CAPITULO 1 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS 1.1. INTRODUCCIÓN De la misma manera que los números son los elementos básicos de la aritmética, las proposiciones simples son los elementos de la lógica en general, y de la lógica matemática en particular. Generalmente comenzamos nuestras experiencias aritméticas con el conjunto de los números naturales, y construimos estructuras más complejas, por ejemplo, el sistema de los números racionales. De la misma forma, iniciaremos en lógica con las proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. En el siguiente cuadro, se presenta la clasificación general de las proposiciones, las mismas que se analizarán a continuación.
PROPOSICIONES
CERRADA, CATEGÓRICA
SIMPLE
ABIERTA, CONDICIONAL CONDICION AL
COMPUESTA
SIMPLE
COMPUESTA
UNIVARIABLES, PLURIVARIABLES
1.2. PROPOSICIÓN CERRADA SIMPLE (PCS) Existen varias formas de nombrar una proposición cerrada simple, las más importantes son: proposición categórica simple, proposición categórica, proposición cerrada, proposición atómica, proposición simple, proposición, enunciado. En lo sucesivo, al referirnos a una proposición cerrada simple (PCS), utilizaremos la palabra proposición. Una proposición es una oración de la cual tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no las dos osibilidades a la vez.
Ejemplos:
2 es un número dígito. 4 es un número entero. -8 es un número natural.
Oración verdadera Oración verdadera Oración falsa
Observación: Las palabras "verdadero" y "falso" son elementos indefinidos. La idea de "verdadero" y "falso", es básica en el pensamiento humano. Esta idea es algo puramente intuitiva, algo no definido, pero si entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia. Msc. Paco Bastidas Romo
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Por otro lado, algunas oraciones no son proposiciones.
Ejemplos:
¡Estudie, por Dios! ¿Cómo se llama? Ayúdeme, por favor
Oración exclamativa Oración interrogativa Oración exhortativa
Los ejemplos anteriores no son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas. Para expresar nuestros pensamientos no bastan las palabras. Es preciso que ellas estén ordenadas adecuadamente, para la clara comprensión por parte del lector o del que escucha. Ciertas agrupaciones de palabras, no son la expresión de un pensamiento con sentido completo, por lo tanto, también carece de sentido afirmar su verdad o falsedad. Por ejemplo: Es capital del Quito Ecuador la
No es oración
Observación: toda proposición es una oración; pero no toda oración es una proposición. 1.3. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE PROPOSICIONES. De la misma manera que en el álgebra elemental se usan las letras x, y, o z, entre otras, para representar números; en lógica, se usan las letras minúsculas p, q, o r, para representar proposiciones. Si el número de proposiciones que se analizan, en un problema dado, es considerable, entonces se usan las mismas mismas letras letras con subíndices. Por ejemplo: p: El cero es el módulo de la suma r: 15 = 20-10 p2: (-8) + (9-3) = -11 p4: 20/6 = 6 x 3 + 2
q: 2/3 es mayor que ¼ p1: -(-5) x 3 = -11 p3: 43 = 4+4+4 p 5: 1 + 0 = 1.
1.4. VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN. El valor de verdad de una proposición consiste en asignar las letras V (inicial de verdadero) o F (inicial de falso), a una proposición, según sea verdadera o falsa. Sea p una proposición cualquiera. Si p es verdadera se escribe v(p)=V y se lee "valor de verdad de p verdadero". Si p es falsa se escribe v(p)=F y se lee "valor de verdad de p falso ”.
Ejemplo: p: El cero es módulo de la suma. r: 15 = 20 – 10 p2: (-8) + (9-3) = -11 p4: 20/6 = 6 x 3 + 2
v(p) = V v(r) = F v(p2) = F v(p 4) = F
q: 2/3 es mayor que ¼ p1: -(-5) x 3 = 15 p3: 43 = 4+4+4 p5: 1 + 0 = 1
v(q) = V v(p 1) = V v(p3) = F v(p5) = V
El uso de las letras mayúsculas V o F, para los valores de verdad de una proposición es enteramente arbitrario, en ocasiones suele ser de utilidad el uso de 1 y 0 en lugar de V o F, respectivamente.
Ejemplo: p: El cero es módulo de la suma r: 15=20-10
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v(p) = 1 v(r) = 0 2
q: 2/3 es mayor que ¼ q1: -2 es menor que –6
v(q) = 1 v(q1)= 0
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EJERCICIOS 1. Represente simbólicamente las siguientes proposiciones y determine su valor de verdad. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15.
(11-5) –1 = 2 2. (10 -5)(3 -4)= 5 (5-2) + (6 - 3) = 3 4. -2(8 -3) = -2x8 - 6 0 2 =1 6. 1/3 = 0,333 2 3 23 4 4 = 4 8. 3235 = 325 21 = 2 10. El 0 es el módulo de la multiplicación. La base del sistema decimal es 10. 12. MCD(4,6) =2 MCM(3,16) = 2 14. Un número dígito consta de una sola cifra. El cociente indica el número de veces que el dividendo contiene al divisor.
