen encerrado por una superficie, . 1.10.28 r ... ~".Y"..........‘........ “ TTT-:.. VSWR v . Razón de voltajes (R O E V )
Se terminó de imprimir la Imprenta Universidad de Antioquia en el mes de septiembre de 2004