1.5. PROPOSICIÓN CERRADA COMPUESTA (PCC). Existen varias formas de nombrar una proposición cerrada compuesta, las más importantes son: proposición categórica compuesta, proposición molecular, proposición compuesta. En lo sucesivo, al referirnos a una proposición cerrada compuesta (PCC), utilizaremos las palabras: proposición compuesta. Se llama proposición compuesta a la combinación de dos proposiciones simples mediante un término lógico. Se llama término lógico a las palabras: y, o, si y sólo si, entre otras. Si se consideran las proposiciones: "2 es un número natural" y "2 es un número entero", y el término lógico "Y", se tiene la siguiente proposición compuesta: 2 es un número natural
Proposición simple
y
un número entero
Término lógico
Proposición simple
De igual forma, si se consideran las proposiciones: "Cristóbal Colón está vivo", "Cristóbal Colón está muerto", y el término lógico "o", se tiene la siguiente proposición compuesta: Cristóbal Colón está vivo o muerto.
1.6. OPERACIONES CON PROPOSICIONES Así como en aritmética se estudian operaciones entre números, en lógica matemática se estudian operaciones entre proposiciones. Se llama operación, en matemáticas, a cualquiera de los procedimientos que se emplean para transformar unas cantidades en otras, o para efectuar con ellas determinados cálculos. Por ejemplo, en aritmética son siete: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. En lógica matemática, dos proposiciones pueden unirse para formar otra proposición. Algunas de estas formas (proposiciones compuestas) se presentan repetidamente y son indispensables para propósitos de análisis. Estas formas especiales toman el nombre de "operaciones con proposiciones" o sencillamente "operaciones lógicas".
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Las principales operaciones lógicas se resumen en el siguiente cuadro.
OPERACIONES LÓGICAS Afirmación Negación
1. MONOÁDICAS
SIMPLES
Conjunción Contrasección Subsección Extersección
COMPUESTA
Bicondicional
INTERSECTIVAS
2. DIÁDICAS SIMPLES INTERDISYUNTIVAS COMPUESTA
Interdisyunción Condicional Subdisyunción Disyunción (i) Disyunción (e)
En general, se llama operador al símbolo que denota una operación o función matemática, por ejemplo: +, -, x, etc., y término a la palabra, voz o vocablo que se utiliza para leer un operador, por ejemplo: mas, menos, por. El siguiente cuadro presenta las operaciones lógicas con sus respectivos operadores y términos lógicos:
OPERACIONES LÓGICAS 1. MONOÁDICAS OPERACIÓN 1. Negación
OPERADOR ~
TÉRMINO no ...
OPERADOR
TÉRMINO .. y .. .. pero no .. No ... sino Ni ... ni ... si y solo si ...
2. DIÁDICAS 2.1. INTERSECTIVAS
OPERACIÓN 1. Intersección, conjunción 2. Contrasección 3. Subsección 4. Extersección 5. Bicondicional
OPERACIÓN 6. Interdisyunción 7. Condicional, contradisyunción 2.2. INTERDISYUNTIVAS 8. Subdisyunción 9. Disyunción inclusiva (i) 10. Disyunción exclusiva (e)
↖ ↙
OPERADOR
v v
TÉRMINO No ... tampoco Si ... entonces ... No ... entonces ... ... y/o ... ... o ...
Observación: Los operadores lógicos se conocen con el nombre de conectores o conectivos lógicos. La palabra “no” en las operaciones contrasección, subsección, interdisyunción y subdisyunción puede sustituirse por “ es falso que” o “no es cierto que”. Msc. Paco Bastidas Romo
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1.7. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS. A continuación se estudian las operaciones lógicas que tienen mayor uso en matemática: negación, conjunción, contrasección, bicondicional, condicional, disyunción inclusiva y disyunción exclusiva.
1.7.1. NEGACIÓN (~ no DEFINICIÓN. Se llama negación de la proposición p, a la proposición que se obtiene colocando el adverbio "no" en la proposición. Simbólicamente la negación de p se representa con ~p, y se lee "no p". Generalmente se escribe "es falso que" o "no es cierto que" antes de la proposición.
Ejemplo:
q: Quito es una ciudad ~ q: Quito no es una ciudad ~ q: Es falso que Quito es una ciudad ~ q: No es cierto que Quito es una ciudad
En matemática, el símbolo equivalente a la palabra "no" es la barra inclinada, /, la misma que se sobrepone a un símbolo dado. Por ejemplo: p: 7= 4+2 q: 9 < 2 r: 10 > 4
~ p: 7 4+2 ~ q: 9 ≮2 ~ r: 10 ≯4
(Siete no es igual a cuatro más dos). (Nueve no es menor que dos). (Diez no es mayor que cuatro).
El valor de verdad de la negación cumple con la siguiente propiedad fundamental: Si p es verdadero entonces ~ p es falso. De la misma manera, si p es falso entonces ~ p es verdadero. La siguiente tabla resume la propiedad fundamental de la negación y recibe el nombre de tabla de verdad de la negación. p V F
Primera columna
~p F V
Segunda columna
Observación: Una proposición es por definición verdadera o falsa, por tal razón se escribe una V y una F, en la primera columna. Los valores de verdad cambian, en la segunda columna, por definición de negación. Ejemplos:
p: 2+2 = 4 q: 2/3 Z ∈
v(p) = V v(q) = F
~p: 2+2 4 ~q: 2/3 Z ∈
v(~p) = F (~q) = V
EJERCICIOS 1. Represente simbólicamente las siguientes proposiciones. Halle la negación de las mismas y su valor de verdad. 1. (3- 7) – 8 = 2 2. (15 - 5)(8-5)= 40 3. (9 -6) + (7-3) = 6 4. 2(6+3) = 2x6 + 2x3 0 5. 3 = 0 6. 30-(5x3)= 9 2 5 25 7. 1 1 = 1 8. 4245 = 425 9. 51 = 5 10. El 1 es el módulo de la multiplicación. 11. La base del sistema decimal es 10. 12. MCD(3, 9) = 3 13. MCM(3, 4) = 24 14. Número dígito es el que consta de una sola cifra. Msc. Paco Bastidas Romo
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1.7.1.1 DOBLE NEGACIÓN [~(~); no, no]. DEFINICIÓN Dada una proposición p cualquiera, al realizar la doble negación de dicha proposición (dos negaciones consecutivas), se obtiene como resultado la misma proposición inicial. La doble negación se conoce también con el nombre de "negación de la negación". Consideremos la siguiente proposición inicial: 1. 2. 3. 4. 5.
p: Rolando Vera ganó la "San Silvestre" en 1989. ~ p: Rolando Vera no ganó la "San Silvestre" en l989. ~ p: Rolando Vera perdió la "San Silvestre" en 1989. ~(~ p): Rolando Vera no perdió la "San Silvestre" en 1989. ~(~ p): Rolando Vera ganó la "San Silvestre" en 1989.
Dato Negación de 1 Sustitución "perdió" por "no ganó" Negación de 3 (doble negación) Sustitución “No perdió” por “ganó”.
Observación: “perdió” tiene el mismo significado que “no ganó”. De igual forma; "No perdió" tiene el mismo significado que "ganó". Al comparar la proposición 5 (negación de la negación) con la proposición 1, notaremos que son las mismas. Valor de verdad de la doble negación: Si la proposición inicial es verdadera, al efectuar la doble negación, el valor de verdad sigue siendo verdadero. De la misma manera, si la proposición inicial es falsa, al efectuar la doble negación, el valor de verdad sigue siendo falso. Es decir: p V F
~p F V
~(~ p) V F
Ejemplo 1: 1. p: 2+2 = 4 2. ~ p: 2+2 4 3. ~(~ p): 2+2 = 4
v(p) = V v(~p) = F v[~(~ p)] = V
1. q: 5 es mayor que 8 2. ~q: 5 no es mayor que 8 3. ~(~q): 5 es mayor que 8
v(q) = F v(~q) = V v[~(~q)] = F
Ejemplo 2.
EJERCICIOS 1. Represente simbólicamente las siguientes proposiciones. Halle la negación, la doble negación y el valor de verdad en cada caso (se sugiere el formato del ejemplo 1 de la doble negación) . 1. (7 - 5) –6 = -4 2. (10 -5)(8-4) 40 3. (9-6) + (7-3) = 7 4. 2(6+3) 2x6 + 2x3 0 5. 5 = 5 6. 30 -(7x3) 9 2 5 25 7. 3 3 = 3 8. 2225 225 9. 51 = 5 10. MCD(6,12) 2 11. MCM(5,15) = 15 12. La base del sistema decimal es 10. 13. El 1 es el módulo de la multiplicación. 14. Número compuesto es el que consta de una sola cifra. 15. El cociente indica el número de veces que el dividendo contiene al divisor. 6 Msc. Paco Bastidas Romo Matemática Básica
1.7.2. CONJUNCIÓN ( ; y) DEFINICIÓN Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de la palabra "y" para formar una proposición compuesta llamada intersección o conjunción de las dos primeras. Simbólicamente se representa con p q y se lee " p y q".
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples: p: Caín es hijo de Adán
q: Caín es hijo de Eva
Al coordinar las dos proposiciones con la letra "y" se tiene: Término lógico
p q: Caín es hijo de Adán Proposición simple R. simbólica
y
Eva P. simple
Proposición compuesta conjunción
Observación: La conjunción es una operación diádica (binaria), en el sentido de que a cada dos proposiciones (p, q) asigna una nueva proposición. Valor de verdad de la conjunción: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. En lo referente al valor de verdad de las proposiciones simples se presentan los siguientes casos: 1. Una proposición. Por definición una proposición es verdadera o falsa, pero no las dos posibilidades. Por esta razón se escribe un V y un F, en la tabla de verdad. Si consideramos que los valores de verdad de una proposición son los elementos del conjunto P, entonces el siguiente diagrama de Venn representa los elementos de dicho conjunto:
P
V F
2. Dos proposiciones. Por definición, la proposición p tiene un valor V y un F. Por la misma razón, q tiene también un V y un F. Si consideramos que los valores de verdad de las dos proposiciones son elementos de los conjuntos P y Q, respectivamente, se tiene entonces dos diagramas de Venn. Luego, procedemos a unir con una flecha, cada elemento del conjunto P, con todos los elementos del conjunto Q, para obtener las combinaciones lógicas de dos proposiciones: 7 Msc. Paco Bastidas Romo
P
Q
V
V
F
F
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Una manera fácil de recordar las combinaciones lógicas consiste en una tabla que tiene la siguiente forma: p q combinaciones lógicas V V Primera V F Segunda F V Tercera F F Cuarta De nuestro uso habitual del lenguaje podemos indicar que la conjunción "y" une, generalmente, dos oraciones "afirmativas" (oración coordinada copulativa). Pero debemos entender que, en este sentido, nuestros usos habituales del lenguaje no son absolutamente claros y uniformes, sino por el contrario, existen casos en que se presentan dudas o ambigüedades. Con el objeto de eliminar toda duda y de establecer un criterio que se aplique uniformemente en todos los casos, se tiene la siguiente definición.
DEFINICIÓN El v(pq) = V para la primera combinación lógica, y el v(p q) = F para las demás combinaciones La propiedad fundamental, anotada anteriormente, se resume en la siguiente tabla de verdad. P
q
p q
V V F F
V F V F
V F F F
La conjunción es verdadera, cuando la primera y segunda proposición es verdadera.
Ejemplos: 1. Sean p: 2 es un número natural par y q: 2 es un número natural primo. Escribir la conjunción de p y q: a) en forma simbólica. b) con palabras. p q: 2 es un número natural par y primo. 2. Sean p1 y p2 dos proposiciones simples. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación de la conjunción de las dos proposiciones dadas. p1 V V F F
p2 V F V F
p1 p2 V F F F
~ (p1 p2) F V V V
3. Hallar el v(p) si se conoce que: el v(p q) = F y el v(q) = V Construimos la tabla de verdad de: p q p V V
F F
q V F
V F
pq V F
F F
El v(pq) = F y el v(q) = V, se presenta en la 3 a fila, por lo tanto el v(p) = F. 8 Msc. Paco Bastidas Romo
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4. Determine el valor de verdad de: 2/4 es un número entero y racional. 2/4 es un número entero y racional P: 2/4 es un número entero v(p) = F q: 2/4 es un número racional v(q) = V p q: 2/4 es un número entero y racional. v(p q)=F 5. Hallar el valor de verdad de la negación de la siguiente proposición compuesta: 2+2 = 5 y 4x3 = 12 P: 2+2 = 5 v(p) = F q: 4x3 = 12 v(q) = V p q: 2+2=5 y 4x3=12 v(p q)=F ~ (p q): Es falso que; 2+2=5 y 4x3=12 v[~ (p q)]=V 6. Construir la tabla de verdad correspondiente a la conjunción de una proposición consigo misma. p V F
p V F
V F
P V F
Observación. Digito: número que se expresa con una sola cifra. Natural (N): número que indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto determinado, N = {0, 1, 2, 3, … }. Natural par: si es la forma 2k, siendo k elemento de los N. Natural impar: si es la forma 2k+1, siendo k elemento de N. Natural múltiplo de 3 : si es la forma 3k, siendo k natural mayor que 0. Natural divisor de 8 : si la división 8/k exacta, y k es dígito diferente de 0. Natural primo: si es mayor que 1 y es divisible por si mismo y la unidad. Natural compuesto: si es mayor que 3 y no es primo. Entero (Z): los naturales y los correspondientes negativos; Z = {…, -3, -2, -1, o, 1, 2, 3, …}. Racional (Q): Número que se expresa como cociente de dos números enteros, son de la forma a/b, siendo b 0. El conjunto Q está compuesto por los números enteros y fraccionarios. Irracional (Q´): número que no se puede escribir como cociente de dos números enteros, por ejemplo el número pi (3,1415 …). La expresión decimal de cualquier número
irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Reales (R): el conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales.
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. 7 x 8 = 56 y 8 x 7 = 52 2. 2 es un número par y natural 3. 7 es un número dígito y natural 4. -7 es un número entero e irracional. 2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas 1. Un ángulo se mide en grados y radianes 2. 3/2 = 9/4 y 12/8 = 3/2 3. 3, 1415 ... es un número entero e irracional 4. 3/5 es mayor que 1/5 y 1/5 es mayor 2/7 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. Si v(p q) = V y v(q) = V, Determine el valor de verdad de p. 2. Si v(p q) = V y v(p) = F, Determine el valor de verdad de q. 3. Si v(p q) = F y v(q) = V, Determine el valor de verdad de p. 4. Si v(p q) = F y v(p) = F, Determine el valor de verdad de q. 5. Si v(p) = F y v(q) = V, Determine v(p q). Msc. Paco Bastidas Romo
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1.7.3. CONTRASECCIÓN ( ↖ ; ... pero no ... ) DEFINICIÓN. Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de las palabras "pero no" para formar una proposición compuesta llamada contrasección de las dos primeras. Simbólicamente se representa por p ↖q y se lee "p pero no q".
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples: p: Quito es la capital del Ecuador.
q: Quito es la capital de Francia.
Al coordinar las dos proposiciones con las palabras "pero no" se tiene: Término lógico
p q: Quito es la capital del Ecuador pero no de Francia Proposición simple P. simple R. simbólica
Proposición compuesta contrasección
Valor de verdad de la contrasección: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. Los valores de verdad, correspondientes a las dos proposiciones simples, están determinados por la tabla de las combinaciones lógicas. La propiedad fundamental de la contrasección se obtiene a partir de la siguiente definición: DEFINICIÓN El v(p↖q) = V para la 2a combinación lógica, y v(p ↖q) = F para todas las demás combinaciones lógicas. La misma que se resume en la siguiente tabla de verdad. p V
V F F
q V
F V F
La contrasección es verdadera, cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa. En todos los demás casos es falsa.
p ↖q F
V F F
Observación: La conjunción adversativa "pero" une, generalmente, dos oraciones: La primera "afirmativa" y la segunda "negativa". La palabra "pero" expresa contraposición u oposición de un concepto a otro, enunciado anteriormente. Por ejemplo: "El dinero hace ricos a los hombres pero no dichosos "
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( G. E. Larousse )
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Ejemplos: 1. Sean p: 5 {4, 3, 2, 5} y q: 5 con palabras. p ↖q: 5 ∈
∈
. Escribir la contrasección de p y q: a) en forma simbólica. b)
∅
∈
{4,3,2,5 } pero no del ∅
2. Determine el valor de verdad de: 4 es un número par pero no primo. p: 4 es un número par q: 4 es un número primo p↖q: 4 es un número par pero no primo
v(p)=V v(q)=F v(p ↖q)=V
3. Hallar el valor de verdad de la negación de la siguiente proposición compuesta. P: 3 es número entero v(p) = V q: 3 es número primo v(q) = V p ↖q: 3 es un número entero pero no primo v(p ↖q)= F ~ (p ↖q): Es falso que; 3 es un número entero pero no primo v[~ (p ↖q)] = V 4. Hallar el v(p) si se conoce que: el v[~(p ↖q)] = F y v(q) = V. Construimos la tabla de verdad de: ~(p ↖q) p V V F F
q
V F V F
p↖q F V F F
~ (p ↖q) V
El v[~(p ↖q)] = F y el v(q) = V, no se presentan en una misma fila, por lo que el v(p) no puede tomar ninguno de los dos valores.
F V V
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas . 1. 0,25 es un número entero pero no irracional 2. 24.22 = 26 pero no 24/22 = 22 3. 5 divide a 80 pero no a 12 4. Riobamba es la capital de Chimborazo pero no es de Pichincha 5. El 0 es el módulo de la suma pero no es de la multiplicación 2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas 1. “y” es un término lógico pero no es un operador. 2. 2 es un número primo pero no es par 3. ¾ es un número entero pero no es fraccionario 4. Un cuadrado tiene 4 lados pero no 3 5. a – b = a + (-b) es la definición de resta pero no es de la división. 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. Si v(p ↖ q) = F y v(p) = F, Determine el valor de verdad de q. 2. Si v(p ↖ q) = F y v(q) = V, Determine el valor de verdad de p. 3. Si v(p ↖ q) = V y v(p) = F, Determine el valor de verdad de q. 4. Si v(p ↖ q) = V y v(q) = V, Determine el valor de verdad de p. 5. Si v(p) = F y v(q) = V, Determine v(p ↖q). 4. Construir la tabla de verdad de la contrasección de una proposición consigo misma. Msc. Paco Bastidas Romo
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1.7.4. BICONDICIONAL ( ; ... si y sólo si ... ) DEFINICIÓN Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de las palabras "... si y sólo si ..." para formar una proposición compuesta llamada bicondicional de las dos primeras. Se representa por “p q” y se lee "p si y sólo si q". Se conoce, también, con el nombre de bisección.
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples: p: 6 es divisible por 2
q: 6 es un número par.
Al coordinar las dos proposiciones con las palabras “ ... si y sólo si ... “, se obtiene:
Término lógico
p
q: 6 es divisible por 2 si y sólo si 6 es número par P. Simple Proposición simple
R. simbólica
Proposición compuesta bicondicional
Valor de verdad del bicondicional: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. Los valores de verdad, correspondientes a las dos proposiciones simples, están determinados por la tabla de las combinaciones lógicas. La propiedad fundamental del bicondicional se obtiene a partir de la siguiente definición: DEFINICIÓN El v(pq) = V para la 1ª y 4ª combinaciones lógicas, y v(p q) = F para todas las demás casos. La misma que se resume en la siguiente tabla de verdad. p
q
pq
V V F F
V F V F
V F F V
El bicondicional es verdadero cuando la primera y la segunda proposición, tienen el mismo valor de verdad. En todos los demás casos es falso.
Observación: La frase "si y sólo si" no se usa a menudo fuera de las matemáticas. Pocas personas dirían alguna ocasión "voy al cine si y sólo si hace calor", al mismo tiempo que es posible que alguno puede decir algo como "voy al cine si hace calor, pero sólo si hace calor". La conjunción "si" denota condición o hipótesis en cuya virtud una cosa depende de otra. Msc. Paco Bastidas Romo
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Ejemplos. 1. Sean p: 5 es un número positivo y q: 5 es mayor que cero. Escribir el bicondicional de p y q : a) en forma simbólica, b) con palabras. pq: 5 es un número positivo ssi es mayor que cero Observación: En matemática se emplea "ssi", generalmente, como abreviatura de "si y sólo si". 2. Determine el valor de: 3 3 = 27 si y sólo si 3x3x3 = 27. p: 33 = 27 q: 3x3x3 = 27 pq : 33 = 27 ssi 3x3x3 = 27
v(p)=V v(q)=V v(pq)=V
3. Hallar el valor de verdad de la negación de la siguiente proposición compuesta: El 4 es par ssi 4/2=1. p: el 4 es par v(p) = V q: 4/2 = 1 v(q) = F p q: el 4 es par ssi 4/2 = 1 v(p q)=F ~ (p q): Es falso que; el 4 es par ssi 4/2 = 1 v[~ (p q)]= V 4. Hallar el v[~(p q)] si se conoce que: el v(p) = F y el v(q) = V. p V V
F F
q V F
V F
p q V F F V
~ (pq) F V
V F
El v(p) = F y el v(q) = V se presenta en la 3 a fila, por lo tanto el v[~(p
q)]
= V.
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. 9/3 = 3 ssi 3 x 3 = 9 2. 2/5 es un numero real ssi 2/5 es natural 3. 1 > 2 ssi 1 - 2 > 0 4. 10 es entero positivo ssi 10 > 0 5. 33 = 27 ssi 3x3 = 27 2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas. 1. 10 es número par ssi 10 es múltiplo de 2 2. 5/3 > 8/3 ssi 5 > 8 3. 3/2 > 2/ 5 ssi 2 < 5 4. 12/4 = 3 ssi 12 = 4 x 3 5. –2 < -1 ssi 2 > 1 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. Si v(p q) = F y v(q) = F, v(p) = ?. 2. Si v(p q) = F y v(p) = V, v(q) = ?. 3. Si v(p q) = V y v(p) = V, v(q) = ?. 4. Si v(p q) = V y v(q) = F, v(p) = ?. 5. Si v(p) = F y v(q) = F, Determine v(p q). 4. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación de la bisección consigo misma. 5. Sean q1 y q2 dos proposiciones simples. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación de la bisección de las proposiciones dadas. 13 Msc. Paco Bastidas Romo Matemática Básica
1.7.5. CONDICIONAL (; si ... entonces ... ). DEFINICIÓN Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de las palabras " Si ... entonces ..." para formar una proposición compuesta llamada condicional de las dos primeras. Se representa por “pp” y se lee " Si p entonces q ". Se conoce, también, con el nombre de contradisyunción.
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples: p: Ud. nació en Quito
q: Ud. es Quiteño.
Término lógico
p
q:
Si usted nació en Quito entonces es quiteño. Proposición simple P. simple
R. simbólica
Proposición compuesta condicional
Valor de verdad del condicional: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. DEFINICIÓN El v(pq)= F para la segunda combinación lógica, y v(p q) = V para todas las demás combinaciones. La misma que se resume en la siguiente tabla de verdad. p V
V F F
q V
F V F
pq V
F V V
El condicional es "falso" cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa. En todos los demás casos es verdadero.
Observación: Las oraciones condicionales constan de dos partes: La 1 a oración que expresa la condición, y la 2a que indica la consecuencia de lo expresado en la 1 a. Generalmente, se usan las siguientes frases: en este caso, siendo así, siempre que, ya que, con tal que, con que, como. Por ejemplo: "Como no me des, me enojo" "Con que me pagues la mitad, te perdono el resto"
Ejemplos:
"Siempre que vengas, iré" "Con tal que te calles, te doy un dulce". Gustavo Alfredo Jácome
1. Sean p: 1/2=2/4 y q: 1x4=2x2. Escribir el condicional de p y q: en forma simbólica y con palabras. p q: Si 1/2 = 2/4 entonces 1x4 = 2x2. 14 Msc. Paco Bastidas Romo
Matemática Básica
2. Hallar el valor de verdad de la negación: Si 5 es elemento de N entonces 5 es mayor que 0. p: 5 es elemento de N q: 5 es mayor que 0. p q: Si 5 es elemento de N entonces 5 es mayor que 0. ~(pq): es falso que; si 5 es elemento de N entonces 5 es mayor que 0.
v(p) = V v(q) = V v(p q) = V v[~(p q)] = F
3. Sean r1 y r2 dos proposiciones simples. Construir la tabla de verdad para la negación del condicional. r1 V V F F
r2 V F V F
r 1 r 2 V F V V
~ (r1 r2)
F V F F
4. Hallar el v[~(p q)] si se conoce que: el v(p) = F y el v(q) = V. p V V
F F
q V F
V F
p q V F V V
~ (p q) F V
F F
El v(p) = F y el v(q) = V se presenta en la 3 a fila, por lo tanto el v[~(p
q)]
= F.
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. Si hoy es sábado entonces mañana es domingo 2. Si ½ = 0,5 entonces 2/4 = 0,5 3. Si 1/3 es un número racional entonces es entero 4. Si 2+ 4 = 6 entonces 2 = 6 - 4 5. Si 33 = 27 entonces 3x3x3x3 = 9 2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas. 1. Si 2 es un número primo entonces es compuesto 2. Si 3 > 2 entonces 3-2 > 0 3. Si 5 -3 = 0 entonces 5 = 3 4. Si 7 + 2 = 9 entonces 7 = 9 + 2 5. Si 12 es un número par entonces es divisible para 2 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. Si v(p q) = F y v(q) = V, v(p) = ?. 2. Si v(p q) = F y v(p) = F, v(q) = ?. 3. Si v(p q) = V y v(p) = V, v(q) = ?. 4. Si v(p q) = V y v(q) = F, v(p) = ?. 5. Si v(p) = F y v(q) = V, Determine v(p q). 4. Construir la tabla de verdad correspondiente al condicional y a la negación de la contrasección. ¿Qué conclusión se puede obtener? 5. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación del condicional de una proposición consigo misma. 15 Msc. Paco Bastidas Romo Matemática Básica
1.7.6. DISYUNCIÓN INCLUSIVA (v ;
…
y/o … )
DEFINICIÓN. Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de las palabras "y/o" para formar una proposición compuesta llamada disyunción inclusiva de las dos primeras Simbólicamente se representa por “p v q” y se lee "p y/o q". Se conoce también con el nombre de exterdisyunción.
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples. p: 4 es divisible por 2.
q: 6 es divisible por 2 Término lógico
p v q: 4 es divisible por 2 y/o 6 es divisible por 2. Proposición simple P. simple Proposición compuesta disyunción inclusiva
R. simbólica
Observación: las letras " y/o " significan lo uno, lo otro, o ambas cosas. Valor de verdad de la disyunción inclusiva: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. DEFINICIÓN. El valor v(p v q) = F para la cuarta combinación lógica y v(p v q) = V para todas las demás combinaciones. La misma que se resume en la siguiente tabla de verdad. p V V F
F
q V F V
F
pvq V V V
F
La disyunción inclusiva es "falsa" cuando la primera y segunda proposición son falsas. En todos los demás casos es verdadera.
Ejemplos: 1. Sean p: 4 es un número entero y q : es un número racional. Escribir la disyunción inclusiva de p y q : a) en forma simbólica. b) con palabras. p v q : 4 es un número entero y/o un número racional. 2. Determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta: El 1 es dígito y/o natural. p: El 1 es dígito q: El 1 es natural p v q: El 1 es dígito y/o natural 16 Msc. Paco Bastidas Romo
v( p ) = V v( q ) = V v( p v q ) = V
Matemática Básica
3. Sean p y q dos proposiciones simples. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación de la disyunción inclusiva de las dos proposiciones dadas. p V V F F
q V F V F
pvq V V V F
~ (p v q)
F F F V
4. Hallar el v(q) si se conoce que: el v[ ~(p v q)] = V y el v(p) = F. p V V F
q V F V
F
pvq V V V F
F
~ (p v q) F F F
V
El v(p) = F y el v[~(p v q)]= V, se presenta en la 4 a fila, por lo tanto el v(q) = F. 5. Construir la tabla de verdad correspondiente a la negación de la disyunción inclusiva de una proposición consigo misma. p V F
p V F
v V F
p V F
~(p v p)
F V
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. 2. 3. 4. 5.
-5 es un número entero y/o irracional –(24.22)= -26 y/o 2 4/22 = 22 El 0 es el módulo de la suma y/o de la multiplicación 5 divide a 10 y/o a 8 Ambato es la capital de Tungurahua y/o de Pichincha
2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas: 1. 2. 3. 4. 5.
“y” es un término lógico y/o un operador.
-¾ es un número entero y/o fraccionario 6 – 4 = 6 + (-4) es la definición de resta y/o de la división. 3 es un número primo y/o impar Un cuadrado tiene 4 lados y/o 3
3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. 2. 3. 4. 5.
Si v{~(p v r)} = F y v(p) = F, v(r) = ?. Si v{~(p v r)} = F y v(r) = V, v(p) = ?. Si v{~(p v r)} = V y v(p) = F, v(r) = ?. Si v{~(p v r)} = V y v(r) = V, v(p) = ?. Si v(p) = F y v(r) = V, Determine v{~(p v r)}.
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1.7.7. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( v ;
…
o …)
DEFINICIÓN. Dos proposiciones simples, p y q, se pueden coordinar por medio de la palabra "o" para formar una proposición compuesta llamada disyunción exclusiva de las dos primeras. Simbólicamente se representa por “p v q ” y se lee "p o q". La disyunción exclusiva se conoce también con el nombre de bidisyunción.
Ejemplo: Sean p y q las siguientes proposiciones simples. p: Simón Bolívar está muerto
q: Simón Bolívar está vivo Término lógico
p v q: Simón Bolívar está muerto o vivo Proposición simple P. simple Proposición compuesta disyunción exclusiva
R. simbólica
Valor de verdad de la disyunción exclusiva: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones simples y de la propiedad fundamental del operador lógico. DEFINICIÓN El v(p v q) = F para la primera y cuarta combinación lógica, y v(p v q) = V para todas las demás combinaciones lógicas. La misma que se resume en la siguiente tabla de verdad. p
q
pvq
V V F F
V F V F
F V V F
La disyunción exclusiva es "falsa" cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. En todos los demás casos es verdadera.
Observación: Las oraciones coordinadas disyuntivas son las que se expresan pensamientos opuestos que se excluyen mutuamente. La letra “o” significa “lo uno o lo otro pero no ambas cosas”. Por ejemplo: El valor de verdad de una proposición es V o F.
Π es un número racional o irracional
En algunos casos, la "o" se cambia por "u": Fueron siete u ocho los alumnos que asistieron.
Ejemplos: 1. Sean p: El 0 es el módulo de la suma y q: el 0 es el módulo de la multiplicación. Escribir la disyunción exclusiva de p y q: a) en forma simbólica. b) con palabras. p v q: El 0 es el módulo de la suma o de la multiplicación.
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2. Determine el valor de verdad de la negación: 10 es un número entero par ó impar. p: 10 es un número entero par v(p) = V q: 10 es un número entero impar v(q) = F p v q: 10 es un número entero par ó impar. v(p v q) = V ~ (p v q): Es falso que, 10 es un número entero par ó impar. v[~ (p v q)] = F 3. Construir la tabla de verdad correspondiente proposición consigo misma. p p v V V F F F F
a la negación de la disyunción exclusiva de una p V F
~(p v p)
V V
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. -10 es entero positivo ó -10 es entero 2. 33 = 27 ó 3x3 = 27 3. 5 es un numero real ó 5 es natural 4. 7 > 2 ó 7- 2 > 0 5. 9/3 = 3 ó 3 x 3 = 9 2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas. 1. 10 es número par ó 10 es múltiplo de 3 2. 5/3 > 8/3 ó 5 > 8 3. 3/2 > 2/ 5 ó 2 < 5 4. 12/4 = 3 ó 12 = 4 x 3 5. –2 < -1 ó 2 > 1 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones 1. Si v(p v q) = F y v(q) = F, v(p) = ?. 2. Si v{~(p v q)} = F y v(p) = V, v(q) = ?. 3. Si v(p v q) = V y v(p) = V, v(q) = ?. 4. Si v{~(p v q)} = V y v(q) = F, v(p) = ?. 5. Si v(p) = F y v(q) = F, Determine v{~(p v q)}. 4. Construir la tabla de verdad para la negación del bicondicional y para la disyunción exclusiva. ¿Qué conclusiones se pueden obtener?. 1.8. SÍNTESIS DE LAS OPERACIONES LÓGICAS. A continuación se presenta una síntesis de las propiedades de las operaciones lógicas intersectivas e interdisyuntivas:
OPERACIÓN NOMBRE TÉRMINO OPERADOR P q V V V F F V F F
OPERACIONES LÓGICAS INTERSECTIVAS SIMPLES 1 Conjunción Contrasección Subsección Extersección 2 Y ... pero no ... No ... sino ... Ni ... ni ...
p q F F F
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↖
↙
p q F V F F
p q F F V F 19
COMPUESTA Bisección ... ssi ...
p
q F F F
V
p
q V F F V
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OPERACIONES LÓGICAS INTERDISYUNTIVAS OPERACIÓN SIMPLES 3 Interdisyunción Condicional4 Subdisyunción Disyunción i5 NOMBRE No ... tampoco ... Si ... entonces No ... entonces Y/o T RMINO v OPERADOR P q p q p q P q pvq V V V V V V F V V F V F V V V F V F F V V F V
COMPUESTA Disyunción e6 o v pvq F V V F
Observación: El adverbio No, en los términos lógicos anteriores, puede reemplazarse por: No es cierto que o es falso que. Algunas de las operaciones anteriores tienen dos o más nombres, los mismos que se indican a continuación: 1: Conjunción y/o intersección. 2: Extersección, negación conjuntiva y/o negación compuesta. 3: Interdisyunción, Negación alternativa y/o barra de Schaffer. 4: Condicional y/o contradisyunción. 5: Disyunción inclusiva y/o exterdisyunción. 6: Disyunción exclusiva y/o Bidisyunción.
EJERCICIOS 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1. Un cuadrilátero no tiene 3 lados sino 4. 2. Ni Quito ni Lima es la capital de Colombia 3. Quito no es la capital del Perú tampoco de Colombia 4. Un triángulo no tiene 4 lados entonces tiene 3 lados 5. El metro no es una unidad de masa ni de volumen 6. No es verdad que 2 + 4 = 6 tampoco 2 + 4 = 5. 7. ½ 0,5 entonces 2/4 = 0,5. 8. 23 27 entonces 2x2x2 = 8
2. Hallar el valor de verdad de la negación de las siguientes proposiciones compuestas. 1. El módulo de la adición no es 0 sino 1 2. Un ángulo recto no tiene 90º sino 45º 3. 3/2 2/3 ni 2/4 = 4/8 4. El cero no es un número positivo ni negativo. 5. Un cuadrado no tiene tres lados tampoco dos 6. El 0 no es positivo tampoco negativo 7. 2 no es número primo entonces es compuesto 8. 6 no es mayor que 4 entonces 6-4 > 0 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 1. Si v(p ↙ q) = F y v(p) = V, v(q) = ? 2. Si v(p q) = F y v(p) = V, v(q) = ?. 3. Si v(p q) = F y v(q) = F, v(p) = ? 4. Si v(p) = F y v(q) = F, Determine v(p q). 5. Si v{ ~(q p)} = F y v(p) = V, v(q) = ? 6. Si v{~(q p)} = F y v(q) = F, v(p) = ?. 7. Si v{~(q p)} = V y v(q) = V, v(p) = ? 8. Si v{~(q p)} = V y v(p) = F, v(q) = ?. 4. Construya un mentefacto para las operaciones lógicas intersectivas. 5. Construya un mentefacto para las operaciones lógicas interdisyuntivas. Msc. Paco Bastidas Romo
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